Franciele Cicconet
PROGRAMAÇÃO SEMIDEFINIDA APLICADA AO PLANEJAMENTO DE MÉDIO PRAZO DE SISTEMAS
PREDOMINANTEMENTE HIDRELÉTRICOS
Florianópolis Setembro, 2018
PROGRAMAÇÃO SEMIDEFINIDA APLICADA AO PLANEJAMENTO DE MÉDIO PRAZO DE SISTEMAS
PREDOMINANTEMENTE HIDRELÉTRICOS
Tese submetida ao Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica para a obtenção do Grau de Doutor em En-genharia Elétrica.
Orientador: Profa. Katia Campos de Almeida, Ph.D.
Universidade Federal de Santa Cata-rina
Florianópolis Setembro, 2018
Cicconet, Franciele
Programação Semidefinida Aplicada Ao Planejamento de Médio Prazo de Sistemas Predominantemente Hidrelétricos / Franciele Cicconet ; orientadora, Katia Campos de Almeida, 2018.
163 p.
Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós
Graduação em Engenharia Elétrica, Florianópolis, 2018. Inclui referências.
1. Engenharia Elétrica. 2. Planejamento da operação de médio prazo de sistemas hidrotérmicos. 3. Programação semidefinida. 4. Programação estocástica e otimização bi-nível. I. Campos de Almeida, Katia . II. Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica. III. Título.
PROGRAMAÇÃO SEMIDEFINIDA APLICADA AO PLANEJAMENTO DE MÉDIO PRAZO DE SISTEMAS
PREDOMINANTEMENTE HIDRELÉTRICOS
Esta Tese foi julgada aprovada para a obtenção do Título de Doutor em Engenharia Elétrica, e aprovada em sua forma nal pelo Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica.
Florianópolis, 21 de Setembro, 2018.
Prof. Dr. Bartolomeu Ferreira Uchoa-Filho Coordenador
Universidade Federal de Santa Catarina Banca Examinadora:
Profa. Katia Campos de Almeida, Ph.D. Universidade Federal de Santa Catarina
Relator
Prof. Paulo Augusto Valente Ferreira, Dr. Universidade Estadual de Campinas
Prof. Antônio J. A. Simões Costa, Ph.D Universidade Federal de Santa Catarina
Prof. Roberto de Souza Salgado, Ph.D Universidade Federal de Santa Catarina
Prof. Hans Helmut Zürn, Ph.D. Universidade Federal de Santa Catarina
Primeiramente gostaria de agradecer minha orientadora Katia Campos de Almeida. Sua riqueza de conhecimento, experiência e dedi-cação foram muito importantes pra mim nessa jornada da pesquisa.
Agradeço os professores Leonardo S. A. Martins, Paulo A. V. Ferreira, Antônio J. A. Simões Costa, Roberto S. Salgado e Hans H. Zürn pela disposição em participar da minha banca de avaliação, pelos seus valiosos comentários e contribuições feitos a este trabalho.
Meus sinceros agradecimento a todos os meus professores em to-dos os estágios de minha educação, que me inspiraram a sempre crescer e me tornar a pro ssional que sou hoje.
Foi um prazer ter sido parte do Laboratório de Sistemas de Po-tência, onde z bons amigos. Agradeço em especial Kauana Palma e Vitor Couto, pelas constantes conversas e ajuda para tornar o dia-a-dia da pesquisa muito mais agradável. Sou eternamente grata à todos os companheiros de jornada que de alguma maneira contribuíram para a conclusão deste trabalho.
Meus mais profundos agradecimentos vão à minha família. Aos meus pais Mário e Ivonilde pelo apoio incondicional nos momentos de maiores desa os, me mostrando o quanto era importante estudar, mesmo não tendo eles a mesma oportunidade; e ao meu irmão Marcelo, pelo suporte, exemplo e companheirismo recebidos mesmo na distância. À eles devo tudo o que sou.
Sou grata também à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pela bolsa de estudos de doutorado.
A busca por melhorias na operação dos sistemas elétricos é constante. Novos modelos surgem como alternativas às estratégias vigentes bus-cando formas de promover uma maior e ciência no provimento da ener-gia elétrica, vital para todos os setores da sociedade. Em se tratando de sistemas com predomínio de geração hidrelétrica, as estratégias de operação devem considerar características especí cas deste tipo de ge-ração, entre elas, a natureza estocástica dos recursos hídricos, a pos-sibilidade de armazenamento da energia disponível nos reservatórios e as inter-relações das usinas localizadas numa mesma bacia hidrográ- ca. O presente trabalho analisa o uso de programação semide nida para resolver o problema de planejamento da operação de um sistema predominantemente hidrelétrico no horizonte de médio prazo. O plane-jamento da operação é feito de acordo com dois modelos não lineares de otimização estocástica de dois estágios. O primeiro modelo representa o despacho impositivo e o segundo modelo representa uma situação de equilíbrio entre os interesses dos agentes geradores e as restrições e ob-jetivos do operador do sistema. O uso de programação semide nida permite encontrar um mínimo global ou um limitante inferior para o custo da solução desses problemas. São analisados resultados obtidos com diferentes partições do sistema de usinas hidrelétricas do Brasil. Palavras-chave: Planejamento da operação de médio prazo de siste-mas hidrotérmicos, programação semide nida, programação estocástica e otimização bi-nível.
The search for improvements in the operation of electrical systems is constant. New models appear as alternatives to current strategies, se-eking ways to promote greater e ciency in the provision of electricity, vital for all sectors of society. In the case of systems with a predomi-nance of hydroelectric generation, the operational strategies must con-sider speci c characteristics of this type of generation, among them, the stochastic nature of water resources, the possibility of storage of the available energy in the reservoirs, and the interrelationships of the plants located in the same river basin. The present work analyzes the use of semide nite programming to solve the problem of planning the operation of a predominantly hydroelectric system in the medium term horizont. The planning of the operation is done according to two non-linear, two-stage stochastic optimization models. The rst model represents an imposed dispatch and the second model represents a ba-lance between the interests of the generating agents and the constraints and objectives of the system operator. The use of semide nite program-ming allows nding a minimum or minimum threshold for the cost of solving these problems. The results obtained with dierent partitions of the Brazilian hydroelectric system are analyzed.
Keywords: Planning the medium-term operation of hydrothermal sys-tems, semide nite programming, stochastic programming and bi-level optimization.
