FILROS ATIVOS 2ª ORDEM

3. FILTROS DE SEGUNDA ORDEM.

São caracterizados por possuírem dois pares resistor (R) e capacitor (C) para atenuar os sinais elétricos.

A figura a seguir mostra a diferença entre um filtro passa baixa de primeira ordem e um filtro passa baixa de segunda ordem. Vemos que o filtro de ordem maior é mais próximo do filtro ideal.

IDEAL REAL 1ª ordem f (Hz) fc V V.0,707 ( V/ 2 ) 2ª ordem

Figura 6 – Comparação entre filtros de 1ª ordem e 2ª ordem.

Obs.: fc é a freqüência de corte. Ocorre, nos filtros reais, quando a tensão na saída do filtro, diminui para 70,7% do valor da tensão de entrada.

3.1. FILTRO PASSA BAIXA DE SEGUNDA ORDEM.

Circuito: V IN VOUT R1 C 2 C 1 R3 R2

Para o projeto do filtro passa baixa de segunda ordem utilizam-se as seguintes expressões de cálculo:

O ganho de tensão em malha fechada (AVf) é a mesma do amplificador inversor, mas consideramos em

módulo porque aqui nos interessa apenas a variação da

amplitude: 1 2 1 2 IN OUT Vf R R R R V V A = = =

Cálculo do capacitor C1. Adotar a seguinte fórmula para

obter valores coerentes de capacitores e resistores: f (emF) 10.10 C C -6 1 = Cálculo do capacitor C2: F) em ( 1) (A . 4 C . 2 C Vf 1 2 + = Cálculo do resistor R2: _{2.C 2.C -4.C .C .(A 1) .2. .f} (em ) 1) (A . 2 R c Vf 2 1 2 1 1 Vf 2 Ω π     + + + = Cálculo do resistor R1: (em ) A R R Vf 2 1 = Ω Cálculo do resistor R3: (em ) ) f . . 2 ( . R . C . C 1 R 2 c 2 2 1 3 Ω π =

Cálculo da freqüência de corte: (em z)

R . R . C . C . . 2 1 f 3 2 2 1 C H π =

Exemplo – Para o filtro a seguir, pede-se calcular os valores dos resistores e dos capacitores: V IN VOUT R1 C 2 C 1 R3 R2 Dados: VIN = 0,5 VP VOUT = 10 VP fC = 5 kHz

Resolução: a) Cálculo do capacitor: C -6 1 f 10.10 C = ⇒ 5000 10.10 C -6 1 = C1 = 0,002 µF C1 = 2 nF

b) Ganho de tensão em malha fechada (AVf): 20

0,5 10 V V A IN OUT Vf = = = c) Cálculo do capacitor C2: F 10 . 47,62 1) (20 . 4 10 . 2 . 2 1) (A . 4 C . 2 C -12 -9 Vf 1 2 = + = + = C2 = 47,62 pF c) Cálculo do resistor R2: C Vf 2 1 2 1 1 Vf 2 .f 2. . 1) (A . C . C . 4 -C . 2 C . 2 1) (A . 2 R π     + + + = 3 12 -9 -2 9 -9 -2 .5.10 2. . 1) .(20 .47,62.10 .2.10 4 -) 2.(2.10 .2.10 2 1) (20 . 2 R π     + + + = 1415,9 3 . 8.10 -8.10 0 2,828428.1 42 R 18 -18 -9 -2     + = R2 = 472665 Ω d) Cálculo do resistor R1: 20 472665 A R R Vf 2 1 = = R1 = 236332 Ω e) Cálculo do resistor R3: ) f . . 2 ( . R . C . C 1 R 2 C 2 2 1 3 π = ) 5.10 . . 2 ( . 472665 . 47,62.10 . 2.10 1 R 2 3 12 -9 -3 π = 10 . 44296 , 4 1 R 5 3 = ₋ R3 = 22507,5 Ω

3.2. FILTRO PASSA ALTA DE SEGUNDA ORDEM.

Permitem a passagem de sinais elétricos de alta freqüência. A figura a seguir mostra a diferença entre um filtro real e um filtro ideal:

IDEAL REAL f (Hz) fc V V.0,707 ( V/ 2 )

Figura 8 – Comparação entre o filtro ideal e o filtro real.

