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A APRENDIZAGEM DE CONCEITOS RELACIONADOS A
HOMOTETIA, POR ALUNOS DO 9º ANO DE UMA ESCOLA DA REDE
MUNICIPAL DE IJUÍ, UTILIZANDO MATERIAL CONCRETO
MANIPULÁVEL COMO RECURSO DIDÁTICO
1Nadine Friedrich Noviski 2
Resumo: O presente artigo constitui-se a partir de uma pesquisa elaborada para o trabalho de conclusão de curso de Matemática - Licenciatura, a partir de uma intervenção no 9º ano do ensino fundamental, tendo como finalidade uma pratica pedagógica que utilizasse material concreto manipulável como recurso didático, para o estudo do descritor 7 de matemática propostos na Prova Brasil/SAEB, se configuram como sujeitos da pesquisa estudantes de uma escola de rede municipal, localizada no município de Ijuí. É de abordagem qualitativa revestindo-se de um caráter bibliográfico e interpretativo buscando identificar de que forma a proposição de um ensino a partir do uso de materiais manipuláveis como recursos didáticos, em uma aula de matemática, proporciona ao aluno a elaboração e ampliação de conhecimentos e significados sobre o conceito de homotetia. A análise dos dados apresentados foi desenvolvida a partir de proposições apresentadas por Tozoni-Reis (2010), Bairral (2009), Lorenzato (2006), Vergnaud (1998, 1988, 1996, 2012, 1994, 1990), Magina (2001), Pais (2018). O material empírico considerado para as análises foram os questionários, registros dos alunos, fotos e o planejamento do professor. A partir da análise dos dados e das proposições dos autores, foram definidas duas Unidades de análises: i) Os sentidos e significados atribuídos e reconstituídos através da exploração do material concreto manipulável; ii) O constante estado de devir dos conceitos e as aprendizagens que ainda não foram constituídas. Os resultados indicam que a partir da manipulação dos materiais concreto é possibilitada a mobilização de conhecimento anterior e articulação com novos conceitos, gerando novas aprendizagens, que se constituem dentro de um campo conceitual. Porém esses conceitos não estão prontos. Estão sempre numa estado de devir, sendo modificado, evoluindo se constituindo.
Palavras-chaves: Semelhança de Polígonos. Visualização. Teoria dos campos conceituais. Pantógrafo.
1. Introdução
A Prova Brasil é uma das avaliações externas nacionais do INEP – Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – que se destinam a avaliar a proficiência dos estudantes nas áreas de Língua Portuguesa e Matemática no 5º e 9º ano do Ensino Fundamental. Busca refletir um percurso que se inicia na educação infantil, para que os alunos cheguem aos anos finais dominando as competências exigidas.
Ela é elaborada com base nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), que, em Matemática, destacam quatro blocos de conteúdos: Números e Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação.
Para tanto foram criados 37(trinta e sete) descritores para compor a avaliação da prova de Matemática para o nono ano do Ensino Fundamental. Os elaboradores definem descritor
1 Artigo produzido na disciplina Trabalho de Conclusão de Curso, do curso Matemática/UNIJUI, sob orientação da professora Emanueli Bandeira Avi.
2 Licenciando do Curso Matemática – da UNIJUÍ – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul.
2 como “[...] uma associação entre conteúdos curriculares e operações mentais desenvolvidas pelos alunos que traduzem certas competências e habilidades” (BRASIL, 2011). Para determinar os níveis de aprendizagem, a avaliação propõe questões com diferentes graus de dificuldade mesmo dentro de um mesmo descritor.
Pressupõe-se que tais descritores correspondam às competências e habilidades necessárias, segundo os documentos oficiais, para uma eficiente compreensão da sociedade e do mundo. Define-se competência como sendo as estruturas mentais construídas pelas operações utilizadas para estabelecer relações entre objetos, conceitos, situações, fenômenos e pessoas. E habilidade corresponde ao saber fazer, ou seja, é a mobilização das competências já adquiridas para a resolução de determinado problema prático. Em outras palavras, as habilidades decorrem das competências (BRASIL, 2011).
Nos PCNs os conteúdos não são vistos apenas como uma listagem. Dá-se ênfase em entender a palavra conteúdo em três dimensões básicas: conceitos, procedimentos e atitudes. Portanto, valoriza-se muito mais a compreensão das ideias matemáticas e o modo como estas serão buscadas do que a sua sistematização, muitas vezes vazia de significados.
Durante uma inserção em uma escola de rede pública municipal de Ijuí foi possível identificar baixo desempenho em matemática, dos alunos de 9° ano, em determinados descritores, após aplicar o primeiro sumulado da Prova Brasil de 2019.
Elencaram-se os conteúdos com maior número de erros, e em virtude disso decidiu-se trabalhar com o descritor 7 “D7 Reconhecer que as imagens de uma figura construída por uma transformação homotética são semelhantes, identificando propriedades e/ou medidas que se modificam ou não se alteram.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais para matemática do terceiro e quarto ciclo do ensino fundamental:
No quarto ciclo (8° e 9° anos) deve-se ter: desenvolvimento da noção de semelhança de figuras planas a partir de ampliações ou reduções, identificando as medidas que não se alteram (ângulos) e as que se modificam (dos lados, da superfície e perímetro). (BRASIL, 1998,p.125).
Schimidt, aponta que,
Homotetia é a transformação de uma figura F em outra semelhante F’, de forma tal que fixado um ponto H no plano α e dado um número real k ≠ 0, a homotetia de centro H e razão k é a transformação que a cada ponto de A do plano α associa o ponto A’=T(A), tal que:
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H: centro de homotetia
K: razão de homotetia ( 2002; p. 23)
Portanto a homotetia é uma transformação pontual plana que relaciona a posição da figura original e da figura transformada a um ponto específico denominado centro de homotetia. Os segmentos definidos pelos pontos da figura original e os pontos correspondentes ou homólogos da figura homotética concorrem nesse ponto específico. Quanto aos lados, o paralelismo entre os segmentos correspondentes faz com que as medidas angulares da figura sejam preservadas. A razão homotética é definida pela comparação entre as medidas dos segmentos correspondentes.
