O azulejo articulado de Eduardo Nery
Jorge Rezende (Grupo de Física-Matemática (GFMUL) e Departamento de Matemática (DMFCUL) da
Universidade de Lisboa.)
Neste artigo consideramos apenas azulejos quadrados e daremos especial relevo às propriedades matemáticas do azulejo de 1966 de Eduardo Nery, que é um caso singular entre todos os existentes em obras públicas (ver Figura 9; sobre este azulejo e este artista plástico português ver [1]-[4]). No que se segue, a unidade de comprimento é o comprimento do lado do azulejo.
Azulejos e painéis
A Figura 1 mostra esquemas de diversos tipos de azulejos quadrados muito comuns: a) azulejo sem qualquer simetria; b) azulejo com um eixo de reflexão numa mediana do quadrado; c) azulejo com um eixo de reflexão numa diagonal do quadrado; d) azulejo com um centro de rotação de ordem 2 no meio do quadrado; e) azulejo com um centro de rotação de ordem 4 no meio do quadrado. Como se vê, representamos os eixos de reflexão, que funcionam como espelhos, por uma linha vermelha. Representamos os centros de rotação de ordem 2 e 4, com pequenos círculos com os números 2 e 4 respectivamente; o centro de rotação de ordem 4 significa que rodando o azulejo de 90°, em torno desse centro, ele se mantém invariante; o centro de rotação de ordem 2 significa que, não sendo de ordem 4, rodando o azulejo de 180°, em torno desse centro, ele se mantém invariante. Todas estas são simetrias próprias do azulejo, são aquelas que são perceptíveis olhando para um único exemplar. Claro que um azulejo pode acumular reflexões e centros de rotação próprios; o leitor calcule quantos mais tipos de tais azulejos
existem.
Consideremos agora infinitas cópias de um azulejo quadrado e pavimentemos o plano encostando os azulejos aresta com aresta. Daqui podem resultar padrões em número infinito e, alguns, terão simetrias, ou seja, transformações rígidas do plano que deixam invariante o desenho produzido pela pavimentação.
As Figuras 2-5 mostram algumas pavimentações deste gênero onde estão postas em evidência as suas simetrias. Nestas figuras e no que se segue, os segmentos a amarelo delimitam regiões fundamentais. Lembremos que as regiões fundamentais são paralelogramos de área mínima que se repetem segundo as duas direções independentes que são as dos seus lados, cobrindo completamente o plano, sem sobreposições. Olhando para as figuras, vê-se que são inteiras as coordenadas dos vectores que estão segundo os lados das regiões fundamentais. Como anteriormente, representamos os centros de rotação de ordem 2 e 4, com pequenos círculos com os números 2 e 4
Figura 1
respectivamente. Aqui, quando se roda o painel em torno destes centros, da maneira referida a propósito de um azulejo, o desenho mantém-se invariante. Como se vê, este azulejo, sem qualquer
simetria própria, produz painéis com centros de rotação nos vértices (de ordem 2 ou 4; ver Figuras 4 e 5) e nos pontos médios das arestas (de ordem 2; ver Figura 2); se o azulejo fosse reflexo (se tivesse, pelo menos, um eixo de reflexão próprio), então teria painéis com eixos de reflexão nas arestas; os painéis têm só translações de coordenadas inteiras. As simetrias deste tipo dizem-se triviais; aqui, a palavra “trivial” não tem qualquer sentido pejorativo, é usada no sentido
matemático e não no sentido estético.
Façamos agora as seguintes observações. Quando o azulejo tem
um centro de rotação de ordem 4 no meio, como o da Figura 1e, só
pode formar um painel. Quando tem um centro de rotação de ordem 2 no meio, como o da Figura 1d, já se podem formar painéis distintos. Aqui, trataremos especialmente o caso em que não há qualquer centro de rotação no meio do azulejo e utilizaremos, para começar, um azulejo sem quaisquer simetrias próprias como da Figura 1a.
Uma das possibilidades mais evidentes e não triviais, mas elementares,
é a de reunir quatro azulejos em torno de um dos vértices e, em seguida, obter um painel fazendo translações.
Para maior clareza e para considerar todas as situações de uma forma exaustiva, numeremos os vértices no sentido direto (o contrário ao dos ponteiros do relógio): 1, 2, 3 e 4. O vértice 1 é o do canto superior direito na posição em que está o azulejo da Figura 1a. Em torno desse vértice reuniremos mais três azulejos. Para cada um dos três restantes há quatro maneiras de os
colocar o que dá, ao todo, 64 (4×4×4) possibilidades. De fato, notando os três cantos restantes p, q e r, como mostram as Figuras 6-8, formamos um quadrado com quatro azulejos (1pqr). Ordenando todas as possibilidades por ordem crescente, obtemos que no conjunto, de quatro azulejos de ordem n, n é dado pela fórmula n=16(p-1)+4(q-1)+ r. Para p, q, r =1, 2, 3, 4, vem n=1, 2, ..., 64.