Circuito: V IN VOUT R1 C 2 C 1 R2 C 1

Figura 9 – Circuito do filtro passa alta de 2ª ordem.

Para o projeto do filtro passa alta de segunda ordem utilizam-se as seguintes expressões de cálculo:

Ganho máximo do filtro (K):

2 1 C C K = Cálculo do capacitor C1: (emF) f 10.10 C C -6 1= Cálculo do capacitor C2: (emF) K C C₂ = 1 Cálculo do resistor R1: (em ) .f ).2. C (2.C 2 R C 2 1 1 Ω π + = Cálculo do resistor R2: .R (em ) .f .2. .C .C 2 C 2.C R ₁ c 2 1 2 1 2 Ω π + =

A freqüência de corte é calculada pela expressão: (em z) ) C .(2.C .R 2. 2 f 2 1 1 C H + π =

Exemplo – Para o filtro a seguir, pede-se calcular os valores dos resistores e do capacitor: V IN VOUT R1 C 2 C 1 R2 C 1 Dados: VIN = 1,2 VP VOUT = 6 VP K = 5 fC = 2 kHz Resolução: a) Cálculo do capacitor C1: C -6 1 f 10.10 C = ⇒ 2000 10.10 C -6 1 = C1 = 0,005 µF C1 = 5 nF b) Cálculo do capacitor C2: (emF) K C C₂ = 1 ⇒ 5 5.10 C -9 2 = C2 = 1.10-9 F C2 = 1 nF c) Cálculo do resistor R1: ) em ( .f ).2. C (2.C 2 R C 2 1 1 Ω π + = 3 9 -9 -1 .2.10 ).2. .10 1 (2.5.10 2 R π + = 3 9 -1 .2.10 .2. 11.10 2 R π = R1 = 10230,9 Ω d) Cálculo do resistor R2: ) em ( R . .f .2. .C .C 2 C 2.C R ₁ c 2 1 2 1 2 Ω π + = 3 9 -9 --9 -9 2 .2.10 .2. .10 1 . .5.10 2 .10 1 2.5.10 R π + = 15 -9 2 10 . 8576 , 88 11.10 R − =

3.3. FILTRO PASSA FAIXA DE SEGUNDA ORDEM.

Permitem a passagem de sinais elétricos em uma faixa determinada de freqüência (entre f1 e f2). Um filtro passa faixa será sempre de segunda ordem ou superior, o motivo é que são necessários pelo menos dois filtros de primeira ordem, um passa baixa e um passa alta, formando então um filtro de segunda ordem. A figura a seguir mostra a diferença entre um filtro real e um filtro ideal:

IDEAL REAL f (Hz) V V.0,707 ( V/ 2 ) f1 f2 BW _{BW = f2 - 1f} f0

Figura 10 – Comparação entre o filtro ideal e o filtro real.

Onde: BW – Band Width (Largura da Banda de Freqüência); f0 – Freqüência central;

f1 – Freqüência de corte inferior; f2 – Freqüência de corte superior.

Circuito: V IN VOUT R2 C R3 C R1

Figura 11 – Circuito do filtro passa faixa de 2ª ordem.

