O modelo de regressão linear bi-segmentado na estimação do limiar de anaerobiose

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

UNICAMP

INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E CIÊNCIA DA COMPUTACÃO

"'

" O MODELO DE REGRESSAO LINEAR SI-SEGMENTADO NA

"'

ESTIMACAO DO LIMIAR DE ANAEROBIOSE "

.

_.

ALONSO MAZINI SOLER

CAMPINAS (sp)

1988

UNI c· A MP

"O MODELO DE REGRE.SSÃO LINEAR BI-SEGMENTADO NA ESTIMAÇÃO DO LIMIAR DE ANAEROBIOSE"

..

_·.

Este exemplar corresponde a

redaç~d final da tese devi-damente corrigida e defendi

da pelo Sr. Alonso Mazini

Soler e ?Provada pela Comi~

s~o julgadora. Campinas

,Vlf

de

~de

1988. Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática Estatística e Ciência da ·computação, IMECC/UNICAMP, como requisito parcial

pa-ra obtenção do título de

orientador:

..

As informaçeses observacionais

ut.ilizadas nast.a t.rabalho f' oram

colet.adas at.ravés de um prot.ocolo

experimental desenvolvido pelo

Laborat.ório da Hamodi nâmica e Funç:lo Pulmonar do Hospit.al das Clinicas da

Faculdade de Medicina de Ribeir:lo

.. ·

.

Aos meus pais. Alonso e Celina.

Ao João e à Camila.

AGRADECIMENTOS

Ao professor Manoel Folledo pela amizade e pela orien~ação;

Aos amigos do IMECC-UNICAMP. em especial aos colegas de curso

e aos professores que con~ribuiram para a minha formação;

Aos amigos do Depar~ament.o de Ma~emática do IPEA...:.UNESP pela

confiança que depositaram em meu t.rabalho~

à Maria Helena pela grande amizade~

Aos amigos Dr. Gallo e Barre~o pela colaboração e incentivo;

· Ãs inst.ituições CNPQ. CAPES

e

FAPESP pelo apoio financeiro

"'

NOTACAO

•

A

_-

Parâmet-ro à ser est..imado~ A

A - Estima.t.iva de mini mos ctuadradOs ordinârios; A+

Estimativa de mini mos quadrados ordinârios sujeit..a

A

_-

a

restrições~

"·•

A

_-

Es"li ma·ti va de mini mos quadrados generalizados;

A#

Es"limat..iva de mini mos quadrados generalizados sujeit..a

A

_-

a

CAPITULO V. O Modelo Es~a~is~ico Na Resolução

Do

Problema. Biológico

V. 1. Introduç~o . . . .' . . . 51

V.2. Formulação

Do

problema . . . 56

V.2.1. Procedimento De Es~imação Do Ponto De Junção . . . 61

V.3. Ilustração- Um Estudo De Simulação . . . 64

V. 3. 1. Discussões . . . 69

CAPlTULO

VI.

Aplicação VI . ·1 . O Del í neamento Exper i men~al . . . 79

VI. 2. Resultados . . . 92 VI. 3. Di scussí:Ses . . . · . . . 97· SUMÁRIO . . . · . . . 98 SUMMARY . . . • . . . • . • . . . • • • . . . • . .' ~ . . . • • 99 APJ::NDI CE 1 . . . 100 AP€NDI CE 2 . . . . . . . . . 11 8 APE:NDI CE 3· . . . 122

..

CAPITULO I

"'

INTRODUCAO

•

Suponha que um si~t.ema est-eja strjeit.o a det.erminadas modificações inst.ant.âneas relevant.es, previsiveis ou n~o. em suas caract.erist.icas est.ocást.icas, ·capazes de influir na manut.enç~o

cont.inua de seu perfeit.o funcionament.o.

Não seria dificil enumerar uns t.ant.os exemplos de fenómenos que poderiam ser caract.erizados dest.a maneira, nem t.ampouco seria est.afant.e avaliar os t.ranst.ornos decorrent.es dest.a "inst.abilidade" est.ocást.ica. port.ant.o. não se requer est-ranheza deparar com um grande número de t-rabalhos cient.ificos dedicados à

análise de problemas correlat.os. Como ilust.ração. pode-se cit.ar det.er mi nada,s si t.uações. preveni ent-es dos t.r abal hos de Cont.rol e Est.at.ist.ico de Qualidade. nas quais. det.erminadas modificações no comport.ament.o probabilist.ico dos "defeit-os" do processo de produção, influenciam decisivament-e na preservação dos padrões de qualidade adot.ados.

r~

i

nt~r~ss~

capi ta"l

nos

~sludos d~dicados à

anàlisq

t..;:d t.ransiç~o prob.;..bi 1 i st..i CõL As;sim, _{da lit..~rat..ura}

.;;t-:5J::o,;:;.c:ifi.-::a, l.anlo trabalhos rldlativos a casos nos quais o momgnt,o

[).c< _{rnc;.n.;;ira como C&.nalise o mom.;;nt.o da}

t_ r ansi çã•:::>, cumpre o pc;.pel "di vi s;or dg ~gua.s ''. p.;..r+.icionando so?qu~nci al m.;;nt.e Ct...emporalment.e) as possiveis r""spost..as obtidas de um si st.ema . em dois ou mais conjunt-os

h~lsrogén.;;os ent...re si sob o ponto de vist-a est-ocást-ico. Bast-ant-e

r de;. denominc;.çào "Chanqe Poi nt... Probl em".

t..rC&.b.alho, g•m.a

•-:>corr...;.ncias de possíveis alt-erações probabilist-ÍcC&.S do sist-ema a.

um par a out.r o es.t.ado pr obabi 1 i st.i co. num dado i nst.ant-e e de uma.

t..al forma.

Formalizando mat.emC&.t...icament...e as idgias expost...as

suponha uma s.c.quênci a ordenada C t-emporal) de vari~veis

pr.•i nl" em

X • X ,

1 2

'r, onde T

X

N Di z-s;e qu~;~ ocorrwu um "ch-.nge

e

int.eiro no int...ervalo C2,N-1J, caso:

onde, X F

cx,e

)

.

i

=

1. 2,. ,T \. _"" j, j, X

Fcx.e·),

i

=

r+1, r+2, . . .

,N

\. _"" . 2

..

2" F C. , . )

j, e F C.,.) 2 supõe-se possuirem ~ermas ~uncionais comuns e conhecidas, di~erindo apenas . pelos

desconhecidos dos parâmetros

e

=

ce .e ,.

j, j,j, i2

e

-

c

e • e •... ,.e ) ,

2 2j, 22 2l k,l conhecidos e

Cons1dera-se ~inda desconhecido o valor do indice r

valores

e

2

e

onde

s.e processa a transição, sendo pois, tido como mais um parâmetro da probabilidades de Desta forma, funç~o de X=CX,X,. j, 2 distribuiç~o • X ) • N conjunt..a. de

observada ent..ão uma sequência ordenada temporal de valores amost..rai·s X , X , . • . , X

i 2 N mani~est..a-se

prime i r ament.e. interesse em ~azer in~erências sobre T.

Post..eriormentA~. e em função da problemática abordad.á, consegue-se

t.ambém realizar inferências sobre os parâmetros

e

e

e.

j, :z

Dentro dest..e escopo, um grande número de casos especiais têm sido considerados. Formalizações mais complexas, acompanhadas por diferent..es hipóteses de sust..ent..ação são abordadas através de diversas metodologias estat..ist..icas, de ~orma a conseguir uma representação mais real i st..a para os problemas reais especi ~i.cos

considerados. Shaban (1980) enumera uma vast..a referência

bibliográ~ica relat..iva ao assunto, classi~icando os trabalhos

\

...

s,Qgm.-;;;nt.os funcionet-is., r.-;;;la.t.ivos a. diferent.es. pa.rt.içeies no dominio· do

c::it...ado encont.rada at.ravQs de

,;;.nt-it.ulações, enlre as quais c::ila.-se "~gment.ed Regres.sion"•

":-::::wi Lc:hi ng ou "Two Phe~.s;e

R'>:;·gression"_ Para fins desl'd t...ra.ba.lho, convencionou-se denominar

Rel.,.,t.i vo caso .;.lguns p.c.:;:;qui:"õõa.dores

u~o dw m.;;t.odologi.-.s.

t...rabalhos, dent...re os quais pode-se dest...acar:

Qua.nd'L C 1 958) n~t...i r c... da. funç~o de ver ossi mi 1 hança . as es+Jimat...ivas dos paràmet...ros- que compõem um modelo segment....-..do e desconLinuo de regressão lineé4r_simples.

