Pratica4-Teorico

Universidade Federal de Pernambuco

CCEN - Departamento de Física Física Experimental 2 - 2012.1

Prática 4: Material suplementar teórico

Filtros e Reticadores

1 Introdução

Nesta prática estudaremos o comportamento de circuitos elétricos simples cuja resposta (amplitude e fase) varia como função da frequência da excitação senoidal. É importante enfatizar que estaremos trabalhando no regime linear, isto é a resposta depende apenas da frequência de excitação, mas não depende da amplitude. Este tipo de investigação pode ser realizada no: (1) Domínio da frequência, quando o circuito é excitado em uma única frequência ω e a resposta é medida em função da frequência; (2) Domínio do tempo, onde a excitação é um pulso curto de tensão aplicado na entrada do circuito e a resposta é investigada em função do tempo. O método de resposta no domínio do tempo (também chamado análise transiente) foi usado na Prática 3, onde estudamos a resposta temporal de um circuito RC excitado por uma onda quadrada. Vários conceitos serão explorados, tais como: função de transferência, ltros (passa baixa, passa alta, passa banda), ruído, integradores e diferenciadores RC, fase, defasagem entre grandezas elétricas, reticação usando diodos reticadores, etc. Para investigar os ltros usaremos componentes simples, tais como resistores, capacitores e indutores para montar circuitos RC e RLC em série excitados por formas de ondas senoidais e quadradas. É importante enfatizar que todos os sinais elétricos variáveis podem ser analisados em termos de suas componentes senoidais, como aprendemos em aplicações do teorema de Fourier. Sinais que vão desde a alimentação de energia elétrica doméstica até aqueles usados em comunicação por televisão ou telefonia celular são exemplos de sinais que podem ser decompostos em componentes de Fourier.

2 Ruídos, ltragem e ltros passivos

Todos os sinais elétricos com os quais normalmente trabalhamos estão contaminados com algum tipo de ruído elétrico que precisa ser ltrado. Em muitas situações, o sinal de interesse está misturado com outros sinais que possuem amplitude, frequência e fase diferentes que não são necessariamente considerados ruídos, mas também precisam ser ltrados. Existem muitas técnicas de ltragem de ruído tanto nas áreas de Engenharia como em Ciências Básicas e qualquer circuito, ou software, que realize esta tarefa é chamado de ltro. A aplicação mais familiar dos ltros ocorre nos sistemas de áudio. Os equalizadores permitem que diferentes faixas de frequências possam ser amplicadas ou atenuadas para satisfazer o ouvinte ou satisfazer as propriedades acústicas do ambiente. Uma outra aplicação importante dos ltros é a recuperação ou amplicação de um sinal que vem misturado com ruído. É o que se conhece como aumentar a relação sinal-ruído simplesmente diminuindo ou suprimindo o ruído indesejável que contamina o sinal. A gura 1 mostra a densidade espectral de potência (potência/unidade de largura de banda) dos tipos de ruídos elétricos mais comumente encontrados.

O chamado ruído determinístico pode variar desde componentes de frequências únicas como o ruído de 60 Hz proveniente da alimentação doméstica até interferências de rádio frequência causadas por pulsos de energia estreitos devidos a chaveamentos industriais, pulsos de lasers, transmissores de rádio, etc. O ruído estocástico ou aleatório é encontrado em muitos sistemas na forma de ruído branco (onde a densidade espectral de potência independe da frequência), ou ruído 1/f (onde a densidade espectral decresce com o aumento da frequência. A densidade espectral de ruído é usualmente medida em unidades de valor médio quadrático da tensão/frequência V2_{/Hz ou}

valor médio quadrático da corrente/frequência A2_{/Hz (Burdett, R. 2005. Amplitude Modulated Signals: The}

Lock-in Amplier. Handbook of Measuring System Design.)

Existem duas abordagens principais para aumentar a relação sinal-ruído:

1. Redução da largura de banda: O ruído é diminuído reduzindo-se a largura de passagem (ou largura de banda) do ruído. Esta abordagem funciona bem quando os espectros de frequência do ruído e do sinal não se superpõem signicativamente, de forma que a redução da largura de banda do ruído não afete o sinal. 2. Realização de médias ou técnicas de integração: Sucessivas medidas do sinal são realizadas ou sincronizadas

e somadas umas com as outras. O sinal de interesse cresce com o número de medidas realizadas n e o ruído cresce com √n. Portanto, depois de um grande número de medidas, a relação sinal ruído aumentará consideravelmente.

.) ano -1 Mudanças de turnos, Rede de potência n id . A rb it dia-1 intervalos para almoço Elevadores Rede de potência 60 Hz 180 Hz Fontes h d b a n d a (u n hora-1 Elevadores 120 Hz Rádi AM Monitor de PC chaveadas g u ra d e b Temperatura _min-1 TV analógica Rádio AM d e d e l a rg Interferências típicas de rádio a /u n id a d rádio-frequência Ruído 1/f Potênci Ruído branco Frequência (Hz)

Figura 1: Fontes de ruídos elétricos ambientais mais comuns.(Burdett, R. 2005. Amplitude Modulated Signals: The Lock-in Amplier. Handbook of Measuring System Design.)

