MAP 2220 Fundamentos de Análise

(1)

MAP 2220 Fundamentos de An´

alise

Num´

erica

2o Semestre de 2006.

Recupera¸

c˜

ao

January 16, 2007

Observa¸

c˜

ao

Para facilitar o entendimento e aproveitar o estudo que os alunos fizeram do enunciado do Exercıcio Programa da primeira avalia¸cão, neste texto está em destaque o que foi mudado em rela¸cão àquele enunciado.

1 M´

etodo dos M´ınimos Quadrados em duas vari´

aveis

1.1 Introdu¸c˜ao.

O objetivo deste texto é apresentar aplica¸cões do o Método dos M´ınimos Quadrados para aproximar uma fun¸cão F : [a, b] × [c, d] no caso discreto, em que se conhece uma tabela dessa fun¸cão.

Esta situa¸c˜ao pode aparecer nos mais diversos problemas: F (x, y) pode ser

• a altitude de uma região no ponto (x, y), • a profundidade de uma lagoa no ponto (x, y), • a largura de uma camada geolólica no ponto (x, y), • a pressão de um prédio no ponto (x, y),

• o nmero de pessoas com x anos de idade e renda y, • o pre¸co de um produto no local x no dia y,

(2)

• o n´umero de pacientes com determinada doen¸ca com x anos de idade e que tˆem a doen¸ca a y meses, . . .

Bem, usem a imaguna¸c˜ao . . . ´

E claro que uma das coisas importantes em cada problema é escolher bem a famılia de fun¸cões onde se vai buscar a aproxima¸cão de F , e isso, em geral, depende de um conhecimento mais profundo de cada problema.

Neste texto falaremos no caso do uso de aproxima¸c˜oes polinomiais.

1.2 Aproxima¸c˜ao de F se conhecemos uma tabela de F

Queremos aproximar uma fun¸c˜ao F que est´a tabelada nos pontos (M + 1)(N + 1) pontos de uma malha retangular (xi, yj) ∈ [a, b] × [c, d] definidos

por xi = a + ih = a + i b − a M = a + i(b − a) M , i = 0, 1, . . . , M, (1) yj = c + jh = c + j d − c N = c + j(d − c) N , j = 0, 1, . . . , N, (2) pelo Método dos M´ınimos Quadrados por um polinômio nas variáveis x e y, de grau ≤ ` em cada uma dessas variáveis.

Note que um polinômio nas variáveis x e y que seja de grau ≤ ` tanto na variável x quanto na variável y tem a forma

G(x, y) = X r,s=0,...,` arsxrys= ` X r=0 ` X s=0 arsxrys.

Essas expressões contém (` + 1)2 constantes arbitrárias.

Note que espa¸co vetorial P``(R × R) formado por esses polinˆomios tem

dimens˜ao igual a (` + 1)2.

O produto escalar natural numa situa¸c˜ao destas,

se todos os valores de F dados são igualmente confiáveis , é h H1| H2i = X i = 0, . . . , M, j = 0, . . . , N H1(xi, yj)H2(xi, yj) = M X i=0 N X j=0 H1(xi, yj)H2(xi, yj).

(3)

Por outro lado, se, por exemplo, os valores de F dados são mais confiáveis nos pontos mais distantes da fronteira F do retângulo R = [a, b] × [c, d] e menos confiáveis nos pontos mais próximos dessa fronteira, pode ser mais conveniente usar um produto escalar com peso ρ onde

ρ(x, y) > 0, ∀(x, y) ∈ R,

ρ(x, y) é pequeno se (x, y) está próximo de F , ρ(x, y) é grande se (x, y) está longe de F . Exemplo de um tal produto escalar: h H1 | H2 iρ=P_{i = 0, . . . , M,} j = 0, . . . , N H1(xi, yj)H2(xi, yj)ρ(xi, yj) =PM i=0 PN j=0H1(xi, yj)H2(xi, yj)ρ(xi, yj),

onde ρ(x, y) = ρ1(x)ρ2(y) com

ρ1(x) = 1 + γ(x − a)(b − x) e ρ2(y) = 1 + δ(x − c)(d − x),

onde γ e δ são números não negativos.