O pantógrafo de Scheiner é um instrumento que amplia ou reduz proporcionalmente desenhos, a partir de uma articulação em forma de paralelogramos. Os princípios matemáticos que regem o funcionamento dos pantógrafos partem da teoria de Descartes sobre os paralelogramos e inspiraram o padre jesuíta alemão Christofer Scheiner, em 1603, a desenvolver o instrumento para utilização em diferentes âmbitos.
Ao estimular a execução de atividades com pantógrafos os alunos podem visualizar os elementos da homotetia e as distâncias compreendidas entre os vértices da figura original e os vértices correspondentes da figura homotética. Consequentemente, visualizar a natureza da razão de homotetia (de ampliação ou de redução) em função da localização do ponteiro e do traçador no pantógrafo. Segundo o Brasil (1998):
O conceito de semelhança está presente no estudo de escalas, plantas, mapas, ampliações de fotos, fotocópias como também quando se verifica, por exemplo, se as medidas das partes do corpo humano se mantêm proporcionais entre um representante jovem e um representante adulto. (p.125).
Conforme Bairral
Enfim, a visualização é um processo que vai além da mera observação de algo. Além de observar um objeto o indivíduo faz associações. Ainda que seja aparentemente automática e individualizada esta é uma importante atividade cognitiva (p.61).
A definição de homotetia é dada de tal forma que o aluno revisite o conceito de proporcionalidade, usando materiais concretos (pantógrafo) para mostrar um caso de semelhança. Isto é feito para que os alunos possam entender que é possível ampliar ou reduzir um dos polígonos sem alterar a relação de proporcionalidade entre os lados.
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Em contrapartida à simples reprodução de procedimentos e ao acúmulo de informações, educadores matemáticos apontam a resolução de problemas como ponto de partida da atividade matemática. Essa opção traz implícita a convicção de que o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução. (BRASIL, 1998, P. 40)
A partir disso, foi planejada e desenvolvida atividades desencadeadoras de aprendizagem, que consideram o uso de materiais concretos manipuláveis como recurso didático, na significação de conceitos relacionados à homotetia para estudantes do 9º ano do ensino fundamental.
Estas atividades tiveram por objetivo possibilitar o reconhecimento de que as imagens de uma figura construída por uma transformação homotética são semelhantes já que é possível identificar propriedades e/ou medidas dessas figuras, reconhecer que a medida dos lados correspondentes se altera proporcionalmente e reconhecer que a medida de ângulos não se altera.
Diante do exposto, a pesquisa apresentada no presente artigo objetiva compreender de que forma a proposição de um ensino a partir do uso de materiais manipuláveis como recursos didáticos, em uma aula de matemática, proporciona ao aluno a elaboração, ampliação e apropriação das competências e habilidades apresentadas no descritor 7 da Prova Brasil. Este objetivo é delimitado pela questão norteadora: Atividades desencadeadoras de aprendizagem que consideram o uso de materiais manipuláveis como recursos didático, no estudo dos significados relacionados à homotetia, contribuem para a proficiência em matemática de alunos do 9º ano do Ensino Fundamental? De que forma?
2. Metodologia
Para melhor desenvolver cada etapa da pesquisa adotamos o referencial de Tozoni-Reis (2010), propondo um modelo de planejamento no qual é possível dar às análises dos dados uma abordagem qualitativa, interpretativa.
A pesquisa qualitativa defende a ideia de que, na produção de conhecimentos sobre os fenômenos humanos e sociais, nos interessa mais compreender e interpretar seus conteúdos do que descrevê-los, explicá-los. (TOZONI-REIS, 2010, p. 5)
A presente pesquisa é estruturada a partir de um momento de inserção em uma escola de Educação Básica pública que atende alunos da educação infantil ao ensino médio com
5 curso técnico integrado, localizada no município de Ijuí, região noroeste do estado do Rio Grande do Sul. Na qual estou inserida através do Programa de Residência Pedagógica. As orientações das atividades, no âmbito da Instituição de Educação Superior, foram norteadas pela Prof. Coordenadora do Projeto Multidisciplinar do Programa Residência Pedagógica e professora da disciplina Estágio Curricular Supervisionado: Matemática em Modalidades Diferenciadas de Ensino.
A necessidade de trabalhar com o conceito de semelhança de polígonos, surge a partir da análise dos resultados do primeiro simulado da Prova Brasil realizado pela Escola nos dias 16 e 17 de abril de 2019, com alunos do 9º ano do ensino fundamental. Por meio deste, foram identificadas algumas habilidades as quais os alunos apresentaram um desempenho frágil. Como a escola preza pela aprendizagem dos estudantes, e com o intuito de melhorar sua nota no IDEB (Índice de Desenvolvimento da Educação Básica), foram elaboradas aulas com atividades diferenciadas, ministradas no turno oposto das aulas regulares dos estudantes.
Para tanto, foram elaboradas atividades desencadeadoras de aprendizagem, considerando o uso de material concreto manipulável. Para as análises em questão, foi utilizado dois planejamentos de aulas diferentes. O Planejamento 1 (anexo 7), trabalha com a ideia da pavimentação por meio de polígonos regulares, com base no que diz o descritor oito “D8- Resolver problema utilizando a propriedade dos polígonos (soma de seus ângulos internos, número de diagonais, cálculo de medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares)”. E o Planejamento 2 (anexo 5 e 6), que é o foco da pesquisa, trabalhou com o descritor sete, no qual o objetivo era auxiliar o aluno a reconhecer que as imagens de uma figura construída por uma transformação homotética são semelhantes, identificar propriedades e/ou medidas dessas figuras, reconhecer que a medida dos lados correspondentes se altera proporcionalmente, reconhecer que a medida de ângulos não se altera.
