FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES
NOTAS DE AULAS
A R I T M É T I C A
Estamos apresentando um roteiro de estudos com teoria e exercícios para os alunos da Graduação em Matemática e para os Professores que fazem a Pós – Graduação “Matemática para os Professores dos Ensinos Fundamental e Médio”, das Faculdades Integradas Campo-Grandenses.
Não temos a pretensão em desenvolver todos os conteúdos e exercícios de aritmética. Isto não é possível.
Esperamos que as notas de aula tenham os objetivos de alinhar os programas e indicar as atividades dos nossos cursos de Teoria dos Números e Aritmética.
Alzir Fourny Marinhos
O nosso sistema de numeração é de base dez. Cada dez unidades temos uma dezena; Cada dez dezenas temos uma centena;
Cada dez centenas temos uma milhar, e assim sucessivamente.
Uma quantidade pode ser representada por um numeral na base dez, mas pode ser também representada em outra base numérica.
COMO ESCREVER UM NUMERAL REPRESENTADO NA BASE DECIMAL NUMA BASE DIFERENTE DA DECIMAL?
Escrever 7 na base 2 (Explicação através da representação no ábaco e com algoritmo). No ábaco:
7 ( Na base 10)
Na base dois temos, para cada duas representações, uma representação na ordem seguinte à esquerda.
Tiramos duas representações das sete e marcamos uma na ordem seguinte; tiramos mais duas representações das 5 que ficaram e marcamos uma na ordem seguinte; tiramos mais duas representações das 3 que sobraram e marcamos uma na ordem seguinte, ficando apenas uma representação das sete.
Queremos deixar claro que estamos falando de ordem para fazermos o entendimento, mas, na realidade, a ordem só existe no sistema decimal. Ordem (de ordenação): u, d, c simples; u, d, c de milhar, etc.
Ficou uma representação na primeira ordem e ficaram três na segunda ordem. Temos:
Agora tiramos duas representações da segunda ordem e marcamos uma na ordem seguinte à esquerda.
1 1 1 ( Na base 2) No algoritmo: 7 2 1 3 2 1 1
O algoritmo é o que fizemos no ábaco.
Ao dividirmos 7 por 2 estamos encontrando 3 como quociente (representação na segunda ordem do ábaco) e resto 1 ( representação na primeira ordem do ábaco).
Ao dividirmos 3 por 2 estamos encontrando 1 como quociente (representação na terceira ordem do ábaco) e resto 1 (representação na segunda ordem do ábaco).
O numeral na base 2 é ( 1 1 1)2
Leitura : um, um, um, na base 2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
a) Escrever 12 na base 3 (Representação no algoritmo).
12 3
0 4 3 R: (110) 3
1 1
b) Escrever 145 na base 11 (Através do algoritmo).
145 11
2 13 11 R: (122) 11
2 1
c) Escrever 67523 na base 12 (Através do algoritmo). 67523 12
11 5626 12
10 468 12
0 39 12
COMO PASSAR UM NUMERAL PARA BASE DECIMAL, SENDO DADO NUMA OUTRA BASE NUMÉRICA?
Passar para nosso sistema de numeração decimal.
(1001) 2 (Explicação através do ábaco e do algoritmo)
No ábaco:
1 0 0 1 ( Na base 2)
Uma representação na quarta ordem representa duas representações na terceira ordem.
Cada representação na terceira ordem representa duas representações na segunda ordem.
Cada representação na segunda ordem representa duas representações da primeira ordem.
9 (Na base 10)
1 0 0 1 23 22 21 20
Veja que uma representação na quarta ordem corresponde oito representações na primeira ordem; uma representação na terceira ordem corresponde quatro representações na primeira ordem; uma representação na segunda ordem corresponde duas representações na primeira ordem; a representação da primeira ordem é ela mesma.
Daí:
1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 8 + 1 = 9 ( Na base 10).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1- Passar para o nosso sistema de numeração usando o algoritmo. a) ( 102)3 1 0 2 32 31 30 1 x 32 + 0 x 31 + 2 x 30 = 11 R: 11 b) (1234)5 1 2 3 4 53 52 51 50 1 x 53 + 2 x 52 + 3 x 51 + 4 x 50= 194 R: 194
2- Como podemos justificar a adição 37 + 45 no ábaco e no algoritmo. Justificativa no ábaco:
Ao agruparmos, na ordem da unidade simples, 7 e 5, temos 12 que ultrapassa 10.
