Arthur Câmara Mesquita
Campos contínuos e mecânica estatística
Niterói - RJ
2018
Arthur Câmara Mesquita
Campos contínuos e mecânica estatística
Monografia apresentada no programa de gra-duação em Física da UFF como requisito para obtenção do grau de Graduado em bacharel em Física.
Universidade Federal Fluminense - UFF
Orientador: Daniel Adrián Stariolo
Niterói - RJ
2018
Agradecimentos
Agradeço, em primeiro lugar, a meus pais, minha irmã e minha tia, por tudo que fizeram na minha vida, pelo apoio em minha faculdade e seu amor incondicional. Agradeço aos meus calorosos amigos cuja amizade nunca acabará. Agradeço a minha querida namorada pelo apoio incondicional que me ajudou muito neste final de curso. Por fim, agradeço muito ao meu orientador, por sua abençoada paciência e valorosa ajuda desde que o conheci.
Dedico esta dissertação a todos os alunos de física. Que apesar de todas as dificuldades e desavenças encontradas no caminho, nunca desistem do que querem.
Resumo
Neste trabalho será apresentado um estudo para a elaboração de uma teoria de campos através do modelo de Ising devido a sua simplicidade matemática. Esta análise nos permitirá encontrar alguns resultados importantes da mecânica estatística em regiões próximas à criticalidade. Vamos começar o trabalho introduzindo alguns conceitos que veremos ao longo do texto. Em seguida faremos um estudo da teoria de campo médio para um caso espacialmente homogêneo, nos permitindo encontrar alguns resultados para os expoentes críticos e grandezas termodinâmicas dadas em função do parâmetro de ordem. Em seguida nosso estudo irá além do campo médio. Faremos uma análise de um sistema heterogêneo e verificaremos a mudança provocada no parâmetro de ordem, de modo que essas alterações irão implicar uma adição na energia livre de um termo que controle flutuações. Depois, vamos realizar uma transformação na Hamilto-niana de Ising que nos permitirá escrevê-la de uma forma semelhante à HamiltoHamilto-niana de Landau-Ginzburg. Por fim, faremos uma análise das etapas para a construção de uma teoria de campos.
Palavras-chaves: transição de fase. parâmetro de ordem. expoentes críticos. modelo de Ising.
Abstract
In this work, a study will be presented for the elaboration of a field theory through the Ising model due to its mathematical simplicity. This analysis will allow us to find some important results of statistical mechanics in regions close to criticality. Let’s begin the work by introducing some concepts that we will see throughout the text. Next we will make a study of the mean field theory for a spatially homogeneous case, allowing us to find some results for the critical exponents and thermodynamic quantities given as a function of the order parameter. Then our study will go beyond the mean field. We will make an analysis of a heterogeneous system and verify the change caused in the order parameter, so that these changes will imply an addition in the free energy of a term that controls fluctuations. Then we will perform a transformation in the Ising Hamiltonian that will allow us to write it in a similar way to the Landau-Ginzburg Hamiltonian. Finally, we will make an analysis of the stages for the construction of a field theory.
Sumário
1 Introdução. . . . 15
1.1 Transições de fase . . . 15
1.2 Parâmetro de ordem . . . 16
1.3 Expoentes críticos e divergências . . . 17
1.4 O modelo de Ising. . . 18
2 Aproximação de campo médio. . . . 21
2.1 Teoria de Bragg-Williams . . . 21
2.2 Teoria de Landau . . . 25
3 Além da aproximação de campo médio . . . . 31
3.1 Flutuações espaciais . . . 31
3.2 O modelo de Landau-Ginzburg . . . 33
4 Conclusão . . . . 39
Apêndices
41
APÊNDICE A Integral Gaussiana . . . . 4315
1 Introdução
Este capítulo será dedicado a definir alguns dos assuntos que irão nos permitir ter maior compreensão sobre o que será abordado.
1.1
Transições de fase
Uma transição de fase é caracterizada por uma mudança abrupta das propriedades macroscópicas de um sistema através de uma mudança bem definida dos parâmetros externos, tais como temperatura, pressão, volume, campos magnético e elétrico em algum ponto, linha ou superfície do espaço de fase.
Uma transição de fase é comumente utilizada para descrever transições entre os es-tados sólido, líquido e gasoso. Mas também existem compostos que podem assumir fases magnéticas como paramagnetismo, ferromagnetismo e antiferromagnetismo. Cada uma des-sas fases apresenta uma característica especifica que a difere das outras. Podemos classificar as transições como descontínuas ou contínuas. A primeira é dada conforme uma desconti-nuidade nas primeiras derivadas da energia livre, e a segunda indica uma contidesconti-nuidade nas primeiras derivadas da energia livre. De modo que algumas grandezas termodinâmicas podem ser obtidas como:
𝑆 = − 𝜕𝐹 (𝑇, 𝑉, 𝑁 ) 𝜕𝑇 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒𝑉,𝑁 = − 𝜕𝐺(𝑇, 𝑃, 𝑁 ) 𝜕𝑇 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒𝑃,𝑁 , 𝑀 = − 𝜕𝐹 (𝑇, 𝑉, 𝑁 ) 𝜕𝐵 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒𝑇 ,𝑁 , 𝑉 = 𝜕𝐺(𝑇, 𝑃, 𝑁 ) 𝜕𝑃 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒𝑇 ,𝑁 ,
onde 𝐹 (𝑇, 𝑉, 𝑁 ) e 𝐺(𝑇, 𝑃, 𝑁 ) são, respectivamente, as energias livre de Helmholtz e de Gibbs, 𝑀 , 𝑉 e 𝑆 são a magnetização que varia com o campo magnético 𝐵, o volume de um sistema que varia com a pressão 𝑃 e a entropia, respectivamente. Para uma transição descontínua, encontramos um salto descontínuo na entropia, indicando a presença de calor latente nesta transição, e de uma variação descontínua na magnetização e no volume. Já uma transição contínua não apresenta calor latente e nenhuma descontinuidade na magnetização e no volume.
16 Capítulo 1. Introdução
1.2
Parâmetro de ordem
Um parâmetro de ordem é uma grandeza que mede o nível de ordenamento de um sistema que apresente uma transição de fase. Sua média térmica se nula num lado da transição (onde a temperatura do sistema é maior que a temperatura no ponto crítico) e é diferente de zero do outro lado [1]. Uma média térmica é um valor médio do parâmetro de ordem em uma média durante um longo período de equilíbrio a uma temperatura fixa. Em particular, os expoentes críticos descrevem a variação, por exemplo, da temperatura, pressão e campo magnético da média térmica do parâmetro de ordem.
Não há um esquema geral capaz de definir um parâmetro de ordem, de modo que é necessário considerar cada novo sistema físico. Tais sistemas são, por exemplo, transição liquido-gás, fluidos binários, transição em sistemas que apresentam ferromagnetismo, transi-ção condutora/supercondutora, dentre outros. O sistema que iremos analisar ao longo desta dissertação será baseado no modelo ferromagnético de Ising. Cujo parâmetro de ordem é a magnetização.
Podemos observar o comportamento de um parâmetro de ordem como função da temperatura em sistemas que sofrem transição descontínua ou contínua na Figura 1.1 [2]:
Figura 1.1 Parâmetro de ordem em função da temperatura para (a) transição contínua e (b) tran-sição contínua.
Para 𝑇 < 𝑇𝑐 (onde 𝑇𝑐 é a temperatura de transição ou temperatura de Curie), se o
parâmetro de ordem tende continuamente à zero a medida que nos aproximamos de 𝑇𝑐, então
ocorre uma transição de fase contínua. Se o parâmetro de ordem dá um salto descontínuo de um valor não nulo para zero em regiões distantes de 𝑇𝑐, a transição é descontínua. Nesta
dissertação estaremos interessados apenas em transições contínuas, pois poderemos analisar o modelo com simetria Ising para temperaturas próximas a 𝑇𝑐, para que possamos
conside-1.3. Expoentes críticos e divergências 17
rar parâmetros de ordem suficientemente pequenos para realizarmos expansões em séries de potência.