2.1 Filtros passivos

Um ltro é um circuito projetado para deixar passar sinais com frequências desejadas e rejeitar (ou atenuar) outras frequências. Os ltros passivos são constituídos apenas por elementos passivos como, resistores, indutores e capacitores. Basicamente, existem 4 tipos de ltros que se classicam de acordo com a dependência da função de transferência em função da frequência, como ilustrado na gura 2. O ltro passa baixa deixa passar componentes de frequência menores do que uma frequência característica ωc(conhecida como frequência de corte); o ltro passa

alta deixa passar componentes de frequências acima da frequência de corte ωc; o ltro passa banda deixa passar

componentes de frequência numa banda de passagem situada entre as frequências ω1e ω2; por último, o ltro rejeita

banda corta as componentes de frequências situadas entre ω1 e ω2 e deixa passar todas as outras componentes.

|H( )| |H( )| |H( )| | ( )|

|H(Z)| |H(Z)| |H(Z)| |H(Z)|

Z

Zc Zc Z Z1 Z2 Z Z1 Z2 Z

Passa-baixa Passa-alta Passa-banda Rejeita-banda Passa-baixa Passa-alta Passa-banda Rejeita-banda

Figura 2: Ilustração das funções de transferências |H(ω)| de 4 diferentes tipos de ltros.

2.2 Notação em decibel

Quando trabalhamos com circuitos eletrônicos operando com sinais CA, geralmente medimos a razão entre a potência de entrada e a potência de saída. Um amplicador apresenta a potência de saída P0 maior do que a

potência de entrada Pe, enquanto que um atenuador apresenta a potência de saída menor do que a de entrada.

A razão entre as potências de saída e de entrada fornece o ganho (no caso de um amplicador) ou a perda (no caso de um atenuador). Como esta razão pode variar muito, várias ordens de grandeza, é comum apresentá-la em escala logarítmica para comprimir e manusear estas variações mais facilmente. A unidade que descreve a razão entre os dois sinais é o Bel e é calculada como Bel = log10(P0/Pe). Como o Bel é uma unidade muito grande,

é mais conveniente trabalhar com unidades de 0,1 Bel. Por exemplo, uma variação de 0,1 Bel em intensidade de som está no limiar de audição do ouvido humano. Portanto, usaremos unidades de 0,1 Bel por razões práticas. Usando o prexo deci, que signica um décimo, denimos a nova unidade como decibel (dB). Como o decibel é igual a (1/10)Bel, então

dB = 10log10

 P0

Pe



. (1)

Em muitas situações, trabalhamos com ganhos (ou atenuação) de tensão elétrica, em vez de ganho de potência elétrica. Assim, usamos a relação P = V2_{/R, obtemos}

dB = 10log10  V2 0/R V2 e/R  = 20log10  V0 Ve  . (2)

Quando medimos a razão entre correntes a expressão é igual à da equação (2) mudando V por I.

3 Resposta de circuitos RC excitados por tensões senoidais

Nesta parte, estudaremos a resposta de um circuito RC excitado por tensões senoidais. Essencialmente, estaremos interessados em investigar a função de transferência H(ω) = V0(ω)/Ve(ω) dos circuitos mostrados nas

guras 3(a) e 3(b). Para isto, precisamos recapitular o conceito de impedância de componentes lineares. Impedância é o termo geral para a razão tensão/corrente Z = V/I. Geralmente a impedância Z é caracterizada por um módulo e uma constante de fase φ. Resistência é o caso especial quando φ = 0 e reatância quando φ = ±π/2. Em análise de circuitos usa-se a letra j para representar o imaginário √−1em vez da letra i, que é normalmente usada para representar corrente elétrica. A função de transferência do circuito da gura 3(a) é dada por

R (a) (b) R C V_e(t) _V 0(t)

~

~

Figura 3: Circuitos RC usados para investigar a função de transferência H(ω) = V0(ω)/Ve(ω). Em (a) a tensão

de saída é sobre o capacitor C, em (b) sobre o resistor R. A letra (C) ilustra o conceito da função de transferência de um circuito de duas portas.

H(ω) = V0 Ve = 1/jωC R + 1/jωC = 1 1 + jωRC. (3)

Cujos módulo e fase são dados por

|H(ω)| = 1 p1 + (ω/ω0)2 (4) φ = −Arctg ω ω0  . (5) Aqui ω0= 1/RC.

As guras 4(a), 4(b) e 4(c) mostram a dependência do módulo da função de transferência |H(ω)|, da constante de fase φ e da impedância total Z = pR2_{+ 1/(ωC)}2 em função da frequência, respectivamente, em unidades de

ω0(= 1/RC), do circuito da gura 3(a). Observe que usamos escala log-log no gráco de |H(ω)| × ω e monolog

no gráco de φ(ω) × ω. A frequência de corte denida como ω = ω0 = 1/RC é aquela para a qual a tensão de

saída é igual a 1/√2da tensão de entrada e a constante de fase é igual a π/4 = 45o. Na frequência ω0 a reatância

capacitiva 1/ω0C é igual à resistência R. A constante de tempo τ = RC, denida na Prática 3, está relacionada

com a frequência de corte: τ = RC = 1/ω0.Em baixas frequências, a impedância do circuito RC é dominada pelo

reatância capacitiva, signicando que a tensão VC ≡ V0 (medida entre os terminais do capacitor) está atrasada

de 90o _{em relação à corrente. As dependências de V}

C e φ com a frequência são importantes em aplicações de

circuitos RC. Em baixas frequências, a tensão de entrada está aplicada principalmente sobre o capacitor e em altas frequências aplicada principalmente sobre o resistor. As duas tensões se somam para resultar na tensão

