Conteúdo
Tipos de filtros
Filtro Butterworth
Filtro Chebyshev
Definição
Filtros são circuitos que permitem a passagem de sinais de
certas frequências, ao mesmo tempo que rejeitam outras faixas
de frequência. Isso se conhece como
seletividade
.
• Os filtros ativos utilizam transistores ou amplificadores
operacionais combinados com circuitos RC, RL o RLC
passivos.
• Os dispositivos ativos proporcionam ganho de tensão, e, os
Os filtros mais utilizados são:
- Filtros passa baixas
- Filtros passa altas
- Filtros passa faixa
- Filtros supressores de faixa
Outros tipos de filtros são os
filtros passivos
, que foram os primeiros a
serem utilizados (
filtros LC passivos
).
• Filtros passivos funcionam bem em altas frequências.
Portanto, utilizam-se mais os filtros ativos RC e filtros baseados
em capacitores chaveados.
• Para fabricação monolítica, os filtros chaveados são mais
viáveis.
Filtro passa baixas.
A figura a seguir mostra a resposta do filtro passa baixas.
•
O filtro permite a passagem de frequências até a frequência
Resposta de um filtro
RC básico passa
baixas (passivo).
Resposta ideal do filtro (área sombreada) e resposta real.
Resposta de um filtro RC de um pólo
Banda de paso
Região da banda de rejeição
Banda de passo
Região de
transição
Neste caso, o filtro tem somente um pólo. Assim a pendente é de -20 dB/dec. • Obviamente a resposta não é adequada visto que muitas frequências ainda
poderão ser passadas pelo filtro.
• A melhora das características do filtro pode ser obtida somente com filtros ativos. • A pendente, nesse caso, dependerá do número de pólos da função de
transferência do filtro.
Filtros passa altas
Atenuam frequências abaixo da frequência de corte e permitem o passo de
frequências acima de fc.
Resposta de um filtro
passa altas básico
(passivo).
Banda de passo
Ganho normalizado a 1
Resposta norma-lizada de um filtro
RC de 1 pólo
Filtro passa faixa
Permite a passagem de frequências dentro de uma banda
(faixa) de frequências específica. Frequências fora dessa faixa
são rejeitadas.
A largura da faixa passante é dada por:
A frequência central é dada pela média geométrica das
frequências de corte:
• Define-se o
fator de qualidade
do filtro passa faixa como:
• Esse fator é um indicativo da seletividade do filtro.
1
2 c
c
f
f
BW
=
−
2 1
.
c co
f
f
f
=
BW
f
• A maiores valores de Q mais estreita será a banda passante
e, portanto, melhor a seletividade.
Filtro supressor de faixa
Ao contrario de um filtro passa faixa, este filtro rejeita as
frequências dentro de uma largura de faixa específica,
permitindo a passagem de frequências fora dessa faixa. A figura
Resposta do filtro
Especificações de filtros
O projeto de um filtro começa pela especificação das
características de transmissão.
• A realização física de um filtro não consegue transmissão
constante em todas as frequências da banda passante.
• Contudo, as especificações permitem o desvio na banda
passante de 0 dB limitado ao valor de
A
max(tipicamente de
0.05 a 3 dB).
• De forma similar, o circuito do filtro não fornece transmissão
• Contudo,
sinais
na
banda
de
rejeição
devem ser atenuadas a
pelo menos
A
mindB em
relação
ao
sinal
na
banda passante.
•
A
minpode estar na faixa de 20 a 100 dB.
• Observe que
A
miné medida desde
ω
paté
ω
s.
• A relação ωs/ωp é uma medida de quão abrupta é a resposta do filtro é, e se conhece como fator de seletividade do filtro.
Em resumo, a transmissão de um filtro passa baixas é especificada por quatro
parâmetros:
- Banda passante, ωp;
- Máxima variação permitida na banda passante, Amax;
OBS:
Melhor
a
resposta
do
filtro
em
termos
destas
especificações, implica em filtros de ordem superior:
mais
complexos e custosos.
O processo de obter uma função de transferência que satisfaça
as especificações dadas é conhecido como
Aproximação do
Filtro
(processo
usualmente
feito
usando
programas
de
computador).
