DCC008 Aula02 Polinomio Taylor

(1)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Polinˆomio de Taylor

Exemplos de Aproxima¸c˜oes

Erro da Aproxima¸c˜ao

Exemplos de Obten¸c˜ao do Erro de Aproxima¸c˜ao

Aproxima¸c˜ao de Derivada de uma Fun¸c˜ao

Considera¸c˜oes Finais

Polinˆomios de Taylor

DCC008 - C´alculo Num´erico

Prof. Ruy Freitas Reis

Departamento de Ciˆ

encia da Computa¸c˜

ao

Universidade Federal de Juiz de Fora

(2)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Polinˆ

omio de Taylor

3 Exemplos de Aproxima¸c˜oes

4 Erro da Aproxima¸c˜ao

5 Exemplos de Obten¸c˜ao do Erro de Aproxima¸c˜ao

6 Aproxima¸c˜ao de Derivada de uma Fun¸c˜ao

7 Considera¸c˜oes Finais

(3)

Ruy

Introdu¸c˜ao Polinˆomio de Taylor

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Polinˆ

omio de Taylor

3 Exemplos de Aproxima¸c˜oes

4 Erro da Aproxima¸c˜ao

5 Exemplos de Obten¸c˜ao do Erro de Aproxima¸c˜ao

6 Aproxima¸c˜ao de Derivada de uma Fun¸c˜ao

(4)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Algumas fun¸c˜oes matem´aticas ditas

elementares

não são tão

elementares assim quando tentamos avali´a-las.

• Se

P

(

x

) ´e uma fun¸c˜ao polinomial,

P

(

x

) =

a

0 +

a

1 x

+

a

2 x

2 +

. . .

+

anx

n

ent˜ao

P

pode ser avaliado facilmente para qualquer

n´

umero

x

.

• Entretanto o mesmo não é verdadeiro para fun¸cões como

e

x

, sin (

x

), cos (

x

), log (

x

). Tente calcular essas fun¸c˜oes

sem usar a calculadora para qualquer

x

.

• Estamos interessados em reduzir a avalia¸c˜ao de fun¸c˜

oes

f

(

x

) por fun¸c˜oes que sejam mais f´aceis de se avaliar.

(5)

Ruy

Introdu¸c˜ao

• J´a vimos que polinˆ

omios são fun¸cões fáceis de se avaliar,

pois precisamos apenas de realizar opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e

multiplica¸c˜ao.

• Sendo assim estamos interessados em aproximar a fun¸c˜ao

f

(

x

) por uma fun¸c˜ao polinomial

Pn

(

x

) que seja f´acil de

avaliar.

• Uma das aproxima¸c˜oes polinomiais mais usadas s˜ao os

(6)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Polinˆomio de Taylor Exemplos de Aproxima¸c˜oes

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Polinˆ

omio de Taylor

3 Exemplos de Aproxima¸c˜oes

4 Erro da Aproxima¸c˜ao

5 Exemplos de Obten¸c˜ao do Erro de Aproxima¸c˜ao

6 Aproxima¸c˜ao de Derivada de uma Fun¸c˜ao

7 Considera¸c˜oes Finais

(7)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Polinˆomio de Taylor Exemplos de Aproxima¸c˜oes

Polinˆomio de Taylor

Teorema (Polinˆomio de Taylor)

Suponha f

(

x

)

ser uma fun¸c˜

ao tal que f

(

a

)

e suas derivadas

f

′

₍

_a

₎

_{, f}

′′

₍

_a

₎

_,

_{· · ·}

_{, f}

(

n

)

₍

_a

₎

_{existam e a ´}

_{e um valor real, ent˜}

_{ao o}

Polinˆ

omio de Taylor de grau

n que aproxima f

(

x

)

em torno

de x

=

a ´

e expresso por:

Pn

(

x

) =

f

(

a

) +

f

′

₍

_a

₎₍

_x

₋

_a

_{) +}

_f

′′

₍

_a

₎

(

x

−

a

)

2

2!

+

. . .

