Análise de turbinas de eixo horizontal com o modelo da linha
sustentadora
Daniela Brito Melo
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Mecânica
Orientadores: Prof. José Alberto Caiado Falcão de Campos
Dr. João Manuel Ribeiro da Costa Baltazar
Júri
Presidente: Prof. Viriato Sérgio de Almeida Semião
Orientador: Prof. José Alberto Caiado Falcão de Campos
Vogal: Prof. Luís Manuel de Carvalho Gato
i
Agradecimentos
Agradeço em primeiro lugar aos meus orientadores, Professor José Falcão de Campos e Doutor João Baltazar, pela oportunidade de desenvolver este trabalho, por tudo o que me ensinaram e pela constante disponibilidade.
Queria também agradecer à minha família, por todo o apoio e alegria. Em particular aos meus pais e ao meu irmão, Natalina Melo, António Melo e Ricardo Melo.
Agradeço à família Moniz Cabral, pelo carinho e por todos os contributos na elaboração desta dissertação.
Agradeço aos meus colegas e amigos, em particular à Clarinha por estar presente em todas as minhas recordações dos últimos anos.
Por fim, agradeço ao Pedro Cabral, pelas incontáveis, preciosas e longas revisões, pela sua lealdade e pela sua amizade.
ii
Resumo
A análise estacionária do escoamento em torno de uma turbina de eixo horizontal é fundamental para o projeto da mesma, em particular para o cálculo do binário e da força axial.
Nesta dissertação apresenta-se um modelo de análise invíscido, onde a força de sustentação é modelada pela teoria da linha sustentadora e a força de resistência por um modelo de fontes. A formulação parte das equações da continuidade e de transporte de quantidade de movimento linearizada. Assume-se que as pás podem ser modeladas por linhas com forças concentradas e, assim, obtêm-se paralelamente a teoria da linha sustentadora e o modelo de fontes.
Numa abordagem não linear, a teoria da linha sustentadora pressupõe uma esteira de vórtices alinhada com o campo de velocidades. Tendo em conta a influência da geometria da esteira nas previsões do desempenho da turbina, propõe-se um esquema de alinhamento que dispensa a utilização de parâmetros experimentais e que pretende ser uma alternativa às esteiras de passo constante. Analisa-se a convergência do método numérico e são apresentados os resultados para uma esteira alinhada em duas e em três secções.
Os resultados numéricos são comparados com os resultados experimentais referentes à turbina ensaiada pelo laboratório NREL. A teoria da linha sustentadora com o esquema de alinhamento da esteira permite obter distribuições dos coeficientes de força próximas das evoluções experimentais. Considerando o modelo de fontes é possível analisar a turbina em condições de perda aerodinâmica e obter evoluções para o coeficiente de potência consistentes com os resultados experimentais.
Palavras-chave: Turbina eólica, teoria da linha sustentadora, alinhamento da esteira, modelo de
iii
Abstract
The steady state analysis of the flow around horizontal axis wind turbines is of the utmost importance for its design, particularly for the determination of torque and thrust.
The lift and drag forces are simulated by the means of an inviscid fluid model that couples the lifting line theory with a source model. The continuity and the linearized momentum equations are the foundation of an analytical development that naturally leads to these models. The fluid-blade interaction is modelled by a concentrated force acting on a line. If this force is assumed to be perpendicular to the incoming velocity the traditional lifting line theory arises. On the other hand, if one assumes they are parallel a source model is naturally obtained.
The sheded vorticity is supposed to be aligned with the local velocity field. Rigid wake models or semi-empirical wakes are used in some lifting line codes. The strong relation between the reliability of the results and a proper alignment of the vortex wake is well known and documented. Hence, a non-linear vortex wake alignment scheme is herewith proposed. A convergence study is presented as well as the results for two and three alignment positions.
The numerical results are compared to the NREL turbine experimental data. The lifting line theory coupled with the non-linear vortex wake alignment scheme successfully predicted the force coefficients evolution. The source model allows the analysis in stall conditions and effectively calculated the power coefficient progression.
iv
Índice
Agradecimentos ... i
Resumo ...ii
Abstract ... iii
Lista de tabelas ... vii
Lista de figuras ... viii
Lista de símbolos ... xi
1 Introdução ... 1
1.1 Breve introdução às turbinas de eixo horizontal ... 1
1.2 Estado da arte ... 2
1.2.1 A teoria da linha sustentadora e a sua aplicação a turbinas de eixo horizontal ... 2
1.2.2 Outros métodos numéricos de análise ... 4
1.3 Motivação ... 4
1.4 Objetivos ... 5
2 Modelo Matemático ... 6
2.1 Formulação da teoria da linha sustentadora ... 7
2.1.1 Campo de velocidades induzidas ... 8
2.1.2 Força de sustentação e coeficientes de força e de potência ... 9
2.2 Modelação do escoamento induzido por uma pá em rotação: teoria linear ... 13
2.2.1 Velocidade induzida por uma superfície impermeável ... 13
2.2.2 Velocidade induzida por uma força concentrada numa linha em movimento ... 15
v
2.2.4 Velocidade induzida por uma força tangente à velocidade ... 20
2.3 Formulação do modelo de fontes ... 24
2.3.1 Campo de velocidades induzidas ... 24
2.3.2 Força de resistência ... 27
2.4 Modelação do efeito do cubo ... 29
3 Modelo Numérico ... 31
3.1 Modelo da malha de vórtices ... 31
3.1.1 Discretização da linha sustentadora ... 32
3.1.2 Cálculo da velocidade induzida pelo sistema de vórtices ... 32
3.1.3 Modelação da esteira ... 33
3.1.4 Introdução do efeito do cubo ... 35
3.2 Modelo discreto de fontes ... 35
3.3 Processo iterativo ... 36
4 Análise dos Resultados ... 40
4.1 Geometria da turbina e condições do escoamento ... 40
4.2 Convergência dos resultados com a discretização da esteira de vórtices ... 41
4.3 Convergência da solução com a discretização da linha sustentadora ... 44
4.4 Alinhamento da esteira de vórtices em múltiplas secções ... 46
4.4.1 Alinhamento da esteira em duas secções ( ) ... 46
4.4.2 Alinhamento da esteira em três secções ( ) ... 49
4.4.3 Análise das velocidades induzidas radiais ... 50
4.5 Análise do desempenho da turbina com o modelo de fontes ... 51
4.6 Comparação com os resultados experimentais ... 54
5 Conclusão ... 58
Referências bibliográficas ... 60
Anexos ... 63
vi
B Velocidade induzida por um filamento de vórtice e uma folha de vórtices ... 64
C Velocidade induzida por um campo de forças externo (teoria linear) ... 65
D Velocidade induzida por uma força externa, concentrada numa linha, em movimento segundo uma superfície helicoidal ... 67
E Escoamento induzido por forças distribuídas em superfícies e concentradas num ponto ... 70
F Velocidade induzida por uma força concentrada numa linha, alinhada com a velocidade ... 74
G Velocidade induzida por um segmento de vórtice e de fontes de intensidade constante ... 76
H Distribuição de corda e de ângulo de passo da turbina NREL e coeficientes aerodinâmicos do perfil S809 ... 81
vii
Lista de tabelas
4.1 Condições de funcionamento a utilizar nas simulações numéricas. 41 4.2 Coeficiente de potência, , para diferentes alinhamentos da esteira. 48 H.1 Distribuição radial de corda e de ângulo de passo da turbina NREL. 81 H.2 Coeficientes aerodinâmicos do perfil S809 para . 82 H.3 Coeficientes aerodinâmicos do perfil S809 para . 83
viii
Lista de figuras
1.1 Turbina éolica de eixo horizontal. 2
2.1 Turbina de eixo horizontal com três pás: representação dos sistemas de
