Sistemas dinamicos multidimensionais

ORLANDO FRANCISCO LOPES

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1150036738

(~

IMECC TIUNICAMP L881 s

SISTEMAS DINÂMICOS MULTIDIMENSIONAIS

Campinas

1969

Tese de Doutoramento apresentado ao Instituto de Matemática da Universidade Estadual de Campinas O IMECC BIBLIOTECA D DA

t!~1\ilS

Em julho de 1967, o Prof. Waldyr Muniz Oliva nos apr~ sentou alguns resultados sôbre certo tipo de sistemas a derivadas par-ciais e sugeriu algumas direçÕes em que se poderia encaminhar urnape.! quisa. Posteriormente, em trabalho conjunto com o Prof. Mauro de Oliveira Cesar, desenvolvemos a Teoria da Estabilidade e o Princí"pio de Invariança de La Salle. Já mais recentemente, fomos levados a es-tudar aspectos topolÓgicos dos sistemas dinâmicos multidimensionais e estabilidade de Órbitas. A ordem de apresentaçao dos capttulos talvez

-

'

não seja a melhor, pois nos preocupamos em manter a ordem cronolÓ-gica em que os trabalhos foram realizados. Pretendemos, com esta m.2, desta Tese, dar alguma indicação sôbre problemas de sistemas dinâmi-cos multidimensionais, assunto êsse que tem, inclusive, literatura não muito rica.

Gostariamos, nesta oportunidade, de agradecer ao Prof. Mauro de Oliveira Cesar, não sÓ por ter orientado esta obra, como tam bém pelo apoio e pela amizade que sempre nos concedeu; ao Prof. Waldyr Muniz Oliva, por nos ter colocado em contacto com pesquisa em matemática, pela confiança de que fomos alvo e pela paciência com que nos tratou; ao Prof. Rubens Murillo Marques, pela acolhida que nos

/

-

.

deu e por ter tornado poss1vel a apresentaçao deste trabalho em curto prazo; finalmente, ao Prof. Giorgio Giacaglia, por nos aceitar para o Centro de Estudos de Mecânica Celeste e pelas incessantes provas de consideração. A êles, aos amigos que nos incentivaram, ao pessoal do C ESC EM na figura de Dna. Marianina Malvezzi, o nosso agradecimento.

f N D I C E

CAPfTULO

I, SISTEMAS DE MAYER-LIE. SISTEMAS DINÂMICOS

MULTIDIM:ENSIONAIS • • • • • • • .. • • • • • • • • • • • • • • • • 1

U. ESTABILIDADE DE LIAPUNOV E TEORIA DE

LA SALLE . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • . . . . . • 7

UI. ASPECTOS TOPOLÓGICOS NO PLANO • • o o • • • • o •

19

CAPfTULO I

SISTEMAS DE MAYER-LIE

SISTEMAS DINÂMICOS MULTIDIMENSIONAIS

Faremos neste capitulo a teoria dos sistemas de Mayer-Lie e, particularizando para o caso autônomo, obteremos os sistemas dinâmi-c os multidimensionais.

I. L Definição: chama-se sistema de Mayer-Lie a todo sistema

dife-( 1)

rencial parcial da forma:

1 ~ j :<:: p, ou em forma vetorial:

=fj(t,x) 1

s

j s: p, onde f. (t, x) são funções

J

classe

cl

de um aberto O C R0

₊

_{P em Rn.}

de

I. 2. CondiçÕes de Integrabilidade: Se para todo par (t0 , x

0 ) E O,

existe uma solução x(t, t0 , x

0 ) de (1) definida

nu-ma vizinhança de t0 , e tal que x (t0 , t0 , x

0 ) ::: x0 , então como

teremos

a

""ã"F

_{fk (t, X (t, tO, x 0) ),}

(2) df• 1 n

+

~ i= 1 n

+

~ i= 1

f~,lS:j,kS:p

J

válida em todo o conjunto O. As relaçÕes (2) serao chamadas condi~

çoes de integrabilidade.

Reci)nocamente, se (2) estão satisfeitas em O, en-tão para todo par (t0 , x

0 ) E O existe uma vizinhança U de t

0 _{e uma} solução x = x (t) definida em U tal que x (t0₎

=

_x

0 e se x = X (t)

e U estão nas mesmas condições, x(t) e x{t) coincidem em U

nU.

Demonstram-se, como no caso de equações ordinárias, teoremas análogos a respeito de continuidade e diferenciabilidade da so lução, relativamente às condiçÕes iniciais. Daqui para frente, supore~ mos integráveis os sistemas tratados.

I. 3. DomÍnio Maximal: Para cada (t0 _,

x 0) E O consideremos o a-berto conexo Um que

é

a reunião de todos os domf-nios (conexos) relativamente às soluçÕes de (I) que passam por x₀ para t

=

t0 • Então fica bem definida em Um uma solução x (t) com x (t0 ) = x

0 , que será chamada solução maximal e Um, Obviamente, dom(nio maximal relativos a (t0 , x

0) . É verdade ainda que no espaço

Rn

+

P, tôda solução maximal não pode permanecer num compacto con tido em

n.

I. 4. Sistemas Autônomos: Um sistema de Mayer-Lie

é

dito autôno~ mo se fôr dado por:

( 3) ilx

il t.

J

=

fj (x), 1 ::;; J s_ p, onde as funçÕes Íj são de classe

c

1 em um aberto 01 c Rn. Neste caso, as condiçÕes de integrabilida de ficam: (4) p

E

i

=

1 p

=

E

i=l

f~

J

Ainda, se x (t)

é

solução de (3) com domÍnio maximal Um, com x(t0) = x₀ e se

17 :::

(17i) E Rp, então y (t) ~ x(t -17)

é

uma

solução com domÍnio maximal Um

+ 1'1 ,

com y (t0

₊

₇₁₎

=

_x

0 • Além disso, como no caso ordinário, se K 1 C

O

₁

é

um compacto e

t0 = (tj ) , x (t) E K

1 para todo t = (tj) com tj ~ t j , I < j < p, '

implica que

um

contem todos os (tj) para os quais tj

Proposição I. 4. 1 Seja x

(t,

x

0 ) a solução de {3) tal que x (0, x0) = x0 • En-tão X {t, X {t1, x

0) ) :: X (t

+

tl,

x0) para todo t e

tt

para OS quais

estão definidas essas expressÕes.

A prova se resumo em verificar que ambos os membros sao

-soluções como funções de t e coincidem para t = o.

