MATEMÁTICA MMC & MDC. Professor Marcelo Gonzalez Badin

• Professor

Marcelo Gonzalez Badin

MATEMÁTICA

MMC

Múltiplo e Divisor

Dados dois inteiros a e b, dizemos que a é múltiplo de b se existe

um inteiro m tal que:

a = mb

Nessas condições, também se diz que b é um fator (ou divisor) de a.

Mínimo Múltiplo Comum

O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números naturais é

o menor número positivo que é múltiplo comum de todos os números

dados. O MMC dos números a e b é representado por MMC(a, b).

Acompanhe o exemplo:

Múltiplos positivos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ...

Múltiplos positivos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...

Assim, os múltiplos comuns de 2 e 3 são: 6, 12, 18, 24, ...

Logo, o MMC(2,3) = 6

MDC

Máximo Divisor Comum

O máximo divisor comum (MDC) de dois ou mais números naturais é o

maior número positivo que é divisor comum de todos os números

dados. O MDC dos números a e b é representado por MDC(a, b).

Acompanhe o exemplo:

Divisores positivos de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Divisores positivos de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Assim, os divisores comuns de 18 e 24 são: 1, 2, 3, 6

60 2

30 2

15 3

5 5

1

1

2

4

3, 6, 12

5, 10, 20, 15, 30, 60

Divisores positivos de 60:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

exatamente dois divisores naturais.

1 NÃO É PRIMO!

Decompondo 60 em fatores primos:

2 é o único primo par!

1.Calcule: a) MMC(54, 180) MDC(54, 180)

54, 180 2

27, 90 2

27, 45 3

9, 15 3

3, 5 3

1, 5 5

1, 1

54, 180 2

27, 90 2

27, 45 3

9, 15 3

3, 5 3

1, 5 5

1, 1

*

*

*

8, 9 2

4, 9 2

2, 9 2

1, 9 3

1, 3 3

1, 1

Quando não houver fator primo comum,

o MDC é igual a 1 e os números são chamados primos entre si

1) Todo múltiplo comum de a e b é múltiplo do MMC(a,b)

Mult. pos. de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ... Mult. pos. de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...

Mult. pos. de 6: 6, 12, 18,...

2) Todo divisor comum de a e b é divisor do MDC(a,b)

Div. pos. de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Div. pos. de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Div. pos. de 6: 1, 2, 3, 6

4) MMC(a,b).MDC(a,b) = a.b

Só vale para 2 números! Obs.:

3) MMC(2000, 5000) = 1000.MMC(2, 5) MDC(2000, 5000) = 1000.MDC(2, 5)

2. As cidades de Porto Seguro, Blumenau e Dourados realizam grandes festas periódicas, sendo a Porto Seguro de de 9 em 9 meses, a de Blumenau de 12 em 12 meses e a de Dourados de 20 em 20 meses. Se em janeiro de 2011 as festas coincidiram, quando será a próxima vez que irão coincidir?

Porto Seguro: 9 em 9 meses; Blumenau: 12 em 12 meses; Dourados: 20 em 20 meses.

O número de meses decorridos para que haja uma nova coincidência deve ser múltiplo de 9, 12 e 20.

9, 12, 20 2

9, 6, 10 2

9, 3, 5 3

3, 1, 5 3

1, 1, 5 5

1, 1, 1

As festas ocorrerão juntas novamente em janeiro de 2025. 180 meses = 15 anos Obs.: MDC(9, 12, 20) = 1 180 12 15 0 Janeiro de 2011

3.(Vunesp-2004) Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada um desses três viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 30, 48 e 72 dias, respectivamente. O número mínimo de dias transcorridos para que os três

viajantes estejam juntos novamente na cidade A é:

a) 144 b) 240 c) 360 d) 480 e) 720

Para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A, o número de dias transcorridos a partir do último encontro deve ser múltiplo de 30, 48 e 72.

O número mínimo de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A é o mínimo múltiplo comum entre 30, 48 e 72, isto é, 720.