Foram consideradas algumas etapas no planejamento: a proposição de um problema (desafio) relacionando a ampliação e redução de polígonos; levantamento de hipóteses e sugestões para resolver; desenvolvimento de uma atividade prática utilizando o pantógrafo, considerando a resolução do problema proposto; e a sistematização dos significados na tentativa de significar conceitualmente as ideias de ampliações e redução de polígonos semelhantes, através da transformação homotetia. Dessa forma o desafio proposto aos alunos foi: Usando o pantógrafo represente polígonos semelhantes.
6 Assim, foram realizadas ações em que o raciocínio do aluno se movimenta no sentido de formar as noções matemáticas, e uma aprendizagem significativa.
Para o desenvolvimento da atividade, foram considerados dois grupos de estudantes de turmas de 9º ano do ensino fundamental com aproximadamente 10 alunos cada grupo. As aulas foram ministradas no turno inverso das aulas regulares, considerando cada aula (4 horas) para cada grupo no desenvolvimento das atividades, a cada 15 dias, intercaladamente.
Através do levantamento de dados empíricos tais como planejamento 1 (A Arte e a Matemática, Anexo 3) e planejamento 2 (Homotetia, Anexo 1 e 2), anotações das aulas, cópias de cadernos de alunos e fotos das aulas práticas. Foi analisada a significação do conceito de homotetia para os estudantes do 9º ano do ensino fundamental, na utilização de material concreto manipulável, como recurso didático, em uma aula de matemática.
A pesquisa está dividida em duas unidades de análise: A compreensão do significado de homotetia através da exploração do material concreto manipulável, e o constante estado de devir dos conceitos e a aprendizagem em constante evolução, que serão analisadas de acordo com Lorenzato (2006), Vergnaud (1998, 1988, 1996, 2012, 1994, 1990) e Brasil (2007) Pais (2018).
3. Teoria dos Campos Conceituaisde Gérard Vergnaud: a conceituação através dos diferentes sentidos atribuídos
A matemática se configura como área do conhecimento devido a três elementos: A sua inter-relação com outras áreas do conhecimento, se configura como uma linguagem específica/própria, e devido a sua proximidade com as tecnologias. Por isso ela não pode ser incluída em nenhuma das outras áreas, pois em qualquer outra área ela ficaria reduzida. Portanto ela é uma área, mas não é isolada. É constituída de diferentes campos como: a geometria, álgebra, aritmética. Que não se significam sozinhos, e sim, dentro de uma rede de relações. Assim como, dentro de cada campo os conceitos se relacionam também.
Vergnaud define como campo conceitual:
Um conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de pensamento, conectados uns aos outros e, provavelmente, entrelaçados durante o processo de aquisição (1998).
7 A teoria dos campos conceituais (TCC) visa contribuir nos processos de ensino e aprendizagem, especialmente no que se refere aos processos cognitivos dos alunos, na medida em que se preocupa em investigar a compreensão do significado do saber escolar pelo aluno. Vergnaud (1998) defende que o desenvolvimento cognitivo é norteado pela conceituação, uma vez que isso pode auxiliar para que se encontrem as barreiras na aprendizagem.
A teoria defende ainda a ideia de que a aprendizagem de um conceito representa a compreensão de relações que constituem a complexidade pertinente à cadeia de formação de um conceito, que é constituída de múltiplos componentes.
Esses componentes podem ser noções fundamentais ou ainda outros conceitos elaborados anteriormente, revelando a existência de uma extensa e complexa rede de criações precedentes. E exemplifica pela síntese do conceito de cubo, o qual envolve diversos componentes precedentes a sua conceituação “quadrado, segmento de reta, ponto, paralelas, perpendiculares, ângulos, diagonais, entre vários outros (PAIS, 2018, p.61)
Um ambiente propício para o estabelecimento dessas relações, são denominadas por Vergnaud espaços de situações – problemas, nos quais
O conhecimento passa a ser concebido como uma sucessão de adaptações que o aluno realiza sob a influência de situações que ele vivência na escola e na vida cotidiana. Em cada momento, entra em cena não só conhecimentos anteriores, como também a capacidade de coordenar e adaptar essas informações em face de uma nova situação. (PAIS, 2018, p.53)
Segundo o Vergnaud (1998, p.41) quando confrontamos os estudantes com novas situações, eles buscam utilizar os conhecimentos adquiridos em suas experiências passadas, quando em situações mais simples e mais familiares, e tentam adaptá-las a essas novas.
Nessa visão, o autor concebe que a generalidade e a abstração serão compreendidas na medida em que seja possibilitada uma abordagem que considere um movimento evolutivo. E que o desafio didático se encontra em buscar alternativas que possibilitem a constante transformação do saber cotidiano em saber científico escolar. E para Vergnaud (1996) é praticamente impossível estudar as coisas separadamente. Nesse sentido, os Campos Conceituais, são capazes de dar sentido aos problemas e às observações feitas em relação à conceituação.
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3.1 A compreensão do significado de homotetia através da exploração do material concreto manipulável
Não há uma citação mais direta relacionada ao conceito de homotetia, mas ela pode ser entendia a partir do conceito de escala. No campo conceitual das grandezas geométricas, encontramos o conceito de escala. Tal conceito permite relacionar comprimentos, áreas e volumes de uma planta ou maquete, com seus correspondentes na realidade. Assim realiza um raciocínio que envolve multiplicações e divisões. Segundo Carraher (1994):
Uma escala em um desenho envolve uma relação entre muitos pares relacionados de números porque cada medida na planta representa uma medida exata na construção real. Entre todos esses pares desenho-construção existe uma relação única, de natureza proporcional, que é representado pela escala (p. 104 - 105).
