I - Funções Vectoriais

(1)

Instituto Polit´ecnico de Tomar Escola Superior de Tecnologia de Tomar

´

Area Interdepartamental de Matemática Análise Matemática III - Engenharia Civil

I - Fun¸c˜

oes Vectoriais

1. C´alculo de vectores no espa¸co.

(a) Calcule o ângulo determinado pelos vectores: î + ˆj + ˆk e î − ˆj − ˆk.

(b) Determine um vector unit´ario do plano xOy, ortogonal ao vector ~u = 2ˆi + 3ˆj.

(c) Determine uma equa¸c˜ao do plano que passa por P0 = (1, 1, 1) e ´e normal ao vector

~u = 2ˆi + ˆj − 2ˆk.

(d) Calcule a ´area do paralelogramo determinado pelos vectores: ˆi + ˆj + 3ˆk e ˆj − ˆk.

(e) Calcule a área do triângulo de vértices (1, 1, 1), (2, −1, 0) e (−1, −1, 3).

(f) Determine o volume do paralelip´ıpedo determinado pelos vectores: ˆi+ 3ˆk, 2ˆj + 3ˆk e 5ˆj.

2. Parametrize as curvas seguintes.

(a) O segmento de recta que liga os pontos (−3, 2, 1) e (4, 0, 5). (b) A circunferˆencia no plano xOy, de centro na origem e raio 6.

(c) A circunferˆencia no plano z = −1, de centro no ponto (2, 4, −1) e raio 5 2.

(d) A semi-circunferência no plano xOy, que contém os pontos (1, 0, 0), (0, 1, 0), (−1, 0, 0). (e) O quarto de circunferência no plano z = 4, de centro no ponto (0, 0, 4) e que liga os

pontos (√2 2 , √ 2 2 , 4) e ( √ 2 2 , − √ 2 2 , 4).

(f) O gr´afico da fun¸c˜ao definida por f (x) = x2_{+ 1, x ∈ [2, 3].}

(g) O triangulo do plano xOy, de v´ertices (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 2, 0).

(h) A linha poligonal composta pelos segmentos de recta que ligam (0, 0, 1) a (0, 2, 3) e (0, 2, 3) a (3, 0, 4).

3. Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico das curvas parametrizadas ~r = ~r(t) tais que: (a) ~r0_{(t) = ˆi + ˆ}_{k, t ∈}_{R, ~r(0) = ~0;}

(b) ~r0_{(t) = −ˆi + ˆj + ˆ}_{k, t ∈}_{R, ~r(0) = ~0;}

(c) ~r(t) = −tˆi + 2tˆj + 3tˆk, t ∈ [0, 1];

(d) ~r(t) = 3 cos(t)ˆi + 2 sin(t)ˆj, t ∈ [0, π]; (e) ~r(t) = (1 − cos(t))ˆi + (sin(t) − 2)ˆj, t ∈ [−π

2, 0].

4. Considere a curva plana de equa¸c˜oes param´etricas: ½

x(t) = t2_{− 1}

y(t) = t3_{− t} , t ∈R.

(a) Determine os pontos da curva onde a recta tangente à curva é horizontal. (b) Determine os pontos da curva onde a recta tangente à curva é vertical.

(2)

5. Determine o comprimento dos arcos de curva dados por: (a) ~r(t) = 2 cos(t)ˆi + 2 sin(t)ˆj + tˆk, t ∈ [0, 2π];

(b) ~r(t) = (sin(t) − t cos(t))î + (cos(t) + t sin(t))ˆj, t ∈ [−1, 1]. 6. Mostre que a curvatura de uma circunferência de raio r é igual a 1

r.

7. Determine a curvatura de uma par´abola parametrizada por ~r(t) = tˆi + t2_{ˆj, t ∈ R.}

II - Integrais Curvil´ıneos.