30, 48, 72 2

15, 24, 36 2

15, 12, 18 2

15, 6, 9 2

15, 3, 9 3

5, 1, 3 3

5, 1, 1

*

*

5

1, 1, 1

4. (PUC-RJ) A editora do livro Como ser aprovado no vestibular recebeu os seguintes pedidos, de três livrarias:

Livraria Número de exemplares

A 1300

B 1950

C 3900

A editora deseja remeter os três pedidos em n pacotes iguais de tal forma que

n seja o menor possível.

Calcule o número n.

Seja x o número de livros colocados em cada pacote

Para que os pacotes sejam iguais, x deve ser divisor de 1300, 1950 e 3900 Para n ser o menor possível, x deve ser o maior possível

x = MDC(1300, 1950, 3900) MMC(ka, kb) = k.MMC(a,b) MDC(ka, kb) = k.MDC(a,b) = 10.MDC(130, 195, 390) 130, 195, 390 2 65, 195, 195 3 65, 65, 65 5 13, 13, 13 13 1, 1, 1 * * x = 10.5.13 = 650

1300

1950

3900

650

+

650

+

650

(Vunesp-2002) Uma concessionária vendeu no mês de outubro n carros do tipo A e m carros do tipo B, totalizando 216 carros. Sabendo-se que o número de carros vendidos de cada tipo foi maior do que 20, que foram vendidos menos carros do tipo A do que do tipo B, isto é, n < m, e que MDC(n, m) = 18,

os valores de n e m são, respectivamente: a) 18, 198. b) 36, 180. c) 90, 126. d) 126, 90. e) 162, 54. É um teste!

Somente interpretando o texto podemos excluir algumas alternativas Ficamos entre as alternativas b e c

MDC(36, 180) = 36

(Vunesp-2002) Uma concessionária vendeu no mês de outubro n carros do tipo A e m carros do tipo B, totalizando 216 carros. Sabendo-se que o número de carros vendidos de cada tipo foi maior do que 20, que foram vendidos menos carros do tipo A do que do tipo B, isto é, n < m, e que MDC(n, m) = 18,

os valores de n e m são, respectivamente: a) 18, 198. b) 36, 180. c) 90, 126. d) 126, 90. e) 162, 54. n + m = 216

Como MDC(n, m) = 18, n e m são múltiplos de 18. Assim: n = 18a

m = 18b com a < b

Logo, 18a + 18b = 216 (Divide por 18) a + b = 12

Como a e b são inteiros positivos e a < b, temos as seguintes possibilidades: a b 1 11 2 10 3 9 4 8 5 7 (não convém) Se a = 1, n = 18 (não convém) Se a = 2 e b = 10, temos n = 2.18 e m = 10.18 Sendo assim, MDC(m, n) = 36 (não convém) (não convém)

(com a e b primos entre si)

Sendo a = 5 e b = 7, temos n = 5.18 e m = 7.18

1

(Fuvest-2002) Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas com lado de mesma medida inteira, em centímetros. A sala é retangular, de lados 2 m e 5 m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras.

Quais são os possíveis valores do lado das lajotas?

x = medida do lado da lajota quadrada (em cm) x x 2 m 5 m = 200 cm = 500 cm _{200 cm} 500 cm

Para serem utilizadas lajotas inteiras x é divisor de 200 e 500

x é divisor do MDC(200, 500) x é divisor de 100

MDC(200, 500) = 100.MDC(2, 5) = 100

Os possíveis valores da medida do lado da lajota (em cm) são:

100 2 50 2 25 5 5 5 1 2 4 5, 10, 20 25, 50, 100 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100 E se a pergunta fosse qual a maior medida da lajota?