Sprent... C1Qô1) analisa algumas hipót...eses de int...eresse para o p.c.squisador acerca do modelo propost.o por Qua.ndt... C1Q68). sujeit...o

a rest...riç~o de cont.inuiclade no pont...o da t...ransição de fases. Para

t...ant...o, ut.iliza-se da met...odologia dos minimos quadrados rest...rit...os.

Robi nson C 1 f-184.) ut..i 1 i za os mesmC)s a.rgument...C):; propC)St...C)s por Quandt... . C 1 Q58) para gst...imar e t...est...ar a signific~ncia dos paràm.-t.ros que compB~m um modelo sowgment...a.do cont..inuo de regress~o

Hud-:::on prop~.-. •lgun::;;

procedi ment.o::; de an;:il i =o; e_ par a o aj u::;t.e de modelos "de r (Õ)gr gss:iío

s~gm~nt.ado. sujeit-os ou n~o a rgst.riçÕgs nos parâmgt.ros, at.ravQs

d~ m.;.t..odol ogi a. dos mini mos quadrados.

H i nk 1 ey C 1 969. 1 971) est.uda o pr obl emc.. da est.i maç~o e

bi-segm.;;;.nt.c..do d~ regressâ!:o lin~ar simples, ut.ilizc..ndo argumgnl.os

. .r

f unda.rnent.;.dos n.;;;. :funç~·o de verossi mi.l hança.

Gallant, F'üller C1973J consideram o problema da

es'Lim.;;;.ção numéricri. at.ravés do mét.odo de Gauss-NeWt.on. de modelos

bi-swgmliõlnt..o..do:;; de regress;(o polinomial resot.rit..os -.. condiç~o de

con'Linuidadw ·e suavidade da d.;;rivc..da na vizinhança do pont.o de mudança de Cases.

C197Sa. 1975b) anali::;a det.alhadamgnt,e os

procediment-os de inCoerência ut-ilizados a'Lé ent-ão para t.es'Lar

t,Qcnicas surgidas com a adoção de arg~ment..os assint..6t..icos baseados

na função de verossimilhança.

L~rman (1980) propêSg o mét-odo numérico dg busca

"Grid-s.;..arch". at.rav~s dos -..rgument..os dfoõl minimos qu-..drados, como

1 i n~--.r sujliiilit..os ·a nos

út . .il nc.. r.:;.soluçáo de problemas rela:livos --.o modelo descrit..o por

su.;;~ v .i dadc de;. d~r i vada ·na vi z~ nhanç-.. do pont..o d~e> l.r ansi ç51:o s5il:o impu~ta::: ao modelo linG>ar sG>gmG>nt..ado.

Est.. .;;.r by .;;;. El -Shaarawi ( 1 &:181) .;;.sl.-..bgl ecem um procedi menl.o

F"-· ... n•_mu. c\J.:;. :;.,;:>gment_ ados desconl-i nuos, baseados nos concei l.os de

v<?rbssimilhança parcial: m-..rginal oiiil ~ondicional.

S":)b o ponl.o doiiil vi:=;t..a Baye:=;iano, Bacon e Wat..t..s C1!iJ71),

F.;;rr..-i r .;o. C 1 075~

.

ar,al i sar c..m propuser.am procediment-os de inferência p.ara o

problsma. Por out..ro lado, Smi l.h C 1 Q7Q) considerou

e:=;t..ril.am~nl.e numéricos no t..ral.ament..o do prob~ema, al.ravQs

"Spl i nes" 1 i nG>ar.es.

Uma implement..-..ção comput..acional dliiil alguns; procedimgnl.os

dG> .::·-::t..i maç~o dos paràmG>lros de um modelo de regress~o segmenl.ado;

pode ser .;;;nconl.rada na "procedure" NLIN do "sof't..ware" .-st..at..ist..ico SAS.

No pres.-nt...- l.r.aba~ho, de cunho bioest..at..ist..ico, procura-se

.;;.j u~::.t. ar um modgl o dg regrgssão 1 i ngar bi -sliiilgmliiilnt..~do a observa.çÕQS

tE>mp::::.rai~ da respost.a Vent.il;aç~o Minut.o Respirat.óri;a Cvolum~ d~ ar

duos-g::;;forço fi si co progrQssivo.

uma caracteristica f'isiol6gic• i ndi vi duõ&l • ·

A p.::a.rtir do c:onh~c:im~nt.o

d~s~e valor, fisiologi$~as admitem realizar desde a avaliaç~o das

No .:.:e.pi.tulo · I I , procura-s.- o conc.-it.o. o m-=<canismo fisiológico d,;;. atuaçâ:o ,;;. as formas usuais de detgcç~o g quantificação do Limiar de Ana e r obi os e. Discute-se ainda. a

modelos 'õ1statist.ico:"ã d'õ1 regre:"ãs~o

bi -segmen+~ados.

Ho c:.api.lul o I :tI , l ; .ab.al h.a-se c:om o-:; modelo-:; de reg;e-:;~~o

linear soagmentados, classificando-os e apresentando procedimentos adequados par a a sua

quadrados ordinàrios.

análise,

No capitulo IV,

a tr a vgs do mQtodo dos mini mos

modelos de regress~o linear bi-segmentado:"ã. sujeitos a hipótese dg resíduos autocorrelacionados. através do método dos mini mos

Enf oc:õõt-~Ciõl, vi ~t.o -~ c:õõtr •c:t.gr i ~t.i c:•~ do pr obl gm.;;, qug ~'"'

de$eja e~t-udar 1 apena~ os procediment-o~ de est..i ma.ç~o pont..u-.1 do

moment.o da t..ransiç~o ent.r~ os sub-modelos propost.os, sgm c:ont.udo,

qu;;.lqugr gsforço com a por

i nt.wr va.l os ou t.Cõõ~st.Ciõls dCiõl hi pót.g:o;e:s; ;a.c:Ciõlrc:ôõt dgst.Ciõl p-.r ~mgt.ro. o quCiõl, c:grt.ament.e, const.it.ui em um prosseguiment-o do t.rabalho.

No c-.pi t.ul o V.

biológico abordado, just..if'icando a sua ut..ilizaç~o. Discut..e-se t.a.mbgm um est.udo ilust.ra.t.ivo sobre o comport..-.mgnt.o do procediment-o

propost.o, at.ravés de alguns conjunt.os de observaçBes simul-.das.

No ca.pit.ulo VI I o

ut-ilizado na. obt.enç~o da~ ob~ervaçõe~ modelada~ e a.pre~ent.a-~e o~

re~ult.ados obt.idos at.rav~s do t.rat.ament.o est..at..ist.ico ef'et.uado,

No um est.udo comparat-ivo. comumant..e

encon~ra.do nôõt lit.gra.t.ur;a. bio-mQdic:a. espec:i~ica., g rea.lizado c:om o:.

re~ult-ados obt.ido~ at..ravés do modelo propost.o e com os result.ados

obt.i do:. at.ra.vés de cri t.ér i os informais frequent.ement..e ut.i lizados

•

CAPITULO II

O PROBLEMA BIQLOGICO

II

.1.

o

LIMIAR DE ANAEROBIOSE

.

A execuç~o da ~rabalho muscular · as~á -~~ociada ao

incremen~o das a~ividades cardiovascular e respira~ória. ~endo em

vista o aumento do metabolismo CMartins. 1986). Em anos recentes. mui ~os pesquisadores ~êm es~udado a ob~enção de. um parâme~ro de

rel-acionamen~o en~re a f'orma deste incremento. duranté a

realização de lrabalho muscular, ~ o comprometimento do mecani.smo cardiopulmonar. Den~ro deste e~copo. Wasserman et al. (1964.) introduziram o conceito de inicio do Metabolismo Anaeróbico. que viria mais tarde a ser reconhecido como f'orma de avaliação da capacidade individual de trabalho f'isico.

Através de exercicios f'isicos de intensidade progressiva. Wasserman e~ al. C1964.) registraram a existi!ncia de um nivel de esf'orço. além do qual no~ava-se uma elevaç~o abrupta na ~axa da

foi in~grpr.gL~do como um indic~dor individu~l do inicio do

m~t..abolismo ana~róbico muscular El rElCS?bEltJ a dS?nominaçã':o dEl Limiar

dQ AnaQrobio~g CLAJ.

O concei Lo de Limiar de Ary~erobi ose C LA) 'lem si do u~ado

na int..erpret.-..ç51::o dos mecanismos de t.roc~s energQt.icas a nivel

muscular, como um valor de trabalho ou como a quantidade de

oxigénio consunúda, a par'lir da qual, o processo me'lab6lico

-..eróbico não consegue sus'len'lar a produÇão nacessária para a

m-..nut..enção concen~raçlii:o in'lramuscul.-.r ATP CAdenosina

Trif'osfat.o), in~erm.;;.diá.rio energQt.ico obrigat-ório na 'lransf'ormaçiro

da energi• ingerida no alimen~o em energia"mecânica da con'lraÇão muscular.