+

f

(

n

)

₍

_a

₎

(

x

₋

a

)

n

(8)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos de Aproxima¸c˜oes Erro da Aproxima¸c˜ao

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Polinˆ

omio de Taylor

3 Exemplos de Aproxima¸c˜oes

4 Erro da Aproxima¸c˜ao

5 Exemplos de Obten¸c˜ao do Erro de Aproxima¸c˜ao

6 Aproxima¸c˜ao de Derivada de uma Fun¸c˜ao

7 Considera¸c˜oes Finais

(9)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 1

(10)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 1

Encontrar o polinˆ

omio de Taylor de grau 1 (linear) que

aproxima a fun¸c˜ao

f

(

x

) =

e

x

em torno do ponto

x

= 0.

Solu¸c˜ao:

Temos

f

(

x

) =

e

x

_⇒

f

′

₍

_x

_{) =}

_e

x

portanto o polinˆ

omio de Taylor linear ´e dado por

P

1 (

x

) =

f

(

a

) +

f

′

(

a

)(

x

−

a

)

=

f

(0) +

f

′

₍₀₎₍

_x

₋

₀₎

=

e

0 +

e

0 (

x

₋

0)

= 1 +

x

(11)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Representa¸cão gráfica da solu¸cão

do exemplo 1

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

e

x

(12)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Representa¸cão gráfica da solu¸cão

do exemplo 1 (zoom)

0.4 0.2 0.0 0.2 0.4

0.5 1.0 1.5

e

x

P

1

(x)

(13)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 2

Determinar o polinˆ

omio de Taylor de grau 2 (quadr´atico) para

(14)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 2

Determinar o polinˆ

omio de Taylor de grau 2 (quadr´atico) para

f

(

x

) =

e

x

em torno do ponto

a

= 0.

Solu¸c˜ao

Lembrando que

f

(

x

) =

e

x

_⇒

f

′

₍

_x

_{) =}

_e

x

⇒

f

′′

₍

_x

_{) =}

_e

x

ent˜ao

P

2 (

x

) =

f

(

a

) +

f

′

(

a

)(

x

−

a

) +

f

′′

(

a

)

(

x

₋

a

₎

2

2 =

f

(0) +

f

′

₍₀₎₍

_x

₋

_{0) +}

_f

′′

₍₀₎

(

x

−

0)

2

2 =

e

0 +

e

0 (

x

₋

0) +

e

0 (

x

−

₂

0)

2

= 1 +

x

+

x

₂

2

(15)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Representa¸cão gráfica da solu¸cão do exemplo 2

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

(16)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Aproxima¸c˜oes para

f

(

x

) =

e

x

em torno de

x

= 0

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

ex P1(x) P2(x) P3(x) P4(x) P5(x)

(17)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 3

Encontre o valor de

f

(6) sabendo que

f

(4) = 125,

f

′

_{(4) = 74,}

f

′′

_{(4) = 30,}

_f

′′′

_{(4) = 6, e que todas as outras derivadas de}

(18)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 3

Encontre o valor de

f

(6) sabendo que

f

(4) = 125,

f

′

_{(4) = 74,}

f

′′

_{(4) = 30,}

_f

′′′

_{(4) = 6, e que todas as outras derivadas de}

ordem alta s˜ao nulas.

Solu¸c˜ao:

Vamos usar uma aproxima¸c˜ao por polinˆ

omio de Taylor de grau

3 P

3 (

x

) =

f

(

a

) +

f

′

(

a

)(

x

−

a

) +

f

′′

(

a

)

(

x

₋

a

)

2

2!

+

f

′′′

(

a

)

(

x

₋

a

)

3

3!

Como temos os valores da fun¸c˜ao e suas derivadas em

x

= 4

usaremos este ponto para aproximar

f

(6), portanto

f

(6)

_≈

P

3 (6) =

f

(4) +

f

′

(4)(6

−

4) +

f

′′

(4)

(6

−

4)

2

2!

+

f

′′′

(4)

(6

−

4)

3

3!

