Rendimento acadêmico dos aspirantes da Escola Naval: uma abordagem por regressão quantílica

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Luciana Cavalcante Gualberto

Rendimento Acadˆ

emico dos Aspirantes da

Escola Naval: Uma Abordagem Por

Regress˜

ao Quant´ılica

Niter´oi - RJ, Brasil 06 de dezembro de 2017

(2)

Universidade Federal Fluminense

Luciana Cavalcante Gualberto

Rendimento Acadˆ

emico dos

Aspirantes da Escola Naval: Uma

Abordagem Por Regress˜

ao Quant´ılica

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Marcia Marques Carvalho

Niter´oi - RJ, Brasil 06 de dezembro de 2017

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Universidade Federal Fluminense

Luciana Cavalcante Gualberto

Rendimento Acadˆ

emico dos Aspirantes da

Escola Naval: Uma Abordagem Por

Regress˜

ao Quant´ılica

Monografia de Projeto Final de Gradua¸cão sob o t´ıtulo “Rendi-mento Acadêmico dos Aspirantes da Escola Naval: Uma Abor-dagem Por Regressão Quant´ılica”, defendida por Luciana Ca-valcante Gualberto e aprovada em 06 de dezembro de 2017, na cidade de Niterói, no Estado do Rio de Janeiro, pela banca examinadora constitu´ıda pelos professores:

Profa. Dra. Marcia Marques Carvalho Departamento de Estat´ıstica - UFF

Prof. Dr. Waldir Jesus de Araújo Lobão Centro Técnico Cient´ıfico - Escola Naval Escola Nacional de Ciências Estat´ısticas - ENCE

Profa. Dra. Danielle Carusi Machado Departamento de Economia - UFF

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Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca do Instituto de Matemática e Estatística da UFF

Resp. pela Unidade: Carlos R. S. de Lima – CRB7 5531

G899 Gualberto, Luciana Cavalcante

Rendimento acadêmico dos aspirantes da Escola Naval: uma abordagem por regressão quantílica / Luciana Cavalcante Gualberto. – Niterói,. RJ : [s.n.], 2017.

68f.

Orientador: Prof. Dra Márcia Marques Carvalho

Trabalho de Conclusão de Curso (Estatística) - Universidade Federal Fluminense, 2017.

1. Estatística Matemática. 2. Análise de regressão (Matemática). 3. Regressão quantílica. 4. Aspirantes. 5. Escola Naval. I. Título.

CDD 519.537

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Resumo

O presente trabalho tem como objetivo analisar o desempenho acadêmico dos Aspi-rantes da Escola Naval, uma vez que suas notas são fator de influência na antiguidade que levam para o restante da carreira militar na Marinha do Brasil. O método escolhido foi a abordagem através do método de regressão quant´ılica, pois assim é poss´ıvel verificar as diferen¸cas entre alunos com notas mais altas e mais baixas. Foram consideradas como variáveis de desempenho acadêmico a média final, equivalente ao coeficiente de rendi-mento, e as médias em cada Centro, englobando disciplinas de exatas, humanas e práticas navais. Para analisar o desempenho acadêmico foram utilizadas informa¸cões do perfil socioeconômico dos ingressantes na Escola Naval no ano de 2016. Os resultados mostram que escolaridade dos pais e a idade do Aspirante são fatores de influência em todos os quantis do desempenho acadêmico. Entretanto, o tipo de escola do ensino básico e o fato do Aspirante residir no Rio de Janeiro foram significativos somente em alguns quantis e Centros.

Palavras-chaves: Aspirantes; Escola Naval; Regressão Quant´ılica; Desempenho Acadêmico; Perfil Socioeconômico

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Dedicat´

oria

Dedico esse trabalho à minha vó Alice, meu anjo da guarda que sinto me proteger a cada dia; à minha mãe, minha maior fonte de inspira¸cão e à minha filha, onde recarrego minhas for¸cas diariamente.

(7)

Agradecimentos

Acima de tudo, primeiramente, agrade¸co `a Deus pois mesmo sem entender Seus des´ıgnios, nunca me desamparou e me mostrou os melhores caminhos a seguir.

Agrade¸co a minha orientadora, que apesar de todos os contratempos rotineiros sempre me recebeu com um sorriso no rosto, teve enorme paciência em cada etapa e me passou experiências e ensinamentos únicos.

Agrade¸co aos meus amigos de Universidade que me ajudaram nos momentos mais dif´ıceis passando tardes me explicando diversas disciplinas, sem eles n˜ao chegaria a lugar nenhum.

Agrade¸co à Marinha do Brasil, em Especial à Escola Naval que em meio a diversas atribula¸cões da vida militar me deu o privilégio de por em prática o inédito tema deste trabalho.

Agrade¸co pela maravilhosa filha que Deus me deu, que em sua inocˆencia me encheu de for¸cas cada vez que me incentivava a estudar para ”ganhar mais dinheiro para comprar comida e brinquedos”, assim nunca me fez cogitar a hip´otese de desistir.

Agrade¸co à minha mãe que abdicou muitas vezes de si mesma para que eu conseguisse seguir meu caminho e obtivesse êxito nas escolhas que fiz, por ter me apoiado em cada etapa da minha vida e por ter sido minha maior fonte de orgulho e inspira¸cão.

Por último, agrade¸co à todos que em algum momento duvidaram de mim e de minha capacidade, pois foram os que mais me deram for¸cas pra seguir, pra trilhar meu caminho, concluir esse trabalho e atingir meu máximo potencial.

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Sum´

ario

Lista de Figuras Lista de Tabelas 1 Introdu¸c˜ao p. 12 2 Objetivos p. 15 2.1 Gerais . . . p. 15 2.2 Espec´ıficos . . . p. 15 3 Materiais e M´etodos p. 16

3.1 Revisão bibliográfica . . . p. 16 3.1.1 Modelos Aplicados da Educa¸cão . . . p. 16 3.1.2 Aplica¸cões do Modelo de Regressão Quant´ılica . . . p. 18 3.2 Base de Dados . . . p. 20 3.3 Regressão . . . p. 22 3.3.1 Sinal Esperado das Variáveis Regressoras . . . p. 22 3.3.2 Quantis . . . p. 23 3.3.3 A Regressão Quant´ılica . . . p. 24 3.3.4 Estima¸cão dos Parâmetros . . . p. 27 3.3.5 Intervalos de Confian¸ca . . . p. 28 3.3.6 Teste de Hipótese Linear Geral . . . p. 29 3.3.7 Coeficientes de determina¸cão . . . p. 30

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3.4 Rela¸cão e Correla¸cão entre as Variáveis . . . p. 32 3.4.1 Teste Para Igualdade de Medianas . . . p. 32 3.4.2 Teste Para Distribui¸cão . . . p. 33 3.4.3 Variáveis Ordinais . . . p. 33 3.4.4 Correla¸cão Variáveis Dicotômicas . . . p. 34

4 An´alise dos Resultados p. 35

4.1 Perfil dos Aspirantes . . . p. 35 4.2 O Rendimento Acadêmico . . . p. 36 4.3 Escolha das variáveis independentes do Modelo . . . p. 44 4.3.1 Correla¸cão entre variáveis . . . p. 44 4.3.2 Ajuste da regressão linear clássica . . . p. 46 4.4 Modelo de Regressão Linear Múltipla . . . p. 48 4.5 Modelo de Regressão Quant´ılica . . . p. 49 4.5.1 Variável dependente: Média Final . . . p. 52 4.5.2 Variável dependente: CCS . . . p. 53 4.5.3 Variável dependente:CTC . . . p. 54 4.5.4 Variável dependente:CPN . . . p. 56

5 Conclus˜ao p. 58

Referˆencias p. 60

(10)

Lista de Figuras

1 Histograma da M´edia Final, curva de densidade da m´edia final e curva

normal . . . p. 38 2 Boxplot da média dos Centros . . . p. 39 3 Histograma da Média Final, curva de densidade da distribui¸cão Laplace

Assimétrica com parâmetros estimados . . . p. 50 4 Histograma da Média no CCS, curva de densidade da distribui¸cão

La-place Assimétrica com parâmetros estimados . . . p. 50 5 Histograma da Média no CTC, curva de densidade da distribui¸cão

La-place Assimétrica com parâmetros estimados . . . p. 51 6 Histograma da Média no CPN, curva de densidade da distribui¸cão

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Lista de Tabelas

1 Variáveis presentes no banco de dados . . . p. 21 2 Número de Aspirantes segundo as caracter´ısticas individuais - 2016 . . p. 35 3 Número de Aspirantes segundo as caracter´ısticas familiares - 2016 . . . p. 36 4 Medidas resumo da médias por Centro e média final . . . p. 37 5 Testes Para Mediana . . . p. 39 6 Medidas resumo do desempenho dos Aspirantes, segundo as caracter´ısticas

individuais e familiares - 2016 . . . p. 40 7 Matriz de Correla¸cão de Phi para variáveis dummy . . . p. 44 8 Tabela de contingência . . . p. 45 9 Tabela de contingência Grau de Instru¸cão do Mãe x Renda . . . p. 45 10 Tabela de contingência Grau de Instru¸cão do pai x Renda . . . p. 45 11 Coeficientes de Determina¸cão modelos de regressão para variável

depen-dente Média Final . . . p. 46 12 Coeficientes de Determina¸cão modelos de regressão para variável

depen-dente média CCS . . . p. 47 13 Coeficientes de Determina¸cão modelos de regressão para variável

depen-dente média CTC . . . p. 47 14 Coeficientes de Determina¸cão modelos de regressão para variável

depen-dente média CPN . . . p. 48 15 Ajuste do Modelo Quant´ılico . . . p. 52 16 Estimativa e P-valor para βi Regressão Quant´ılica Para Média Final . . p. 53

17 Estimativa e P-valor para βi Regress˜ao Quant´ılica Para CCS . . . p. 54

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19 Estimativa e P-valor Para βi Regress˜ao quant´ılica para CPN . . . p. 56

20 Intervalo de Confian¸ca de 90% para parˆametros da regress˜ao quant´ılica

com variável dependente Média Final . . . p. 64 21 Intervalo de Confian¸ca de 90% para parâmetros da regressão quant´ılica

com variável dependente Média CCS . . . p. 65 22 Intervalo de Confian¸ca de 90% para parâmetros da regressão quant´ılica

com variável dependente Média CTC . . . p. 66 23 Intervalo de Confian¸ca de 90% para parâmetros da regressão quant´ılica

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12

1 Introdu¸

c˜

ao

A Escola Naval é a Institui¸cão de Ensino Superior mais antiga do pa´ıs. Nela se formam os oficiais do Corpo da Armada, do Corpo de Fuzileiros Navais e do Corpo de Intendentes da Marinha. Sua origem se deu alguns séculos atrás.