1.3
Expoentes críticos e divergências
Uma transição contínua pode ser caracterizada por conjuntos conhecidos como 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠: tais expoentes descrevem o comportamento singular de grandezas físicas de interesse em uma transição contínua [3]. Por exemplo, podemos analisar o comportamento do calor específico em regiões próximas à transição. Quando variamos a temperatura do sistema, ve-mos que para temperaturas próximas a 𝑇𝑐 o calor específico 𝑐 assume um comportamento na
forma de lei de potência,
𝑐 ∼ |𝑇𝑐− 𝑇 |−𝛼. (1.1)
onde 𝛼 é o expoente crítico que descreve a divergência no calor específico próxima a 𝑇𝑐. Para
𝛼 > 0 o calor específico diverge em 𝑇𝑐. Podemos também analisar sistemas em que o calor
específico tem um quando 𝑇 passa por 𝑇𝑐, neste caso 𝛼 < 0. Uma definição termodinâmica
para 𝑐 pode ser representada como:
𝑐 = −𝑇𝜕
2𝐹
𝜕𝑇2.
A lei de potências também é capaz de definir outros expoentes críticos tais como: ∙ O expoente 𝛾 que descreve o comportamento da susceptibilidade magnética 𝜒 em temperaturas próximas a 𝑇𝑐 como
𝜒 ∼ |𝑇 − 𝑇𝑐|−𝛾, (1.2)
onde 𝜒 = −𝜕2𝐹/𝜕𝐵2.
∙ O expoente 𝛽 descreve como a magnetização espontânea varia com a temperatura ao aproximar-se de 𝑇𝑐 como
𝑚 ∼ |𝑇 − 𝑇𝑐|𝛽, (1.3)
onde 𝑚 = 𝑀/𝑁 que definimos anteriormente.
∙ O expoente 𝛿 descreve como a magnetização se comporta quando um campo mag-nético 𝐵 é aplicado em 𝑇 = 𝑇𝑐
𝑚 ∼ 𝐵1/𝛿. (1.4)
Existem alguns sistemas que não obedecem a lei de potência. Por exemplo, no modelo de Ising bidimensional [4], o calor específico possui uma divergência logarítmica e a teoria
18 Capítulo 1. Introdução
de campo médio, que será analisada mais adiante, prevê uma descontinuidade finita no calor específico na região de transição.
1.4
O modelo de Ising
As propriedades magnéticas dos materiais foram intensivamente estudas por pesqui-sadores mesmo antes de uma teoria adequada surgir. Nos dias de hoje, inúmeras aplicações destas propriedades magnéticas são encontradas em nosso dia a dia. Entre estas propriedades estão, por exemplo, o Ferromagnetismo e o Anti-ferromagnetismo.
O Ferromagnetismo é caracterizado por uma magnetização espontânea do material a temperaturas abaixo da temperatura crítica. Isto sugere que os spins dos átomos que cons-tituem o material tendem a se alinharem entre si, dando origem a um momento magnético espontâneo. Este alinhamento tende a desaparecer a medida que o sistema é aquecido provo-cando um estado de desordem nos spins dos átomos. Este estado de desordem é chamado de Paramagnetismo. Ou seja, o sistema sofre uma transição de fases do estado ordenado para o estado desordenado. Já no Anti-ferromagnetismo há uma tendência dos spins dos átomos se alinharem de forma anti-paralela entre si, onde não há magnetização espontânea neste caso. Em analogia ao Ferromagnetismo, este alinhamento tende a desaparecer a medida que aumentamos a temperatura do sistema.
Podemos estudar estas propriedades utilizando um modelo bastante simples conhe-cido como modelo de Ising, que nos permite identificar estas transições de fase. Este modelo consiste em variáveis discretas de spins que podem assumir um de dois estados (𝑠=±1). Os spins estão arranjados em uma rede usualmente cúbica permitindo que interajam entre si [1]. A Hamiltoniana do sistema é 𝐻 = 1 2 𝑛 ∑︁ 𝑖𝑗=1 𝑠𝑖𝑠𝑗𝐽𝑖𝑗 − 𝐵 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑠𝑖, (1.5)
onde 𝐵 é o campo externo aplicado, os índices 𝑖 e 𝑗 são os sítios da rede e 𝐽𝑖𝑗 pode ser
expressa como uma constante de acoplamento entre os spins e a definimos como
𝐽𝑖𝑗 =
⎧ ⎨
⎩
𝐽, i e j são sítios vizinhos,
0, outros casos. (1.6)
De modo que podemos escrever a função de partição canônica de (1.5) como
𝑍 = ∑︁ {𝑠𝑖} exp ⎡ ⎣𝛽 ⎛ ⎝− 1 2 𝑛 ∑︁ 𝑖𝑗=1 𝑠𝑖𝑠𝑗𝐽𝑖𝑗 + 𝐵 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑠𝑖 ⎞ ⎠ ⎤ ⎦, (1.7)
1.4. O modelo de Ising 19
onde {s𝑖} indica que a soma deve ser realizada sobre todas as contribuições de ±1 para os
sítios da rede. A imagem física é uma coleção de ímãs que são obrigados a ser paralelos ou antiparalelos a um campo magnético uniforme 𝐵[1].
Se na equação (1.6) fizermos 𝐽 < 0, os spins estão alinhados (↑↑ ou ↓↓), indicando que o sistema é ferromagnético. Se 𝐽 < 0 os spins estão desalinhados (↑↓), indicando um sistema anti-ferromagnético. Se 𝐽 =0 os spins não interagem entre si.
21
2 Aproximação de campo médio
Podemos utilizar uma aproximação de campo médio para somar uma função de partição de um sistema com base no tratamento do parâmetro de ordem e então obter as suas propriedades termodinâmicas. Essencialmente, desprezamos as flutuações ou correlações e consideramos apenas o valor médio. Como resultado temos um potencial médio atuando em uma partícula.
Nas próximas seções deste capítulo vamos estudar a teoria de campo médio de Bragg-Williams para o modelo ferromagnético de Ising. Esta teoria serve como base para estudarmos a teoria de Landau. Veremos que tanto a teoria de Landau quanto a de Bragg-Williams nos fornece a mesma energia livre, mas cada uma, separadamente, fornecem resultados diferentes e importantes sobre o sistema.