= 125 + 74

_·

2 + 30

_·

4 ₂

+ 6

_·

8 ₆

= 125 + 148 + 60 + 8

(19)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 4

(20)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 4

Como calcular o valor de

√

13 numa ilha deserta, sem usar

calculadora?

Solu¸c˜ao:

• Podemos aproximar a fun¸c˜ao

f

(

x

) =

√

x

perto de um

ponto

x

=

a

usando um polinˆ

omio de Taylor

P

1 (

x

) =

f

(

a

) +

f

′

(

a

)(

x

−

a

) =

√

a

+

₂

√

1 _a

(

x

−

a

)

,

pois

f

′

₍

_x

_{) =}

1

2 √

x

.

• Escolhendo o ponto

a

= 9 (poderia ser

a

= 16)

P

1 (

x

) =

√

9 +

₂

√

1

9 (

x

−

9)

• Sendo assim, avaliando em

_√

x

= 13 para obter o valor de

13 obtemos

P

1 (13) =

√

9 +

1

2 √

9 (13

−

9) = 3 +

4

6 = 3

.

6666

• O valor exato de

√

13 ´e 3.6055.

(21)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 5

Calcular o valor de

√

7

(22)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 5

Calcular o valor de

√

7

1 .

1. Solu¸c˜ao:

• A fun¸c˜ao que queremos avaliar ´e

f

(

x

) =

√

7

_x

_.

• Vamos usar um polinˆ

omio de Taylor linear em torno de

a

= 1.

7

√

x

≈

f

(

a

) +

f

′

₍

_a

₎₍

_x

₋

_a

_{) =}

√

7

1 +

1

7 √

7

1

6 (

x

−

1)

,

pois

f

′

₍

_x

_{) =}

1

7 √

7

x

6

.

• Avaliando a aproxima¸c˜ao em

x

= 1

.

1 temos

7

√

1 .

1 _≈

1 +

1 .

1 −

1

7 = 1

.

01428

• O valor exato ´e 1.013708856.

(23)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 6

(24)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 6

Calcular o valor de exp(0

.

2).

Solu¸c˜ao:

• A fun¸c˜ao que queremos avaliar ´e

f

(

x

) =

e

x

= exp (

x

).

Vamos usar um polinˆ

omio de Taylor linear e quadr´atico em

torno do ponto

a

= 0.

• Calculando as derivadas para determinar as aproxima¸c˜oes:

f

(

x

) =

e

x

_⇒

f

′

₍

_x

_{) =}

_f

′′

₍

_x

_{) =}

_e

x

P

₁

(

x

) =

f

(

a

) +

f

′

₍

_a

₎₍

_x

₋

_a

₎

=

e

0

+

e

0

(

x

−

0)

= 1 +

x

P

₂

₍

x

_{) =}

f

₍

a

_{) +}

f

′

₍

_a

₎₍

_x

−

a

) +

f

′′

(

a

)

(x−a) 2 2

=

e

0

₊

e

0

₍

x

−

0) +

e

0 (x−0) 2 2

= 1 +

x

₊

x2

(25)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Cont. solu¸c˜ao do exemplo 6

• Sabemos que o valor real da express˜ao exp (0

.

2) ´e 1.2214.

• Temos as seguintes fun¸c˜oes aproximadoras

P

1 (

x

) = 1 +

x

P

2 (

x

) = 1 +

x

+

x

2

2 que quando avaliadas em

x

= 0

.

2 fornecem

P

1 (0

.

2) = 1 + 0

.

2 = 1

.

2 P

2 (0

.

2) = 1 + 0

.

2 +

0 .

2

2 = 1 + 0

.

2 +

0 .

04

2

(26)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 7

Encontre uma aproxima¸c˜ao atrav´es de um polinˆ

omio de Taylor

de grau

n

para

ln

(

x

).

(27)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 7

Encontre uma aproxima¸c˜ao atrav´es de um polinˆ

omio de Taylor

de grau

n

para

ln

(

x

).