Suponhamos agora que as soluções de {3) estejam definidas em todo RP. Fica então definida uma ação do RP no Rn que leva

(t, q) em <Pt (q)

=

x (t, q) pois <Pt

+

t'

=

_{<Pt • <P 1, e <P 0}

=

Id. Para

cada t, q,t

é

um difeomorfismo do Rn no Rn, cujo inverso

é

li'_t. Tal ação será chamada um sistema dinâmico multidimensional. Para ca

da x₀ E Rn , o conjunto dos pontos cpt (x

0) com t percorrendo RP

será chamado Órbita ou trajetÓria de- x₀ e será denotado

{9

(x

0 ) •

Dada a solução x(t, x₀) diremos que

17 E

Rp

é

pe-rí'odo se _{X (}

_!J'

_xo)

₌

_{X o •}

_:t

_{s se conceito, na realidade, está associa} do

à

Órbita de _{xo '} pois se _Yo

_E

_{\D<xo)' Yo}

₌

_x

_{t0

, _xo) para

al-gum tO

_•

_{e X (}

_!J'

_Yol

₌

_{X (}

_!J'

X (t0 , _Xo))

-

X {t0 , _X

_{!J'

_xo))

=

Proposição

1.

4. 2.

Se x (t)

é

uma solução de {3) com dom(nio maximal Um e 111 e 172 são vetôre s de RP tais que x (171) =: x

(172 ),

então um

é

invariante pela translação de vetor

11 :::

171 '72 _e

₁₁

_{e peno-}'

'

do da ;rbita de x (t).

De fato, o dominio maximal relativo a x (

17 l )

é

um -

17 1

e a X (

17

2

)

Um - 172• Então Um - 712 ::: Um - 711 •

don-de um = Um + '7. Al~m disso, X (

'7

2 + '7) = X ( '71) =X ( '7 2) e '7

'

'

e pertodo.

Seja agora G o conjunto dos per(odos de x (t). Se Tl e T2 estão em G, x(t

+

Tl + T2) = x(t + Tl) = x(t), isto

é,

Tl

+

T 2

estáem G. Poroutrolado, x(t-Tl)=x(t-Tl+Tl)=x(t)e(-Tl)e!!_

tá em G. Portanto G

é

um sub-grupo de RP, Ainda se (Tn)

é

uma - . d ' d

sequencta e perto os que converge_ para T, T

é

perí'odo pois x (t+ T)

=

x(t+Hm~) = x(lim(t+ ~)) = lim x(t+ Tn)

=

x(t). Então G ~

dia-grama, obteremos uma função h injetora e sôbre

{9

(x₀) , com d h injetora em c a

da ponto. No caso em que Rp

I

G ~ com-pacto, h

é

um difeomorfismo entre RP

I

G

P ' · f r - s s Como todo sub-grupo fechado do R e 1somor o a R X Z , a Órbita

te)

(x

0)

é

a imagem através de uma aplicação diferenciável r

e-gula r do quociente Rp

I

R r - s X zs :::.. (RP - s X~ R s)/R r - s X zS) ""' s S: r, O S: r S: p, onde T s e o toro s di- -mensional. RP - r

x

T8

_é

_{portanto um cilindro toroidal, e se p ::: r}

\9

(x₀)

é

difeomorfa a Ts.

Quando G :::: RP,

O

{x

0)

= [

x0 } e x0

é

dito ponto critico. É claro que neste caso fj {x_{0 ) ::: O,} j :::: 1, 2, ••• , p

I. 5. Caso Linear

Um sistema linear autônomo

é

aquêle dado por

(5) 1 S: j S: p , onde

Aj são matrizes n X;' .. n A condição de integrabilidade fica:

forma expl[cita:

x _{(t 1, ••• , ),• x 0)}

=

_{exp (t1 AI) ••• exp(), A}1) ••• exp(tp AP)

x₀ = exp _{{t 1 A 1}

+ .•. +

tp Ap) x 0

Suponhamos então que o L (x)

J seja

um sistema autônomo integrável que admite a origem O E Rn como pog_ to cr{tico.

Supondo Íj (x) de classe

c

2 ' pelo desenvolvimento de Taylor ao redor da origem e pelas condiçÕes de integrabilidade (4) che-ga-se a Ai Aj ::: Aj Ai, onde Aj ::: dfj {O); isto

é.

o linearizado de um sistema integrável num ponto cr(tico é também integráveL

I. 6. Derivadas com Respeito a um Sistema Integrável

Sejam ij ::: fj (x) um sistema integrável e V uma função de classe

c

1 definida em um aberto W do Rn com valôres reais. Dado Xo

e

w

consideremos a solução x(t) tal que x{O):: xo. As derivadas ô V (x ( t) )

I

t o

0

=

(grad V x fj) (x0) , onde x de

nota o produto escalar habitual, são as derivadas parciais de V relati-vamente ao sistema dado no ponto x

CAPÍTULO II

ESTABILIDADE SEGUNDO LIAPUNOV E TEORIA DE LA-SALLE

Para uma visualização geométrica consideraremos sistemas autônomos com duas variáveis independentes e três dependentes:

( 6

J

_o

ox t₂

=

f2 (x), onde xl

-il.l2.

ot 1 fi I (x) x= xz ox 2 fz

-ª.L

₌ 1 1 (x) = (x) x3 o tI _{at 1} I ox3 _fi 3 _(x)

-ot 1

Vamos admitir satisfeitas as condições de integrabilidade e

indicaremos por x(t, P

0) a solução de (6) tal que x{O, P0)

=

P0 • Não havendo possibilidade de confusão, omitiremos P

0•

II. 1.. DefiniçÕes:

Se a origem

é

um ponto crí"tico dizemos que

é

estável se dado E >O existe õ (e:) >O tal que lx(t, P

0) I<

e:

para todo P0 com

I

P

0

I

< Ô e todo t do 19 quadrante, t pertencente ao domí'nio maximal da solução. Na realidade, pelo que ficou dito em I. 3. o dominio ma-ximal contém o primeiro quadrante. Além disso, a origem

é

assintÕti-camente estável se fôr estável e existir

p

>

O tal que

I

P

0

I

< p

impli

ca llim

x

{t, P )

=

O, t no primeiro quadrante •

Se E C R3

é

um conjunto não vazio, define-se distâ!!, cia de x a E d{x, E)

=

inf [

jx- yj, y

E E}. Introduziremos o ponto

= e definiremos d (x, =) :::

lxf-

1

~

Assim quando escrevermos E*

=

= E U [ "}, entenderemos d (x, E*) = min [ d (x, E), d (x, ") } •

II. 2. Conjunto Limite e Conjunto Invariante

Seja x (t, P₀) uma solução do sistema (6) definida p~

ra todo t E R 2 • Dizemos que um ponto Q de R 3

é

um ponto limite da solução se existe uma sequência tn :::! (tln' tzn ), com

I

tn r _, IZI,

,

tal que lim x(~, P₀ ) = Q. O conjunto dos pontos limites ser a chamado conjunto limite

A •

Um conjunto A C R 3 diz-se invariante se P E A

o implica x {t, p

0 ) E A para todo t pertencente ao dom:iÍlio maximal

da solução.

