A INVERSÃO CIRCULAR E SISTEMAS ARTICULADOS
Elvia Mureb Sallum-UFMS-Matemateca- IME/USP Sonia Regina Leite Garcia-Matemateca- IME/USP Na época da revolução industrial, no século 18, alguns mecanismos foram projetados e usados para descrever movimentos retilíneos como o que movia o pistão da máquina a vapor, inventada por James Watt em 1784. Porém, eles descreviam movimentos aproximadamente retilíneos. MECANISMO DE WATT AC=BD P= ponto médio de CD A e B fixados P D A B C MECANISMO DE TCHEBYCHEFF AB=4a AC=BD=5a CD=2a P= ponto médio de CD A e B fixados P D A B C
O desafio de produzir movimentos que são teoricamente retilíneos atraiu a atenção de matemáticos. Muitos esforços foram feitos até que, em 1864, Peaucellier inventou o mecanismo de 6 varetas chamado de inversor de Peaucellier que produz uma inversão circular transformando movimentos circulares em retilíneos.
Outro inversor, o paralelogramo cruzado, foi inventado por Hart em 1874.
Na época, outros matemáticos tais como Kempe e Hart também inventaram articulados variados para descrever movimentos retilíneos e outras curvas.
Em 1876, Kempe provou que toda curva algébrica plana pode ser desenhada por um articulado.
Em 2001, alguns chineses melhoraram o resultado de Kempe dando o número máximo de varetas necessárias para desenhar uma curva algébrica plana, que depende do grau n da curva, e provaram que qualquer superfície algébrica do R3
pode ser desenhada por um articulado 3-dimensional.
Apresentaremos, neste texto, aparatos compostos com algum desses inversores para descrever movimentos comprovadamente retilíneos
Para demonstrar a exatidão dos movimentos desses mecanismos é necessário conhecer um pouco da inversão circular, um tópico de Geometria que aplica a geometria euclidiana plana do ensino básico: semelhança de triângulos, ângulos inscritos e semi-inscritos numa circunferência, potência de ponto em relação a uma circunferência, etc.
Inicialmente abordaremos duas inversões usuais, determinadas pelo inverso multiplicativo de um número real ou complexo não nulo, e convidamos o leitor a analisar as semelhanças entre as suas propriedades.
Em seguida, focalizaremos nossa atenção numa outra inversão do plano complexo, que pode ser definida e estudada usando somente a geometria plana euclidiana.
Esta última, a chamada inversão circular, ou inversão geométrica do plano, permitiu o desenvolvimento de vários mecanismos que transformam movimentos circulares em retilíneos.
Na última parte veremos dois desses mecanismos que produzem movimentos retilíneos.
§1. Introdução
Em geral quando pensamos em inversão, lembramos da inversão multiplicativa de números reais ou de complexos não nulos. Elas correspondem a aplicações que têm propriedades semelhantes como veremos a seguir.
Inversão usual na reta real
Considere a aplicação que a cada número x real não nulo, i.e., x ∈ R*
, associa seu inverso x' = x-1
∈ R*
.
Essa função é a inversão usual em R* e satisfaz x x' = x x-1 = 1, ∀ x ∈ R*.
Ela tem algumas propriedades interessantes:
(a) Se |x| = 1 (isto é, se x = 1 ou x = -1) então x' = x. (b) Se |x| > 1 então |x'| < 1.
(c) Se |x| < 1 então |x'| > 1. (d) (x')' = x, ∀ x ∈ R*
. (Por causa disto, diz-se que essa aplicação é uma involução.)
(e) Leva a semi-reta R*
+ sobre si mesma. (f) Leva a semi-reta R* - sobre si mesma. (g) Um segmento xy ⊂ R* (intervalo [x,y] ⊂ R* ) de extremidades x e y (x < y) é levado por essa aplicação no segmento y'x' ⊂ R*
(intervalo [y',x'] ⊂ R*
). Exercício 1: Justifique as afirmações (a) - (g) acima.
Os leitores que têm uma certa familiaridade com os números complexos, poderão gostar de ler e demonstrar as propriedades da
Inversão usual no plano complexo
Considere a aplicação que a cada número complexo z não nulo, i.e, z ∈ C* , associa
seu inverso z' = z-1
∈ C*
. Ela é a inversão usual em C*
e satisfaz z z' = z z-1
= 1, ∀ z ∈ C*
.
(a) Se z = 1 ou z = -1 então z' = z. Se |z| = 1 (isto é, se z pertence à circunferência de centro na origem e raio 1) então z' =
€ z e |z'| = 1. (b) Se |z| > 1 então |z'| < 1. (c) Se |z| < 1 então |z'| > 1. (d) (z')' = z, ∀ z ∈ C* (involução).
