TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia

Especialização em Estruturas

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

Considerações sobre a Formulação de Diversos

Elementos Finitos em Exemplos de Aplicação

Professor: Fernando Amorim de Paula

Aluna: Erika Marinho Meireles Leitão

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1: Elementos de Mola... 10

Figura 2: Elementos de Treliça ... 14

Figura 3: Diagrama de Barras e Nós da Treliça ... 14

Figura 4: Elementos de Viga, Mola e Treliça ... 19

Figura 5: Diagrama das Barras de Pórtico e de Treliça e de Nós ... 20

Figura 6: Estrutura Formada por Elementos de Pórtico e de Treliça ... 23

Figura 7: Elementos Finitos Bidimensionais Modelando uma Viga Curta ... 29

Figura 8: Malha de Elementos Finitos ... 33

Figura 9: Malha de Elementos Finitos ... 37

Figura 10: Elemento Finito Triangular de Seis Nós ... 40

Figura 11: Malha de Elementos Finitos de um Sólido Axissimétrico ... 45

Figura 12: Sistema Estrutural Composto por uma Placa e um Cabo... 48

Figura 13: Placa de Concreto... 50

RESUMO

O desenvolvimento de soluções exatas para problemas de engenharia de estruturas pode ser muito complicado por meio da Teoria da Elasticidade, além de apresentar algumas limitações. Diante disso, muitas vezes são necessárias simplificações que podem levar a resultados pouco precisos.

Uma alternativa para resolver os problemas complexos de forma aproximada é utilizar o Método dos Elementos Finitos, que consiste na discretização de um meio contínuo em elementos de tamanhos finitos que possuam propriedades físicas representativas do problema analisado. A imposição de compatibilidade interna de deslocamentos e atendimento às condições de carregamento e às condições de contorno geométricas garantem a obtenção da solução aproximada para o problema.

Apesar da grande disponibilidade de programas computacionais de modelagem de estruturas utilizando este método, o conhecimento de sua base conceitual é muito importante para se fazer bom uso destes programas.

Neste trabalho, são mostrados alguns exemplos do cálculo manual de estruturas pelo Método dos Elementos Finitos, ou seja, sem a utilização de programas computacionais.

ABSTRACT

The development of accurate solutions for structural engineering problems can be very complicated by the Theory of Elasticity and presents some limitations. Therefore, there are often necessary simplifications that can lead to some results without accuracy.

An alternative to solve complex problems in an approximate way is to use the Finite Element Method, which consists in a discretization of a continuous medium in finite elements possessing the representative physical properties of the analyzed problem.

The imposition of internal displacement compatibility and compliance with loading conditions and geometric boundary conditions assure obtaining approximate solution to the problem.

Despite the wide availability of computer programs of modeling structures using this method, the knowledge of its conceptual basis is very important to make good use of these programs.

In this work, some examples of structures are manually calculated by the Finite Element Method, that is, without the use of computer programs.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 7

1.1 Objetivo 8

2 APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 9

2.1 Elemento de Mola 9 2.2 Elemento de Treliça 13 2.3 Elemento de Viga 18 2.3.1 Exemplo 1 19 2.3.2 Exemplo 2 23 2.4 Elementos Bidimensionais 27 2.4.1 Exemplo 1 29 2.5 Formulação Isoparamétrica 32 2.5.1 Exemplo 1 33 2.5.2 Exemplo 2 37 2.5.3 Exemplo 3 39 2.6 Sólidos Axissimétricos 44

2.7 Elementos Finitos de Placas 47

2.7.1 Exemplo 1 47

2.7.3 Exemplo 3 53

3 CONCLUSÃO 58

REFERÊNCIAS 59

ANEXO I – MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO FINITO TRIANGULAR

DE TRÊS NÓS 60

ANEXO II – MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO FINITO RETANGULAR

DE QUATRO NÓS 61

ANEXO III – COEFICIENTES PARA QUADRATURA DE GAUSS 62

ANEXO IV – MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO DE PLACA

7

1 _INTRODUÇÃO

O objetivo geral de uma análise estrutural é determinar os deslocamentos de todos os pontos da estrutura, os esforços internos causados pelas deformações decorrentes destes deslocamentos e as reações entre os vínculos da estrutura.

Antes da existência dos computadores, havia grandes dificuldades na resolução de análises estruturais devido ao elevado número de incógnitas dos sistemas de equações. Para facilitar os cálculos, foram desenvolvidos algoritmos, com os quais se obtêm resultados com a precisão exigida.

O avanço da tecnologia possibilitou o desenvolvimento de programas computacionais que, utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF) e a análise matricial, realizam análises estáticas ou dinâmicas de grandes estruturas.

“No âmbito da Engenharia de Estruturas, o Método dos Elementos Finitos (MEF) tem como objetivo a determinação do estado de tensão e de deformação de um sólido de geometria arbitrária sujeito a ações exteriores.” (AZEVEDO, 2003, p. 1).

O MEF consiste na discretização de um meio contínuo em elementos de tamanhos finitos que possuam as mesmas propriedades. Para formular o MEF, é necessária uma equação integral, tal que seja possível substituir a integral de um volume complexo V, por um somatório de integrais de volumes Vi de geometria simples. Cada volume Vi corresponde a um elemento finito. Como exemplo, tem-se a Equação a seguir.

 = ∑


_{  }

Segundo AZEVEDO (2003), foi nas décadas de 1960 e 1970 que o MEF mais se desenvolveu para chegar ao formato que hoje apresenta maior aceitação, mas só na década de 1990, com a proliferação dos computadores, o MEF finalmente chegou aos projetistas de

8 estruturas. Isso se deve ao fato de que a utilidade prática do MEF depende da disponibilidade de um computador, devido à grande quantidade de cálculos necessária na aplicação do método.

Porém, para que estes softwares sejam utilizados corretamente, é importante conhecer os conceitos por trás do método. “Se o engenheiro não sabe modelar o problema sem ter o computador, ele não deve fazê-lo tendo o computador.” (ALVES FILHO, 2012).

1.1 _Objetivo

Este trabalho tem como objetivo desenvolver o cálculo de algumas estruturas utilizando o Método dos Elementos Finitos, para ilustrar como eles são efetuados sem o uso de programas computacionais. São apresentados exemplos de aplicação contendo elementos de mola, treliça e viga e elementos bidimensionais. São demonstradas algumas ferramentas matemáticas utilizadas nesse método, como a formulação isoparamétrica e a integração numérica por Quadratura de Gauss.

9

2 _{APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS}

2.1 Elemento de Mola

O elemento de mola é o de formulação mais simples dentre os diversos elementos finitos. Apresenta-se a seguir o elemento de mola que transmite apenas forças axiais e, consequentemente, sofre deslocamentos axiais.

A deformação de um elemento de mola é dada pela diferença entre os deslocamentos dos dois nós que compõem este elemento, ou seja:

δ = u2 – u1 A força axial resultante na mola é:

F = k x δ = k(u2-u1)

Para que haja equilíbrio, é necessário que a soma das forças nodais seja nula, portanto: F1 + F2 =0 ∴ F1 = -F2

F1 = -k(u2-u1) F2 = k(u2 – u1)

Este sistema de equações pode ser representado na seguinte forma matricial:

  −_{−  } = _

 =  

 ou [ke] {u} = {F}

Portanto, a matriz de rigidez de um elemento de mola, que representa a relação entre ações e deslocamentos, é dada por:

[ke] =   − −  

10 Para uma estrutura formada por vários elementos de mola, pode-se obter sua matriz de rigidez por meio da rigidez de cada um de seus elementos. A montagem da matriz de rigidez da estrutura inteira deve levar em conta o arranjo dos elementos na estrutura e como estão conectados entre si.

Os termos das matrizes de rigidez de cada elemento são montados em uma única matriz, sendo que alguns termos ficam sobrepostos, em decorrência do modo com os elementos são arranjados na estrutura. Nos termos onde há superposição, as rigidezes devem ser somadas. Este procedimento garante a continuidade de deslocamento ao longo de toda a estrutura.

Para exemplificar um problema envolvendo elementos de mola, considere o sistema estrutural mostrado na Figura 1, composto por um arranjo de molas e corpos rígidos.

Figura 1: Elementos de Mola Os dados deste problema são:

FB = 500kgf FC = 500kgf FD = 600kgf FE = 1000kgf K1 = 300kgf/mm K2 = K5 = 600kgf/mm K3 = K6 = 800kgf/mm K4 = 500kgf/mm UF = 2,0mm

11 Para determinar os deslocamentos incógnitos e o valor da força no ponto F (FF), procede-se como mostrado a procede-seguir.