2.1
Teoria de Bragg-Williams
Bragg e Williams consideraram à Hamiltoniana do modelo de Ising (1.5) com a forma:
𝐻 = −𝐽∑︁
𝑖𝑗
𝑠𝑖𝑠𝑗, (2.1)
Por definição, a energia livre de Helmholtz é a diferença entre a energia interna e a contribui-ção entrópica, 𝑇 𝑆. Podemos calcular essas duas contribuições independentemente em funcontribui-ção do parâmetro de ordem. No Modelo de Ising, como mencionado anteriormente, o parâmetro de ordem é a magnetização 𝑚 = < 𝑠 >, onde todas as funções termodinâmicas, neste caso, serão dadas em função deste parâmetro. Numa teoria de Bragg-Willians, examinaremos o caso em que a magnetização é 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑓 𝑜𝑟𝑚𝑒 e nos aproximamos de 𝑇𝑐, mas não
muito, para que possamos desprezar flutuações. Podemos calcular a entropia exatamente através da magnetização total dada por:
𝑚 = 𝑁+− 𝑁−
𝑁 , (2.2)
onde 𝑁+ e 𝑁− são o números de spins para cima e para baixo, respectivamente, e 𝑁 =
𝑁++𝑁−. Para um dado valor de 𝑚 existe um determinado número de configurações de 𝑁+
e 𝑁−. A entropia é dada como o logaritmo de tais configurações [2]: 𝑆 = 𝐾𝐵ln (︃ 𝑁 𝑁+ )︃ = 𝐾𝐵ln [︂ 𝑁 ! 𝑁+!(𝑁 − 𝑁+)! ]︂ = 𝐾𝐵ln {︂ 𝑁 ! [𝑁 (1 + 𝑚)/2]![𝑁 (1 − 𝑚)/2]! }︂ . (2.3)
22 Capítulo 2. Aproximação de campo médio
A expressão entre parênteses no logaritmo de (2.3) representa o número de combinações das configurações 𝑁+ escolhidas a partir de 𝑁 . Vamos fazer uso da aproximação de Stirling para
N grande, 𝑁 ! ≈√2𝜋𝑁 (𝑁/𝑒)𝑁, para escrever
𝑠(𝑚) ≡ 𝑆 𝐾𝐵𝑁 = ln(2) −1 2(1 + 𝑚) ln(1 + 𝑚) − 1 2(1 − 𝑚) ln(1 − 𝑚). (2.4)
A energia interna é dada por
𝐸 =< 𝐻 >= 𝑇 𝑟𝑚[𝑒
−𝛽 𝐻𝐻]
𝑍𝑚
, (2.5)
onde 𝑇 𝑟𝑚 é um traço restrito a configurações com magnetização 𝑚, e 𝑍𝑚=𝑇 𝑟𝑚[𝑒−𝛽 𝐻] e
𝛽 = (𝐾𝐵𝑇 )−1 .
Para este caso é necessário fazer uma aproximação. A aproximação mais simplificada é a de campo médio. Para o caso da aproximação de Bragg-Willims se substitui o valor local de spin 𝑠𝑖 por seu valor médio 𝑚 independente da posição:
𝐸 =< −𝐽∑︁ 𝑖𝑗 𝑠𝑖𝑠𝑗 >= −𝐽 ∑︁ <𝑖𝑗> 𝑚2 = −1 2𝐽 𝑁 𝑧𝑚 2, (2.6)
onde 𝑧 é o número de primeiros vizinhos (na rede quadrada em 𝑑 dimensões 𝑧 = 2𝑑). Portanto, a energia livre Helmholtz na aproximação de Bragg-Williams assume a forma:
𝑓 (𝑇, 𝑚) = 𝐸 − 𝑇 𝑆 𝑁 = − 1 2𝐽 𝑧𝑚 2 +1 2𝐾𝐵𝑇 [(1+𝑚) ln(1+𝑚)+(1−𝑚) ln(1−𝑚)−𝑇 ln(2)]. (2.7)
2.1. Teoria de Bragg-Williams 23
Figura 2.1: (a) Energia livre de Helmholtz na aproximação de Bragg-Williams em função do parâ-metro de ordem para vários valores de 𝑇 /𝑇 𝑐. Para 𝑇 > 𝑇𝑐 existe um único mínimo em 𝑚=0. Esta é a fase paramagnética. Para 𝑇 = 𝑇𝑐 o mínimo é muito largo. Para 𝑇 < 𝑇𝑐, existem dois mínimos
com a mesma energia livre para ±m.(b) Energia livre de Bragg-Williams 𝑓 − ℎ𝑚 na presença de um campo magnético externo ℎ = 0,2𝑇 𝑐 > 0. Note que o parâmetro de ordem situa-se entre 0 ≤m≤ 1, por razões físicas. Para T = 0, o mínimo absoluto da energia livre ocorre em m = ±1 quando ℎ = 0. A derivada 𝜕𝑓 /𝜕𝑚 é, entretanto, não nula nesse mínimo. Para 𝑇 > 0, 𝜕𝑓 /𝜕𝑚 é zero no mínimo absoluto que acontece para |𝑚| < 1.
Nas regiões próximas a 𝑇𝑐 o valor de 𝑚 é muito pequeno, de modo que podemos
expandir as funções termodinâmicas em potências de 𝑚:
𝑠(𝑚) = 𝐾𝐵 (︂ 𝑙𝑛2 −1 2𝑚 2− 1 12𝑚 4+ ...)︂, (2.8) e 𝑓 (𝑇, 𝑚) 𝐾𝐵 = 1 2(𝑇 − 𝑇𝑐)𝑚 2+ 𝑇 𝑚4 12 − 𝑇 𝑙𝑛(2) + ..., (2.9) onde 𝑇𝑐= 𝐽 𝑧 𝐾𝐵 (2.10) é a temperatura crítica no modelo de Ising na apriximação de campo médio.
24 Capítulo 2. Aproximação de campo médio
Agora, considerando a presença de um campo magnético externo, ℎ, a equação de estado é dada por:
𝜕𝑓 𝜕𝑚 = −𝑧𝐽 𝑚 + 1 2𝐾𝐵𝑇 ln (︂1 + 𝑚 1 − 𝑚 )︂ (2.11) = −𝑧𝐽 𝑚 + 𝐾𝐵𝑇 tanh− 1(𝑚) = ℎ (2.12)
de modo que 𝑚 tem a forma:
𝑚 = tanh [︃ (ℎ + 𝑇𝑐𝑚) 𝐾𝐵𝑇 ]︃ . (2.13)
A grandeza ℎ + 𝑇𝑐𝑚 é o campo médio local ou campo molecular médio. Ele se origina
no campo externo e no campo de troca produzido pelos vizinhos com spin médio m. O comportamento da equação de estado pode ser visto na Figura 2.2.
Figura 2.2: (a)Solução gráfica da equação de estado do campo médio de Ising para h=0. Para
𝑇 > 𝑇𝑐, a função linear 𝑚 intersecta a função 𝑡𝑎𝑛ℎ somente na origem. Para 𝑇 < 𝑇𝑐, a
declivi-dade da 𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑇𝑐𝑚/𝑇 ) na origem é maior que 1, e existem três soluções para a equações de estado
correspondendo a dois mínimos e um máximo (na origem) da energia livre. (b) Solução gráfica da equação de estado para ℎ > 0.
Para valores muito baixos de temperatura e campo nulo podemos aproximar a equa-ção de estado na forma:
2.2. Teoria de Landau 25
𝑚 = 𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑇𝑐𝑚/𝑇 ) ≈ 1 − 2𝑒−2𝑧 𝐽 /𝑇 (2.14)
com m→ 1 exponencialmente com 𝑇 .
Para T → 𝑇𝑐, podemos aproximar o resultado da equação (2.13) na forma:
𝑚 ≈ 𝑇𝑐 𝑇 𝑚 − 1 3(𝑇𝑐/𝑇 ) 3𝑚3 ≈ 𝑇𝑐 𝑇 𝑚 − 1 3𝑚 3 (2.15) ou 𝑚 = ± [︃ 3(𝑇𝑐− 𝑇 ) 𝑇 ]︃1/2 . (2.16)
A magnetização tende continuamente à zero a medida que nos aproximamos de 𝑇𝑐. A
transi-ção de fase ferromagnética-paramagnética é uma transitransi-ção de fase contínua na aproximatransi-ção de campo médio. O expoente 1/2 é o valor do expoente crítico 𝛽 para o campo médio. Tal comportamento da magnetização do modelo de Ising, decaimento contínuo para zero com uma lei de potências e o correspondente expoente crítico, é uma manifestação genérica de transições contínuas. Todos os sistemas/modelos cujo parâmetro de ordem apresenta o mesmo comportamento crítico, no sentido de o parâmetro de ordem ir a zero com uma lei de potência caracterizada por um mesmo expoente, se diz estarem na mesma classe de universalidade.