Em meados do século XVIII, em Portugal, se observou a necessidade de criar a Acade-mia Real de Guardas-Marinha, com objetivo de aprimorar os conhecimentos matemáticos, f´ısicos, astronômicos e, claro, de navega¸cão dos futuros oficiais de Marinha. Em 1808, por ocasião do Bloqueio Continental, fez-se necessária a mudan¸ca da Fam´ılia Real Portu-guesa para o Brasil, então Colônia portuguesa. Nessa transi¸cão a Corte trouxe consigo a Academia de Guardas-Marinha.

Anos depois, após a Independência do Brasil, alguns integrantes da Academia juraram fidelidade à Dom Pedro I, outros retornaram à Portugal e criaram por lá a Escola Naval Portuguesa.

A Academia Real de Guardas-Marinha mudou de sede e de nome diversas vezes at´e encontrar seu porto seguro definitivo na Ilha de Villegagnon em 1938, j´a como Escola Naval.

A travessia do Atlântico, a mudan¸ca de Continente, de nome e de sede em nenhum momento alterou o verdadeiro objetivo da Institui¸cão. Durante quatro anos os alunos da Escola Naval, chamados de Aspirantes, são submetidos a severo regime militar, intensos treinos e atividades f´ısicas além de uma rigorosa rotina de estudos.

A forma¸cão dos Aspirantes tem duas principais vertentes, são estas: a forma¸cão militar-naval e a forma¸cão acadêmica. Esta segunda se dá através das disciplinas práticas e teóricas, as quais é atribu´ıda uma nota de zero à dez em duas provas e dois testes. Para média final é calculada a média aritmética simples da média de todas as disciplinas. Essa média que serve de base para um cálculo posterior da antiguidade dos futuros oficiais.

(14)

1 Introdu¸c˜ao 13

carreira, se faz importante entender quais as variáveis que podem influenciar na nota final. Aqui, optou-se pela escolha de diversas variáveis socioeconômicas para o ajuste de um modelo de regressão para as mesmas. Porém um modelo simples estimado por m´ınimos quadrados só cumpriria uma parte do desejado. Então, foi verificado que um modelo ideal seria de regressão quant´ılica, uma vez que nele consegue-se separar os quantis desejados e para cada um ajustar o modelo com as variáveis de interesse. A vantagem deste modelo em rela¸cão ao anterior é que poss´ıveis outliers não influenciam nas estimativas pois a variável dependente é condicionada em cada quantil e não apenas na média da distribui¸cão. Sendo assim há subs´ıdios para uma compara¸cão e um melhor entendimento do que pode ter influenciado em cada fator.

As variáveis independentes a serem ajustadas no modelo são provenientes da pesquisa socioeconômica aplicada pela Divisão de Avalia¸cão da Escola Naval aos Aspirantes do primeiro ano em 2016, quando estes ainda eram adaptandos, ou seja, antes das aulas come¸carem e se tornarem efetivamente alunos. A base de dados gerada por tais respostas foi utilizada para tra¸car um resumido perfil apenas com estat´ısticas descritivas, algumas tabelas e gráficos. Até então, nunca se usou tais informa¸cões para constru¸cão de um modelo de regressão, sendo este um trabalho inédito.

Trata-se, portanto, de um trabalho oportuno, uma vez que a autora é militar e serve re-gularmente da Escola Naval no Servi¸co de Orienta¸cão Educacional e Pedagógica (SOEP), sendo este setor o responsável por dar suporte acadêmico aos discentes. Ter conhecimento prévio dos fatores socioeconômicos que tendem a diminuir o rendimento acadêmico dos alunos pode ajudar no desenvolvimento de apoio especial para os mesmos, não deixando que problemas pessoais e familiares os prejudiquem em toda a carreira devido a uma baixa antiguidade. por exemplo, verificar se ter familiares militares aumenta o desempe-nho do aluno, ou ainda, se o grau de escolaridade dos pais ou a renda da fam´ılia é fator significativo no quantil dos alunos com maiores e com menores notas.

Além do interesse de apoio individual a cada aluno existem também diversos ques-tionamentos que desejam ser sanados por meio deste trabalho. No conv´ıvio diário com os Aspirantes observa-se um certo descontentamento dos alunos egressos do Concurso Público de Admissão à Escola Naval (CPAEN) nas disciplinas que envolvem algum co-nhecimento prévio sobre militarismo ou alguma prática naval em rela¸cão aos egressos do Colégio Naval (CN). Verificar se alunos que vieram de institui¸cões civis são realmente prejudicados, faz-se essencial para uma poss´ıvel mudan¸ca em algumas disciplinas ou um apoio espec´ıfico que nivele todos os alunos, acabando com qualquer tipo de vantagem que

(15)

1 Introdu¸c˜ao 14

um grupo tenha. Assim não haverá fatores que causem tendência a uma melhor ou pior antiguidade para a carreira dos futuros oficiais.

Este trabalho está subdividido em mais quatro cap´ıtulos além desta primeira se¸cão introdutória. A segunda constitui-se pelos objetivos do trabalho. No terceiro cap´ıtulo são apresentados os materiais e métodos, a parte do referencial teórico, a base de toda análise feita além da metodologia e revisão bibliográfica. Em seguida, é apresentada a análise descritiva do banco de dados além de todos resultados obtidos, os modelos desenvolvidos, os teste realizados etc. E, finalmente, no último cap´ıtulo, são feitas as conclusões, sugestões e ideias para estudos futuros que possam aprimorar os trabalhos de apoio educacional na Escola Naval ou em institui¸cões similares.

Para o presente trabalho optou-se pelo uso do software R como ferramenta para re-alizar todas as inferências sobre o modelo já citado, além das análises descritivas, trans-forma¸cão de variáveis do banco de dados, estima¸cão do modelo etc. Tal software se mostra eficiente, pois executa o modelo de regressão quant´ılica da forma que será apresentado posteriormente, além de testes de hipóteses e estimadores que aqui serão realizados e estimados.

(16)

15

2 Objetivos

2.1 Gerais

Testar e selecionar, através da metodologia estat´ıstica de regressão quant´ılica, quais as variáveis socioeconômicas que influenciaram nos quantis de rendimento acadêmico dos Aspirantes da Escola Naval.

2.2 Espec´ıficos

• Tra¸car e comparar os perfis de todos os Aspirantes, tanto os egressos do CN como os egressos do CPAEN.

• Verificar se Aspirantes com familiares militares tendem a ter maior rendimento acadˆemico de forma geral.

• Testar se os Aspirantes vindos do Colégio Naval têm notas estat´ısticamente mais altas nas matérias referentes à conhecimentos navais.

• Identificar quais s˜ao os fatores que mais explicam ou relacionam com o pior desem-penho (quantil 0,25) e comparar com a curva estimada para as notas mais altas (quantil 0,75)

(17)

16

3 Materiais e M´

etodos

Como citado no cap´ıtulo anterior, este trabalho tem como principal objetivo estimar um modelo que explique os fatores de influência no desenvolvimento acadêmico dos Aspi-rantes de forma não centralizada, ou seja, levando em considera¸cão poss´ıveis discrepâncias nas notas, por isso optou-se pela metodologia de regressão quant´ılica. Além disso, deseja-se verificar o rendimento entre os grupos de procedência do Ensino Médio no Colégio Naval e de outras Institui¸cões, influência de familiares, dentre outros.

3.1 Revis˜

ao bibliogr´

afica

Não há trabalhos anteriores que estudem a diferen¸ca do rendimento de aspirantes da Escola Naval usando modelos de regressão. Existem alguns textos simples e pouco ex-pressivos que comentam, com Estat´ısticas descritivas, o rendimento dos grupos de modo genérico. Assim sendo, como base para o presente trabalho foram pesquisados artigos acadêmicos na área de educa¸cão para verificar quais as variáveis socioenconômicas comu-mente usadas em modelos de regressão linear para explicar o rendimento acadêmico em distintos grupos. Foram feitas também pesquisas sobre diversas aplica¸cões do modelo de regressão quant´ılica, comumente usada na área econométrica.