Solu¸c˜ao:

O polinˆ

omio de Taylor para

ln

(

x

) tem que ser calculado em

algum ponto

a

₆

= 0 (vamos usar ent˜ao

a

= 1). Calculando as

derivadas desta fun¸c˜ao:

f

′

₍

x

_{) =}

1 x

⇒

f

′

_{(1) = 1}

f

′′

₍

_x

_{) =}

₋

1 x

2

⇒

f

′′

_{(1) =}

₋

₁

f

′′′

₍

_x

_{) =}

2 x

3

⇒

f

′′′

_{(1) = 2}

f

(4)

(

x

) =

−

6 x

4

⇒

f

(4)

_{(1) =}

−

6 .

f

(

n

)

(

x

) =

(

−

1)

n

₋

1 ₍

_n

₋

_1)!

x

n

⇒

f

(

n

)

_{(1) = (}

(28)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Solu¸c˜ao:

Portanto, temos

P

n

(

x

) =

f

(1) + (

x

₋

1)

f

′

(1) +

(

x

₋

1)

2

2!

f

′′

_{(1) +}

. . .

+

(

x

₋

1)

n

_!

f

(n₎

(1)

= 0 + (

x

₋

1)

−

(

x

₋

₁₎

2

2 +

(

x

₋

₁₎

3

6 2 +

. . .

+

(

x

₋

₁₎

n

!

(

−

1)

n₋1

₍

_n

−

1)!

assim

Pn

(

x

) = (

x

₋

1)

₋

(

x

−

1)

2

2 +

(

x

₋

1)

3

3 +

. . .

+ (

−

1)

n

₋

₁

(

x

−

1)

n

(29)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 8

(30)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 8

Encontre a formula geral da aproxima¸c˜ao usando polinˆ

omio de

Taylor para a fun¸c˜ao

f

(

x

) =

sen

(

x

) em torno no ponto

a

= 0.

Solu¸c˜ao:

Calculando a fun¸c˜ao e suas derivadas, temos:

f

(

x

) =

sen

(

x

)

⇒

f

(0) = 0

f

′

₍

_x

_{) =}

_cos

₍

_x

₎

_⇒

_f

′

_{(0) = 1}

f

′′

₍

_x

_{) =}

₋

_sen

₍

_x

₎

_⇒

_f

′′

_{(0) = 0}

f

′′′

₍

_x

_{) =}

₋

_cos

₍

_x

₎

_⇒

_f

′′′

_{(0) =}

₋

₁

f

(4)

(

x

) =

sen

(

x

)

⇒

f

(4)

(0) = 0

.

´e f´acil notar que a partir deste ponto as derivadas se reptem

ciclicamente.

(31)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Cont. Solu¸c˜ao:

Sendo assim, podemos escrever o polinˆ

omio de Taylor desta

fun¸c˜ao, em torno de

a

= 0, da seguinte maneira:

Pn

(

x

) =

x

₋

x

3 3!

+

x

5 5!

−

x

7 7!

+

· · ·

=

x

₋

x

3 3!

+

x

5 5!

−

x

7 7!

+

· · ·

+ (

−

1)

n

x

2 n

+1

(2

n

+ 1)!

Generalizando:

P

2 n

+1

(

x

) =

n

X

k

=0

(

₋

1)

k

x

2 k

₊₁

(32)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Erro da Aproxima¸cão Exemplos de Obten¸cão do Erro de Aproxima¸cão

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Polinˆ

omio de Taylor

3 Exemplos de Aproxima¸c˜oes

4 Erro da Aproxima¸c˜ao

5 Exemplos de Obten¸c˜ao do Erro de Aproxima¸c˜ao

6 Aproxima¸c˜ao de Derivada de uma Fun¸c˜ao

7 Considera¸c˜oes Finais

(33)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Express˜ao do erro

Se

f

(

x

) ´e uma fun¸c˜ao para a qual

Pn

(

x

) existe, definimos o

erro

(ou

resto

)

Rn

(

x

) por:

f

(

x

) =

Pn

(

x

) +

Rn

(

x

)

=

f

(

a

) +

f

′

₍

_a

₎₍

_x

₋

_a

_{) +}

_{. . .}

₊

_f

(

n

)

₍

_a

₎

(

x

−

a

)

n

!