Figura 2.1 Árvore de decisões para o problema de despacho
hidro-térmico de múltiplos estágios. . . 45
Figura 2.2 Árvore de decisões para programação estocástica em dois estágios. . . 46
Figura 2.3 Jogo multi-líder-seguidor-comum (CICCONET, 2013). . . 53
Figura 3.1 Grá co do problema (3.1) . . . 64
Figura 3.2 Grá co do problema (3.2) . . . 65
Figura 3.3 Cone convexo . . . 68
Figura 3.4 Grá co do problema (3.42) . . . 76
Figura 3.5 Minimização de p(x) . . . 81
Figura 3.6 Sistema-teste para cliques maximais. . . 90
Figura 3.7 Estrutura esparsa do problema - Ordenação Original. . 90
Figura 3.8 Matriz de dispersão correlativa reordenada e grafo as-sociado. . . 91
Figura 5.1 Topologia dos sistemas.. . . 111
Figura 5.2 Cargas nos sistemas. . . 112
Figura 5.3 Despachos SH2. (a) PSD Otimista, (b)Recuperação -Método 1, (c) Recuperação - -Método 2, (d) CONOPT.119 Figura 5.4 Valores otimistas - BLS . . . 119
Figura 5.5 Recuperção - Método 1. . . 120
Figura 5.6 Resultados recuperados com CONOPT. . . 120
Figura 5.7 Inicialização CONOPT - Valores otimistas. . . 121
Figura 5.8 Despacho descentralizado (Valores médios): (a) CO-NOPT, (b) PSD Otimista, (c) Recuperação - Método 4. . . 127
Figura 5.9 Despacho centralizado (Valores médios): (a) CONOPT, (b) PSD Otimista, (c) Recuperação - Método 1. . . 128
Figura 5.10 Valores médios de vazão turbinada, vertida e volume no D. Descentralizado: (a) CONOPT, (b) PSD Otimista, (c) Recuperação - Método 4. . . 129
Figura 5.11 Valores médios de vazão turbinada, vertida e volumes no D. Centralizado: (a) CONOPT, (b) PSD Otimista, (c) Recuperação - Método 1. . . 130 Figura 5.12 Ofertas versus Geração - CONOPT: (a) A. Vermelha,
lha, (b) Capivara, (c) I. Solteira e (d) Jupiá.. . . 132 Figura 5.14 Ofertas versus Geração - PSD REC2: (a) A. Vermelha,
(b) Capivara, (c) I. Solteira e (d) Jupiá. . . 133 Figura 5.15 Impacto das restrições adicionais.. . . 134
Tabela 5.1 Despacho Centralizado - Modelos PSD . . . 110
Tabela 5.2 Despacho Descentralizado - Modelos PSD . . . 110
Tabela 5.3 Número de Variáveis . . . 113
Tabela 5.4 Soluções - Despacho Centralizado . . . 113
Tabela 5.5 Múltiplas Soluções - Sistema HS15 . . . 113
Tabela 5.6 Impacto do Escalonamento e das Restrições Adicionais114 Tabela 5.7 Soluções factíveis - CONOPT . . . 114
Tabela 5.8 Tempo Processamento - Casos da Tabela 5.6 . . . 115
Tabela 5.9 Custos Otimistas ($) . . . 115
Tabela 5.10 Custos ($) - GAMS . . . 116
Tabela 5.11 Máximas diferenças na geração hidrelétrica (MW) . . . . 117
Tabela 5.12 Tempo de Processamento - Casos da Tabela 5.9 . . . 118
Tabela 5.13 Custos ($) - Solução Factível PSD. . . 118
Tabela 5.14 Número de Variáveis - Despacho Descentralizado . . . 122
Tabela 5.15 Número de Variáveis (3 períodos e 2 cenários) . . . 122
Tabela 5.16 Soluções CONOPT (T=3, Nω= 2) . . . 123
Tabela 5.17 Soluções Otimistas (T=3, Nω= 2) . . . 123
Tabela 5.18 Soluções Factíveis (T=3, Nω= 2) . . . 124
Tabela 5.19 Norma Euclideana (T=3, Nω= 2). . . 125
Tabela 5.20 Solução Otimista (T=12, Nω= 3) . . . 125
Tabela 5.21 Soluções CONOPT (T=12, Nω= 3). . . 125
Tabela 5.22 Soluções Factíveis PSD (T=12, Nω= 3) . . . 126
Tabela 5.23 Norma Euclideana (T=12, Nω= 3). . . 126
Tabela 5.24 Melhores Soluções ($)- Despacho Centralizado . . . 134
Tabela 5.25 Melhores Soluções - D. Descentralizado (t = 3, Nω= 2)135 Tabela 5.26 Melhores Soluções - D. Descentralizado (t = 12, Nω= 3) . . . 135
Tabela C.1 Dados - Sistema Furnas . . . 161
Tabela C.2 Constantes da função de produção - Furnas. . . 161
Tabela C.3 Dados - Térmica (Furnas) . . . 161
Tabela C.4 Dados - Sistema HS4 . . . 161
Tabela C.8 Dados - Sistema HS7 . . . 162
Tabela C.9 Constantes da função de produção - HS7 . . . 162
Tabela C.10Dados - Sistema HS15/HS20 . . . 163
Tabela C.11Constantes da função de produção - HS15/HS20. . . 163
ONS Operador Nacional do Sistema. PSD Programação Semide nida Positiva. ACL Ambiente de Contratação Livre. ACR Ambiente de Contratação Regulada. ANEEL Agência Nacional de Energia Elétrica.
CCEE Câmara de Comercialização de Energia Elétrica. MRE Mecanismo de Realocação de Energia.
SOS Sum of Squares.
LMI Linear Matrix Inequality.
COS Modelo PSD denso do despacho centralizado. DCOS Modelo PSD denso do despacho descentralizado. BLS Modelo PSD por blocos do despacho centralizado. DBLS Modelo PSD por blocos do despacho descentralizado CMc Modelo PSD esparso do problema de despacho
centrali-zado - ordenação de Cuthill McGeee.
MD Modelo PSD esparso do problema de despacho centrali-zado - ordenação de mínimo grau.
DCMc Modelo PSD esparso do problema de despacho descentra-lizado - ordenação de Cuthill McGeee.
DMD Modelo PSD esparso do problema de despacho descentra-lizado - ordenação de mínimo grau.
PSDS1 Modelo PSD esparso por cliques. PSDS2 Modelo PSD esparso por blocos.
Índices
i, m Índice de usina hidrelétrica. t Índice de período de tempo ω Índice de cenário
H Número total de usinas. T Número total de períodos.
Nω Número total de cenários de vazões a uentes.
Funções
hli,t,ω Queda líquida da usina i, período t e cenário ω.
hvi,t,ω Polinômio de cota a montante da usina i, período t e
cenário ω.
hqi,t,ω Polinômio de cota a jusante da usina i, período t e cenário
ω.
f Função objetivo do despacho centralizado.
F1 Função objetivo do nível superior do despacho
descentra-lizado.
g1q Restrição de primeiro período para a vazão turbinada, q,
no despacho centralizado.
g1u Restrição de primeiro período para vazão vertida, u, no
despacho centralizado.
gbpt,ω Restrição de balanço de potência para o despacho
centra-lizado.
ghmi,t,ω Restrição que representa o limite de geração hidrelétrica
mínimo.
ghMi,t,ω Restrição que representa o limite de geração hidrelétrica
máximo
gTi,T ,ω Restrição que representa o limite de volume nal das
usi-nas.
gvmi,t,ω Restrição que representa o limite de volume mínimo de
cada usina.
gvMi,t,ω Restrição que representa o limite de volume máximo de
cada usina.
gv¯i,t,ω Restrição que representa o volume médio em cada usina.
turbi-binada.
gumi,t,ω Restrição que representa o limite mínimo da vazão
ver-tida.
guMi,t,ω Restrição que representa o limite máximo da vazão
ver-tida.
gpmi,t,ω Restrição que representa o limite mínimo da geração
tér-mica.
gpMi,t,ω Restrição que representa o limite máximo da geração
tér-mica.
gvi,t,s(·) Função que representa a função de balanço hídrico em
termos das variáveis q e u. ˆ
pq Restrição de primeiro perído para a vazão turbinada, q,
no despacho descentralizado. ˆ
pu Restrição de primeiro perído para a vazão vertida, u, no
despacho descentralizado.
ps1 Restrição de oferta mínima, para o despacho
descentrali-zado.
ps2 Restrição de oferta máxima, para o despacho
descentra-lizado.
ps3i,ω Restrição 1 para módulo de desvio de volume, para o
despacho descentralizado.
ps4i,ω Restrição 2 para módulo de desvio de volume, para o
despacho descentralizado.
p1i,t,ω Restrição de produção hidrelétrica, para o despacho
des-centralizado.
p2i,t,ω Restrição de balanço hídrico, para o despacho
descentra-lizado.
p1t,ω Restrição de balanço de potência, para o despacho
des-centralizado.
p4i,t,ω Restrição de volume mínimo, para o despacho
descentra-lizado.
p5i,t,ω Restrição de volume máximo, para o despacho
descentra-lizado.
p6i,t,ω Restrição de potência hidrelétrica mínima para o
despa-cho descentralizado.
despa-descentralizado.
p9t,ω Restrição de potência térmica máxima, para o despacho
descentralizado.
p10i,t,ω Restrição de vazão vertida mínima, para o despacho
des-centralizado.
p11i,t,ω Restrição de vazão vertida máxima, para o despacho
des-centralizado.
p12i,t,ω Restrição de vazão turbinada mínima, para o despacho
descentralizado.
p13i,t,ω Restrição de vazão turbinada máxima, para o despacho
descentralizado.
pc1i,t,ω Restrição de complementariedade.
pc2i,t,ω Restrição de complementariedade.
pc3t,ω Restrição de complementariedade.
pc4t,ω Restrição de complementariedade.
pc5i,t,ω Restrição de complementariedade.
pc6i,t,ω Restrição de complementariedade.
pc7i,t,ω Restrição de complementariedade.
pc8i,t,ω Restrição de complementariedade.
pd1i,t,ω Derivada do Lagrangeano em função de ph.
pd2t,ω Derivada do Lagrangeano em função de pt.
pd3i,t,ω Derivada do Lagrangeano em função de q.
pd4i,t,ω Derivada do Lagrangeano em função de u.
pd5i,t,ω Derivada do Lagrangeano em função de ¯v
pn1 Restrição de normalização quadrática.
Constantes
g Constante de aceleração da gravidade. σ Constante de densidade d'água
ηi Rendimento do grupo turbina gerador para cada usina i.
α0i, α1i Constantes do polinômio de cota a montante.
β0i, β1i Constantes do polinômio de cota a jusante.
k·i Coe cientes da função de produção.
πω Probabilidade de ocorrência de cada cenário ω.
Variáveis
µ Escalar que de ne uma distribuição de probabilidade. phi,t,ω Potência gerada em cada usina i, período t e cenário ω.
vi,t,ω Volume armazenado em cada usina i, período t e cenário
ω. ¯
vi,t,ω Volume médio em cada usina i, período t e cenário ω.
qi,t,ω Vazão turbinada em cada usina i, período t e cenário ω.
ui,t,ω Vazão vertida em cada usina i, período t e cenário ω.
ptt,ω Complementação térmica no período t e cenário ω.
zi,T ,ω Variável auxiliar para representar o módulo da função
objetivo do despacho descentralizado. ofi,t,ω Oferta da usina i, período t e cenário ω.
α0 Multiplicador de Lagrange associado à função de custo.
αi,t,ω Multiplicador de Lagrange associado à função de
produ-ção hidrelétrica.