Depois, trata-se de fazer as translações. Há três possibilidades para as translações: paralelamente aos lados (translações de duas unidades na
vertical e translações de duas unidades na horizontal, como mostra a Figura 6); translações de duas unidades na horizontal e translações oblíquas (de duas unidades na vertical e de uma unidade na horizontal, como mostra a Figura 7); translações de duas unidades na vertical e translações oblíquas (de duas unidades na horizontal e de uma unidade na vertical, como mostra a Figura 8). Tudo somado, há 192 (64×3) possibilidades, numeradas de 1 a 64, de 1’ a 64’ e de 1’’ a 64’’,
respectivamente.
Note-se que o painel da Figura 2 resulta do conjunto de quatro azulejos (1234), ou seja é o 28; mas também é o 28’ e o 28’’. O painel da Figura 3 resulta do conjunto de quatro azulejos (1432), ou seja é o 58. O painel da Figura 4 resulta do conjunto de quatro azulejos (1212), ou seja é o 18; mas também é o 18’. O painel da Figura 5 resulta do
conjunto de quatro azulejos (1111), ou seja é o 1.
Figura 3
Figura 4
Nos 192 painéis possíveis, há repetições e equivalências no sentido em que um painel pode ser obtido de outro por translações e rotações. Por exemplo, olhando para o esquema do painel (1112), ou seja o
painel 2, vê-se que há vértices (1121), (1211) e (1242); desta maneira, o painel 2 é equivalente aos painéis 5, 17 e 30. Obviamente, maior cuidado é preciso ao observar os painéis com translações oblíquas. O leitor verifique que há 56 possibilidades diferentes, contadas assim: 1; 2 <=> 5, 17, 30; 3 <=>
9, 33, 43; 4 <=> 13, 49, 56; 6 <=> 21, 31, 46; 7
<=> 25, 32, 44; 8 <=> 29, 29’, 8’’; 10 <=> 37, 59, 62; 11 <=> 41; 12 <=> 24, 27, 45; 14 <=> 53; 15 <=> 42, 54, 57; 16 <=> 40, 55, 61; 18 <=> 18’; 19 <=> 22, 34, 47; 20 <=> 26, 50, 60; 23 <=> 48, 23’,
48’’; 28 <=> 28’, 28’’; 35; 36 <=> 39, 51, 64; 38 <=> 63; 52 <=> 52’’; 58; 1’ <=> 1’’; 2’ <=> 17’, 30’, 5’’; 3’ <=> 33’, 9’’, 31’’; 4’ <=> 49’, 59’, 13’’; 5’ <=> 2’’, 17’’, 42’’; 6’ <=> 46’, 21’’, 43’’; 7’ <=> 25’’, 32’’, 44’’; 8’ <=> 11’, 29’’, 41’’; 9’ <=> 40’, 3’’, 33’’; 10’ <=> 56’, 62’, 37’’; 12’ <=> 24’, 27’, 45’’; 13’ <=> 4’’, 49’’, 56’’; 14’ <=> 53’’; 15’ <=> 30’’, 54’’, 57’’; 16’ <=> 43’, 55’’, 61’’; 19’ <=> 22’, 34’, 47’’; 20’ <=> 26’, 50’, 60’; 21’ <=> 31’,
6’’, 46’’; 25’ <=> 32’, 44’, 7’’; 35’ <=> 63’’; 36’ <=> 51’, 57’, 15’’; 37’ <=> 10’’, 19’’, 34’’; 38’ <=> 35’’; 39’ <=> 36’’, 51’’, 64’’; 41’ <=> 48’, 11’’, 23’’; 42’ <=> 54’, 64’, 39’’; 45’ <=> 12’’, 24’’, 27’’; 47’ <=> 22’’, 59’’, 62’’; 52’ <=> 58’; 53’ <=> 63’, 14’’, 38’’; 55’ <=> 61’, 16’’, 40’’; 18’’ <=> 58’’; 20’’ <=> 26’’, 50’’, 60’’.