(e) Leva uma semi-reta pela origem, sem a origem, numa semi-reta pela origem O, sem a origem (mas em geral, não na mesma).
(f) O semi-eixo real positivo é levado sobre si mesmo, e o semi-eixo real negativo também é levado sobre si mesmo.
(g) Uma reta passando pela origem (sem a origem) é levada sobre uma reta passando pela origem (sem a origem).
(h) A circunferência de centro na origem e raio 1 é levada sobre si mesma.
(i) Uma circunferência de centro na origem e raio r> 0 é levada na circunferência de centro na origem e raio r' = 1/r.
(j) Uma circunferência passando pela origem (menos a origem), é levada numa reta que não passa pela origem, e uma reta que não passa pela origem é levada numa circunferência passando pela origem (menos a origem).
(k) Uma circunferência C de centro ξ ≠ O e raio r > 0, com r ≠ |ξ|, é levada numa circunferência C' de centro € ξ (|ξ|2 −r2) e raio € R = r ||ξ |2
−r2| . Nesse caso, se a origem
está no círculo limitado por C, ela está também no círculo limitado por C', e se a origem está fora do círculo limitado por C, ela estará também fora do círculo limitado por C'.
Exercício 2: Justificar as afirmações (a) - (k) acima usando as sugestões abaixo. 1. Se z = reiθ
, quem é z'?
2. Quais são as semi-retas de origem O que são invariantes?
3. Se γ é uma semi-reta de origem O que forma ângulo θ com o semi-eixo real positivo, quem é sua imagem γ '?
4. A equação (z - ξ)
€
(z − ξ ) = r2 descreve a circunferência de centro ξ e raio r>0? E
toda circunferência é descrita dessa forma? 5. A equação η z +
€
η z = 1, onde η é um número complexo não nulo, descreve uma
reta que não passa pela origem? E todas as retas que não passam pela origem são descritas dessa forma?
§2. Inversões Circulares no plano ou Inversões Geométricas no plano
Nossos objetos de estudo a partir de agora são as inversões circulares no plano, ou inversões geométricas no plano correspondentes às transformações do tipo f (z) = r2/z (quando o centro da circunferência de inversão é a origem) do conjunto dos números complexos sem a origem em si mesmo.
Estudaremos essas inversões circulares somente com geometria euclidiana, sem usar os números complexos, mas sugerimos àqueles familiarizados com estes números que resolvam o Exercício 3.
Convidamos o leitor a observar as semelhanças e as diferenças entre estas inversões circulares que apresentaremos neste parágrafo e as apresentadas no parágrafo anterior. Elas generalizam a inversão usual em R e mantêm uma forte relação com a inversão usual no plano complexo.
Passemos agora a duas atividades, de recordação, que serão úteis no desenvolvimento do tema da teoria deste parágrafo.
Atividade 1: Prove a igualdade apresentada em cada figura
A B=D A B P P P C A D B C D C
PA.PB=PC.PD PA.PB=PC.PD PA.PB=PC2
Atividade 2: Prove que todo triângulo retângulo é inscritível numa semi-circunferência.
Inversão circular
Seja uma circunferência γ de centro O e raio r. 1.
Dado um ponto A no exterior de γ trace, com régua e compasso, as suas tangentes passando por A.
Trace o segmento ligando os pontos de tangência; ele corta o segmento OA num ponto A’.
γ AP⊥OP A' P Q O A
2. Se A pertence à γ, considere A’=A.
3. Se A está no interior de γ, A≠O, trace a semi-reta O A e o segmento P Q
perpendicular à reta OA passando por A com P, Q ∈γ.
Trace as tangentes à γ, por P e por Q, que se cortam em um ponto A’. Este ponto
γ O A=A' γ AP⊥OA A P Q O A'
Definição: A inversão em relação a uma circunferência γ=C(O,r), de centro O e raio
r, é a transformação do plano sem o ponto O, em si mesmo que leva um ponto A em A’
como descrito acima.
Observe que se A≠O, (A’)’=A e, portanto, a inversão é uma aplicação bijetora do plano sem a origem nele mesmo.
Uma outra caracterização da inversão circular é dada pela seguinte:
Proposição: A inversão em relação à circunferência γ=C(O,r) é a transformação, do plano sem o centro O, que leva cada ponto A≠O num ponto B da semi-reta OA tal que
OA.OB= r2
.
Prova::
Sejam A e A’ inversos um do outro. Se A=A’ então OA.OA’= r2
.
Se A≠A’, os triângulos ∆OA'P e ∆OPA são semelhantes e, portanto, OA.OA’= r2
.