As citadas pesquisas se mostram essenciais para melhor defini¸cão de quais variáveis escolher como regressoras do modelo de interesse e de qual método mais apropriado para realizar inferência de tal modelo.

3.1.1 Modelos Aplicados da Educa¸

c˜

ao

Na área da educa¸cão de forma geral, existem diversos tipos de artigos que comparam dois perfis diferentes de alunos, por exemplo, cotistas versus não cotistas, alunos da região versus alunos vindos de fora, alunos de humanas versus exatas versus biológicas etc. Além de compara¸cões, há também diversos artigos que relacionam desempenho acadêmico

(18)

3.1 Revis˜ao bibliogr´afica 17

com vari´aveis socioencˆomicas de forma similar ao proposto no presente trabalho.

Como exemplo, cita-se o artigo “Competi¸cão Justa? A Rela¸cão Entre Desempenho No Vestibular e o Perfil Socioeconômico” (QUEVEDO-SILVA; SAUER, 2012). Neste, os autores tinham como objetivo analisar a rela¸cão entre o desempenho acadêmico no vestibular da UFMS entre 2008 e 2009 e o perfil socioeconômico dos candidatos dispo-nibilizado pela Comissão Permanente de Vestibular [COPEVE]. Os autores escolheram como variáveis a serem testadas: Renda familiar(em salários m´ınimos), Idade (em faixas etárias), Modalidade de curso do Ensino Médio, Tipo de escola que frequentou o Ensino Médio, Local de Conclusão (fora do Estado ou não), Fluência em Inglês, Frequentou cursi-nho, Vezes que prestou Vestibular e Trabalhar (sim ou não). Após definidas as variáveis, foram estimados modelos de regressão linear simples para cada uma dessas variáveis. Após, os autores fizeram análises acerca do modelo com objetivo de verificar os fatores socioeconômicos que influenciaram no desempenho acadêmico. Como conclusão do artigo, os autores verificaram que estudar em escola particular aumenta a nota do aluno, que o aumento da renda familiar gera efeito positivo na nota, que a escolaridade da mãe teve influencia pouco maior que a do pai, 0,19 e 0,20, respectivamente etc.

Um trabalho acadêmico com intuito de verificar rela¸cão entre desempenho no vesti-bular e rendimento acadêmico encontra-se em Baccaro (2014). Neste, o autor estima um modelo de regressão para 4 áreas distintas de carreiras, Ciências Exatas, Tecnológicas, Ciências Biológicas e Humanidades. Em seus modelos tomou como variável dependente o rendimento acadêmico dos universitários, sua média no curso de gradua¸cão, e como variáveis independentes as que classificou entre categorias como: desempenho no vestibu-lar, caracter´ısticas individuais, caracter´ısticas de renda e domic´ılio, escolaridade e situa¸cão profissional dos pais, ensino fundamental e ensino médio, prepara¸cão para o vestibular e carreira. Novamente, neste trabalho, se viu a presen¸ca de variáveis regressoras tais como idade, renda familiar, sexo, grau de instru¸cão do pai e da mãe, situa¸cão de trabalho do pai e da mãe, tipo de escola que cursou ensino médio etc. Ao fim da disserta¸cão, Baccaro (2014), concluiu que o fato do indiv´ıduo ser homem influencia negativamente no desem-penho, alunos de cor branca apresentam melhor desemdesem-penho, os estudantes que fizeram ensino médio em escola privada tiveram pior desempenho e alunos com maior quantidade de bens também apresentaram desempenho negativo, contrariando muitos autores.

Tem-se a estima¸cão de modelos de regressão linear múltipla e de regressão log´ıstica para explicar evasão e rendimento acadêmico de estudantes da Universidade de Bras´ılia em Bonfim (2014). Dentre as variáveis escolhidas como regressoras encontram-se sexo, idade,

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renda familiar (em salários m´ınimos), exercer atividade remunerada, área de conhecimento etc. Tais variáveis provém dos dados relativos ao processo seletivo da Universidade de Bras´ılia. A variável dependente foi criada através de uma fórmula espec´ıfica com intuito de definir o rendimento acumulado até o segundo semestre de 2013.

Uma aplica¸cão de modelo de regressão quant´ılica na educa¸cão é vista na disserta¸cão de Cavalcante (2014). Neste, o autor, através de dados do Sistema de Avalia¸cão da Educa¸cão Básica (Saeb) do ano de 2011, cria uma fun¸cão de produ¸cão educacional e toma esta me-dida como variável dependente. Primeiro faz uma abordagem baseada em estima¸cão por m´ınimos quadrados ordinários (MQO) e posteriormente estima um modelo de regressão quant´ılica. Dentre as variáveis regressoras escolhidas em ambos os modelos, ressalta-se novamente as variáveis socioeconômicas como ensino dos pais, cor, quantidade de pessoas em casa, trabalhar etc. Ao aplicar o método de regressão quant´ılica o autor identificou o quanto a infraestrutura das escolas influenciava no rendimento dos alunos. Nos alu-nos do 3o _{ano do ensino m´}_{edio, por exemplo, verificou-se que quanto maior o quantil do}

desempenho acadêmico, maior a influência da infraestrutura escolar para explicá-lo.

3.1.2 Aplica¸

c˜

oes do Modelo de Regress˜

ao Quant´ılica

Como já exposto anteriormente, o método de regressão quant´ılica consiste em separar os dados em quantis previamente especificados e em cada um criar um modelo de regressão. Assim sendo, esta metodologia é comumente usada em Econometria para explicar variáveis como renda, salários e demais fatores econômicos.

Um exemplo de tal aplica¸cão na área econométrica é o artigo de Santos e Ribeiro (2006) onde os autores objetivavam verificar se existia um teto em que as mulheres dei-xassem de ganhar igual aos homens e tivessem salários inferiores. Para isto foi seguido o modelo inicial proposto por Koenker e Bassett (1978) e estimados os parâmetros da forma introduzida por eles. No trabalho de Santos e Ribeiro foram estimadas duas regressões, uma para salários dos homens e outra para o das mulheres. Os dados foram divididos em decis possibilitando assim a aplica¸cão do método de regressão quant´ılica. Após estimar ambos os modelos e fazer as devidas análises, os autores optaram por obter distribui¸cões contrafactuais baseadas no trabalho de Machado e Mata (2005). Como resultado final conclu´ıram que existe um limite para os salários das mulheres no Brasil, seguindo assim a mesma tendência em outros pa´ıses do mundo conforme citado por eles em seu trabalho. O artigo de Wajnman e Menezes (2003) visava relacionar o envelhecimento da po-pula¸cão, a melhoria dos n´ıveis educacionais e a desigualdade de rendimentos no Brasil.

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O método utilizado foi a regressão quant´ılica. Os autores constru´ıram regressões para dois distintos anos e fizeram a compara¸cão de ambos.Ao fim foi poss´ıvel tirar diversas conclusões como o fato da for¸ca de trabalho estar envelhecendo e essa contribuir para desigualdade salarial, entre outras.

Outro exemplo de aplica¸cão da metodologia de regressão quant´ılica na área econômica é o artigo de Maciel et al. (2001). Neste os autores objetivam analisar as mudan¸cas ocorri-das nos anos de 1992 e 1999 sob a abordagem de regressão quant´ılica. Aqui basearam-se, também, no referencial inicial de Koenker e Bassett (1978) e reafirmam as caracter´ısticas de tal modelo baseadas em Buchinsky (1998). Os autores enunciam também as suposi¸cões feitas para que possibilite um estudo do comportamento assintótico das estimativas. Nos resultados foi utilizado a aplica¸cão do modelo linear introduzido por Mincer (1974), tendo como variável dependente o logar´ıtmo do salário. Assim os autores conseguem verificar os salários ajustados para cada quantil de interesse e fazem uma análise completa. Como conclusões tiveram que houve participa¸cão crescente da mulher na for¸ca de trabalho, que o efeito da educa¸cão não é o mesmo ao longo da distribui¸cão etc.

Um importante trabalho acadêmico que não trata da aplica¸cão do método de regressão quant´ılica e sim da introdu¸cão dessa classe de modelos visando motivar discussões acerca do tema se dá na disserta¸cão de Santos (2012). O autor cita o método de minimiza¸cão da soma dos quadrados dos erros como o mais utilizado para estima¸cão dos parâmetros e dá um detalhamento sobre este método. Após definir quantis, exemplificar e expor os obje-tivos do trabalho entra no cap´ıtulo sobre Inferência no Modelo de Regressão Quant´ılica onde o autor explica o método de estima¸cão dos parâmetros de forma teórica, apresenta op¸cões variadas sobre cria¸cão de intervalos de confian¸ca, detalha o teste de hipótese linear geral. Após algumas simula¸cões e um tópico sobre robustez e equivariância em modelos de regressão quant´ılica o autor inicia o cap´ıtulo sobre Análise da Qualidade do Ajuste no Modelo de Regressão Quant´ılica. Neste importante cap´ıtulo são definidos coeficientes de determina¸cão, teste da falta de ajuste e ainda uma análise gráfica. Após o cap´ıtulo de aplica¸cões, o trabalho se encerra nas conclusões. A disserta¸cão de Santos foi o maior referencial para o presente trabalho uma vez que é um dos poucos trabalhos completos de um autor brasileiro acerca do tema de regressão quant´ılica, servindo então como base para muito da metodologia que se segue.