Como consgqu~ncia, o aument-o do esf'orço muscular a!Qm do LA, provoca um increment-o na glicólise an•er6bica visando suprimir

o dgficit.. in~ramuscul-..r no nivel de ATP, o que, por sua vez,

implic~ na elev~ção d~ concent..ração mu~cul;;,.r de ácido lá.ctico ~

uma consequen'le acidose met..ab6lica.

A ~c i dose me~aból i c~ induzi da pela f'or mação de ácido

1 àc'lico, provoca mudanças f'isiológicas t..rocas gasosas

respi r·a"t:ór i as, as'limulando o auman'lo excessivo da van'lilação. [);;;;)s;t,a f'or m-.. o f'enómeno que ocorre a ni vel museu! ar. pode ser

iden'lif·icado a'lrav~s de suas consequ~nci•s a nivel respirat..6rio CWassarman, 1986).

Inicial ment.e •. o LA foi usado cl i ni cam~nt.e por Wasser man et al. (1964) na avaliaç~Ç da t-olerância a exercicios fisicos por individues portadores de- doenças cardiorespirat.órias." Ent.ret.ant.a.· em éH10S recent.es, o int.eressoe pelo LA t.oem soe divoersificado. so;.gt.tndo Cai ozzo e'l al . C 1 992). en'lre out.ros. no sent.i do de:

de Alguma maneira a cadeia dos processos fisiológicos do

- es~udo do efe1'lo de drogas na resi~'lência ao exercicio fisico;

- prescriç~o de exercicios fisicos;

avaliação da evolução da capacidade fisica de atlet.as submet-idos a treinamento;

- ~s~udo de propriedades bioquimicas dos músculos;

- carac~eri~~ção da resist-ência fisica d~ fndividuos.

Rel at.i vo caracterização da resistência fisica de individues. Whipp e'l al. C1991) descreveram o LA como um parâm~t.ro

chave definição

exerci cios fisicos

individual da habilidade de alt-a intensidade. Para

de os

sust.ent.ar pacient.es cat-di upul monares. Yeh et al. C1Q93) descreveram o LA como uma medida diret-a do esforço no qual o si!;>t.ema cardiovascular falha ao

~ent~ar repor o supriment-o de oxigênio necessário à manut.ençã:o do

trabalho.

O uso do LA em medicina clinica. em grande parte. depende

do Cl' .. mhE1C i rnt<=m'lo dos valores normais assumi dos pela popul açã:o

saudável. Desta forma, Naimark et al. (1954), citado por Wasserman et. al. (1973), estud~ram pacient.es com d&:ficiêtracias na válvula

mi t.r al <?., Wc..sser mc..n et .. , ~1. C 1 Q64) est uda.ram uma variedade de outros pacientes com doenças cardiacas, comparando é encontrando valores de LA bem abaixo dos nívei"s obtidos em individuas sadios.

"'

II.2.

FoRMA::;

DE DE

rECCAO

Do

LA

 existência dó LA no metabolismo er1er·g8t.ico do músculo é

bem aceit.a entre os est-udiosos no assunt.o, ent.ret.ant.o, os critérios ut.ilizados na sua detecção têm gerado controvérsias.

O processo para a obt.enção do valor do LA consiste. em principio, na análise do comportamento das respost.as hetnatoquimicas e cardiorespirat6rias a um t.est.e ergomét.rico tipo rampa ou escada CMart.in~. 1986).

Através de mét.odos hemat.oquimicos if"lvasivos, amost.ras sanguineas s~o retiradas. regularmef"lte, equiespaçadament.e no t.empo. ao longo de experiment-os com exercicios fisicos progressivos, a partir das quais af"lalisam-se as modificaç5es f"lO comport.ament.o gráfico das curvas da concent.ração do laét.ato sanguineo. De p6sse dest.as informações, segundo Yeh et. · al. C 1 983), o LA t.em sido visualmente, e ent.~o quantJi f i c ado, a part.ir de diferent.es crit.érios, entre os quais destacam-se:

..

· ....

como o iJ'l<::.l<..\nLe onde se observa o inicio de um increment.o abrupt.o no lact.at.o·vanoso•

como o inst..ant..e onde· se obs.erva o inicio de um cresciment-o n~

linear no lact..at.o venqso•

como o inst..ant..e onde se observa o inicio de um cresciment-o e-xponencial no lact.at.o venoso.

As varirlções nos crit.érios met.odol6gicos da det-ecção visual do LA a part.ir de mét..odos· invasivos, além de discordant.es cont.am com o ~at..or subjet.ivo da exat.a ident..i~icaç~o visual do inst.ante onde ocorreram t.ais mudanças.

Para ~acilit.ar a det.ecç~o do LA, evit.ando a violaç~o do organismo do individuo submet-ido ao est-udo, numerosos investigadores t.~m ~eoit..o uso deo indicadores cardiorespirat..6rios nã2. i nvasi vos, baseados na hi p6t.ese de que a aci dosa mat..ab61 i c a, induzi da pela ~ormação do ácido 1 áct..i co, provocaria mudanças

~isiológicas nas l-rocas gasosas respirat-órias, ou seoja, que a

mudança na conceont..ração de lact..at.o· a nived muscular e sanguineo · ocorreria quase que simult-aneament-e e que o pont-o de elevaç~o de· laclat.o sanguineo poderia ser usado para caract-erizar a acidose mat.ab6lica a. o limiar de um relacionament-o al t..arad.o anl.re vent-ilação e consumo da.oxigênio CWassarman et.. al .• 1973).

Sêgundo Yah at.. al . C 1 983) • mui t..os dos c r i t..ér i os usados para a detecção não invasiva do LA ~oram int-roduzidos por Wasseorman, Whipp e Davis ao longo de s•Jas pe-squisas. O LA ·foi

pr i m.-.~ r amont iiii quc..nt.i f i cd.du como s.Qndo o ni ':'.;;1 dw · e:s;f or'ço fi si co

i n-:.t. ..._nt .. ;ãn.,._o. visual J)l~nt..~ • o inicio d~ um

i ncremQnt.o subst.anci al nci Quoci gnt..g Rg:s;pirat..ór i o

C

R~l-..ç~o ~nt..r~ ·-.,

.;;;.limin.ação

co

2 o consumo

lnst.:..nC~úieO a parlir do qual obserV4Vé:l-se:

oxig~nio) .

- c. início dE> um incrE>ment.o não line.õ~.r na Produção de Dióxiodo de

Carbono;

Em adiç~o. Davis e l al. C1979) propuseram também que o LA

foss~ quantificado como o nivel de esforço-fisico,a partir do qual

$.;;;. observava o inicio de um incremento sist-emático no Equivalent.~

V.;;>n+. i l c..t..ór i o par:. O Cisto é, Vent..i 1 :.ção Mi nulo/Consumo de O ) sem

2 ' ' 2

um i ncrG<ment..o no Equi val enl.e Venti 1 a tório par a

co

2

Cisto é, Vent.i l ação Minuto/Produção de CO).

2 Além destes • out.ros

t..ant-eos crit..érios não invasivos foram propostos e adotados por

...

l 1.3.

DISCUSSOES

A grande diversid-..de dos critgrios; emprG<g-..dos

d.at..o;;.rminaç~o do LA podem, segundo Martins C1986). d-..r uma idgia

tant..o da imprecisão envolvida. nas medidas, devido ao .carácter

A int-rodução de analisadores qui micos rápidos e

E>f~c~t?IYlo?S e de comput..adores dE> processamento em· tempo real tâm

poc:;.si bi 1 i t.-~d<:::> a det.ecç~o e a quanti f' i caç~o· i nvasd va do LA com maior rd.pidez e con(iabilidade. Por out.ro . lado. muit.ÓS pesquisadores já utilizam o comput.ador, t.ambém para a det.erminaçli!Lo

invasiva. do cardiorespirat.órias, parâmet.ro cont.ando LA com o que, a o part.ir auxilio de de a principio, respost.as crit.érios implica na

Dentro des.ta filosofia, Or-r et. al. (1982) descreveram um

algori~mo computacional, baseado em critérios est.atisticos. para

dat,P.ct.ar o i nstant.e da mudança no comportamento numérico da curva da Ven t. i l .d.Ç ~o Mi nu l.o Res pi r a t. 6r i .d. versus Consumo de Oxigênio.

Ut..i 1 ~ zar· am-se, para l..ant..o, das noç5es de modelagem estat.ist.ica através de .regr·es.!=>ã'o line'-l.r mult~i -so?gmentada, composta por dois ou lt'é-:> segrner..t .. os de ret.a con::::.~?.cuti vos.