Para o projeto do filtro passa faixa de segunda ordem utilizam-se as seguintes expressões de cálculo:

Escolher o valor do ganho do filtro (K) obedecendo a seguinte condição: Ganho máximo do filtro (K): K <2.Q2

O valor do ganho do filtro também pode ser obtido a partir de R1 e R2: Ganho máximo do filtro (K):

1 3 2.R R K =

Freqüência central (f0): (emHz) 2

f f f₀ = 1+ 2

Largura da banda de frequência (BW): BW=f₂-f₁ (emHz)

Índice de mérito (Q): BW f Q= 0 ou: 2 K 4.R R Q 2 3 ₊ =

O índice de mérito Q indica a qualidade do filtro. Quanto maior for o valor de Q, melhor será a qualidade do filtro.

Índice Q alto Alta qualidade

f (Hz) V V.0,707 ( V/ 2 ) f1 BW f0 f2

Índice Q baixo Baixa qualidade

f (Hz) V V.0,707 ( V/ 2 ) f1 BW f0 f2

Figura 12 – Comparação com fatores de qualidades diferentes.

Frequência de corte superior: (emHz) 2.Q

f f f₂ = ₀ + 0

Frequência de corte inferior: (emHz) 2.Q

f -f f₁ = ₀ 0

Cálculo do capacitor C. Adotar a seguinte fórmula para

obter valores coerentes de resistores: f (emF) 10.10 C 0 -6 = Cálculo do resistor R1: (em ) .C.K .f 2. Q R 0 1 Ω π = Cálculo do resistor R2: (em ) K) -.C.(2.Q .f 2. Q R 2 0 2 Ω π = Cálculo do resistor R3: (em ) .f C. Q R 0 3 Ω π =

Exemplo – Para o filtro a seguir, pede-se calcular: f0, BW, Q, C, R1, R2 e R3. V IN VOUT R2 C R3 C R1 Dados: f1 = 45 kHz f2 = 55 kHz K = 10 Resolução: a) Cálculo da freqüência central (f0): ₂ f f f₀ = 1+ 2 → 2 45.10 55.10 f 3 3 0 = + kHz 0 5 f₀ = b) Cálculo da largura da banda (BW): BW =f2-f1 → BW =55.103-45.103 BW =10kHz

c) Cálculo do índice de mérito (Q):

BW f Q= 0 → 3 3 10.10 50.10 Q = Q =5 d) Cálculo do capacitor C: 200.10 F 50.10 10.10 f 10.10 C -12 3 -6 0 -6 = = = C =200pF e) Cálculo do resistor R1: .10 .200.10 .50.10 2. 5 .C.K .f 2. Q R 12 -3 0 1 π = π = Ω =7957,75 R₁ f) Cálculo do resistor R2: 10) -.(2.5 .200.10 .50.10 2. 5 K) -.C.(2.Q .f 2. Q R 2 12 -3 2 0 2 π = π = Ω =1989,43 R₂ g) Cálculo do resistor R3: .50.10 . 200.10 5 .f C. Q R 3 12 -0 3 π = π = R₃ =159154Ω

Exercícios.

1) Para o filtro a seguir, pede-se calcular o ganho de tensão em malha fechada (AVf) e a freqüência de corte (fc): V IN VOUT R1 C 2 C 1 R3 R2 Dados: R1 = 50 kΩ R2 = 50 kΩ R3 = 50 kΩ C1 = 0,01 µF C2 = 0,01 µF

Obs.: Utilize a expressão (em z)

R . R . C . C . . 2 1 f 3 2 2 1 C H π = para obter fc. (Resp.: AVf = 1 ; fc = 318,3 Hz)

2) Para o filtro a seguir, pede-se calcular o ganho máximo do filtro (K), o índice de mérito (Q), freqüência central (f0), frequência de corte inferior (f1) e a frequência de corte supeiror (f2): V IN VOUT R2 C R3 C R1 Dados: R1 = 50 kΩ R2 = 50 kΩ R3 = 50 kΩ C = 0,01 µF

Obs.: Ganho máximo do filtro (K):

1 3 2.R R K = (Resp.: K = 1 ; Q = 1 ; f0 = 318,3 Hz; f1 = 159,15 Hz e f2 = 477,46 Hz)