βi,t,ω Multiplicador de Lagrange associados ao balanço hídrico.
λt,ω Multiplicador de Lagrange associado à restrição de
ba-lanço de potência. γmin
i,t,ω Multiplicador de Lagrange associado à restrição de
vo-lume mínimo. γmax
i,t,ω Multiplicador de Lagrange associado à restrição de
vo-lume máximo.
ρmini,t,ω Multiplicador de Lagrange associado à restrição de po-tência hidrelétrica mínima.
ρmaxi,t,ω Multiplicador de Lagrange associado à restrição de po-tência hidrelétrica máximo.
δmint,ω Multiplicador de Lagrange associado ao limite mínimo de
geração térmica. δmax
t,ω Multiplicador de Lagrange associado ao limite máximo de
geração térmica. τmin
i,t,ω Multiplicador de Lagrange associado ao limite mínimo de
vazão vertida. τmax
i,t,ω Multiplicador de Lagrange associado ao limite máximo de
ξi,t,ω Multiplicador de Lagrange associado à restrição de vazão turbinada máxima.
Vetores e matrizes variáveis
xω Vetor de variáveis do problema de despacho centralizado,
para cada cenário ω ˆ
x Vetor de variáveis do despacho centralizado para todos os cenários ω
¯
xω Vetor de variáveis do problema de despacho
descentrali-zado, para cada cenário ω ˇ
x Vetor de variáveis do despacho descentralizado para todos os cenários ω
X Matriz de todos os monômios do despacho centralizado. ¯
X Matriz de todos os monômios do despacho descentrali-zado.
M1j Matriz de momentos para cada clique j, para o despacho
centralizado.
M1i,t,ω Matriz de momentos para cada usina i, período t e cenário
ω, para o despacho centralizado.
M(y) Matriz de momentos para o modelo denso, para o despa-cho centralizado.
¯
M1j Matriz de momentos para cada clique j, para o despacho
descentralizado. ¯
M1i,t,ω Matriz de momentos para cada usina i, período t e cenário
ω, para o despacho descentralizado. ¯
M(y) Matriz de momentos para o modelo denso, para o despa-cho descentralizado.
Outros Símbolos
wk Maior grau do polinômio gk.
˜
wk Menor inteiro maior que wk/2.
2d Maior grau de um polinômio, com d = wk/2.
xα Monômio de grau α.
pα Coe ciente do polinômio associado a xα.
N Grau da matriz de momentos (N ≥ ˜wk).
† Pseudoinversa.
1 INTRODUÇÃO . . . 29 1.1 MOTIVAÇÃO . . . 29 1.2 O MERCADO DE ENERGIA ELÉTRICA E A
OPERA-ÇÃO DO SISTEMA . . . 30 1.2.1 Modelos Matemáticos que Representam Equilíbrio
entre Objetivos e Restrições Con itantes. . . 33 1.3 APLICAÇÃO DE PSD A PROBLEMAS DE
PLANEJA-MENTO E OPERAÇÃO DE SISTEMAS DE POTÊNCIA 35 1.3.1 Problema de Fluxo de Potência Ótimo . . . 36 1.3.2 Estimação de Estados . . . 37 1.3.3 Problemas de Planejamento da Operação . . . 37 1.3.4 Problemas com Restrições de Equilíbrio. . . 39 1.4 CONTRIBUIÇÕES . . . 40 1.5 ORGANIZAÇÃO DO TEXTO . . . 41
2 MODELOS DE DESPACHO HIDROTÉRMICO . 43
2.1 INTRODUÇÃO . . . 43 2.2 DESPACHO CENTRALIZADO . . . 43 2.2.1 Programação Estocástica . . . 43 2.2.2 Função-Objetivo do Despacho Centralizado . . . 46 2.2.3 Balanço Hídrico . . . 47 2.2.4 Função de Produção . . . 47 2.2.5 Balanço de Potência . . . 49 2.2.6 Limites Operacionais . . . 49 2.2.7 Despacho Centralizado: Modelo completo . . . 49 2.3 DESPACHO DESCENTRALIZADO . . . 52 2.3.1 Função Objetivo: Nível Superior . . . 54 2.3.2 Restrições de Nível Superior . . . 55 2.3.3 Despacho Descentralizado com Consistência de
Pre-ços . . . 55 2.4 CONCLUSÕES . . . 61 3 PROGRAMAÇÃO SEMIDEFINIDA . . . 63 3.1 INTRODUÇÃO . . . 63 3.2 NOÇÕES PRELIMINARES . . . 63 3.3 PROGRAMAÇÃO LINEAR E PSD . . . 65 3.3.1 Problema de Programação Linear . . . 65 3.3.2 Problema de Programação Semide nida . . . 66
3.5 REPRESENTAÇÃO DE POLINÔMIOS COMO PRO-DUTOS DE MATRIZES . . . 75 3.5.1 Caso Univariável . . . 77 3.5.2 Caso Multivariável . . . 78 3.6 POLINÔMIOS NÃO NEGATIVOS . . . 79 3.7 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS POLINOMIAIS DE
OTI-MIZAÇÃO IRRESTRITA ATRAVÉS DE PSD . . . 80 3.7.1 Caso Univariável . . . 81 3.7.2 Caso Multivariável . . . 82 3.8 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÕES . 83 3.9 PROBLEMAS PSD ESPARSOS . . . 86 3.9.1 Relaxação via PSD Considerando a Estrutura
Es-parsa do Problema . . . 87 3.10 FACTIBILIDADE DA SOLUÇÃO PSD . . . 91 3.10.1 Recuperação das Soluções . . . 92 3.11 CONCLUSÕES . . . 93
4 PSD APLICADA AOS MODELOS DE
DESPA-CHO . . . 95 4.1 INTRODUÇÃO . . . 95 4.2 USO DE RESTRIÇÕES ADICIONAIS NOS
PROBLE-MAS PSD . . . 96 4.3 REPRESENTAÇÃO DOS PROBLEMAS DE DESPACHO
NA FORMA PSD . . . 96 4.3.1 Problema de Despacho Centralizado . . . 97 4.3.2 Problema de Despacho Descentralizado . . . 102 4.4 ESCALONAMENTO DOS PROBLEMAS DE DESPACHO106 4.5 MINIMIZAÇÃO DE POSTO . . . 107 4.6 CONCLUSÃO . . . 108 5 RESULTADOS . . . 109 5.1 DESPACHO CENTRALIZADO . . . 112 5.1.1 Impacto do Escalonamento e das Restrições
Adi-cionais na Qualidade das Soluções Relaxadas . . . 114 5.2 DESPACHO DESCENTRALIZADO . . . 122 5.2.1 Impacto das Restrições Adicionais a PSD . . . 131 5.3 RESUMO DAS SOLUÇÕES FACTÍVEIS . . . 133 5.4 CONCLUSÃO . . . 135 6 CONCLUSÕES . . . 137 6.1 PRINCIPAIS CONCLUSÕES DA PESQUISA
APÊNDICE A -- Modelo Reduzido do Despacho Centralizado . . . 151 APÊNDICE B -- Formulação a partir das Condi-ções de Otimalidade de Fritz-John (FJ) . . . 155 APÊNDICE C -- Dados dos Sistemas . . . 161
1 INTRODUÇÃO 1.1 MOTIVAÇÃO
Sistemas de potência tendem sempre a acompanhar as mudan-ças econômicas de uma sociedade, atendendo à crescente demanda de energia elétrica segundo critérios de desempenho pré-estabelecidos. Os modelos matemáticos que representam a operação do sistema têm sido constantemente atualizados, tanto para representar novos equipamen-tos usados na geração, transmissão e distribuição, como para expressar novas estratégias operativas. Ao mesmo tempo, são pesquisados novos métodos computacionais capazes de encontrar as soluções desses mode-los matemáticos. Esta tese de doutorado analisa o uso de Programação Semide nida (PSD) na resolução de dois modelos matemáticos de oti-mização que representam a operação de médio prazo de um sistema predominantemente hidrelétrico, tal como o brasileiro. O primeiro mo-delo matemático representa uma operação centralizada do sistema, ou ainda um despacho impositivo das usinas de geração. O segundo mo-delo representa uma relação de equilíbrio entre os agentes geradores e o operador do sistema. A PSD é utilizada para obter soluções ótimas globais para esses modelos.
O planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos é feito considerando um horizonte de longo prazo, que varia entre cinco a dez anos. Devido à complexidade dos modelos matemáticos que represen-tam o comporrepresen-tamento do sistema nesse horizonte de tempo, é necessário realizar estudos de médio e curto prazo, nos quais o sistema é repre-sentado de forma mais detalhada. Esta tese de doutorado analisa o despacho de geração hidrotérmico num horizonte de médio prazo, con-siderado igual a um ano. Os modelos matemáticos que representam o despacho ótimo de geração nesse horizonte de tempo podem ser esto-cásticos, devido à necessidade de representar a aleatoriedade das vazões a uentes dos rios, e são modelos não convexos, devido às funções que representam a geração de energia nas usinas hidrelétricas.