Suponhamos agora que o azulejo tem eixo de reflexão numa diagonal. Reservemos os números ímpares (1 e 3) para os vértices que contêm essa diagonal. Colocando o azulejo ao espelho, vê-se precisamente a
mesma imagem só que os vértices 2 e 4 trocam. Colocando os quatro azulejos ao espelho, os azulejos contados no sentido direto, aparecem na imagem no sentido retrógrado. Assim, a imagem do painel (1123), ou seja o 7, é o painel (1134), ou seja o 12. Aqui, mais uma vez, maior cuidado é preciso ao observar os painéis com translações oblíquas. O leitor verifique que há: com reflexão, 16; sem reflexão: 40 (20×2). Se,
de cada par de painéis reflexos um do outro, escolhermos apenas um, há 36 possibilidades:
1; 2 <-> 4; 6 <-> 16; 7 <-> 12; 8; 10 <-> 15; 11; 14; 18 <-> 52; 19 <-> 36;
20; 23; 28; 35; 38; 58; 1’; 2’ <-> 13’; 3’ <-> 9’; 4’ <-> 5’; 6’ <-> 16’; 7’ <-> 12’; 8’; 10’ <-> 15’; 14’; 19’ <-> 39’; 20’ <-> 20’’; 21’ <-> 55’; 25’ <-> 45’;
35’ <-> 38’; 36’ <-> 37’; 41’; 42’ <-> 47’; 52’ <-> 18’’; 53’.
O leitor verifique também que se o azulejo tiver apenas um eixo de reflexão numa mediana, as 56 possibilidades
diferentes, repartem-se assim: com reflexão, 18; sem reflexão: 38 (19×2). Se, de cada par de painéis reflexos um do outro, escolhermos apenas um, há 37 possibilidades.
O leitor verifique ainda que se o azulejo tiver apenas um centro de rotação de ordem 2, há 7 possibilidades diferentes. Se além disso tiver apenas um eixo de reflexão numa diagonal, as possibilidades repartem-se assim: com reflexão, 5; sem reflexão: 2; se, de cada par de painéis reflexos um do outro, escolhermos apenas um, há 6 possibilidades. Se, em vez de ser na diagonal o eixo de reflexão for numa mediana, as possibilidades repartem-se
assim: com reflexão, 7; sem reflexão: 0.
Figura 6
Figura 7
O azulejo de 1966 de Eduardo Nery
O azulejo de 1966 de Eduardo Nery, representado nas Figura 9 e 15, não tem qualquer centro de rotação no meio (nem de ordem 2, nem de ordem 4) mas tem um eixo de reflexão próprio segundo uma diagonal. Aparentemente, nada o distingue, do ponto de vista matemático, de outros azulejos relativamente comuns. Mas não é assim, como veremos.
Juntando dois destes azulejos, aresta com aresta, de qualquer maneira, as cores têm continuidade de azulejo para azulejo. Quem junta muitos
destes azulejos, formando um painel, depara-se com a possibilidade de formar múltiplos padrões e com uma dinâmica que não imaginava observando apenas um exemplar.
Conseqüentemente, é natural utilizar o estudo da secção precedente para desenhar os 36 painéis com quatro destes azulejos que se transladam. Como anteriormente, reservamos os números ímpares (1 e 3) para os vértices que contêm a diagonal que é um eixo de reflexão próprio do
azulejo. O vértice 1 é o que tem no canto o triângulo colorido (no caso das Figura 9 e 15 é um triângulo amarelo).
Desenhados os painéis, o que surpreende é que, um exame atento, mostra o aparecimento inesperado de eixos de reflexão, de centros de rotação de ordem 2 e de ordem 4, e de translações, que não eram
perceptíveis observando o azulejo isolado; mostra, ainda, regiões fundamentais de alguns padrões com formas
diferentes e áreas mais pequenas do que seriam de prever.
Estes fatos ficam bem ilustrados nas Figuras 10-14 em que estão cinco desses 36 painéis: o 23, o 28, o 38, o 58 e o 42’.
Convencionemos que se há, pelo menos, um painel com um centro de rotação de ordem 4, esse é um centro de rotação de ordem 4 do azulejo; se há, pelo menos, um painel com um centro de rotação de ordem 2 e que não é de ordem 4, esse é um centro de rotação de ordem 2 do azulejo; se há um painel com um eixo de reflexão que traça um segmento num azulejo, esse é um eixo de reflexão do azulejo; etc. Excluem-se destas convenções as trivialidades. Feitas estas convenções, nas Figuras 11-13, como anteriormente, as linhas vermelhas representam eixos de reflexão; nas Figuras 10-12, as linhas verdes representam eixos de reflexão deslizante (colocando um espelho sobre essa linha, Figura 9. O azulejo de Eduardo Nery
perpendicularmente ao desenho, a imagem que se vê é a transladada da que está do outro lado do espelho); os pontos com um 2, representam centros de rotação de ordem 2; os pontos com um 4, representam centros de rotação de ordem 4; a fronteira das regiões fundamentais é assinalada com linhas amarelas.