• Matrizes de rigidez dos elementos de mola: [K1] = 300 −300 −300 300  [K2] = [K5] = 600 −600 −600 600  [K3] = [K6] = 800 −800_{−800 800 } [K4] = 500 −500 −500 500 

• Matriz de rigidez da estrutura:

[K] =      300 −300 −300 300 + 600 + 800 + 500 −600 −8000 0 −500 00 0 0 −600 0 −800 600 0 800 + 600 0 0 00 −600 0 −500_{0 0} 0 0 _{0 −600} 500 + 800 _{−800 600 + 800"} −800 ## # # $ Observa-se que há somas nos termos k22, k44, k55 e k66. Isto ocorre devido ao arranjo estrutural do problema. Há mais de uma mola passando pelas posições B, D, E e F, que correspondem às linhas e colunas 2, 4, 5 e 6 da matriz de rigidez. Por isso, devem-se somar os valores de rigidez de cada elemento que se encontra nestas posições, a fim de se obter o valor correto para o termo da matriz de rigidez de toda a estrutura, como mostrado a seguir: [K] =      300 −300 −300 2200 −600 −8000 0 −500 00 0 0 −600 0 −800 600 0 14000 0 00 −600 0 −500 0 0 00 −600 0 −800 1400" 1300 −800# # # # $

O procedimento adotado neste exemplo para obtenção da matriz de rigidez da estrutura a partir das matrizes de rigidez de cada elemento será adotado para os demais tipos de elementos abordados neste trabalho.

12 • Equações de equilíbrio da estrutura: {F} = [K] x {U}

FA = 300 UA – 300 UB FB = 500 = -300 UA + 2200 UB – 600 UC – 800 UD – 500 EU FC = 500 = -600 UB + 600 UC FD = 600 = -800 UB + 1400 UD – 600 UF FE = 1000 = -500 UB +1300 UE – 800 UF FF = -600 UD – 800 UE +1400 UF

Como UA = 0 e UF = 2,0mm, conforme condições de contorno, o sistema para obtenção dos deslocamentos incógnitos fica:

( ) * ) +_, -. / 01) 2 ) 3 =     2200 −600 −800 −500_{−600 600} 0 −800 0 1400 00 0 −6000 −500 0 0 0 −600 −8000 1300 −8001400"# # # $ x ( ) * ) +4₄, -4. 4/ 401) 2 ) 3

Ou, invertendo a matriz de rigidez, tem-se:

( ) * ) +4₄, -4. 4/ 401) 2 ) 3 =     0,0033333 0,0033333 0,0033333 0,0033333 0,0033333 0,0033333 0,005 0,0033333 0,0033333 0,00432995 0,003738740,0033333 0,0033333 0,003992120,0033333 0,0033333 0,0033333 0,0033333 0,0033333 0,00373874 0,004684680,00399212 0,00427928 0,004279280,00487050"# # # $ = ( ) * ) +_, -. / 01) 2 ) 3

Resolvendo este sistema, a solução deste problema é:

FF = -16644,16kgf UB = 3,186mm UC = 4,019mm UD = 3,106mm UE = 3,225mm

13 Pode-se, ainda, determinar as forças internas em cada mola, procedendo-se da seguinte forma: F _{= K x d} F₁= K₁ x (U_B – U_A) = 300 x (3,186 – 0) ∴ FFFF₁= 955,8kgf F _{2= K2 x (UC – UB) = 600 x (4,019– 3,186)} ∴ FFFF₂= 499,8kgf F _{3= K3 x (UD – UB) = 800 x (3,106 – 3,186)} ∴ FFFF₃= -64,0kgf F_{4= K4 x (UE – UB) = 500 x (3,225 – 3,186)} ∴ FFFF₄= 19,5kgf F _{5= K5 x (UF – UD) = 600 x (2,0 – 3,106)} ∴ FFFF₅= -663,6kgf F₆= K₆ x (U_F – U_E) = 800 x (2,0 – 3,225) ∴ FFFF₁= -980,0kgf 2.2 Elemento de Treliça

O elemento de treliça, ou barra articulada nas extremidades transmite apenas forças axiais de tração ou compressão. Estas forças externas, normalmente, são aplicadas nos nós. Em casos excepcionais, em que as cargas são aplicadas no interior do membro, elas são substituídas por cargas equivalentes que atuam nos nós, chamadas de Cargas Nodais Equivalentes. O elemento de treliças contabiliza apenas a rigidez axial do membro estrutural.

A matriz de rigidez do elemento de treliça relaciona o módulo de elasticidade do material, a área da seção transversal e o comprimento da barra. Estas relações resultam do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), que afirma que o trabalho interno de deformação é igual ao trabalho realizado pelas forças externas. Efetuando-se os cálculos necessários, chega-se à forma usual da matriz de rigidez do elemento de treliça:

[ke] = 8 /9 : − /9 : −/9_: /9_: ;

Seja a treliça mostrada na Figura 2. Todas as barras desta treliça têm a mesma seção transversal e o mesmo módulo de elasticidade: A = 15cm² e E = 210mmmMPa. Para obter a

14 resposta estrutural, elaborou-se um diagrama com a numeração dos nós e das barras da estrutura, como mostrado na Figura 3.

Figura 2: Elementos de Treliça

15 Neste diagrama, a numeração dos nós (1 e 2), indica o sentido do eixo local de cada barra, que vai no sentido de 1 para 2. As setas indicam os graus de liberdade de cada nó. De acordo com os dados do problema, podem-se obter os valores da Tabela 1.

Tabela 1 – Ângulos α para as barras do modelo da estrutura

Elemento α λ = cos α µ = sen α λ² µ² λ µ

a 0 1 0 1 0 0 b 90° 0 1 0 1 0 c 180° -1 0 1 0 0 d 270° 0 -1 0 1 0 e 51,34° 0,6 0,8 0,36 0,64 0,48 f 38,65° -0,6 0,8 0,36 0,64 -0,48

A expressão geral da matriz de rigidez de um elemento de treliça no sistema global é dada por: [K]e = /9 :     λ² λ μ_{λ μ μ² −λ μ −μ²}−λ² −λ μ −λ² −λ μ −λ μ −μ² λ μ μ² "λ² λ μ # # # $

16 [K] =        96,89 24,19 24,19 95,26 −78,75 00 0 −78,75 0 0 0 −24,19 95,26 96,89 −24,19 −18,14 −24,19 −24,19 −32,26 00 −63 0 0 0 0 −63 −19,14 24,1924,19 −32,26 −18,14 −24,19 −24,19 −32,26 0 0 0 −63 0 0 0 −63 −18,14 24,19 −32,26 24,19 96,89 24,19 24,19 95,26 −78,75 00 0 −78,75 0 0 0 −24,1996,89 −24,19 95,26 "# # # # # # $

Como um dos apoios da estrutura é inclinado em relação ao sistema global de referência, deve-se elaborar a matriz de transformação que permite a imposição das condições de contorno. Esta matriz, que transforma os deslocamentos globais do nó A em coordenadas x’-y’, é dada por:

[T] =        0,5_0,866 −0,866_0,5 0 0_{0 0} 0 0 0 0 1 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 1"# # # # # # $

Fazendo o produto T K TT_{, tem-se a matriz de rigidez K*, que é igual a:}

[K*] =        74,72 −11,39 −11,39 117,43 −39,38 0−68,2 0 −39,375 −68,20 0 0 −24,19 95,26 96,89 −24,19 11,88 15,84 −27,8 −37,08 0 54,560 −31,5 0 0 0 −63 −19,14 24,1924,19 −32,26 11,88 −27,80 15,84 −37,08 0 0 0 −63 0 0 54,56 −31,50 −18,14 24,19 −32,26 24,19 96,89 24,19 24,19 95,26 −78,75 00 0 −78,75 0 0 0 96,89 −24,19−24,19 95,26 "# # # # # # $

17 ?1 = 0,063 = 0 6 = 0,03@ = A 74,72 −39,38 15,84 −39,375 15,84 96,890 95,260 B x ? CD₁ C3 C6@ + E 0 −24,19 F (−1,5 F 10HI) −63,0 F (−1,5 F 10HI₎K

Resolvendo este sistema, obtêm-se os deslocamentos incógnitos:

∆1’ = 0,998mm ∆3 = 0,0310mm ∆6 = -0,843mm

• Sistema de equações para obtenção das reações de apoio:

( ) * ) +__L M N O1) 2 ) 3 =     −11,39 0 0 95,26 −27,8 0 −31,50 24,19 −32,26 −27,8 0 0 24,19 −78,75 96,89 −78,75 0 96,89 −24,19 −31,5 −32.26 0 −24,19 95,26 "# # # $ x ( ) * ) + 0_1,5 0 0 0 1)2 ) 3

Portanto, as reações de apoio são:

F2 = 0 F4 = 142,89kN

F5 = 0 F7 = 36,29kN F8 = -48,39kN

18

F

_a

=

Q

/9 :

R

x

ST UV x 4



_

− 4

− 





F

_a

= 78,75MN/m x

S1 0V x (0,0310 − 0,998) F 10

HI

(1,5 − 0) F 10

HI



F F F F_a = 76,15 kN

De maneira análoga, podem-se obter as forças internas nas demais barras da treliça: F FF F_b = -147,61 kN F FF F_c = -0 F F F F_d = 0 F FF F _e = -64,17 kN F F F F_f = 59,54 kN 2.3 Elemento de Viga

O elemento de viga consiste em uma barra reta que pode transmitir, além de forças axiais, momentos fletores, forças cortantes e momentos de torção. Nas estruturas reticuladas compostas por vigas, as uniões entre os elementos são rígidas, dando origem, assim, às vigas contínuas, aos pórticos planos e aos pórticos espaciais. Da mesma forma que é feita nas treliças, as forças aplicadas nos vãos da viga são substituídas por cargas nodais equivalentes. Quando o elemento de viga possui rigidez axial, ele pode ser chamado de elemento de pórtico.