Na constante busca de métodos que obtenham soluções ótimas globais para problemas de otimização não convexos, houve um aumento de pesquisas relacionadas ao conceito de relaxação por programação semide nida (PSD), uma extensão da programação linear expressa em termos de uma matriz de variáveis X. A PSD consiste em minimizar uma função objetivo linear em X, sujeito a restrições lineares em X e também à restrição de que X seja semide nida positiva. Por resolver
problemas de forma prática e e ciente, a técnica tem sido cada vez mais utilizada em diferentes áreas de conhecimento, entre elas, a área de sistemas de potência. Esta tese de doutorado tem como objetivo investigar a aplicação de programação semide nida na resolução dos problemas que representam despacho ótimo de geração.
1.2 O MERCADO DE ENERGIA ELÉTRICA E A OPERAÇÃO DO SISTEMA
Por estar diretamente ligado aos diversos setores da sociedade moderna, o sistema elétrico deve operar de forma contínua e segura, já que a interrupção no fornecimento de energia tem um alto custo econômico. De nir a melhor forma de utilizar os recursos disponí-veis, reduzindo os custos envolvidos na geração e transmissão, torna-se o principal objetivo do planejamento energético. A complexidade do planejamento energético em sistemas com predomínio de geração hi-drelétrica ocorre devido à natureza estocástica dos recursos hídricos, acoplamento temporal e espacial as usinas e a não linearidade das fun-ções que representam a geração hidrelétrica. Nova Zelândia, Noruega, Canadá e Brasil estão entre os países que possuem maior produção hi-drelétrica em suas matrizes energéticas, e a forma como cada um desses países organiza o setor elétrico re ete a visão que possui desta indústria. O mercado de energia elétrica na Nova Zelândia é operado por uma empresa privada, cujas regras de funcionamento são desenvolvi-das pelos próprios agentes participantes, sem interferência do governo. Toda a compra e venda de energia é feita principalmente em tempo real, podendo haver contratos bilaterais para grandes consumidores. O despacho é centralizado e realizado por uma empresa estatal, com base nas ofertas de compra e venda estabelecidas no mercado em tempo real e de per s de produção dos demais agentes que não participam do mercado (GOMES, 2007).
Na Noruega, o processo de desregulamentação da energia elétrica foi implantado como forma de motivar a e ciência por meio de um mer-cado competitivo nos segmentos de geração e comercialização da ener-gia, com regulamentação nos segmentos de transmissão e distribuição (RONNE, 1997). O mecanismo utilizado para promover a competição na geração foi o de permitir que os consumidores possam comprar energia tanto no atacado (pool), quanto diretamente com as distribuidoras, por contratos de curto e longo prazos. Já a concorrência na comercialização se deu pelo livre acesso a todas as redes (TABORS, 1996).
No Canadá, o governo considera que a regulação deve ser feita em nível provincial, pois argumenta que assim a competitividade e e -ciência do setor elétrico pode ser alcançada também por empresas de pequeno porte. As principais províncias cujas reestruturações visa-ram introduzir a competição no mercado de geração de energia, atrair negócios e reduzir os custos aos consumidores foram Quebec, British Columbia, Alberta e Ontario; tendo as duas primeiras predomínio de geração hidrelétrica (ADAMS, 1999).
No Brasil, a compra e venda de energia é realizada de duas for-mas: o Ambiente de Contratação Regulada (ACR), no qual usinas vendem montantes de energia nova e existente por meio de leilões às distribuidoras, que atendem aos consumidores que não podem adqui-rir energia de terceiros (cativos); e o Ambiente de Contratação Livre (ACL), com livre negociação entre consumidores, comercializadores e geradores. Em se tratando do ACR, onde estão a maioria dos consu-midores do país, a compra de energia dos geradores é realizada pelas distribuidoras. Neste caso, todo o risco hidrológico e nanceiro da en-trega da energia contratada ca com as usinas hidrelétricas, sujeitas a penalidades para o caso de descumprimento dos contratos (CCEE, 2015a).
Embora a Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) es-tipule um preço máximo xo para a energia comercializada no ACR, ainda assim, as hidrelétricas estão sujeitas a muitas incertezas no cum-primento de seus contratos na quantidade e no preço de nidos em leilão, já que muitas usinas podem também estar em cascata e nem sempre a operação ótima de nida pelo ONS é favorável a todas. O Mecanismo de Realocação de Energia (MRE) foi criado para compartilhar o risco nanceiro associado à comercialização de energia, transferindo os exce-dentes de produção dos que geram além de suas garantias físicas para os que geram abaixo (CCEE, 2015b).
Analisando os diferentes modelos de reestruturação nos países com matriz energética igual a do Brasil, são veri cadas tendências se-melhantes em introduzir a competição em segmentos que não se carac-terizam como monopólios naturais (geração e comercialização). Nesses segmentos foram conservados elementos históricos, mesclando setores estatais, privados e cooperativos. Na Nova Zelândia, assim como no Brasil, o sistema é operado de forma centralizada, com um único ope-rador coordenando os despachos e considerando a utilização adequada da rede elétrica, com diferenças apenas na formulação do mercado. Já nos países nórdicos, existe um único operador do mercado (NordPool) e cinco operadores do sistema de transmissão, que agregam Suécia,
Finlândia, Noruega e Dinamarca (GOMES, 2007). Na Noruega, prati-camente toda a energia elétrica produzida vem de recursos hídricos e o despacho de geração é descentralizado, com diferentes empresas ope-rando de forma coordenada com o sistema (ROSA; TOLMASQUIM; PIRES, 1998).
A energia elétrica no Brasil é gerada predominantemente em usi-nas hidrelétricas. A maneira utilizada para buscar o melhor uso dos recursos foi implementar uma operação centralizada sob o comando do Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS). Devido em grande parte à predominância da geração hidráulica, adota-se neste país um sistema de despacho impositivo, no qual usinas hidrelétricas, com capacidade acima de 30 MW e usinas termelétricas têm seus níveis de geração de- nidos pelo ONS (ONS, 2011). Como existe no país um mercado de energia elétrica, os preços da energia são estabelecidos pela Câmera de Comercialização de Energia Elétrica (CCEE).
No entanto, a combinação da operação centralizada numa estru-tura de mercado de energia pode criar distorções, por exemplo, entre lucros previstos e efetivamente realizados pelos produtores, ou ainda pelos custos previstos e efetivamente incorridos aos agentes consumi-dores. Alguns problemas citados na literatura são:
• Problemas econômicos decorrentes do desequilíbrio entre oferta e demanda causados pela baixa hidrologia tem prejudicado agentes de mercado e consumidores nais (SALES; HOCHSTETLER, 2016b). Mesmo com o aumento dos preços da energia elétrica para os con-sumidores, empresas com geração hidrelétrica têm visto sua pro-dução e receita caírem, ameaçando negócios (MEDEIROS, 2014). Alguma forma de proteção deve ser considerada para evitar a continuidade desse cenário.
• O despacho de geração impositivo acaba inibindo a operação do mercado. Como os preços da energia são calculados separada-mente do despacho, isso pode gerar inconsistência econômica, pois deveriam estar incluídos no mesmo modelo matemático (SALES; HOCHSTETLER, 2016a).
• Apesar de existirem mecanismos especí cos para compartilha-mento de riscos nanceiros entre as usinas hidrelétricas, veri ca-se que o modelo de despacho centralizado realizado pelo ONS, uti-lizando um critério de menor preço, ainda encontra desa os. São veri cadas grandes diferenças entre os preços estimados e realiza-dos pelos agentes, com consequências no preço da energia para o consumidor nal (VEIGA, 2008).
Tomando como exemplo o modelo de operação adotado pelos países nórdicos, este trabalho faz parte de uma pesquisa mais ampla que busca contribuir para o desenvolvimento de um modelo de des-pacho de geração para o sistema brasileiro que possibilite uma maior exibilidade aos produtores para tomarem suas decisões em um mer-cado competitivo e, ao mesmo tempo, manter a operação do sistema e ciente. A alternativa proposta é o modelo descentralizado, expresso matematicamente como problemas de equilíbrio entre a operação física e do mercado.
1.2.1 Modelos Matemáticos que Representam Equilíbrio entre Objetivos e Restrições Con itantes
Desde o início do processo de reestruturação do setor de energia elétrica há uma grande preocupação de como uma estrutura de mercado pode afetar a operação do sistema. O reconhecimento de que, numa estrutura de mercado, agentes de geração se tornam competidores, le-vou ao uso da Teoria de Jogos Não Cooperativos para analisar possíveis consequências dessa competição. Ao mesmo tempo, têm sido desenvol-vidos modelos matemáticos de complementariedade, que representam situações de equilíbrio em ambientes de competição. Esses modelos constituem uma nova alternativa para o planejamento operacional do sistema elétrico.