II. 3. Propriedades do Conjunto Limite

A

a)

A

é

fechado.

De fato, se

P

n ...

P,

com

P

n

E A,

então Pn::: lim x {~k) com

k~ "

::: = para todo n •

Construamos a seguinte sequência:

_{77 1 :::}

_{t 1 k} com I

com

com /t1n/ >n; então /11n/_,= e dado E:> O, existe N tal que para todo n ~ N, jPn- Pj

<

E:/2. Para êsse N,

existe N1 _{tal que n}

_>

_{N' implica}

lx

_{{'17n) - Pn}

I<

_{E/2. Então n}

_>

_N1

implica lx ('In)- Pl < lx ('1nl- Pn

I+ I

Pn- P

I<

f, donde

x ('In) ~ P e P

E A •

Uma outra forma de verificar qu~

A

é

fechado

é

observar

que A c

n

(x(t, Po)

I

l t l .

r)

tER+

b)

A

é

invariante

Se P E A, P = lim x ('tu) ; então

X (t, P) c x (t, lim x

(t,))

c lim x (t

+

ln ),

isto e, x(t, P) E A.

-c) Se a solução x {t)

é

limitada,

A

é

não vazio, limitado (po!. tanto compacto) e lim x {t)

=

A

lt

I~=

Que A

é

não vazio e limitado

é

imediato. Além disso, para tôda sequência

"tu

com

I

tn

I

-> cc , existe subsequência

com convergindo para um ponto de

A,

o que prova a afirmação.

d) Se a solução

é

limitada,

A

é

conexo.

Em primeiro lugar, como a solução

é

limitada sua ~rbita p~ de ser colocada num compacto K. Se

A

não fôsse conexo êle seria coberto por dois abertos disjuntos

O

₁ e

_{0 2 ,}

ca da um dêles tendo intersecção não vazia com

A.

Sejam p E A

n o

I e Q E A

n

Oz. Então p c lim X

(ln)

e Q = lim x ('17n) e a partir de um conveniente {ndice,

A partir dês se {ndice, a curva C no plano (t1 , t 2 ) existe

ne---~---+----~!!

c

la um ponto Tn tal que x(Tn) ~

nl u

Oz.

Como x ( Tn) está num compacto K e

I

Tn

I ...

00

, existiria x ( Tnk) convergindo para um ponto limite que não e_! tá em

A,

o que

é

absurdo.

e) No caso de uma solução ilimitada, sendo A* ::: A U [ 00 ) ,

f)

lim x(t) =

A*

I

ti~=

Se assim não fôsse, existiria um €

>

O e uma sequênda "tn• com

ltn , ...

00 _, tal que x (tn)

é

limitada e

d(x('tn), A) ~ €. Portanto existiHa uma subsequênda-tnk tal que x ("tnk) converge para um ponto Q

r;.

A, o que

é

absurdo.

Se A e vazto, '

.

limx(t)""oo•

I

ti~=

Imediato.

g) Se A

é

não vazio e x (t)

é

ilimitada, A

é

ilimitado. De fato, se A fôsse limitado êle estaria contido numa bo la de raio R. De acÔrdo com as hipÓteses feitas existi-riam sequências

"tu

e 17n com ltnl, 117nl ... 00 _e

x(tn) _. P E A e

I

x( t'1n)

I ...

00 .. Na curva C indicada na figura, a partir de um certo fndice, existiria Tn

com x {Tu) na bola

fz

de raio {R+ 1), e

tn

< _t,

para uma certa sub

I!

c

sequência Tnk' te

_/'---

_'T

n

mos Tnk ~

=

e 11n

x{Tnk) ... Q, Q na bola de raio {R+ 1), o que seria ab-surdo.

I!. 4. Conjuntos limites

Se

tn

é

uma sequência com

!t.n

I

-->

=,

existe uma sub

se-quência tkn = (tlk ,

n tz k ) cujas componentes são monotômicas. n

Tal sequência s~rá dita monotônica. Portanto, se Q E A existe uma sequência monotônica

tn

tal que x("tn) --> Q. Assim sendo o conjunto

limite

A

pode ser considerado união de quatro conjuntos, não necessà-riamente disjuntos, os quais são:

A++,

quando as duas componentes tln e tzn são crescentes;

A_+

quando t₁n

é

decrescente e tzn

é

crescente;

A+ _,

quando t

₁

n é crescente e tzn

é

decrescente;

-A __ ,

quando ambas são decrescentes. Cada um dêsses conjuntos e

invariante, pois para todo tE R 2 , as componentes das sequências tn e

tn

+

t são do mesmo tipo; além disso, se a solução fôr limitada nenhum dêle s é vazio, todos êle s são limitados e lim x( t)

=

A

+ + ,

tl -><;g tz-

=

no seguinte sentido: dado E

>

O existe t

0 tal que para t :!: t0 d (x (t), A+ + ) <

< •

Proro-sição II. 4. 1.

Se x(t) é limitada todos os pontos de A++ podem ser obtidos atrav~s de um dos três tipos de sequências ~ :.:: (t

1n, t2n):

a) _{tln constante e tzn ... +o;o, monotônicamente ;}

b) _tln ~+= _{monotônicamente e tzn constante;}

c) _tln ~+= _{e tzn} ~

+ =

ambas monotônicamente.

Mostremos que se tn

=

(tln, t

2n) com t1n convergil_!. do para a e tzn ...

+o;,

é tal que x (tu) converge para P, então x (t'nX também converge para P onde t'n ;::; (a, tzn)• De fato, como x (t)

é

limitada existe L tal que

lf

1 (x (t))

I

s L e

lf

2 (x(t))

I~

L. Portanto, [x(tn)- x(t'n)

I

:5: L

l1n-

_{t'n [:::L [t1n-}

a[,

o que demons tra a afirmação.

Valem proposiçÕes semelhantes para os demais conjrmtos limites.

No caso de uma solução ilimitada, se chamarmos

A~+ ;::; A++ U [

c:o},

tem-se: lim x{t)

=

A*++.

t --~+=

I tz ...

+=

Temos ainda as seguintes propriedades: a) e vaz1o, '

.

lim x(t)

b) Se A++ não é vazio e x{t) não tende a A+ +,qua~ do t₁ __. + oo e t₂ ...

+

oo , A++

é

ilimitado.

vizinhan-ça de A++ tal que para todo

?1

existe t

>

?1

X (f:,) ~

P.