A solução de Bragg-Willians discutida até agora considera o parâmetro de ordem espacialmente uniforme, m=< 𝑠𝑖 >. Esta condição pode ser relaxada para permitir um
parâmetro espacialmente variável 𝑚𝑖=< 𝑠𝑖 >. Então podemos assumir que a entropia é uma
soma de entropias locais que dependem de 𝑚𝑖. Neste caso, a energia livre é escrita na forma:
𝐹 = −1 2 ∑︁ <𝑖,𝑗> 𝐽𝑖𝑗𝑚𝑖𝑚𝑗 − 𝑇 ∑︁ 𝑖 𝑠(𝑚𝑖). (2.17)
2.2
Teoria de Landau
A teoria de Landau é muito útil devido à sua simplicidade algébrica. Ela é muito utilizada nos casos em que o parâmetro de ordem tende à zero suavemente a medida que a temperatura do sistema se aproxima de 𝑇𝑐, ou seja, ela é mais utilizada em transições
contínuas. Entretanto, também pode ser utilizada em transições descontínuas, porém, como mencionado anteriormente, vamos nos limitar ao caso de transições contínuas.
Landau propôs que o potencial 𝐹 poderia ser encontrado, de forma fenomenológica, através dos seguintes princípios [5]:
∙ 𝐹 deve ser 𝑖𝑛𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑜𝑏 𝑜 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝐺 𝑑𝑎 𝐻𝑎𝑚𝑖𝑙𝑡𝑜𝑛𝑖𝑎𝑛𝑎. Ou seja, F deve ser uma função das combinações do parâmetro de ordem que não se alteram (escalares) sob
26 Capítulo 2. Aproximação de campo médio
qualquer operação de simetria de G.
∙ Perto de uma transição de fase o parâmetro de ordem é pequeno. Logo, da mesma forma que vimos na teoria de Bragg-Willians, podemos realizar uma expansão em série de potências do parâmetro de ordem: 𝑓 (𝑇, 𝜑) = 𝐹 𝑉 = ∞ ∑︁ 𝑛=0 𝑎𝑛([𝐾], 𝑇 )𝜑𝑛. (2.18)
onde 𝜑 é o parâmetro de ordem e [𝐾] representa constantes de acoplamento. Vamos assumir por enquanto que o parâmetro de ordem é espacialmente homogêneo. A suposição que 𝑓 possa ser desenvolvida em uma série de potências implica que ela é uma função analítica de 𝜑 perto da transição.
Podemos truncar (2.18) em um número pequeno de termos. O número de termos necessários para descrever corretamente a transição de fase dependerá essencialmente da dimensão espacial 𝑑 e da dimensão do espaço do parâmetro de ordem. No caso do modelo de Ising, o truncamento até ordem 𝜑4 é suficiente. Notemos que na expansão devem estar
presentes todas as combinações analíticas do parâmetro de ordem que deixam 𝑓 invariante frente ao grupo de simetria 𝐺.
A equação de estado do parâmetro de ordem é: 𝜕𝑓
𝜕𝜑 = ℎ = 𝑎1+ 2𝑎2𝜑 + 3𝑎3𝜑
2+ 4𝑎
4𝜑3. (2.19)
Para 𝑇 > 𝑇𝑐, 𝜑 deve ser nulo quando o campo externo for nulo, dessa forma 𝑎1=0.
Para o modelo de Ising o grupo de simetria 𝐺 é o grupo das reflexões, portanto 𝑓 (𝜑) = 𝑓 (−𝜑). Desse modo 𝑓 poderá apenas ter potências pares de 𝜑:
𝑓 = 𝑎0+ 𝑎2𝜑2+ 𝑎4𝜑4. (2.20)
𝑎4 > 0 para o caso do estado estável termodinâmico finito em 𝑇 < 𝑇𝑐. Caso contrário
poderíamos ter 𝜑 → ∞ como mínimo absoluto de 𝑓 . O coeficiente 𝑎0 é o valor de 𝑓 para
𝑇 > 𝑇𝑐 quando 𝜑 = 0. O coeficiente 𝑎0 será deixado como um termo que contribui para 𝑓 de
forma independente do parâmetro de ordem. Então, como queremos descrever a transição de fase associada a 𝜑 faremos com que 𝑎0 = 0.
Como os coeficientes podem depender da temperatura, perto da transição podemos expandi-los na forma: 𝑎2 = 𝑎02+ 𝑇 − 𝑇𝑐 𝑇𝑐 𝑎12+ 𝑂((𝑇 − 𝑇𝑐)2) (2.21) 𝑎4 = 𝑎04+ 𝑇 − 𝑇𝑐 𝑇𝑐 𝑎14+ 𝑂((𝑇 − 𝑇𝑐)2) (2.22)
2.2. Teoria de Landau 27
Podemos escolher 𝑎4 como uma constante positiva. Sua dependência em T não será
domi-nante para determinar o comportamento termodinâmico na transição. Da equação de estado (2.20) obtemos para 𝜑: 𝜑 = ⎧ ⎨ ⎩ 0 , 𝑇 > 𝑇𝑐 ±√︁−𝑎2(𝑇 )/2𝑎4 , 𝑇 < 𝑇𝑐. (2.23)
Para que 𝜑 tenha uma solução real e finita em 𝑇 < 𝑇𝑐 devemos ter 𝑎02 = 0.
Se for acrescentado um termo proveniente de um campo externo ℎ, conjugado de 𝜑, obtemos a forma final da energia levre de Landau para o modelo de Ising:
𝑓 = 1 2𝑟𝜑
2 + 𝑢𝜑4− ℎ𝜑 (2.24)
onde 𝑟 = 𝑎(𝑇 −𝑇𝑐) e as constantes foram reescritas para facilitar expressões futuras. Aqui
podemos verificar que a energia livre de Landau é a mesma que a de Bragg-Willians. Isto nos mostra que diferentes teorias de campo médio podem nos fornecer os mesmos resultados, porém, cada uma é adaptada para diferentes tipos de sistemas. O comportamento do potencial 𝑓 está descrito na Figura 2.3 para o caso de h=0.
Figura 2.3: Funcional de Landau para um modelo com simetria de Ising.