Modelos de equilíbrio são expressos por problemas de otimiza-ção com restrições de complementariedade, ou através de um conjunto de equações que representam as decisões ótimas de cada agente envol-vido. Diferentes formas de interação de agentes competidores podem ser representadas através de tais modelos (LEYFFER; MUNSON, 2010). Eles podem representar de forma adequada problemas de tomada de decisão associados à operação dos sistemas de potência sob mercados de energia elétrica.
Modelos de equilíbrio têm sido empregados há aproximadamente 20 anos para estudar sistemas hidrotérmicos sob mercados de energia. Com esses modelos pode-se: analisar o comportamento do preço da energia nesses sistemas; veri car o poder de mercado de produtores; determinar a melhor estratégia de atuação de um produtor no mercado de energia e de nir o despacho de geração. A seguir são descritos alguns dos trabalhos já realizados.
A análise do efeito dos contratos sobre a e ciência da operação por ordem de mérito foi realizada por Scott e Read (SCOTT; READ,
1996), para o sistema da Nova Zelândia. Por meio da Programação Dinâmica Dual e Jogos de Cournot (OSBORNE; RUBINSTEIN, 1994), os autores mostraram a vantagem dos contratos de longo prazo como forma de proteção para momentos de escassez, sem afetar a operação por ordem de mérito e, ainda, que o problema apresenta elevado número de possíveis pontos de equilíbrio .
Modelos de equilíbrio de Cournot também foram utilizados para investigar o poder de mercado no planejamento de sistemas hidrotér-micos em (KELMAN; BARROSO; PEREIRA, 2001). No artigo, os autores mostraram a vantagem de se estabelecer contratos bilaterais para favo-recer a competição e reduzir o poder de mercado.
Analisando o mercado de energia num sistema hidrotérmico, Ruiz e Conejo (RUIZ; CONEJO, 2009) utilizaram um modelo de oti-mização em dois níveis pra buscar a estratégia ótima de oferta de cada produtor sob incertezas na demanda e nas ofertas dos demais produ-tores. Reduzindo o problema de otimização a um único nível por meio das condições de otimalidade do problema de nível inferior, foi possível veri car como as restrições de transmissão podem favorecer na estraté-gia de maximizar os lucros. O problema foi resolvido por solvers branch and cut, destacando-se a di culdade em de nir valores de inicialização para as variáveis duais, para que uma melhor solução fosse possível.
Em (NECHAEV; PALAMARCHUK, 2013), os autores abordam o problema de planejamento de médio prazo da operação formulado como um problema de otimização em dois níveis, e mostram que técnicas baseadas no mínimo custo total de produção não re etem a real situação do mercado. O problema em dois níveis é resolvido por programação dinâmica, e um ponto de equilíbrio de Nash é encontrado.
Almeida e Conejo (ALMEIDA; CONEJO, 2013) também aborda-ram o problema de planejamento de médio prazo, formulado como um problema de equilíbrio com restrição de equilíbrio. Neste caso, os pro-dutores de nem suas ofertas em termos de volumes armazenados ao nal do período de planejamento no nível superior de um modelo de otimização bi-nível, enquanto que o operador do sistema coordena estas ofertas em busca de um despacho a mínimo corte de carga e comple-mentação térmica no nível inferior.
No estudo proposto por Almeida e Conejo são apresentados dois modelos de equilíbrio para o despacho de geração. O primeiro considera a interação de dois agentes: um que representa o interesse dos produto-res; e o outro responsável pela operação do sistema. O segundo modelo considera a interação entre todos os agentes produtores de energia e o despacho de geração obtido é um equilíbrio de Nash.
Expandindo o trabalho de Almeida e Conejo, Cicconet ( CICCO-NET, 2013) agregou ao modelo de equilíbrio que simula a interação de dois agentes a representação da rede elétrica, mostrando que o despacho por meio de soluções de equilíbrio, quando há limitações na transmis-são, tende a se aproximar da solução obtida pelo modelo centralizado de despacho.
Alencar (ALENCAR, 2015) expandiu os dois últimos estudos con-siderando o preço marginal de operação associado à barra do gerador. Em seu trabalho, um conjunto de problemas de dois níveis é resolvido e a solução obtida é um equilíbrio de Nash. Múltiplas soluções podem ser obtidas para este conjunto de problemas. O autor utilizou um solver de otimização não linear inteira mista para obter algumas dessas soluções. Os três últimos estudos indicaram a existência de múltiplas so-luções para os problemas de equilíbrio. Nos trabalhos de Almeida e Conejo e de Cicconet essas soluções são obtidas por solvers de otimi-zação não linear. Já para obter as soluções de Nash, Alencar emprega um solver de otimização não linear inteira-mista. Devido à complexi-dade dos problemas, as técnicas de solução empregadas não garantem a obtenção de soluções ótimas globais.
A solução matemática dos modelos de equilíbrio é um fator de grande interesse. Embora várias técnicas tenham sido empregadas para obter soluções de equilíbrio, pouco se sabe ainda sobre a natureza das soluções encontradas e se são realmente as melhores possíveis. Isto por-que são problemas não convexos, com múltiplos ótimos locais. O uso de modelos de equilíbrio para auxiliar a operação de sistemas elétricos de potência depende do desenvolvimento de métodos numéricos e cazes para encontrar as soluções de equilíbrio. Como tais modelos são usa-dos muitas vezes para tomar decisões que afetam receitas e despesas dos agentes envolvidos, é muito importante que os métodos de solução sejam capazes de obter soluções globais ou próximas aos ótimos globais.
1.3 APLICAÇÃO DE PSD A PROBLEMAS DE PLANEJAMENTO E OPERAÇÃO DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
As aplicações de PSD a problemas associados ao planejamento da operação de sistemas elétricos foram feitas na resolução de problemas de uxo de potência ótimo (FPO), unit commitment, despacho de geração, programação hidrotérmica e estimação de estados. O principal objetivo destas aplicações é a obtenção de soluções ótimas globais para esses problemas.
Para que a PSD seja utilizada, o problema é geralmente expresso de forma compacta, isto é, em termos do menor conjunto possível de variáveis. No caso do FPO e do problema de estimação de estados, as equações da rede elétrica são expressas em coordenadas retangulares. Os problemas são relaxados quando representados na forma de PSD e suas soluções são obtidas resolvendo-se o problema dual de PSD através de métodos de pontos interiores.
1.3.1 Problema de Fluxo de Potência Ótimo
A primeira aplicação de PSD ao problema de uxo de potência ótimo foi realizada por Bai e colaboradores (BAI et al., 2008). As solu-ções obtidas foram consideradas satisfatórias se comparadas às obtidas por um solver de programação não linear. No entanto, o modelo não pode ser aplicado a grandes sistemas devido às limitações computacio-nais decorrentes do fato que as matrizes de variáveis do problema PSD são cheias, isto é, não apresentam elementos nulos.
Lavaei e Low (LAVAEI; LOW, 2012) também investigaram a so-lução de problemas de FPO por meio da PSD, primeiro considerando um sistema resistivo com cargas ativas, posteriormente incluindo cargas reativas e, por m, com um modelo mais completo (incluindo transfor-madores, elementos shunts e restrições de contingência). No artigo, os autores mostram que, derivando as condições necessárias e su cientes dos diferentes modelos de FPO, para que o gap de dualidade seja zero, a PSD pode encontrar e cientemente a solução global do problema.
Jabr (JABR, 2012) explora a estrutura esparsa das matrizes de coe cientes usadas na representação do FPO na forma de PSD. As-sim, pode resolver o problema de forma mais e caz. O artigo trata de um problema FPO genérico, onde mostra que a matriz de variáveis do problema pode ser decomposta em duas matrizes de menor dimensão: uma com as componentes reais e outra com as componentes imaginá-rias das tensões de barra do sistema. A solução do problema PSD é então obtida impondo-se que as matrizes de menor dimensão sejam se-mide nidas positivas. Tal formulação pode reduzir muito as dimensões do problema, se comparado à formulação de (BAI et al., 2008).
Uma extensão dos métodos de relaxação propostos em (LAVAEI; LOW, 2012) é apresentada em (JOSZ et al., 2015). O artigo mostra uma extensão PSD baseada em relaxação do posto via matriz de momentos e SOS (sum of squares). A técnica leva a soluções mais próximas do ótimo global do problema, embora demande um tempo computacional
maior devido à dimensão elevada da matriz empregada pela PSD. A PSD foi também aplicada a uma formulação particular do FPO: o problema de despacho econômico multiobjetivo com perdas de transmissão (JUBRIL; KOMOLAFE; ALAWODE, 2013). Nesse caso, o problema considera somente restrições de balanço de potência ativa e limites de geração. No artigo, os autores buscam investigar as soluções obtidas pela PSD em problemas multiobjetivos. Os testes mostraram que a PSD encontrou melhores soluções do que um algoritmo genético. O aumento das fontes renováveis de energia gerando em corrente contínua motivaram (BAHRAMI et al., 2017) a analisar um problema de FPO não convexo em sistemas AC-DC. O objetivo principal do estudo é minimizar o custo da geração e as perdas nas linhas e conversores. A PSD foi aplicada ao FPO AC-DC onde os autores derivam as condições su cientes de otimalidade para obter um gap de relaxação igual a zero e consequentemente um ótimo global.