Tendo em vist.a a importância do t.ema e o caráct.er i mpr·eci so envolvi do na det.ecção visual, i nvasi va ou nã:o. do LA• propõe-se ne~t.e t-rabalho a utilização das noç5es estatist.icas de ajusle de modelos de regressão linear bi-segment.ados, na t.ent.at.iva de se quantificar a ocorrência de um inst.ante de mudança no comportamento funcional de algumas medidas cardiorespiratórias. associadas à realização de um experiment-o envolvendo exerc1cios

f i si c os pr ogr essi vos, ou seja. na ·tent.a t i v a de se est.i mar o LA a p.arl.ir de parâmetros de modelos est.at.ist.icos.

[X.:.ve-se not..ar. que a pr c'post-" de est.i mação estat.i s t i c a do LA n::.;,-, c1 >-•d.tbll ... t.d. o r.c:~ulldcl...:.. obtidL.•..:. r t-S.}-l"Ondt...·r· ·pül(..• Vt-1 d.aueiJ~o

nívPl de L:t<.b.:tlhu mus.cula.r no qual ocorre ·o inicio do metabolismo an.<teróbico, mas sim, . representa simplesmente a f"ormulaç~o

mAtemática dos critérios de detecç~o visual cit.ados na literatura ec,;pecifica e obt..idos a desvinculados de qualquer eYp~ri~ncia do pesquisador. partir caráct.er de estudos subjetivo, f"isiol6gicos, proveniente da

F'ara t.anlo, conlou-se com a colaboraç~o da Seç~o de

HE>mr;;:.di n.a.nu Cd. o= Funç:::lo Pul mr_,nar do Hospi t..al das Clinicas FMRP-USP • onde foram realizadas sessões experimentais que culminaram na obt. .:cnção dos dados que est..ão analisados ao 1 ongo dest.e 'L r abal ho.

..

O MODELO DE REGRESSÃO LINEAR SEGMENTADO

Ill.l

lNlRODUCAO

um conjlmt.o

.

funcional, L;Ompost.o por uma sequénci a de sub-modelos 1 i neares

distint...::.s, rel a+..i vos a uma part.i ção no domi nio das variáveis

associados a um component.e e~t.oc~st.ico. A t.al

relac.ionament...o funcion;::;.l denomina-se. est...a-Lis-Licamen-Le. Modelo de

Formalizando mat...emat...icament...e es-La definição, sejam X e Y

•~lacionam at...rav;,:i,s de um modelo de regressão linear segment.ado.

Por-Lant...o, considere uma cer"La part.ição no dominio da sequ~ncia X :

{P p

1 2 Pk)., a qual induz de forma biunivoca uma part...ição no

en~re X e Y pode ser represenlado da seguinle maneira: ECY)

=

f' -C X) I C X) + f' C X) I C X) + 1 p:l 2 p2 onde, 1 se X E P. ~ I

c x:-,

= f> L

o

caso cont..rário Oi. f' C X) L

=

E

e

xj j =O i.j

.

para lodo i

=

1,2, .. ,k

onde, Gi é o grau do polinômio de indice i .

Desle modo, lem-se que a esperança de Y. ECY), pode ser eslimada alravés de uma composiç~o de !'unções lineares nos parâmelros, dos valores amoslrais assumidos por X. correspondenles ao elemenlo da par't..ição à qual perlencem.

Alravés de uma nolaç~o dif'erenle, pode-se escrever o modelo propos't..o como:

0:1.

..

E

e

xj _{+ & Ao}

_s

_X

_s

_Ct j=o tj :1. 02

E

B xj ₊ & C ;i. .( X ~ C2 2j 2 J=-0 y

₌

_C3.1) onde. + & K ck-t < x S Ak

k, Ao, Ak e Gi Ci

=

1,2, . . . ,k) são cons~an~es conhecidas; EC& i.) =

o.

EC&.&. 'J

\. \.

2

= Ia ~ i

=

1.2, . . . • k

Os x's são valores amost.rais dist.in~os rela~ivos à variável X e preservam uma cer~a ordenação.

Ao ~ X ( • • • ( X S cs ( X ( • • • ( X ~ ck-t ( . . . ( X S AJc

S :rt XS+t Ilc-t N

O Vét.or C

=

·ccs,c2, . . . ,ck-s) das. abscissas. dos pon~os dê

~ransiçSo, pode ou n~o ser desconhecido, sendo que, uma vez

assim considerado, ~orna-se pa.râme~ro do modelo. devendo ser

es~imado a~ravés dos dados disponiveis. Nés~e caso, o ve~or I

=

C I s. • I 2. . . • • I k-s.) , dos i ndi cr:~s. que induzem. par~ição na sequância ordenada, ~ambém é considerado parâme~ro do modelo;

e

de grande inLeresse o cago em que o mod~lo de regress~o

segmenLado é composLo P?r apenas dois sub-modelos lineares . ' .

di st.i nt.os, assoei ados a uma part.i ç~o no donú ni o de X, _compost-a por -'llp.,;:,nas dais &1 ement..os, X <P

1

p }.

2 A est..e modelo denonúna-se Modelo de Reqress~Q Linear Bi-seqment.ado, e pode ser represent-ado

not..ac~onalment..e como: onde, I . CX)

=

p\.

=

t" C X) I C X) + f C X) I C X) :1 pl 2 p2 ai.

E

e ..

1

o

xj se X E P. ~ caso cont.rário f CX) \. j =O \.J

onde. Gi é o grau do polinónúo de indice i Ci = 1,2).

ou ainda, 01 xj

E

e

+ & Ao

s

X

s

C1 j=o 1j 1 y

₌

02 xj

E

e

+ c C1 < X 5 A2 2j 2 j=o (3. 2)

Para o qual supõe-se t.odas as ~onsideraçê5es fei t.as ao . modelo.

Seria relativamente simples se o modelo def'inido em

v«.lores dê!' ab-::.ci.ss.;..s. dos pontos .de transição Cno caso. o vetor

,:j paT ti r dos dados di sponi vei s. o que i m!Jl i c a em um ·substancial

Em d.SSOCÍação às dif'iculdades proporcionadas pelo

ci~sconhec1ment..o dos valores do velor

c.

muitas vezes depara-se com

.:.. nec~s<;i dade de ~.e impor deter:nunadas restrições aos parâmetro.s 8

dó modelo, visando uma melhor adequação do problema estat..ist..ico

fot' mal1 :.:.<:;.do ao real análise. i.mplic;ando a.ssi m.

nu·v'~.rn.,:~nt. <::>, no Cl'escimenlo da complexidade do modelo propos'lo.

ern vista o

portanto encon~rar est.i mat.i vas

modelo abor-dado

c

3. 1). deseja-se para os parâmetros 8 • 8 • . . . • 8k.

t 2

c

e I. Pa.r·a tanto. comumente. f'a.z-se uso do critério dos Mini mos Quadrados, ou seja, estl. mam-se os parâmetros 8 • 8 • . . . •

ek.

1 2 C e I.

t. .:..i s c_p..1~ · mi tu nu :;.:e-m a funç:~o Soma das Somas de Quadr· ados de

·.

Pesiduos CSSQR), dada por:

k =

_E

_E

i.=t ci.-t < x j ;5; c\. (y J 2 f.Cx .• 8.)J . L J L

onde co = Ao e Ck = Ak

...

No caso de modelos de regress~o linear bi-segmen~ados, os.

de mini mos quadrados ·para

~ A A ~

8 •

~ 8 • 2 c e I

C 8 • 8 , c e I) s~o valores que minimizam a f".unç~o Soma das

t 2

Somas de. Quadrados de residuos, dada por:

1 SSQR =

_E

J = :l (y J N +

E

j=I + :l [ y. J 2 f"Cx .• e)J. 2 J ·2

sujeita. ou não, a determinadas res~rições nos parâme~ros.

A adoção do cri~ério expos~o na es~imação anali~ica dos parâmetros do modelo tra~ado, ~orna-se um ~rabal ho não ~ri vial, visto que a !unção SSQR possui, po~encialmen~e. diversos minimos locais e é não di!er~nciável em um cerl.o número de pon~os

Cespecif"icamenle se algum x. coincidi r

J.

dos pontos de ~ransiç~o ci~

com alguma das abscissas

Trata-se por~an~o de um ~rabalho es~atis~ico de razoável complexidade. porém. de grande aplicabilidade em problemas reais, o que contribui para o prosseguimen~o das pesquisas a ele dedicadas.

Convém salien~ar que a par~ir des~e momen~o. o ~rabalho

será reslri~o ao ~ra~amen~o de modelos de regressão linear bi-segmenlados (3.

a:>.

lendo em vis~a a resoluç~o do problema biológico que.· ao f"inal. merecerá consideração.

III.2.

