Circuitos de Corrente Alternada

(1)

Circuitos de Corrente Alternada

Geradores de C.A. Circuitos LC e RLC sem gerador Resistores em C.C.A. Circuitos RLC com gerador

Indutores e capacitores em C.C.A. Transformadores Fasores

(2)

Geradores de C.A.

• Consiste em uma bobina com

N espiras girando em um

campo magnético uniforme. • O fluxo magnético através da

bobina é dado por

• Onde é o ângulo entre a

direção do campo e a normal ao plano da bobina.

(3)

Geradores de C.A.

• Quando a bobina é girada por uma força externa o fluxo magnético varia.

• Vimos que a variação do fluxo magnético induz

uma tensão na bobina (lei de Faraday)

(4)

Geradores de C.A.

• Assim,

• Devido a rotação da bobina o ângulo varia em função do tempo.

• Onde é a velocidade de

rotação e é o ângulo inicial. •

(5)

Geradores de C.A.

• Portanto,

• ou

• Onde

(6)

Resistores em C.C.A.

• Equação do circuito:

• A d.d.p. entre os

terminais do resistor é dada pela lei de Ohm:

• Sendo a tensão alternada, temos

(7)

Resistores em C.C.A.

• Considerando , temos • Assim, • Portanto, a corrente do circuito será • Onde •

(8)

Resistores em C.C.A.

• Como a corrente varia

com o tempo, a potência dissipada no resistor por efeito joule será

• Portanto, a potência

dissipada no resistor varia em função do tempo

(9)

Resistores em C.C.A.

• Como o valor médio da

função é igual a ½, temos que a potência média

dissipada vale

(10)

Resistores em C.C.A.

• Valor rms de uma corrente alternada (Root mean square)

– É definido através da relação

• No caso de uma corrente senoidal, temos • Assim,

• Portanto,

(11)

Resistores em C.C.A.

• Dessa maneira, podemos representar a potência média dissipada no resistor em termos da corrente rms

• Ou seja, o valor rms de uma corrente

alternada representa o valor da corrente

contínua que produz a mesma dissipação de energia.

(12)

Resistores em C.C.A.

• Valor rms para a tensão • Vimos que

• Assim, • E

• Portanto,

(13)

Resistores em C.C.A.

• Podemos também escrever a potência média fornecida pelo gerador em termos da tensão rms

• Usando as relações rms encontradas, temos

(14)

Resistores em C.C.A.

• Podemos encontrar também uma relação entre e

• Como e , temos

(15)

Resistores em C.C.A.

• As três últimas equações que acabamos de deduzir têm a mesma forma que as equações para os circuitos de corrente contínua.

• Assim, podemos escrever uma equação

equivalente para a queda de tensão no resistor

(16)

Indutores e capacitores em C.C.A.

• Indutores

– Equação do circuito

• Tensão induzida no indutor: • Assim,

(17)

Indutores e capacitores em C.C.A.

• Integrando:

• Como a corrente é variável, então , assim

• Onde

(18)

Indutores e capacitores em C.C.A.

• A corrente e a tensão estão defasadas de 90º.

• Comparando a relação entre corrente máxima e tensão

máxima com a mesma relação para corrente contínua, temos que

• Onde é denominada reatância indutiva.

(19)

Indutores e capacitores em C.C.A.

• Podemos escrever uma relação equivalente para os valores rms

• A reatância indutiva também é medida em ohms .

(20)

Indutores e capacitores em C.C.A.

• Potência média dissipada pelo indutor

• O valor médio de é nulo, assim

• Um indutor não dissipa energia desde que sua resistência possa ser desprezada.

(21)

Indutores e capacitores em C.C.A.

• Capacitores

• Tensão no capacitor: , assim

(22)

Indutores e capacitores em C.C.A.

• Pela definição de corrente, temos

• Onde

(23)

Indutores e capacitores em C.C.A.

• Novamente a relação entre a corrente máxima e tensão

máxima pode ser escrita na forma

• Onde é denominada reatância capacitiva.

• Da mesma forma a relação entre os valores rms são

(24)

Indutores e capacitores em C.C.A.