Daí tirarmos 10 marcações, da unidade simples, sobrando duas marcações e substituirmos por uma na dezena simples.
Agora vamos agrupar, na dezena simples, 3 e 4. 8 2 Justificativa no algoritmo: 1 3 7 3 7 + 4 5 + 4 5 7 12 8 2
3- Como podemos justificar a subtração 403 – 124 no ábaco e no algoritmo. Justificativa no ábaco:
Representamos 403 no ábaco.
Na subtração devemos, na ordem unidade simples, tirar 4 unidades.
Como temos 3 unidades, devemos tirar uma unidade da ordem centena simples e passarmos 10 unidades ( 10 marcações) para a ordem dezena simples.
A seguir devemos tirar 1 unidade da ordem dezena simples e substituirmos 10 unidades na ordem unidades simples.
Agora podemos fazer a subtração tirando 4 unidades de 13 unidades na ordem unidade simples; tirando 2 unidades de 9 unidades na ordem dezena simples; tirando 1 unidade de 3 unidades na ordem dezena simples.
1 7 9 Daí termos 279 como o resto da subtração. Justificativa no algoritmo:
4 0 3 3 10 3 3 9 13 - 1 2 4 - 1 2 4 - 1 2 4
2 7 9
c) Como podemos justificar a multiplicação 123 x 12 no ábaco e no algoritmo. No ábaco:
Ao multiplicarmos três representações por 12 teremos 36 representações. Devemos deixar 6 e tirar 30, passando três representações para a segunda ordem.
Ao multiplicarmos duas representações por 12 teremos 24 representações. Adicionando as três representações que passamos da ordem anterior, ficamos com 27. Devemos deixar 7 e tirar 20, passando duas representações para a terceira ordem.
Ao multiplicarmos uma representação por 12 teremos 12 representações. Adicionando as duas representações que passamos da ordem anterior, ficamos com 14.
Daí o produto ser 1476. No algoritmo: 123 x12 246 1230 1476 Façamos 123 x ( 2 + 10) = 123 x 2 + 123 x 10 = 246 + 1230 = 1476.
Ao fazer, por exemplo, 123 x (232) teremos 123 x ( 2 + 30 + 200) = 246 + 3690 + 24600 = 28536
d) Como podemos justificar a divisão 2418 por 3 no ábaco e no algoritmo. No ábaco:
Não podemos dividir duas representações por 3. Então vamos passar para a ordem seguinte inferior. Duas representações indicam 20 e teremos 24. Agora podemos dividir 24 por 3 dando 8. Veja que não podemos dividir uma representação por 3. Passamos esta representação para a ordem inferior seguinte. Logo teremos 10 + 8 = 18, que dividido por 3 dá 6.
Veja o resultado da divisão: 0 8 0 6 No algoritmo: 24’18 3 0 1’ 18 806 0
Não podemos dividir 2 por 3. Fazemos 24 e dividimos por 3. Não podemos dividir 1 por 3. Fazemos 18 e dividimos por 3.
4 - Escreva o número 182 respectivamente nas bases 2, 8 e 12. Na base 2:
82 2 0 41 2 1 20 2 0 10 2 0 5 2 1 2 2 0 1 R: (1010010)2; Na base 8: 82 8 2 10 8 2 1 R: ( 122) 8 Na base 12: 82 12 10 6 R: (6 a) ; a = 10 5) Escrever 2154 na base 12.
2154 12 6 179 12 11 14 12 2 1 . R: ( 12b6) 12 6) Passe para o nosso sistema de numeração: a) (10121) 3 1 0 1 2 1
34 33 32 31 30 1 x 34 + 0 x 33 + 1 x 32 + 2 x 31 + 1 x 30 = 81 + 0 + 9 + 6 + 1 = 97 R: 97 b) (10ab) 12 onde a representa 10 e b representa 11. 1 0 10 11
123 122 121 120 1 x 123 + 0 x 12 2 + 10 x 121 + 11 x 120 = 1728 + 0 + 120 + 11 = 1859 R:1859 4) Escrever (2312)4 para base 6. Escrever (2312)4 para base 10 e depois passar para base 6. 2 x 43 + 3 x 42 + 1 x 41 + 2 x 40 = 128 + 48 + 4 + 2 = 182 182 6 2 30 6 (502)6 0 5 R: (502)6 5) Efetue: a) (1034)5 + (243) 5
Fazer analogia com a adição base decimal.