-40 -30 -20 -10 0 -90 -75 -60 -45 -30 -15 0 0,01Z₀ -3 Frequência de corte -20 dB/década (a) 0,1Z₀ Z0 10Z0 100Z0 A te nu aç ão ( dB ) Frequência angular, Z (b) 0,1Z₀ Z₀ 10Z₀ 100Z₀ Â ng ul o d e f as e, I ( gr au s) Frequência angular, Z (c) 3R 2R R Im pe dâ nc ia Z Frequência angular, Z 3Z₀ 2Z₀ Z₀

Figura 4: Curvas de resposta de um circuito passa baixa. Em (a) temos a dependência do módulo da função de transferência em função da frequência de excitação. Em (b) temos o gráco da constante de fase φ(ω) e em (c) temos a dependência da impedância total. As frequências estão expressas em unidades da frequência de corte ω0.

aplicada pelo gerador de sinais, isto é, Ve = VC + VR. Observe que em baixas frequências a impedância total é

muito alta devido à reatância capacitiva 1/ωC (o capacitor é um circuito aberto para CC). Em altas frequências, a reatância capacitiva tende a zero (o capacitor não tem tempo de se carregar) e assim a impedância tende a ser igual à resistência R.

3.1 Curva de resposta em função da frequência - ltro passa baixa

A gura 4(a) mostra claramente a frequência de corte ω0 onde a atenuação é igual a −3dB. Em frequências

ω < ω0 a atenuação diminui rapidamente até atingir 0dB. Em altas frequências, a atenuação aumenta rapidamente

para em seguida cair a uma taxa constante de 20dB por década de frequência. A forma do gráco mostra a característica de um ltro passa baixa. Frequências abaixo da frequência de corte ω0 passam com atenuação

insignicante e frequências acima da frequência de corte são signicativamente atenuadas. Esta característica justica o nome ltro passa baixa. Todos os ltros passa baixa de primeira ordem são caracterizados pela mesma curva resposta mostrada na gura 2(a). Os ltros de ordem superior são obtidos adicionando-se mais estágios RC ao estágio anterior. Se a reta de −20dB por década for estendida até a linha de 0dB como mostrado pela linha preta tracejada, o ponto de interseção continua sendo na frequência de corte. Em muitas circunstâncias é útil e mais simples a utilização de linhas retas para descrever o desempenho de um ltro. Enquanto que os ltros de 1a

ordem caem 20 dB por década de frequência na região de atenuação, os ltros de 2a_{ordem caem 40 dB por década}

e os de 3a _{ordem caem 60 dB por década.}

A gura 4(b) mostra a curva de φ × ω do ltro passa baixa. Neste caso, a tensão de saída é medida nos terminais do capacitor e está atrasada em relação à corrente por um ângulo que varia de 0 a 90o _{e depende da}

frequência do sinal. As variações mais signicativas do ângulo de fase φ ocorrem na região de uma década em torno da frequência de corte. Observe que nas regiões ω > 10ω0 e ω < 10ω0 não há praticamente mudança na fase

φ. Por conta deste deslocamento de fase, sinais não senoidais (resultante da superposição de inúmeros harmônicos, como por exemplo uma onda quadrada) com componentes de frequência em torno da frequência de corte serão bastante distorcidos por este tipo de ltro. Tais distorções devem ser consideradas quando se projetam ltros para alguns tipos de aplicações, como em sistemas de áudio e de comunicações.

3.2 Filtro passa baixa como integrador

A tensão de saída, V0 depende da constante de tempo RC e da frequência do sinal de entrada. Se o sinal de

entrada for senoidal, o circuito comporta-se como um simples ltro passa baixa de 1a_{ordem como visto acima. Se}

o sinal de entrada variar como uma chave liga-desliga (onda quadrada), a resposta do circuito passa baixa muda dramaticamente e passamos a ter um outro tipo de circuito conhecido como integrador, como ilustrado na gura 5. O integrador é basicamente um ltro passa baixa operando no domínio do tempo convertendo os degraus da onda quadrada em uma forma de onda de saída na forma triangular à medida que o capacitor carrega e descarrega. Uma forma de onda triangular consiste de rampas de tensão com inclinações positivas e negativas. Se a constante de tempo RC for longa em comparação com o período T do sinal de entrada, a forma de onda de saída será triangular e quanto maior for a frequência menor será a amplitude da onda triangular de saída.

Para mostrar matematicamente que o ltro passa baixa se comporta como um integrador no regime de altas frequências, suponha a gura 3(a) ou a gura 5. A tensão através dos terminais de R é Ve− V0, tal que I =

Sinal de entrada = V_e

V₀

Sinal de saída Sinal de saída Sinal de saída

Sinal de saída (baixas frequências) Sinal de saída (frequências intermediárias) Sinal de saída (altas frequências)

Figura 5: Circuito RC operando no domínio do tempo excitado por uma onda quadrada. No regime de altas frequências, o sinal de saída é a integral do sinal de entrada.

C(dV0/dt) = (Ve− V0)/R.Se zermos RC muito grande, tal que V0 << Ve então

CdV0 dt ≈ Ve R (6) V0(t) = 1 RC ˆ t 0 Ve(t0)dt0. (7)

Desta maneira, temos um circuito que realiza a integral temporal do sinal de entrada. A integral da onda quadrada é uma onda triangular, como mostrado na gura 5.