+

Rn

(

x

)

Teorema (Teorema de Taylor)

Suponha que as derivadas f

(1)

,

f

(2)

,

_{· · ·}

f

(

n

+1)

, o

erro

Rn

(

x

)

´

e

dado por:

R

n

(

x

) =

f

(

x

)

−

P

n

(

x

) =

Z

x

a

f

(

n

+1)

(

t

)

(

x

−

t

)

n

(34)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Teorema de Taylor

Ideia da prova.

Desejamos mostrar que:

Rn

(

x

) =

f

(

x

)

₋

Pn

(

x

) =

Z

x

a

f

(

n

+1)

(

t

)

(

x

−

t

)

n

!

dt

,

t

∈

(

a

,

x

)

.

Tomando

n

= 0, temos:

f

(

x

) =

f

(

a

) +

R

0 (

x

)

Pelo

Teorema Fundamental do C´

alculo

, temos:

R

0 (

x

) =

f

(

x

)

−

f

(

a

) =

⇒

Z

x

a

f

′

₍

_x

₎

_dt

_.

Ent˜ao:

f

(

x

) =

f

(

a

) +

Z

x

a

f

′

₍

_x

₎

_dt

_.

(35)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Teorema de Taylor

Cont. ideia da prova.

Lembrando a integra¸c˜ao por partes:

Z

b

a

udv

=

uv

b

a

−

Z

vdu

Ent˜ao

f

(

x

) =

f

(

a

) +

Z

x

a

u

z }| {

f

′

₍

_x

₎

_dt

|{z}

dv

.

Tomando

(36)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Polinômio de Taylor Exemplos de Aproxima¸cões Erro da Aproxima¸cão Exemplos de Obten¸cão do Erro de Aproxima¸cão Aproxima¸cão de Derivada de uma Fun¸cão Considera¸cões Finais

Teorema de Taylor

Cont. ideia da prova.

Assim:

Z

x

a

u

z }| {

f

′

₍

_t

₎

dv

z}|{

dt

=

u

z }| {

f

′

₍

_t

₎

v

z }| {

(

t

₋

x

)

x

a

−

Z

_{z }| {}

v

(

t

₋

x

)

du

z }| {

f

′′

₍

_t

₎

_dt

=

f

′

₍

_x

₎₍

_x

₋

_x

₎

₋

_f

′

₍

_a

₎₍

_a

₋

_x

₎

₋

Z

(

t

₋

x

)

f

′′

₍

_t

₎

_dt

=

−

f

′

₍

_a

₎₍

_a

₋

_x

₎

₋

Z

(

t

−

x

)

f

′′

₍

_t

₎

_dt

=

f

′

₍

_a

₎₍

_x

₋

_a

_{) +}

Z

(

x

−

t

)

f

′′

₍

_t

₎

_dt

_.

Logo:

f

(

x

) =

P

₁₍

x

₎

z

}|

{

f

(

a

) +

f

′

₍

_a

₎₍

_x

₋

_a

_{) +}

R

1(

x

)

z

}|

{

Z

(

x

−

t

)

f

′′

₍

_t

₎

_dt

_.

(37)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Estimativas do erro

´

E poss´ıvel ainda obter as seguintes express˜oes para o erro:

Forma de Cauchy

Rn

(

x

) =

f

(

n

+1)

(

t

)

(

x

−

t

)

n

!

(

x

−

a

)

,

t

∈

(

a

,

x

)

Forma de Lagrange

Rn

(

x

) =

f

(

n

+1)

(

t

)

(

x

−

a

)

(

n

₊₁₎

(

n

+ 1)!

,

t

∈

(

a

,

x

)

(38)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Estimativas do erro

A forma do erro de Lagrange:

Rn

(

x

) =

f

(

n

+1)

(

t

)

(

x

−

a

)

(

n

₊₁₎

(

n

+ 1)!