CL/\SSIFICACAO

Dos

Moon os

DE

R~GRESSAO

LINEAR

Bt-SEGMENl ADOS ~

H1_{.tdson C1966) sugere uma classificação para os modelos de}

cont.1nuos, c..lrc..ves da .1 mpos.1ção da seguinte

restr1ç~o ~os par~melros do modelo:

A: f ( c ·t 8 ) 1 :;: A . A f Cc 2 8 ) 2 (3. 3)

N,_:-. caso de modelos cont.i nuos. o ponto c é denomi n~do

,;.,. r·é:fer·8r·.e:.1"" .do· ponto c 4 f e i t a como pont.o de mudança ou t.r-oca de . f ases.

Ante;:; dE> rGt.omar a ssquéncia da e:..cplanação, comenta-se

que o ajuste de modelos de regressão linear bi-sGgmentados

descontinuos é um problema de f á c i l resolução mas, contudo, não

::..er.;:, c..bordado neste t..rabalho (ver- Hawkins, 1976).

Coo:;ti~a-se é:linda, agora relativo aos modGlos continues,

Sübr.;. a possibilidade do ponto de junção c coincidir- ou não com

um dos valor·es. amostrais observados x's e, sobre a :forma como

o.:..:o: . ..>rr·e ess.:.. JUnç~o. suave ou bruscamente. Estatisticamente, tais

conJecturas podGm ser incorporadas ao modelo de regressão linear através

p.:..r ~rnetr os:

B: :;: x···. _{C> LI}

I

das seguintes restrições

x .. "

<

I c

<

x""· I+~

i mpost.as aos

C: ... f.

c

c t ...

e )

t

=

r-.

c

c .• 8 .) 2 2

...

onde. I

=

CG1 +1 .G1 +2 •... ,N-CG2+1)); G1+1 é o número de parâmet-ros sub-modelo f

c.

..

) ;. i G2+1 é o número de parâmet-ros sub-mod.:.lo f

c.

..

)

.

2 f •

c

c , 8) =

a

f

c x ,

8) /

a

x

~ ~ X=c C3. 5) à serem est-imados no à serem est-imados no

Assim, apesar de t.rat.arem-se t.odos, de modelos de reg1'essão 1 i near bi -segment..ados, cont.i nuas e com rest.ri ções nos parâmet..ros. Hudson (1966) classifica-os em t..rês t.ipos, visando ot..imizar os procediment..os de anàlise. Segue-se a t.abela,

TABELA III.1. Classificaç~o dos modelos de regress~o linear bi-segment.ados segundo Hudson.

f'Cc ,

e )

.,t f'Cc ,

e )

t :1. 2 2 (junção brusca) ... f•Cc 1 e ) 1

=·r•cc

2 Cjunç~o suave) ...

e )

2 ... C .,t X "' I TIPO I TIPO III ... C = X " ' I TIPO II TIPO II

DeL.a.lha.ndo ·um pouco mais as inf'Cirmações conLidas na Tabela C I I+ .. 1. ) • segue-se:

1.

Junção do

TIPO I.

Uma· junção é di 'la do

TIPO I

quando:

( i ) c es'là es'lri'lamen'le res'lri'lo ao int-ervalo en'lre dois

valores sucessivos x's. is'lo é,

X A (

I c ( X "' l+~ I

=

G1+1.G1+2 •...• N-CG2+1)

Cii) as declividades dos modelos adjacenLes não são iguais no

pont...,o de junção. isLo é,

f'Cc. 8 )

~ i. ;ll!

r•cc •

2 e ) 2

2. Junç~o do

TIPO II.

Uma junção é di 'la do

TIPO I I·

quando:

( i ) c é igual a uma das observações amos'lrais x's. is'lo é,

I I

=

G1+1.G1+2 •...• N-CG2+1)

c

=

X A

3.

Junção do

TIPO III.

Uma junção é dita do 'lipo

III

quando:

Ci) c está estritamente restrito ao intervalo entre dois valores sucessivos x•s, isto é,

X A

<

I C ( X " ' I+S I

=

G1+1,G1+2, . . . ,N-CG2+1) C i i) as declividades dos modelos adjacentes sã:o iguais no

p~n(o de junção, isto é,

"' f 'C c 1

"'

8) 1 ... = f'Cc 2 ... e ) 2

Nest.e caso, deve-se observar que f C. , . ) e f C. , . ) não

t 2

podem t.ar , si mul t.aneament.e, as for mas funcionais de uma const.ant.e ou de uma ret.a, ressalva-se o caso em que

f C . , . )

=

f C . , . ) .

t 2

....

111.3.

PROCEDIMENTOS DE ESTIMACAO

•

Classificados os modelos que porvent.ura possam vir a ser considerados sob o enfoque de regressão linear bi-segment...ados, apresent-am-se, nest...a et...apa, alguns procediment-os est...at...ist.icos relat...ivos a est.imação dos parâmet.ros 8 •

f. 8 • 2 c e I • at.ravés do

crit.ério dos minimos quadrados, de forma a obt.er um núnimo global para a função Soma das Somas de Quadrados de Residuos CSSQR), dada por: SSQR

₌

E

j = t 2 [ y - f C x . , 8 ) ] . J t J t N +

E

j=:l+f. [y. J f Cx .• 8 ) ]2 2 J 2 (3. 6)

levando em consideração algumas das relações de rest.rição às estimat.ivas dos parâmet.ros, apresent-adas em C3.3), C3.4) e C3.5).

A principio, suponha conhecidas as formas funcionais pol i nomi ais C G1 e G2) das funções f C • • • )

t e fC . • . ). z Sendo assim,

dist.ingu~m-se dois casos relat.ivos a soluç~o do problema: o

primeiro caract.erizado pelo conheciment-o prévio do valor do pont.o de junção dos modelos adjacent.es, c, e o segundo, caract.erizado pelo desconheciment-o dest.e valor e pelo desejo de est.imá-lo at.ravés das observações amost.rais disponiveis. Segue-se uma

CASO 1. PonLo de junção conhecido .

.

.

.

Suponha conhecido o pont..o c de junção dos. sub-modelos. adjacent-es e, em consequência, o indice· I que det-ermina a part-ição no conjunt..o ordenado das variáveis independent-es X~ O procediment-o de es"ti mação dos parãmet..ros

e

e

e

se rest..ringe basicament..e ao

1 2

ajust..e, em sepa1'ado, via· minimós quadrados rest..rit..os (ver apêndice

2), dos sub-modelos de regressão adjacent..es. Para t..ant..o, bast..a aj ust.as' o primeiro sub-modelo 1 CX,8)

1 1 para os primei r os I pares de obs.er vaçe5es Cx , y ),Cx , y ) , . .

1 . t 2 - 2 ,Cx I , y ) I e, o segundo sub-modelo

r-

cx,e)

2 2 para os rest..ant..es CN-I) pares de observaçeses (X ,y ) , C X , y ) , . . , C X , y ) ,

I+1 1+1 I+2 1+2 N N condicionados às rest..riçê5es impost..as aos parâmetros.

Por . exemplo, suponha o aj ust..e do modelo considerado a segui r:

e

+

e

X. + &. j = 1 , 2, . . . , I 11 12 _{J J} y. = (3. 7) J 8 +

e

X. + &. j = I +1, I +2, . . . , N 21 22 _{J J}

sujeit..o a rest..rição de cont..inuidade no pont..o X

=

c, ist..o é,

e

+8 c = 8 +8 c

~·j am as ubser· v ações amosLrai s., repres.enLadas sob a forma mat-ricial da seguint-e ·forma:

y Nx1

=

Cy y 1 2 . . . y · I y I-t-1 . . . y N ) '

e

=-

ce

e

e

e )•

4X1 11 12 21 22 E :: C.r.: é: Nx~ 1 2 1 1 X

₌

1 Nx4

o

o

o

R

=

(1 c 1X4 E é: X

..

X 2 X I

o

o

o

-1 I I+~

o

o

o

1 1 1 - c )

o

o

o

c ) ' N X 1+1 X N

DesLa maneira, obLém-se o esLimador aLr·avés da expressão:

onde,

'"'+

CASO 2. Pon~o De Junção Desconhecido.

Suponha agora desconhecido o valor do pon~o c de junção dos modelos adjacentes. Nes~e caso, deve-se conseguir es~imá-lo

"'tr..=;.v~·s da-s obsoe;rvaçô.;>s amostrais disponíveis.

c E: ( x--· , xr. ] _{o modelo torna-se não}

j 1+1

line;;r· nos p~·r·c.metros e a s.u.;. estimaçao analitica por minimos quadrados torna-se bastante compl~xa, vist6 que, tanto c quan~o I são considerados paràmelros adicior1;;;.is ao modelo ~ra~ado.

Hudson ( 1 G66) comen~a que a resolução anal i ti ca dest.e modelo pode apresentar grandes dificuldrides algébricas e. portanto, f•ropõe que a solução'do problema seja pesquisada através de técnicas iterativas.