A teoria de Landau é puramente 𝑓 𝑒𝑛𝑜𝑚𝑒𝑛𝑜𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎, de modo a não basear-se em nenhum modelo microscópico, foi obtida por argumentos puramente de simetria e condições de validade geral na presença de uma transição. Por exemplo, a diferença da aproximação de campo médio de Bragg-Williams para o modelo de Ising e a teoria de campo médio de Landau é que a teoria de Landau é capaz de fazer previsões para grandezas 𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑖𝑠, como os expoentes críticos, mas não prediz um valor para a temperatura crítica. De (2.23) podemos
28 Capítulo 2. Aproximação de campo médio
extrair o comportamento do parâmetro de ordem próximo da transição:
𝜑 ∼ (𝑇 − 𝑇𝑐)𝛽 (2.25)
com o expoente crítico 𝛽=1/2. Vemos que 𝜑 → 0 à medida que 𝑇 → 𝑇𝑐. Este expoente
é o mesmo que aparece na teoria de Bragg-Williams. Na verdade todas as aproximações de campo médio para um problema com dada simetria dão como resultado o mesmo expoente. A aproximação de Bragg-Williams e a teoria de Landau consideram um parâmetro de ordem homogêneo, desconsiderando as flutuações. Quando as flutuações são importantes, 𝛽 é geral-mente menor que o valor de campo médio, da ordem de 1/3 em sistemas tridimensionais. Podemos obter a equação de estado pela diferenciação de (2.24) com respeito a 𝜑:
ℎ = 𝑟𝜑 + 4𝑢𝜑3. (2.26)
A susceptibilidade pode ser obtida derivando (2.26) com respeito a ℎ: [𝑟 + 12𝑢𝜑2]𝜕𝜑 𝜕ℎ = 1 (2.27) ou 𝜒 = 𝜕𝜑 𝜕ℎ = ⎧ ⎨ ⎩ 1 𝑟 , 𝑇 > 𝑇𝑐 1 2|𝑟| , 𝑇 < 𝑇𝑐. (2.28) Isto implica que, através da dependência de 𝑟:
𝜒 ∼ |𝑇 − 𝑇𝑐|−𝛾. (2.29)
𝛾=1 é o expoente crítico da susceptibilidade e é geralmente da ordem de 4/3 em sistemas tridimencionais onde as flutuações próximas da vizinhança do ponto crítico são importantes. Finalmente, a dependência de 𝜑 com ℎ para 𝑇 = 𝑇𝑐 segue de (2.26):
𝜑 = (ℎ/4𝑢)1/𝛿 (2.30)
onde 𝛿=3 é outro expoente crítico. Está claro, através da figura 2.3 que a energia livre 𝑓 é zero para 𝑇 > 𝑇𝑐 e negativa para 𝑇 < 𝑇𝑐:
𝑓 = ⎧ ⎨ ⎩ 0 , 𝑇 > 𝑇𝑐 −𝑟2/(16𝑢) , 𝑇 < 𝑇 𝑐. (2.31) Então, pode-se verificar que o calor específico é 0 para 𝑇 > 𝑇𝑐 e positivo para 𝑇 < 𝑇𝑐:
𝑐𝑣 = −𝑇 𝜕2𝑓 𝜕𝑇2 = ⎧ ⎨ ⎩ 0 , 𝑇 > 𝑇𝑐 𝑇 𝑎2/(8𝑢) , 𝑇 < 𝑇 𝑐. (2.32) O calor específico apresenta uma descontinuidade finita na temperatura crítica. Ele nos fornece a contribuição na vizinhança da transição de fase. O calor específico total inclui a
2.2. Teoria de Landau 29
parte analítica na temperatura que surge de outros graus de liberdade. O comportamento com a temperatura de diversas grandezas termodinâmicas na aproximação de campo médio pode ser vista na figura 2.5. É possível notar que 𝑐𝑣 corresponde à contribuição do modelo
de Landau somada a uma parte analítica proveniente de outros graus de liberdade.
Figura 2.5: Comportamento de grandezas termodinâmicas na teoria de Landau para um sistema com simetria de Ising.
31
3 Além da aproximação de campo médio
Neste capítulo vamos fazer uma análise das transições de fase contínuas através do modelo de Ising, quando a teoria de campo médio não se torna mais uma boa aproximação e devemos considerar o efeito das flutuações.
3.1
Flutuações espaciais
O parâmetro de ordem 𝜑 é constante em sistemas homogêneos. Porém, funções locais 𝜑(x) podem ser naturais para o caso da presença de campos externos heterogêneos ℎ(x) ou em sistemas com modulações espaciais no campo 𝜑 [5].
De um ponto de vista microscópico, o parâmetro de ordem 𝜑 é uma média estatística 𝜑 =< 𝜑 >, que em uma determinada região do espaço envolve uma soma sobre um conjunto de graus de liberdade microscópicos. Desse modo podemos analisar o significado físico por trás da função de posição 𝜑(x) num contexto termodinâmico. Tal significado a 𝜑(x) pode ser dado considerando uma "partição"do sistema em blocos de tamanho 𝑎 << Λ−1 ≤ 𝜁(𝑇 ), onde 𝑎 é uma constante de rede (distância de equilíbrio entre um par de partículas) e 𝜁(𝑇 ) é um comprimento que mede o alcance das correlações do sistema. Logo, numa escala Λ−1 podemos considerar que o parâmetro de ordem é constante. Assim, definimos o 𝑝𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝜑Λ(x) como o valor do parâmetro dentro de um bloco com origem em x. Tal
processo se denomina 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑔𝑟𝑜𝑠𝑠𝑎 (coarse graining). Então, a energia livre de Landau fica bem definida na escala dos blocos Λ. Agora que a energia depende de Λ temos que somar as contribuições de todos os grãos que compõem o sistema. Porém, a energia livre não pode ser uma soma de termos do tipo 𝐹 = ∑︀
x 𝑓 (𝜑Λ(x)). Como resultado da minimização desta
quantidade serão produzidos valores de equilíbrio em cada bloco de forma independente. Mas, de um ponto de vista energético, não será bom haver grandes diferenças nos valores de equilíbrio de 𝜑Λ(x) nos diferentes blocos. Uma forma de contornar tal problema é incluir
um termo que penalize grandes variações do parâmetro de ordem local (também chamado de parâmetro de ordem de granulação grossa). Uma forma analítica mais simplificada que este termo pode tomar é:
∑︁ x ∑︁ 𝛿 𝑐 2 (︃ 𝜑Λ(x) − 𝜑Λ(x + 𝛿) Λ−2 )︃2 (3.1) onde 𝛿 é um vetor de magnitude Λ−1 apontado na direção do bloco vizinho próximo do ponto x, e o valor do custo em energia é independente do sinal da diferença dos parâmetros
32 Capítulo 3. Além da aproximação de campo médio
de ordem em blocos vizinhos e 𝑐 ≡ 𝑐(𝑇 ).
Se considerarmos que 𝜑Λ(x) varia pouco na escala 𝑎, e tomando o limite contínuo,
podemos escrever a energia livre de Landau na forma: 𝐹 = ∫︁ 𝑑𝑑𝑥𝑓 (𝑇, 𝜑Λ(x)) + ∫︁ 𝑑𝑑𝑥1 2𝑐[▽𝜑Λ(x)] 2 (3.2)
onde 𝑓 (𝑇, 𝜑Λ(x)) é uma densidade local de energia livre e 𝜑Λ(x) =< 𝜑Λ(x) >. Agora, a
energia livre de Landau 𝐹 é um funcional de 𝜑Λ(x), onde o parâmetro de ordem possui
de-pendência em todos os pontos x. Um corte (cutoff) para distâncias menores que Λ−1 está implícito em todas as integrações.
É necessário que fique claro que a energia livre do modelo de Landau não é a energia livre de Helmholtz 𝐹 (𝑇, 𝜑) do sistema. As diferenças mais notáveis são:
∙ 𝐹 (𝑇, 𝜑) é uma função convexa, enquanto que 𝐹 [𝑇, 𝜑(x)] não é.
∙ 𝐹 (𝑇, 𝜑) é uma função termodinâmica, e neste caso a dependência em uma função que varia espacialmente como 𝜑Λ(x) não faz sentido. Em 𝐹 (𝑇, 𝜑) toda a informação espacial já foi
integrada ao calcular o traço na função de partição.
Tais contradições são resolvidas considerando-se que o funcional de Landau (energia livre de Landau) é uma 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑔𝑟𝑜𝑠𝑠𝑜 ou 𝐻𝑎𝑚𝑖𝑙𝑡𝑜𝑛𝑖𝑎𝑛𝑎 𝐸𝑓 𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎, de modo que a função de partição pode ser obtida por:
𝑍 = ∫︁
𝐷𝜑Λexp{−𝛽𝐹 [𝜑Λ(x)]} (3.3)
onde a notação∫︀
𝐷𝜑Λ indica uma 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑓 𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙, também conhecida como 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒
𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜. Em termos físicos, a integral funcional equivale a somar as contribuições de todas as configurações dos campos 𝜑(x). A dependência com Λ indica que este formalismo poderá ser relevante para o comportamento do sistema a grandes distâncias. É importante saber que este formalismo não é capaz de estudar variações dos campos na escala do espaçamento de rede ou das distâncias interpartícula. Porém, na análise da física na vizinhança de um ponto crítico apenas o comportamento a longas distâncias é importante.