,

t

∈

(

a

,

x

)

´e muito parecida com o pr´oximo termo do polinˆ

omio de Taylor.

A ´

unica diferen¸ca ´e o valor

t

na f´ormula.

t

´e algum valor entre

a

e

x

, que n˜ao conhecemos.

Obs:

t ´e um valor que no desenvolvimento da forma do erro de

Lagrange surge da aplica¸c˜ao do Teorema do Valor M´edio.

Importante

Para estimar o erro, precisamos analisar os valores de

f

(

n

+1)

(

t

)

para todo

a

<

t

<

x

e usar o maior deles. Ou, usar algum

outro valor que com certeza ´e maior do que todos eles.

(39)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos de Obten¸cão do Erro de Aproxima¸cão Aproxima¸cão de Derivada de uma Fun¸cão

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Polinˆ

omio de Taylor

3 Exemplos de Aproxima¸c˜oes

4 Erro da Aproxima¸c˜ao

5 Exemplos de Obten¸c˜ao do Erro de Aproxima¸c˜ao

6 Aproxima¸c˜ao de Derivada de uma Fun¸c˜ao

(40)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 1

Seja

f

(

x

) = sin (

x

). Encontre o polinˆ

omio de Taylor c´

ubico em

torno do ponto

a

= 0. Em seguida, encontre um limitante

superior para o erro no ponto

x

=

π

4 e, depois, mostre o erro.

(41)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 1

Seja

f

(

x

) = sin (

x

). Encontre o polinˆ

omio de Taylor c´

ubico em

torno do ponto

a

= 0. Em seguida, encontre um limitante

superior para o erro no ponto

x

=

π

4 e, depois, mostre o erro.

Solu¸c˜ao:

Para

f

(

x

) = sin (

x

) com

a

= 0 o polinˆ

omio c´

ubico de Taylor ´e:

P

₃

(

x

) =

x

₋

x

3

6 Pela f´ormula do erro de Lagrange, sabemos que

R

3 (

x

) =

f

(4)

(

t

)

(

x

₋

a

)

4 4!

= sin (

t

)

x

4

(42)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Cont. solu¸c˜ao do exemplo 1

Portanto para o limitante superior temos

|

R

3 (

x

)

| ≤

max

sin (

t

)

x

4

24 ,

para

t

_∈

[0

, π/

4]

≤

sin (

π

4 )(

π

4 )

4

24 ≤

0 .

0112

Avaliando

P

3 (

x

) em

π

₄

temos

P

3 (

π

₄

) =

π

₄

−

π

4

3

6 = 0

.

7046

O valor real ´e sin (

π

4 ) =

√

2

2 = 0

.

7071, logo o erro cometido ´e

|

0 .

7071

₋

0 .

7046

_|

= 0

.

0024.

(43)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 2

Obtenha o limitante superior do erro para

e

0 .

5 quando esta

express˜ao ´e aproximada por um polinˆ

omio de Taylor de grau 4

para

e

x

(44)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 2

Obtenha o limitante superior do erro para

e

0 .

5 quando esta

express˜ao ´e aproximada por um polinˆ

omio de Taylor de grau 4

para

e

x

em torno do ponto 0.

Solu¸c˜ao:

Pela f´

ormula de Lagrange do erro temos

R

4 (

x

) =

f

(

n

+1)

(

t

)

(

x

₋

0)

5 5!

=

e

t

x

5

120 ,

para algum

t

∈

[0

,

0 .

5]

assim quando aproximamos

e

0 .

5 o erro est´a limitado por

|

R

₄

(

x

)

_{| ≤}

max

e

t

_x

5

120 ≤

e

0 .

5

0 .

5

120 ≤

2

0 .

5

120 = 0

.

00052

(45)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Cont. solu¸c˜ao do exemplo 2

Neste caso a aproxima¸c˜ao de Taylor ´e

P

4 (

x

) = 1 +

x

+

x

2

2 +

x

3

6 +

x

4

24 e portanto

e

0 .