(21)

3.2 Base de Dados 20

3.2 Base de Dados

Anualmente, por ocasião do per´ıodo de adapta¸cão dos Aspirantes, a Divisão de Ava-lia¸cão da Escola Naval, através de servidora civil e oficiais do setor, submete os adaptandos `

a um questionário socioeconômico. Neste há perguntas como escolaridade do pai, da mãe, renda familiar, quantidade de irmãos, procedência do Ensino Fundamental etc. As res-postas desse questionário constituem um banco de dados com o perfil socioeconômicos dos Aspirantes.

O objetivo do citado banco é criar uma apresenta¸cão s´ıntese do perfil geral dos Aspi-rantes para apresentar ao Comando da Escola Naval e à Diretoria de Ensino da Marinha (DEnsM). Para tal, usam-se apenas estat´ısticas descritivas, dando ênfase na apresenta¸cão de tabelas e gráficos de fácil compreensão. Após uma análise observacional dos dados são feitas pequenas conclusões de forma geral sobre os adaptandos. Esses dados muitas vezes não são aproveitados nem armazenados e acabam sendo descartados devido a falta de profissional habilitado para fazer análises mais aprofundadas.

No ano de 2016, percebeu-se a grandeza do banco de dados e surgiu a idéia de apro-fundar a análise do mesmo. Ao final do ano acadêmico foram coletadas as médias finais de cada estudante e anexou-as aos dados do perfil socioeconômico dos mesmos. Assim criou-se um banco com uma grande riqueza de informa¸cões que podem ser usadas para criar modelos, testar hipóteses, verificar correla¸cões etc.

Tal banco de dados, ao final, se constituiu da popula¸cão de Aspirantes ingressantes no primeiro ano da Escola Naval em 2016, com 247 observa¸cões e 103 variáveis, algumas com pouca ou nenhuma observa¸cão por serem condicionais ou por serem espec´ıficas para um seleto grupo.

Para o interesse do presente estudo definiu-se como variáveis regressoras para compor o modelo: origem (CN ou CPAEN), tipo de escola que cursou o ensino fundamental (militar, pública, particular,outras), sexo (feminino, masculino), idade, grau de instru¸cão do pai e grau de instru¸cão da mãe (até fundamental, médio completo, superior incompleto, superior completo, pós-gradua¸cão), possui parente militar (sim ou não), renda familiar (até 7 salários m´ınimos, de 8 a 10 ou acima de 10), Estado de origem (RJ ou outros) e soldo contribui ou contribuirá para as despesas familiares (sim ou não). Tais variáveis foram escolhidas seguindo os mesmos padrões de variáveis socioeconômicas regressoras quando se trata de educa¸cão. A estas foram acrescentadas variáveis espec´ıficas de interesse para o presente trabalho. A Tabela 1 apresenta de forma mais simplificada as variáveis

(22)

3.2 Base de Dados 21

que compõem o banco de dados e sua respectiva caracteriza¸cão. Além das que serão usadas como regressoras tem-se também as médias dos seguintes Centros: Centro Técnico Cient´ıfico (CTC) com as disciplinas: Cálculo 1, Desenho, Fundamentos da Tecnologia e Informa¸cão e F´ısica 1; Centro de Ciências Sociais (CCS) englobando as disciplinas: História do Pensamento Humano, Inglês 1 e Português 1; e, o terceiro, Centro de Práticas Navais (CPN) contendo as disciplinas: Fundamentos Navais e Navega¸cão 1, além da média final.

Tabela 1: Vari´aveis presentes no banco de dados

Vari´avel Caracteriza¸c˜ao

Origem CN, CPAEN

Cursou Esino Fundamental em

Escola Militar? Sim ou N˜ao

Sexo Feminino, Masculino

Idade De 18 `a 24 anos

Grau de instru¸c˜ao do pai

Até Fundamental, Médio completo, Superior incompleto, Superior completo, Pós-gradua¸cão

Grau de instru¸c˜ao da m˜ae

Até Fundamental, Médio completo, Superior incompleto, Superior completo, Pós-gradua¸cão

Possui parente militar? Sim, N˜ao

Renda familiar At´e 7, de 8 a 10

ou acima de 10 sal´arios m´ınimos

Estado de origem RJ ou outros

Soldo contribui ou contribuir´a

para as despesas familiares? Sim ou N˜ao

CTC M´edia das disciplinas C´alculo 1, Desenho,

Fundamentos da Tecnologia e Informa¸c˜ao e F´ısica 1

CCS M´edia das disciplinas Hist´oria do Pensamento Humano,

Inglˆes 1 e Portuguˆes 1

CPN M´edia das disciplinas Fundamentos Navais

e Navega¸c˜ao 1

Média Final Média aritmética simples das disciplinas de todos os Centros

NOTA: A variável média final inclui a disciplina Legislação Militar Naval que não pertence a nenhum dos três Centros acima, pertence ao Comando do Corpo de Aspirantes.

(23)

3.3 Regress˜ao 22

destas 9 qualitativas, sendo idade a única quantitativa. Essas últimas são categóricas com diversas op¸cões de respostas. Para as variáveis categóricas é necessário fazer algumas altera¸cões no banco de dados. Estas precisam ser substitu´ıdas por variáveis dummy que assumem valores 0 ou 1 conforme presen¸ca da caracter´ıstica, da seguinte forma:

Di = 1, se afirmativo para a caracter´ıstica i;

Di = 0, caso contr´ario.

Para cada variável com k categorias necessitam ser criadas k − 1 variáveis dummy. Como resultado, o banco de dados fica com 7 variáveis para o grau de instru¸cão do pai e igualmente em rela¸cão à mãe; 2 em rela¸cão ao gasto com o soldo; 3 sobre a renda familiar e sobre onde cursou o ensino médio e; Estado de origem, possuir parente militar, sexo e origem representaram apenas uma variável; também encontra-se nos dados a variável do número interno do Aspirante apenas para identifica¸cão, não sendo considerada no modelo. Para a constru¸cão dos modelos de interesse é necessário analisar as variáveis e verificar possiveis recategoriza¸cões das variáveis ou cria¸cão de novas dummies.

3.3 Regress˜

ao

3.3.1 Sinal Esperado das Vari´

aveis Regressoras

As variáveis dependentes usadas nos modelos a serem estimados referem-se ao de-sempenho acadêmico dos alunos. Segundo Souza (2008), renda familiar elevada resulta em rendimento acadêmico melhor por diversos fatores que podem ser verificados em seu artigo. Espera-se que a variável renda familiar, quanto mais alta, maior o valor do seu parâmetro estimado, logo, maior sua rela¸cão com as variáveis dependentes e esta rela¸cão seja positiva. Neste mesmo artigo, o autor estuda a liga¸cão do grau de instru¸cão dos pais com o rendimento acadêmico e conclui que quanto maior a escolaridade dos pais, melhor o desempenho do filho.

Cardoso e Sampaio (1994) , mostrou que o fato de alunos terem que trabalhar para ajudar financeiramente a fam´ılia e concluem que estes tem baixo desempenho acadêmico. Logo, a variável que se refere a contribui¸cão do soldo pelos Aspirantes deve exercer in-fluência negativa nas variáveis dependentes.

Buckless, Lipe e Ravenscroft (1991) conclu´ıram que gênero não é um fator de influência para o rendimento acadêmico. Espera-se verificar se no universo de alunos militares este resultado repete-se ou diferencia-se.

(24)

3.3 Regress˜ao 23

Sobre a idade dos alunos, observam-se divergências entre autores. Por exemplo entre Cohn (1972) e Koh e Koh (1999), o primeiro afirma que há melhora no desempenho de alunos mais velhos, enquanto o mais novo defende que os de menor idade têm notas mais altas. Para verificar este fato pode-se optar por criar um dummy e verificar se os mais novos têm influência positiva ou negativa no desempenho acadêmico.

Sobre o local de residência do aluno, Guney (2009) realizou estudo e concluiu que a cidade de procedência não influencia no rendimento do aluno. É de interesse verificar se o mesmo ocorre no ambiente militar.

Vários autores, como Silva (2015), estudaram a influência do tipo de escola de n´ıvel fundamental e médio no desempenho acadêmico dos alunos de ensino superior. No pre-sente estudo, porém, há diferen¸cas significativas uma vez que o interesse não é verificar somente o tipo de escola e sim o fato desta ser militar ou não. No caso do ensino médio, deseja-se verificar se a origem do Colégio Naval é fator de influência e no ensino funda-mental se vir de colégio militar é fator relevante para o desempenho acadêmico.

3.3.2 Quantis

Dada uma popula¸cão ou amostra, tem-se definida uma medida de localiza¸cão deno-minada quantil de ordem τ como sendo o valor m que deixa 100τ % de observa¸cões abaixo dele e as restantes 100(1-τ )% maiores ou iguais a m, com 0 < τ < 1.

Uma forma alternativa de defini¸cão para o caso populacional é usando a distribui¸cão de probabilidade acumulada. Seja X uma variável aleatória, tem-se que:

F (x) = P (X ≤ x). (3.1)

Utilizando a fun¸c˜ao inversa da distribui¸c˜ao acumulada no ponto τ , tem-se:

F−1(τ ) = inf {x : F (x) ≥ τ }. (3.2)

A nota¸c˜ao de ´ınfimo acima refere-se ao menor valor inteiro de x para F (x) maior ou igual a τ .