A matriz de rigidez do elemento de viga com rigidez axial a rigidez à flexão é dada por:

[ke] =      W 0 0 0 12X 6XY 0 6XY 4XY² −W 0 0 0 −12X 6XY 0 −6XY 2XY² −W 0 0 0 −12X −6XY 0 6XY 2XY² W 0 0 0 12X −6XY 0 −6XY 4XY² "# # # # $ onde, a = /9

: e refere-se à rigidez axial e b = /Z

19

2.3.1 Exemplo 1

Seja o sistema estrutural mostrado na Figura 4, constituído por elementos de pórtico, mola e treliça.

Figura 4: Elementos de Viga, Mola e Treliça

A barra 1 tem área A1 = 50cm² e momento de inércia I1 = 15x10-5m4. A barra 2 tem área A2 = 10cm². O material utilizado tem módulo de elasticidade E = 210GPa. Portanto:

EA1 = 1050MN EA2 = 210MN EI1 = 31,5MNm²

Desejando obter o valor da constante de mola, K1, que resulte em um deslocamento vertical no ponto B de 3,0mm, elaborou-se um diagrama com a numeração dos nós e das barras da estrutura, como mostrado na Figura 5.

20 Figura 5: Diagrama das Barras de Pórtico e de Treliça e de Nós

De acordo com os dados do problema, podem-se obter os valores da Tabela 2. Tabela 2 – Ângulos α para as barras do modelo da estrutura

Elemento α λ = cos α µ = sen α λ² µ² λ µ

2 36,87° 0,8 0,6 0,64 0,36 0,48

A expressão geral da matriz de rigidez de um elemento de viga no sistema global é dada por: [K]e = /9 :      W 0 0 0 12X 6XY 0 6XY 4XY² −W 0 0 0 −12X 6XY 0 −6XY 2XY² −W 0 0 0 −12X −6XY 0 6XY 2XY2 W 0 0 0 12X −6XY 0 −6XY 4XY² "# # # # $ onde: a = /9 : = 210MN/m b = /Z :³ = 0,252MN/m

21 [K]1 =      210 0 0 0 3,024 7,56 0 7,56 25,2 −210 0 0 0 −3,024 7,56 0 −7,56 12,6 −210 0 0 0 −3,024 −7,56 0 7,56 12,6 210 0 0 0 3,024 −7,56 0 −7,56 25,2 "# # # # $

Já a barra 2, que é um elemento de treliça, tem a matriz de rigidez do tipo:

[K]2 ₌ /9 :     λ² λ μ_{λ μ μ² −λ μ −μ²}−λ² −λ μ −λ² −λ μ −λ μ −μ² λ μ μ² "λ² λ μ # # # $ = \ 26,88 20,16 20,16 15,12 −26,88 −20,16−20,16 −15,12 −26,88 −20,16 −20,16 −15,12 26,88 20,1620,16 15,12 ]

E a matriz de rigidez da mola é:

[K1] =  ^ −^ −^ ^ 

• Matriz de rigidez da estrutura:

[K] =         210 0 0 0 3,024 7,56 0 7,56 25,2 −210 0 0 0 −3,024 7,56 0 −7,56 12,6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −210 0 0 0 −3,024 −7,56 0 7,56 12,6 236,88 20,16 0 20,16 18,144 F ^ −7,56 0 −7,56 25,2 −26,88 −20,16 0 −20,16 −15.12 −^ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −26,88 −20,16 0 −20,16 −15,12 0 0 −^ 0 26,88 20,16 0 20,16 15,12 0 0 0 ^ "# # # # # # # $

• Sistema de equações para obtenção dos deslocamentos incógnitos e da constante de mola K1:

22 ?M = −0,1_`L= 0 a = 0 @ = A236,8820,16 18,144 F ^ −7,5620,16 0 0 −7,56 25,2 B x E CL −3 F 10HI Ca K

Portanto, os deslocamentos são:

∆4 = 0,255 x 10-3m ∆6 = -0,9 x 10-3m

E a constante de mola é: K1 = 19170,93kN/m

• Força interna na mola:

F _{mola = K1 (U5 – U9) = 19170,93 x (-3 x 10}-3 _{– 0)} F

FF

F_mola = -57,51 kN

• Força interna na barra 2:

F _{2 =} /9 : x ST UV x 4_− 4−  = bbbb M x S0,8 0,6V x CCN_O− C− CL_M F FF F₂ = 67,032kN

• Forças e momentos fletores na barra 1:

( ) * ) +_9c_9d _9 ,c ,d _,1 ) 2 ) 3 =      210 0 0 3,024 7,560 −2100 −3,024 7,560 0 0 7,56 −210 0 25,20 2100 −7,56 12,60 0 0 −3,024 0 7,56 −7,56 012,6 0 −7,56 25,2 "3,024 −7,56# # # # $ x ( ) * ) + 0₀ 0 0,255 F 10HI −3 F 10HI −0,9 F 10HI₁) 2 ) 3 Portanto, FBx = FBx = 53,55kN FAy = 2,27kN

23

FBy = -2,27kN MA = 11,34kN

MB = 0

2.3.2 Exemplo 2

Outra estrutura formada por elementos de pórtico e de treliça é mostrada na Figura 6. Neste caso, existe uma carga q(x) distribuída ao longo do vão do elemento de viga (barra 1). Sabe-se que: Ecabo = 2,5 x 108kN/m² Acabo = 1,0 x 10-3m² Epórtico = 2,0 x 107kN/m² Apórtico = 5,0 x 10-2m² Ipórtico = 1,25 x 10-3m4

Figura 6: Estrutura Formada por Elementos de Pórtico e de Treliça

Para obter a força no cabo, adotou-se como sistema global de referência, o eixo X na direção do apoio inclinado.

24 e =      cosi sini 0 0 0 0 −sini cosi 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cosi sini 0 0 0 0 −sini cosi 0 0 0 0 0 0 1"# # # # $

Como α é o ângulo do sistema global para o sistema local, α = -36,87°:

e =      0,8 −0,6 0 0 0 0 0,6 0,8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,8 −0,6 0 0 0 0 0,6 0,8 0 0 0 0 0 0 1"# # # # $

• Matriz de rigidez do elemento 1 no sistema local:

[K]1 =          /9 : 0 0 − /9 : 0 0 0 /Z_:l a/Z_:m 0 −/Z_:l a/Z_:m 0 a/Z_:m L/Z_: 0 −a/Z_:m /Z_: −/9_: 0 0 /9_: 0 0 0 −/Z_:l −a/Z_:m 0 /Z_:l −a/Z_:m 0 a/Z_:m /Z_: 0 0 L/Z_: " # # # # # # # # $

Fazendo o produto T K TT, tem-se a matriz de rigidez K*, no sistema local. Porém, de acordo com as condições de contorno, sabe-se que _n= _o = p_q= _o = p_q= 0. Logo, só é necessária a rigidez global relativa ao deslocamento em d2x:



_LL()

= cos



_i

/9

:

+ sin



i

/Z

:l

= 0,64F

,brNcMrH_M

+ 0,36F

c,brNc,MrHI_Ml

=

_LL()= 128864 ` s⁄

25 • Carregamento nodal equivalente:

A matriz N (função de forma) do elemento 1 é:

` =_Y1_IS0 YI _{− 3YF}_{+ 2F}I _YI_{F − 2Y}_F_{+ YF}I _{0 3YF} _{− 2F}I _−Y_F_{+ YF}I_V O carregamento, no sistema local, é dado por:

q

_f

eq1

=

`L uv(F)F = −
_:l ( ) * ) + _YI_{− 3YF}0_{+ 2F}I YI_{F − 2Y}_F_{+ YF}I 0 3YF _{− 2F}I −Y_F_{+ YF}I ₁) 2 ) 3 . 50(−F_{+ 5F − 4)F} L  = ( ) ) * ) ) +₋0M  −a_ 0 −M_ a  1 ) ) 2 ) ) 3 E, no sistema global, é: _wx() x _{= } wx(yz{| }z) x ₌      0,8 0,6 0 0 0 0 −0,6 0,8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,8 0,6 0 0 0 0 −0,6 0,8 0 0 0 0 0 0 1"# # # # $ ( ) ) ) * ) ) ) + 0 −225₂ −261₂ 0 −225₂ 261 2 1) ) ) 2 ) ) ) 3 = ( ) ) ) * ) ) ) +−135₂ −90 −261₂ −135₂ −90 261 2 1) ) ) 2 ) ) ) 3

• Matriz de transformação para o elemento 2:

e =     

cos~ sin~ 0_{−sin~ cos~ 0} 0₀ 0₀ 0₀

0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos~ sin~ 0 0 0 0 −sin~ cos~ 0 0 0 0 0 0 1"# # # # $

26 Como ~ é o ângulo do sistema global para o sistema local, neste caso, ~ = 45°:

T = \ 0,707 0,707 0 0 −0,707 0,707 0 0 0 0 0,707 0,707 0 0 −0,707 0,707 ]

• Matriz de rigidez do elemento 2 no sistema local:

[K]

2

=









/9 :

0 −

/9 :

0

0

0

0

0

−

/9_:

0

/9_:

0

0

0

0

0"

#

#

#

$

Fazendo o produto T K TT, tem-se a matriz de rigidez K*, no sistema local. Porém, de acordo com as condições de contorno, sabe-se _o = _In = _Io = 0. Logo, só é necessária a rigidez global relativa ao deslocamento em d2x:

()= cos_i€

Y = √22 ƒ



F 2,5 x 10O_2,5 F 1 x 10HI = 50000 ` s⁄

• Cálculo do deslocamento incógnito: .  = … + wx

(LL+ ). n = 0 + n

27

d2x = -3,77 x 10-4m

• Cálculo da força no cabo:

d‡ _{= T x d} _{∴ d‡} _{= \} cosi sini 0 0 −sini cosi 0 0 0 0 cosi sini 0 0 −sini cosi ] ‰ −3,77382 x 10HL 0 0 0 Š d‡ _{= ‰} −2,66849 x 10HL 2,66849 x 10HL 0 0 Š ^‹ _{x d‡= ‡∴} /9ŒŽ : x 8 1 0 −1 0 0 0 0 0 −1 0 00 10 00 ; x ‰ −2,66849 x 10HL 2,66849 x 10HL 0 0 Š = ( ) * ) +‡c ‡d ‡Ic ‡Id1) 2 ) 3 ‡ = E −26,685 0 26,685 0 K

Portanto, a força no cabo é de tração e vale 26,685kN.

2.4 _{Elementos Bidimensionais}

Para este tipo de elemento, os conceitos de rigidez do elemento e rigidez da estrutura continuam presentes, como no caso dos elementos unidimensionais, porém sua determinação, neste caso, é de forma aproximada.

De acordo com GESUALDO (2010), funções aproximadoras são utilizadas nas formulações usando o MEF, de modo a estabelecer o comportamento do elemento. Nestas funções, os deslocamentos são as incógnitas.

28 Considerando uma barra simples com rigidez apenas às forças axiais, cujo nó 1 está na coordenada x=0 e o nó 2 na coordenada x=L e adotando que os deslocamentos ao longo do elemento sejam dados por u = a + bx, observa-se que esta função representa os deslocamentos ao longo do comprimento da barra de forma exata.

Com o intuito de determinar uma função u, escrita em termos de u1 e u2, que são os deslocamentos nos nós 1 e 2, pode-se escrever u = N1u1 + N2u2, onde N1 e N2 são funções de forma. Para ilustrar, aplicam-se as condições de contorno na barra:

• Para x = 0: u = u1 → u = a + b x 0 = u1 ∴ a = u1 • Para x = L: u = u2 → u = a + b x L = u2 ∴ b = (u2 - u1)/L Portanto, u(x) = a + bx = u1 + Q‘mH ‘’ : Rx u(x) = Q:Hc : R u1 + c : u2 onde Q:Hc : R = N1 e c

: = N2, que são as funções de forma do problema de elemento de barra.

De maneira análoga, são obtidas as funções de forma de elementos bidimensionais, porém, neste caso, as funções dependem das coordenadas x e y dos nós. Para um elemento finito triangular de três nós, suas funções de forma são:

Ni = 

9 (ai + bix +ciy) , i = 1, 2, 3

onde:

ai = Xj Yk - XkYj bi = Yj– Yk

29 ci = Xk - Xj

A é a área do elemento triangular;

i, j, k representam os nós que compõem o elemento, variando de 1 a 3.

Com as funções de forma, pode-se montar a matriz de rigidez de um elemento triangular de três nós, mostrada no ANEXO I.

2.4.1 Exemplo 1

Uma viga curta biengastada é modelada com elementos retangulares de quatro nós e elementos triangulares de três nós, conforme Figura 7.

Figura 7: Elementos Finitos Bidimensionais Modelando uma Viga Curta

Sabe-se que: E = 1,92 x 107 kN/m² e ν = 0,2. Deseja-se calcular a tensão normal horizontal no ponto P.

30 “ =_{1 − ”} _\ 1 ” 0 ” 1 0 0 0 (1 − ”)₂ ] = 1,92 x 10N 1 − 0,2 \ 1 0,2 0 0,2 1 0 0 0 (1 − 0,2)₂ ] = 2,0 x 10 N_{A0,2 1}1 0,2 0₀ 0 0 0,4B

Apenas os nós 3 e 4 sofrem deslocamento nesta estrutura. Estes nós correspondem às linhas e colunas 4 e 6 da matriz de rigidez de um elemento finito retangular de quatro nós, mostrada no ANEXO II. A matriz de rigidez reduzida a estas posições é dada por:

red()= •2(–2 + –5) −–2 + –5−–2 + –5 2(–2 + –5)— = \ 2(˜. W. “_{6. b +} ˜. X. “_{6. a )}II −˜. W. “_{6. b} +˜. X. “_{6. a}II −˜. W. “ 6. b +˜. X. “6. aII 2(˜. W. “6. b + ˜. X. “6. a )II ] Como a = 2/2 = 1 e b = ½ = 0,5: red()= • 2,926 x 10 a _{−2,527 x 10}a −2,527 F 10a _{2,926 x 10}a —

• Montagem da matriz de rigidez do elemento 2:

Apenas o nó 3 sofre deslocamento no elemento 2. Este nó corresponde à posição K44 da matriz de rigidez do elemento triangular de três nós, mostrada no ANEXO I.

red()= S›L›Fœ  + ›Mœ V = ž . ˜ 4€ Ÿœ(1 + ”)››(F − Fœ) ₊ . ˜ 4€ Ÿœ(1 + ”)››I( − œ)  

Como este problema está no Estado Plano de Tensões, e2 = 1 – ν = 0,8, então:

red()= A 1,92 x 10N _{x 0,2} 4 Q2F1_{2 R (1 + 0,2). 0,8}. 1. (0 − 0) ₊ 1,92 x 10N x 0,2 4 Q2F1_{2 R (1 + 0,2). 0,8}. 0,4. (0 − 1)  B red()= 4 x 10M

31 • Matriz de rigidez reduzida da estrutura para os deslocamentos dos nós 3 e 4:

red()= • 3,326 x 10

a _{−2,527 x 10}a

−2,527 x 10a _{2,926 x 10}a —

• Carregamento nodal equivalente do elemento 1:

wx ¡ _{= ∮ `} u X £ = ( )) * )) + 0₀ 0 :¤¥ a (2XcŸ+ Xcœ) 0 :¤¥ a (2Xcœ+ XcŸ)1 )) 2 )) 3 Para os nós 4 e 5: wx ¡ ₌ ( ) * ) +₋ 0 a(2.200 + 0) 0 −_{a(2.0 + 200)1)}2 ) 3 = ( ) * ) + 0₋Lbb I 0 −bb_{I 1})2 ) 3

• Cálculo dos deslocamentos do nó 4:

F = K d ∴ ¦₋0Lbb I § = • 3,326 x 10 a _{−2,527 x 10}a −2,527 x 10a _{2,926 x 10}a — x ¨¨_LI v3 = -1,0 x 10-4m v4 = -1,326 x 10-4m

• Cálculo da tensão horizontal no ponto P:

32 Como os nós 2 e 5 estão no engaste e não sofrem deslocamentos, precisa-se apenas de B3 e B4: ©I = 8 X(1 − ª) 0 0 −W(1 + «) −W(1 + «) X(1 − ª) ; e ©L = 8 X(1 + ª) 0 0 W(1 + «) W(1 + «) X(1 + ª); Como a = 1, b = 0,5, YP = 0, XP = 1, então: ª = d ¡ = b b,M= 0 e « = c ¬=   = 1. Assim: ©I= A 0,5 0 0 −2 −2 0,5B e B4 = A 0,5 0 0 2 2 0,5B Logo: ­ = ©.  = A0,5 0 0,5 00 −2 0 2 −2 0,5 2 0,5B ‰ 0 −1,0 x 10HL 0 −1,326 x 10HL Š = ?−6,52 x 100 HM −1,163 x 10HL@ ® = ­ = 2,0 x 10N_{A0,2 1}1 0,2 0₀ 0 0 0,4B ? 0 −6,52 x 10HM −1,163 x 10HL@ = ? −260,8 −1304 −930,4@

Portanto, a tensão normal horizontal no ponto P é igual a: -260,8kN/m²

2.5 _{Formulação Isoparamétrica}

Segundo ALVES FILHO (2012), a manipulação das funções de interpolação em notação matricial deve ser feita de modo mais eficiente possível, para que o MEF seja implementado computacionalmente. Nem sempre, a representação no sistema cartesiano oferece esta possibilidade. Outra forma de representar estas funções de interpolação dos elementos é

33 utilizando o sistema de coordenadas naturais. A seguir, alguns exemplos ilustram o uso de coordenadas naturais (ξ, η) em formulação isoparamétrica.

2.5.1 Exemplo 1

A Figura 8 mostra uma malha de elementos finitos.

Figura 8: Malha de Elementos Finitos

• Cálculo da matriz de transformação Jacobiana para o elemento 1: As funções de forma do elemento finito 1 são:

`M=(1 + ª)(1 − ª)(1 − «)<sub>2</sub> `a=(1 + ª)(1 − ª)(1 + «)₂

34 N = N°−_Na=(±²)(H³)_L −(±³)(H³)(±²)_L ∴ N = −³(±²)(H³)_L NO = NO°−1_{2 N}M =(1 − ξ)(1 + η)₄ −(1 + η)(1 − η)(1 − ξ)₄ ∴ NO =η(1 − ξ)(1 + η)₄ `¶ = `¶:−1_{2 `}a =(1 + «)(1 + ª)₄ −(1 + ª)(1 − ª)(1 + «)₄ ∴ NO = ª(1 + «)(1 + ª)₄

Como o elemento 1 não tem distorção nos seus lados, pode-se dizer que:

· = W 0_{0 X}

Como a = 1 e b = 2, o Jacobiano usa a metade de cada lado. Assim:

¸ = \ ¹ º »

» º_º] = », ¼ »» ¹

• Cálculo do componente horizontal do carregamento nodal equivalente no nó 5:

wx | _{= ½ `</sub>u<sub>`˜} ¾ℒ(«, ª) ∣ÁHª  H wxÂà | <sub>= ½S(`</sub> M. `).16 + (`M. `M).15 + (`M. `O).12V  H ℒ(«, ª) ∣ÁHª Onde ℒ vale: ℒ(«, ª) ∣ÁH= žÄÅF_ÅªÆ  + Äŝ_ŪÆ    = (0_{+ 1}_{) = 1}

35 wxÂÃ | <sub>= ½S`</sub> M(16`+ 15`M+ 12`O)V  H ª

As funções de forma já foram mostradas anteriormente. Substituindo ξ = -1 em cada função de forma: wxÂà | _{= ½S(1 − ª}_{)(−8ª + 8ª}_{+ 15 − 15ª}_{+ 6ª + 6ª}_)V  H ª wxÂà | _{= ½S(1 − ª}_)(−ª_{− 2ª + 15)V}  H ª wxÂà | _{= ½(ª}L_{+ 2ª}I_{− 16ª}_{− 2ª + 15)}  H ª = ª_{5 +}M ª_{2 −}L 16ª_{3 − ª}I _{+ 15ªƒ ∣} H  ÇÈÉ¼Ê Ë _{= ¹Ì, ÍÎÏÇ} • Cálculo da matriz B do nó 1:

Considerando problema de estado plano de deformações e integração por Quadratura de Gauss de ordem 3x3, tem-se, para um dos pontos de Gauss, a matriz B associado ao nó 1, como segue. ©= 8 `,c 0 0 `,d `,d `,c ;

Usando o Jacobiano para transformar as funções de forma de coordenadas naturais, para coordenadas cartesianas, tem-se:

36 `<sub>`</sub>,c ,d = · H_`,Á `,Ð = 2 00 1 ‰ ª − ª 4 (2ª − 1)(1 − «) 4 Š

Para o ponto de Gauss ξ = 0 e η = 0:

`<sub>`</sub>,c ,d = 2 00 1 ? 0 −1₄@ Portanto: ѹ =     » » » −¹_Ò −¹_{Ò » "}# # # $

• Cálculo da componente do vetor carregamento nodal equivalente no nó 1:

Considerando problema de estado plano de deformações e integração por Quadratura de Gauss de ordem 3x3, tem-se, em um dos pontos de Gauss, a componente do vetor carregamento nodal equivalente no nó 1 é dada por:

®b = ? 1 0 1@ e wxÓ ÔÕ _=
© u®b˜€ 9

Para o ponto de Gauss em ξ = 0 e η = 0 e wi = wj = 0,8888888889, tem-se:

wx’ ÔÕ _{= ½ ½ ©} u®b˜ ∣ · ∣ «ª  H  H = Ö Ö ©u®b˜ ∣ · ∣ × ×Ÿ ¶ Ÿ ¶ 

37 wx’ ÔÕ _{= \}0 0 − 1 4 0 −1₄ 0 ] ? 1 0 1@ . 1. 1 2 . (0,8888888889) ÇÈɹ Ø» _{= −Ì, ÙÍÚ¼Û − º} »  2.5.2 Exemplo 2

Para a malha de elementos finitos da Figura 9, deseja-se obter a componente horizontal no nó 4 do carregamento nodal equivalente às tensões, que foram calculadas por Quadratura de Gauss com dois pontos, cujos valores são mostrados na Tabela 3.

Sabe-se que: t = 0,5u.c., L = 9u.c. e h = 1,6u.c.

Figura 9: Malha de Elementos Finitos

38 Para o nó 4:

`L=(HÁ)(±Á)(HÐ)<sub></sub> e `L,Á = «(ª − 1); `L,Ð =Á

m_H



Como os elementos não têm distorção nos lados, seu Jacobiano vale:

· = W 0_{0 X} Onde a = L/6 e b = h/2. Logo: · = \ 9 6 0 0 1,6₂ ] = •1,5 00 0,8— = \ 3 2 0 0 4₅]

Usando o Jacobiano para transformar as coordenadas naturais em cartesianas:

`<sub>`</sub>L,c L,d = · H_`L,Á `L,Ð = \ 2 3 0 0 5₄] E «(ª − 1) «_{− 1} 2 K

Para o ponto de Gauss em « = −√I

I e ª = −√II: `<sub>`</sub>L,c L,d = \ 2 3 0 0 5₄] ‰ −2₃ −1₃Š

39 Assim, a matriz B do nó 4 fica:

©L =      −4₉ 0 0 −₁₂5 −_{12 −}5 4_{9 "}# # # # $ Portanto: wxÓ Ô _{= 0,5 F \}− 4 9 0 −125 0 −_{12 −}5 4₉] . ? −1,45222e + 4 −1,25e + 3 −6,54058e + 1@ F 3 2 F 45 ÇÈÉÞ Ø _{= ÎÙÙÙ, ÌÒ} κÌ, ÌÒ  2.5.3 Exemplo 3

A Figura 10 mostra um elemento finito triangular de seis nós, submetido a uma carga linearmente distribuída sobre a linha A – B. Deseja-se obter o carregamento nodal equivalente no nó 1, utilizando integração numérica com dois pontos de Gauss ao longo da linha de carga.