A figura a seguir mostra as especificações de transmissão para
um filtro passa banda, bem como a resposta de um filtro que
Neste caso particular, a
função não apresenta
ripple na banda passante
Função de transferência.
A função de transferência é escrita como a relação de dois
polinómios:
• A ordem do filtro é dada pelo grau do denominador.
• Para um filtro ser estável, o grau do numerador deve ser igual
ou menor que o grau do denominador.
• Os coeficientes da função são números reais.
• As raízes do numerador são os zeros da função de transferência.
• As raízes do denominador são os pólos da função de transferência ou
modos naturais.
• Cada pólo ou zero pode ser um número real ou um número complexo.
• Sendo números complexos, cada pólo ou zero deverá ocorrer em pares
conjugados complexos.
• Os zeros de transmissão são usualmente colocados no eixo jω em frequências correspondentes a frequências na faixa de supressão.
) )...( )( ( ) )...( )( ( ) ( 2 1 2 1 N M M p s p s p s z s z s z s a s T − − − − − − =
transmissão zero em duas frequências: ωl1 e
ωl2.
• Dessa forma, o filtro deve ter zeros de
transmissão em s = +j ωl1, e s = +j ωl2 .
• Pelo fato de serem zeros complexos, devem existir também zeros em
s = -j ωl1, e s = -j ωl2 .
• Portanto, o polinómio terá fatores:
Que podem ser escritos como:
)
)(
)(
)(
(
s
+
j
ω
l
1s
−
j
ω
l
1s
+
j
ω
l
2s
−
j
ω
l
2)
)(
Para frequências físicas:
Observe que de fato a função de transferência é zero nas frequências ω = ωl1, e ω = ωl2 . O padrão de pólos e zeros é como indicado na figura:
)
)(
(
−
ω
2+
ω
2l
1−
ω
2+
ω
2l
2Padrão de pólos e zeros da função
de transferência de um filtro passa
22
Filtro PB Butterworth
• Exibe transmissão monoliticamente decrescente, com todos os zeros de
transmissão em ω = ∝ (tipo conhecido como filtro all pole).
A função de transferência é dada
por:
Em ω = ωp:
23
Portanto, o parâmetro ε determina a máxima variação da transmissão na
banda passante.
O valor de Amax pode ser determinado em função de ε.
OBS: O máximo desvio na banda passante do filtro na resposta Butterworth
ocorre na frequência de corte.
OBS: Pode ser mostrado que as primeiras 2N-1 derivadas de |T| em relação a
ω, são zero em ω = 0.
• Esta propriedade faz da resposta Butterworth muito plana nas
proximidades de ω = 0. Daí o nome de resposta maximamente plana.
2 max = 20log 1+
ε
A
1 10 max/10 −
= A
mais plana com o incremento da ordem do filtro (ver figura).
Resposta para varias ordens do
Na frequência da banda de rejeição, ω = ωs, a atenuação do filtro Butterworth é dada por:
• Esta equação é utilizada para determinar a ordem do filtro que
corresponde ao menor valor inteiro de N que produz A(ωs) ≥ Amin.
] ) / ( 1 1 log[ 20 ) ( 2 2 N s p s A
ω
ω
ε
ω
+ − = ] ) / ( 1 log[ 10 )( s 2 s p 2N
encontrados utilizando uma construção gráfica mostrada na figura:
Os modos naturais estão sobre um círculo
de radio:
Também, os modos naturais estão
espaçados por ângulos iguais de π/N a partir do eixo jω. Somente o primeiro pólo está em um ângulo de π/2N.
• Visto que todos tem a mesma distância
radial a partir da origem, então tem a
mesma frequência: N
p
1
) / 1
( ε
ω
N p
o
1
) / 1
( ε
• Encontrados os modos naturais do filtro, a função de transferência pode
ser escrita:
Com K sendo uma constante igual ao ganho DC do filtro.