Portanto dentro do campo conceitual as noções do conceito de homotetia (ampliação e redução), escala e semelhança se significam, e articulam-se ainda mais, pois de acordo com Lima (1992), “toda homotetia é, de fato, uma semelhança” (p.157). E a escala é o elemento central para a representação do objeto real ampliado ou reduzido ou reproduzido.
De forma análoga, há uma infinidade de componentes precedentes ao entendimento de homotetia: segmento de reta, ponto, razão, ângulos, paralelas, congruência, polígonos, proporção, vértice entre vários outros.
Figura 1 Exemplo de Homotetia
Fonte: Lima (1996, pg 27)
Logo a homotetia não se significa sozinha, ela se significa a partir de uma rede de conceitos. A partir dessas noções o conceito de homotetia permeia, na matemática, pelo menos os campos numéricos, geométricos e das grandezas.
Foi perceptível que ao solicitar aos alunos, para que representem polígonos semelhantes usando o pantógrafo, começam a surgir às barreiras de aprendizagem, pois os
9 alunos apresentaram dificuldades em definir polígono, e não tinham nem ideia de como utilizar o pantógrafo (figura 2). Alguns grupos acharam que se utilizava ele de pé, e que o polígono estava nos espaços vazios do pantógrafo. Segundo Vergnaud (1996), muitas de nossas concepções vêm das primeiras situações que fomos capazes de dominar ou de nossa experiência tentando modificá-las (p. 117).
Figura 2 Imagem que representa um pantógrafo
Fonte: http://slgilatai.blogspot.com/2016/05/ola-no-post-de-hoje-falaremos-um-pouco_20.html
Assim como planejado, revisar a definição do que são polígonos e polígonos semelhantes no quadro com desenhos e trazendo as suas respectivas nomenclaturas, foi um passo importante para romper com a primeira barreira de aprendizagem. Vergnaud (1998) afirma que um conceito mal estruturado pelo aluno, não permite a formação de novos conceitos, pois isso muitas vezes é necessário a sua reformulação. Para ele,
O desenvolvimento cognitivo não pode ser explicado por modelos simplistas, seja recorrendo a ideias de reprodução social, seja pela emergência de estruturas inatas do sujeito, ou ainda por meio da metáfora da mente como processamento de informação (VERGNAUD, 1998, p. 173).
A aprendizagem se caracteriza, portanto, pela interação entre o novo conhecimento e o conhecimento prévio. É nessa interação que o novo conhecimento adquire significados e o conhecimento prévio se modifica e/ou adquire novos significados. E dessa forma “respeita uma estrutura progressiva de elaboração de conceitos” (PAIS, 2018, p.52) Nesse sentido, no ensino é preciso identificar sobre quais conhecimentos prévios o aluno pode se apoiar para aprender.
Assim temos a conceituação como sendo cerne do desenvolvimento cognitivo. Um novo conceito teve que ser elaborado pelos alunos. Pois eles necessitavam entender o funcionamento do pantógrafo. Desse modo o recurso utilizado foi à história do seu
10 funcionamento e aplicação, podendo ser visualizada no anexo 1. Trazendo assim exemplos que chamam a atenção dos alunos, como sua importância para o surgimento das fotocopiadoras, na arte, na cópia de moldes industriais, na serralheria e ourivesaria.
Vergnaud (1998) é enfático ao afirmar que para a formação de um conceito é necessário interagir com ele numa diversidade de situações. Por outro lado, uma situação, por mais simples que ela se apresente, envolve diferentes conceitos. Assim sendo, não faz sentido referir-se à formação de conceito, mas sim na formação de um campo conceitual, cuja apropriação requer o domínio de diversos conceitos de naturezas diferentes. O mesmo propõe que a aprendizagem da Matemática precisa ir além do cálculo numérico.
[...] é necessário trabalhar com uma boa noção epistemológica da Matemática. A conceituação matemática fundamenta-se em uma série de objetos e relações que não são apenas numéricas. Pensemos, por exemplo, nas situações de proporção, que são muito importantes na matemática: nelas não há somente números, há também relações entre grandezas de mesma natureza e de naturezas diferentes, e tudo isso não é só puramente numérico. (VERGNAUD, 2012)
Verifica-se então, a necessidade de considerar os conceitos prévios dos alunos e oportunizar, através delas a “criação de espaços de situações problema, cuja utilização adequada facilita ao aluno a percepção das conexões existentes entre os vários conceitos”. (PAIS, 2018 p.52). Esse foi o caso das ideias sobre polígonos semelhantes, como ponto de partida da atividade proposta.
Na aula anterior, havia sido proposta a exploração de uma atividade denominada “Pavimentação, Arte e Matemática”, conforme Anexo 3, na qual foi identificado diferentes propriedades de polígonos, manipulando materiais concretos que em sua superfície continham a representação de polígonos, bem como, uso de instrumentos de medidas. A partir das representações registradas pelos alunos (figura 3), instigou-se para que a partir destes fossem estabelecidas algumas relações como podemos ver na figura 4.
11 Figura 3 Desenhando e nomeando os polígonos utilizados na atividade da “Pavimentação, Arte e
Matemática”
Fonte: Registro do aluno 4, planejamento 1.
Figura 4 Quadro das relações entre os desenhos, número de lados e número de vértices
Fonte: Registro do aluno 4, planejamento 1.