coordenadas e dos vetores velocidade. 6
2.2 Representação da linha sustentadora e respetiva folha de vórtices
arrastados. 8
2.3 Triângulo de velocidades e de forças. 11
2.4 Projeção da superfície em . 14
2.5 Superfície de referência , superfície sustentadora e respetiva projeção . 16 2.6 Linha em movimento segundo uma superfície helicoidal. 17 2.7 Representação de um dipolo pontual e respetivo vórtice concentrado. 18 2.8 Sistema de vórtices (escoamento induzido por uma força perpendicular a ). 19 2.9 Superfície de dipolos (escoamento induzido por uma força alinhada com ). 21 2.10 Tubos de vórtices (escoamento induzido por uma força alinhada com ). 21 2.11 Linha de fontes, linha de poços e superfície de corrente (escoamento
induzido por uma força alinhada com ). 23
2.12 Representação da linha de fontes e da respetiva superfície de corrente. 24
2.13 Tubo de vórtices em . 26
2.14 Velocidade induzida por um tubo de vórtices semi-infinito. 26
ix 2.16 Escoamento induzido por um vórtice concentrado e um cilindro infinito. 30
3.1 Linha sustentadora discretizada e filamentos de vórtices arrastados (malha de
vórtices). 32
3.2 Esteira de vórtices arrastados: representação das secções de alinhamento. 35 3.3 Esquema computacional: modelo da linha sustentadora e modelo de fontes
com alinhamento da esteira. 39
4.1 Evolução dos coeficientes aerodinâmicos em função do ângulo de ataque para e (dados experimentais da OSU). 41
4.2 Coeficiente de potência, , para diferentes níveis de discretização e truncatura
da esteira ( ). 42
4.3 Distribuição radial de circulação, ângulo de ataque e velocidades induzidas para diferentes níveis de discretização. Truncatura da esteira a . 43
4.4 Coeficiente de potência, , para diferentes níveis de discretização da linha, considerando distribuição uniforme e do tipo coseno ( ). 44 4.5 Distribuição radial de circulação e das velocidades induzidas para diferentes
níveis e tipos de discretização da linha sustentadora ( ). 45 4.6 Distribuição radial do passo nas secções de alinhamento (a) e módulo do erro
absoluto ao longo das iterações (b). 46
4.7 Distribuição radial da velocidade induzida tangencial nas secções de alinhamento (a) e módulo do erro absoluto ao longo das iterações (b). 47 4.8 Vista lateral da esteira de vórtices relativa à linha sustentadora para as
duas situações de alinhamento. 47
4.9 Distribuição radial de circulação, ângulo de ataque e velocidades induzidas para uma esteira alinhada na linha ( ) e uma esteira alinhada na linha e na
secção ( ). 48
4.10 Distribuição radial do passo nas secções de alinhamento (a) e módulo do erro
absoluto ao longo das iterações (b). 49
4.11 Distribuição radial da velocidade induzida tangencial nas secções de alinhamento (a) e módulo do erro absoluto ao longo das iterações (b). 49
x 4.12 Distribuição radial da velocidade induzida radial nas secções de alinhamento: a)
alinhamento em duas secções ( ), b) alinhamento em três secções ( ). 51 4.13 Distribuição radial das velocidades induzidas pelas linhas de fontes para
. 52
4.14 Distribuição radial da circulação, ângulo de ataque e coeficientes de força para diferentes considerando uma esteira de passo constante, alinhada na
linha, e o modelo de fontes. 53
4.15 Distribuição radial das velocidades induzidas para diferentes considerando uma esteira de passo constante, alinhada na linha, e o modelo de fontes. 54 4.16 Comparação das previsões do binário e do coeficiente de potência com os
resultados experimentais para três condições de funcionamento. As medições experimentais são representadas com o respetivo desvio-padrão. 55 4.17 Variação radial dos coeficientes de força normal e tangencial para .
As medições experimentais são representadas com o respetivo desvio-padrão. 56 4.18 Variação radial dos coeficientes de força normal e tangencial para .
As medições experimentais são representadas com o respetivo desvio-padrão. 56 4.19 Variação radial dos coeficientes de força normal e tangencial para .
As medições experimentais são representadas com o respetivo desvio-padrão. 57
D.1 Linha em movimento (helicóide). 67
E.1 Força aplicada numa superfície. 71
E.2 Divergenceless dipole. 72
E.3 Vórtice concentrado em . 73
G.1 Segmento de vórtice retilíneo e ponto de cálculo. 77
G.2 Segmento de fontes retilíneo e ponto de cálculo. 79
xi
Lista de símbolos
Romanos
Área perpendicular ao eixo do dipolo Projeção de em
Superfície sustentadora
Passo
Matriz dos coeficientes das velocidades induzidas pelos vórtices relativa à direção
axial, , ou tangencial, Coeficiente de resistência Coeficiente de sustentação
Coeficiente de força normal à corda do perfil
Constante que define a carga da pá assumindo distribuição ótima de circulação Coeficiente de potência
Coeficiente de força axial
Coeficiente de força tangencial à corda do perfil Corda da secção da pá
Diâmetro do rotor da turbina
Módulo da força de resistência por unidade de comprimento ao longo da envergadura Função solução fundamental do operador laplaciano
Versor tangente a um segmento de vórtice, orientado de 1 para 2 Versor tangente à superfície e orientado segundo
xii Versor tangente ao escoamento local
Versor diretor da velocidade induzida por um segmento de vórtice Versores diretores nas direções e
Versores diretores nas direções e Versores diretores nas direções , e
Resultante das forças mássicas por unidade de volume
Módulo do vetor força por unidade de comprimento; impulso da força Vetor força por unidade de comprimento; vetor força pontual e impulsiva
Superfície de corrente semi-infinita relativa à linha de fontes Superfície de referência solidária ao escoamento de aproximação
Distância medida na perpendicular à superfície de dipólos Linha de fontes relativa à pá
Variável de integração ao longo de uma linha
Módulo da força de sustentação por unidade de comprimento ao longo da envergadura
Força de sustentação por unidade de comprimento ao longo da envergadura Linha de força concentrada relativa à superfície
Linha sustentadora relativa à pá Filamento de vórtice livre
Caudal emitido por unidade de comprimento ao longo da linha de fontes Número de elementos em que se discretiza uma linha
Número de elementos em que se discretiza um filamento de vórtice livre Número de setores circulares em que se discretiza uma rotação das pás Número de secções de alinhamento
Pressão relativa Vetor posição
xiii Módulo do binário
Binário
Raio do rotor da turbina
Módulo do vetor que une o ponto de integração ao ponto de cálculo Distância entre o ponto de cálculo e a origem do referencial
Número de Reynolds
Vetor que une o ponto de integração ao ponto de cálculo
Distância entre o ponto de cálculo e um ponto sobre a linha
Distância entre o ponto de cálculo e um ponto em Coordenada radial dos pontos de controlo
Raio do cubo
Coordenada medida ao longo da trajetória helicoidal Superfície helicoidal varrida pela linha
Matriz dos coeficientes das velocidades induzidas pelo sistema de fontes relativo à
direção axial, , ou tangencial,
Folha de vórtices relativa à linha sustentadora Módulo da força axial
Força axial
Tempo
Módulo da velocidade do escoamento de aproximação Velocidade do escoamento de aproximação
Módulo da velocidade do escoamento de aproximação relativo Velocidade do escoamento de aproximação relativo
Velocidade da linha no referencial solidário com o escoamento de aproximação Componentes axial, da envergadura e tangencial da velocidade induzida pelo sistema
xiv Componentes da velocidade induzida pelo sistema de fontes nas direções e Componentes da velocidade induzida pelo sistema de fontes nas direções e