Dessa forma, considerando o funcional de Landau como uma energia livre de granu-lado grosso ou Hamiltoniana efetiva, ela não é energia livre termodinâmica e então ela não é necessariamente convexa. Se a integral funcional for feita sobre os graus de liberdade ainda não integrados, pode-se obter o potencial termodinâmico 𝐴(𝑇, ℎ) que satisfaz:
3.2. O modelo de Landau-Ginzburg 33
onde ℎ é um campo externo conjugado do parâmetro 𝜑. Podemos obter a energia livre de Helmholtz por meio de uma transformação de Legendre na forma:
𝐹 (𝑇, 𝜑) = 𝐴(𝑇, ℎ) + 𝑁 𝜑ℎ (3.5)
permitindo a restauração da convexidade dos potenciais termodinâmicos.
Por fim, a discussão anterior nos permite justificar que a energia livre de Landau envolve um traço parcial sobre os graus de liberdade, de modo que a função de partição correspondente só pode ser analítica para o caso de um sistema finito.
3.2
O modelo de Landau-Ginzburg
O modelo de Landau-Ginzburg é amplamente aplicável porque podemos realizar uma aproximação para a Hamiltoniana efetiva do sistema que seja suficiente para o caso em que consideramos o parâmetro de ordem pequeno em regiões próximas à temperatura crítica. Diferentemente do modelo de Ising, neste modelo faz-se necessário considerar o termo gradiente da expansão para controlar flutuações, ou quando há variações espaciais.
Vamos então considerar o caso em que a função de partição dada por (1.5) para o modelo de Ising está sob a ação de um campo heterogêneo 𝐵 que toma diferentes valores 𝐵𝑖
em cada sítio da rede. A função de partição pode ser escrita da seguinte forma [1]:
𝑍 = ∑︁ {𝑠} exp(𝛽∑︁ 𝑖 𝐵𝑖𝑠𝑖− 𝛽 ∑︁ 𝑖 𝑗𝑠𝑖𝐽𝑖𝑗𝑠𝑗) = ∑︁ {𝑠} 𝑒𝛽 (s.B−s.J.s) (3.6)
Podemos simplificar a função de partição tornando o termo quadrático dentro da exponencial em um termo linear em relação a s utilizando a transformação Gaussiana (ou transformação de Hubbard–Stratonovich) descrita no Apêndice A [1]:
∫︁ 𝑑𝑁x exp (︂−1 4 x.L −1 .x + s.x )︂ = (4𝜋)𝑁2 √ 𝑑𝑒𝑡L𝑒s.L.s. (3.7)
Infelizmente, -J não é uma matriz positiva. Mas como 𝑠2
𝑖 = 1 para todo 𝑖, podemos definir:
−s.J.s = s.L.s − 𝛼𝑁, (3.8)
onde 𝛼 é uma constante real e 𝑁 é o número de microestados. Temos que a matriz
34 Capítulo 3. Além da aproximação de campo médio
pode ser positiva tomando 𝛼 suficientemente grande. Portanto, podemos escrever:
𝑍 = ∑︁ {𝑠} 𝑒𝛽 (s.B+s.L.s−𝛼𝑁 ) (3.10) = 𝑒−𝛽 𝛼𝑁∑︁ {𝑠} 𝑒𝛽 (s.B+s.L.s) = (4𝜋)−𝑁2𝑒−𝛽 𝛼𝑁(𝑑𝑒𝑡L)− 1 2 ∑︁ {𝑠} 𝑒𝛽s.B ∫︁ exp [︂ −1 4x.(𝛽L) −1 .x + s.x ]︂ 𝑑𝑁x = (4𝜋)−𝑁2𝑒−𝛽 𝛼𝑁(𝑑𝑒𝑡L)− 1 2 ∑︁ {𝑠} ∫︁ exp [︂ −1 4x.(𝛽L) −1 .x + s.(x + 𝛽B) ]︂ 𝑑𝑁x. (3.11)
Se y≡ x+𝛽 B então dy=dx e 𝑍 = (4𝜋)−𝑁2𝑒−𝛽 𝛼𝑁(𝑑𝑒𝑡L)− 1 2 ∑︁ {𝑠} ∫︁ exp [︂ −1 4(y − 𝛽B).(𝛽L) −1 .(y − 𝛽B) + s.y ]︂ 𝑑𝑁y. (3.12)
Desta forma ficamos com uma dependência linear em s . Isto nos permite realizar uma soma sobre todos os conjuntos {𝑠𝑖}. Desde que os 𝑠𝑖 tomem valores ±1 apenas, tal que
∑︁ {𝑠𝑖} 𝑒𝑠𝑖𝑦𝑖 =∑︁ 𝑠1 𝑒𝑠1𝑦1∑︁ 𝑠2 𝑒𝑠2𝑦2∑︁ 𝑠3 𝑒𝑠3𝑦3... (3.13)
Como 𝑠𝑖 só assume valores ±1, temos
∑︁
{𝑠𝑖}
𝑒𝑠𝑖𝑦𝑖 = 2𝑁∏︁
𝑖
cosh 𝑦𝑖. (3.14)
Desta forma, a função de partição (3.12) resulta em
𝑍 = (4𝜋)−𝑁2𝑒−𝛽 𝛼𝑁(𝑑𝑒𝑡L)− 1 2 ∫︁ 𝑑𝑁y exp [︂ −1 4(y − 𝛽B).(𝛽L) −1 .(y − 𝛽B) ]︂ 2𝑁∏︁ 𝑖 cosh 𝑦𝑖. (3.15)
O fator 2𝑁 pode ser cancelado e, definindo um novo conjunto de variáveis 𝜑 𝑖 por
𝜑 = (𝛽L)−1.y, (3.16)
podemos escrever (3.15) na forma:
𝑍 = 𝑒 −𝛼𝛽𝑁𝑒−𝛽B.L−1.B/4 𝜋𝑁 /2√𝑑𝑒𝑡L ∫︁ 𝑑yexp[−1 4(y.(𝛽L) −1 .y− 2B.L−1.y) +∑︀ 𝑖log cosh(𝑦𝑖)](3.17) 𝑍 = 𝛽 𝑁√𝑑𝑒𝑡L𝑒−𝛼𝛽𝑁 −𝛽B.L−1.B/4 𝜋𝑁 /2 ∫︁ 𝑑𝜑 exp[−1 4 𝛽𝜑.L.𝜑 + 1 2𝛽B.𝜑 + ∑︁ 𝑖 log cosh(𝛽∑︀ 𝑗𝐿𝑖𝑗𝜑𝑗)](3.18)
3.2. O modelo de Landau-Ginzburg 35
Isto nos mostra que à função de partição do modelo de Ising é idêntica a função de partição de um modelo em que o parâmero de ordem 𝜑 toma valores reais em vez de apenas ±1. Logo, expressar a função de partição de Ising na forma (3.18) é usual. Porém, esta Hamiltoniana efetiva não de modo algum simples, e algumas aproximações drásticas são necessárias para torná-la tratável.