Tomando esta defini¸cão e aplicando-a para uma variável aleatória X, pode-se exem-plificar alguns dos quantis mais usados. F−1(0.5) é a mediana (ou segundo quartil) de X, o ponto que divide a distribui¸cão ao meio; F−1(0.25) é o primeiro quartil, deixando

(25)

3.3 Regress˜ao 24

25% das observa¸cõs abaixo do ponto; F−1(0.75) é o terceiro quartil, deixando 75% das oberserva¸cões abaixo. Os quartis dividem as observa¸cões em 4 (quatro) partes iguais e apresentam como pontos de corte os já citados quantis de 25%, 50% e 75%.

Outra forma de definir o quantil de ordem τ que se faz importante para o entendimento do modelo de regressão que se propôs é adotar uma fun¸cão perda dada por:

ρτ(u) = u(τ − I(u < 0)), 0 < τ < 1, (3.3)

em que I é a fun¸cão indicadora que vale um quando satisfeita a condi¸cão e zero caso contrário. Ou seja, uma forma análoga de escrever 3.3 é:

ρτ(u) =        uτ, se u > 0, u(τ − 1), se u < 0, 0, se u = 0. (3.4)

Um caso particular dessa generaliza¸c˜ao pode ser dado pelo interesse de encontrar o valor m que minimiza E|Y − m|. Esse valor ´e a mediana de Y , como provado em Hao Naiman (2007).

3.3.3 A Regress˜

ao Quant´ılica

Uma vez entendido o conceito de quantil, pode-se entrar na defini¸c˜ao de regress˜ao quant´ılica.

Primeiro, faz-se necessário explicar o motivo de optar-se por tal modelo ao invés do modelo linear clássico com estima¸cão por MQO. Na citada, a regressão se concentra na medida de tendência central, sendo menos eficaz para tratar a heterocedasticidade. No modelo de regressão quant´ılico esse problema é incorporado e minimizado uma vez que não necessita da suposi¸cão básica de erros homocedásticos e faz uma análise em toda distribui¸cão condicional da variável resposta nos seus quantis, assim sendo, um dado porventura discrepante de alguma variável dependente não altera a regressão como um todo, tornando-a mais informativa.

O trecho de Mosteller e Tukey (1977) citado e traduzido para português por Santos (2012) faz uma compara¸cão entre um modelo de regressão e média, onde ambos passam uma visão incompleta da distribui¸cão. Um modelo de regressão quant´ılica, porém, con-segue ser completo pois não resume apenas uma curva de regressão e sim diversas curvas

(26)

3.3 Regress˜ao 25

em cada percentil da distribui¸c˜ao.

A introdu¸cão do conceito de regressão quant´ılica na forma descrita aqui foi dada por Koenker e Bassett (1978) como uma generaliza¸cão do modelo de regressão de M´ınimos Desvios Absolutos (MDA), onde poderia ser estimada a mediana da distribui¸cão de Y condicionada ao valor de suas covariáveis.

Partindo da defini¸cão de quantil dada anteriormente deve-se ampliar essa ideia para a constru¸cão de um modelo de regressão quant´ılica. Inicialmente elabora-se uma fun¸cão condicional quant´ılica(FCQ), como descrito por Cavalcante (2014). Tomando um quantil τ , com 0 < τ < 1, uma variável aleatória cont´ınua yi com fun¸cão de distribui¸cão FY e um

dado vetor xi pode-se definir o FCQ no quantil τ como:

Qτ = (Yi|xi) = FY−1(τ |xi). (3.5)

Assim sendo, o modelo de regressão quant´ılica que o presente trabalho visa construir é um modelo com uma variável dependente e dez variáveis regressoras. Pode-se escrever este na seguinte forma:

yi = β0(τ ) + βori(τ )orii+ βf und(τ )f undi+ βsexo(τ )sexoi+ βid(τ )idi+ βpai(τ )paii+

βmae(τ )maei+ βmil(τ )mili+ βrenda(τ )rendai+ βRJ(τ )RJi+ βsoldo(τ )soldoi(τ ) + ui,

(3.6) onde:

i: aspirante i;

τ : quantil do desempenho acadˆemico pertencente ao aspirante i; yi: m´edia final do aspirante i no quantil τ ;

orii: dummy para origem do aspirante i no quantil τ ;

f undi: dummies para tipo de escola que o aspirante i cursou ensino fundamental no

quantil τ ;

sexoi: dummy para sexo do aspirante i no quantil τ ;

idi: idade do aspirante i no quantil τ ;

paii: dummies para grau de instru¸c˜ao do pai do aspirante i no quantil τ ;

maei: dummies para grau de instru¸c˜ao da m˜ae do aspirante i no quantil τ ;

mili: dummy para possuir parente militar, aspirante i no quantil τ ;

rendai: dummies para renda familiar do aspirante i no quantil τ ;

(27)

3.3 Regress˜ao 26

τ ;

soldoi: dummies para contribuir com seu soldo pelo aspirante i no quantil τ ;

ui: termo de erro aleat´orio i no quantil τ ;

β’s: parˆametros.

O modelo acima citado pode, ainda, ser escrito na forma matricial. Tomando Y como um vetor de tamanho n × 1, onde n ´e a quantidade de indiv´ıduos do banco de dados (neste trabalho se trata da popula¸c˜ao de estudo), pode-se reescrever o modelo 3.6 como:

Y = Xβ(τ ) + u, (3.7)

onde X é a matriz n × p de observa¸cões conhecidas, em que p representa a quantidade de variáveis, β(τ ) é um vetor p × 1 de parâmetros desconhecidos e u, o vetor (n × 1) de erros aleatórios.

Sobre u, o termo de erro ´e importante citar as suposi¸c˜oes acerca deste:

1. A distribui¸cão dos erros é dada por uma densidade cont´ınua fu, sua distribui¸cão

acumulada Fu ´e estritamente positiva e est´a no intervalo (0,1) e Fu−1(τ ) = 0, o que

equivale a Fu(0) = τ , portanto, Z 0 −∞ fu(ui)dui = τ ; 2. lim n→∞ X0X

n = M , onde M ´e uma matriz positiva definida.

Uma distribui¸cão que satisfaz perfeitamente a suposi¸cão 1, como citado por Yu e Moyeed (2001), é a Distribui¸cão Laplace Assimétrica (DLA).

Seja Z ∼ DLA(µ, σ, τ ), logo Z apresenta a seguinte fun¸c˜ao densidade de probabili-dade: f (Z|µ, σ, τ ) = τ (1 − τ ) σ exp −ρτ z − µ σ , (3.8)

em que z assume qualquer valor real, µ é parâmetro de localiza¸cão, σ > 0 é parâmetro de escala, 0 < τ < 1 e ρτ é definida como em 3.3.

Para Z com distribui¸cão Laplace Assimétrica, tem-se a seguinte fun¸cão de verossimi-lhan¸ca: L(βτ, σ|z) = τn(1 − τ )n σn exp ( − n X i=1 ρτ zi − x0iβτ σ ) . (3.9)

(28)

3.3 Regress˜ao 27

Tomando µ = x0_iβ, σ como a variˆancia do termo de erro e o quantil τ pode-se verificar em Yu e Moyeed (2001) que ui ∼ DLA(µ, σi, τ ).

A estima¸c˜ao pontual dos parˆametros (µ,σ,τ ) da DLA pode ser calculada conforme citado por Yu e Zhang (2005).

Para erros independentes e identicamente distribu´ıdos (i.i.d), Koenker e Bassett (1978) conclu´ıram que: √ n ˆβ(τ ) − β(τ )→ N (0, V ),d (3.10) onde Vτ = τ (1 − τ ) f2 τ(0) (X0X)−1. (3.11)

Sendo as suposi¸cões do modelo satisfeitas, tem-se em 3.10 que os estimadores dos parâmetros da regressão quant´ılica seguem uma distribui¸cão normal assintótica. Em Koenker (2005) é poss´ıvel verificar que, sob outras suposi¸cões, o estimador é não viesado e consistente.

Tendo clara a defini¸cão de regressão quant´ılica pode-se partir para o entendimento de como é o processo de estima¸cão dos parâmetros, quais inferências podem ser feitas e os métodos comumente usados na literatura e na prática.

3.3.4 Estima¸

c˜

ao dos Parˆ

ametros

Nos modelos de regressão linear múltipla utilizados frequentemente, conforme Mont-gomery, Peck e Vining (2012), o estimador de MQO de ˆβ é dado por:

ˆ

β = (X0X)−1X0Y, (3.12)

com X e Y definidos da mesma forma que em 3.7.

Para que tal estimador seja válido são necessárias que algumas suposi¸cões sejam se-guidas, entre elas, posto completo da matriz X e erros homocedásticos. Ainda que haja heterocedasticidade o estimador acima continua apresentando forma especificada.

No modelo de regressão quant´ılica o mesmo não ocorre. Não há uma forma direta de calcular o estimador ˆβ(τ ), sendo assim não há uma distribui¸cão conhecida para o estimador. Quando se trata de modelo de regressão quant´ılica, não interessa apenas estimar a esperan¸ca condicional do Yi, o que se deseja estimar é um quantil associado a

(29)

3.3 Regress˜ao 28

probabilidade τ .

Já sendo definida a distribui¸cão do termo de erro, pode-se calcular o estimador de máxima verossimilhan¸ca para o vetor β(τ ) e chegar ao estimador proposto por Koenker e Bassett (1978). Este objetiva a minimiza¸cão da soma dos desvios absolutos. Tem-se portanto o seguinte estimador:

min β∈<p n X i=1 ρτ(yi− x0iβ). (3.13)

Consegue-se estimar 3.13 usando metódos numéricos ou algum algoritmo de mini-miza¸cão que estime o vetor de parâmetros β.