E se a pergunta fosse qual o menor número de lajotas? 10 lajotas 100 cm

(UFSCar-2002) Considere as seguintes informações:

• o máximo divisor comum entre dois números também é um divisor da diferença entre esses números; • se o máximo divisor comum entre dois números a e b é igual a 1, mdc(a,b) = 1, o mínimo múltiplo comum desses números será igual ao seu produto, mmc(a,b) = ab

a) prove que o máximo divisor comum entre dois números consecutivos é igual a 1;

b) determine dois números consecutivos, sabendo que são positivos e o mínimo múltiplo comum entre eles é igual a 156. I. MDC(a,b) é divisor de a – b II. Se MDC(a,b) = 1 Então MMC(a,b) = ab a) Consideremos os números consecutivos x+1 e x Usando I temos: MDC(x+1, x) é divisor de MDC(x+1, x) é divisor de 1  MDC(x+1, x) = 1

b) Sejam os números positivos consecutivos x+1 e x

Como MDC(x+1, x) = 1 (item a), vamos usar II: MMC(x+1, x) = (x+1).x 156 = (x+1).x 156 = x2 _{+ x} x2 _{+ x – 156 = 0} x = –13 x = 12 (não convém) Os números são 12 e 13 – x x+1

1 3·5

·11

(Fuvest) O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entre si, é igual a 825. Então, o máximo divisor comum desses dois números é: a) 1

b) 3 c) 5 d) 11 e) 15

Sejam os inteiros positivos a e b

a·b = 825

a·b = 3·5

·11

e MDC(a,b)

¹ 1

Sendo a < b, temos as seguintes possibilidades:

a b

3 5

·11

5 3·5·11

11 3·5

3·5 5·11

5

_3·11

não convém, primos entre si não convém, primos entre si MDC(a,b) = 5

não convém, primos entre si MDC(a,b) = 5

não convém, primos entre si

Outro modo:

a·b = 3·5

·11

Como 5 é o único fator

primo “repetido”, para a e

b não serem primos entre

si necessariamente temos:

a = 5·? e b = 5·??

(um 5 vem de a e o outro de b) o único fator primo comum é 5, logo MDC(a,b) = 5

(Pouso Alegre-2007) Um negociante tentou colocar n camisas em caixas com 4

unidades, mas ficaram sobrando 3. Ao tentar colocá-las em caixas com 7, acabaram sobrando 6. Ao tentar colocá-las em caixas com 11, acabaram sobrando 10. Qual o número mínimo de camisas que esse comerciante tinha?

a) 164 b) 175 c) 206 d)307 e) 314

n 4

3 a

n 7

6 b

n 11

10 c

n + 1 é múltiplo de 4, 7 e 11

n + 1 é múltiplo do MMC(4,7,11)

n + 1 é múltiplo de 308

\ n + 1 = 308k (k inteiro positivo)

O menor n ocorre para k = 1

n + 1 = 308

 n = 307

Como é um teste, você poderia chegar

a resposta por eliminação

O segundo menor n ocorre para k = 2

n 4

3 a

⇒ n = 4a + 3

n + 1 = 4a + 4

n + 1 = 4(a + 1)

Qual o menor número natural maior que 3 que dividido por 12, por 18 e por 20 deixa resto igual a 3?

x 12

3 a

Seja x o número procurado

x 18

3 b

x 20

3 c

x – 3 é múltiplo de 12, 18 e 20

x – 3

é múltiplo do MMC(12,18,20)

x – 3

é múltiplo de 180

\ x – 3

= 180k (k inteiro positivo)

O menor x ocorre para k = 1

x – 3

= 180

 x = 183

O segundo menor x ocorre para k = 2

x – 3

= 180.2

 x = 363

x 12

3 a

⇒ x = 12a + 3

(Fuvest) No alto de uma torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com freqüências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes “piscarem” simultaneamente, após quanto segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?

a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30

A 1ª “pisca” uma vez a cada 60

15

= 4s

A 2ª “pisca” uma vez a cada 60

10

= 6s

O número de segundos decorridos para que as duas

pisquem simultaneamente juntas é múltiplo de 4 e 6.

(UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles

permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto.

O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de:

a) 150 b) 160 c) 190 d) 200

A 1º fecha a cada 10 + 40 = 50 segundos

A 2º fecha a cada 10 + 30 = 40 segundos

O número de segundos decorridos para que os dois

fechem simultaneamente juntos é múltiplo de 50 e 40.

MMC(50,40) = 200