As relações entre a figura 3 e 4, foram utilizadas como ponto de partida para construção dessa generalização do conceito, expresso na figura 5. Usar esse conhecimento para ajudá-los a construir novos conhecimentos, como as relações entre perímetros, ângulos,
12 distância entre o centro da homotetia e os vértices, e uma primeira definição do conceito de transformações homotéticas, foi o ponto de partida da tarefa proposta.
Figura 5 Quadro de generalização
Fonte: Registro do aluno 4, planejamento 1.
Segundo Vergnaud (1994), os alunos dominam certas classes de situações mais simples antes de dominarem outras mais complexas. Podem-se passar vários anos para que um aluno domine uma situação simples e passe a dominar outra mais complexa. Durante esse processo, ele passa por:
[...] situações, palavras, algoritmos e esquemas, símbolos, diagramas e gráficos... e aprenderá, às vezes por descoberta, às vezes por repetição, às vezes representando e simbolizando, às vezes diferenciando, às vezes por redução de diferentes coisas para outras. Isso porque o panorama da aquisição do conhecimento é muito complexo [...] (VERGNAUD, 1994, p. 46, tradução nossa).
Observa-se que, dentro desse panorama de aquisição do conhecimento, estão envolvidas as relações, propriedades, registros e representações inerentes ao conceito a ser formado, sendo importante utilizar uma variedade de situações para que ocorra a sua aprendizagem, não deixando de observar que os conceitos envolvidos numa dada situação podem ser bem diversos e que sua exploração deve se dar de forma a favorecer a expansão desses significados pelo aluno.
13 Por tudo isso, é necessário falar-se em campos conceituais. Mas se os conceitos se tornam significativos através de situações decorre, naturalmente, que as situações e não os conceitos constituem a principal entrada de um campo conceitual. Um campo conceitual é, em primeiro lugar, um conjunto de situações (VERGNAUD, 1990, p. 5), cujo domínio requer o domínio de vários conceitos de naturezas distintas.
Após essa exploração inicial, iniciou um novo momento, na qual foram propostas situações problematizadoras através de uma ficha de aula que pode ser visualizada no anexo 2, com situações potencialmente significativas para o surgimento e aquisição do conceito nos alunos.
Entende-se por razão de homotetia, como sendo a razão de ampliação ou redução da figura original para a nova figura. Utilizando os dados da figura 6, ela pode ser identificada fazendo: 𝑃𝐴′ ̅̅̅̅̅̅ = 𝐾 ∗ 𝑃𝐴̅̅̅̅ 12 = 𝐾 ∗ 6 12 6 = 𝐾 𝐾 = 2
A aprendizagem construída se da pelo processo de reflexão, ao fazer o registro da atividade. Como podemos visualizar na figura 6. Notasse que ele olhou para essa comparação entre números, e disse que a figura ampliou duas vezes, ou seja, é o dobro. Conseguindo visualizar essa ideia de ampliação, e provou isso, demonstrando a razão homotetia.
14 Figura 6: Registro escrito pelo aluno 1 da atividade desenvolvida, e suas reflexões
Fonte: Registro do aluno 1, planejamento 2.
Os alunos só conseguiram refletir, sobre os conceitos envolvidos, pelos sentidos que atribuíram ao manusear o pantógrafo, como pode ser observado na figura 7, para tanto, o material concreto manipulável por si só, não promoveu a aprendizagem, mas sim, na mediação e intervenções do professor, e os questionamentos que os mesmos realizavam, contribuiu para reflexão e atribuição desses sentidos.
Segundo Pais (2018, p.57) o sentido de um conceito está fortemente relacionado à atividade de resolução de problemas, porém estes, não podem estar restritos ao aspecto empírico já que, há a necessidade de aproximar de questões teóricas adequadas ao nível
15 cognitivo do aluno, dando atenção, em ambas as perspectivas, a linguagem, em especial aos símbolos que representam os conceitos estudados.
Dessa forma, espera-se que o aluno se aproxime de uma conceituação, considerando seu processo evolutivo, e considerando que:
a formação de um conceito não ocorre através de um único tipo de situação, da mesma forma como uma única situação geralmente envolve uma diversidade de conceitos [...] a aprendizagem não pode ser efetuada em um contexto isolado, como se o significado pudesse subsistir por si mesmo. (PAIS, 2018, p.60)
Assim, a aprendizagem é muito mais que uma definição, ela se configura dentro de um campo, e é essa a riqueza de utilizar um material concerto manipulável, porque possibilita que esses diferentes conceitos ser relacionem e viabiliza a evolução da compreensão da conceituação.
Figura 7: Manuseando o pantógrafo
Fonte: Registro fotográfico durante a realização da atividade do pantógrafo Lorenzato (2006) fala que “O concreto palpável possibilita apenas o primeiro conhecimento, isto é o concreto é necessário para a aprendizagem inicial, embora não seja suficiente para que aconteça a abstração matemática.” (pg. 20).
Costa (2000, p. 157) destaca que “o poder da visualização” é muito relevante para o ensino e para a aprendizagem em geometria. Ferreira (1986, p. 1784) conceitua a
16 visualização como a competência de “[...] formar ou conceber uma imagem mental de algo (que não se tem ante os olhos no momento).” Para o pesquisador português Eduardo Veloso (1998) visualizar significa construir e manipular imagens mentais de forma que “[...] essas imagens podem destinar-se a reproduzir situações que não estão visíveis naquele momento, mas que são familiares ou podem tentar estudar situações inacessíveis, que apenas podem ser imaginadas.” (VELOSO, 1998, p.132-133).
Bairral (2009) destaca que o ato de visualizar ultrapassa a simples observação.
Enfim, a visualização é um processo que vai além da mera observação de algo. Além de observar um objeto o indivíduo faz associações. Ainda que seja aparentemente automática e individualizada esta é uma importante atividade cognitiva. (p. 61).