Velocidade induzida pelo sistema de fontes Velocidade induzida pela linha de fontes
Componente do vetor no plano da secção do perfil Velocidade total
Componentes axial, da envergadura e tangencial da velocidade induzida pelo sistema de vórtices em pontos sobre a linha sustentadora
Componentes da velocidade induzida pelo sistema de vórtices nas direções e Componentes da velocidade induzida pelo sistema de vórtices nas direções e Componentes da velocidade induzida por uma linha de fontes nas direções , e
Velocidade induzida pelo sistema de vórtices
Velocidade induzida pela linha sustentadora e respetiva folha de vórtices Coordenada axial das secções de alinhamento
Coordenada axial da última secção de alinhamento Coordenada axial da secção de truncatura da esteira
Coordenadas cilíndricas no referencial cartesiano solidário com as pás
Coordenadas cilíndricas no referencial cartesiano solidário com o escoamento de aproximação
Coordenadas no referencial cartesiano solidário com as pás
Coordenadas no referencial cartesiano solidário com o escoamento de aproximação Projeção de em
Superfície sustentadora finita, flexível e impermeável Número de pás da turbina
xv
Gregos
Ângulo de ataque
Ângulo de passo do escoamento não perturbado Ângulo de passo hidrodinâmico
Intensidade dos tubos de vórtices
Módulo da intensidade de um filamento de vórtice livre
Intensidade de uma folha de vórtices; intensidade de um filamento de vórtice livre Incremento de uma dada quantidade
Parâmetro de linearização
Tolerância numérica para o erro relativo do ângulo de passo hidrodinâmico
Tolerância numérica para o erro relativo do passo e da velocidade induzida tangencial Fator de sub-relaxação do ciclo iterativo do ângulo de passo hidrodinâmico
Fator de sub-relaxação do ciclo iterativo de alinhamento
Coordenadas do ponto de integração no referencial cartesiano solidário com o escoamento de aproximação; coordenadas locais do segmento de fontes
Coordenadas cilíndricas do ponto de integração no referencial cartesiano solidário com o escoamento de aproximação
Parâmetro adimensional de velocidade periférica (tip speed ratio, ) Viscosidade cinemática do fluido
Massa volúmica do fluido
Variável de integração medida ao longo de Variável de integração no tempo
Módulo do vetor circulação Vetor circulação
Posição angular da linha
Ângulo entre a linha de vórtices e a reta que une o ponto de cálculo a um ponto da linha
xvi Posição angular das linhas sustentadoras/linhas de fontes
Deslocamento angular das pás da turbina Posição axial da linha
Ângulo de passo da secção
Módulo da velocidade angular das pás Velocidade angular das pás
Sobrescritos e subscritos
Índice que identifica a secção de alinhamento
Referente ao valor calculado no final do processo iterativo
Referente à interceção do prolongamento da linha de vórtices/fontes com a perpendicular entre o ponto de cálculo e a linha de vórtices/fontes
Índice que identifica o ponto de controlo do elemento Índice que identifica o ponto extremidade do elemento Índice identificador de cada pá
Referente a um ponto sobre a linha sustentadora Referente ao valor assumido na iteração anterior Referente ao valor a utilizar na iteração seguinte
Referente a um momento inicial
Referente ao ponto de cálculo da velocidade induzida Referente a um ponto sobre a linha de fontes
Relativo aos vórtices imagem
Índice identificador das extremidades dos segmentos de vórtice retilíneos que compõem um filamento de vórtice
Referente a uma grandeza adimensional 1 Referente à extremidade a montante 2 Referente à extremidade a jusante
1
Capítulo 1
Introdução
As turbinas de eixo horizontal de aproveitamento da energia eólica são atualmente responsáveis por cerca de 23% do total de energia elétrica produzida em Portugal. A energia convertida pelas turbinas eólicas representa 37% do total de energia elétrica de origem renovável [1] e estima-se que a potência instalada aumente cerca de 36% até 2030, relativamente aos valores registados em 2013 [2].
As energias renováveis têm assumido um papel cada vez mais importante na economia portuguesa, contribuindo tanto para a criação de emprego como para a redução da dependência energética do país e da emissão de gases com efeito de estufa [3]. O setor das energias renováveis, e em particular da energia eólica, cresceu muito na última década com o apoio de diversos incentivos. Atualmente, os desafios passam por tornar a indústria das energias renováveis um setor capaz de competir com as fontes de energia fóssil tradicionais, tendo a engenharia um papel fundamental.
1.1 Breve introdução às turbinas de eixo horizontal
As turbinas eólicas de eixo horizontal são turbomáquinas axiais abertas que convertem parte da energia cinética do vento em energia elétrica. O rotor é constituído por pás distribuídas de modo axissimétrico em torno de um cubo. Este encontra-se acoplado a um gerador, em geral por intermédio de uma caixa de velocidades. Os equipamentos mecânicos e elétricos estão encerrados na nacelle, localizada no cimo de uma torre de forma aproximadamente cilíndrica (Figura 1.1). A torre posiciona o rotor em zonas mais elevadas da camada limite atmosférica, onde o vento está sujeito a menos perturbações e atinge velocidades mais elevadas [4].
2 Figura 1.1 – Turbina eólica de eixo horizontal.
A correta caracterização do vento num dado local é essencial para o estudo de viabilidade económica e para o projeto das turbinas a instalar. Conhecido o escoamento de aproximação, o sucesso do projeto passa por conseguir estimar corretamente as forças aerodinâmicas a que a turbina está sujeita, em particular as pás. Deste modo, a análise estacionária e não estacionária do escoamento em torno da turbina é fundamental para o projeto, em particular para o cálculo do binário, da força axial e do rendimento.
A dificuldade em prever os esforços a que a estrutura está sujeita obriga à introdução de elevados fatores de segurança, dificulta a otimização da geometria das pás e aumenta os custos de produção. O desenvolvimento de técnicas de análise de turbinas de eixo horizontal apresenta-se assim como uma condição necessária e determinante para o crescimento de um setor que pretende ser uma alternativa imediata aos recursos fósseis, numa economia nacional e mundial cada vez mais competitiva e num contexto social e ambiental cada vez mais preocupante.
1.2 Estado da arte
1.2.1 A teoria da linha sustentadora e a sua aplicação a turbinas de eixo horizontal
O modelo de análise de turbinas de eixo horizontal por meio de um sistema de vórtices deriva da teoria da linha sustentadora de Lanchester-Prandtl, desenvolvida para asas finitas em 1918 [5]. A teoria da linha sustentadora foi inicialmente aplicada ao estudo de propulsores marítimos e os diferentes contributos que surgiram nessa área constituem a base para os métodos de projeto e análise de turbinas de eixo horizontal com a teoria da linha sustentadora.
3 O modelo assume fluido invíscido e incompressível e representa as pás do rotor por filamentos de vórtice de intensidade continuamente variável, de comprimento dado pela envergadura da pá (linha sustentadora). Vórtices livres são emanados a partir da linha sustentadora e convectados pelo escoamento, em resultado da variação da circulação ao longo da linha. Num referencial em rotação com as pás, estes filamentos de vórtice constituem uma superfície aproximadamente helicoidal, designada esteira de vórtices. A geometria da esteira de vórtices é dada pelo escoamento a jusante do rotor, sendo função da velocidade do escoamento de aproximação, da velocidade de rotação do rotor e das velocidades induzidas pelo sistema de vórtices.