• Novamente, a unidade da reatância capacitiva é

medida em ohms.

• Além disso, a potência média dissipada no

(25)

Fasores

• Um fasor é a representação

vetorial de uma função senoidal. • Assim, tensões e correntes em

indutores e capacitores podem ser representadas por fasores. • A tensão entre os terminais de

um resistor pode ser

representada por um vetor cujo módulo é e o ângulo em relação ao eixo das abscissas é

(26)

Fasores

• Dessa maneira, a tensão

instantânea em um resistor é dado pela componente do fasor , pois

• Onde

(27)

Fasores

• Em um circuito com vários resistores, as tensões e correntes podem ser somadas utilizando os fasores. • Nesse caso, a tensão ou corrente resultante é a

componente desse fasor.

• Vamos considerar um circuito constituído por um indutor, um capacitor e um resistor ligados em série. • Como a tensão no indutor está adiantada de 90º em

relação a tensão no resistor.

• Por sua vez, a tensão no capacitor está atrasada de 90º em relação ao resistor.

• Como os três fasores giram no sentido anti-horário com a mesma frequência angular, os ângulos

relativos não mudam com o tempo.

•

⃗

�_� �� −�

(28)

Circuitos LC e RLC sem gerador

• Circuito LC: Circuito com um indutor e um capacitor

• Vamos supor que o capacitor esteja

inicialmente carregado com uma carga . • Quando a chave é fechada em , temos

• Como , temos •

(29)

Circuitos LC e RLC sem gerador

• A solução da equação anterior é

• Assim, a corrente será

• Condições iniciais: quando . Assim,

(30)

Circuitos LC e RLC sem gerador

• A corrente está defasada de 90º em relação a carga.

• Quando a carga no capacitor é máxima, a corrente é nula e quando a carga é nula a corrente é máxima.

Q

(31)

Circuitos LC e RLC sem gerador

• O circuito LC se comporta como um sistema massa-mola.

• A energia total do sistema se conserva mas as energias elétrica e magnética se alternam.

• Como a energia armazenada no capacitor é , temos

• Como a energia armazenada no indutor é , temos

(32)

Circuitos LC e RLC sem gerador

• Assim, a energia total no sistema vale

• Ou seja, a energia total do sistema é igual a energia armazenada no capacitor.

(33)

Circuitos LC e RLC sem gerador

• Circuito RLC: circuito constituído de um resistor, um indutor e um capacitor. • Equação do circuito: • Substituindo , temos •

(34)

Circuitos LC e RLC sem gerador

• A equação acima é análoga a equação de um oscilador harmônico amortecido • O primeiro termo é análogo à resultante

das forças que atuam nas cargas. • O segundo termo é análogo à força

restauradora.

• O terceiro termo é análogo ao

amortecimento devido à uma força de resistência.

(35)

Circuitos LC e RLC sem gerador

• Assim, no circuito RLC, a resistência é análoga à

constante de amortecimento. • A energia elétrica é dissipada

na forma de calor (efeito joule) no resistor.

• Portanto, a corrente oscila com uma frequência porém as oscilações são amortecidas. •

(36)

Circuitos RLC com gerador

• Circuito em série

• Usando a relação , temos

(37)

Circuitos RLC com gerador

• A corrente no circuito é a soma de duas componentes:

– Corrente transiente: depende das condições iniciais e diminui exponencialmente com o tempo.

– Corrente estacionária: não depende das condições iniciais e a solução é

• O ângulo é dado por

(38)

Circuitos RLC com gerador

• A corrente máxima é

Onde é a impedância do circuito e é chamada de reatância total.

• Assim, a equação do circuito é escrita como

(39)

Circuitos RLC com gerador

• Método dos fasores

– A figura ao lado mostra os fasores que representam as tensões no resistor, no indutor e no capacitor. – A soma das quedas de tensão em

cada elemento do circuito deve ser igual à tensão na fonte. Assim, temos

– Como e têm a mesma direção e são perpendiculares a , então

•

⃗

�_�

⃗

(40)

Circuitos RLC com gerador

• Método dos fasores

– Porém, , e

– De acordo com o diagrama, o

fasor faz um ângulo com , assim

– O fasor está em fase com a corrente, assim

(41)

Circuitos RLC com gerador

• Ressonância

– Quando a frequência do gerador é igual à frequência natural , é máxima. Nesse caso dizemos que o circuito está em ressonância. – Isso ocorre quando

(42)

Circuitos RLC com gerador

• Potência

– O indutor e o capacitor não dissipam energia. Assim, a potência média fornecida ao circuito é igual a potência fornecida ao resistor.