Em consonância com o exposto, Bairral (2009) afirma que a importância de se estudar o conceito de semelhança justifica-se pelo fato deste estar relacionado ao cotidiano do aluno por meio da ampliação e redução de fotos, na construção de maquetes e plantas baixas, em alguns modelos para o conceito de números racionais, entre outros.
No que se refere aos conceitos mobilizados, Magina (2001), ratifica a ideia de Vergnaud de que um conceito não dever ser estudado isoladamente e sim em situações que inter-relacionem vários conceitos. Isso foi observado quando ao questionar os alunos sobre seus entendimentos sobre polígonos, determinado aluno falou: “Isso tem alguma coisa a ver com triângulos e quadrados?”. Mostrando, que para ele esse era o seu primeiro pensamento a respeito de polígonos.
Na TCC, o desenvolvimento cognitivo depende fortemente da situação e da conceituação específica. O autor entende que a situação é uma tarefa, teórica ou empírica, a ser realizada pelo sujeito. Segundo Vergnaud:
O saber se forma a partir de problemas para resolver, quer dizer, de situações para dominar. [...] Por problema é preciso entender, no sentido amplo que lhe atribui o psicólogo, toda situação na qual é preciso descobrir relações, desenvolver atividades de exploração, de hipótese e de verificação, para produzir uma solução (VERGNAUD, 1990, p. 52).
A proposta do desafio “desenhe polígonos semelhantes usando o pantógrafo”, possibilitou a reformulação e atribuição de novos sentidos possibilitando a significação de ideias relacionadas a um campo. Na medida em que, os estudantes utilizaram materiais concretos e refletiam sobre as transformações desenvolvidas foram revisitando seus
17 conhecimentos prévios para solucionar novos problemas, estabelecendo relações com conceitos de outros campos.
O momento da vivência utilizando o material concreto manipulável (pantógrafo), através do uso possibilitou a o processo significação do conceito. Lorenzato (2006) fala que:
A descoberta pode não ser o caminho mais curto ou rápido para o ensino, mas é o mais eficiente para a aprendizagem. É interessante notar que a descoberta possibilita a reconstrução do conhecimento, quando necessário, porque valoriza a compreensão. (pg. 82)
Assim, é preciso oportunizar o contato do aluno com diversas situações, de modo a contemplar maiores condições de ampliação e desenvolvimento cognitivo. Os processos cognitivos e as respostas dadas pelo sujeito são funções das situações com as quais é confrontado.
3.2 O constante estado de devir dos conceitos e a aprendizagem em constante evolução
Os PCNs das séries finais do Ensino Fundamental também apresentam a educação como uma construção ao longo da vida, a qual está fundamentada em quatro pilares baseados em Delors (2006): aprender a conhecer, aprender a fazer, aprender a viver com os outros e aprender a ser. Aprender a conhecer significa aprender a aprender durante toda a vida por meio de um espírito investigativo e senso crítico, a partir de elementos de uma cultura geral. Aprender a fazer é desenvolver a competência de relacionar-se com o grupo e de resolver problemas. Aprender a viver com os outros perpassa pela resolução de conflitos, pela realização de projetos comuns e pelo respeito aos valores plurais. Aprender a ser diz respeitos a assumir as responsabilidades pessoais por intermédio da autonomia e da construção da personalidade.
As orientações doSistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb) (BRASIL, 2008) mostram que as habilidades estão relacionadas à prática do saber fazer e surgem das competências já desenvolvidas que se transformam em novas habilidades.
As Matrizes de Referências do Saeb para o Ensino Médio, descritas no Plano de Desenvolvimento da Educação (PDE), evidenciam que “Para a elaboração dos itens do SAEB e da Prova Brasil, buscou-se uma associação entre os conteúdos da aprendizagem e as competências utilizadas no processo de construção do conhecimento” (BRASIL, 2008, p. 17).
18 Esse documento compreende que para resolver qualquer situação são necessários diferentes recursos cognitivos, portanto as competências cognitivas são modalidades estruturais da inteligência que abrangem operações utilizadas para relacionar conceitos, objetos, situações e fenômenos. Segundo Vergnaud (1996):
Um conceito é uma tríade que envolve um conjunto de situações que dão sentido ao conceito; um conjunto de invariantes operatórios associados ao conceito e um conjunto de significantes que podem representar os conceitos e as situações que permitem aprendê-los. (1996).
A partir da compreensão conceitual o estudante pode alcançar níveis satisfatórios de generalidades e abstração, e então formular a definição. Aprender um conceito requer, pela didática, um planejamento de situações variadas que privilegiem o trabalho com significados ao nível sensível e perceptível do estudante. Segundo Pais (2018) “Os conceitos são ideias gerais e abstratas desenvolvidas no âmbito de uma área específica de conhecimento, criados para sintetizar a essência de uma classe de objetos, situações, ou problemas relacionados ao mundo-da-vida”. (p.55)
Apesar dos alunos revisitarem conhecimentos anteriores (prévios), reformularem os pensamentos. Se colocarem em movimento de prática, com a finalidade de formularem nossos pensamentos. Através de vários sentidos movimentados, os alunos formularam suas próprias definições de homotetia. Por tanto os significados formulados pelo grupo de alunos foi diversificado. Podemos perceber na resposta do aluno 1, e 2 que conseguiram trazer uma seus entendimentos a partir da atividade desenvolvida.
Figura 8: Resposta do questionário do aluno 1, planejamento 2.
19 Pais (2018) afirma que, “Definir é necessário, mas é muito menos do que conceituar, porque o texto formal de uma definição só pode apresentar alguns traços exteriores ao conceito. (p.56). Nem todos os alunos conseguiram chegar à formulação de uma definição de homotetia. Apesar do manuseio do material concreto manipulável, das problematizações e do encaminhamento da atividade, entendemos que nunca um conceito matemático está pronto acabado, ele sempre está num constante processo de ressignificação a aprimoramento das ideias.