8. CalculeR_CF .d~r onde~

(a) ~F (x, y) = (x2_{− 2xy)î + (y}2_{− 2xy)ˆj e C é o arco da parábola de equa¸cão y = x}2 _que

vai de A = (−2, 4) a B = (1, 1);

(b) ~F (x, y) = (x2_{− y}2_{)î + xˆj e C é o arco da circunferência de equa¸cão x}2_{+ y}2 _{= 4,}

orientada no sentido directo, que vai de A = (0, 2) a B = (2, 0);

(c) ~F (x, y, z) = (y + z)î + (x + z)ˆj + (x + y)ˆk e C é o arco da curva de equa¸cão

½

y = x2

z = x4

que une os pontos A = (0, 0, 0) e B = (1, 1, 1) e orientada de A para B;

(d) ~F (x, y, z) = (2x−z)î+yˆj+xˆk e C é a curva que se obtém por justaposi¸cão do segmento

de recta de extremos (0, 0, 0) e (1, 0, 0) com a curva parametrizada por    x = cos(t) y = sin(t) z = t π , 0 ≤ t ≤ π;

(e) ~F (x, y, z) = −yˆi + xˆj + zˆk e C ´e a curva definida por

C = {(x, y, z) ∈R3_{: x}2_{+ y}2_{+ z}2_{= 1 e z =}p_x2_{+ y}2_},

orientada no sentido directo. 9. Calcule os seguintes integrais curvil´ıneos.

(a) R_C(y − sin(x))dx + cos(x) dy, onde C é o triângulo de vértices P = (0, 0), Q = (π 2, 0) e

R = (π

2, 1) orientado no sentido positivo.

(b) R_C(2x − y)dx + x dy, onde C ´e o arco de cicl´oide definido por ½

x = a(t − sin(t))

y = a(1 − cos(t)) , com t ∈ [0, 2π] e a > 0.

(c) R_Cxy dx + y2_{dy + z}2_{dz, com C o arco da curva definida por}

   x = r cos(t) y = r sin(t) z = 2t , desde A = (r, 0, 0) at´e B = (−r, 0, 2π). (d) R_C(y + 1) dx − x2_{dy , onde} C = {(x, y) ∈R2_{: (y = x}2_{∨ y = 4) ∧ x ∈ [−2, 2]}}

(3)

(e) R_C(y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz, onde C ´e a elipse definida por x2_{+ y}2 _{= 1 e}

x + z = 1.

10. Sendo Q = {(x, y, z) ∈R3_:p_x2_{+ y}2_{≤ z ≤ 2 e x}2_{+ y}2_{≥ 1} e C a curva fechada definida}

pela intersec¸c˜ao de Q com o plano z = 1 e orientada no sentido directo, calcule R

Cy dx + x dy + z dz.

11. Determine o trabalho realizado pelo campo de for¸cas ~F (x, y, z) = xˆi + 2yˆj − zˆk, no

desloca-mento ao longo da curva C definida por: ½

z = y4

x = 1 , desde (1, 0, 0) a (1, 1, 1).

12. Considere as duas superf´ıcies de equa¸c˜oes

S1 : x2+ 2y2+ z2= 4 e S2 : z =

√

3,

e seja Γ a linha de intersec¸c˜ao de S1 com S2. Calcule o trabalho realizado pelo campo

~

G(x, y, z) = −y2_{ˆi para deslocar uma part´ıcula material ao longo da curva Γ, orientada no}

sentido directo.

III - Campos Conservativos. Independˆ

encia do Caminho.

13. Calcule R_Cex_{sin(y) dx + e}x_{cos(y) dy, onde C ´e uma curva entre o ponto P = (0, 0), e o}

ponto Q = (π 2,π2).

14. CalculeR_C(y − x2_{) dx + x dy, onde}

C = {(x, y) ∈R2_{: (y = 2x − x}2_{∧ 0 ≤ x ≤ 1) ∨ (x + 3y = 4 ∧ 1 ≤ x ≤ 4)}}

e est´a orientada no sentido directo.

15. Determine a fun¸cão φ(x), com primeira derivada cont´ınua, que se anula para x = 2 e tal que o integralR_C2y dx + φ(x) dy é independente do caminho de integra¸cão.

16. Calcule o integralR_Cy dx−x dy_y2 onde C ´e uma curva simples, fechada e parcialmente suave,

que n˜ao intersecta o eixo das abcissas.

IV - Teorema de Green

17. Por aplica¸c˜ao do Teorema de Green, calcule o integral R_C−x2_{y dx + xy}2 _{dy, onde C ´e a}

circunferˆencia de equa¸c˜ao x2_{+ y}2_{= a}2_{, orientada no sentido directo.}

18. Sendo

R = {(x, y) ∈R2_{: x ≥ y}2 _{e x ≤} y2

2 + 2},

(4)

19. Seja K =R_Cy dx + ey_y2 _{dy, onde C ´e a fronteira, orientada no sentido directo, da regi˜ao}

plana R determinada pelas condi¸c˜oes x ≤ 2 e y2_{≤ 2(x + 2). Apresente o valor da ´area de R}

em fun¸c˜ao de K.