De acordo com a sugestão de Hudson (1966), Lerman (1990)

propõe um procedi mént..o "al t..érnêo.~i vo" embasado em concei ~os; de· us;o frequente na estimação de parâmetros de modelos de regressão não 1 inear.

Segue-se uma descrição suscinta do procedimen~o proposto por Hudson (1966) e do procedimento proposto por Lerman (1990).

seguida de alguns. comentários acerc:a das vant.agens ou desva.nt.a.gens quando do uso de um ou outro cri~ério.

...,

IIL3.·

o

PROCEDIMENTO DE ESTIHACAO DE HUDSON

•

O Procediment-o "padr~o" (denominação de Lerman, 1980),

descri~o por Hudson C1Q66) e mais ~arde re~inado por Hinkley

C1969, 1971), leva em consideração a classi~icação do problema abordado segundo a sua propos~a. apresent-ada na Tabela III.1.

Dest-a forma, a cada um dos t..rés t-ipos de modelos descrit-os, associa-se um procediment-o especi~ico para a est-imação dos parâmet-ros c e I do modelo de regressão linear bi-segment..ado, visando a ot-imização do t-rabalho comput..acional requerido.

Tais procediment-os part..em do principio de que o

pesquisador int-eressado na aplicação da met-odologia possui o conheciment-o prévio acerca da classificação (segundo a Tabela

III.1.) de seu problema especi~ico. Dest..a f'orma, ele poderá recorrer diret-ament-e a um dos t.rés t-ipos de procediment..os propost-os e conseguir. de f'orma ot..i mi zada. os r esul t..ados de-sejados.

Ent..ret..ant.o, se não for possi vel cl assi ~i car previ ament..e o problema em quest-ão. Hudson (:1966) cit..a ainda um procedimen~o

geral para a est-imação desses parâmet..ros.

Dest-a forma, exet..uando-se o procediment..o propost..o relativo a modelos do TIPO III. que merecem at-enção especial. o procediment-o geral sugerido por Hudson est-á baseado em dois

1. }k-' priru.;..il·o ~s.t.~gio, ajust.a.-se_o modelo C3.2). a.t..ravés das t=?xpressf-íes de mini mos quadrados ord~ná,rios. para t..oda.

pat~ti ção das obséT' vações. ist..o para t.odo

,·,

I =Gl +1 , Gl +2, . . . , N-C Ga+1). sem que qualquer rest..riç~o seja imposta aos par àmet.ros.

pcir· t.i çâo tomada, as est.i mat.i vas dos pont..os de

·"-~c. oot i d.;.s .=.traves de uma função 11 ne.=.r das

~:;., '· 1 rh;t ~ I \iv .. :tS 8 t=? 8 ' 1 2

l'•:.s.tr·1ção de cont..inuidade, ou seja, f Cc

1

e )

=

f ( c

t 2

e).

2

Pu1 e:..:ernpl o, c;-~.sL-:. o modelo consi der .<:tdo fosse aquele descri t..o em "'

( 3 . 7 ) , o v~lor da estimativa c seria obtido das est..imalivas

,.._ ,..,

8

e

12 H. 2:1 e 8 22 at.r;.ves da formulação algébri.ca da

i:t rt?st r· i ção

e

+

e

c c t t 12

=

( 8 21 de cont.inuidadê.

=

e

+

e

c 21 22 8 ) / ( 8 11 12

....

e )

22

que resul t.a em.

"'

~-.e esta estimat-iva de pont..o de junção obt..ida. c dividir as

observações na mesma partição fixada antes do ajust.e Cisto é "'

se x"'

<

c

<

x"" )

1 1+1 então o ajuste é di t..o admissivel, e sua

Hudson prova que, quando o ajust..e é dito admissivel, a soluç~o

do modelo segmo:or1t..ado irr·estrit.o é igual à soluç~o do

2. No segundo es~ágio, re~omam-se aquelas par~ições viáveis cujos

ajust.es r'lã:o foram cons.ider·ados admissíveis no primeiro es~á.gio_,

subme~endo o modelo proposto ao mé~odo de estimaçã:o discuLido

no a pendi ce 2 CSol ução do Modelo de Regressão Linear com

lêva.ndo o::~m col'lsi der ação, . ·des.~a

r .:-st 1-::.·; ào dt'-t que o pc,nt o de _i unção deve coincidi r com

c

=

x···. ; , .;,.lém d.:..·;::. dt>ma1s r"?striç~)es:. quü porventura venham a

I+ 1

:::":>r cof'l<::.ido:.:trada.s. Desta VE>Z, procadEo-sE> a <'l.not.a.ção do valor da

A solução de

parâmetros

mini mos 8 ,

1

e,

2

quadrados para o problema de

c e I do modelo de regressão

1 i near bi -segmentado C st?gundo o p1~ ocedi mt.ont.o' de· Hudson) é er.t.ã:o

"'

tomeo.dél. r·e.lél.l.iv.:.mo:.lYle- ao minimo valor· l'lumérico as.t.imado d& SSQR ou

/ · .

SSQR+, obtido nos dois est.ágios descrit.os.

""

III.3.2.

o

PROCEDIMENTO DE ESTIMACA,O DE LERMAN

Um procediment-o al t.ernat.i vo àquele propost.o por Hudson

(1966) foi apresent.ado por Lerman (1980) e est.á baseado em uma

adél.pt..:...-;;~o da técrlica do "Gr·id-Sear·ch", ut.ilizada l'la resoluç~o de

modelos de regressão não lineares.

Este, consist.e do mapeament.o da função'SSQR (3.6) sqbre

c.andid.a:las à estimativa do por:'to de junção c. obtidas através da di Vl. .s~o dos i nLerv.al os [ x-"'

I x" I +1 J em sub.inLerv.alos menores.

forma, embasado na proposta de Lerman. de carácter computacionalmente intensivo. adota-se o seguinte procedimento nà. solução do problema em quest~o:

1. Cada i nler valo ( x"'

I x" ) I +:l onde provavelmente possa ocorrer o

2.

ponto de junçSo. deve ser dividido em k partes. onde k

.

depende!~ à d.d. .d.mpl i tude do i nt..er valo e da precisão com que se

deseja estimar c. Portanto toma-se.

d

=

Cx"'

l + t x"') I /.lc

Ao limit..e inf'erior do intervalo.

incremento d calculado no passo 1. varores intermediários.

x" ( x"

<

x"

<

J I+d 1+2d

<

x" I +<lc-:l)d

<

x" I +1

adiciona-se o valor do de f'orma a obter. lc-1

3. Para cada v.alor obtido no passo anterior Ceada nova. abcissa f'ixada. correspondente a um ·provável ponto de junç~o

c).

... "'+ determina-se

e . e

:l 2 e também· o valor da estimativa da funçã:o

SSQR. t.al ·como no

CASO 1

(sessão III.3.). onde conhecia-se

antecipadamente o valor de c e I.

4. Finalmente. adota-se como soluçã:o do problema de estimação dos parâmetros ... + menor SSQR •

e.

:l

e •

2 c e I. as estimativas ...

sobre todos os possiveis I.

C~men~a-se que o procedimen~o _propos~o por Hudson á

devidamen~e apr-opriado e pode ser -~o~al ment;e implementado

compu~acionalmen"le, vis"lo t.r-at.ar--se de um procediment-o

algori"lmico. En~re"lan"lo, deixa bas~an"le a desejar ou simplesmen"le é di t.o inapropriado em cer-"los casos mais gerais, como por exêmpl o quando o modelo segmen"lado S>m est.udo comp~e-se de sub-modelo n~o

1 i ne>.;tr es nos parâmet.ros, ou ent.ão quando. mesmo compost.o por sub-modelos exis~irem r-az~es con"lunden"les para se def·ir'lir- prévios int.ervalos acerca da est.imaÇão do pon~o de junção.

Rela~ivo ~ consideração de sub-modelos não lineares.

pode-se dizer que o procediment-o de Hudson é inapropriado, o que. no procediment-o de Lerman pode ser f'acilmen~e incorporado

si mpl esmen"le medi ant.e a modi f"l cação da me"lodol ogi a de es~i mação·

ci-Lada III. 3. 2 passo 3) por ou~r-a devidament-e

convenien~e. como por exemplo, a ~écnica de Marquardt. Cver Draper

& Smi t.h. 1 G66) .

F'acilment.e, t-ambém. incorporam-se ao procediment-o alt.ernat.ivo de Lerman cer~as inf"ormaçe:íes disponíveis acerca da

ocorrência do valor desconhêcido do pont.o de junção c. ao se

""'

considerar os possiveis I •s f"ixados an~ecipadamen~e. Nes~e caso. ser i a ·· ·conveni ent.e ·abordar o assunt.o at.ravés da met.odologia Bayesiana, quê pode ser f'ar"lam~nt.e encont.rada na lit.er-at.ura especif'ica Cver Ferreira. 1976, ent.re out.ros) mas f'oge do escopo dest-e t.r-abalho.