Em primeira instância, o sentido físico de 𝜑 pode ser apenas uma abstração ma-temática, mas se for imaginado como uma variável estocástica e a função de partição for dada como em (3.18), então seus valores esperados estão relacionados com os valores de 𝑠𝑖
do modelo de Ising subjacente. Diferenciando os logaritmos de (3.12) e (3.18) em termos de 𝐵𝑖 temos: < 𝑠𝑖 >= 1 𝛽 𝜕 log 𝑍 𝜕𝐵𝑖 = 1 2 ∫︀ 𝑑𝑁𝜑(𝜑𝑖− 𝐿−1𝑖 𝑗𝐵𝑗)𝑒−𝐻[𝜑] ∫︀ 𝑑𝑁𝜑𝑒−𝐻[𝜑] (3.19)
onde a Hamiltoniana efetiva 𝐻 é:
𝐻(𝜑) = 1 4𝛽𝜑.L.𝜑 − 1 2𝛽B.𝜑 − ∑︁ 𝑖 log cosh(y𝑖) (3.20)
Então a média térmica < 1/2(𝜑𝑖− 𝐿𝑖−𝑗 1𝐵𝑗) > é idêntica à média térmica de 𝑠𝑖. Similarmente,
< 𝑠𝑖𝑠𝑗 >= − 1 2𝛽𝐿𝑖 − 𝑗 1 +1 2 < 𝜑𝑖𝜑𝑗 > . (3.21)
Para valores muito grandes de 𝛼, L ≃ 1
𝛼I +
1
𝛼2J e o primeiro termo de (3.21) é
desprezível, especialmente para 𝑖 ̸= 𝑗. Por consequência, os momentos de produtos (1/2)𝜑𝑖
em relação a sítios distantes são idênticos aos correspondentes 𝑠𝑖. À medida que nos
apro-ximamos do ponto crítico, tanto ∑︀
𝑗 < 𝑠𝑖𝑠𝑗 > quanto ∑︀𝑗 < 𝜑𝑖𝜑𝑗 > divergem enquanto que
a soma sobre 𝑗 dos termos remanescentes em (3.21) não. De modo que o expoente crítico 𝛾 associado a 𝜑 pode ser escrito de forma que o parâmetro de ordem físico 𝑠𝑖 independa de 𝛼.
Podemos aproximar a Hamiltoniana efetiva (3.20) para uma Hamiltoniana efetiva do 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑛𝑑𝑎𝑢 − 𝐺𝑖𝑛𝑧𝑏𝑢𝑟𝑔 que é definida como:
𝐻𝐿𝐺 = 1 2𝛼 2|∇𝜑|2+1 2𝜇 2|𝜑|2+ 1 4!𝜆(|𝜑| 2)2− 𝐽.𝜑, (3.22)
onde J = 𝛽B. Esta Hamiltoniana efetiva depende de três parâmetros: um comprimento caractetístico 𝛼 que determina a importância do termo gradiente, a quantidade 𝜇2 que possui
36 Capítulo 3. Além da aproximação de campo médio
dependência com a variação de temperatura que impulsiona a transição de fase, e o parâmetro 𝜆 que deve ser positivo, é um termo de acoplamento. O termo gradiente diminui flutuações que se formam rapidamente e o termo |𝜑|4 diminui grandes flutuações de 𝜑.
É importante lembrar que, através de (3.8) os elementos diagonais de 𝐿𝑖𝑗 são iguais
a algum número positivo 𝛼 enquanto que os valores correspondentes para sítios vizinhos são iguais a algum número negativo, −𝜖. No caso 𝛼 = 2𝑑𝜖, a matriz L é proporcional a representação mais grosseira e viável numa rede do operador Laplaciano. De modo mais geral,
∑︁
𝑗
𝐿𝑖𝑗𝜑𝑗 ≃ −𝜖𝑎2∇2𝜑|𝑥𝑖+ (𝛼 − 2𝑑𝜖)𝜑𝑥𝑖, (3.23)
onde 𝑎 é o espaçamento da rede. Se for realizada uma subtituição dos números 𝜑𝑖 por funções
contínuas 𝜑(x) e substituir∑︀
𝑖 por uma integral 𝑎−𝑑
∫︀ 𝑑x, (3.20) assume a forma: 𝐻[𝜑] = 𝑎−𝑑 ∫︁ 𝑑𝑑x1 4𝛽[𝜖𝑎 2𝜑∇2𝜑 + (𝛼 − 2𝑑𝜖)𝜑2] − 1 2𝛽𝐵𝜑 − log cosh[y(x)], (3.24) onde 𝜑 = 𝜑(x), 𝐵 = 𝐵(x) e de (3.16) e (3.23) 𝑦(x) = 𝛽[−𝜖𝛼2∇2𝜑|𝑥𝑖+ (𝛼 − 2𝑑𝜖)𝜑𝑥𝑖]. (3.25)
Integrando por partes o termo contendo ∇2 em (3.24) e descartando o termo de superfície,
que envolve apenas spins nas bordas da rede, temos 𝐻[𝜑] = 𝑎−𝑑 ∫︁ 𝑑𝑑x {︂1 4𝛽[𝜖𝑎 2(∇𝜑)2 + (𝛼 − 2𝑑𝜖)𝜑2] − 1 2𝛽𝐵𝜑 − log cosh y }︂ (3.26) Os colchetes agora contêm 2 dos 3 termos da Hamiltoniana efetiva de Landau-Ginzburg 𝐻𝐿𝐺.
Agora, a Hamiltoniana efetiva (3.26) é um funcional complexo do campo 𝜑 e do gradiente. Para compreender as implicações físicas deste funcional é conveniente considerar seu com-portamento na vizinhança do campo para o qual ele é pequeno, este é o campo que faz a maior contribuição única para a função de partição. É natural assumir que este campo possui gradiente zero, tal que
𝑦 = 𝛽(𝛼 − 2𝑑𝜖)𝜑 ≡ 𝜑/𝑏, (3.27)
onde definimos
𝑏 ≡ 1
𝛽(𝛼 − 2𝑑𝜖). (3.28)
Com essas simplificações (3.26) fica
𝐻(𝜑(𝑦))/𝑉 = 1 4𝑏𝑦
2− log cosh y, (3.29)
onde 𝑉 é o volume do sistema.
3.2. O modelo de Landau-Ginzburg 37
último termo de (3.29) diminui o valor de 𝐻. Mas, se 𝑦 >> 1, log cosh y cresce somente com 𝑦 e consequentemente com 𝜑, com o resultado que o termo em 𝐻 proporcional a 𝜑2
pode eventualmente agravá-lo. Tal comportamento pode ser mostrado na Figura 3.1, onde 𝐻 é plotado para vários valores de 𝑏. Há um pequeno intervalo de valores para 𝑏 próximo da origem para os quais 𝐻(𝜑) é negativo para pequenos valores de 𝜑 antes de tender ao infinito. Este é o alcance de valores de 𝑏 no qual a teoria de Landau prediz que < 𝜑 > torna-se diferente de zero.
Figura 3.1: Curvas da função 𝐻(𝜑) da equação (3.29) para vários valores de 𝑏 definido por (3.28); de baixo para cima temos b=1, 1.5, 2 e 2.5. As curvas tracejadas mostram a aproximação em série de Taylor (3.31) com b=1 e 1.5.
O comportamento de 𝐻(𝜑) mostrado na Figura 3.1 é resultado de uma aproximação em série de Taylor em 𝑦. Uma vez que
2log cosh y = 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2𝑦) = 𝑠𝑖𝑛ℎ2𝑦 − 1 2𝑠𝑖𝑛ℎ 4𝑦 = 𝑦2+ (︂1 3− 1 2 )︂ 𝑦4+ ..., (3.30) temos 𝐻(𝜑(𝑦))/𝑉 = (︂1 4𝑏 − 1 2 )︂ 𝑦2+ 1 12𝑦 4+ ... (3.31)
Se 𝑏 < 2 temos que o termo quadrático da série se torna negativo, causando um decréscimo em 𝐻 antes de o termo quadrático assumir valores positivos. A Figura 3.1 mostra que o comportamento qualitativo de 𝐻(𝜑) perto do mínimo é reproduzido por esses dois termos da
38 Capítulo 3. Além da aproximação de campo médio
série de Taylor, embora 𝜑 aumente ainda mais a série de Taylor truncada diverge rapidamente da expressão exata; para 𝜑 grande o primeiro se comporta como 𝜑4, enquanto o segundo
cresce com 𝜑2. Provamos que a função de partição é dominada por campos que se encontram
suficientemente perto do mínimo em 𝐻 para a diferença entre 𝐻 e a série de Taylor (3.31) não se tornar importante. Mas a validade desta aproximação não é clara. Então, quando usamos (3.27) para eliminar 𝑦 de (3.31) em favor de 𝜑 e restaurar em 𝐻 o termo ∇𝜑 de (3.26) obtemos a Hamiltoniana efetiva de Landau-Ginzburg. Esta é a base da alegação feita de que perto da temperatura crítica a Hamiltoniana efetiva do modelo de Ising pode ser expressa como a Hamiltoniana de Landau-Ginzburg mais termos adicionais.