Sendo A++ limitado, x (t, P) está definida para todo t. Portanto x

('tn

+ t) converge para x (t, P), para to-do t. Seja

₁₁₁

_{um ponto qualquer e n 1 um indice tal}

que x(tnl

+

11

_{1 - t 1)}

E

_{K e T 1} ~

11

_{1 (T 11} ~

11

_{11 ,}

T₁₂ ~

11

_{12), com x (T 1)} ~ K. Então existe

11z•

pe!_

tencente ao segmento ( T ₁• tn₁

+

11

₁

-

_{t 1 ) tal que x} ('l'lz) pertence

à

fronteira de K. Repetindo o raciocinio pa-ra

'11z

obteremos

'1z

obteremos '17₃

>

'1z,

x ('17_{3 ) peE_}

tencente

à

fronteira de K. Tem-se então um ponto de A++ na fronteira de K, o que

é

absurdo.

I!. 5. Função de Liapunov

Seja V uma função de classe cl de R 3 em R. Se G

é

um conjunto em R 3 diz-se que V

é

uma função de Liapunov sôbre G

•

•

relativamente ao sistema {6) se

v

₁

=

grad V X f

1 e

v

2 = grad V X f2 não mudarem de sinal em G.

Nos teoremas a seguir, indicaremos por E o conjunto

E

=

_{[x; V 1 (x)}

=

O ou V

z

(x)

=

O, x E G), onde G

é

o fecho de G.

Seja M o maior invariante contido em E. Segue-se imediatamente que M

é

um conjunto fechado.

Teorema II. 6.

Seja V uma função de Liapw10v sôbre G relativamente •

ao sistema {6), sendo _{V 1} ~ O e

v

_{2 :::::O.} Então tôda soluçãox{t) que permanece em G para todo t

1 ~ O (t1 ~O, tz ;;e: O) tende para M* = M U ( ca } _{quando t 1 ...}

+

ca. Se M fôr limitado, lim x (t) = M

ti-.+= ou lim x(t)

=

<;r;l t ~~ 1 tz-<;r;l tz

_;-·+

<;r;l

Suponhamos A++" não vazio. Se a solução permanece

.

.

em G para todo t ~ 01 então

v

_{1 (x(t))} :o::: O e

Vz

(x (t) ::::: O.

Por-tanto, para

!7

~ t

(!7 "

t_{1 ,}

!7

_{2 " t 2 ),} V (x

(!7) )

$ V (x (t)). Seja P E A++ . e X (t) "' x (t, P) a solução tal que x (0, P) = P. Como A++

para todo t do campo de definição da solução. Provaremos que se P

~o obtido por meio de uma sequência tn = (tln , t

2n) , tln monotô-•

nica crescente limitada e tzn ilimitada,

Vz

{P) = O~

.

De fato: Vz (P)

=

lim ~-o+ V(X(h))- V(X(OI) C< h= (0, C<) eV(X(O))=V(P)=V(limx(t,)) = lim V(x(t,)). onde

V (X (h))

=

V (x (h, P))

=

V (x (h, lim x (I,))

=

lim V (x (h + t,)) • Como

C<

>

O, V (x (h + t,)) $ V (x (I,) ). Além disso existe

!!!.

tal que tm

>

h + t,. Então V (x (tm)) $ V (x (h+ t, ) ) $V (x(t,) ). Portan-to, V(X(h)) = lim V(x(h+t,))

=

lim V(x(t,))

=

V(X(O)), e

V

_{2 (P) ::: O. Anàlogamente se P fôr obtido por meio de uma sequência}

•

• • duas forem ilimitadas,

v

₁ (P) =

v

2 (P) = O. Então, em qualquer

ca-so,

P E

E e por ser

A++

invariante

P E M.

Portanto x {t) -> M*

quandO

tr _,

+

CC €

tz

->

+

ai •

Se M fôr limitado, A++

é

limitado e pela propried<.:_ de b, lim x (t) = A++ •

tr

-+=

~ Portanto, lim x (t) = M.

tr ... +

=

tz __.

+

_tz

-+=

Valem ainda resultados análogos para os outros quadra!!_

• •

tes adotando-se convenientes sinais para V

1 e V 2 •

Teorema II. 7.

Seja V mna função de Liaprmov sôbre G para o

sis-• •

tema (6), sendo

v

₁ :::; O e

v

₂ s; O. Se x (t)

é

uma solução limitada para t no primeiro quadrante e que permanece em G, ela tende para

M quando

[t [ ...

w, t no primeiro quadrante.

Precisamos provar que dado E

>

O, existe um r {€)

tal que para todo t do primeiro quadrante,

[t[

>

r (€ ). tem-se

d (x {t), M)

<

E. Se isto não fôsse verdade existiria um ~

>

O e uma

sequência

tn

do primeiro quadrante, ltnl ... =tal que d{x('tn_), M):<!: E: ..

Como a sequência x ('tu) está num. compacto podemos escolher um.a sub sequência ~k de ~, x ("tnk) convergente para um. certo P e tal que as duas componentes de tnk {monotônicas) sejam ambas ilimitadas ou uma delas convergente.. Pela proposição IIo 4 .. 1 em qualquer caso P E A++" Isto

é

absurdo pois d{P, M) 0!: f e A++ está contido em

M pelo teorema anterior e

Tio 8o DefiniçÕes

a) Um conjunto A compacto não vazio diz-se atrator do tipo ( + +) se existe Ct

>

O tal que, qualquer que seja P com d (P, A) <ex, a solução x (t, P) tem A++ não vazio e con tido em A. O conjunto D dos pontos P tais que x{t, P) tem A++ não vazio e contido em A chama-se região de atração relativa a A.

b) Um conjunto A diz-se estável {relativamente ao primei-r o quadprimei-rante) se dado €

>

O arbitrário existe

õ

(€)> O

tal que d(P, A) < Õ (<) implica d(x(t, P), A)< €, pa-ra todo t do primeiro quadpa-rante.

c) Um conjunto A diz-se assintOticamente estável se fôr um atrator estável.

Teorema TI. 9.

Seja L umnÚmeroreal e VL" [x ER 3 ;V(x)<L}. Suponhamos que G

é

urna componente conexa limitada de V L • Se

ti-•

vermos em G

v

₁ ::;; O e V

z ::;

O e se o conjunto M0

₌

_M

_'M

_{G fÔr}

não vazio e estiver contido em G, teremos M0

=

M

n

G e êste con-junto será um atrator do tipo {

+ + ).

Se além disso V fôr constante na fronteira de M0 , êste será um atrator estável.

para todo t no primeiro quadrante. Como pelo teorema II. 7, x(t, P) tende a M e não pode tender para a fronteira de G, ela tende para M0 quando lt

I ...

00 , t no primeiro quadrante.