3.3 Curva de resposta em função da frequência - ltro passa alta

No circuito da gura 3(b), a tensão de saída é medida sobre os terminais do resistor em vez de sobre os terminais do capacitor. A função de transferência é dada por

H(ω) = V0 Ve

= jωRC

1 + jωRC. (8)

Cujos módulo e fase são dados por

|H(ω)| = ω/ω0 p1 + (ω/ω0)2 (9) φ = Arctg ω₀ ω  . (10) -40 -30 -20 -10 0 0 15 30 45 60 75 90 0,01Z₀ -3 Frequência de corte +20 dB/década (a) 0,1Z₀ Z₀ 10Z₀ 100Z₀ A te nu aç ão ( dB ) Frequência angular, Z (b) 0,1Z₀ Z0 10Z₀ 100Z0 Â ng ul o d e f as e, I ( gr au s) Frequência angular, Z

Figura 6: Curvas de resposta do circuito passa alta. Em (a) temos a dependência do módulo da função de transfe-rência em função da frequência de excitação. Em (b) temos o gráco da constante de fase φ(ω).

Neste tipo de arranjo, a reatância do capacitor é muito alta em baixas frequências atuando como um circuito aberto atenuando as componentes do sinal de entrada Vecom frequências abaixo da frequência de corte ω0 = 1/RC.

Para as componentes de sinais com frequências acima da frequência ω0, a reatância do capacitor é sucientemente

reduzida de forma que C funciona como um curto-circuito permitindo que todo o sinal de entrada passe diretamente para a saída. A curva de resposta em frequência mostrada na gura 6(a) é o oposto exato de um ltro passa baixa.

Aqui o sinal é atenuado (ou amortecido) em baixas frequências com a saída aumentando em +20 dB/década até que a frequência atinge o valor da frequência de corte ω0 onde novamente XC = R. O ângulo de fase φ do sinal de

saída está adiantado em relação ao sinal de entrada e é igual a +45o _{na frequência de corte. Embora a curva de}

resposta em função da frequência mostre que o ltro passa alta permite a passagem de todas as componentes de frequência acima da frequência de corte, na prática a largura de banda está limitada pelas características intrínsecas dos componentes utilizados.

3.4 Filtro passa alta como diferenciador

Como visto anteriormente, a resposta do ltro passa alta também muda dramaticamente quando o sinal de entrada é uma onda quadrada. Neste caso, passamos a ter um diferenciador que converte uma onda quadrada em "spikes" de curta duração, como ilustrado na gura 7. Se a constante de tempo RC for pequena, comparada com o período da onda quadrada, o capacitor se carrega rapidamente antes da próxima mudança do ciclo. Quando o capacitor está completamente carregado a tensão de saída sobre o resistor é nula. A mudança brusca para zero na onda quadrada causa uma reversão na descarga do capacitor provocando um "spike" negativo, como visto na gura 7. Portanto à medida que a onda quadrada de entrada muda em cada ciclo, os "spikes" de saída mudam de valores positivos para valores negativos.

Sinal de entrada = V_e V₀ Sinal de saída (baixas frequências) Sinal de saída (frequências intermediárias) Sinal de saída (altas frequências) intermediárias)

Figura 7: Circuito RC operando no domínio do tempo excitado por uma onda quadrada. No regime de baixas frequências o sinal de saída é a derivada do sinal de entrada.

Para mostrar matematicamente que o ltro passa alta se comporta como um diferenciador no regime de baixas frequências, considere a gura 4(b). A tensão através de C é Ve− V0, tal que I = Cd(Ve− V0)/dt = (V0)/R. Se

zermos RC muito pequeno, tal que dV0/dt << dVe/dt, então

CdVe dt ≈ V0 R (11) V0(t) = RC dVe dt . (12)

Desta maneira, temos um circuito que realiza a derivada temporal do sinal de entrada. Em baixas frequências, o circuito da gura 7 realiza a derivada da onda quadrada gerando os pulsos ("spikes") na saída.

4 Circuitos RLC, ressonância e ltros passa banda

Muitos circuitos fazem uso de indutores e capacitores de diferentes maneiras para obter as suas funcionalidades. Filtros, circuitos de casamento de impedância e osciladores são exemplos comuns. Iniciaremos o nosso estudo com o circuito RLC em série. Estes circuitos são bastante simples para permitir uma análise completa, mas ao mesmo tempo são muito ricos para formar uma base de conhecimento de vários fenômenos físicos. Entre estes fenômenos físicos destacamos: pêndulos, osciladores mecânicos do tipo massa-mola, osciladores moleculares, cavidades de micro-ondas, etc. O entendimento dos circuitos RLC proporcionará uma visão prática comum a muitas situações físicas.

simplesmente dada por Z = R + jωL + 1 jωC (13) Z = R + jωL  1 − 1 ω2_LC  . (14)

j

ZL

1/j

ZC

j

ZL

V

(t)

R

1/j

ZC

Ѻ

I

V

(t)

Figura 8: Circuito RLC série.

A impedância é puramente real na frequência de ressonância que ocorre quando Im(Z) = 0, isto é, ωR= ±√_LC1 .

Na frequência de ressonância, o valor da impedância é mínimo. Os cálculos das tensões sobre cada um dos elementos é similar ao caso resistivo puro, isto é, a tensão entre os terminais de cada componente é proporcional à sua corrente. Assim as tensões através dos terminais do resistor, do capacitor e do indutor são

VR= IR = Ve ZR = Ve R + j(ωL − 1/ωC)R (15) VC = I 1 jωC = Ve Z 1 jωC = Ve R + j(ωL − 1/ωC) 1 jωC (16) VL= I · (jωL) = Ve Z · (jωL) = Ve R + j(ωL − 1/ωC)· (jωL). (17) As suas magnitudes são

|VR| = VeR pR2_{+ (ωL − 1/(ωC))}2 (18) |VC| = Ve/(ωC) pR2_{+ (ωL − 1/(ωC))}2 (19) |V_L| = Ve(ωL) pR2_{+ (ωL − 1/(ωC))}2. (20)

É importante entender o que causa a ressonância, ou o cancelamento das reatâncias indutiva e capacitiva. Como as tensões no capacitor e no indutor estão sempre defasadas de 180o_{, e uma reatância está diminuindo e a}

outra aumentando, haverá uma frequência onde as duas magnitudes serão iguais. Portanto, a ressonância ocorre quando ωL = 1/ωC. O diagrama de fasores da gura 9 ilustra detalhadamente este efeito.