O projeto e análise de propulsores com a teoria da linha sustentadora conta com várias contribuições, destacando-se os trabalhos de Betz em 1919 [6], Goldstein em 1929 [7] e Lerbs em 1952 [9]. Lerbs desenvolveu um método de projeto onde as velocidades induzidas são calculadas pelo método dos fatores induzidos, introduzidos por Moriya em 1933 [9], a partir da lei de Biot-Savart. O cálculo analítico das velocidades induzidas assume uma esteira de vórtices helicoidal de passo constante. A contração da esteira é desprezada, razão pela qual o modelo é apenas aplicado a propulsores pouco ou moderadamente carregados.
Os esquemas de análise iterativos surgem com os primeiros computadores digitais, ao qual se segue o desenvolvimento da teoria da superfície sustentadora, em 1973 por Cummings [10], onde filamentos de vórtice são distribuídos sobre a superfície média das pás. Em 1978, Kerwin [11] desenvolveu um método numérico baseado na teoria da superfície sustentadora, onde são considerados os fenómenos de enrolamento e contração da folha de vórtices. A geometria da esteira de vórtices é definida a partir de um conjunto de parâmetros obtidos experimentalmente e é dividida em duas regiões: a esteira próxima e a esteira afastada. Os filamentos de vórtice que constituem a esteira são truncados a uma determinada distância a jusante das pás e discretizados num conjunto de segmentos de vórtice retilíneos.
Em 1982, Greeley e Kerwin [12] apresentam um esquema de alinhamento iterativo aplicado ao modelo da superfície sustentadora. As velocidades induzidas axiais e tangenciais são calculadas no bordo de fuga das pás e no início da esteira afastada. Entre as duas posições axiais assume-se uma variação gradual do passo e a posição radial dos filamentos de vórtice helicoidais é definida a partir de resultados experimentais. O problema do alinhamento da esteira foi abordado em diferentes trabalhos, inclusivamente no método dos painéis por Hoshino [13], em 1989, mais tarde adaptado para a teoria da linha sustentadora por Duarte em 1997 [14].
A teoria da linha sustentadora foi aplicada ao projeto de turbinas eólicas de eixo horizontal em 1986, por Maekawa [15], onde as velocidades induzidas foram calculadas através das funções analíticas de Goldstein. Em 2003, Chattot [16] também assumiu uma esteira de vórtices helicoidal mas seguiu uma abordagem discreta. As linhas sustentadoras e as esteiras de vórtices foram
4 discretizadas em segmentos de vórtice retilíneos, pelo que as velocidades induzidas foram calculadas pela lei de Biot-Savart. Os resultados foram posteriormente corrigidos de modo a incluir os efeitos viscosos.
Em 2007, Falcão de Campos [17] apresentou um modelo discreto aplicado ao projeto de turbinas de correntes marítimas, calculando as velocidades induzidas através das expressões dos fatores induzidos de Morgan e Wrench [5].
Em 2010, Machado [18] incluiu o efeito do cubo no projeto de uma turbina de correntes marítimas com a teoria da linha sustentadora e, em 2014, Caldeira [19] desenvolveu um método de análise de turbinas de eixo horizontal, fora das condições de projeto, onde a força de resistência foi simulada através de um modelo de fontes. Os resultados foram obtidos para uma esteira semi-empírica e comparados com medições experimentais.
1.2.2 Outros métodos numéricos de análise
As turbinas de eixo horizontal podem também ser analisadas com recurso a outros métodos numéricos. O Blade Element Momentum theory (BEM) resolve o escoamento axissimétrico e divide o círculo varrido pelas pás da turbina num conjunto de anéis concêntricos. O método dos painéis resolve o escoamento potencial induzido por uma distribuição de fontes e dipolos sobre a superfície das pás e, por fim, os modelos mais complexos resolvem as equações de Navier-Stokes (CFD), onde se inserem os códigos RANS (Reynolds Average Navier-Stokes) e LES (Large Eddy Simulation), cuja utilização a nível de projeto e análise se encontra limitada pelos elevados tempos computacionais. Alguns métodos aliam ainda a análise aerodinâmica à estrutural, constituindo códigos aero-elásticos.
A comparação das previsões numéricas estacionárias e não-estacionárias com resultados experimentais foi promovida pelo laboratório NREL (National Renewable Energy Laboratory) no evento Blind Comparison e pode ser encontrada em [20].
1.3 Motivação
A presente dissertação pretende ser um contributo para um melhor entendimento da teoria da linha sustentadora aplicada à análise de turbinas de eixo horizontal. Pretende também fundamentar analiticamente o modelo de fontes proposto por Caldeira em [19]. A abordagem analítica permite não só estabelecer uma relação entre a teoria da linha sustentadora e o modelo de fontes mas também verificar que ambas surgem naturalmente das equações que regem a aerodinâmica incompressível: a equação da continuidade e a equação de transporte de quantidade de movimento.
5 O projeto e análise de turbinas de eixo horizontal com a teoria da linha sustentadora depara-se com as dificuldades associadas à não linearidade das equações. A utilização de esteiras rígidas, obtidas através de parâmetros experimentais, ou de esteiras de passo constante alinhadas na linha sustentadora têm sido as opções predominantes. A influência da geometria da esteira no sucesso das previsões numéricas é conhecida da bibliografia [12], razão pela qual se propõe um esquema de alinhamento que tem por base uma metodologia utilizada em códigos de método dos painéis [21], que dispensa a utilização de parâmetros experimentais.
Com o objetivo de compilar os trabalhos desenvolvidos nos últimos anos, o esquema numérico foi implementado simultaneamente ao método dos fatores induzidos, tendo-se incorporado a modelação do efeito do cubo e o modelo de fontes.
Esta dissertação, que agrupa o conhecimento e a experiência que os trabalhos anteriores trouxeram, pretende não só criar uma base analítica que ajude a consolidar o entendimento da teoria da linha sustentadora e suas variantes mas também gerar resultados que se esperam mais próximos dos experimentais.
1.4 Objetivos
O trabalho desenvolvido centra-se na análise de uma turbina de eixo horizontal com a teoria da linha sustentadora, tendo como principais objetivos:
o Formular o modelo de fontes paralelamente à teoria da linha sustentadora com base na equação da continuidade e na equação do movimento linearizada;
o Implementar e testar um método numérico de cálculo das velocidades induzidas com alinhamento da esteira;
o Incorporar no algoritmo o cálculo das velocidades induzidas pelo método dos fatores
6
Capítulo 2
Modelo Matemático
Considere-se uma turbina de eixo horizontal de geometria conhecida, constituída por pás idênticas, simetricamente distribuídas em torno do cubo. As pás encontram-se em rotação com velocidade angular constante, , num meio infinito e sujeitas a um escoamento de aproximação, , uniforme e paralelo ao eixo da turbina. Assume-se fluido invíscido e incompressível e despreza-se o efeito de outros corpos para além das pás e do cubo.
Define-se um referencial cartesiano solidário com as pás com versores . O eixo é coincidente com o eixo da turbina e está orientado com o escoamento de aproximação, o eixo define a linha de referência de uma das pás (designada pá principal) e o eixo completa o sistema de eixos cartesiano. No referencial em rotação é também definido um sistema de coordenadas cilíndrico com versores . As coordenadas e são definidas por e .
Relativamente a este referencial, as pás encontram-se em repouso e sujeitas a um escoamento de aproximação relativo dado por , representado na Figura 2.1. O escoamento é estacionário no referencial supracitado.
Figura 2.1 – Turbina de eixo horizontal com três pás: representação dos sistemas de coordenadas e dos vetores velocidade.