É

fácil ver que G esu; contido na região

?e

atração de M0• Para demonstrar a za. parte do

teorema, consideremos a vizinhança S (M0 , €)

c

G. Seja m o mrnr-

'

.

o

mo de V (x) na fronteira de S (M , E) e 1 o valor de V na frontei-ra de M0• Tem-se 1

<

rn < L. De fato seja Q um ponto de

frontei-ra de S (M0

, E) tal que V {Q)

=

m e x {t, Q) a solução que no

ins-tante zero passa por Q. Como V

1 s O, para todo t do primeiro qu~ drante teremos V (x (t, Q)) s m. Não poderá subsistir a igualdade P!!:.

ra todo t do primeiro quadrante pois, se assim fôsse os pontos x{t, Q)

pertenceriam a E (ver teorema II. 6) e como a solução

é

invariante ela estaria contida em M0 _{e o ponto Q pertenceria a M}0

, o que

é

ab-surdo. Portanto existe t

0 tal que V (x (t0 , Q))

<

m. Tornemos uma sequência

"tn

=

{t₀ , tzn) tal que x

(in,

Q) converge. Portanto,

lim V (x(tn• Q)) = I ~ V (x(t,, Q)).

Em correspondência ao nÚmero m - 1 < O, pela conti-nuidade de V (x) e compacidade de M0 _existe

Õ :i! O tal que se

d {P, M0

)

<

Õ , P não pertencente a M0 _{implica 1 :S: V (P)}

_<

_m.

Portanto se d (P, M0_{) < õ resulta d (x (t, P), M}0

) < ( para todo

t do primeiro quadrante.

Assim como no caso das equações ordinárias esta teo-ria engloba o teorema de estabilidade assin~Ótica de Liapunov.

ponto, êste ponto

é

crí'tico e assintàticamente estável.

Decorre ainda o seguinte teorema de instabilidade comple-ta:

•

Corolário II Relativamente ao sistema (6) sejam V V

1

>

O e

•

V Vz >O em G e na fronteira de G suponhamos V = O. Então tô-da solução x (t, P), P E G

é

tal que lim x (t)

=

oo

tl ....

+

00

t ....

+

00

2

que o A

+

de tôda solução que nasce em G

é

vazio.

+

CAPÍTULO III

ASPECTOS TOPOLÓGICOS NO PLANO

Neste cap(tulo estudaremos os pares de campos que

co-mutam no plano, ou, equivalentemente, um sistema integrável com

n

=

p

=

2. Usaremos indistintamente as duas linguagens e suporemos que a ação do R 2 no R 2 determinada pelo par de campos seja global, isto

é,

as soluções do siStema estão definidas em todo o R 2 • Os resul tados aqui obtit:los poderão fàcilmente ser estendidos para campos que

comu~m

na esfera

sz.

Neste caso, a hipÓtese de que a ação

é

global está automàticamente verificada. Para maior clareza de exposição

re-petiremos aqui alguns conceitos vistos no cap(tu.lo I.

Definição

m.

1.

Dois campos X e Y definidos no plano comutam se [X, Y] = O, ou equivalentemente, as açÕes X₈ e Yt definidas por cada uxn dêles comutam, e, portanto, definem uma ação do R 2 no Rz através da igualdade: rp( (s, t), P ₀)

=

~ X₈ Yt (P_{0 )} = Yt X₈ (P_{0 ).}

Georne-tricamente, essa condição significa que se partirmos de P e caminhar

o

-mos ao longo da solução de X que passa por P₀ durante um tempo ~

ytX8 (P0)

=

---

=Xs Yt (P ₀)

e a partir dês se ponto Xs {P

ca-minharmos pela solução de Y durante um tempo

!.

e, em seguida, tr~ carmos X por Y e

!.

por

!. ,

obteremos o mesmo ponto final. Com essa interpretação

é

fácil ver que se

P

é

ponto crÍtico de

X, tôda

a

o

Órbita de Y que passa por P

0

é

constitu(da de pontos crÚicos de X.

Se considerarmos u1_{a matriz inversí"vel}

M=(: :)

e se definirmos s' e t1 _{pondo s = as'}

+

_bt'

t = cs1

+

_dt1

e X' e Y1 _{por ~· = a X +c Y, Y' = bX}

₊

_{dY, teremos [X', Y•]=O}

e a ação

cp

1 _{relativa ao par (X', Y') será tal que:}

rp'(s1_{(s, t), t}1_{(s, t), P}

0 )

=

rp ((s, t), P0 )

Note-se que X e Y são L. D.. em um ponto se e so-

'

mente se X' e Y1 _{são L.D. nesse ponto.}

Fixado P

0, vamos chamar de G o sub .. grupo fechado

de R2 formado pelos per(odos de t.p { { s,

t)~

P₀). Como

vimos~

se

(s

0 , t0 )

é

tal que t.p ((s0 , t0 ) , P0) ::: P0, então t.p({s+s0, t +-t

0

),~P

0

)=

=

cp

{a, t), P

0 ) , e {s0 , t0 )

é

per:í'odo para todo ponto da Órbita de P 0•

Proposição ITI. 2

G não pode ser isomorfo a Z X

z.

De fato, se G fôsse isomorfo a Z X Z, faríamos u'a mudança das variáveis independentes através de u1_{a matriz inversl'vel}

M, de forma que os geradores sejam da forma {a, O) e (O, 11) ~ Co!!_ siderados os novos ~ampos X1 _{e Y' êles seriam L. I. em P}

0 e as

respectivas soluçÕes seriam pariÓdicas de peri"odos cr e

'7 •

Sendo es-sas soluçÕes transversais em P

0 , a Órbita correspondente a Y• teria pontos internos e exter:rlos

à

Órbita

de X'. Então existiriam s

0 e t0

- p

- o seria per(odo, o que

é

absurdo pois (- s₀ , t

0 ) na o pode ser escrito como combinação linear de (cr, O) e (O,

'7)

com coefi cientes inteiros.

~sse teorema mostra que as Órbitas não degeneradas sÓ podem ter como sub-grupo dos per(odos um sub-grupo isomorfo a

[O }

ou a Z X [ O } , isto

é,

são a imagem injetora de um plano ou de um ci lindro-. É claro que, nesses casos, se

\9

(P

0)

é

a Órbita de P0 e P E Fr

lD

(P

0), então X e Y são L. D. em P, porque serao a

Órbita de P seria wn aberto e, portanto, encontraria a Órbita de P

0 ,

o que contrariaria a unicidade de solução. Além dia so, a fronteira de

\9

(P ₀)

é

um conjunto invariante relativamente às Órbitas de X e Y.

m.

3. Dois Lemas

Para caracterizar a fronteira de wna Órbita cil(ndrica precisamos de dois lemas a respeito de equaçÕes ordinárias no plano.

Seja então dx

dt = f (x), com f de classe

cl

J urna

= P

0 , suposta definida em tôda a reta qualquer que seja P 0 • Lema 1 .. Seja Pn -. P tal que as soluções que nascem em Pn

periÓdicas de per(odo T (independente de n) e P

é

ponto

-sao

crí"tico.