Por outro lado, se A e B são pontos de uma semi-reta por O, tais que OA.OB=r2
, o ponto A é o inverso de B. De fato:
Se um dos pontos está em γ, então, os dois cincidem. Um dos pontos está no interior de γ se e só se o outro está no exterior. Suponha A no interior.
Traçando PA⊥OB temos que ∆POA ~ ∆BOP pelo caso de semelhança LAL.
Logo m(∠OPB)=90º e B=A’, isto é, B é o inverso de A.
γ
A P
O B
Exercício 3: Mostre que a inversão por uma circunferência γ de centro na origem O e raio r é a transformação
€
f (z) = r2/z do conjunto dos números complexos sem a origem
em si mesmo.
Propriedades: A inversão, em relação a uma circunferência γ de centro O e raio r leva
a) uma reta que passa por O, sem esse ponto, nela mesma.
b) uma reta que não passa por O, em uma circunferência que passa por O.
c) uma circunferência que passa por O, sem esse ponto, em uma reta que não passa por O.
e) qualquer circunferência que não passa por O, em uma circunferência. Prova:
a) Segue da definição de inversão.
b) Dada uma reta s que não passa em O, trace a semi-reta OA perpendicular a s no ponto A e o ponto A´, inverso de A.
s r X' A' O A X s r γ X' A' O A X s r γ A' X' O A X
Para cada X∈s, X≠A, trace seu inverso X'. Tem-se OA.OA'=OX.OX'(=r2
) logo os triângulos ∆OX'A' e ∆OAX são semelhantes
(pelo caso LAL de semelhança) e , portanto, o triângulo ∆OA’X' é retângulo em X’. Da atividade 2, segue que X' está na circunferência de diâmetro OA'.
c) Considere uma circunferência que passa por O, de diâmetro OA, e A’ o inverso de
A em γ. Marque nela um ponto A≠O e trace seu inverso A´. Para cada ponto X
dessa circunferência, trace seu inverso X’.
γ A' X' O A X γ A' X' O A X γ A' X' O A X
Os triângulos ∆OAX e ∆OX´A´ são semelhantes, pelo caso LAL de Semelhança, pois OX.OX’=OA.OA’=r2
. Logo m(∠OA’X’)=90º. d) Sejam c a circunferência perpendicular à
circunferência γ de inversão e P e Q os pontos de intersecção de c e γ.
Os segmentos OP e OQ são tangentes c.
Para cada A∈c, seja A' o outro ponto de intersecção de
c com a semi-reta OA. Como OA.OA’=OP2
=r2
segue que A’ é o inverso de A.
c
γ O A'
P
Q
e) Seja c uma circunferência que não passa pelo centro O da circunferência γ de inversão.
1º caso: O está no exterior de c.
Trace OA tangente a c. c γ B" B' A O B
Para cada ponto B∈c considere B’ o outro ponto de encontro de c com a semi-reta OB. Tem-se OB.OB’=OA2
. (1)
Se B” é o inverso de B’ em relação à circunferência γ, que tem raio r, então,
OB’.OB”=r2
. (2)
De (1) e (2) segue que OB”=(r/OA)2
.OB.
Logo o inverso da circunferência c, em relação a γ, é a sua imagem pela homotetia de centro O e razão (r/OA)2.
Assim, a inversão leva a circunferência c, com O∉c, numa circunferência c´.
Reciprocamente, mostre que todo ponto dessa circunferência c´ é o inverso, relativamente a γ, de algum ponto de c.
c' c γ B"' B" B' B O c' c γ B"' B" B' B O c' c γ B"' B" B' B O
2º caso: O está no interior de c.
Fixe um ponto B∈c e trace B’ o outro ponto de encontro da reta OB com c e considere
k=OB.OB.’
Para cada A∈c seja A’ o outro ponto de encontro de c com a reta OA. Tem-se OA.OA’=OB.OB’=k (ver Atividade 1).
Se A” é o inverso de A’∈c, em relação a γ, então, OA’.OA”=r2
onde r é o raio de γ. Logo OA”=(r2
/k)OA .
Assim, a inversão, em relação a γ, leva c na sua imagem homotética de centro O e razão r2
/k (k=OB.OB’) e, portanto, numa circunferência c´. c' c γ B' B" A" A' O A B c' c γ B' B" A" A' O A B c' c γ B' B" A" A' O A B
Reciprocamente, você pode mostrar que todo ponto dessa circunferência c’ é o inverso, em relação a γ, de algum ponto de c.
§3. Aparatos que produzem movimentos retilíneos
Nesta parte apresentaremos dois sistemas articulados planos, chamados inversores, que foram inventados, no começo do desenvolvimento industrial, para descrever movimentos retilíneos.