Este circuito é interessante por várias razões. Uma delas é que na frequência de ressonância a tensão sobre as reatâncias podem ser muito grandes, muito maiores do que sobre o resistor R. Em outras palavras, este circuito apresenta um ganho de tensão. Claro que não apresenta um ganho de potência, pois é um circuito passivo. Na ressonância as tensões sobre o resistor, sobre o indutor e sobre o capacitor podem ser escritas como

VR= RI = R Ve R = Ve, (21) VL= jωRLI = jωRL Ve Z = jωRL Ve R = jQ × Ve, (22) VC = 1 jωRC I = 1 jωRC Ve Z = 1 jωRC Ve R = −jQ × Ve. (23)

Aqui denimos o fator Q do circuito por Q = ωRL/R. Esta propriedade de multiplicação da tensão é uma

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

aZZR

bZ ZR

cZ!ZR

V

Figura 9: O diagrama de fasores das tensões elétricas de um circuito RLC série. Em (a) está abaixo da frequência de ressonância, em (b) está exatamente na frequência de ressonância e em (c) acima da ressonância.

O fator Q pode ser reescrito de diferentes formas como visto na equação a seguir Q = ωRL R = 1 ωRC 1 R = √ LC C 1 R = r L C 1 R = Z0 R, (24)

onde denimos a impedância característica do circuito como Z0 =

q

L C.

4.1 Função de transferência do circuito RLC série

A função de transferência do circuito RLC mostrado na gura 8 quando medida nos terminais do resistor é dada por H(ω) = V0 Ve = R R + jωL + _jωC1 (25) H(ω) = jωRC 1 − ω2_{LC + jωRC}. (26)

Como o circuito não pode conduzir corrente CC, existe um zero na função de transferência. O módulo da função de transferência e a fase são dados por

|H(ω)| = _q R R2_{+ (ωL −} 1 ωC)2 (27) φ = Arctg XL− XC R  (28) Em termos do fator Q denido acima, o módulo da função de transferência e sua respectiva fase podem ser reescritos como |H(ω)| = _r 1 1 + Q2 ω ωR − ωR ω 2 (29) φ = Arctg  Q ω ωR −ωR ω  (30) A gura 10 mostra a magnitude da função de transferência em função da frequência de excitação do circuito RLC da gura 8. A seletividade do circuito (largura da curva de ressonância) está relacionada com o inverso do fator Q. No limite quando Q → ∞ o circuito é innitamente seletivo e apenas a frequência ωR é transferida da

fonte de excitação para o resistor R (carga). Note que o ganho no pico é sempre unitário, independente do valor de Q, pois na ressonância L e C efetivamente desaparecem e a tensão de entrada se transfere para a carga R.

A defasagem entre a corrente e a tensão é dada pela dependência do ângulo de fase φ com a frequência de excitação. A gura 11 mostra a dependência φ×ω, normalizada pela frequência de ressonância. Observe que φ = 0 na frequência de ressonância, φ → −π/2 para ω → 0 (reatância capacitiva) e φ → π/2 para ω → ∞ (reatância indutiva). A transição é tanto mais abrupta quanto maior for o valor do fator de qualidade Q.

1,0 0,8 Z )| 0,6 |H (Z 0,4 0,2 0 0,5  1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 Frequência,Z(ZR)

Figura 10: Magnitude da função de transferência do circuito RLC-série em função da frequência de excitação. A tensão de saída é medida entre os terminais do resistor. O aumento do fator de qualidade Q torna a resposta mais seletiva, isto é, a ressonância é mais estreita.

S/2 0 (r a d ) I S/2 0,2 0,5 1,0 2,0 5,0 10 -S/2 Frequência ZZ  Frequência,ZZR

Figura 11: Fase entre a corrente e a tensão de excitação do circuito RLC-série em função da frequência, norma-lizada pela frequência de ressonância. A taxa de mudança da fase depende do fator de qualidade Q.

4.2 Largura de banda do circuito RLC série

A banda de passagem do circuito RLC é denida em termos das frequências à meia potência. Vamos denir as frequências ω1 e ω2 que satisfazem às relações P (ω1) = P (ω2) = P (ωR)/2. Assim ω1 e ω2 são chamados de

pontos de meia potência. A largura de banda ∆ω = |ω2− ω1|está ilustrada na gura 12. A condição de pontos de

meia potência pode ser calculada aplicando-se a condição |H(ω)|2 _{= 1/2na equação (27). Assim podemos calcular}

as frequências ω1 e ω2, que serão soluções da seguinte equação.

|H(ω)|2 = 1 1 + Q2 ω ωR − ωR ω 2 = 1 2, (31)

que produz a seguinte equação

 ω2 R− ω2

ωRω/Q

2

= 1. (32)

A equação (32) tem 4 soluções, correspondendo a duas frequências positivas e duas negativas. A largura de banda é caracterizada pela diferença entre estas frequências, que são

ω1 = − R 2L + s  R 2L 2 + 1 LC (33) ω2 = R 2L + s  R 2L 2 + 1 LC. (34)

I_mou V_m

Z1 ZR Z2 Z Largura

de banda

Z1 ZR Z2 Z

Figura 12: Ilustração da largura de banda. Os pontos de meia potência são aqueles onde a amplitude da corrente (ou tensão) de saída e igual a 1/√2 da amplitude máxima (medida na ressonância).