Então,

dado E:

>

O,

existe

N

(E::) tal que para to-do n ::2: N(E:) x{t, Pn) dista de P menos de E: , para

todo t E R,

Devido a dependência contíÍma em relação às condições iniciais, dados

E:>

O e T, existe Ô >O tal que

/O-P/<ô

implica

/x(t,

Q)

-P/<(,

para

os

t::;:

T.

Paraêsse

õ,

existe N a partir do qual f P n - P

I

<

õ,

donde

lx

(t, P

n) -

P

I

<

<,

O

~

t

~

T, isto

é,

lx

(t, P

nl -

P

I

<

<

para todo t.

Na realidade poderí'amos apenas supor que a sequência Tn dos perí'odos

é

limitada; relativamente ao sistema, não e , preciso que êle seja dado no plano.

Lema 2 - Suponhamos que Pn -+ P e que as soluçÕes que nascem em

P _n tenham o mesmo m(nimo per(odo T

>

O; então T

é

mfnimo p.er(odo da solução que nasce em P, a não ser que P seja ponto crí'tico.

É ~bv.io que T ~ periodo da solução que nasce em P. Su ponhamos que P não seja ponto cr(tico e que T não seja

~. ~ d

o mm1mo per1o o. O rnm1mo per1o o sera entao ~. ~d ' - T/k (k> 1).

o

<

€

<

T (k -I)

2 k • Então existe um cí'"rculo C€ de cen-tro P tal que tôda solução que nasce em um ponto de C€ encontra L depois de um tempo t com I tI

<

f:. Dados

C€ e T/k, existe

ô

>O de forma que se IP-

a[<

ô,

x(T/k, Q) E C€. Escolhido

.!!.

sujeito

à

condição IP- Pn I

<

Ô, como um transversal encontra uma solu-ção periÓdica no máximo em

um ponto a trajetÓria que pa_!

'

sa por Pn tem pertodo menor que 2. - 1-

(T-2

o que

é

absurdo.

T

k

) +

.L

k = T,

Para verificar que tal situação realmente ocorre basta considerar o sistema:

=

xz

dx2 _{dt = XI}

A origem dês se sistema

é

ponto de equilÍbrio, e tôdas as outras soluções são periÓdicas de mesmo peri~ do 2 '11'.

ITI. 4. F'l'onteira de uma Õrbita cU(ndrica

De posse dos lemas expostos, procuraremos dar algu-mas informações a respeito da fronteira de uma Órbita cilÍndrica K. Co mo já sabemos, na fronteira de K os campos X e Y são linearmente dependentes.

Proposição ill. 4. 1.

Se K

é

uma Órbita cil{nd:rica, então a fronteira de K

"'

"' .

"to

contem no max1mo um ponto cr1 1co comum a _{X e Y.} Demonstração:

Em primeiro lugar, façamos uma mudança nas variáveis independentes de maneira a obter wn novo par (X', Y') tal que tôda so-lução de X' que nasce em um ponto de K (e portanto permanece em K)

seja periÓdica de m(nimo per{odo T

>

O, igual para todos os pontos de K como fàcilmente se verifica. Se houvessem dois pontos crí'ticos P e

Q de X' na fronteira de K, teriamos duas sequências Pn e Qn em K tais que Pn converge para P e On para Q. Escolhamos vizinhan ças disjuntas U e V de P e Q. Pelo lema 1, escolhendo (ndices su ficientementes grandes, é~istem soluçÕes de X1 _{que nascem em algum}

Pn e não saem de U, assim como existem outras que nascem em al-gurn Qn e não saem de V. Chamemos C e C1 _{essas Órbitas perto ..} o'

dicas. Pela construção, vemos que C

é

homotÓpica a zero em R 2 -

c',

e C'

é

homotÓpica a zero em RZ - C, o que

é

absurdo pois a curva C pode ser levada em C' pelo fluxo de Y'.

Ainda por êsse argumento, podemos ver que o ponto cr:í"~ tico comum, {e portanto ponto crÍtico de X') o o '

se ex1shr, esta na parte interior de qualquer Órbita de X'. isto

é,

nas vizinhanças dêsse ponto sÓ existem pontos de K.

da: uma Órbita cilÍndrica tem na sua fronteira no máximo dois pontos crí"ticos comuns a X e Y.

Voltando ao caso do plano, se P (;da fronteira de K e nao

é

ponto critico de X, a Órbita S de X que passa por P ~

periÓ-d . 1ca e mm1mo per1o o T (Lema 2) e está contida na fronteira de K; d ' . ' d portanto em S não pode haver ponto critico comum. Ainda, se Y tem algum ponto critico em S, então S ~ constituÍdo de pontos crÍticos de Y. Então, ou S ~ Órbita periÓdica de X e de Y, ou

é

Órbita periÓdi-ca de X, e Y

é

nulo em S (ou ao contrário).

Notemos que da matriz M de mudança de coordenadas só foi exigido que o perÍodo (s₀ , t_{0 )} relativamente a (X, Y) fÔsse

leva-do em

(T, 0),

isto

é:

s₀

=

aT t₀ = cT e que M fôsse in-versí"vel. Já que X e Y são linearmente dependentes em S, escolha-mos b e d de forma que Y1 _{= bX}

+

_{dY seja nulo em algum ponto de}

S. (Essa mudança sÓ não será válida se s

0 X

+

t0 Y fôr idênticamen

te nulo em S). Então Y'

é

nulo em S.

Em qualquer dos casos vemos que em S Y =

X

X com

X

constante em S, e que no primeiro caso não existe mudança dos va-riáveis independentes de forma que Y1 _{= O em S.}

Conclusão:

A fronteira de uma Órbita cilí'ndrica K pode ser:

a) duas Órbitas periÓdicas de um dos campos, sendo que essas tamb~m podem ser Órbitas periÓdicas do outro ou pontos críticos do mesmo;

b) uma Órbita periÓdica de um dêles (que pode ser ,ÓE_ bita periÓdica ou pontos crfticos do outro) e um ponto crí'tico comum;

c) um ponto crí'tico comum P; neste caso K=R2 -(P} d) uma Órbita periÓdica de um dêles {que pode ser Ór

bita periÓdica ou pontos crftico do outro); neste ca so K

é

todo o plano menos a parte interior

à

re-ferida Órbita.

Por essa classificação vemos que os casos c e d correspondem a soluçÕes cil:iÍJ.dricas ilimitadas.

Pode-se ver ainda que se as Órbitas de X ou Y em K não são periÓdicas, então elas tendem para a fronteira ou, eventualmente, tendem para o infinito nos casos c e d.

m.