5 ≈

1 + 0

.

5 +

0 .

5

2

2 +

0 .

5

3

6 +

0 .

5

4

24 = 1

.

6484

O valor real ´e

e

0 .

5

(46)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 3

Seja

f

(

x

) =

e

x

e

a

= 0. Determine

n

para que o erro ao se

aproximar

f

(

x

) por um polinˆ

omio de Taylor de grau

n

seja

menor do que 10

−

5 _para

₋

₁

_≤

_x

_≤

_1.

(47)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Exemplo 3

Seja

f

(

x

) =

e

x

e

a

= 0. Determine

n

para que o erro ao se

aproximar

f

(

x

) por um polinˆ

omio de Taylor de grau

n

seja

menor do que 10

−

5 _para

₋

₁

_≤

_x

_≤

_1.

Solu¸c˜ao:

Ou seja queremos saber, qual

n

satisfaz

|

Rn

(

x

)

_{| ≤}

10 −

5 _,

_x

_∈

_[

₋

₁

_,

_1]

Neste caso temos que o erro ´e dado por

|

Rn

(

x

)

_|

=

f

(

n

+1)

(

t

)

(

x

−

0)

n

+1

(

n

+ 1)!

=

e

t

_x

n

+1

(

n

+ 1)!

(48)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Exemplos

Cont. do exemplo 3

Assim

|

Rn

(

x

)

_|

=

e

t

_x

n

+1

(

n

+ 1)!

≤

e

1 _|

x

n

+1

_|

(

n

+ 1)!

<

3 (

n

+ 1)!

<

10 −

5 ou seja

3 <

10 −

5 ₍

_n

_{+ 1)!}

_⇒

₍

_n

_{+ 1)!}

_>

₃

_·

₁₀

5 ⇒

(

n

+ 1)!

>

300000

Analisando

7! = 5040

,

8! = 40430

,

9! = 362880

conclu´ımos que se

n

_≥

8, ent˜ao (

n

+ 1)!

>

300000 o que

garante que o erro satisfaz

_|

Rn

(

x

)

_|

<

10 −

5 _.

(49)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Aproxima¸cão de Derivada de uma Fun¸cão Considera¸cões Finais

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Polinˆ

omio de Taylor

3 Exemplos de Aproxima¸c˜oes

4 Erro da Aproxima¸c˜ao

5 Exemplos de Obten¸c˜ao do Erro de Aproxima¸c˜ao

6 Aproxima¸c˜ao de Derivada de uma Fun¸c˜ao

(50)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Aproxima¸c˜ao de Derivada

• Considere que uma fun¸c˜ao

f

(

x

), cuja

express˜

ao ´

e

desconhecida

, seja fornecida por meio de um conjunto de

pontos (

x

0 ,

f

(

x

0 )), (

x

1 ,

f

(

x

1 )), ..., (

xn

,

f

(

xn

)).

• Como calcular

f

′

₍

_xi

_{) ?}

• Podemos usar polinˆ

omio de Taylor para aproximar as

derivadas da fun¸c˜ao.

(51)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Aproxima¸c˜ao de Derivada

Para calcular a derivada

f

′

₍

_xi

_{) em cada ponto}

_xi

_{, vamos usar}

um polinˆ

omio de Taylor linear em torno do ponto

xi

.

• Diferen¸

ca Progressiva

:

x

=

xi

+1

f

(

xi

+1

) =

f

(

xi

) +

f

′

(

xi

)

h

z

}|

{

(

xi

+1

−

xi

)

f

′

₍

_xi

_{) =}

f

(

xi

+1

)

−

f

(

xi

)

h

• Diferen¸

ca Regressiva

:

x

=

xi

₋

1 f

(

xi

₋

1 ) =

f

(

xi

) +

f

′

(

xi

)

−

h

z

}|

{

(

xi

₋

1 −

xi

)

f

′

₍

_xi

_{) =}

f

(

xi

)

−

f

(

xi

−

1 )

h

• Diferen¸

ca Central

:

x

=

xi

₊₁

e

x

=

xi

₋

₁

f

′

₍

_xi

_{) =}

f

(

xi

+1

)

−

f

(

xi

−

1 )

(52)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Aproxima¸c˜ao de Derivada

Exemplo 1

Calcule

f

′

₍₁

_.