7
2.1 Formulação da teoria da linha sustentadora
Na teoria da linha sustentadora, o efeito sustentador de corpos finitos em regime estacionário é modelado por um filamento de vórtice ligado, de intensidade continuamente variável, do qual é emanada uma folha de vórtices arrastados semi-infinitos [22]. Na modelação de turbinas de eixo horizontal, o escoamento induzido por cada pá será, portanto, modelado pelo escoamento induzido por um filamento de vórtice de comprimento dado pela envergadura da pá (linha sustentadora) e pela correspondente folha de vórtices arrastados (esteira de vórtices).
Admite-se que a razão entre a envergadura e a corda média das pás (aspect ratio) é suficientemente grande para que o escoamento na vizinhança de cada secção da pá possa ser considerado bidimensional. Deste modo, a relação entre a força de sustentação e a intensidade dos filamentos de vórtice é dada pelo teorema de Kutta-Joukowski.
No sistema de coordenadas ilustrado na Figura 2.1, as linhas sustentadoras encontram-se no plano , estendem-se da raiz à extremidade das pás e encontram-se distribuídas de modo axissimétrico no plano .
(2.1)
sendo a posição angular de cada pá e o índice identificador da mesma (por definição identifica a pá principal), o raio do cubo e o raio do rotor da turbina.
Cada linha sustentadora pode ser definida pelo vetor , onde é o módulo da circulação em torno de um qualquer circuito fechado que envolva o filamento de vórtice.
A intensidade da folha de vórtices, , segue diretamente do segundo teorema de Helmolthz, referente à conservação da circulação no espaço [22]. Deste modo, a folha de vórtices estende-se para infinito e a sua intensidade é dada pela variação de circulação ao longo da linha sustentadora.
(2.2)
sendo o versor unitário tangente à folha de vórtices e alinhado com os filamentos de vórtice. está alinhado com o escoamento e tem o sentido da velocidade local, , tal como representado na Figura 2.2. A vorticidade concentrada nas folhas de vórtices deve estar alinhada com a velocidade local para que, de acordo com o teorema de Kutta-Joukowski, a força de sustentação nas esteiras de vórtices seja nula. A equação (2.3) estabelece esta condição e justifica-se assim a designação esteira de vórtices arrastados.
8
(2.3)
Figura 2.2 – Representação da linha sustentadora e respetiva folha de vórtices arrastados.
2.1.1 Campo de velocidades induzidas
O campo de velocidades induzidas por um filamento de vórtice, , e uma folha de vórtices, , pode ser calculado pela lei de Biot-Savart traduzida na seguinte expressão:
(2.4)
sendo a velocidade induzida pela linha sustentadora e a respetiva folha de vórtices no ponto . O primeiro termo do segundo membro corresponde à contribuição da linha sustentadora , pelo que o integral em refere-se à integração ao longo da linha, e o segundo termo corresponde à contribuição da respetiva folha de vórtices e portanto o integral em estende-se à superfície semi-infinita de vórtices arrastados. é o vetor que une o ponto de integração ao ponto de cálculo e é o módulo deste mesmo vetor.
A dedução desta equação encontra-se nos Anexos A e B, seguindo a metodologia presente em [23].
O campo de velocidades induzidas por todas as pás, , corresponde, de modo análogo, ao somatório da contribuição das linhas sustentadoras e respetivas folhas:
(2.5)
Para o cálculo da sustentação é necessário calcular a velocidade induzida nas linhas sustentadoras. Como são consideradas pás idênticas, igualmente carregadas e simetricamente distribuídas, é apenas necessário o cálculo da velocidade induzida numa das pás. Por conveniência
9 escolhe-se a pá principal ( ) e a velocidade induzida num ponto sobre a linha sustentadora obtém-se substituindo a equação (2.4) na equação (2.5). Em [5] demonstra-se que, por simetria, a contribuição de todas as linhas sustentadoras (somatório da integração sobre ) é nula, pelo que a expressão para a velocidade induzida se resume a:
(2.6)
onde o índice define um ponto sobre a linha sustentadora (lifting line).
As velocidades induzidas sobre a linha sustentadora são, deste modo, função da intensidade da folha de vórtices, (relacionada com a distribuição da circulação na linha sustentadora pela equação 2.2) e da geometria da folha de vórtices, . A esteira de vórtices deve ser tangente ao vetor velocidade de modo a respeitar a equação (2.3), pelo que é, por sua vez, função do campo de velocidades. O cálculo das velocidades induzidas na linha sustentadora pela equação (2.6) traduz-se, portanto, num problema não linear. O problema pode ser linearizado se se prescrever a geometria dos filamentos que constituem as folhas de vórtices.
2.1.2 Força de sustentação e coeficientes de força e de potência
No referencial da Figura 2.1, o vetor velocidade, , pode ser definido como a soma do escoamento de aproximação relativo, , com a velocidade induzida, . O vetor é definido pelas componentes , no sistema de coordenadas cartesiano, ou pelas componentes , no sistema de coordenadas cilíndrico, relacionadas pela transformação:
(2.7.a)
(2.7.b)
O vetor velocidade é então definido em coordenadas cilíndricas por:
(2.8)
sendo o módulo da velocidade do escoamento de aproximação e o módulo da velocidade angular das pás.
Tal como referido na secção anterior, as velocidades induzidas são iguais em todas as linhas sustentadoras. As respetivas componentes são definidas como quantidades positivas por , sendo a velocidade induzida axial, a velocidade induzida na direção da envergadura (spanwise
10
(2.9.a)
(2.9.b)
(2.9.c)
Estando o campo de velocidades definido, o teorema de Kutta-Joukowski permite estabelecer a relação entre o campo de velocidades na linha sustentadora e a força de sustentação por unidade de comprimento ao longo da envergadura, (lift), numa dada secção da pá:
(2.10)
onde é a massa volúmica do fluido e está definido de acordo com o parágrafo seguinte à equação (2.1).
Da análise da equação (2.10), conclui-se facilmente que a componente do vetor velocidade na direção da envergadura, , não contribui para a sustentação por estar alinhado com o vetor . Sendo , obtém-se para o módulo da força de sustentação por unidade de comprimento ao longo da envergadura:
(2.11)
onde define o módulo da componente do vetor velocidade perpendicular a :
(2.12)
Utilizando como valores de referência o módulo da velocidade do escoamento de aproximação, , e o raio do rotor da turbina, , a variável é definida na sua forma adimensional por:
(2.13)
sendo o parâmetro adimensional de velocidade periférica (tip speed ratio, ) e as variáveis adimensionais definidas da forma: , , e .
O coeficiente de sustentação, , é por definição:
(2.14)
11 Substituindo a equação (2.11) na expressão do coeficiente de sustentação e procedendo à adimensionalização das variáveis obtém-se a expressão equivalente:
(2.15)
sendo e .
Define-se, do mesmo modo, o coeficiente de resistência, :
(2.16)
onde é o módulo da força de resistência por unidade de comprimento ao longo da envergadura (drag).
O coeficiente de sustentação, , e o coeficiente de resistência, , são obtidos através das características aerodinâmicas do perfil da secção em função do ângulo de ataque, , e do número de Reynolds, , sendo a viscosidade cinemática do fluido.
A força de resistência, não sendo modelada pela teoria da linha sustentadora, é normalmente incluída no triângulo de velocidades e contabilizada no cálculo da força axial, (thrust) e do momento na direção (binário), . Na secção 2.3 é apresentado um modelo de fontes que permite relacionar a força de resistência com as respetivas velocidades induzidas.