5. O Caso não Cilí'ndrico

O caso não cilí'ndrico corresponde a uma Órbita que e

-homeomÓrfa a um plano. Tal Órbita 1T será dita plana. Gomo

é

wn

simplesmente conexo, 1T

é

também homeomÓrfa a simplesmente co-nexo.

Uma Órbita de X (ou de Y) que nasce em um ponto de

1T não pode ter pontos limites não crí"ticos, porque senao, por argumen-to de transversalidade, ficaria criada urna 11_{bÔlsa de Bendixson}11 _e den~ tro dela haveria um ponto crí'tico, o que

é

absurdo pois 1T

é

simplesme,E te conexo. Logo, o conjwlto limite das Órbitas de X que nascem em 1T

são constituÍdos de pontos crÍticos e, portanto, estão na fronteira de 11. Eventualmente êsse conjunto limite pode ser vazio. De tudo o que foi dito conclui-se que os pontos em que os campos X e Y são linearmente dependentes formam um conjunto fe chado F {pois os pontos de F são os zeros do determinante das com-ponentes) e as componentes conexas de seu complementar {R2 - F) sao

-Órbitas não degeneradas, sendo que as componentes simplesmente

co-nexas correspondem a Órbitas planas e as componentes não simplesme!!. te conexas têm grau de conexão 1 e correspondem a Órbitas cil(ndri-cas. SÓ êsses casos podem ocorrer.

m.

6 - Caso Linear

Suponhamos que os campos sejam dados por X{x) = Ax

e Y {x) = Bx. Como já observamos a condição de X e Y comutarem

;; [ A, B ] = AB - BA = O.

Na origem os campos são linearmente dependentes. Os outros pontos em que isso ocorre sao aquêles x para os quais Ax

=

O,

ou existem À e X

r

o

com Bx

=

À Ax, isto

é,

(B - À, A) X

=

o.

En ..

tão, dependendo do fato de A ser inversÍvel ou não e do multiplicidade geométrica das ra(zes reais da equação det(B - ÀA)

=

O, os campos podem ser linearmente dependentes em uma ou duas retas passando pe-la origem ou o ppe-lano tod-o. Como as Órbitas cilÍndricas correspondem a regiões não simplesmente conexas, elas existem se e sÕmente se A e

,

inversÍvel e a equação det(B -).A)

=

O não tem raiz real; neste

ca-soa Órbita cilí'ndrica será todo o plano menos a origem, isto

é,

estamos no caso c.

Exemplos:

a)

A=

c -:)

B=

Temos que A e B comutam, A é invers:í"vel e

det(B -I.A) = (1-1.) 2

+

(1+1.) 2 • Gomoestaequaçãonãotem raiz real, os campos são linearmente dependentes sàmente na origem, isto

é,

estamos no caso da Órbita cilí'ndrica. Além disso, det (A - ~I) ::::

:::: det (B - ÀI) = (I - À)2

+

1; como as ra{zes dessa equaçao nao sao

-imaginárias puras, nenhum dos campos A e B tem Órbita periÓdica. Dito de outra forma, para obtermos o gerador dos perÍodos da Órbita ci

/ "' "' . f . ' .

lmdrica e necessarto que se aça urna mudança nas var1ave1s indepen-dentes. Façamos então:

A'

=

(A

+

B)/2

=

B'

=

(A - B)/2

=

As solução de B' :;;ão periÓdicas de per(odo 2 17' e as Órbitas de A' e B' ficam da seguinte forma:

A'

B'

No novo sistema, o per(odo

é

(O, 211'), e como a ma-triz M

é

dada por:

M

=

(

1/2

1/2

1/2)

-1/2

temos que, no antigo sistema o perí'odo

é

(4 'IJ', 411").

b)

B

=

A e B comutam, A

é

inversí'vel e det (B ... À A) =

= (

1 - Ã.)Z, que tem À

=

1 por raiz dupla.

B- '-A =

(o

0 )

-2

o

Portanto os campos são linearmente dependentes em a-penas uma reta que passa pela origem. Para facilidade de representação façamos:

(01 01)

B'

=

(A - B)/2

=

c

As Órbitas tem, então, o seguinte aspecto:

Ternos então duas Órbitas planas com fronteira co-mum, formado de pontos cr{ticos de Bl e que cont~m ainda um ponto critico de A1 _{e duas soluções com conjunto limite positivo vazio.}

III. 7. Singularidade Comum

Terminaremos êste capítulo com a seguinte: Proposição III. 7.

Se X e Y sao campos que comutam no plano e um

-dêles tem uma Órbita periÓdica, então existe um ponto critico comum. Demonstração:

Suponhanws que X tenha uma Órbita periÓdica

s

_{1 e} procedanws por absurdo. No interior dessa Órbita existe P _{1 ponto}

cri-tico de X. A solução de Y que nasce em P 1

é

formada de pontos

cri

ticos de X e, portanto, não pode ter pontos limites crÚicos, e como ela

é

limitada, pois não pode encontrar Sp seu conjunto limite positi-vo

é

uma Órbita periÓdica, no interior da qual existe um ponto crí'tico de

Y. Construímos então uma sequência

s

_{1 ,} Sz, ••• ,

Sn• ••• ,

de Órbi-tas periÓdicas de X e de Y, alternadamente, cada uma das quais con-tém no seu interior um ponto crí"tico do outro campo. Considerando ca-da Órbita e seu interior, obteremos uma sequência decrescente de com-pactos

_{0 1 , 0 2 , ••• ,}

todos êles não vazios. Sua intersecção

é

um compacto não vazio F e

Se P

é

um ponto da fronteira de F e B e urna ' bola de centro P e raio pequeno, existem pontos dessa bola que não estão em algum _{0 2} i

+

1. Por conexao, existem pontos de B que esao em

-

-alguma

s

₂j

+

_{1 •} Logo P

é

ponto de acumulação do conjunto U

s

₂j

+

₁• Da mesma forma, P

é

ponto de acumulação do conjunto U Szj • Então P e ponto cr1 1co comum'

't"

1 o que e absurdo.

'

Corolário; Se houver alguma Órbita de algum dos campos que tem um ponto limite não crí'tico, então existe ponto crftico comum.

Basta construir uma 11_bÔlsa11 _{de Bendixson no ponto}

li-mite considerado e proceder como na demonstração da proposição.

CAPfTULO N

ESTABILIDADE DE SOLUÇ0ES

Nêste capí"tulo voltaremos

à

situação do capftulo II,

is-to

é,

se _{(X 1 ,}

x

₂)

é

um par de campos do R 3 que comutam, considera

/

remos o _sistema integrável.

=

Xz

Ficam então determinados dois sistemas ordinários:

dx

dt

dx

dt

=

Xz

Suponhamos que a origem O ~ponto de equilíbrio. C~

mos vimos a origem

é

estável se dado € < O, existe Ô { €)

<

O tal

que se [P

0

!