V_e V_e Ve

(a) Para f < f_R (b) Para f = f_R (c) Para f > f_R

( ) _R

I está adiantada

( ) _R

I está em fase com V_e

( ) _R I está atrasada +90₉₀o 0o 0o frequência XC> XL Capacitivo I está adiantada XC< XL Indutivo I está atrasada -90o

Figura 13: Ilustração das relações de fase do circuito RLC série.

Observe que a frequência de ressonância ωR e a largura de banda ∆ω podem ser escritas em termos de ω1 e

ω2 como ωR= √ ω1ω2 (35) ∆ω = ω2− ω1 = R L = ωR Q = ω 2 RRC → Q = ωR ∆ω. (36)

O fator de qualidade Q é a razão entre a frequência de ressonância ωR e a largura de banda ∆ω. Se a

largura de banda for estreita, o fator de qualidade do circuito ressonante é alto, e vice-versa.

A gura 13 ilustra a defasagem entre a corrente no resistor e a tensão de excitação para frequências no regime capacitivo f < fR, no regime indutivo f > fR e no regime puramente resistivo f = fR.

5 Diodos reticadores

Na maioria dos equipamentos eletrônicos, a tensão de alimentação doméstica CA deve ser convertida para ten-são CC com especicações de intensidade e estabilidade adequados. Por exemplo, quando ligamos um computador na tomada de energia elétrica, a fonte de alimentação do PC converte a tensão doméstica de 220 VCA em pelo menos 5 tipos de tensão CC, que são: ±5V , ±12V e 3, 3V. A maneira mais simples de se conseguir uma tensão CC a partir de uma tensão CA é utilizando-se circuitos de reticação elétrica baseados em diodos reticadores. A função principal do circuito reticador é converter corrente alternada em corrente unidirecional. A seguir serão apresentados conceitos físicos elementares que explicam o funcionamento dos diodos de junção bem como circuitos elementares de reticação.

5.1 Junção PN

Os diodos são dispositivos passivos não lineares formados pela junção de dois materiais semicondutores (Si ou Ge) dopados com impurezas. O semicondutor tipo N é obtido a partir do Si (ou Ge) puro que é dopado com impurezas doadoras de elétrons, tais como: o fósforo (P), o arsênio (As) ou o antimônio (Sb). O semicondutor tipo P é obtido a partir do Si (ou Ge) puro que é dopado com impurezas aceitadoras de elétrons, tais como: o alumínio (Al) e o boro (B). O elétron "extra" no semicondutor tipo N se propaga facilmente aumentando a

condutividade (termicamente ativada) do material. O elétron faltando deixa um "buraco" no semicondutor tipo P que pode ser preenchido por um elétron vizinho, também aumentando a condutividade (termicamente ativada). No caso do semicondutor tipo P os portadores de carga se movem no sentido contrário aos portadores de carga do semicondutor tipo N. Os buracos podem ser pensados como portadores de cargas positivas.

Quando dois materiais semicondutores, um do tipo P e outro do tipo N, são unidos em nível atômico, obtemos uma junção PN. A gura 14 ilustra o que ocorre quando tal junção é obtida. Ao juntarmos os materiais P e N ocorrerá a difusão de elétrons do lado N para o lado P e de buracos no sentido inverso. Devido à recombinação que ocorre entre os elétrons e os buracos que se difundem através da junção PN, íons positivos se formarão no lado N da junção e íons negativos se formarão no lado P. A presença destes íons cria uma região com uma distribuição espacial de cargas que origina uma barreira de potencial impedindo a difusão de elétrons do lado N para o lado P e de buracos no sentido inverso. A largura da barreira de potencial não é necessariamente simétrica como aquela mostrada na gura 14. Se a densidade de buracos (no lado P) for menor do a densidade de elétrons (no lado N), então a largura da região de íons negativos no lado esquerdo da junção será maior do que a largura da região de íons positivos no lado direito da junção. A presença de cargas não compensadas de cada lado da junção gera um campo elétrico E que aponta no sentido de evitar a difusão dos portadores de carga. Mesmo nas condições de equilíbrio descritas na gura 14, pares elétron buracos estão sendo continuamente formados na região da barreira devido à agitação térmica. No entanto estes pares elétron buraco rapidamente se recombinam.

Região

Região neutra de carga_espacial Região neutra

o rt a d o re s Ti buracos - - elétrons -+ -+ + + + + + + ã o d e p o Tipo p -_- -_{- Tipo n} -+ -+ + + + + + + o n c e n tr ç ã -- + +

Difusão de buracos Difusão de elétrons

campo E

C

o

Difusão de buracos Difusão de elétrons

Força sobre buracos Força sobre elétrons

Figura 14: Ilustração de uma junção PN em equilíbrio. O campo elétrico gerado pela distribuição espacial de cargas cria uma força elétrica sobre os buracos e sobre os elétrons contrária à difusão. Na situação de equilíbrio, a barreira de potencial formada na interface PN evita o uxo de portadores de cargas através da junção.