Outras aplicações da programação semide nida em problemas de FPO podem ser encontradas em (MOLZAHN; HISKENS, 2014) e ( MOL-ZAHN et al., 2015). Com diferentes abordagens de penalização da fun-ção objetivo e explorafun-ção da esparsidade desses problemas, os trabalhos buscam melhores soluções via problemas relaxados.
1.3.2 Estimação de Estados
O uso de PSD em estimação de estados tem sido justi cado pelo fato que os problemas relaxados podem ser resolvidos em tempo po-linomial1. Os trabalhos de Zhu e Giannakis (ZHU; GIANNAKIS, 2011)
e de Weng e colaboradores (WENG et al., 2012) mostram que soluções obtidas por PSD não são tão sensíveis à inicialização das variáveis, tal como pode ocorrer com as soluções obtidas usando o método de Gauss-Newton. Weng e colaboradores mostram também que a PSD fornece bons pontos iniciais para os algoritmos de estimação de estados baseados no método de Newton.
1.3.3 Problemas de Planejamento da Operação
A programação semide nida foi também aplicada na resolução de diferentes problemas associados ao despacho de geração. Madrigal
1O tempo necessário para um computador resolver um problema é uma função
e Quintana (MADRIGAL; QUINTANA, 1999) utilizam essa técnica na re-solução de problemas de programação de curto prazo da geração. O problema não linear inteiro-misto, que considera o status ligado/desli-gado das unidades geradoras e restrições lineares de balanço de potên-cia e limites de geração, é relaxado e representado como um problema PSD. Os estudos mostraram que, em alguns casos, as soluções obti-das por PSD eram infactíveis, sendo necessária a inclusão de restrições adicionais no modelo relaxado para melhorar a solução.
A PSD foi utilizada mais recentemente na resolução do problema de unit commitment de unidades termelétricas (MHANNA; JABR, 2012). Neste caso, o problema sendo resolvido é do tipo não linear inteiro misto. Os autores mostram que as soluções relaxadas obtidas pela PSD podem ser infactíveis, sendo necessário o uso de técnicas de recuperação de soluções a partir das soluções relaxadas.
Em (FATTAHI et al., 2017), os autores propuseram um modelo polinomial convexo simples para resolver um problema de unit com-mitment, e por meio da PSD um mínimo global pode ser encontrado, sendo este mínimo diferente dos métodos heurísticos e de busca local.
Também analisando o problema de unit commitment, ( ASHRAPHI-JUO et al., 2016) derivaram as restrições quadráticas do problema e rela-xaram para um conjunto de inequações matriciais. Os autores utilizam restrições adicionais para fortalecer a relaxação. Tais restrições são obtidas pela multiplicação de restrições lineares e são impostas no pro-blema em caso de necessidade. Um algoritmo iterativo é utilizado para selecionar as melhores restrições para serem utilizadas.
A literatura apresenta várias aplicações de PSD a problemas de planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos, sendo principal-mente empregada na resolução de problemas com variáveis inteiras.
Em (FUENTES-LOYOLA; QUINTANA, 2003) a técnica usada em (MADRIGAL; QUINTANA, 1999) é estendida ao problema de coordena-ção hidrotérmica, considerando para as usinas termelétricas o status ligado/desligado. As soluções aproximadas obtidas por PSD são com-paradas às soluções obtidas por relaxação Lagrangeana. Os resultados obtidos foram satisfatórios em resolver o problema em um tempo com-putacional relativamente curto se comparado ao outro método. No entanto, os autores indicam a dimensão do problema PSD como sendo uma das questões importantes a serem resolvidas para permitir a apli-cação da técnica a problemas de maior dimensão.
Paredes, Martins e Soares (PAREDES; MARTINS; SOARES, 2015) aplicaram a PSD para encontrar a solução do problema de unit com-mitment de unidades geradoras de usinas hidrelétricas considerando um
horizonte de planejamento de 24 horas com discretização horária. Com um problema não linear inteiro misto, os autores reformularam o mo-delo como um problema quadrático com restrições quadráticas. Uma solução inicial é obtida por sucessivas relaxações PSD, fornecendo limi-tantes inferiores que são aplicados em cada nó de um algoritmo branch-and-bound, para encontrar a solução ótima nal. A técnica de solução possibilitou uma boa coordenação de reservatórios em cascata, obtendo um bom equilíbrio entre máxima produtividade e mínima entrada ou saída de geradores.
A PSD foi também aplicada ao problema de despacho hidrotér-mico (ZHU et al., 2013). Nesse caso o problema resolvido é não linear e contínuo. Os autores abordam o problema de dimensionalidade rela-tada por (FUENTES-LOYOLA; QUINTANA, 2003) utilizando uma formu-lação esparsa" para o problema PSD. Nos sistemas testados, a técnica obteve soluções factíveis para o problema.
(QUIÑONES, 2016) analisou separadamente o problema de pla-nejamento de curto prazo de sistemas hidrotérmicos, formulado como um modelo não-linear inteiro misto aplicado a PSD. A solução para o modelo termoelétrico foi obtida por algoritmo de Branch & Bound.
1.3.4 Problemas com Restrições de Equilíbrio
Embora a PSD tenha se mostrado e caz em resolver problemas de otimização clássicos, é ainda pouco explorada em modelos de equilí-brio, que são não convexos e apresentam um elevado número de ótimos locais. É importante notar que muitas vezes os modelos de equilíbrio representam problemas de tomada de decisão para os quais deve-se ter uma solução ótima global. Um exemplo é o problema de despacho des-centralizado, pois uma solução ótima local desse problema pode afetar negativamente tanto produtores como consumidores de energia.
A PSD foi usada por Fampa e Pimentel (FAMPA; PIMENTEL, 2013) para obter a solução ótima do problema do produtor, ou seja, o problema de cada gerador em de nir uma estratégia de preços no mercado atacadista de energia. O problema de otimização resolvido possui dois níveis. O primeiro nível calcula as ofertas ótimas de geração do produtor para o dia seguinte (montante e preço). O segundo nível encontra a solução de mínimo preço usando as ofertas fornecidas.
Em (GHAMKHARI; SADEGHI-MOBARAKEH; MOHSENIAN-RAD, 2017) os autores aplicam o Teorema de Positivstellensatz Schmudgen na busca de estratégias de oferta no mercado de energia, sendo resolvido um
pro-blema de dois níveis. No artigo, é desenvolvido um algoritmo que utiliza etapas baseadas tanto em otimização convexa quanto em programação inteira-mista, obtendo soluções de ofertas quase ótimas e reduzindo o tempo computacional, se comparado aos modelos de programação in-teira mista clássicos.
Moiseeva e Hesamzadeh (MOISEEVA; HESAMZADEH, 2017) de-senvolveram um modelo estocástico para analisar o comportamento es-tratégico de um produtor hidrelétrico na de nição das ofertas e na modelagem explícita de custos de oportunidade. No artigo, os auto-res propõe um algoritmo de decomposição de Benders modi cado que explora as características das restrições do problema.
1.4 CONTRIBUIÇÕES
Com a introdução da competição na geração de energia elétrica, novos modelos de planejamento da operação devem ser investigados para que agreguem de forma mais equilibrada todas as características do setor elétrico. Isso é válido também para o planejamento da operação no horizonte de médio prazo de sistemas hidrotérmicos. Para que as soluções de despacho possam ser comparadas, a grande questão é de nir a qualidade destas soluções. O foco deste trabalho é na obtenção de tais soluções. Analisa-se a aplicação de técnicas de PSD na resolução de dois problemas de despacho de geração, um que representa o despacho centralizado e outro que representa o despacho descentralizado. As principais contribuições do trabalho são:
1. Aplicar PSD ao problema de despacho centralizado de usinas hi-drelétricas formulado como um problema estocástico de dois es-tágios;
2. Formular o problema de despacho descentralizado como um blema de otimização de dois níveis. Propor a solução desse pro-blema pela sua transformação em um propro-blema de 1 nível através do uso das condições necessárias de otimalidade de Fritz-John (MANGASARIAN; FROMOVITZ, 1967);
3. Aplicar PSD ao problema de despacho descentralizado;
4. Averiguar o desempenho de técnicas de esparsidade na formulação dos problemas PSD.
5. Propor o uso de restrições adicionais aos problemas PSD como forma de melhorar a qualidade das soluções obtidas.
Restultados preliminares podem sem encontrados em ( CICCO-NET; ALMEIDA, 2017) e (CICCONET; ALMEIDA, 2019).
1.5 ORGANIZAÇÃO DO TEXTO
Este documento é apresentado em seis capítulos, incluindo este introdutório e de revisão bibliográ ca. Os demais são organizados da seguinte forma.
No Capítulo 2 é detalhado o problema de planejamento hidrelé-trico de médio prazo, com as principais características de acoplamento temporal e espacial das usinas e da programação estocástica. O des-pacho centralizado é então formulado representando somente as usinas hidrelétricas e tendo como objetivo minimizar a complementação tér-mica.