20. Seja Γ a curva que se obt´em por justaposi¸c˜ao da curva definida por x2_{+ y}2_{= 4 e x ≥ 0 e}

y ≥ 0, orientada de A = (0, 2) para B = (2, 0), com a curva definida parametricamente por

½

x = 2 − 2t

y = 4t2_{− 8t} , t ∈ [0, 1].

CalculeR_Γex2

dx + (1 + y2_{) dy.}

21. Considere a regi˜ao plana

R = {(x, y) ∈R2_{: y ≥ x e x}2_{+ y}2_{≤ −2x}.}

(a) Calcule o valor da constante k dada por k =R R_Ry dA;

(b) Sendo C a curva com orienta¸cão positiva, que é fronteira da região R, mostre que R

C(x + 2y2) dx + (xy + y2) dy = −3k.

22. Considere a seguinte regi˜ao plana

R = {(x, y) ∈R2_{: 0 ≤ y ≤ 1 − (x + 1)}2_}

e a curva C que ´e fronteira de R orientada positivamente. (a) Calcule, usando a defini¸c˜ao,

R

C−x2dy − y2dx;

(b) Use o resultado anterior para determinar o volume do s´olido

E = {(x, y, z) ∈R3_{: (x, y) ∈ R : 0 ≤ z ≤ y − x}.}

23. Recorrendo ao Teorema de Green, determine as equa¸cões das superf´ıcies que definem a fronteira do sólido cujo volume é dado por

R

C(y3+ 2yx2) dx + (2x + y2x) dy,

onde C representa a circunferˆencia de equa¸c˜ao x2_{+ y}2_{= 1, percorrida no sentido directo.}

24. Seja C a curva de equa¸c˜oes param´etricas

x(t) = a cos(t), t ∈ [0, 2π] e y(t) =

½

a sin(t), t ∈ [0, π]

0, t ∈]π, 2π] .

Usando o teorema de Green, determine a por forma a que R

Cx dx + xy dy = 18.

25. Seja

~

F (x, y) = −_x2_+yy 2ˆi + _x2_+yx 2ˆj.

(a) Prove queH F .d~r tem sempre o mesmo valor, qualquer que seja a curva C fechada,~

simples e parcialmente suave que circunda a origem. (b) Prove que esse valor ´e 2π.

(5)

(c) Prove ainda que, se a curva C n˜ao circundar nem passar na origem, ent˜aoR_CF .d~r = 0.~

26. Seja r um parˆametro real positivo e diferente de√2. Discuta, para os diferentes valores de

r, o valor de

H

C

−y dx+x dy x2_+y2 ,

sendo C a curva plana de equa¸c˜ao (x − 1)2_{+ (y − 1)}2_{= r}2_.

V - Integrais Curvil´ıneos de Fun¸c˜

oes Escalares

27. Calcule oR_Cf (x, y, z) ds, onde

(a) f (x, y, z) = x + y + z e C é a curva de equa¸cões paramétricas    x = sin(t) y = cos(t) z = t , t ∈ [0, 2π];

(b) f (x, y, z) = x cos z e C é a curva de equa¸cões paramétricas    x = t y = t2 z = 0 , t ∈ [0, 1];

(c) f (x, y, z) = xyz e C é a curva de equa¸cões paramétricas    x = 3 2t2 y = 2t2 z = t , t ∈ [0, 1]. 28. Calcule: (a) R_C 1

x−yds, em que C ´e o segmento de recta de equa¸c˜ao y = 12x − 2, compreendido entre

os pontos A = (0, −2) e B = (4, 0);

(b) R_Cxy ds, onde C é a circunferência de equa¸cão x2_{+ y}2_{− 6x − 4y + 12 = 0;}

(c) R_C(x − y) ds, onde

C = {(x, y) ∈R2_{: (y = x}2_{∨ y = 4) ∧ |x| ≤ 2};}

(d) R_Cx2_{ds, onde}

C = {(x, y, z) ∈R3_{: x}2_{+ y}2_{+ z}2_{= 1 ∧ x + y + z = 0}.}

VI - Integrais de Superf´ıcie

29. Calcule os seguintes integrais de superf´ıcie

(a) R R_Sz2_{dS, onde S é a por¸cão da superf´ıcie cónica z =}p_x2_{+ y}2_{, limitada pelos planos}

z = 1 e z = 3;

(b) R R_Sz dS, onde S é o elipsóide de equa¸cão x2

a2 +

y2

b2 +z 2

(6)

(c) R R_S(x2_{+ y}2_{) dS, onde S é a superf´ıcie esférica de equa¸cão x}2_{+ y}2_{+ z}2_{= a}2_;

(d) R R_S(x2_+y2_{) dS, onde S é a reunião da por¸cão do parabolóide z = 1−(x}2_+y2_{), situada}

acima do plano xoy, com a por¸c˜ao desse mesmo plano definida por x2_{+ y}2_{≤ 1;}

(e) R R_Sx dS, onde S = {(x, y, z) ∈R3_{: x}2_{+ y}2_{= 2x e 0 ≤ z ≤}p_x2_{+ y}2_}.