– Então

(43)

Circuitos RLC com gerador

• Potência

– Como e , a equação anterior pode ser escrita na forma

– O fator é denominado fator de potência. Na

ressonância, e a potência máxima fornecida ao resistor é máxima.

(44)

Circuitos RLC com gerador

• Potência

– Podemos também expressar a potência em termos da frequência :

– Pela definição de impedância, temos

(45)

Circuitos RLC com gerador

• Potência

– Assim, a potência média fornecida pelo gerador em função da

frequência é dada pela expressão acima.

– Quando a frequência do gerador é igual a frequência de ressonância, a potência média é máxima.

– As curvas dessa função são

denominadas curvas de ressonância.

(46)

Circuitos RLC com gerador

• O fator Q

– No oscilador mecânico, foi definido como

– Também pode ser escrito em termos da energia

– No circuito RLC, pode ser definido substituindo m por L e b por R

– Se a curva de ressonância for estreita (Q = 2 ou 3), podemos utilizar uma expressão aproximada para Q

(47)

Circuitos RLC com gerador

• Circuito RLC paralelo

– As tensões no resistor, no indutor e no capacitor são iguais.

– A corrente no resistor está em fase com à tensão.

– A corrente no indutor está atrasada de 90º em relação à tensão.

– A corrente no capacitor está adiantada de 90º em relação à tensão.

(48)

Circuitos RLC com gerador

– As correntes podem ser

representadas num diagrama de fasores.

– O módulo da corrente total vale

– Onde

(49)

Circuitos RLC com gerador

– Na ressonância e nesse caso . – Ou seja, a corrente total passa

a ser apenas a corrente no resistor.

(50)

O Transformador

• Tem a função de aumentar ou diminuir

a tensão em um circuito sem que haja uma grande dissipação de energia.

• Consiste de dois enrolamentos

compartilhando o mesmo núcleo de ferro.

• O enrolamento no qual é aplicado a tensão de entrada é chamado de primário.

• O outro enrolamento é chamado de secundário.

(51)

O Transformador

• O funcionamento do transformador se baseia no fenômeno da indutância mútua dos

circuitos.

• O núcleo de ferro concentra quase todo fluxo magnético produzido pelo primário.

• Se não houvesse dissipação de energia, toda a potência do primário (P = Vi) seria

transferida para o secundário.

• As perdas são pequenas e ocorrem devido a:

– resistências do enrolamento

– Correntes parasitas induzidas no núcleo – Histerese magnética do ferro

(52)

O Transformador

• Suponha um transformador ideal com eficiência de 100%. • Considere que V1 seja a

tensão fornecida ao primário com N1 espiras.

• O secundário tem N2 espiras.

• Aplicando a lei das malhas no circuito primário temos

(53)

O Transformador

• No circuito secundário temos

• Como os fluxos que atravessam os dois

enrolamentos são iguais, temos

• Ou seja,

(54)

O Transformador

• Se n > 1 , então V2 > V1 (transformador elevador

de tensão).

• Se n < 1, então V2 < V1 (transformador abaixador

de tensão).

• Se ligarmos uma resistência R nos terminais do secundário, surge uma corrente i2 que está em

fase com V2.

• Esta corrente dá origem a um fluxo adicional N2 nas espiras do secundário que se opõe ao

fluxo gerado pela corrente no primário.

• Como a tensão no primário é determinada pelo gerador, surge uma corrente adicional i1 no

primário para manter o fluxo magnético original N1.

(55)

O Transformador

• O fluxo no primário é proporcional a corrente adicional (N1i1).

• Como esse fluxo é igual ao fluxo adicional no secundário, temos • Desprezando as perdas no

transformador, temos que a potência de entrada é igual a potência de saída