Ainda no Capítulo 2, a formulação do modelo de despacho des-centralizado é feita a partir do modelo de despacho des-centralizado. Con-siderando a abordagem que impõe consistência de preços, o despacho descentralizado é formulado como um problema de otimização de dois níveis. O problema de dois níveis é reformulado como um problema de um único nível, pela substituição do problema de nível inferior por suas condições de otimalidade de primeira ordem.
No Capítulo 3 são introduzidos conceitos básicos sobre proble-mas PSD e sobre a resolução de probleproble-mas em espaços de dimensão superior aos originais. Além disso, é apresentada a teoria que dá subsí-dios ao uso de PSD para obter soluções relaxadas para os problemas de despacho centralizado e descentralizado. Por m, são descritos métodos de redução dos problemas PSD baseadas em técnicas de esparsidade.
No Capítulo 4 a programação semide nida é aplicada aos mode-los de despacho centralizado e descentralizado. São apresentados três modelos de PSD para resolver de forma aproximada os problemas de despacho de geração. Dois desses modelos são implementados no es-paço de solução original e também no eses-paço escalonado, no qual as variáveis devem pertencer ao intervalo [0,1]. A inserção de restrições adicionais aos modelos PSD também são mostradas neste capítulo, com impacto positivo no processo de solução dos problemas.
No Capítulo 5 são apresentados os resultados obtidos pela PSD para os problemas de despacho centralizado e descentralizado para os diferentes modelos e sistemas. Estes resultados são comparados com resultados obtidos por um solver de otimização não linear.
2 MODELOS DE DESPACHO HIDROTÉRMICO 2.1 INTRODUÇÃO
São mostrados neste capítulo os dois modelos de despacho de geração hidrelétrica estudados neste trabalho: o centralizado e o des-centralizado.
O despacho centralizado, realizado pelo operador do sistema, busca uma solução que minimize um critério pré-de nido. Este tipo de despacho é imperativo, pois agentes geradores não tem nenhum poder de decisão quanto às quantidades que devem produzir.
O despacho descentralizado dá autonomia aos produtores para de nirem a quantidade que irão gerar, desde que as restrições energé-ticas impostas pelo operador do sistema sejam satisfeitas.
Neste trabalho será estudado um modelo especí co de despacho descentralizado, feito a partir da interação do agente que coordena as ofertas dos geradores para o mercado de energia e o agente responsável pela operação do sistema.
Os modelos de despacho considerados são formulados para um horizonte de planejamento de médio prazo.
2.2 DESPACHO CENTRALIZADO
O modelo de despacho centralizado estudado neste trabalho re-presenta explicitamente apenas a geração hidrelétrica. A geração ter-melétrica é associada à carga não suprida pelas hidrelétricas.
2.2.1 Programação Estocástica
Ao planejar a operação de um sistema elétrico, deve-se consi-derar as incertezas associadas ao modelo, tais como: vazões a uentes, demanda de carga, custos dos combustíveis, disponibilidade de gerado-res, linhas e equipamentos de transmissão.
Este trabalho considera apenas as incertezas associadas às va-zões a uentes, por ser tratar de usinas hidrelétricas. O modelo de pla-nejamento passa a ser formulado como um problema de programação estocástica, no qual as variáveis aleatórias vazões a uentes são repre-sentadas por um conjunto de Nωcenários, obtidos das séries históricas
de vazões para todas as usinas pertencentes ao Sistema Interligado Na-cional (ONS, 2012). Cada cenário ω está associado a uma probabilidade πω e, sendo Nω o conjunto de cenários, temos que
Nω
X
ω=1
πω= 1.
O despacho de geração é realizado para um horizonte de médio prazo, cuja duração é xada em um ano. No despacho são de nidos os valores de potência gerada, phi,t,ω, volume de água armazenada nos
reservatórios, vi,t,ω, vazão turbinada, qi,t,ω e vazão vertida, ui,t,ω, para
cada usina i = 1, . . . , H, período t = 1, . . . , T e cenário ω = 1, . . . , Nω.
Em cada período e cenário, uma usina térmica equivalente supre ptt,w
para atender a carga do sistema.
Para se determinar o despacho das usinas hidrelétricas, deve ser tomado um conjunto de decisões, ou ainda, devem ser escolhidos os valores ótimos de phi,t,ω, qi,t,ω, vi,t,ω, ui,t,ω e ptt,ω. Devido à
aleato-riedade das vazões a uentes nos rios, ri,t,ω, tem-se um problema de
tomada de decisões sob incerteza.
Nesse tipo de problema, as decisões são tomadas em estágios. No estágio 1, são tomadas decisões que não dependem dos valores as-sumidos pelas variáveis aleatórias; no estágio 2, são tomadas decisões que dependem das decisões tomadas no estágio 1 e dos valores assu-midos pelas variáveis aleatórias; no estágio 3 são tomadas decisões que dependem das decisões dos estágios 1 e 2 e dos valores assumidos pelas variáveis aleatórias, e assim por diante.
Para aplicar o processo de tomada de decisões ao problema de despacho hidrotérmico supõe-se que, no primeiro mês do período de pla-nejamento as vazões a uentes sejam conhecidas com precisão aceitável. Tem-se portanto:
Estágio 1: correspondendo ao período t = 1, no qual ri,1,ω são
co-nhecidas com precisão aceitável. Sendo assim, as variáveis de otimização do estágio 1 são aquelas correspondentes ao primeiro período de planejamento. Já que as vazões a uentes são conheci-das, tem-se que:
phi,1,1= phi,1,2= · · · = phi,1,Nω,
vi,1,1= vi,1,2= · · · = vi,1,Nω,
qi,1,1= qi,1,2= · · · = qi,1,Nω,
ui,1,1= ui,1,2= · · · = ui,1,Nω,
pt1,1= pt1,2= · · · = pt1,Nω.
(2.1)
daquelas tomadas no estágio 1 (primeiro período) e dos valores as-sumidos pela vazões a uentes neste estágio, estágio. As variáveis deste estágio são:
phi,2,1, . . . , phi,2,Nω, vi,2,1, . . . , vi,2,Nω, qi,2,1, . . . , qi,2,Nω, ui,2,1, . . . , ui,2,Nω, pt2,1, . . . , pt2,Nω. (2.2)
O mesmo procedimento é repetido até que sejam calculadas as variáveis correspondentes ao último período do horizonte de planeja-mento. Observa-se, portanto, que o problema de despacho hidrotér-mico é estocástico de múltiplos estágios e apresenta um grande número de variáveis de decisão, que cresce exponencialmente com o acréscimo de períodos estudados. A Figura 2.1 representa a árvore de decisões do problema e as variáveis associadas à cada estágio.
q2,Nω,...,v2,Nω q3,Nω,...,v3,Nω q3,Nω',...,v3,Nω' qT,Nω,...,vT,Nω q2,1,...,v2,1 q3,1,...,v3,1 q3,1',...,v3,1' qT,1,...,vT,1 q1,ph1,pt1,u1,v1
Figura 2.1: Árvore de decisões para o problema de despacho hidrotér-mico de múltiplos estágios.
Como forma de reduzir o número de variáveis, o despacho de médio prazo é modelado como um problema de programação estocás-tica de dois estágios. No primeiro estágio, correspondendo ao primeiro período, a decisão ótima segue o mesmo princípio da programação com múltiplos estágios de nida anteriormente.
No segundo estágio, que contempla os períodos t = 2, . . . , T , são obtidos valores ótimos para cada variável phi,2,ω, . . . , phi,T ,ω, vi,2,ω, . . . , vi,T ,ω,
considerado. Os valores das variáveis de segundo estágio dependem dos valores das variáveis do primeiro estágio e das vazões a uentes. Ao se adotar a formulação do problema em dois estágios supõe-se que a to-mada de decisão seja feita mensalmente considerando valores atualiza-dos atualiza-dos montantes de água armazenada nos reservatórios. Sendo assim, o esquema de tomada de decisão adotada é mostrado na Figura 2.2.
q1,ph1,pt1,u1,v1 q2,1,...,v2,1 q2,2,...,v2,2 q2,Nω,...,v2,Nω qT,1,...,vT,1 qT,2,...,vT,2 qT,Nω,...,vT,Nω
Figura 2.2: Árvore de decisões para programação estocástica em dois estágios.
Na Figura 2.2, percebe-se que o número de variáveis é menor do que o da Figura 2.1, bem como o número de cenários, que mantem-se constante para todos os meses do horizonte de planejamento. Embora a redução do número de cenários possa comprometer a representatividade das possíveis realizações do processo estocástico, facilita a análise para problemas de despacho maiores.
2.2.2 Função-Objetivo do Despacho Centralizado
Neste modelo de planejamento, o operador do sistema tem como objetivo minimizar o valor esperado do custo da geração termelétrica necessária para complementar o suprimento da carga considerando to-dos os períoto-dos e cenários hidrológicos. A função-objetivo do problema de otimização resolvido é: f = Nω X ω=1 πω T X t=1 c2pt2t,ω+ c1ptt,ω+ c0, (2.3)
res-trições descritas a seguir.