30. Calcule o integral de f (x, y, z) = xyz sobre o rectˆangulo de v´ertices (1, 0, 1), (2, 0, 0), (1, 1, 1) e (2, 1, 0).

31. Considere a superf´ıcie S definida por

S = {(x, y, z) ∈R3_{: x}2_{+ y}2_{= 4 e 0 ≤ z ≤ x + 3}.}

Calcule os seguintes integrais: (a) R R_Sx2_dS;

(b) R R_Sy2_dS;

(c) R R_Sz2_dS.

32. Calcule a ´area da superf´ıcie de S quando: (a) S ´e um cubo de aresta igual a r > 0;

(b) S ´e uma superf´ıcie esf´erica de raio igual a r > 0;

(c) S é composta pela por¸cão do parabolóide x2_{+ y}2_{= 4 − z, situada acima do plano xoy,}

e pela por¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica x2_{+ y}2_{+ z}2_{= 4 situada abaixo desse mesmo plano;}

(d) S ´e a superf´ıcie que limita o s´olido Q definido por

Q = {(x, y, z) ∈R3_{: x}2_{+ y}2_{− (z − 6)}2_{≤ 0 e 0 ≤ z ≤ 6}.}

VII - Integrais de Superf´ıcie de Campos Vectoriais

33. CalculeR R_SF .ˆ~ n dS, quando:

(a) ~F (x, y, z) = yî− xˆj + 8ˆk e S é a por¸cão do parabolóide z = 9 − x2_{− y}2_{que fica situada}

acima do plano xoy, com ˆn dirigida para cima;

(b) ~F (x, y, z) = xî − ˆj + 2x2ˆ_{k sendo S a por¸cão do parabolóide z = x}2_{+ y}2_{, limitada pelas}

superf´ıcies x = 1 − y2_{e x = y}2_{− 1 orientada com a normal ˆ}_{n dirigida para baixo;}

(c) ~F (x, y, z) = −yî + xˆj + z4ˆ_{k e S é a superf´ıcie esférica x}2_{+ y}2_{+ z}2_{= 4, orientada com}

a normal ˆn dirigida para dentro;

(d) ~F (x, y, z) = xzˆi + xyˆj + yzˆk, S ´e definida por

S = {(x, y, z) ∈R3_{: x}2_{+ y}2_{= r}2_{∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ 0 ≤ z ≤ h} (r > 0, h > 0)}

e orientada com ˆn a apontar para o exterior.

34. ~F (x, y, z) = xˆi+ x2_{ˆj + yzˆk o campo vectorial que representa a velocidade (em m/s) de uma}

corrente de fluido. Determine quantos metros c´ubicos de fluido atravessam, por segundo, o plano xoy atrav´es do quadrado definido por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.

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VIII - Teorema de Stokes e Teorema da Divergˆ

encia

35. Usando o Teorema de Stokes, transforme o integral de superf´ıcieR R_Srot ~F d~S num integral

curvil´ıneo e calcule o seu valor, para cada um dos casos seguintes.

(a) ~F (x, y, z) = 2yî + zˆj + 3ˆk e S é a superf´ıcie do parabolóide z = 1 − (x2_{+ y}2_{) situada}

acima do plano xoy, com a orienta¸cão canónica; (b) ~F (x, y, z) = y2_{î + xyˆj + xzˆk e}

S = {(x, y, z) ∈R3_{: x}2_{+ y}2_{+ z}2_{= 1 e z ≥ 0 }}

com a orienta¸c˜ao can´onica.

(c) ~F (x, y, z) = xzî − yˆj − x2_yˆ_{k, S é composta pelas 3 faces, não situadas no plano xoz,}

do tetraedro limitado pelos 3 planos coordenados e pelo plano 3x + y + 3z = 6, com orienta¸c˜ao determinada pela normal unit´aria exterior do tetraedro.