Procedimento Geral: Para encontrar a função de transferência que
satisfaz as especificações de transmissão, podem ser executadas as
seguintes etapas:
1. Determine ε com a equação:
) )...( )( ( ) ( 2 1 N o p s p s p s K s T N − − − =
ω
1 10 max/10 −= A
2. Utilize a equação para calcular a atenuação (ordem do filtro):
3. Use a figura da construção gráfica para determinar os pólos
] ) / ( 1 log[ 10 )
( s 2 s p 2N
A
ω
= +ε
ω
ω
4. Utilize a equação de T(s) para encontrar
a função de transferência:
Exemplo: Encontre a função de transferencia Butterworth que satisfaz
as seguintes especificações de um filtro PB:
fp = 10 KHz, Amax = 1 dB, fs = 15 KHz, Amin = 25 dB, ganho DC = 1.
R/. Os pólos tem frequência:
Substituindo Amax na equação (1), pode-se calcular ε:
ε = 0.5088
Com a equação (2) calcula-se a ordem do filtro:
Com N = 8 tem-se A(ωs) = 22.3 dB
Com N = 9 tem-se 25.8 dB
Portanto, seleciona-se N = 9.
A figura a seguir mostra a construção gráfica para determinar os pólos:
N p
o
1
) / 1
( ε
9 / 1 3 1 ) 5088 . 0 1 )( 10 10 )( 2 ( ) / 1 ( = ×
= ω ε π
ω N p o ) 10 773 , 6
( × 4
=
o
ω rad/s
Assim, o primeiro pólo é: p1 = ωo(-cos80o + Jsen80o)
p1 = ωo(-0.1736 + j0.9848)
Combinando p1 com seu conjugado complexo p9 tem-se:
O procedimento é repetido para os pólos restantes, produzindo a seguinte função de transferência:
) 3472
. 0
) 3472 . 0 )( ( ) 5321 . 1 )( 8794 . 1 )( ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 o o o o o o o o o s s s s s s s s s s T
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+ + + + + + × + + + =• Pode ser visto então que no caso do filtro Butterworth, podem ser
utilizadas expressões que permitem o cálculo da função de transferência
sem necessidade de cálculo por computador ou tabelas de filtros. O
Filtro Chebyshev.
A reposta do filtro Chebyshev apresenta ripple na banda passante e uma
transmissão monotonicamente decrescente na faixa de rejeição.
• Observe que o filtro de ordem impar tem |T(0)| = 1, e o filtro de ordem par
tem um desvio máximo em ω = 0.
• O número de máximos e mínimos da resposta do filtro é igual à ordem do
filtro (N).
• Todos os zeros de transmissão estão em ω = ∝ (filtro all pole).
A magnitude da função de transferência é dada por:
( )
] cos[ cos 1
1 )
(
1 2
2
p
N j
T
ω
ω
ε
ω
−
+
( )
] cosh [ cosh 1 1 ) ( 1 2 2 p N j Tω
ω
ε
ω
− += para ω ≥ωp
Em ω = ωp,
Portanto, o parâmetro ε determina o ripple na banda passante:
Também: 2 1 1 ) (
ε
ω
+ = j T ) 1 log( 10 2max = +
ε
A
1 10 max10 − = A
A atenuação obtida com este filtro na faixa de rejeição é dada por:
Esta equação é usada para encontrar a ordem N do filtro para obter uma
determinada atenuação Amin, encontrando o menor valor inteiro de N que
produz A(ωs) ≥ Amin.
• Incrementando a ordem N do filtro, obtém-se uma resposta que se
aproxima da resposta ideal do filtro.
Os pólos do filtros são dados por:
))] / ( cosh ( cosh 1 log[ 10 )
( 2 2 N 1 s p
A
ω
s = +ε
−ω
ω
− + − − = − −
ε
π
ω
ε
π
ω
1 1 cosh 2 1 2 cos 1 1 2 1 2 1 1 senh N N k j senh N senh N k sen p p p kPor fim, a função de transferência pode ser escrita como:
Onde K é o ganho em DC.