5.2 Polarização direta e reversa

A gura 15 ilustra a situação onde externamente aplicamos uma diferença de potencial entre os terminais do diodo. Na condição de polarização direta aplicamos uma tensão onde o terminal positivo da bateria está aplicado no lado P e o terminal negativo no lado N. Neste caso, a diferença de potencial na junção diminui e quando barreria de potencial desaparece se estabelecerá uma corrente elétrica devido aos portadores majoritários: buracos no lado P e elétrons no lado N. Na condição de polarização reversa aplicamos uma tensão onde o terminal positivo da bateria está aplicado no lado N e o terminal negativo no lado P. Neste caso, a diferença de potencial na junção aumenta mais ainda a barreria de potencial e praticamente não há corrente elétrica uindo na junção, exceto pela corrente de fuga devido aos portadores minoritários.

A gura 16 mostra a curva característica I ×V de um diodo semicondutor. A natureza da junção PN mostra que o diodo conduz corrente elétrica quando polarizado diretamente e corta (não conduz) a corrente quando polarizado inversamente. A corrente direta é "ligada" quando a tensão direta atinge um valor em torno de 0,6 V (para um diodo de Si) e atinge correntes muito altas para tensões da ordem de 0,7 V. O comportamento não linear da curva I × V do diodo na condição de polarização direta é dada pela equação do diodo

ID(VD) = I0



e−qVDηkB T − 1 

, (37)

onde I0é a corrente de saturação reversa, kB = 1, 3807×10−23J/Ké a constante de Boltzmann, T é a temperatura

absoluta, q = −1, 60219×10−19_{C é a carga do elétron e η é um parâmetro adimensional que depende da qualidade}

do diodo. Considerando que a temperatura ambiente é T = 300K, temos kBT ' 4,14 ×10−21 J ' 0, 026 eV. Para

diodos de Si a corrente de saturação reversa I0 é da ordem de algumas dezenas de nA. A tensão de ruptura Vb

que aparece na gura 16, é a tensão reversa que essencialmente curto-circuita o diodo e é gerada pelo mecanismo Zener que não é explicado pela Eq. (37). Neste caso, portadores de carga termicamente gerados são acelerados pelo campo elétrico (gerado pela tensão reversa) e adquirem energia suciente para romper ligações cristalinas

V0

( ) Dif d t i l j ã PN

P N

(a) Diferença de potencial na junção PN que surge em virtude das cargas não compensadas.

P N

V0

(b) Polarização direta. Quando aplicamos uma polarização direta entre os terminais do diodo

P N

V

polarização direta entre os terminais do diodo de junção a diferença de potencial na junção diminui diminuindo assim a barreira de potencial V potencial. -+ P N V₀

(c) Polarização reversa. Quando uma

l i ã é li d t i i

P N

V

polarização reversa é aplicada nos terminais do diodo de junção, a região de cargas espaciais se expande para dentro das regiões P e N aumentando assim a barreira

V regiões P e N aumentando assim a barreira

de potencial.

- +

Figura 15: Ilustração das condições de polarização direta e reversa de uma junção PN.

produzindo novos portadores de cargas (pares elétron buraco). Os novos pares elétron buracos geram novos portadores produzindo uma avalanche de portadores.

V

0

V

0

Figura 16: Curva característica de um diodo (curva sólida) e a caraterística simplicada (linha tracejada). Note as diferenças de escala entre o primeiro e o terceiro quadrantes. A equação do diodo (Eq. (37)) só explica a curva do primeiro quadrante. Para um diodo de Si, V0' 0, 7V.

5.3 Circuitos de reticação

A gura 17 mostra dois circuitos reticadores muito simples. O circuito da gura 17(a) é um reticador de meia-onda que converte tensão CA em tensão pulsante CC. Este circuito permite que metade do ciclo passe para a carga, não permitindo que a corrente ua no sentido contrário durante a outra metade do ciclo. A forma de onda resultante, que alimenta a carga RL, possui apenas os ciclos positivos de tensão. O conguração mostrada na

gura 17(b) é um reticador de onda completa. Este circuito manipula a tensão CA incidente de forma que ambas as metades do ciclo provocam corrente elétrica na carga uindo no mesmo sentido. A forma de onda resultante opera com os dois ciclos de oscilação de forma a gerar uma corrente elétrica uindo no mesmo sentido sobre a carga RL. Observe que a corrente elétrica resultante que alimenta a carga RL ui em um único sentido. Embora

a ondulação ("ripple") seja muito grande para ser utilizada em aplicações que exigem alimentação CC de baixo ruído, esta forma de onda pode ser usada para alimentar pequenos motores ou lâmpadas. As tensões DC indicadas nas guras 17(a) e 17(b) (sem introdução do capacitor de ltragem) são calculadas tomando-se o valor médio da tensão de saída VDC = Vmed= 1 T ˆ T 0 V (t)dt. (38)

Para o reticador de meia-onda, VDC = Vm/π e para o reticador de onda completa VDC= 2Vm/π.

A gura 17(c) mostra a situação onde inserimos um capacitor em paralelo com a carga RL. Este capacitor tem

a função de ltrar o "ripple" que não é aceitável em fontes CC de baixo ruído. O sinal reticado carrega o capacitor para uma tensão igual à tensão de pico da fonte CA quando o diodo conduz. Quando o diodo está cortado, o circuito ca essencialmente desligado da fonte, formando um circuito RC com o capacitor descarregando sobre o resistor. Em geral quanto maior for o capacitor melhor será o ltro. O fator de ripple ∆V mostrado na gura 17(c) depende do valor do capacitor de ltro. O valor do capacitor escolhido deve ser tal que RLC >> 1/f onde f

Corrente flui quando D1 conduz Tensão ½ ciclo par Corrente flui quando D2 conduz Tensão CA ½ ciclo ímpar Tensão CA Diodo V0 VL

Forma de onda de saída

Forma de onda de saída Forma de onda de entrada

(a) (b)

Capacitor de suavização

Saída Saída

Saída com capacitor Carga Descarga

p

Saída sem capacitor Forma de onda de saída

capac o

(c) (d)

Figura 17: Em (a) temos um circuito reticador de meia onda. Durante cada ciclo positivo da tensão CA o diodo é polarizado diretamente e a corrente ui através da carga RL. Durante cada ciclo negativo da tensão CA o diodo

está polarizado reversamente e a corrente não ui pela carga RL. Em (b) temos um circuito reticador de onda

completa consistindo de dois diodos conectados a uma única carga RL onde cada diodo conduz em ciclos alternados.