40 Figura 10: Elemento Finito Triangular de Seis Nós

Para a carga linear ao longo de A – B tem-se:

wx | <sub>= ½ `</sub>u<sub>∣</sub> :˜(F, )Y : = ½ `u_`˜ ¾Y , 9

Deve-se considerar um eixo, ζ, que passa por A e B. Para o nó 1, tem-se:

wx’

| _{= ½ `}

wßwàw|zu («, «, «I) ∣9H, `}¬{á¬(â)˜¾Y_{2 â} 

H

41 ˜(F, ) = `}¬{ᬘ¾ = \ 1 − â 2 0 1 + â2 0 0 1 − â₂ 0 1 + â₂ ] ‰ 4 0 0 0 Š

As funções de forma deste elemento são:

` =(1 2<sub>(1 2</sub>⁄ − «<sub>⁄ − 1)(0 − 1) = −2«</sub>)(0 − «) Ä1<sub>2 − «</sub>Æ = 2«− « ` =(1 2_{(1 2}⁄ − «_{⁄ − 1)(0 − 1) = −2«})(0 − «) Ä1_{2 − «}Æ = 2«− « `I =(1 2<sub>(1 2</sub>⁄ − «<sub>⁄ − 1)(0 − 1) = −2«</sub>I)(0 − «I) IÄ1<sub>2 − «</sub>IÆ = 2«I− «I `L =_{(1 2⁄ )(1 2}««_{⁄ ) = 4«}« `M =<sub>(1 2⁄ )(1 2</sub>««I<sub>⁄ ) = 4«</sub>«I `a =_{(1 2⁄ )(1 2}««I_{⁄ ) = 4«}«I

Portanto, a matriz das funções de forma é:

` = ž2«− « 0 2«− « 0 2«I− «I 0 4«« 0 4««I 0 4««I 0

0 2«− « 0 2«− « 0 2«I− «I 0 4«« 0 4««I 0 4««I 

• Para o ponto de Gaus ζ = - √I_I :

˜(F, ) = `}¬{ᬘ¾ = \ 1 − â 2 0 1 + â2 0 0 1 − â₂ 0 1 + â₂ ] ‰ 4 0 0 0 Š ˜(F, ) = 3,1547_{0 }

42 Sabe-se que: F = ∑` F e  = ∑`  Então: F = `9F9+ `,F, =(1 − â)_{2 . 3,5 +}(1 + â)_{2 . 7 = 4,2396}  = `99+ `,, =(1 − â)_{2 . 5 +}(1 + â)_{2 . 2 = 4,366}

Para definir ξ1, ξ2 e ξ3 deve-se fazer:

?«« «I @ =_9 AWW XX ãã WI XI ãI B ?1F @, onde: ? W = FŸœ− FœŸ X = Ÿ− œ ã = Fœ− FŸ ?«« «I @ =_{2.18 A}1 56 − 5 −6 −315 − 7 4 −4 1 − 24 2 7 B ? 1 4,2396 4,366@ ?«« «I @ = ?0,34620,2082 0,4456@ Substituindo estes valores para obter vetor de forças:

wx | ₌            −0,10649 0 0 −0,10649 −0,1215 0 0 −0,1215 −0,04848 0 0 −0,04848 0,28832 0 0 0,28832 0,3711 0 0 0,3711 0,61707 0 0 0,61707 "# # # # # # # # # # $ 3,1547_{0 }4,60978₂

43 Assim, para o primeiro termo:

wx’

| _{= [−0,10649 0] 3,1547}

0 4,609782 ÇÈɹ

Ë _{= −», ÍÍÒκÏ. ä.}

• Para o ponto de Gaus ζ = + √I_I :

˜(F, ) = `}¬{ᬘ¾ = \ 1 − â 2 0 1 + â2 0 0 1 − â<sub>2</sub> 0 1 + â<sub>2</sub> ] ‰ 4 0 0 0 Š ˜(F, ) = 0,8453<sub>0 </sub> Sabe-se que: F = ∑` F e  = ∑`  Então: F = `9F9+ `,F, =(1 − â)<sub>2 . 3,5 +</sub>(1 + â)<sub>2 . 7 = 6,2604</sub>  = `99+ `,, =(1 − â)_{2 . 5 +}(1 + â)_{2 . 2 = 2,634}

Para definir ξ1, ξ2 e ξ3 deve-se fazer:

?«« «I @ =_9 AWW XX ãã WI XI ãI B ?1F @, onde: ? W = FŸœ− FœŸ X = Ÿ− œ ã = Fœ− FŸ ?«« «I @ =_{2.18 A}1 56 − 5 −6 −315 − 7 4 −4 1 − 24 2 7 B ? 1 4,375 4,25@ ⇒ ? « « «I @ = ?0,15380,6252 0,2211@ Substituindo estes valores para obter vetor de forças:

44 wx | ₌            −0,10649 0 0 −0,10649 0,15655 0 0 0,15655 −0,12333 0 0 −0,12333 0,38462 0 0 0,38462 0,55923 0 0 0,55923 0,13602 0 0 0,13602 "# # # # # # # # # # $ 0,8453_{0 }4,60978₂

Assim, para o primeiro termo:

wx’

| _{= [−0,10649 0] 0,8453}

0 4,609782 ÇÈɹ

Ë _{= −», º»ÍÒÙÏ. ä.}

Portanto, o carregamento nodal equivalente no nó 1 vale: wx’

| _{= −0,77432 − 0,20748}

ÇÈɹ

Ë _{= −», ÌÙ¹ÙÏ. ä.}

2.6 _{Sólidos Axissimétricos}

Considera-se que os sólidos com simetria axial têm propriedades independentes de sua coordenada circunferencial. Quando as cargas exteriores que atuam sobre ele também são de revolução, o deslocamento de um ponto de uma estrutura considerada como sólido de revolução é considerado apenas com componentes nas direções radial e axial.

O estudo destas estruturas por elementos finitos segue os mesmos passos dos problemas de elementos bidimensionais, desde as cargas também sejam de revolução. Caso contrário, análise tridimensional deve ser realizada.

45 Seja a malha de elementos finitos da Figura 11, onde a = 1,0uc. Supondo uma pressão interna de _{√2 uf/uc² atuando neste sólido axissimétrico, a integral que permite calcular a} componente horizontal do carregamento nodal equivalente no nó 5 do elemento destacado é dada como mostrado a seguir.

Figura 11: Malha de Elementos Finitos de um Sólido Axissimétrico A força nodal equivalente é dada por:

wx | <sub>= 2æ ç `</sub>u<sub>˜èY</sub> : = 2æ ç `wßwàw|zu `}¬{ᬘ¾èY : Onde: Y = •Qé{ éÐR  + Q<sub>éÐ</sub>éêR— ’ m ª → « = ã|w <sub>= −1</sub> A função de forma do nó 5 é: `M =(1 + ª)(1 − ª)(1 − «)₂

46 wx | <sub>= 2æ ½ `</sub> wßwàw|zóM ∣ÁH√2(`}¬{á¬óI + `}¬{á¬óL + `}¬{á¬óM ).12W. žÄè_ªÆ  + Ä_ªÆì     ∣ÁHª  H ÇÈɼ Ë _{= ºí}
(¹±î)(¹Hî)(¹Hï) º ∣ïH¹√ºº ðî(î − ¹) − º[(î + ¹)(î − ¹)] + î(î + ¹)ñ ∣ïH¹. ¹ºò. •Q óô óîR º + ¹ H¹ Qóõ_óîRº— ¹ º ∣ïH¹óî

Considerando que houve uma deformação inicial relativa a um aumento de 1,0% no comprimento da circunferência do centroide do elemento, deseja-se indicar a integral que permite calcular a componente horizontal do carregamento nodal equivalente no nó 5 do elemento destacado, sendo que o material é elástico linear isotrópico com E = 1,0uf/uc² e ν = 0,0.

A força equivalente nodal para esta deformação inicial é dada por:

wx öÕ _{= ½ ©}u_­ b  = 2æ ½ ½ ©u_­ bè ∣ · ∣ «ª  H  H

A matriz constitutiva do problema é:

“ =_{(1 + ”)(1 − 2”)}     1 − ” ” ” 0 ” 1 − ” ” 0 ” ” 1 − ” 0 0 0 0 (1 − 2”)_{2 "}# # # $

Como E = 1,0uf/uc² e ν = 0,0, tem-se:

“ =     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1_2"## # $

47 Para o nó 5, a matriz B vale:

©M=     `M,c 0 0 `M,d `M è 0 `M,d `M,c" # # # $

Substituindo estas matrizes, tem-se a integral que permite calcular a força nodal equivalente no nó 5: ÇÈɼ ÷» _{= ºí ½ ½ 8ø}¼,ù » ø_{ô ø}¼ ¼,ú » ø¼,ú » ø¼,ù ;     ¹ » » » » ¹ » » » » ¹ » » » » ¹_º"## # $ . ¹, ºò. ∣ ¸ ∣ óïóî ¹ H¹ ¹ H¹

2.7 _{Elementos Finitos de Placas}

A teoria de placas se baseia em simplificações dos problemas tridimensionais. A teoria mais clássica de placas é a de Kirchhoff, em que as retas normais ao plano médio se mantêm retas e ortogonais à deformada deste plano. Teorias mais avançadas como a de Reissner-Mindlin mantêm a condição de deformação reta da normal, mas não exigem sua ortogonalidade com a deformada do plano médio.