_{3) para}

_f

₍

_x

_{) =}

_ln

₍

_x

_{) usando diferen¸ca progressiva}

e central para

h

= 0

.

01 e

h

= 0

.

001.

(53)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Aproxima¸c˜ao de Derivada

Exemplo 1

Calcule

f

′

₍₁

_.

_{3) para}

_f

₍

_x

_{) =}

_ln

₍

_x

_{) usando diferen¸ca progressiva}

e central para

h

= 0

.

01 e

h

= 0

.

001. Solu¸c˜ao:

Usando

h

= 0

.

01, com diferen¸ca progressiva temos

f

′

₍₁

_.

₃₎

_≈

ln

(1

.

31)

−

ln

(1

.

30)

0 .

01 = 0

.

76628

Com diferen¸ca central temos

f

′

₍₁

_.

₃₎

_≈

ln

(1

.

31)

−

ln

(1

.

29)

(54)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Aproxima¸c˜ao de Derivada

Cont. solu¸c˜ao do exemplo 1

Usando

h

= 0

.

001, com diferen¸ca progressiva temos

f

′

₍₁

_.

₃₎

_≈

ln

(1

.

301)

−

ln

(1

.

300)

0 .

001 = 0

.

76893

com diferen¸ca central temos

f

′

₍₁

_.

₃₎

_≈

ln

(1

.

301)

−

ln

(1

.

299)

2 _·

0 .

001 = 0

.

76923

Podemos calcular o valor real usando a derivada de

f

(

x

), pois

neste caso conhecemos a expressão da fun¸cão. O resultado é

f

′

₍

_x

_{) =}

1 x

⇒

f

′

₍₁

_.

_{3) = 0}

_.

₇₆₉₂₃

(55)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Aproxima¸c˜ao de Derivada

Exemplo 2 -

f

(

x

) =

ln

(

x

),

x

_∈

[

₋

2 ,

2], espa¸camento

h

= 0.1

−1 0 1 2 3 4 5

Derivada Analitica

(56)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Aproxima¸c˜ao de Derivada

Exemplo 2 -

f

(

x

) =

ln

(

x

),

x

_∈

[

₋

2 ,

2], espa¸camento

h

= 0.05

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 −1

0 1 2 3 4 5

Derivada Analitica

Aprox. Diferenca Progressiva

Aprox. Diferenca Central

(57)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Polinˆ

omio de Taylor

3 Exemplos de Aproxima¸c˜oes

4 Erro da Aproxima¸c˜ao

5 Exemplos de Obten¸c˜ao do Erro de Aproxima¸c˜ao

6 Aproxima¸c˜ao de Derivada de uma Fun¸c˜ao

(58)

Ruy

Introdu¸c˜ao

Considera¸c˜oes finais

• Algumas propriedades da aproxima¸c˜ao por polinˆ

omio de

Taylor:

• Quanto maior o grau do polinˆ

omio, melhor a aproxima¸c˜ao.

• A medida que nos afastamos do ponto

_x

=

_a

, a

aproxima¸c˜ao piora.

• O polinˆ

omio de Taylor

P

n

(

x

) s´o precisa do

valor da

fun¸

c˜

ao e de suas derivadas

em um ponto

a

. N˜ao ´e

preciso conhecer a express˜ao anal´ıtica de suas derivadas.

• Aproxima¸c˜oes para as derivadas da fun¸c˜ao

f

(

x

):

• A diferen¸ca central ´e mais precisa para aproximar a

derivada.

• As derivadas de alta ordem s˜ao calculadas de forma similar.

• Quanto mais pontos em um intervalo [

a

,

b

], ou seja,

quanto menor o espa¸camento

h

entre eles, melhor a

qualidade da aproxima¸c˜ao.