Quando o ponto A do transformador é positivo com relação ao ponto C, o diodo D1 conduz (como indicado pela seta). Quando o ponto B é positivo em relação em relação ao ponto C (na parte negativa do ciclo), o diodo D2 conduz (como indicado pela seta). Em ambos os ciclos a corrente ui no mesmo sentido pela carga RL. Em (c)

temos a introdução de um capacitor de ltro que suaviza a forma de onda de saída, diminuindo consideravelmente a ondulação. Em (d) tem a situação realística da forma de onda na carga no caso do reticador de meia-onda, onde mostramos a tensão subtraída da barreira de potencial do diodo.

é a frequência de "ripple" (f = 60 Hz no caso do reticador de meia onda e f = 120 Hz no caso do reticador de onda completa). A gura 17(d) mostra a forma de onda de saída de um reticador de meia-onda onde levamos em consideração a barreira de potencial do diodo. O diodo só conduz depois que a tensão de entrada atinge o valor V0' 0, 7V.

A gura 18 mostra a conguração de reticador de onda completa mais utilizada. É uma ponte de 4 diodos. Observe que no ciclo positivo de oscilação a corrente ui pelos diodos D2 e D3 (como indicado pelas setas vermelhas). No ciclo de negativo de tensão os diodos D1 e D4 conduzem de forma que a corrente ui no mesmo sentido através da carga RL (como indicado pelas setas azuis). O circuito da gura 18(a) mostra a situação onde os diodos D2 e

D3 estão conduzindo. Nesta situação temos o ciclo positivo de tensão. O circuito da gura 18(b) mostra a situação onde os diodos D1 e D4 estão conduzindo. Nesta situação temos o ciclo negativo de tensão.

Durante o processo de reticação, a tensão (e a corrente) CC resultante de saída, liga e desliga durante cada ciclo. Isto resulta em um valor médio baixo fornecido à carga além de possuir uma ondulação muito alta. A tensão fornecida à carga RL é exatamente a tensão de saída da fonte menos tensão corresponde à barreira de potencial

dos diodos. Por exemplo, se a amplitude da tensão de entrada for 12 V, então a tensão sobre a carga RL será

12 − 2 · 0, 6 = 10, 8 V, como mostrado na gura 18(c). Na verdade os valores médios fornecidos à carga RL são

Vmed= Vpico/π = 0, 318Vpico para o reticador de meia-onda e Vmed= 2Vpico/π = 0, 636Vpico para o reticador de

onda completa. A gura 19 mostra o reticador de onda completa, onde agora inserimos o capacitor de ltragem C. Neste caso o "ripple" é muito mais suavizado do que no caso do reticador de meia-onda. Se denirmos a tensão de ondulação como ∆V , podemos estimar este valor para o reticador de meia-onda como

∆V ' Vp− Vpe

− T

RLC_, (39)

onde T = 1/f e f = 60 Hz. Como e−x_{≈ 1 − x, então}

∆V ' Vp f RLC

(a D

+

+

Figura 18: Ilustração do circuito ponte de diodos usado como reticador de onda completa. Observe que este tipo de circuito pode ser utilizado tanto para reticar onda senoidal proveniente do secundário de um transformador como proveniente da saída de um gerador de funções. Em (a) vemos a reticação de ciclos positivos e em (b) a reticação de ciclos negativos. Em (c) mostramos a forma de onda de saída real (ciclos em preto) que deve levar em consideração a tensão devido à barreira de potencial dos diodos que estão conduzindo. Por isto a amplitude da senoide de saída deve ser Vm− 1, 2.

A ondulação para o reticador de onda completa é dada por ∆V ' Vp

2f RLC

. (41)

Assim podemos concluir, das equações (40) e (41) que a ondulação é inversamente proporcional ao capacitor de ltragem C e é duas vezes menor para o reticador de onda completa, em comparação com o reticador de meia-onda.

Saída com capacitor

Carga Descarga “Ripple” (a) g Saída sem capacitor Capacitor de filtro RL de filtro RL T C R t L e V V  (b) T VP P C Ve V 'V T T/2 T Tdes.

Figura 19: Circuito reticador de onda completa com o capacitor de ltro. Neste caso o fator de "ripple" é muito menor do que no caso do reticador de meia-onda.

6 Bibliograa

[1]Berkeley Physics Laboratory - Electric Circuits, Alan M. Portis a Hugh D. Young. McGraw-Hill Book Company, 2a edição, 1971.

[2] Eletrônica Básica, James J. Brophy. Ed. Guanabara Dois, 3a edição, 1977.

[3] Curso de Física Básica 3 - Eletromagnetismo, H. Moysés Nussenzveig. Ed. Edgard Blucher Ltda., 1997. [4] Fundamentos de Física - Vol. 3, David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker. Ed. LTC, 8a Edição, 2009. [5] The Art of Electronics, Paul Horowitz e Wineld Hill. Cambridge University Press, 2a edição, 1991.