2.7.1 Exemplo 1

Seja o sistema estrutural da Figura 12, composto por uma placa fina engastada nos 4 lados e pendurada em um cabo. Deseja-se calcular a força no cabo quando a placa está submetida a uma carga uniformemente distribuída de 24kN/m².

48 Valendo-se da condição de simetria, adota-se um elemento finito MZC e um elemento de treliça para discretizar a porção correspondente a 1/4 do sistema estrutural (parte superior esquerda), sendo E=4,0x108_{kN/m², ν= 0,3 e A}

cabo = 8x10-4m².

Figura 12: Sistema Estrutural Composto por uma Placa e um Cabo

Somente haverá deslocamento vertical no ponto onde se encontra o cabo, não havendo rotação em nenhuma das direções, ou seja, no nó 2. Para a rigidez, deve-se somar a contribuição do elemento MZC à do elemento de treliça:

K = Ktreliça + KMZC

De acordo com a matriz de rigidez de elemento de placa retangular de quatro nós MZC, mostrada no ANEXO IV, tem-se:

“ =_{12(1 − ”}˜I _{) =}4x10_{12(1 − 0,3}O x 0,04_{) =}I 25600_{10,92 = 2344,3223}

_LL(ûézyz|z)= Ä_WX_I+_XW_I+_{2WX +}” 21(1 − ”)_{30WX Æ x D = Ä1}1_I+₁1_I+_{2.1.1 +}0,3 21(1 − 0,3)_{30.1.1 Æ F 2344,322}

49 Para a treliça:  =€_{Y −1 1 }1 −1  =€_{Y F 1 =}4 x 10 O _{x 8}HL 2  = 160000

Mas o cabo está ligado a 4 elementos de placa MZC, então a rigidez do modelo de treliça deve ser reduzida. Logo:

 =1_{4 . 160000}

 = 40000

Portanto, a rigidez reduzida vale:

ýrþ= [6189,0109 + 40000]

ýrþ= [46189,0109]

O carregamento nodal equivalente à carga distribuída é:

wx(x) = 4vWX 1₄ = 4(−24).1.1 1₄

wx(x) = ð−24ñ

Para calcular a força no cabo, deve-se fazer: wx
_ = ^ýrþ. 

ð−24ñ = [46189,0109]ð×ñ

× = −5,196 x 10HL

50 _ } ¬ß  ¬ß = 160000  1 −1−1 1   0 −5,196e − 4 Ç =  ÙÎ, ¹ÎÚ_{−ÙÎ, ¹ÎÚ} 2.7.2 Exemplo 2

Seja a placa de concreto (γc = 25kN/m³), de 10cm de espessura, engastada em dois de seus lados e livre nos outros dois, mostrada na Figura 13. Utilizando um único elemento finito retangular de quatro nós (MZC) para discretizar a porção correspondente a ¼ da placa e, considerando, além do peso próprio da laje, quatro cargas concentradas de valor P = 8kN, atuando nos pontos A, B, C e D, calcula-se a flecha no ponto A como mostrado adiante.

51 De acordo com a matriz de rigidez de elemento de placa retangular de quatro nós MZC, mostrada no ANEXO IV, tem-se:

“ =_{12(1 − ”}˜I _{) =12(1 − 0,2}2e7. 0,1I_{) =} 20000_{11,52 = 1736,1111}

Na porção hachurada da placa, apenas os deslocamentos no ponto inferior esquerdo a ela (ponto O) são incógnitas. De acordo com a tabela do ANEXO IV:

 = (w)+ _(w)+ _I(w)+ _L(w) Onde:  = _WX_I+_XW_I+_{2WX +}” 21(1 − ”)_{30WX ƒ . “ = 2}2_I+₂2_I+_{2.2.2 +}0,2 21(1 − 0,2)_{30.2.2 ƒ . 1736,1111} ࢑_¹¹ = ¹¹¼Ò, ¼¹ÎÌ  =  = _WX_+ 0 +_{2X +}” (1 − ”)_{10X ƒ . “ = 2}2_+ 0 +0,2_{2.2 +}(1 − 0,2)_{10.2 ƒ . 1736,1111} ࢑¹º= ࢑º¹= ¹»ºÒ, λ¼¼  = 4X_{3W + 0 + 0 +}4W _{(1 − ”)} 15WX ƒ . “ =  4.2 3.2 + 0 + 0 + 4.2_{(1 − 0,2)} 15.2.2 ƒ . 1736,1111 ࢑_ºº = ºÚÙ¼, ¹Ù¼º

Logo, a matriz reduzida é:

ýrþ= •1154,5139 1024,3055_{1024,3055 2685,1852—}

• Carregamento nodal equivalente ao peso próprio:

_wx(x) = 4vWX ‰ 1 4 W 12 Š = 4(−2,5).2.2 ‰ 1 4 2 12 Š = −20 ‰ 1 2 1 3 Š

52 • Carregamento nodal equivalente à carga concentrada no centro na porção

hachurada: wx(௉) = −8 ‰ 1 4 1 4 Š = −2_−2

Somando as cargas nodais equivalentes:

wx౨౛ౚ = wx (x)_{+ } wx(௉)= −20 ‰ 1 2 1 3 Š + −2_{−2 = ?−}−1226 3@

O sistema para obter o valor da flecha é:

wx౨౛ౚ = ^ýrþ.  ∴ •1154,5139 1024,30551024,3055 2685,1852—  × pn = ? −12 −26₃@ Assim: × = −1,1383 x 10H pn = 1,1146 x 10HI

• Cálculo da flecha no ponto A:

× = ` × + `ഥ p c

× =[(1 + « «)(1 + ª ª)(2 + «₈ « + ª ª − «− ª)]× +[W(«

_{− 1)(« + «}

)(1 + ª ª)]

8 p c

Para o ponto A (ξ=η=0), conhecendo-se os deslocamentos em ξi=ηi =-1, tem-se: ×9= `×+ `ഥpn

53 ×9=[(1 + 0)(1 + 0)(2 + 0 + 0 − 0 − 0)]₈ x(−1,1383 x 10H) +[2(0 − 1)(0 − 1)(1 + 0)]₈ F(1,1146 x 10HI)

×9 =2_{8 x (−1,1383 x} 10−2) +2_{8 F 1,114 x} 10−3

࢝_࡭ = −º, ¼Ú͹ Ê ¹»−Î

2.7.3 Exemplo 3

Seja o elemento finito de placa de Reissner-Mindlin da Figura 14. Para calcular a parcela da matriz de rigidez de cisalhamento de um dos nós no centroide do elemento, procede-se como apresentado a seguir.

Figura 14: Elemento de Placa de Reissner-Mindlin

As funções de forma do elemento de 6 nós são:

` =(1 2_{(1 2}⁄ − «_{⁄ − 1)(0 − 1) = −2«})(0 − «) Ä1_{2 − «}Æ = 2«− «

54 `I =(1 2_{(1 2}⁄ − «_{⁄ − 1)(0 − 1) = −2«}I)(0 − «I) IÄ1_{2 − «}IÆ = 2«I− «I

`L =_{(1 2⁄ )(1 2}««_{⁄ ) = 4«}«

`M =_{(1 2⁄ )(1 2}««I_{⁄ ) = 4«}«I

`a =_{(1 2⁄ )(1 2}««I_{⁄ ) = 4«}«I

Como «_I = 1 − «− «_, as derivadas em relação a ξ1 e ξ2 são: `,Á’ = 4«− 1 `,Á’ = 0 `I,Á’ = −3 + 4«+ 4« `L,Á’ = 4« `M,Á’ = −4« `a,Á’ = 4(1 − «− «) `,Ám = 0 `,Ám = 4«− 1 `I,Ám = −3 + 4«+ 4« `L,Ám = 4« `M,Ám = 4(1 − «− «) `a,Ám = −4«

Assim, a matriz formada pelas derivadas é:

“:= •<sub>`</sub>`,Á’ `,Á’ `I,Á’ `L,Á’ `M,Á’ `a,Á’ ,Ám `,Ám `I,Ám `L,Ám `M,Ám `a,Ám—

“: = •4«₀− 1 _4«0 −3 + 4«+ 4« 4« −4« 4(1 − «− «) − 1 −3 + 4«+ 4« 4« 4(1 − «− «) −4« —

Para o Jacobiano, como os lados são retos, apenas as funções de forma do nó 3 serão utilizadas:

` = « , com i = 1, 2 e 3

N = •« 0 « 0 «I 0 0 « 0 « 0 «I—

55 `,Á’ = 1 `,Á’ = 0 `I,Á’ = −1 `,Ám = 0 `,Ám = 1 `I,Ám = −1

A matriz formada pelas derivadas é:

“: = •`<sub>`</sub>,Á’ `,Á’ `I,Á’

,Ám `,Ám `I,Ám— = 1 0 −10 1 −1

Assim, tem-se o Jacobiano e sua inversa:

· = “:ܥ¾ = 1 0 −1_{0 1 −1 A} 2 3 6 1 4 5B = −2 −22 −4 ·H ₌ 1 ∣ · ∣ −4 2−2 −2 =12 1 −4 2−2 −2 =16 −2 1−1 −1 A matriz formada pelas derivadas globais é:

“ீ = ·H“:

“ீ=

1

6 −2 1−1 −1 •4«0− 1 4«0− 1 −3 + 4«−3 + 4«+ 4«+ 4« 4«4« 4(1 − «−4«− «) 4(1 − «−4«− «)— A posição do centroide do elemento em função de ξ1, ξ2 e ξ3 é:

?«« «I @ =_9 AWW XX ãã WI XI ãI B ?1F @, onde: ? W = FŸœ− FœŸ X = Ÿ− œ ã = Fœ− FŸ ?«« «I @ =_{2.6 A}1 12 − 10 2 −230 − 4 −4 −2 2 − 18 2 4 B ? 1 4 3@ ⇒ ? « « «I @ =_{12 ?}1 44 4@

56 ?«« «I @ =1_{3 ?}11 1@ Assim: “ீ= 1 6 −2 1−1 −1 •4«0− 1 4«0− 1 −3 + 4«−3 + 4«+ 4«+ 4« 4«4« 4(1 − «−4«− «) 4(1 − «−4«− «)— “ீ = \ −1_{9 18}1 _{18 −}1 2₉ 2_{3 −}2₃ −_{18 −}1 ₁₈1 1_{9 −}4_{9 0} 0 ]

A matriz Bc (relativa ao cortante), para o primeiro nó, é:

©}’ = \ −1₉ 1_{9 0} −_{18 0}1 1₉] A matriz Dc é: “} =     2(1 + ”) 0 0 _{2(1 + ”)"} # # $ = ܩ_{0 ܩ}0

Assim, a parcela da rigidez para o nó 1 fica:

} = ½ ½ ©}u“}∗©} HÁ’ b  b ∣ · ∣.1_{2 «}«

57 }’ = 5 6 .12 . 12.G. t      5_{324 −81 −}1 ₁₆₂1 −₈₁1 ₈₁1 0 −₁₆₂1 0 _{81 "}1 # # # # $ ࢑_ä ¹ = ࡳ. Ë     º¼ ÎºÒ − ¼ Ù¹ − ¼ ¹Úº −_Ù¹¼ _Ù¹¼ » −_¹Úº¼ » _Ù¹¼ _"# # # $

58

3 _CONCLUSÃO

Para elaboração de qualquer modelo em elementos finitos, a escolha dos elementos tem papel primordial. Deve-se estudar como cada trecho da estrutura se comporta, a fim de se escolher os elementos que a representam da melhor forma.

Portanto, conhecer a essência do Método dos Elementos Finitos é imprescindível para sua correta utilização. Os exemplos apresentados neste trabalho são casos simples, mas que dão uma visão de como funciona o método, para que ele não seja usado indiscriminadamente por meio de programas computacionais.

59

REFERÊNCIAS

ALVES FILHO, Avelino. Elementos Finitos: A Base da Tecnonologia CAE. 5ª Ed. São Paulo.1951.

AZEVEDO, Álvaro F. M. Método dos Elementos Finitos. 1ª Ed. Universidade do Porto. 2003. FERNANDO AMORIM DE PAULA. Notas de Aula da Disciplina “Análise e Modelagem de

Estruturas I”. Universidade Federal de Minas Gerais. 2013.

FRANCO, Victor. Fundamentos do Método dos Elementos Finitos. ENIDH, 2011-2012. Disponível em:

http://www.enautica.pt/publico/professores/vfranco/Fundamentos_Metodo_Elementos_Finitos.pdf

GESUALDO, Francisco A. R. Método dos Elementos Finitos. Universidade Federal de Uberlândia. 2010. Disponível em:

http://www.feciv.ufu.br/sites/feciv.ufu.br/files/Anexos/Bookpage/Notas%20de%20Aula%20MEF .pdf

NETO, Gustavo C. S.; LOPES, Rogério C.; LOPES, Arlindo P. O Método dos Elementos

Finitos em Treliças Planas na Disciplina de Mecânica Computacional. XXXV Congresso

Brasileiro de Educação em Engenharia. 2007. Disponível em:

http://www.abenge.org.br/CobengeAnteriores/2007/artigos/434-Gustavo%20Cunha.pdf

OÑATE, Eugenio. Calculo de Estructuras por Metodo de Elementos Finitos. Ed. CIMNE. 1991.

ROQUE LUIZ PITANGUEIRA. Notas de Aula da Disciplina “Método dos Elementos

Finitos”. Universidade Federal de Minas Gerais. 2013.

WEAVER Jr., W.; JOHNSTON, P. R. Finite Elements for Structural Analysis. Ed. Englewood Cliffs, New Jersey. 1984.

60

ANEXO I – Matriz de Rigidez do Elemento Finito Triangular de Três Nós

K = K1 + K2 K1= ›_L        › Ÿœ −” FŸœ Ÿœ › FŸœ £݅sé˜è݅ãW › œ Ÿœ −” œ FŸœ −” Fœ Ÿœ › Fœ FŸœ › œ  −” Fœ œ › Fœ  ›  Ÿ Ÿœ −”  Ÿ FŸœ −” F Ÿ Ÿœ › F Ÿ FŸœ ›  Ÿ œ −”  Ÿ Fœ −” F Ÿ œ › F Ÿ Fœ ›  Ÿ −” F Ÿ  Ÿ › F Ÿ"# # # # # # $ K2= ›_M        FŸœ −FŸœ Ÿœ Ÿœ £݅sé˜è݅ãW FŸœ Fœ −Ÿœ Fœ −FŸœ œ Ÿœ œ Fœ  −Fœ œ œ  FŸœ F Ÿ −Ÿœ F Ÿ −FŸœ  Ÿ Ÿœ  Ÿ Fœ F Ÿ −œ F Ÿ −Fœ  Ÿ œ  Ÿ F _Ÿ −F Ÿ  Ÿ  Ÿ" # # # # # # $

• Para Estado Plano de Tensões: e1 = 1 ; e2 = 1 – ν ; e3 = w

m

 ; e4 =

/ |

L9_Ó¤¥ (± ఔ)wm ; e5 = e4 e3

• Para Estado Plano de Deformações: e1 = 1 – ν ; e2 = 1 – 2ν ; e3 = w

m

 ; e4 = / |

L9Ó¤¥ (± ఔ)wm ; e5 = e4 e3

61

ANEXO II – Matriz de Rigidez do Elemento Finito Retangular de Quatro Nós

K = K1 + K2 K1=        2– –I 2– −2– −–I –I – 2– −–I 2– £݅sé˜è݅ãW −– −–I −–I −– – −–I –I −2– – –I −–I −2– −– –I –I −– 2– –I 2– −2– −–I –I – 2– −–I 2–" # # # # # # $ K2=        2–L –a 2–M –L –a −–a −–M 2–L −–a 2–M £݅sé˜è݅ãW −–L −–a −–a −–M −2–L –a −–a –M −2–L −–a –a –M −–L –a –a −–M 2–L –a 2–M –L –a −–a −2–M 2–L −–a 2–M" # # # # # # $ s1 = | ¡ .’’ a ¬ s2 = | ¡ .mm a¡ s3 = | .’m L s4 = | ¡ ._{a ¡}ll s5 = | ¡ ._{a ¬}ll s6 = | ._Lll

62

ANEXO III – Coeficientes para Quadratura de Gauss

n ±ï_¹ W1 1 0 2 2 0,577350269 1 3 0,774596669 0,55555556 0 0,88888889 4 0,861136312 0,34785485 0,339981044 0,65214515 5 0,906179846 0,23692689 0,53846931 0,47862867 0 0,57 6 0,932469514 0,17132449 0,661209387 0,36076157 0,238619186 0,46791393 7 0,949107912 0,12948497 0,741531186 0,27970539 0,405845151 0,38183005 0 0,41795918 8 0,960289857 0,10122854 0,796666477 0,22238103 0,52553241 0,31370665 0,183434643 0,36268378 Fonte: WEAVER Jr., W.; JOHNSTON, P. R (1984)

63

ANEXO IV – Matriz de Rigidez do Elemento de Placa Retangular de Quatro Nós MZC

^(w) _{= “ [^}

(w)+ ^(w)+ ^I(w)+ ^L(w)]

D = / |l

 (H ఔm₎