1 0 3 4
+ 2 4 3 1 2 7 7
Para que 1277 esteja na base 5 em cada “ordem” devemos ter 0, 1, 2 , 3 ou 4.
Para cada cinco unidades retirada de uma ordem passar uma unidade para a ordem seguinte à esquerda. 1 1 0 3 4 + 2 4 3 1 2 8 2 1 1 1 0 3 4 + 2 4 3 (1332)5 1 3 3 2 R: ( 1332) 5 b) ( 54302) 6 – ( 2134) 6
Fazer analogia com a subtração na base decimal.
5 2 6 6
5 4 3 0 2 - 2 1 3 4
Para que possamos fazer a subtração é necessário que em cada “ordem” o minuendo seja maior que o subtraendo.
Veja que dois é menor que quatro e não podemos retirar unidade de zero (ordem à esquerda de dois). Daí retirar uma unidade de três, ficando 2. Passar 6 unidades (base 6) para a ordem do zero e a seguir tirar uma unidade de seis, ficando 5. Passar seis unidades (base 6) para a ordem do 2.
A subtração ocorre agora da seguinte forma:
5 4 2 5 8 - 2 1 3 4
5 2 1 2 4 ( 52124)6
R: ( 52124)6
Passar os dois fatores para a base dez. Fazer a multiplicação na base dez e a seguir passar o produto para base inicial três.
Passar (122)3 para base 10: 17
Passar (21)3 para base 10: 7
Fazer a multiplicação 17 x 7: 119 Passar 119 para base três: (11102)3
R: (11102)3
d) (1211)3 : (21)3
Passar o dividendo e o divisor para a base dez. Fazer a divisão na base dez e a seguir passar o quociente e o resto para base inicial três.
Passar (1211)3 para base 10: 49
Passar (21)3 para base 10: 7
Fazer a divisão 49 x 7 : 7 ( resto zero) Passar 7 para base três: (21)3
R: (21)3
6) Determine b em cada um dos casos: a) ( 104) b = 8285
Veja que 8285 está na base dez.
Passar ( 104) b para base 10 para podermos ter a igualdade na mesma base dez.
1 x b2 + 0 x b1 + 4 x b0 = b2 + 4.
Igualar b2 + 4 com 8285 e resolver a equação.
b2 + 4 = 8285; b2 = 8281; b = 8281 ( a base deve ser positiva); b = 91
R: b = 91
Passar ( 30407) b para base dez: 3 b4 + 4 b2 + 7
Igualar 3b4 + 4b2 + 7 com 12551 e resolver a equação.
3b4 + 4b2 + 7 = 12551; 3b4 + 4b2 – 12544 = 0. Fazer b2 = t . 3 t 2 + 4 t – 12544 = 0 t = 64 6 388 4 6 388 4 6 150544 4 .
Veja que t negativo não convém, pois para calcular b teremos uma raiz quadrada de um números negativo, que não é possível no campo dos números reais.
Determinar b:
b2 = t; b 64. Daí b = 8 ( não temos b negativo) R: b = 8
7) O cubo de (12) bé ( 1750) b. Qual a base b?
Vamos passar (12)b para base 10 e elevar ao cubo. A seguir passar (1750)b para base dez.
Devemos igualar as duas expressões encontradas na base 10 e encontrarmos o valor de b. Passar (12)b para base 10: b + 2
Fazer (b+2) 3 = b3 + 7 b2 + 5b
Passar ( 1750) b para base 10: b3 + 7b2 5b
Resolver a equação b3 + 7 b2 + 5b = b3 + 7b2 5b: b2 – 7b – 8 = 0; b = 8 ( a base deve ser positiva)
R: 8
8) Determinar o valor de x sabendo-se que ( xxxx )3 = 80
Devemos passar ( xxxx )3 para base dez e igualar com oitenta, que está na base dez, e a
seguir resolver a equação em x.
x.33 + x.32 + x.31 + x.30 = 80
27x + 9x + 3x + x = 80 40x = 80
x =2
9) Determine a representação de M = ( 14654) b na base b+1.
É importante observar que estamos fazendo mudança de base e os procedimentos seguem a metodologia dos casos quando a base é numérica.
Passar (14654) bpara base 10.