Na Figura 2.3 encontram-se esquematizados os vetores velocidade e as forças aplicadas numa secção da pá.
O ângulo é definido como o ângulo de passo do escoamento não perturbado, o ângulo designa-se ângulo de passo hidrodinâmico e é o ângulo de passo da secção (pitch). e definem a contribuição de cada secção da pá para a força axial e para o binário.
12 A partir das relações geométricas estabelecidas na Figura 2.3 obtêm-se as expressões para os ângulos e e a relação entre os ângulos , e . Novamente com as variáveis na forma adimensional: (2.17) (2.18) (2.19)
Os coeficientes adimensionais de força axial e de potência, e , respetivamente, são definidos do seguinte modo:
(2.20)
(2.21)
sendo e os módulos da força axial e do binário, respetivamente.
e são definidos em função da força de sustentação e da força de resistência por unidade de comprimento ao longo da envergadura a partir das relações geométricas esquematizadas na Figura 2.3. Multiplicando essas quantidades pelo número de pás, , e integrando ao longo de toda a pá, obtêm-se as expressões para e . Introduzindo estes resultados nas equações (2.20) e (2.21), os coeficientes e são calculados a partir das seguintes expressões:
(2.22)
13
2.2 Modelação do escoamento induzido por uma pá em rotação: teoria linear
Na presente secção, a pá de uma turbina de eixo horizontal é inicialmente modelada por uma superfície sustentadora em movimento segundo uma trajetória helicoidal, no seio de fluido invíscido. A análise do escoamento induzido por esta superfície é desenvolvida utilizando a teoria linear presente em [23], válida para valores de velocidade de perturbação pequenos (da ordem de grandeza de uma quantidade ). À luz da teoria linear, a análise pode ser estabelecida em relação à projeção da respetiva superfície numa superfície de referência, que se encontra em repouso relativamente a um referencial inercial.
De modo análogo à teoria da linha sustentadora, a força que a superfície exerce sobre o fluido é concentrada numa linha. Se se assumir que o campo de forças concentrado sobre a linha é perpendicular ao escoamento, obtém-se uma formulação similar à teoria da linha sustentadora. Assumindo um campo de forças alinhado com o escoamento, obtém-se essencialmente o escoamento induzido por uma linha de fontes.
A análise desenvolvida nesta secção pretende, deste modo, estabelecer os pressupostos que deram origem ao modelo de fontes proposto por Caldeira em [19]. O modelo de fontes pretende modelar a força de resistência e consiste essencialmente em dispor linhas de fontes de intensidade continuamente variável sobre as linhas sustentadoras.
2.2.1 Velocidade induzida por uma superfície impermeável
Considere-se um referencial inercial solidário com o escoamento de aproximação, . O eixo encontra-se alinhado com o escoamento de aproximação, tal como o eixo da Figura 2.1. Neste referencial, define-se uma superfície de referência , paralela ao plano e solidária ao escoamento de aproximação, logo, em repouso relativamente ao referencial inercial.
Considerando uma superfície finita, flexível e impermeável contida em , a condição de fronteira de impermeabilidade é automaticamente satisfeita e são nulas as velocidades de perturbação induzidas no escoamento devido à presença dessa superfície. Deste modo, também é nula a força que a superfície exerce sobre o fluido [23
].
O aparecimento de forças sobre uma superfície, simétrica da consequente força, , exercida sobre o fluido pelo princípio da ação-reação, exige, portanto, que a superfície perturbe o escoamento de aproximação.Define-se então uma superfície finita, flexível e impermeável, , localizada numa vizinhança de . Aplicando a condição de fronteira de impermeabilidade a , obtêm-se velocidades de perturbação, , não nulas [23
].
14 Na teoria linear, as equações são linearizadas relativamente a um parâmetro , sendo desprezados os termos . No caso em apreço, assume-se , , e da ordem de grandeza de , sendo a pressão, e a equação que impõe a condição de impermeabilidade é linearizada, bem como a equação do movimento para fluido invíscido (equação de Euler).
De modo a respeitar os pressupostos da teoria linear, a distância entre os pontos da superfície e a superfície devem manter-se de , bem como as diferenças de declive e curvatura entre e . Compreende-se agora a opção de definir numa vizinhança de .
Define-se uma superfície como sendo a projeção de em (Figura 2.4). À luz da teoria linear, a condição de fronteira de impermeabilidade aplicada à superfície pode ser satisfeita na respetiva projeção, . Tal modificação apenas adiciona erros da ordem de grandeza de , desprezados nas equações linearizadas. Do mesmo modo, também a força que a superfície exerce sobre o fluido pode ser considerada sobre a respetiva projeção, [23].
Figura 2.4 – Projeção da superfície em .
O referencial inercial é solidário ao escoamento de aproximação, , pelo que, relativamente a este referencial, o campo de velocidade coincide com o campo de velocidade de perturbação e tende para zero no infinito.
A equação de Euler exprime a relação entre a aceleração, a resultante das forças de superfície e a resultante das forças mássicas, para fluido invíscido. Assumindo as condições necessárias à linearização, os termos são desprezados e obtém-se a seguinte expressão para a equação de Euler:
(2.24)
onde representa a resultante das forças mássicas por unidade de volume. Assume-se que iniciou a sua ação no instante e que para o fluido se encontra em repouso relativamente ao referencial inercial.
15 Um campo vetorial que tende para zero no infinito é completamente definido pela sua divergência e rotacional [23]. A divergência do campo de velocidades é dada pela equação da continuidade para fluido incompressível:
(2.25)
Aplicando o operador rotacional dos dois lados da equação (2.24), obtém-se uma expressão para o rotacional da velocidade:
(2.26)
onde a variável define a integração ao longo do tempo.
Utilizando as equações (2.25) e (2.26) obtém-se a seguinte expressão para o campo de velocidades, , seguindo a formulação presente em [23] e apresentada no Anexo C:
(2.27)
onde o vetor define as coordenadas do ponto de cálculo , o vetor corresponde às coordenadas do ponto de integração e representa todo o espaço. Tal como na equação (2.4), corresponde à distância entre o ponto de cálculo e o ponto de integração logo, e .
Assim, utilizando as equações linearizadas e representando o efeito de uma superfície no seio de um escoamento pelo respetivo campo de forças aplicado sobre o fluido, , a perturbação induzida pela superfície no escoamento corresponde ao campo de velocidade induzido por essa mesma força (equação 2.27).
2.2.2 Velocidade induzida por uma força concentrada numa linha em movimento
Aplica-se agora esta formulação ao escoamento induzido por uma pá de uma turbina de eixo horizontal. A pá tem uma velocidade angular constante, , e encontra-se sujeita a um escoamento de aproximação uniforme, . A pá é representada por uma superfície sustentadora, , e relativamente ao referencial inercial , solidário com , a superfície desloca-se no sentido negativo de , com velocidade , e encontra-se em rotação em torno do eixo , no sentido negativo, sendo o módulo da velocidade angular dado por (Figura 2.5).
16 Tal como referido na secção anterior, a condição de fronteira de impermeabilidade aplicada a uma superfície plana e paralela ao plano , solidária com o escoamento de aproximação, é automaticamente satisfeita. Considerando uma superfície de referência, , helicoidal e de passo contante, , a condição de fronteira de impermeabilidade é satisfeita desde que [23].
Define-se a superfície como sendo a projeção de em e, assumindo os pressupostos associados à teoria linear, a condição de fronteira de impermeabilidade pode ser aplicada na respetiva projeção e a força aplicada sobre o fluido pode também ser considerada em .
Figura 2.5 – Superfície de referência , superfície sustentadora e respetiva projeção .