36. Usando o Teorema de Stokes, mostre que cada um dos seguintes integrais curvil´ıneos tem o valor indicado. Em cada caso diga em que sentido ´e que ´e percorrida a curva C para obter o resultado pretendido.

(a) H_C(x2_{− yz) dx + (y}2_{− zx) dy + (z}2_{− xy) dz = 0, com C uma curva simples, fechada e}

parcialmente suave.

(b) H_Cy dx + z dy + x dz = −π, sendo C a circunferˆencia

½

x2_{+ y}2_{= 1}

z = 0 .

(c) H_Cy dx + z dy + x dz = π√3, sendo C a curva de interseçcão da superf´ıcie esférica

x2_{+ y}2_{+ z}2_{= 1 com o plano x + y + z = 0.}

(d) H_C(y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz = 0, sendo C a curva de intersec¸c˜ao da superf´ıcie cil´ındrica x2_{+ y}2_{= 2y com o plano y = z.}

37. Utilizando o Teorema da Divergˆencia, calcule:

(a) R R_S(yzˆi + xzˆj + xyˆk). d~S onde S ´e composta pelas faces do tetraedro limitado pelos

planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 3; (b) R R_S(x2_{ˆi + y}2_{ˆj + z}2ˆ_{k). d~}_{S e}

i. S ´e composta pelas faces do cubo de v´ertices (0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, a, 0), (0, 0, a), (a, a, 0) e (a, 0, a) com a > 0;

ii. S ´e a superf´ıcie que limita o s´olido

Q = {(x, y, z) ∈R3_{: x}2_{+ y}2_{+ z}2_{≤ 1 e z ≥ 0};}

iii. S ´e a superf´ıcie que limita o s´olido

Q = {(x, y, z) ∈R3_{: 4(x}2_{+ y}2_{) ≤ z}2 _{e 0 ≤ z ≤ 1}.}

38. Considere o s´olido V definido por

V = {(x, y, z) ∈R3_{: x}2_{+ y}2_{+ z}2_{≤ 25 e z ≥ 3},}

e

~

F (x, y, z) = xzˆi + yzˆj + ˆk.

(8)

Calcule o valor de

R R

SF . d~~ S

(a) utilizando a defini¸c˜ao;

(b) usando o teorema da divergˆencia.

39. Seja ~F (x, y, z) = (x − 1)ˆi − yˆj e S a superf´ıcie definida por z = 4 − y2 _{e x}2_{+ y}2_{≤ 1.}

(a) CalculeR R_SF . d~~ S supondo S com orienta¸c˜ao positiva;

(b) Use a al´ınea anterior para calcularH_CG. d~r com ~~ G(x, y, z) = x2_{ˆi+zˆj+xyˆk e C a curva}

definida por ½

x2_{+ y}2_{= 1}

z = 4 − y2 .

40. Seja S a fronteira da regi˜ao Q deR3_{definida por}

Q = {(x, y, z) ∈R3_{: x}2_{+ y}2_{≤ 4, z ≤ 6 − x}2_{− y}2 _{e z ≥ 0}.}

Seja ainda

~

F (x, y, z) = exyz_{sin xˆi + cos(x + y + z)e}x2_/2

ˆj + sin(ex2_+y2_+z

)ˆk.

DetermineR R_Srot ~F .ˆn dS sendo ˆn a normal exterior a S.

41. (a) Calcule o volume do s´olido Q determinado por

2z ≤ x2_{+ y}2_{+ z}2_{≤ 4z} _e _x2_{+ y}2_{≤ z}2_.

(b) Seja ~F (x, y, z) = (2x + y2_{)ˆi + (3y + z}3_{)ˆj + (4z + e}x4

)ˆk e sejam ainda S a fronteira do

s´olido Q e ˆn a normal exterior a S. Recorrendo ao resultado obtido na al´ınea anterior,

determine o valor de

R R

SF .ˆ~ n dS.

42. Seja S a fronteira da regi˜ao D definida por

D = {(x, y, z) ∈R3_{: z}2_{≥ x}2_{+ y}2 _{e x}2_{+ y}2_{+ z}2_{≤ 2z}}

e suponha S com orienta¸c˜ao positiva. Seja ainda

~

F (x, y, z) = (eyz_sin2_{z + x)ˆi + (e}sin x_{− 3y)ˆj + (z}2_{+ 2z + x sin y e}xy_)ˆ_k.

(a) CalculeR R_SF .ˆ~ n dS.