Eles também podem ser usados para desenhar curvas mais complicadas a partir de algumas mais fáceis. Por exemplo, parábola com foco no centro de inversão é transformada em cardióide e parábola de vértice no centro de inversão é transformada em cissóide. O inversor de Peaucellier b b a a a a P' P O A B
Esse articulado é usado para inverter curvas, em particular, para transformar movimentos circulares em retilíneos.
É composto de 6 varetas articuladas, como na figura, com
b>a, que formam um papagaio BOAP’ e um losango APBP’. As
duas varetas maiores ficam presas num ponto O de uma placa, mas pivotam juntas.
Os pontos P e P’ ficam sempre em linha reta com O. Por quê? Mostraremos que os pontos P e P’ são inversos um do outro pela circunferência de centro O e raio (b2
-a2
)1/2
.
Observe que fazendo P coincidir com P’ já intuímos que o raio tinha que ser (b2
-a2
)1/2
. Em qualquer posição do mecanismo, trace a circunferência de centro B e raio a e OQ uma de suas tangentes por O; temos OP.OP’=OQ2
=b2 -a2 pois m(∠OQB)=90º . b b a a Q O A B P=P' b b a a a a Q P' P O A B
Segue, da propriedade c), que se P percorrer um arco de circunferência que passa por
O, então, o ponto P’ percorrerá um segmento de reta.
Para isso, acrescentamos uma vareta em P presa, na outra extremidade, em algum ponto C fixado na placa com OC=CP.
P' B A O C P=guia
Temos, assim, um articulado de 7 varetas, com C e O fixados na placa que, ao movimentar P na circunferência de centro C que passa por O, obriga o ponto P´ a descrever um movimento retilíneo.
O inversor de Hart
Um outro mecanismo, baseado na inversão circular, foi desenvolvido por Hart para transformar movimentos circulares em retilíneos,
Ele contém apenas 4 varetas formando um paralelogramo
cruzado com AD=BC≤AB=CD. C
A
B D
Em qualquer posição do sistema articulado tem-se DB//AC. De fato, os 2 triângulos ∆ADC e ∆CBA são congruentes e as alturas relativas aos vértices D e B são paralelas e congruentes.
Fixamos um ponto O na vareta AD e, numa posição do mecanismo, marcamos os pontos P∈CD, P’∈AB e Q∈BC obtidos traçando, por O, uma paralela a AC.
Em qualquer outra posição do mecanismo, os pontos O, P, P’ e Q ficam alinhados sendo P’ o inverso de P pela circunferência de centro O e raio r, sendo r=OP na posição em que P=P´.
Mais especificamente, r é dado por
€ AO.DO AD2 (BA 2 − BC2) = r2 (*) . P P' Q C A B D O
De fato, numa posição inicial temos, por Tales,
DO/OA=DP/PC=BQ/QC.
Como as marcas estão nas varetas, então, em qualquer outra posição do articulado, essas relações se mantêm e, portanto, pela recíproca do teorema de Tales, OP//AC//BD//PQ. Assim, O, P e
Q permanecem alinhados.
Analogamente, O, P’ e Q ficam sempre alinhados. Vejamos agora que P’ é o inverso de P.
E F P P' Q C A B D O Tem-se: € OP.OP'= AO.DO AD2 AC.BD pois, € OP' BD = AO AD e OP AC = DO AD; AC.BD=(AF+FC)(AF-FC)=AF2 -FC2
pois, na figura, BF⊥AC e BE//AD;
AF2 - FC2 =(AB2 -BF2 )-(BC2 -BF2 )=AB2 -BC2 , por Pitágoras, e, portanto, AC.BD=AB2 -BC2 . Logo € OP.OP'=AO.DO AD2 (BA 2 − BC2) = r2 > 0 . (*) Para compor um mecanismo que transforma movimento circular em retilíneo fixamos um ponto O da vareta AD (por exemplo, o ponto médio) numa placa e acrescentamos uma quinta vareta PG (P ponto médio de AB) que se articula em P e é fixada, mas pivota, num ponto G da placa com OG=PG=r com r dado por (*).
Ao mover a vareta PG em torno de G o ponto P’ descreve um movimento retilíneo, já que P’ é o inverso de P em relação à circunferência de centro O e raio r .
P' C B D A O G P Referências Bibliográficas:
1. HADEMACHER, H. The enjoyments of mathematics, N. York: Dover, 1990 2. CUNDY, H.M.; ROLLET, A.P. Mathematical models, Oxford, 1961 3. WELLS, D. Dicionário de geometria curiosa, Lisboa: Gradiva, 1998.