Com o avan¸co da tecnologia, houve possibilidade da implementa¸cão de técnicas de programa¸cão linear para diversas resolu¸cões. Baseado nisso, Koenker (2005) reformulou o problema anterior transformando-o em programa¸cão linear para que fosse utilizado nos mais diversos softwares estat´ısticos. Assim sendo, o problema de minimiza¸cão em 3.13 se transformou em:

min

(β,µ,ν)∈<p_x<2n +

(τ 10_nµ + (1 − τ )10_nν|Xβ + µ − ν = Y ) (3.14)

sendo 10_n vetor transposto de tamanho 1 × n contendo apenas n´umeros 1’s e µ e ν s˜ao vetores n × 1 possuindo os respectivos termos µi = (yi − ˆyi)I ((yi− ˆyi) > 0) e ν = (ˆyi−

yi)I ((yi− ˆyi) < 0), com I sendo a fun¸c˜ao indicadora usual e ˆyi = x0iβˆi.

Para mais detalhes, consultar Koenker (2005). O presente trabalho não visa o apro-fundamento da técnica citada e sim o conhecimento do método que será usado nas análises posteriores.

Para fazer inferência paramétrica, porém, o estimador de β por si só nada representa, é necessário saber quem são seus erros padrões possibilitando assim fazer inferências. Por isso o modelo paramétrico fará suposi¸cão de que o erro segue a distribui¸cão Laplace Assimétrica.

3.3.5 Intervalos de Confian¸

ca

A disserta¸cão de Santos (2012) apresenta três distintos métodos de cálculo de interva-los de confian¸ca para modelo de regressão quant´ılica. Aqui, optou-se por usar o método baseado em resultados assintóticos, pela simplicidade, por ter estimativas precisas e por estar facilmente dispon´ıvel em softwares estat´ısticos. O citado método foi introduzido

(30)

3.3 Regress˜ao 29

por Koenker e Bassett (1978) como uma generaliza¸cão do método usado anterioremente para modelos de regressão L1, onde a regressão é feita condicionada na mediana, ou seja,

sendo hoje um caso particular da regressão quant´ılica. O teorema provado por Koenker e Basset para o vetor β de parâmetros consistia em solucionar a minimiza¸cão dos erros absolutos ponderados, ou seja, solucionar 3.13.

Um importante teorema demonstrado por Koenker e Basset (1978) após fazer três suposi¸cões resulta que √n( ˆβ(τ1) − β(τ1), ..., ˆβ(τm) − β(τm))

D

→ Nn×m(0, V (τ1, ..., τm)).

Para estimar V (τ ) (3.11) ´e necess´ario uma estimativa para 1/f (0). Seguindo o pro-posto por Kocherginsky, He e Mu (2005) tem-se:

ˆ F−1(τ + hn) − ˆF−1(τ − hn) 2hn , (3.15) onde lim n→∞hn= 0.

Portanto, tendo em vista o resultado do estimador para V (τ ), ´e poss´ıvel criar interva-los de confian¸ca para β(τ ). Diversos softwares estat´ısticos fazem as estimativas conforme descritas acima, inclusive o software R, ferramenta usada no presente estudo.

3.3.6 Teste de Hip´

otese Linear Geral

Após estimar as variâncias e convariâncias referentes ao estimadores de cada parâmetro, pode-se realizar testes de hipóteses para verificar a equivalência de qualquer par de coe-ficientes.

Conforme expresso por Santos (2012) , uma forma geral para se testar tais hip´oteses lineares ´e:

H0 : Cς = c, (3.16)

onde a matriz C é formada por constantes conhecidas e apresenta posto cheio e c é um vetor de constantes também conhecidas.Nesta hipótese, ς é um vetor composto de parâmetros a serem testados.

Caso o interesse seja verificar se βi(τa) = βi(τb), onde τa e τb s˜ao quantis quaisquer, a

hip´otese nula seria:

(31)

3.3 Regress˜ao 30

ou seja, C = (1 − 1) e c = 0. ς nesse caso se refere `a βi(τa) − βi(τb).

Para a hip´otese, H0 : βi(τa) = k1 e βi(τb) = k2 (k1 e k2 constantes previamente

definidas), C = (1 1)’, c = (k1k2)0 e ς representa o vetor transposto dos parˆametros

testados.

Segundo Hao e Naiman (2007), após serem estimadas as variâncias e covariâncias necessárias, pode efetuar o teste de Wald, formulado por Koenker (2005) onde a estat´ıstica de teste para os citados exemplos seriam, respectivamente,

W = ( ˆβi(τa) − ˆβi(τb)) 2 ˆ σ_βˆ_i_(τ_a_{)− ˆ}_β_i_(τ_b₎ (3.18) e W = ˆ βi(τa) ˆ βi(τb) !0 ˆ Σ−1 ˆ βi(τa) ˆ βi(τb) ! . (3.19)

Na primeira estat´ıstica de teste, ˆσ_βˆ_i_(τ_a_{)− ˆ}_β_i_(τ

b)refere-se `a V ar( ˆβi(τa) − ˆβi(τb)), enquanto

na segunda Σ é a matriz de variância e covariância dos parâmetros testados (no caso da estat´ıstica acima esta matriz é transposta).

Sob H0, a estat´ıstica W , segue uma distribui¸c˜ao χ2q, onde q diz respeito ao tamanho

do vetor ς, ou seja, ao posto da matriz C.

Santos (2012) cita estat´ısticas de outros autores como forma alternativa ao teste de Wald, porém estas não serão usadas no presente trabalho, sendo os testes posteriormente realizados baseados na estat´ıstica acima explicitada.

3.3.7 Coeficientes de determina¸

c˜

ao

No modelo de regressão linear clássico é comum usar como medida de ajuste de quali-dade a estat´ıstica R2_{, com R}2 _{∈ [0, 1]. Esta é interpretada como o percentual de}

variabil-diade da variável explicativa que é explicado pelos seus regressores no modelo. Portanto quanto mais próximo de 100%, ou seja, quanto mais próximo do valor 1, mais as variáveis independentes explicam o modelo, o que implica que quanto mais perto de zero, menos estas explicam. Tomando a soma dos quadrados totais como SQT =

n

X

i=1

(32)

3.3 Regress˜ao 31

soma dos quadrados dos res´ıduos como SQE =

n

X

i=1

(Yi− bY )2, tˆem-se que R2 como:

R2 = SQT − SQE

SQT . (3.20)

Esta estat´ıstica tem importantes propriedades. S˜ao estas:

1. R2´e estat´ıstica usada como medida de qualidade do ajuste pois est´a ligada ao ajuste do modelo;

2. R2 _{aumenta com a introdu¸c˜}_{ao de outras vari´}_{aveis explicativas quando estas n˜}_ao

apresentam coeficiente nulo (sendo necessário realiza¸cão de testes de hipótese nesse caso);

3. R2deve ser adimensional e não deve se alterar com mudan¸ca de posi¸cões das variáveis explicativas ou com varia¸cão na escala das mesmas;

4. 0 ≤ R2 _{≤ 1, sendo 1 o ajuste perfeito e o zero o pior ajuste poss´ıvel ou a falta de}

ajuste;

5. Aumentando-se a quantidade de parâmetros, aumenta também o R2; 6. R2 é uma medida robusta.

A estat´ıstica acima é baseada no critério de m´ınimos quadrados. No modelo de re-gressão quant´ılica, tem-se como estimador também uma minimiza¸cão (3.13). Sendo assim, de forma análoga, pode-se desenvolver uma estat´ıstica R2 _{para o citado modelo. A}

su-gest˜ao de medir a qualidade do ajuste comparando a soma das distˆancias ponderadas para este modelo surgiu em Koenker e Machado (1999).

Aqui, porém, serão seguidos os passos da mesma forma discutida por Santos (2012). Em sua disserta¸cão, Santos utiliza a nota¸cão de modelos encaixados para definir uma forma geral da estat´ıstica a ser usada. Para um modelo linear com p variáveis explicativas, pode-se escrever tal modelo para o quantil condicional τ como:

Qτ(Yi|x) = x0i1β1(τ ) + x0i2β2(τ ). (3.21)

Em 3.21 tem-se uma parti¸c˜ao de duas partes da vari´avel preditora xi, sendo

(33)

3.4 Rela¸cão e Correla¸cão entre as Variáveis 32

deve ser particionado. Primeiro ser´a definido ˆβ(τ ) como o estimador da forma descrita em 3.13 e eβ(τ ) para o seguinte modelo:

Qτ(Yi|x) = x0i1β1(τ ), (3.22)

Tendo entendido o intuito inicial da parti¸cão acima, segue-se fazendo duas importantes defini¸cões que serão usadas por conseguinte, são estas:

ˆ V (τ ) = n X i=1 ρτ(yi− x0iβ(τ )),ˆ (3.23) e V (τ ) = n X i=1 ρτ(yi− x0i1β(τ )).e (3.24)

Por fim, pode-se tomar como coeficiente de determina¸c˜ao da regress˜ao quant´ılica a estat´ıstica R1 da seguinte forma

R1 = 1 − ˆ V (τ ) e V (τ ) (3.25) ´

E f´acil verificar que 3.25 est´a dentro do mesmo intervalo que R2_{. Sabendo que e}_{β(τ )}

´e uma restri¸c˜ao de ˆβ(τ ), portanto ˆV (τ ) ≤ eV (τ ), logo R1 ∈ [0, 1], sendo assim segue o mesmo que o item 4. das propriedades do R2.