Esta ação, com estratégias numa dinâmica evolutiva de passos, etapas, idas e vindas em movimento, é que Pais (2018, p. 58) denomina de “estado de devir”, “no sentido de que, no plano subjetivo, sempre é possível descortinar novos horizontes na compreensão de um conceito.” O conceito portanto, é algo em permanente processo de devir, estamos sempre nos aproximando de sua objetividade, generalidade e universalidade, sem considera-lo uma entidade acabada, tal como concebido por uma visão platônica( PAIS, 2018, p.55).
Para Vergnaud, o domínio do conhecimento por parte do aluno vai acontecendo ao longo de um extenso período, por meio da experiência, maturidade e aprendizagem (MOREIRA, 2002).
Como podemos perceber na figura a abaixo a resposta do aluno 3, com relação e questão 13 e 14 do questionário aplicado no final da aula, o aluno percebe que determinadas propriedades modificam e outras não, porém isso ainda não faz sentido para ele, o conceito não se significou. Um conceito torna-se significativo através de uma variedade de situações, mas o sentido não está nas situações em si mesmas, assim como não está nas palavras nem nos símbolos. O sentido é uma relação do sujeito com situações e significantes.
Figura 10: Resposta do questionário do aluno 3, planejamento 2
Pais (2018) afirma que Aprender o significado de um conceito não é permanecer na exterioridade de uma definição, pois a sua complexidade não pode ser reduzida ao estrito espaço de uma mensagem linguística. (p.56)
20 A conceituação muitas vezes é confundida com definição. Para alcançar a conceituação de homotetia, necessita-se de um longo caminho de aprendizagem, quem não se conclui em uma aula, e não é isso que se objetiva. O “Longo prazo” refere-se inevitavelmente a uma perspectiva de desenvolvimento: não é em alguns dias ou em algumas semanas que se adquire uma competência nova ou compreende um conceito novo, mas, sim, ao longo de várias experiências.
A aprendizagem e a conceituação são muito mais do que a definição que o aluno constrói, é o caminho percorrido para que os sentidos fossem atribuídos. Mas as aprendizagens vão muito, além disso. Por isso que é necessário estar constantemente possibilitando que o aluno tenha vivencias de diferencias espécies, para que esse conceito permaneça evoluindo constantemente.
Considerações Finais
A pesquisa, que embasou a presente escrita, buscou ampliar o entendimento de como as atividades desencadeadoras de aprendizagem que consideram o uso de materiais manipuláveis como recursos didático, no estudo do conceito de homotetia, contribuem para a proficiência em matemática de alunos do 9º ano do Ensino Fundamental.
De acordo com as unidades de análises consideradas, percebesse que o uso do material concreto manipulável possibilitou a visualização e a manipulação. Permitiu que os alunos revisitassem os conhecimentos prévios, rompessem com ideias e formas de agir anteriores, colocando-se num processo de desacomodar-se e acomodar-se. Reformulassem as ideias para que as novas competências apoiassem, em partes, nas competências adquiridas antes. Assim possibilitou a reformulação e atribuição de novos sentidos, relacionados dentro de um campo, se aproximando da significação do conceito.
Apesar dos alunos se colocarem em movimento de prática, com a finalidade de formularem os pensamentos. Cada aluno atribuiu para o conceito diferentes sentidos movimentados, se aproximando do significado formal. Por tanto os sentidos formulados pelo grupo de alunos foi diversificado. Por isso, é preciso oportunizar o contato do aluno com diversas situações, de modo a contemplar maiores condições de ampliação e desenvolvimento cognitivo.
21 Nem todos os alunos conseguiram chegar à formulação de uma definição de homotetia. Apesar do manuseio do material concreto manipulável, e do encaminhamento da atividade, entendemos que nunca um conceito matemático está pronto acabado, ele sempre está num constante processo de ressignificação a aprimoramento das ideias.
Entende-se, portanto, que a aprendizagem é muito mais que uma definição, ela se configura dentro de um campo, e é essa a riqueza de utilizar um material concerto, porque possibilita a percepção das múltiplas relações estabelecidas entre os conceitos viabilizando assim a evolução da conceituação.
Apesar de os alunos, em sua maioria, terem criado uma definição e atribuído diferentes sentidos, acredita-se que a conceituação não está pronta. Assim como vimos anteriormente, esse é um processo que se constitui e se qualifica no decorrer dos anos, desde que os alunos revisitem esse conceito, reformule-os, se aproximando cada vez mais da significação do conceito.
A partir das análises realizadas os alunos só conseguiram refletir, sobre os conceitos envolvidos, pelos sentidos que atribuíram ao manusear o pantógrafo. Porém, o material concreto manipulável por si só, não promove a aprendizagem, mas sim, na mediação e intervenções do professor, e os questionamentos que os mesmo realizavam, contribuiu para reflexão e atribuição desses sentidos.
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5 Anexo 1 – História do Pantógrafo
O que é o Pantógrafo?
O pantógrafo é um instrumento que serve para redimensionar figuras, isto é, ampliar ou reduzir nas proporções desejadas. A palavra tem origem grega - pantos = tudo + graphein = escrever.
História do pantógrafo
O pantógrafo foi inventado em 1603 pelo astrónomo e jesuíta alemão Christoph Scheiner. É constituído por quatro réguas (geralmente de madeira) articuladas, duas maiores e duas menores, que se mantêm paralelas duas a duas. A extremidade oposta de uma das réguas maiores é fixa num ponto, e a outra é onde fica o lápis que vai desenhar a reprodução da imagem.