No painel 23, o que é interessante não é a área da região fundamental, que é dois, visto que é gerado pela translação de dois azulejos. A novidade é que se vêem quatro centros de rotação de ordem 2 no interior.
No painel 28, o que surpreende não é a área da região fundamental, que é um, visto que é gerado pela translação de um azulejo. As novidades é que se vêem quatro centros de rotação de ordem 2 no interior e vêem-se ainda dois eixos de reflexão perpendiculares ao eixo de reflexão próprio do azulejo.
No painel 38, aparecem agora dois centros de rotação de ordem 4 nos pontos médios das duas arestas
concorrentes no vértice 3. Existem ainda quatro eixos de reflexão (dois deles já os conhecíamos do painel 28) que unem pontos médios das arestas e são perpendiculares ou paralelos ao eixo de reflexão próprio do azulejo. A área da região fundamental é quatro.
No painel 58 aparecem centros de rotação de ordem 2 e eixos de reflexão já nossos conhecidos e o que
verdadeiramente surpreende é que a região fundamental é um rectângulo de área um, alongado, que intersecta, pelo menos, três azulejos. As translações que transportam uma região fundamental noutra vizinha, que tenha uma aresta comum, não são triviais (não têm coordenadas inteiras).
O painel 42’ não tem reflexões. A área da sua região fundamental é quatro e ele e o seu reflexo possuem os quatro centros de rotação de ordem 2 do interior do azulejo.
Figura 12. Painel 38 Figura 13. Painel 58
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Constatamos assim que o azulejo de 1966 de Eduardo Nery possui (ver Figura 15): um eixo de reflexão próprio que une dois vértices opostos, os vértices 1 e 3; quatro eixos de reflexão que unem os pontos médios das arestas e são paralelos ou perpendiculares ao eixo próprio; quatro centros de rotação de ordem 2, que estão situados nos centros dos quatro quadrados iguais que se obtêm dividindo o azulejo com os dois segmentos que unem os pontos médios de arestas opostas; e, finalmente, dois centros de rotação de ordem 4 localizados nos pontos médios das arestas concorrentes no vértice 3.
De todos estes elementos que definem a estrutura geométrica do azulejo de Eduardo Nery, os que despertam mais curiosidade são, sem dúvida, os dois centros de rotação de ordem 4. Por esse motivo, o painel 38 é, de todos, o mais relevante. A sua existência leva-nos a colocar imediatamente a seguinte questão: se um painel, constituído por cópias de um único azulejo, possui um centro de rotação de ordem 4 não localizado num vértice, como é esse azulejo nas suas propriedades geométricas? A resposta pormenorizada a esta pergunta não cabe, naturalmente, no âmbito deste artigo (ver [4]).
Eduardo Nery desenhou o azulejo de que trata este artigo para o "concurso ESTACO destinado a premiar os melhores desenhos de azulejo decorativo", promovido em 1966 pela fábrica de cerâmica ESTACO, Estatuária Artística de Coimbra, em colaboração com a revista Arquitectura e o Sindicato Nacional dos Arquitectos [3]. O artista não ganhou este concurso apesar das propriedades matemáticas (e plásticas) notáveis do azulejo,
que fazem dele, entre todos os azulejos existentes em obras públicas, um caso único.
Agradecimentos:
Fico reconhecido à Sociedade Brasileira de Matemática e ao seu parecerista pelos incentivos e reparos que contribuíram para melhorar este meu trabalho. Entretanto, entre a primeira versão e esta, faleceu, em 2 de março de 2013, o artista plástico Eduardo Nery à memória de quem dedico este artigo.
Referências:
[1] Sítio de Eduardo Nery: http://www.eduardonery.pt/
[2] P. Henriques, Rocha de Sousa, S. Vieira: Eduardo Nery. Exposição Retrospectiva: Tapeçaria, Azulejo, Mosaico, Vitral (1961–2003). Museu Nacional do Azulejo, Lisboa, IPM, 2003.
[3] No blogue http://polyedros.blogspot.pt/
Azulejos
http://polyedros.blogspot.pt/search/label/azulejos Estudos para um azulejo de Eduardo Nery
http://polyedros.blogspot.pt/search/label/Estudos%20para%20um%20azulejo%20de%20Eduardo%20Nery História de um azulejo de Eduardo Nery
http://polyedros.blogspot.pt/search/label/Hist%C3%B3ria%20de%20um%20azulejo%20de%20Eduardo%20Nery [4] Jorge Rezende: A contribution for a mathematical classification of square tiles, 2012.
http://arxiv.org/abs/1206.3661