Assim como no caso anterior, quanto mais próximo de 1 estiver o R1, melhor o ajuste do modelo, maior o percentual de explica¸cão da variável dependente pelas variáveis re-gressoras.

3.4 Rela¸

c˜

ao e Correla¸

c˜

ao entre as Vari´

aveis

3.4.1 Teste Para Igualdade de Medianas

Em diversos momentos há interesse em testar se as médias de determinados grupos são iguais. Os testes paramétricos para tal exigem determinadas condi¸cões como homo-cedasticidade e normalidade dos grupos. Quando um dos pressupostos é rejeitado, uma alternativa é optar por testes não paramétricos e verificar se há diferen¸cas entre as me-dianas. A hipótese nula deste teste é a igualdade de medianas e a alternativa é pelo menos um par de medianas diferentes. O artigo de McKight e Najab (2010) descreve mais detalhadamente este teste.

(34)

Quando a hipótese nula é rejeitada, conclui-se que há algum par de medianas di-ferentes. Portanto, como complemento deste teste é necessário realizar outro teste que verifique onde está esta diferen¸ca. O teste de Dunn (DUNN, 1961) é ideal quando se deseja testar os pares de grupos e verificar onde está a diferen¸ca das medianas. Este teste faz compara¸cões 2x2 e gera um p-valor para cada par. A hipótese nula dele é que as medianas são diferentes no par que se está testando.

3.4.2 Teste Para Distribui¸

c˜

ao

Para testar a distribui¸cão de determinado grupo de dados, seja as variáveis numéricas ou os erros dos modelos, será utilizado o Teste de Kolmogorov-Smirnov, onde:

(

H0 : Os dados seguem a distribui¸c˜ao F (x)

H1 : Os dados n˜ao seguem a distribui¸c˜ao F (x).

(3.26)

F (x) em 3.26 é a distribui¸cão acumulada que se deseja testar. Por exemplo, para verificar normalidade dos dados pode-se realizar este teste tendo como hipótese nula que os dados seguem uma distribui¸cão Normal, não rejeitá-la significa que pode-se dizer que tais dados são normais, como pode ser visto mais detalhadamente em Öztuna, Elhan e Tüccar (2006).

Outra distribui¸cão a ser testada diz respeito à distribui¸cão dos erros, verificar se estes seguem uma distribui¸cão Laplace Assimétrica (PUIG; STEPHENS, 2000), onde as hipóteses também são conforme 3.26.

3.4.3 Vari´

aveis Ordinais

Variáveis ordinais são aquelas em que as categorias podem ser ordenadas como grau de instru¸cão e renda. Para verificar a correla¸cão entre elas pode-se optar por calcular a estat´ıstica χ2 _{e realizar um teste de hip´}_{otese. No citado caso, um teste apropriado ´}_{e o}

Teste de Fisher que tem as seguintes hip´oteses:

(

H0 : Não há rela¸cão entre as variáveis

H1 : Há rela¸cão entre as variáveis .

(3.27)

Quando o p-valor deste teste encontra-se abaixo do n´ıvel de significˆancia rejeita-se H0,

(35)

podem ser vistos em Agresti (2002).

Outra forma de verificar a rela¸cão entre as variáveis é calculando o V de Cramer. Este valor é uma medida de correla¸cão que varia de 0 à 1. Quanto mais próximo de 1, maior a rela¸cão.

3.4.4 Correla¸

c˜

ao Vari´

aveis Dicotˆ

omicas

Muitos coeficientes de correla¸cão são derivados a partir do coeficiente linear de Pear-son. Um destes resulta na correla¸cão de Phi. Esta é indicada para dados dicotômicos, onde há apenas duas alternativas de respostas e não há ordem entre estas. Por exemplo, variáveis como sexo, morar no RJ, ter parente Militar etc.

O coeficiente de Phi varia de -1 à 1, sendo o valor 0, correla¸cão nula entre as variáveis. Quanto mais próximo as extremidades -1 e 1, maior a correla¸cão. Mais detalhes acerca desta metodologia podem ser vistos em Lira e Neto (2006).

(36)

35

4 An´

alise dos Resultados

4.1 Perfil dos Aspirantes

As caracter´ısticas dos Aspirantes foram separadas entre individuais e familiares e foram verificadas as frequências absolutas e relativas nos grupos de alunos provenientes do Colégio Naval e do CPAEN. Nas caracter´ısticas individuais, como pode-se observar na Tabela 2, estão informa¸cões como tipo de escola que cursou o ensino fundamental, sexo do aluno, Estado de origem e se o soldo contribui nas despesas familiares. Nesta tabela, nota-se que não houveram dados faltantes em nenhuma das variáveis, não há mulheres vindas do Colégio Naval, o que torna a maior parte dos alunos sendo do sexo masculino. Observa-se que 61,5% dos Aspirantes contribuem com as despesas familiares e que 82,6% são provenientes do Estado do Rio de Janeiro.

Tabela 2: N´umero de Aspirantes segundo as caracter´ısticas individuais - 2016

Vari´aveis Categorias Total (%) Ensino M´edio

CN (%) CPAEN (%)

Fundamental em Col´egio Militar?

Sim 39 (15,8) 32 (15,2) 7 (18,9) N˜ao 208 (84,2) 178 (84,8) 30 (81,1) Total 247 (100,0) 210 (100,0) 37 (100,0) Sexo Feminino 11 (4,5) 0 (0,0) 11 (29,7) Masculino 236 (95,5) 210 (100,0) 26 (70,3) Total 247 (100,0) 210 (100,0) 37 (100,0) Estado de Origem Rio de Janeiro 204 (82,6) 177 (84,3) 27 (73,0) Outros 43 (17,4) 33 (15,7) 10 (27,0) Total 247 (100,0) 210 (100,0) 37 (100,0) Soldo contribui nas despesas de casa? N˜ao 95 (38,5) 89 (42,4) 6 (16,2) Sim 152 (61,5) 121 (57,6) 31 (83,8) Total 247 (100,0) 210 (100,0) 37 (100,0)

Fonte: Elaboração própria a partir dos dados coletados pelo SOEP.

Na tabela 3 encontram-se as frequências nos mesmos moldes da tabela anterior refe-rente às caracter´ısticas familiares. Nestas estão o grau de instru¸cão do pai e da mãe, a renda familiar informada e a informa¸cão dada pelo aluno se tem ou não parente militar.

(37)

4.2 O Rendimento Acadˆemico 36

Neste grupo de variáveis nota-se que alguns alunos desconhecem o grau de instru¸cão dos pais, o que fez a frequência total das respostas diminuir para 242 e 246 sobre pai e mãe, respectivamente.

Tabela 3: N´umero de Aspirantes segundo as caracter´ısticas familiares - 2016

Vari´aveis Categorias Total (%) Ensino M´edio

CN (%) CPAEN (%) Grau de Instru¸cão do pai Até Ensino Fundamental 40 (16,5) 32 (15,6) 8 (21,6) Médio Completo 89 (36,8) 75 (36,6) 14 (37,8) Superior Incompleto 18 (7,4) 14 (6,8) 4 (10,8) Superior Completo 68 (28,1) 62 (30,2) 6 (16,2) Pós Gradua¸cão 27 (11,2) 22 (10,7) 5 (13,5) Total 242 (100,0) 205 (100,0) 37 (100,0) Grau de Instru¸cão da mãe Até Ensino Fundamental 39 (15,9) 29 (13,9) 10 (27,0) Médio Completo 65 (26,4) 59 (28,2) 6 (16,2) Superior Incompleto 23 (9,3) 22 (10,5) 1 (2,7) Superior Completo 82 (33,3) 67 (32,1) 15 (40,5) Pós Gradua¸cão 37 (15,0) 32 (15,3) 5 (13,5) Total 246 (100,0) 209 (100,0) 37 (100,0) Renda familiar (em salários m´ınimos) Até 7 156 (63,2) 130 (61,9) 26 (70,3) De 8 à 10 50 (20,2) 45 (21,4) 5 (13,5) Acima de 10 41 (16,6) 35 (16,7)) 6 (16,2) Total 247 (100,0) 210 (100,0) 37 (100,0) Tem algum parente militar? Não 122 (49,4) 106 (50,5) 16 (43,2) Sim 125 (50,6) 104 (49,5) 21 (56,8) Total 247 (100,0) 210 (100,0) 37 (100,0)

Fonte: Elaboração própria a partir dos dados coletados pelo SOEP.

4.2 O Rendimento Acadˆ

emico

A variável média final refere-se a média aritmética simples das notas dos Centros (CCS, CTC e CPN) além das disciplinas teóricas relacionadas a forma¸cão militar naval. A média final é usada para o Cálculo da antiguidade dos futuros oficiais juntamente com Conceito, notas nas disciplinas f´ısicas, entre outras.

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A m´edia dos Centros se constitui da seguinte forma:

1. CCS: média das disciplinas Português I, Inglês I e História do Pensamento Humano; 2. CTC: média das disciplinas Cálculo I, F´ısica I, Desenho e Fundamentos da

Tecno-logia da Informa¸c˜ao;

3. CPN: Navega¸c˜ao I e Fundamentos Navais.

A Tabela 4, apresenta algumas medidas resumo, como média, mediana, desvio padrão e alguns percentis acerca da média final e média em cada Centro.