Ilustração 2 - Esquema do pantógrafo
O uso de um paralelogramo articulado, para aumentar ou diminuir proporcionalmente imagens bidimensionais é a base do pantógrafo. O pantógrafo estava associado a um outro instrumento o perspetógrafo.
O conjunto do perspetógrafo possui um poste móvel, com um furo, através do qual o artista deverá olhar e seguir com a ponta seca. O objetivo desse furo é que o autor olhe sempre o mesmo quadro, sob o mesmo ângulo, na mesma distância, garantindo a qualidade da reprodução. Esse furo representa, na verdade, o centro das linhas da relação de homotetia construída a partir do olho do autor, dos pontos seguidos pela ponta seca do instrumento e da paisagem.
25 Para compreender bem o impacto da invenção do pantógrafo naquela época, temos que pensar que não existia nenhum método de copiar figuras. Foi um instrumento fundamental para a cartografia, por exemplo.
O surgimento das fotocopiadoras e tecnologias digitais permitem hoje facilmente fazer ampliações e reduções automáticas, mas o pantógrafo ainda é muito utilizado na cópia de moldes em diversas áreas de produção industrial, serralharia, ourivesaria, etc. e, o princípio do paralelogramo articulado é amplamente utilizado em muitos mecanismos comerciais e industriais.
O instrumento foi aperfeiçoado nos séculos seguintes por outros cientistas. Por volta do ano 1800, foi desenvolvida uma versão tridimensional do pantógrafo, que fazia cópias de esculturas. Benjamim Cheverton, em 1836, adaptou uma pequena ferramenta rotativa para esculpir peças a partir de modelos. Essa máquina foi um marco de engenharia e da indústria fonográfica da época, pois permitiu a cópia em série de discos para fonógrafo.
Ainda hoje o pantógrafo é usado em diversas áreas: na geografia possibilita elaborar mapas; na engenharia facilita a elaboração de plantas de construções; na serralharia serve para cortar chapas metálicas; em ourivesaria é empregado para fazer gravações em alianças, anéis, medalhas, etc.
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6 Anexo 2 – Encaminhamento da Atividade Prática
DESAFIO: Usando o pantógrafo representar polígonos semelhantes. Encaminhamento da Atividade:
a) Na folha de oficio represente um polígono simples qualquer, no qual os lados devem ter medidas inteiras, e nomeie-o conforme o número de lados.
b) Marque um ponto O não pertencente ao polígono representado. c) Usando o Pantógrafo:
- Fixar o pantógrafo no ponto O, de forma que um lado fique móvel. - Contorne o polígono desenhado.
d) Observe as figuras representadas: - O que elas têm em comum?
- Quais as características destas figuras?
- As figuras representadas são ampliações da figura original? Ou são reduções?
- O que podemos afirmar sobre a medida dos lados correspondentes das diferentes figuras representadas?
- Podemos dizer qual é a razão que as figuras foram ampliadas? Que unidade de medida podemos usar?
- Na medida que a representação das figuras amplia, o que acontece com a medida dos ângulos?
Desvendando as figuras representadas
a) Como podemos descobrir a razão de aumento ou redução do polígono 1 para o 2? b) Quanto é essa razão?
c) Descubra todas as 3 razões de aumento que podemos ter usando o pantógrafo. Razão de aumento 1:
Razão de aumento 2: Razão de aumento 3:
d) Com pedaços de linhas de lã trace retas que passam pelo ponto O e em cada um dos vértices do polígono representado. Fixe com fita as linhas no ponto O e em cada um dos vértices do polígono (Obs. Use tantos pedaços de linha quanto forem necessários.)
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7 Anexo 3 - Pavimentação, Arte e Matemática
1º momento: Questionar os alunos:
➢ O que você entende por pavimentação?
➢ Em que situações ou contextos pode ser encontrada? 2º momento: mostrar alguns exemplos de mosaicos.
3º momento: Na atividade de hoje vamos trabalhar com pavimentação. Mas um tipo especial de pavimentação. Pavimentação com polígonos regulares.
Encaminhamento de atividades, observarem e desenhar as figuras:
Nome da figura Número de lados Número de vértices
Estas figuras possuem todos os lados com a mesma medida? Então podemos dizer que é um poliedro regular?
4º momento: Utilizando os poliedros regulares, “cobrir uma superfície plana”, essa cobertura deve ser feita de modo que não haja nem lacunas nem sobreposições. Além disso, duas condições são propostas:
28 b) a distribuição dos polígonos ao redor de cada vértice é sempre a mesma.
5º momento: questionamentos:
➢ Qual desses polígonos foi possível “cobrir uma superfície plana” considerando os
itens anteriores? Explique porque e como.
6º momento: Para relembrar: Com auxilio de uma régua desenhe um triângulo qualquer (preferencialmente escaleno), usando um transferidor determine os ângulos internos deste triângulo e pinte cada um deles de uma cor diferente. Rasgar o triângulo em três partes iguais, de modo que os ângulos não se alterem e colar os pedaços do triangulo no caderno unindo os ângulos. Assim como mostra a figura:
Logo, a soma dos ângulos internos de um triangulo é 180º.
7º momento: A partir dos desenhos feitos no caderno dos polígonos regulares, determine um vértice e trace todas as diagonais possíveis. Lembre-se lado não é diagonal. Agora observe, quantos triângulos formados dentro de cada polígono. Podemos organizar estas informações em forma de tabela:
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8º momento: Retomar: considerando o grau do ângulo interno de cada polígono, podemos estabelecer alguma relação com a pavimentação de uma superfície? Qual?
➢ Neste momento observar que ao agrupar os polígonos (triangulo, quadrilátero e hexágono) considerando seus vértices podemos perceber que é possível formar um ângulo de 360º, ou seja estes três polígonos possuem o grau de seus ângulos internos (60º, 90º e 120º) divisíveis por 360º.