< Õ(E'), então [x(t, P 0) ] < f , para todo t no primei

ro quadrante. Além disso, O

é

as sintaticamente estável se fÔr

está-vel e para [ P 0 ] ' suficientemente pequeno

l

]i"rn x

(t, P0 ) = O, t ~= t no primeiro quadrante. Proposição 'N. I.

Nas condiçÕes acima, a origem

é

estável se e sÕmen-te se ela fôr estável relativamensÕmen-te aos sissÕmen-temas ordinários.

Prova:

e-xiste

õ

₁ (<)tal que IP₀ I

"õ

₁ (<)implica lx(t_{1 , O,} P₀ ) I< €, para todo t₁ ~ O.

Em correspondência a Ôl, existe Ôz ( Ô

1 )

relativa-mente

à

estabilidade de

x

_{2 • Então se}

IP

0 1

<

õ2 , temos

fx (O,

tz,

P₀)

I

<

õ

_{1 e portanto}

I

x(t 1 , t_{2 , P 0 )}

I<

€ para todo(t 1

,t

_{2 )}

no prinleiro quadrante.

A rec(proca

é

Óbvia.

Proposição IV.

z.

O sistema parcial

é

assintOticamente estável na origem se e sOmente se os sistemas ordinários são assintOticamente estáveis

na origem.

Prova:

Suponhamos os ordinários assintOticamente estáveis. Pe la proposição anterior, o parcial

é

estável. Além disso, dado

e:

>

O,

existe

õ

₁ ( € ) correspondente

à

estabilidade de

x

_{1 • Se}

I

P

0 f fôr su

ficientemente pequeno, existe T ( € ) tal que para

tz

"= T ₂ { e:) temos [x (0, t_{2 , P}

0 )

I<

õ1 {e:) s:

e:,

o que implica lx(t1 , t2 , P 0 I<

e:

desde

que t1 :i! O e t_{2 <:} Tz ( €). Trocando os pap~is de

x

_{1 e de Xz ,} achamos T 1 (€) e teremos

lx{t

1 ,

t

2 , P0 )

I<

€ set1 :::!: T 1 (€) ou

tz ô?.: Tz (E'), isto

é,

se

I tI

fôr suficientemente grande, o que prova a

Corolários:

I)

2)

O sistema parcial linear integrável - - = A

ox

X

ôt₂

z

é

assintOticamente estável se e sOmente se os valôres prÓprios de A₁ e A₂ têm parte real negativa.

Considerado o sistema parcial integrável

_-=xz

ox

at

₂

que possue a origem como ponto de equilíbrio, sabemos que o linear associado

é

integrável; então se os valôres prÓprios do linearizado tiverem parte real negativa, o sistema de partida

é

assintOticamente estável.

3) Se existe urna função V positiva definida de classe

c

1 e se

•

V

1 = grad V X f 1 e V 2 = grad V X f2 são semidefinidas ne gativas, a origem

é

estável.

• •

4) Se V_{1 e} Vz no corolário anterior sao definidas negativas a origem

é

assintOticamente estável •

•

5) Ainda se V

1 e V 2 são definidas positivas e V

é

positiva em pontos arbitràriamente prÓximos da origem, esta

é

instá~ vel.

rv.

3. Estabilidade de Órbita

Dizemos que a Órbita de um ponto P 0

é

estável se para todo E"

>

O existe õ {E") >O tal que se

IP- P

₀ 1

<

ô

temos

r X (t, P) - X (t, P

0 ) r

<

e:

para t no primeiro quadrante.

É

claro que se P

0 é estável e Q0 está na 6rbita po-sitiva de P

0 , Q0 e estavel. ' '

Proposição IV. 4.

Seja K uma Órbita cil:íÍJ.drica {ou tÓrica) tal que tôda 6r bita de

x

_{1 em K seja peri6dica. Se uma delas é estável então} todas as outras também são.

Prova:

Seja S₀ a Órbita periÓdica estável de

x

_{1 e}

s

₁ uma Órbita genérica. Dado (

<

O, consideremos o tubo T ₁ de centro

s

₁ e raio

e:.

O fluxo determinado por Xz leva

s

_{1 em 80} , e leva T 1 em

correspondente a €₀ relativamente

à

estabilidade de S₀ • Se T

1 e o

'

tubo correspondente pelo fluxo de Xz ao de centro S₀ e raio ô₀ e se colocarmos ô ( () = _{d {SI, T 1 ), vemos que está satisfeita a condição}

de estabilidade de S1 •

Consideremos agora uma Órbita tÓrica

t[}

(P

0) tal que as Órbitas de

x

_{1 e de} Xz em

(9

(P

0) sejam soluções periÓdicas.

Proposição IV. 5.

Uma condição necessária e suficiente para que

\!)

(P

0)

se-jam estáveis.

Prova:

Obviamente se P₀

é

estável os ciclos de

x

₁ e de

x

₂ que passam por P

0 são estáveis (portanto, pela Última proposição,

to-dos os ciclos de

x

1 e de

x

2 contidos em

l9

(P 0) são estáveis).

ReciProcamente, suponhamos que as Órbitas de

x

1 e

de

x

₂ que passam por P

0 sejam estáveis. Ainda pelo teorema

ante-rior tôdas contidas em

(9

(P

0) são estáveis. Mostremos que

l!)

(P0)

é

estável. Dada uma sua vizinhança V { !) de raio f:, consideremos a

Órbita

s

_{1 de}

x

1 que passa por P0 • Por causa da estabilidade de

Xz,

para todo ponto Q de

sl

existe uma vizinhança

v

(Q) tal que tôda 50

lução de

x

₂ que nasce em V {Q) não sai de V (f). Obtemos então

'

uma cobertura de

s

_{1 por meio de abertos, e, como}

s

_{1 e} compacto, a união dêsses abertos contém um tubo de centro S1 e ràio

f'.

Consi-derem·os o nÚmero

ô

(E'') correspondente a ( I na estabilidade de

s

_{1 •}

É fácil ver que se a E' fizermos corresponder

ô {

E'1) está satisfeita a condição de estabilidade.

É interessante observar que, apesar da definição de estabilidade de

l9

(P

0) depender do ponto fixado P0 , no caso de

Órbi-ta tÓrica as proposiçÕes IV. 4 e IV. 5 mostram que, na realidade, o ponto P

0 não

é

privilegiado, isto

é,

se

{O

{P0

é

estável e Q0

é

um

ponto qualquer de {O{P

0 )

é

estável, o que aliás poderia ser visto mais

BIBLIOGRAFIA

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2. Bourbaki N.-Top. Gen. Livre ill- Chap. VII.

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BIBLiOTECA DO

DA

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