Assume-se que iniciou o seu movimento em , sendo este o instante em que surgem forças aplicadas sobre o fluido, consideradas na respetiva projeção . Em analogia com a teoria da linha sustentadora, a força aplicada sobre o fluido em é concentrada numa linha .
Define-se um sistema de coordenadas cilíndrico a partir do referencial , logo, solidário com o escoamento de aproximação. Tendo em conta o movimento descrito pela superfície , a posição ocupada pela linha ao longo do tempo é dada pelo vetor posição :
(2.28)
sendo a posição angular da linha e a posição axial.
A velocidade da linha é definida pelo vetor, , derivada do vetor em ordem ao tempo. O vetor , definido no referencial inercial, é simétrico da velocidade do escoamento de aproximação, , apresentado na Figura 2.1, sendo .
Deste modo, cada ponto da linha descreve uma trajetória helicoidal, sendo definida uma coordenada , medida ao longo da trajetória:
17
(2.29)
A posição inicial da linha é definida por , . De até ao instante , a linha varre uma porção da superfície que designaremos por , tal como representado na Figura 2.6. A superfície representa, deste modo, o conjunto de pontos sobre o helicóide onde a força atuou, desde o instante até ao instante presente, .
No sistema de coordenadas , a força é definida da forma:
(2.30)
sendo o vetor força, cujo módulo, , define a intensidade da força por unidade de comprimento ( para ). é a função delta de Dirac, que torna nulo em pontos exteriores a .
Figura 2.6 – Linha em movimento segundo uma superfície helicoidal.
A equação (2.27) pode ser utilizada para calcular o campo de velocidades induzidas por esta força, substituindo pela expressão (2.30). O resultado obtido é apresentado na equação (2.31) e a demonstração pode ser consultada no Anexo D:
(2.31)
No segundo membro, o primeiro termo compreende a integração em , sobre a linha , e em , sobre a trajetória helicoidal descrita por cada ponto da linha. O conjunto dos dois integrais
18 lineares define portanto a integração ao longo da superfície . No segundo termo, e são definidos em função da coordenada por meio da equação (2.29).
Observando o resultado obtido para o campo de velocidades, conclui-se que o primeiro termo corresponde ao campo de velocidade induzido por uma distribuição de dipolos de intensidade por unidade de área dada por . Os dipolos encontram-se dispostos sobre a superfície helicoidal varrida pela linha (superfície ) e encontram-se orientados segundo .
A divergência do campo de velocidades é nula, tal como imposto pela equação da continuidade, e a vorticidade é dada pelo rotacional do segundo termo, diferente de zero em . Temos portanto vorticidade a ser deixada para trás em todos os elementos de fluido onde a força atuou, estando continuamente a ser gerada nos pontos onde se encontra.
Sendo a divergência nula em todos os pontos e estando a vorticidade concentrada em , é de esperar que seja possível obter uma representação equivalente do escoamento considerando vórtices concentrados sobre a superfície .
Este estudo foi desenvolvido no Anexo E, considerando o caso simplificado de uma força uniforme, distribuída perpendicularmente a uma superfície, e analisando o escoamento induzido por uma força pontual e impulsiva. As conclusões relativas à divergência e ao rotacional do campo de velocidades são facilmente demonstradas considerando uma força pontual e impulsiva.
Analogamente aos resultados obtidos, podemos considerar que a superfície é constituída por um conjunto de dipolos pontuais de intensidade dada por . Para cada dipolo podemos considerar uma área , de fronteira , perpendicular ao eixo do dipolo, e portanto perpendicular a (Figura 2.7). Distribuindo a intensidade do dipolo pontual sobre a área , podemos considerar a existência de um vórtice concentrado em , de intensidade dada por:
(2.32)
19 Nas secções seguintes, a equação (2.31) é aplicada a dois caso particulares. Em primeira análise considera-se um campo de forças perpendicular à velocidade da linha e em seguida considera-se um campo de forças tangente à velocidade da linha.
2.2.3 Velocidade induzida por uma força perpendicular à velocidade
Assumindo perpendicular ao vetor , o vetor será, em cada instante, perpendicular à trajetória descrita pela linha.
Tal como mencionado na secção anterior, o primeiro termo da expressão da velocidade induzida (equação 2.31) define o escoamento induzido por uma distribuição de dipolos na superfície , orientados segundo . Neste caso particular, o eixo dos dipolos coincide com o vetor normal à superfície em cada ponto, pelo que corresponde ao que normalmente se classifica por folha de dipolos [22].
Em cada ponto da superfície, ou seja, em cada dipolo pontual de intensidade , obtém-se uma representação equivalente do escoamento considerando um vórtice concentrado, localizado na fronteira de uma superfície perpendicular ao eixo do dipolo. Tendo em conta que o eixo dos dipolos é coincidente com o vetor normal em cada ponto, a área perpendicular, , pode ser definida por . Deste modo, a equação (2.32) que define a intensidade de cada vórtice concentrado reduz-se a:
(2.33)
Assim, o escoamento induzido por uma força perpendicular ao vetor , concentrada numa linha em movimento, obtém-se a partir da distribuição de vórtices representada na Figura 2.8.
20 Como se pode observar pela Figura 2.8, se a intensidade da força e o módulo da velocidade da linha não variarem no tempo, então as linhas de vórtice perpendiculares a anulam-se, com exceção da linha de vórtices correspondente à posição de no instante e da linha de vórtice na posição . Como a intensidade da força é função da posição radial, a intensidade dos vórtices alinhados com é dada pela variação da intensidade da força ao longo da linha. A intensidade destes vórtices é constante desde a .
A superfície corresponde portanto a uma superfície de vórtices longitudinais e a dois filamentos de vórtice transversais de intensidade continuamente variável. Considerando , o escoamento é estacionário relativamente a um referencial solidário com a linha e o resultado desta formulação é similar à teoria da linha sustentadora.Nestas condições, a velocidade induzida num dado instante pelo vórtice de arranque, localizado em , é nula e a superfície define uma superfície semi-infinita, que designaremos por de modo a ir ao encontro da nomenclatura apresentada na secção 2.1.1.
Devido à linearização das equações, obtém-se uma esteira de vórtices alinhada com o escoamento de aproximação, em lugar de uma esteira de vórtices alinhada com o escoamento local, prevista pela teoria da linha sustentadora não linear. Deste modo, considerando um contorno que envolva o filamento de vórtice coincidente com , também a equação (2.33) difere do teorema de Kutta-Joukowski (equação 2.11) no valor da velocidade considerada.
2.2.4 Velocidade induzida por uma força tangente à velocidade
Assume-se um campo de forças alinhado com o vetor , ou seja, é tangente ao movimento descrito pela linha. Na equação (2.30), é definido por , sendo o vetor unitário tangente ao movimento e alinhado com a coordenada . Em coordenadas cilíndricas, é definido por:
(2.34)
com componente radial nula, uma vez que a coordenada radial da linha se mantém constante ao longo de .
O escoamento induzido pela força é dado pela equação (2.31), substituindo pela sua definição. Tal como analisado na secção 2.2.2, o escoamento induzido é dado por uma distribuição de dipolos sobre a superfície , orientados segundo . O eixo dos dipolos encontra-se alinhado com o versor , pelo que, ao contrário da análise desenvolvida na secção anterior, a superfície não corresponde ao que normalmente se classifica por folha de dipolos (com um lado
21 positivo e outro lado negativo) mas a uma sequência de dipolos em fila, “uns atrás dos outros”, tal como representado na Figura 2.9.
Figura 2.9 – Superfície de dipolos (escoamento induzido por uma força alinhada com ).