..

CAPITULO IV

AUTOCORRELACÀO SERIAL E MI NIMOS QUADRADOS GENERALIZADOS

_,

IV.1.

INrRonucÃo

_,

Um~· dé<.::..-=. h i pót .. E>:::.E>s pos t. t.tl a das na apr E>"SE>nta.ção do mod~l o d~

regress~o linear bi-segmentado (3.2), é a independência serial do

termo de residuo aleatório. implicila em:

ou

EC& E- )

=

O

t l+S para lodo i Ci=1,2, . . . ,N) e

lodos~ O.

Dest~a maneira, supunha-se que os sucessivos valores de

resíduos comportavam-se independentemente de seus valores prévios.

ent~r·ata:nt.o, sit...uaçõE:-s nas quais a hipótese de

Por exemplo, geralmen~e quando as ob~ervaç~es amo~~rais ~ra~am-se de séries cronológicas· de dados, onde cada valor corr~sponde a um

p.:•r .i. v do d>=> lot:?mpo C ano, ·mês, .... ) , ou t.. ctmbém quando ocorre uma

o?specificaç~ío incorre~a ·da forma funcional da relaç~o en~re as

VCI.riáv'?is, otJ mesmo t.alvez quando ocorrem erros da medida nas

,,

~~_-,c:.~.(~·· ..:.~ ~~.t'm~t.ti.v.;._c::. $ rjA m{n)n\t:l'?. ':JtJaçirad0"S. ordinários

fur8m obtid.;::; diret.amente de conJuntos de observações sobre os

quais n~o se pode postular a afirmaçXo de independência seri.al dos /

r~s1~uos. sujeitam-se as segujnles consequêricias:

- obtenção de estimali vas não tendenciosas para os parâmetros $ do mç•delo:

- c•bt..:;nção de est~imat.ivas tendenciosas da variáncia dos residuos e, portanto, invalidação dos t.est.es t da Student e F da Fishar, realizados sobra a significáncia dos parâma~ros $ do modelo;

obtenção de pr edi çêlas i naf i c i ent.es, com var i ânci as amost.r ais desnecessariamente grandes.

A seguir-aborda-se tal problema sob o contexto do método dos Hi ni mos Quadra dos Generalizados, a par ~i r do qual esboçam-se 21.lgumas das provas das si~uaçõas comentadas acima.

.

.

IV.2. O

ME TODO Dos

M

1 NJMos QuADRADos GENERALIZADos

Pa.ra uma. melhor abordagem dast.e problema., seja o modelo

d~ r~grass~o a seguir, Y

=

X(? + 1.1 onde, y

=

Cy •Y •. :l 2 • v ) • - N ~=c~.~

•···

.(~J' S. 2 k "'l'=Cv,v •.

X

=

S. 2 X S. :i X 2S. X NS. • v ) . X S.2 X 22 X N2 N

Suponha agora que

X :ik X 2k X Nk ECvJ

=

O EC vv • ) = Vo2 , (4.1)

onde V, a mat.riz de variáncia-covariância do t.ermo de residuo, é

uma ma. t.r i z NxN, si mét.r i c: a., posi t.i va def' i ni da e conheci da: ent.~o

-1

V , a mat.riz inversa de V, é uma mat.riz NxN, simét.rica, posit.iva defini da e exi st.e uma. ma.t.r i z n~o-si ngul ar P. t.a.l que:

(4. 2)

Pré-mul~iplicando C4.1) por P. ~em-se.

PY = PXO + Pu (4. 3)

Par·a o modelo de r·egress.ão C4. 3) de PY con~ra PX, deCina-s.e c

=

~Vj e en~âo calcula-se,

ECc)

=

ECPv)

=

PECu)

=

O e

ECec•)

=

ECPvv'P')

=

PVP'o2

Dest.a forma, pode-se port.ant.o, aplicar ao modelo de regressão (4.3) as expressões conhecidas de m.inimos quadrados ordinários, ob~endo,

(4. 4)

que é o melhor as~imador linear. não t-endencioso de variâ.ncia

...

m.inima de ~. ou seja, ~ é BLUE CTeorema de Ait.ken).

A demost.r·ação desse ~eorema pode ser obt.ida at.ravlts da seguint-e sequ~ncia de passos:

1 . EC

;3*)

=

E

c

c x • v-•x)

-~x

• v-•y

1

=

C X' V-1X) -sX 'P'. EÇ PY)

=

C X' V-1X) -tX' P' PX/3

=

c x • v-

1 X)

-•x · v-

1

xf3

=

(1

c x · v-

1 X)

-•x · v-•x/3

+

c x · v-•x) -tx · v-•v

=

13

+

c x · v-

1X)

-tx • v-

1v e port..ant..o.

de posse dessa ident-idade al gébr i c·a. denominada "erro amost.ral", obt..ém-se a variância do est.imador:

C4. 6)

p~r~ que esse novo es~imador seja não ~endencioso, necessi~a~se

que:

AX

=

O _{C4. 6)}

por·t.<:ült-o, o err·o amost..ral desse es~imador é dado por:

e a ma~riz de covariâncias,

= =

os dois úl~imos ~ermos são nulos, vis~o a observação ~ei~a

em

c

4. 6). en-Lão, essa mat-riz de cavar i ânci as excede VC~)

...

C4.5), por uma ma-Lriz posit-iva semi-de~inida o2AVA'.

Vejamos a seguir. o que acont-eceria se, errôneament..e, aplicássemos mini mos quadrados ordinários ao modelo (4.1).

Admi -Lamas por-Lan-Lo, que para -Lal modelo ~osse calculado o est.,i mador OLS:

...

C X' X) -tx·· Y

~

=

=

C X • X) _,X 'C X~ + v)

Uma vaz que ECv) C 4. 1 ) . . SQgu.--s;g qug C(J - (D

=

O, -1 . = C X' X) X' v, EC(5) g port.ant.o,

·"'

E [ C(5 (DC(5-(D'l

=

[C X' X) -1X' . EC l..IV') . XC X' X) -1 J d V I . ' 1 et2C X ' X) - t .

que, no caso e

=

ser1a 1gua a

ist..o é, o

Assim, como V .,.! I, o cálculo das est..imat~ivas d'd (5 at.ravés "'

de minimos quadrados ordinários, ~. resultaria em est..imalivas n~o

Dando pr os~~gui menlu ao e==-ludo do mét.odc)' cics mini mos quadrados genGralizados, o cálculo da sslimaliva da som~ de

quadrados de residuos é dada por:

.····:,t;

=

C PY - PX(1 ) 'C PY

i.. '{

1. _{em r· art<.1•,:,,} b .J _em .--4 ·'"' _{·~ · . -±.J , que}

,:·,*.

_~ = Y'V-1XC.X'''-_" 1_XI. - i

portant.o,

•

SQF~

esCa t.i st.i c a,

ond~ p

=

k: + 1,

,

IV.3.

MtNIMOS QuADRADOS GENERALIZADOS AuTocoRRELACIONADOS

Seja o modelo d~ regress~o.

y

=

X(1 + v com l ) t = p l ) l-j. ECc) =

o

t EC.t:?)

₌

o 2 l EC& c ) l l-h ou + /,; l =

o

=

1 k

E

i=O + l ) t. para t.odo h ;;~! O

,

E RESIDUOS (4. 8) t.

=

1,2, . . . ,N t . = 1 , 2 , . . . • N k;::;i m. o po~t.o d• mat.riz X. RankCX). é igual a p

=

k + 1. Tem-se ent.ão,

v = p v + c l l-1 l

=

p Cp

=

l_l l-2 + c l-.t ) + c \ ·2 = c + p c + p c + l l-1 l-Z i s t o é, 1.1 t

=

E

T=O T p F.C u )

=

O t c l-T VC

v

t )

=

EC

v:)

=

C 1 + p 2 + p 4 + . . . )

cl

2 2

=

a / (1 - p ) EC v 1J )

=

E ( ( c ₊ pct-1 + ... ) ( c l l - h l l-h h 2 h+2 2 h+4

=

p a + p a + p a2. por~an~o. ECv)

=

O 1 p 2 p

=

=

e 2 h Cl 2 a p + p 2 h / (1 Cl p

-EC vv')

=

Va , 2 p 1 p 2 p p 1 N-1 N-2 N-9 p p p + p

..

+ p2) onde: N-1 p N-2 p N-a p 1

...

) + + pc l-h-1 + .•• ) J

...

1 -p

o

o

o

1 +p 2.

_o

_o

-p -p

v-'

p•p

_o

_1+p 2

o

o

-- ::: _-p

o

o

o

2 1 +p -p

o

o

o

-p 1 e.