1b4 + 4b3 + 6b2 + 5b1 + 4b0 = b4 + 4b3 + 6b2 + 5b + 4.
Vamos usar o algoritmo de Briot – Ruffini:
Passar b4 + 4b3 + 6b2 + 5b + 4 para base b+1.
Devemos dividir b4 + 4b3 + 6b2 + 5b + 4 por b+1. Teremos o quociente b3 + 3b2 + 3b + 2 e resto 2 (representado na segunda linha).
Devemos dividir b3 + 3b2 + 3b + 2 por b+1. Teremos o quociente b2 + 2b + 1 e resto 1 (representado na terceira linha).
Devemos dividir b2 + 2b + 1 por b+1. Teremos quociente b+1 e resto zero (representado na quarta linha).
Devemos dividir b + 1 por b+1. Teremos quociente 1 e resto zero ( representado na quinta linha). -1 1 4 6 5 4 -1 1 3 3 2 2 -1 1 2 1 1 -1 1 1 0 1 0
A representação de ( 14654) b na base b+1 é dada pelo último quociente 1 e os restos 0, 0,
1, 2, na sequência.
Daí teremos (10012) b+1
R: (10012) b+1
10) Se (A) 10 = (888. . .8) 9 ( k algarismos 8) e (B)10 = (222. . .2)3 ( k algarismos 2), então
quanto é B B A ? 888 . . . 8 tem k algarismos.
Vamos passar (888. . .8) 9 ( k algarismos 8) para base 10.
8 x 9k-1 + 8 x 9 k-2 + 8 x 9 k-3 + . . .+ 8 x 92 + 8 x 91 + 8 x 90 = (9-1) x 9k-1 + (9-1) x 9 k-2 + (9-1) x 9 k-3 + . . . + (9-1) x 92 + (9-1) x 91 + (9-1) x 90 = 9k – 9k-1 + 9k-1 – 9k-2 + 9k-2 - 9k-3 + . . .+ 93 – 92 + 92 – 91 + 91 – 1 = 9k -1
Esse procedimento é idêntico para passarmos (222. . .2)3 ( k algarismos 2) para base 10
resultando 3k -1. Temos A= 9k -1 e B = 3k -1. Logo k k k k k k k k k k B B A 3 1 3 ) 1 3 ( 3 1 3 ) 1 3 1 9 1 3 ) 1 3 ( ) 1 9 ( R: 3 k
12) Determine a base x, sabendo que : (136)x – (121)x = (153)x – (136)x R: x = 8.
x2 + 3x + 6 – ( x2 + 2x +1 ) = x2 + 5x+ 3 – ( x2 + 3x + 6) x2 + 3x + 6 – x2 - 2x - 1 = x2 + 5x+ 3 – x2 - 3x – 6 x + 5 = 2x – 3 - x = - 8 x = 8 R: x = 8.
13) Determine a base x, sabendo que : (122)x – (63)x = (151)x – (122)x
(122)x – (63)x = (151)x – (122)x ; x2 + 2x + 2 – ( 6x + 3) = x2 + 5x + 1 – ( x2 + 2x + 2) ; x2 +
2x + 2 – 6x - 3 = x2 + 5x + 1 – x2 - 2x – 2 ; x2 – x = 7; x( x – 7) = 0 ; x = 7 ( x = 0 não é base numérica)
R: x = 7.
14) Provar que (111) bdivide (10101) b.
Passar (111) b para base 10: b2 + b + 1.
Passar (10101) b para base 10: b4 + b2 + 1.
Dividir b4 + b2 + 1 por b2 + b + 1.
Fazendo a divisão desses polinômios encontramos quociente b2 – b + 1 e resto zero. Ao encontrar resto zero fica provado que (111) bdivide (10101) b.
15) Prove que:
a) em todo sistema de numeração de base b>2 o número ( 121 ) b é , na base 10, um
quadrado perfeito.
Veja que b pode ser 3, 4, 5, etc. Passar ( 121 ) b para base 10 :
b2 + 2b + b = (b+1)2
Veja que para qualquer b >2 temos (b+1)2, que é um quadrado perfeito.
b) em todo sistema de numeração de base b>3 o número ( 1331) b é , na base 10, um cubo
perfeito.
Veja que b pode ser 4, 5, 6, etc. Passar ( 1331 ) b para base 10 :
b3 + 3b2 + 3b + 1 = (b+1)3