39
4 Conclusão
Em suma, neste trabalho foram apresentadas as etapas para a construção de uma teoria de campos. Começamos com o modelo de Ising descrito pela Hamiltoneana (1.5), que envolve variáveis discretas de spins que assumem valores 𝑠𝑖 = ±1 dispostos em uma rede
de espaço discreto. Em seguida vimos que a teoria de Landau (para o modelo de Ising) é descrita a partir de campos escalares em uma rede discreta. Depois nos afastamos de sistemas homogêneos e começamos a considerar as flutuações espaciais, de modo que pegamos o parâmetro de ordem de Landau, para o modelo de Ising, que é a magnetização 𝑚 = 𝜑 e o promovemos a um campo que pode variar no espaço 𝜑Λ(x). Supondo que este parâmetro
de ordem de granulado grosso é uma função contínua, tomando o limite contínuo escrevemos 𝜑Λ(x) na forma da integral funcional (3.3). Por fim, vimos que o modelo de Landau-Ginzburg
é baseado numa generalização das ideias de Landau, de modo que podemos reescrever a Hamiltoniana do modelo de Ising de uma forma que se assemelha à Hamiltoniana efetiva de Landau-Ginzburg. Isto é surpreendente dado que o parâmetro de ordem do modelo de Ising só pode assumir valores ±1, enquanto que 𝜑 é essencialmente uma variável contínua.
Finalmente, a representação de um modelo de mecânica estatística na forma de uma teoria de campos, nos permite aplicar um grande número de técnicas desenvolvidas para as teorias de campos clássicas e quânticas, tais como teorias de perturbações para a incorporação de flutuações no entorno das soluções de campo médio, representações diagramáticas, uma variedade de técnicas não perturbativas, como as técnicas de bosonização, e principalmente, a possibilidade de explorar e usar a grande quantidade de resultados de teorias de campos baseados em simetrias. Neste sentido, a identificação de relevância das simetrias no com-portamento crítico de sistemas estatísticos, iniciada por Landau, foi um marco no moderno desenvolvimento das teorias de fenômenos críticos.
43
APÊNDICE A – Integral Gaussiana
Vamos considerar a integral do tipo
𝐼 ≡ ∫︁ 𝑑𝑁x exp [︂−1 4 x.L −1 .x + s.x ]︂ (A.1) com x e s sendo os vetores com 𝑁 componentes e L−1 uma matrix 𝑁 × 𝑁 inversa de uma matriz simétrica L, com autovalores 𝜆𝑖 positivos. Essa integral não é tão simples de ser
avaliada. Uma forma de simplificar tal expressão é aplicando uma tranformação Gaussiana para tornar o problema quadrático em linear.
Podemos tornar a matriz L diagonal por meio de uma transformação ortogonal. Vamos assumir que os vetores x e s sejam dados em termos de suas componentes 𝑥′𝑖 e 𝑠′𝑖, respectivamente. Deste modo, o argumento da exponencial de (A.1) fica
−1 4 x.L −1 .x + s.x = ∑︁ 𝑖 −𝑥 ′ 𝑖2 4𝜆𝑖 + 𝑠′𝑖𝑥′𝑖 = ∑︁ 𝑖 −𝑥 ′ 𝑖2 4𝜆𝑖 + 2𝑥 ′ 𝑖 √ 𝜆𝑖𝑠′𝑖 2√𝜆𝑖 − 𝜆𝑖𝑠′𝑖 2 + 𝜆𝑖𝑠′𝑖 2 = − ⎡ ⎣ ∑︁ 𝑖 (︃ 𝑥′𝑖 2√𝜆𝑖 − 𝑠′𝑖√︁𝜆𝑖 )︃2 − 𝜆𝑖𝑠′2𝑖 ⎤ ⎦ = −∑︁ 𝑖 1 2𝑋 2 𝑖 + ∑︁ 𝑖 𝜆𝑖𝑠′2𝑖 (A.2) onde 𝑋𝑖 = √ 2 (︃ 𝑥′𝑖 2√𝜆𝑖 −√︁𝜆𝑖𝑠′𝑖 )︃ (A.3) Como a transformação realizada é ortogonal, podemos realizar a seguinte mudança:
𝑑𝑁x = 𝑑𝑁x’ (A.4)
tal que 𝑥′𝑖 = √2𝜆𝑖𝑋𝑖 + 2𝑠′𝑖𝜆𝑖 e 𝑑𝑥′𝑖 =
√
2𝜆𝑖𝑑𝑋𝑖. De modo que (A.4) fica
𝑑𝑁x = 2𝑁2 (︃ ∏︁ 𝑖 𝜆𝑖 )︃12 𝑑𝑁X = 2𝑁2 √ 𝑑𝑒𝑡L𝑑𝑁X (A.5)
44 APÊNDICE A. Integral Gaussiana
Então, para uma matriz simétrica positica L temos que (A.1) assume a forma 𝐼 = 2𝑁2 √ 𝑑𝑒𝑡L ∫︁ 𝑑𝑁𝑋𝑖exp (︃ −𝑋2 𝑖 2 )︃ exp(︁𝜆𝑖𝑠′2𝑖 )︁ . (A.6) Como∫︀ 𝑑𝑁𝑋𝑖𝑒𝑥𝑝 (︂ −𝑋2 𝑖 2 )︂ = (√2𝜋)𝑁 e∑︀ 𝑖𝜆𝑖𝑠′2𝑖 = s.L.s, temos então ∫︁ 𝑑𝑁x exp (︂−1 4 x.L −1 .x + s.x )︂ = (4𝜋)𝑁2 √ 𝑑𝑒𝑡L𝑒s.L.s. (A.7)
45
Referências
[1] J.J. BINNEY, N. J. DOWRICK, A. J. FISHER, M. E. J. NEWMAN,. 𝑇 ℎ𝑒 𝑇 ℎ𝑒𝑜𝑟𝑦 𝑜𝑓 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑝ℎ𝑒𝑛𝑜𝑚𝑒𝑛𝑎: an introduction to the renormalization group. Oxford: Clarendon Press, 1993.
[2] CHAIKIN, Paul M.; LUBENSKY, T. C. 𝑃 𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑒𝑑 𝑚𝑎𝑡𝑡𝑒𝑟 𝑝ℎ𝑦𝑠𝑖𝑐𝑠. Cambridge: Cambridge University Press, 1995.
[3] TRANSIÇÃO DE FASE. In: WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. Flórida: Wikime-dia Foundation, 2018. Disponível em:<https://pt.wikipeWikime-dia.org/w/index.php?title= Transi-ção_de_fase&oldid=52264258>. Acesso em: 4 jun. 2018.
[4] SALINAS, Silvio Roberto de Azevedo. 𝐼𝑛𝑡𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 à 𝐹 í𝑠𝑖𝑐𝑎 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑡í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎. São Paulo: EDUSP, 1997. 464 p. (Acadêmica; 9).
[5] STARIOLO, D. A. 𝐼𝑛𝑡𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 à 𝐹 í𝑠𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑀 𝑎𝑡é𝑟𝑖𝑎 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑎. Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2009.