-r--1

2 -p

o

o

o

o

-p 1

o

o

o

p

=

o

-p 1

o

o

o

o

o

1

o

o

o

o

-p 1

e desta forma. conhecido o valor de p. pode-se aplicar as expresse5es de mínimos quadrados generalizados vi st.as até ent.ã:o. para a estimação ~os paràmet.ros ~do modelo (4.9).

IV.3.1.

METooos DE EsTtMAcÃo Do PARAMETRO AuTORREOREsstvo _,

Segue-se uma descrição de alguns procediment-os de est.i maç~o do parâmet-ro aut.orregressi vo p. o que consist-e em uma et.apa preliminar no ajuste do modelo (4. 9) • at-ravés de mínimos quadrados generalizados.

O primeiro pa.~so envolve .a est.ima.ç~o de p ..:,

raxprcasst:icas de minimos quadrados gencaralizados C4.4).

O procediment-o pode ser repet.ido it.erat.ivament.e, aLé que

"

sucessivos valores de p sejám t.~o próximos quant.o uma cert.a medida

de erro adotada C i st.o é • at.é quo sejam aproxi madamG>nte iguais).

Est.ima-s""' (3 por minimos quadrados ordinários; tomam-s,;;. os

,...

l_l ..,, e ajtJst.a-s,;;. uma regr,;;.ss~o line.;;..r simpl.;;;.s

l ...,., ,. .... de u l contra 'U • l-1, ~st.ima-se parâmetro ,... p

=

c

_E

l=Z 'ti • l - t i s t o é: 'll l ,... 'I) ) t-1 N '"'z

/ E

v l l = 1 1.2. ~rocedimento de Durbin. X t-1 toma-se est...im.at...iva de p. uma a esti mat.i va

p através do valor ajustado

do coof i c i E.•nLe

y

. t conf_ r.::. y . t - i

c:nmo

do

Con\IÕolnt.a-se que o proc.;;;di ment...o de Cochr .;;..r,.;;.·-Or cul.t... envul Vtêl

. '.

pí i nc::i pcd m~nt.g quc;,.ndo o

2. Píoc"'dimenl.o "S....arch" de Hildrgl.h g Lu.

Calcula-se por mínimos quadrados generalizados para

:-··.

di f'erenl.es valores de p em i nl.erval os de compr i men+Jo O. 1 no

" *

inlervalo (-1,1J~ calcula-se a SQR C4.7) em cada caso~ escolhem-se

A " • A •

·aquelas est.i mal.i vas de p e de . (3 correspond~nl.es à menor SC,1R •

o processo para menores em l.orno da

est.imal.iva p e~colhida.

,

IV.4.

MtNIMOS QuADRADos GENERALIZADOs E REsl·RacÕ~:.s LtNEARfS Nos

...

PARAt-1ETROS

Dando prossegui ment.o ao est.udo da mel.odol ogi a comument..e

residuos aut.ocorrelacionado~, apresent..a-so;;,

::>

L • ' que:.ndo

i n.;;;:·:.. r P::: .

Desta forma, ~eja o modelo,

y = X{~ + v R(~

=

O ondQ. EC v )

=

O ECvv')

=

Vcl Sb'Ç~O uma _, -I. a~

c

'l. Q) •tm

LleVt'fi\OS ent-ão es-Li mar- os par· âme-Lr os do

modelo C4.9). de f'orma. a. m.i ni mi za.r a.

-

..

função SQR#

₌

sujeit-os às· rest..r i çê!íes.

R/1

=

O.

-1

Seja a função S

=

CY - X~)•V CY- X~) + 2÷R~

onde À é o vetor dos Mul~iplicadores de Lagra.nge

Derivando a !unção Sem relação aos parâmet-ros ~e ~. ,•

a s / a

À

=

2R~

Tomando-se as derivadas iguais a zero. const..roe-se o seguinte si s:Lema de equaçê!íes. denominado . Si slema de Equaçê!íes Normais.

c

4. 1 0)

=

o

(4.11)

Malricialmenle, pode-se representa-lo como.

X • V-~X R• "'# _~ x·v-~Y

=

Pr~-mul~iplican~o ( 4.1 0) por

-RC X' V-1-X) -1-X' V-1Y + RC X' V-1X)

-te

X' V-1X) ~~ + RC X' V-1X) -tR' ):_~. = O -RC X' V-1X) -:t.X' V-1Y + R.(1~ + RC X' V-1X) -:s.R' ~~

=

O

como

₌

no modelo generalizado irrest.rit.o

C4.4), t.em-se que:

Substit.uindo esse result.ado em C4.11) e not.ando que

-:l _,_

RC X' V X) R' é n~o singular , t.em-se:

,·.# À

=

que, subst.it.uindo-se resul t.a: ~#

₌

"'# ~

=

+

=

R' [ RC X' V-1X) -tR' J -1R~11 R' C RC X • v-"X) -"R' J -:I. R~• = -1 -1

Pré-mult.iplicando por CX'V X) , obt.em-se:

'-·

o

em

c

4. 1 0),

Porlanlo, o eslimador de núnimos quadrados generalizados

I' es. LI'~ to é 1. gual ao · esli mador de mi·ni mos quadrados generalizados

irrest..rit..o~ 'mais uma combinação linear das ·restriç5es R~

...

.

A es l i ma l i v a da soma de quadra dos de r es1 duos par a o modelo reslrilo 6 dada por:

o #

SQR

₌

'{' .. _,-•y

Subs.lituindo

~#por

sua

express~o

em (4.12), tem-se:

SOR#

=

Y' V-1Y - 2Y' V-1X {~• -C X' V-1Y) -tR' C RC X' V-1X) -tR' J -tR~•) +

+ {~• -C X' V-1Y) -~R' C RC X' V-~X) -~R' l -tR~"">

'C

X' V,..."X)

{~• -C X' v-"y) -~R' [ RC X' v-"X) -tR' J -tR~•)

qu~ depois de algumas simplificações, resulta em:

e finalmenle,

onde,

sÔ.R •

=

y

~

:y-"-y -

2Y •

v-~x~·

+

~·

• x •

v-~x~·

= CY X(? ) '

...

V

-

1C Y - X[? )

...

c

4.. 13)

que é a soma de quadrados de r es1 duos do modelo generalizado

irr~~lrilo~ sninimo~

quadrad~s geno::;ral i :zados, consegue-:se provar propriedade::; opli mais

~-# .··· #

CAPITULO V

O MO DEL O EST A·TI STI CO

NA RESOLUCÃO DO PROBLEMA BIOLÓGICO

V.1.

INTRODUCAO

Nesta etapa do trabalho. busca-se adaptar a metodologia

QS~atística propos~a nos capitules III e IV. ao problema biológico

descrito no capitulo II .• na tentativa de se obter estimativas para o parâmetro ~isiológico Limiar de Anaerobiose (LA).

Um es~udo detalhado do 'tema biológico abordado conduz à

proposta de r_-epresant.ação astatist..ica do ~anômano. através da um

~ stJ.j~í

to a

r~sidtJos atJt.ocorr~lacionados, s~ndo qtJ~

assim, o ponto

de junção da ~ases representaria o instant..e da investida do met..abolismo anaaróbico no processo orgânico da obt..enção de energia assim como propost..o por Wasserman (1964).

de se estudar o fenómeno a.tr.avés de um modelo

rl~ regress~o bi-segmen~a.do baseia-se na tentativa de se formalizar

estat1st1camente os c r i t é r i o s de de~ecção do LA. oriundos de

esr.udos f1S1olog1cos (seção 11.2.) e aplicados subjetivamen~e a

1 IlV.dsi vas, pr ov0r11 ent e's de

.,.. T -,

. l . l . - &.:... t rJe·~ t. a e: .d.rn --·:=: .. e

prqpo:::-.to. F~elembr.dndo-se então que t..odos os crit-érios de det-ecção

;:,.drni t. i ?--.m IJ!(I:.\ no ~omportament.o

·~~r-t-1 f 1 c·t: ... respos+ .. ;;:.s cardiorespirat6rias tHlli=a··fam-se deste ponto de alteração para quantificarem o seu

./;:..l··_H. r:~·=t_;:. for-ma. est.=ttl.sticamer1te, raciocina-se em t-ermos de um

rel.;:..c1oname.>nto funcional entre variáveis, composto por dois

sub-mor.:!elc~c; ctist.1ntos, de maneira a adotar o ponto de int~ercepto

ent. r e.> sub-modE~l.os como um indicador no cálculo das

ast1mat1v~s do LA.

Consta ainda da proposta que t a i s sub-modelos deveria~

lin-:oar·es. nos parâmetros o que. inicialment-e, poderia ser

ju.5tiflc.ddo at~re..vés do. argumento da facilidade computacional no