O procedimento pode ser resumido assim: 1. Determine ε da equação:
2. Utilize a equação de A(ωs) para encontrar a ordem do filtro:
) )...( )( ( 2 ) ( 2 1 1 N N p p s p s p s K s T N − − − = −
ε
ω
1 10 max10 − = Aε
(1) ))] / ( cosh ( cosh 1 log[ 10 )( 2 2 N 1 s p
38
4. Determine a função de transferência usando a equação:
OBS: O filtro Chebyshev fornece uma aproximação mais eficiente que o filtro
Butterworth. Por tanto, para a mesma ordem do filtro, e igual Amax, o filtro Chebyshev fornece maior atenuação na faixa de rejeição.
Em outras palavras, para satisfazer especificações idênticas, o filtro Chebyshev requer uma ordem N menor comparado com o Butterworth.
39
Funções de transferência de primeira ordem
• Funções de primeira ordem junto com funções de segunda ordem
permitem implementar filtros de ordem superior colocando em cascata
várias dessas seções.
• Este método é muito utilizado no projeto de filtros ativos.
• Visto que os pólos do filtro ocorrem em pares conjugados complexos, uma
função de transferência de ordem superior pode ser fatorada como o
produto de funções de segunda ordem.
• Caso a função de transferência seja impar, haverá uma função de
transferência de primeira ordem também.
• As etapas podem ser colocadas em cascata visto que a impedância de
saída do amp-op é baixa, e portanto, não cambia as funções de
• Dessa forma, a função de transferência do sistema em cascata
corresponde ao produto das funções de transferência dos blocos
individuais, o que de fato corresponde com a função de transferência
original.
A função de transferência de primeira ordem é dada por:
- Essa função de transferência tem um modo natural em s = -ωo. - Tem um zero de transmissão em s = -ao/a1.
- Ganho de alta frequência que se aproxima de a1.
- Coeficientes do numerador ao e a1 determinam o tipo de filtro.
o o
s
a s
a s
T
ω
+ +
= 1
41 PB
PA
Resposta geral
42
Outro caso especial de filtros de primeira ordem é o filtro passa tudo (all pass)
• O zero de transmissão e o pólo estão simetricamente localizados em
relação ao eixo jω.
Resposta do filtro all pass
Observe que apesar que a transmissão é constante para todas as frequências, sua fase mostra seletividade em frequência.
• Assim, são usados como deslocadores de fase, bem como em sistemas que
requerem formatação de fase (equalizadores de atraso – aqueles que causam que o atraso de propagação de um sistema seja constante com a frequência).
Filtros de segunda ordem
Tem a função de transferência da forma:
2 2
1 2
2
) (
o o
o
w s
Q s
a s
a s
a s
T
+ +
+ +
• ωo e Q determinam os modos naturais, em conformidade com a equação:
• Pólos conjugados complexos obtidos para Q ≥ 0.5.
• Observa-se na seguinte figura, que ωo corresponde à distância radial desde a origem dos modos naturais. ωo corresponde à frequência do pólo.
) 4
/ 1 ( 1 2
, 2 2
1 j Q
Q p
p o
o
− ±
−
• O fator de qualidade, Q, determina a distância dos pólos em relação à origem.
• Assim, um valor infinito de Q coloca os pólos sobre o eixo jω, podendo causar oscilações.
• Um valor negativo de Q implica que os pólos estarão no semi-plano direito, e portanto, causando oscilação.
PB
PA
47
• No caso do filtro PB, os dois zeros de transmissão estão em s = ∝. • Caso ocorra pico na magnitude, acontecerá quando Q > 1/√2.
• Para o caso de Q = 1/√2, a resposta será do tipo Butterworth ou resposta maximamente plana.
• A resposta PA tem os zeros de transmissão em s = 0 (DC). A resposta exibe um pico para Q > 1/ √2.
• O filtro Passa banda tem um zero de transmissão em s = 0 (DC) e outro em s = ∝. • A frequência central desse filtro é igual a ωo.
• A seletividade é medida nos pontos de -3 dB Especificamente:
e,
Q
Q o
o
2 )
4 / 1 ( 1
, 2 2
1
ω
ω
ω
ω
= + ±Q BW =
ω
2 −ω
1 =ω
oObserve que incrementando Q, a largura de
banda decresce, e, portanto, o filtro é mais