Nota-se que o Centro com menor média, maior desvio e que apresentou a menor nota foi o CTC, onde se encontram as notas da área de exatas. O contrário ocorre no CCS, este Centro apresenta menor desvio padrão e maior média.

Tabela 4: Medidas resumo da médias por Centro e média final Média Final Média CCS Média CTC Média CPN

Min´ımo 4,42 5,50 2,09 4,00 P25 6,56 7,07 6,01 6,68 P33 6,80 7,24 6,19 6,86 P50 7,20 7,50 6,75 7,20 P66 7,50 7,80 7,25 7,55 P75 7,67 7,95 7,56 7,78 Máximo 8,87 9,33 9,32 9,45 Média 7,14 7,49 6,72 7,17 Desvio Padrão 0,80 0,69 1,16 0,95

A variável média final refere-se a média aritmética de todas as disciplinas teóricas que os alunos tem no 1o _{ano. Nela est˜}_{ao inclusas todas as disciplinas dos trˆ}_{es Centros al´}_em

de uma disciplina ministrada por oficiais do Comando do Corpo de Aspirantes (LMN). Para melhor visualiza¸cão da distribui¸cão da média final, foi constru´ıdo o gráfico pre-sente da Figura 1. Nesta, encontra-se o histograma da distribui¸cão das notas médias dos alunos. A linha vermelha refere-se a curva de uma distribui¸cão Normal com média e desvio padrão iguais ao da variável média final. Em verde claro está a curva de distribui¸cão da média final. Nota-se no gráfico que há uma boa aproxima¸cão da curva dos dados à curva da distribui¸cão Normal. Parece haver um ind´ıcio forte de normalidade nesta variável. O

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Figura 1: Histograma da M´edia Final, curva de densidade da m´edia final e curva normal

teste de Kolmogorov-Smirnov foi utilizado e corroborou o ind´ıcio gráfico resultado na não rejei¸cão da hipótese de normalidade ao n´ıvel de significância de 10%.Ou seja, a média final dos Aspirantes segue uma distribui¸cão Normal.

A Figura 2 mostra os boxplots para as médias de cada Centro. Este gráfico facilita a visualiza¸cão, por exemplo, nota-se facilmente que CTC tem mediana abaixo dos outros centros. Uma vantagem deste gráfico é a visualiza¸cão dos outliers (dados discrepantes). O CTC é o Centro com maior quantidade de outliers, a maioria com notas baixas. O Centro com as matérias de exatas não apresentou notas altas que fossem consideradas discrepantes.

Após análise gráfica, é importante verificar a normalidade para os Centros, por meio do teste de Kolmogorov-Smirnov. Neste, os três se mostraram normais da mesma forma que a média final. Após isso verificou-se por meio de outro teste de hipótese que as variâncias dos Centros eram diferentes. Sendo assim, o pressuposto de homocedasticidade foi rejeitado, portanto descartou-se a op¸cão de realizar teste paramétrico para igualdade de médias. Então , foi necessário realizar o teste não paramétrico de Kruskal-Wallis. Conforme a Tabela 5, a hipótese nula deste teste foi rejeitada, portanto pode-se dizer que as medianas são diferentes. Este teste por si só não aponta onde encontra-se a diferen¸ca.

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Figura 2: Boxplot da m´edia dos Centros

´

E aconselhável fazer um teste de compara¸cões múltiplas para ver onde está a mediana diferente. O teste Dunn foi escolhido para essa finalidade. Este teste realiza compara¸cões 2x2. Os resultados desse teste (estat´ıstica de teste e p-valor) encontram-se, também, na Tabela 5. Sendo o p-valor nos três casos abaixo de 10%, conclui-se que os três pares de variáveis testadas rejeitaram a hipótese nula. Portanto as médias dos três Centros apresentam medianas diferentes, logo, faz sentido estimar o modelo para os três Centros separadamente.

Tabela 5: Testes Para Mediana Teste Dunn Teste de Kruskal-Wallis CCS CTC CTC 8, 058 <0,0001∗ χ2₂ = 64,984 CPN 3, 843 <0,0001∗ −4, 216 <0,0001∗ p-valor = <0,0001

(*) Vari´aveis significativas ao n´ıvel de significˆancia de 10%.

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e da m´edia final em cada categoria das vari´aveis qualitativas.

Tabela 6: Medidas resumo do desempenho dos Aspirantes, segundo as caracter´ısticas individuais e familiares - 2016

Vari´aveis Categorias M´edia Final

M´edia Mediana Desvio Padr˜ao

Sexo Feminino 7,42 7,54 0,56 Masculino 7,13 7,16 0,81 Idade 18 e 19 anos 7,35 7,40 0,77 20 à 24 anos 6,90 6,91 0,76 Origem CN 7,11 7,13 0,82 CPAEN 7,31 7,50 0,63 Rio de Janeiro Não 7,53 7,62 0,75 Sim 7,06 7,11 0,79 Parente Militar Não 7,13 7,19 0,83 Sim 7,15 7,22 0,78 Grau de Instru¸cão do pai Até Fundamental 7,01 6,99 0,69 Médio Completo 7,11 7,15 0,70 Superior Incompleto 7,09 7,16 0,86 Superior Completo 7,09 7,19 0,90 Pós-Gradua¸cão 7,53 7,68 0,83 Grau de Instru¸cão da mãe Até Fundamental 7,02 7,11 0,74 Médio Completo 6,88 6,94 0,82 Superior Incompleto 6,87 6,78 0,73 Superior Completo 7,34 7,43 0,70 Pós-Gradua¸cão 7,47 7,40 0,87 Renda (em salários

m´ınimos) Até 7 7,11 7,12 0,80 De 8 a 10 7,09 7,14 0,83 Acima de 10 7,33 7,23 0,77 Soldo contribui nas despesas da casa? Não 7,18 7,22 0,88 Sim 7,12 7,14 0,75 Fundamental Militar? Não 7,12 7,17 0,78 Sim 7,24 7,21 0,88

(42)

4.2 O Rendimento Acadˆemico 41 Tabela 6: Medidas resumo do desempenho dos Aspirantes, segundo as caracter´ısticas individuais e familiares - 2016 (continua¸c˜ao)

Vari´aveis Categorias M´edia CCS

Sexo Feminino 7,98 7,83 0,64 Masculino 7,47 7,50 0,69 Idade 18 e 19 anos 7,64 7,67 0,66 20 à 24 anos 7,31 7,32 0,69 Origem CN 7,46 7,48 0,69 CPAEN 7,66 7,73 0,69 Rio de Janeiro Não 7,77 7,73 0,64 Sim 7,43 7,47 0,69 Parente Militar Não 7,45 7,52 0,70 Sim 7,53 7,50 0,68 Grau de Instru¸cão do pai Até Fundamental 7,38 7,37 0,60 Médio Completo 7,42 7,43 0,70 Superior Incompleto 7,60 7,70 0,73 Superior Completo 7,51 7,62 0,75 Pós-Gradua¸cão 7,72 7,83 0,60 Grau de Instru¸cão da mãe Até Fundamental 7,40 7,43 0,77 Médio Completo 7,25 7,33 0,65 Superior Incompleto 7,59 7,67 0,52 Superior Completo 7,62 7,70 0,68 Pós-Gradua¸cão 7,66 7,77 0,71 Renda (em salários

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Vari´aveis Categorias M´edia CTC

Sexo Feminino 7,12 7,03 0,77 Masculino 6,70 6,72 1,17 Idade 18 e 19 anos 6,98 7,02 1,12 20 à 24 anos 6,42 6,34 1,13 Origem CN 6,64 6,66 1,20 CPAEN 7,21 7,16 0,73 Rio de Janeiro Não 7,23 7,30 1,09 Sim 6,61 6,67 1,14 Parente Militar Não 6,73 6,73 1,17 Sim 6,72 6,80 1,15 Grau de Instru¸cão do pai Até fundamental 6,56 6,38 1,11 Médio Completo 6,71 6,81 1,02 Superior Incompleto 6,71 6,82 1,17 Superior Completo 6,61 6,70 1,31 Pós-Gradua¸cão 7,21 7,50 1,16 Grau de Instru¸cão da mãe Até fundamental 6,59 6,58 1,07 Médio Completo 6,44 6,40 1,27 Superior Incompleto 6,13 6,15 0,95 Superior Completo 6,95 7,05 1,04 Pós-Gradua¸cão 7,23 7,30 1,16 Renda (em salários

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Vari´aveis Categorias M´edia CPN

Sexo Feminino 6,93 7,05 0,72 Masculino 7,18 7,25 0,96 Idade 18 e 19 anos 7,40 7,35 0,91 20 à 24 anos 6,91 7,00 0,94 Origem CN 7,21 7,25 0,96 CPAEN 6,95 7,00 0,88 Rio de Janeiro Não 7,50 7,50 1,02 Sim 7,10 7,15 0,93 Parente Militar Não 7,19 7,20 0,99 Sim 7,16 7,25 0,92 Grau de Instru¸cão do pai Até fundamental 7,03 7,20 0,85 Médio Completo 7,17 7,15 0,90 Superior Incompleto 6,86 6,97 1,03 Superior Completo 7,12 7,10 0,00 Pós-Gradua¸cão 7,64 7,65 0,92 Grau de Instru¸cão da mãe Até fundamental 6,99 7,10 0,78 Médio Completo 6,89 6,95 0,98 Superior Incompleto 6,87 6,90 1,07 Superior Completo 7,45 7,40 0,85 Pós-Gradua¸cão 7,45 7,60 1,01 Renda (em salários