2.2.3 Balanço Hídrico
Para cada reservatório i, o volume de água no período t e cenário ω é obtido da equação de balanço hídrico, considerando conhecidos os volumes iniciais dos reservatórios. Desprezando os tempos gastos pela água para percorrer as distâncias entre as usinas numa cascata, as perdas por evaporação e/ou outras utilizações, tem-se:
vi,t,ω= vi,t−1,ω+ ri,t,ω− qi,t,ω− ui,t,ω
+X
m∈Ωi
[qm,t,ω+ um,t,ω] (2.4)
onde, Ωi é o conjunto de usinas a montante de i.
Para que o despacho leve em consideração as condições futuras de operação do sistema, estipula-se que o volume de água armazenada em cada reservatório i ao nal do período de planejamento seja maior ou igual a um valor especi cado, vsp
i . Ou seja:
vi,T ,ω− v sp
i ≥ 0. (2.5)
2.2.4 Função de Produção
A produção de uma usina hidrelétrica i se baseia na conversão de energia potencial em energia elétrica, sendo portanto, uma função re-presentada em termos da vazão turbinada e da queda líquida, conforme (2.6).
phi,t,ω= g σ ηihli,t,ωqi,t,ω, (2.6)
onde:
g é constante de aceleração da gravidade; σ é a densidade d'água;
ηi é o rendimento do grupo turbina gerador, considerado
cons-tante;
hli,t,ω é a queda líquida da usina i, período t e cenário ω.
Se as perdas são desprezadas, a função que de ne a queda líquida é dada pela diferença entre a altura a montante, hvi,t,ω, e a altura
à jusante, hqi,t,ω, sendo essas representadas por funções polinomiais.
Assim:
hli,t,ω = hvi,t,ω− hqi,t,ω. (2.7)
Para as usinas hidrelétricas brasileiras, os polinômios de cota a montante e jusante podem ser de até quinto grau. Neste trabalho, no entanto, a função de produção é simpli cada empregando-se polinômios de cota de grau um.
O polinômio de cota a montante é expresso por:
hvi,t,ω = α0i+ α1i¯vi,t,ω. (2.8)
sendo ¯vi,t,ω o volume médio, ou seja,
¯ vi,t,ω =
vi,t−1,ω+ vi,t,ω
2 ,
e α0i, α1i constantes conhecidas.
O polinômio de cota a jusante é expresso por:
hqi,t,ω= β0i+ β1i(qi,t,ω+ ui,t,ω), (2.9)
sendo β0i, β1i constantes conhecidas.
Uma vez que hvi,t,ωe hqi,t,ωforam simpli cadas para polinômios
de primeira ordem, a potência gerada pela hidrelétrica i é expressa por uma função de produção quadrática (SOLIMAN; CHRISTENSEN, 1988), (GUEDES et al., 2015):
phi,t,ω = k1iqi,t,ω− k2iq
2
i,t,ω+ k3iv¯i,t,ωqi,t,ω− k4iqi,t,ωui,t,ω, (2.10)
onde, k1i, k2i, k3i e k4i são coe cientes da função de produção da usina
i, assim de nidos: k1i = g σηi(α0i− β0i), k2i = g σηiβ1i, k3i = g σηiα1i, k4i = g σηiβ1i. (2.11)
Deve-se observar que a função (2.10), apesar de quadrática, não é necessariamente convexa ou côncava.
2.2.5 Balanço de Potência
A equação que de ne o balanço de potência do sistema em cada período t e cenário ω é expressa:
H
X
i=1
phi,t,ω+ ptt,ω= pdt, (2.12)
onde pdté a demanda do sistema para cada período t. Deve-se observar
que pdt é a mesma em todos os cenários de vazão a uente.
2.2.6 Limites Operacionais
Cada usina possui uma faixa de operação de nida por seus limi-tes operacionais. Esses limilimi-tes são dados pelas seguinlimi-tes restrições de desigualdade: vmin i ≤ vi,t,ω ≤ vmaxi , qmin i ≤ qi,t,ω≤ qmaxi , phmin i ≤ phi,t,ω≤ phmaxi ,
umini ≤ ui,t,ω≤ umaxi ,
ptmin≤ ptt,ω≤ ptmax.
(2.13)
Pode-se considerar que qmin
i = 0 e ptmin = 0. Por outro lado,
uma vez que a potência gerada depende da vazão turbinada, os limites em phi,t,ω não precisam ser explicitamente representados. Por m,
pode-se considerar que, não existam limites máximos para as vazões vertidas e para ptt,ω, uma vez que essa variável representa a geração
térmica complementar.
2.2.7 Despacho Centralizado: Modelo completo
Com o objetivo de reduzir custos, o operador do sistema tenta utilizar ao máximo os recursos hídricos disponíveis. O problema de despacho centralizado é então representado conforme (2.14):
min f = Nω X ω=1 πω T X t=1 c2pt2t,ω+ c1ptt,ω+ c0 s.a:
qi,1,1= qi,1,2= · · · = qi,1,Nω, ui,1,1= ui,1,2= · · · = ui,1,Nω,
vi,t,ω= vi,t−1,ω+ ri,t,ω− qi,t,ω− ui,t,ω+ X m∈Ωi [qm,t,ω+ um,t,ω], ¯ vi,t,ω= vi,t−1,ω+ vi,t,ω 2 , phi,t,ω= k1iqi,t,ω− k2iq 2
i,t,ω+ k3i¯vi,t,ωqi,t,ω− k4iqi,t,ωui,t,ω, H X i=1 phi,t,ω+ ptt,ω= pdt, vi,T ,ω− visp≥ 0, vmin i ≤ vi,t,ω≤ vimax, qmini ≤ qi,t,ω≤ qimax, phmini ≤ phi,t,ω≤ phmaxi , umini ≤ ui,t,ω≤ umaxi , ptmin≤ pt
t,ω≤ ptmax,
i = 1, ..., H; t = 1, ..., T ; ω = 1, ..., Nω.
(2.14) Pode-se observar que no problema (2.14) não estão incluídas to-das as restrições indicato-das em (2.1), pois os volumes dos reservatórios, as gerações hidrelétricas e termelétricas são funções das variáveis que representam as vazões turbinadas e vertidas.
O Apêndice A mostra que o problema de despacho centralizado (2.14) pode ser representado, sem perda de generalidade, em termos das variáveis qi,t,ω, ui,t,ω, ¯vi,t,ω e ptt,ω:
min f = Nω X s=1 πs T X t=1 c2pt2t,ω+ c1ptt,ω+ c0 s.a:
g1qi,ω= qi,1,1= qi,1,2= · · · = qi,1,Nω g1ui,ω = ui,1,1= ui,1,2= · · · = ui,1,Nω
∀i e ω = 1, . . . , Nω−1 gvmi,t,ω= ¯vi,t,ω+12[qi,t,ω+ ui,t,ω
−X m∈Ωi (qm,t,ω+ um,t,ω)] ≥ vimin− 1 2ri,t,ω gvMi,t,ω= −¯vi,t,ω− 1 2[qi,t,ωui,t,ω +X m∈Ωi (qm,t,ω+ um,t,ω)] ≥ −vimax+ 1 2ri,t,ω gTi,T ,ω = ¯vi,t,ω+ 1 2[qi,t,ω+ ui,t,ω −X m∈Ωi (qm,t,ω+ um,t,ω)] ≥ visp− 1 2ri,t,ω gv¯i,t,ω= ¯vi,t,ω− ¯vi,t−1,ω−
1 2[−qi,t−1,ω− ui,t−1,ω +X m∈Ωi (qm,t−1,ω+ um,t−1,ω)] − 1 2[−qi,t,ω− ui,t,ω +X m∈Ωi (qm,t,ω+ um,t,ω)] = 1 2(ri,t−1,ω+ ri,t,ω) ghmi,t,ω= k1iqi,t,ω− k2iq 2
i,t,ω+ k3i¯vi,t,ωqi,t,ω −k4iqi,t,ωui,t,ω≥ ph
min i ghMi,t,ω= −k1iqi,t,ω+ k2iq 2
i,t,ω− k3iv¯i,t,ωqi,t,ω +k4iqi,t,ωui,t,ω≥ −ph max i gbpt,ω = H X i=1 (k1iqi,t,ω− k2iq 2
i,t,ω+ k3i¯vi,t,ωqi,t,ω −k4iqi,t,ωui,t,ω) + ptt,ω= pdt gqmi,t,ω= q min i − qi,t,ω≤ 0, gqmi,t,ω= qi,t,ω− q max i ≤ 0, gumi,t,ω= u min i − ui,t,ω≤ 0, guMi,t,ω = ui,t,ω− u max i ≤ 0, gpmt,ω = pt min− pt t,ω≤ 0, gpMt,ω = ptt,ω− ≤ ptmax≤ 0, ∀i, t, ω. (2.15) O problema (2.15) é polinomial com grau 2 e não convexo.