Repete-se a análise por meio de vórtices concentrados considerando uma área perpendicular ao eixo do dipolo, ou seja, perpendicular a . Considerando uma dimensão perpendicular a , a área é definido por e, partindo da equação (2.32), a intensidade de cada vórtice concentrado em é dada por:
(2.35)
A representação do escoamento por via de vórtices concentrados encontra-se na Figura 2.10. Em cada posição radial , os sucessivos vórtices concentrados constituem tubos de vórtices de secção transversal infinitesimal e intensidade dada por :
(2.36)
22 A intensidade dos tubos de vórtice é apenas função de uma vez que a intensidade da força e o módulo da velocidade da linha não variam ao longo do tempo e, portanto, não variam ao longo de . Da análise da equação (2.36), compreende-se também que sendo uma quantidade infinitesimal, a intensidade dos tubos de vórtices, , será infinita. Deste modo, a utilização da lei de Biot-Savart (equação 2.4) para o cálculo da velocidade induzida pelo sistema de vórtices ilustrado na Figura 2.10 corresponde à resolução de um integral singular.
De modo a obter uma expressão para a velocidade induzida por uma força alinhada com o vetor , recorre-se novamente à equação (2.31). Sendo e o versor definido de acordo com a equação (2.34), obtém-se a seguinte expressão para a velocidade induzida pela força , tal como demonstrado no Anexo F:
(2.37)
sendo a distância entre o ponto de cálculo e um ponto sobre a linha no instante
e a distância entre o ponto de cálculo e um ponto em , ou seja, correspondente à posição inicial da linha.
Se se assumir positivo, o primeiro termo da equação (2.37) corresponde ao escoamento induzido por uma linha de fontes localizada em , , de intensidade , dada por , sendo o caudal emitido por unidade de comprimento ao longo da linha. De modo equivalente, o segundo termo corresponde ao escoamento induzido por uma linha de poços, de igual intensidade e localizado em (Figura 2.11). Fora da superfície , a velocidade induzida é dada por estes dois termos. Considerando um ponto sobre , o terceiro termo da equação (2.37) é diferente de zero e, de acordo com os resultados obtidos para uma força pontual e impulsiva no Anexo E, corresponde ao transporte de fluido da linha de poços para a linha de fontes. A superfície pode então ser entendida como uma superfície de corrente, responsável por tornar a divergência do campo nula em todos os pontos, tal como imposto pela equação da continuidade.
Como seria de esperar, o escoamento induzido pela linha de fontes, pela linha de poços e pela superfície é idêntico ao escoamento induzido pelo sistema de vórtices representado na Figura 2.10. Ambas as configurações traduzem o escoamento induzido por uma força concentrada numa linha e alinhada com o vetor .
As equações (2.36) e (2.37) permitem estabelecer a relação entre a intensidade dos tubos de vórtices e a intensidade da linha de fontes/poços:
23
(2.38)
de onde se conclui novamente que, sendo uma quantidade infinitesimal, a intensidade dos tubos de vórtices deve ser infinita para que o produto seja finito.
Figura 2.11 – Linha de fontes, linha de poços e superfície de corrente (escoamento induzido por uma força alinhada com ).
Num referencial solidário com a linha , o regime estacionário obtém-se considerando , ou seja, considerando que a linha de poços se encontra no infinito. Partindo da equação (2.37), o campo de velocidades induzidas é dado simplesmente por:
(2.39)
onde não figura o termo correspondente à linha de poços por ser nula a respetiva velocidade induzida num dado instante .
Admitindo , a superfície de corrente, , é semi-infinita e definida daqui em diante por . A velocidade induzida num ponto é dada pelo escoamento induzido por uma linha de fontes localizada em e, considerando um ponto , à velocidade induzida pela linha de fontes soma-se um termo local, tangente a , dado pelo último termo da equação (2.39). Do mesmo modo, assumindo , o sistema de tubos de vórtices apresentado inicialmente seria semi-infinito.
24
2.3 Formulação do modelo de fontes
O modelo de fontes pretende modelar a força de resistência e baseia-se na análise linear do escoamento induzido por uma força alinhada com a velocidade e concentrada numa linha, tal como descrito na secção 2.2.4.
A força de resistência aplicada sobre a pá de uma turbina de eixo horizontal é então modelada por uma linha de fontes, , de comprimento dado pela envergadura da pá, e por uma superfície de corrente semi-infinita, , onde se considera concentrado o caudal de fluido continuamente emitido pela linha de fontes. No infinito, considera-se a existência de uma linha de poços, cuja intensidade é dada pelo simétrico da intensidade da linha de fontes (Figura 2.12).
Figura 2.12 –Representação da linha de fontes e da respetiva superfície de corrente.
As linhas de fontes encontram-se no plano , estendem-se da raiz à extremidade das pás e encontram-se distribuídas de modo axissimétrico no plano , ou seja, são coincidentes com as linhas sustentadoras. Deste modo, utiliza-se também o índice para identificar cada linha de fontes, sendo .
A intensidade das linhas de fontes é dada por , sendo o caudal emitido por unidade de comprimento ao longo da direção radial. Por continuidade, o caudal por unidade de largura transportado pela superfície é também dado por .
2.3.1 Campo de velocidades induzidas
O campo de velocidades induzidas por uma linha de fontes, , é dado pelo primeiro termo da equação (2.39):
25 sendo a velocidade induzida pela linha de fontes no ponto , o vetor que une o ponto de cálculo ao ponto de integração e o módulo deste mesmo vetor.
Representa-se pelo vetor a velocidade induzida pelas linhas de fontes e respetivas superfícies de corrente semi-infinitas. Uma vez que as superfícies de corrente apenas induzem velocidades sobre si próprias, considerando um ponto exterior às superfícies semi-infinitas, a velocidade induzida, , é dada simplesmente pela soma do escoamento induzido pelas linhas de fontes:
(2.41)
Para o cálculo da força de resistência é necessário calcular a velocidade induzida sobre as linhas de fontes. Seguindo os argumentos apresentados na secção 2.1.1 (pás idênticas, igualmente carregadas e simetricamente distribuídas) é apenas necessário calcular as velocidades induzidas numa das linhas: escolhe-se novamente a linha principal, .
O presente modelo apresenta duas dificuldades ao cálculo da velocidade induzida num ponto : a velocidade induzida pela linha de fontes nela própria é singular; é necessário contabilizar a velocidade induzida pela superfície semi-infinita, ou, mais concretamente, contabilizar a velocidade induzida pelo ponto da superfície coincidente com o ponto de cálculo, dada pelo segundo termo da equação (2.39).
Segundo a teoria linear desenvolvida na secção 2.2.4, uma mesma impressão do escoamento induzido pela linha de fontes, , e pela respetiva superfície de corrente semi-infinita pode ser obtida considerando uma sequência de tubos de vórtices semi-infinitos, de intensidade continuamente variável ao longo de . Deste modo, considerando um ponto sobre a linha de fontes de coordenada radial , a velocidade induzida pela respetiva porção da linha de fontes e pela respetiva faixa de largura da superfície é equivalente à velocidade induzida por um tubo de vórtice semi-infinito, de secção transversal infinitesimal e intensidade infinita, .
Uma vez que a lei de Biot-Savart não permite o cálculo da velocidade induzida por este tubo de vórtices altamente singular, assume-se um tubo de vórtice de dimensão transversal finita, , tal como proposto em [19] e ilustrado na Figura 2.13. A dimensão do tubo de vórtices na direção perpendicular à superfície é dada pela expressão:
(2.42)
pelo que corresponde à distância medida na perpendicular entre a linha e a superfície de corrente vizinha.