Nota: se γ = 0 e δ = 0, recaimos no caso do produto escalar h H1 | H2 i.

Estes produtos escalares s˜ao n˜ao degenerados em P``(R × R) se ` ≤ M

e ` ≤ N .

Hip´otese: De agora em diante suporemos que ` ≤ M e ` ≤ N .

Tomando-se polinômios em uma variável (variável x) p0(x), p1(x), . . . , p`(x)

com grau de pr= r, que sejam ortogonais em rela¸c˜ao ao produto interno

h u₁ | u₂ i_ρ₁ =PM

i=0u1(xi)u2(xi)ρ1(xi),

e polinômios em uma variável (variável y) q0(y), q1(y), . . . , q`(y) com grau de qs=

s, que sejam ortogonais em rela¸c˜ao ao produto interno h v₁ | v₂ i_ρ₂ =PN

j=0v1(yj)v2(yj)ρ2(yj),

e definindo

(4)

resulta que

{G_r,s | r, s = 0, 1, . . . , `}

´e uma base de P``(R×R) ortogonal em rela¸c˜ao ao produto interno h H1| H2iρ.

Nessa base, a fun¸c˜ao aproximadora tem a forma

G(x, y) = X r,s=0,...,` brsGrs(x, y) = ` X r=0 ` X s=0 brsGr,s(x, y),

e como o sistema normal que fornece os coeficientes brs´e diagonal, obtemos

brs=

h F | Grs iρ

h Grs | Grs iρ

. (3)

1.3 Esclarecimento

Se M = N = 3, e ` = 1, a fun¸cão F é conhecida numa tabela de pontos da forma (x0, y3) (x1, y3) (x2, y3) (x3, y3) (x0, y2) (x1, y2) (x2, y2) (x3, y2) (x0, y1) (x1, y1) (x2, y1) (x3, y1) (x0, y0) (x1, y0) (x2, y0) (x3, y0) Então G(x, y) = b00G00(x, y) + b01G01(x, y) + b10G10(x, y) + b11G11(x, y) com Grs(x, y) = pr(x)qs(y).

Para obter a melhor aproxima¸c˜ao de F pelo M´etodo dos M´ınimos Quadra-dos deve-se usar os coeficientes daQuadra-dos por

(5)

que resulta um sistema diagonal com a escolha especial dos pr(x) e qs(y)

que foi feita. Logo,

b00= _{h G}h F | G₀₀ _{| G}00₀₀iρ_{i ρ}, b01= _{h G}h F | G₀₁ _{| G}01₀₁iρ_{i ρ}, b10= _{h G}h F | G₁₀ _{| G}10₁₀iρ_{i ρ}, b11= _{h G}h F | G₁₁ _{| G}11₁₁iρ_{i ρ}.

2 EXERC´

ICIO PROGRAMA DA RECUPERAC

¸ ˜

AO

2.1 Objetivo

Obter uma aproxima¸cão polinomial, usando o Método dos M´ınimos Quadra-dos, para aproximar a topografia de uma região retangular (que repre-sentaremos no plano xy por [0, L1]×[0, L2]) conhecendo-se as altitudes numa

malha retangular igualmente espa¸cada na dire¸c˜ao x e igualmente espa¸cada na dire¸c˜ao y.

Matematicamente isso se traduz por aproximar uma fun¸cão tabelada F (que representa as altitudes de uma região) tabelada em (M + 1) ∗ (N + 1) pontos do plano (xi, yj) = (iL_M1,jL_N2 por um poliômio em duas variáveis de

grau ≤ `, usando o M´etodo dos M´ınimos Quadrados.

2.2 O que programar

Seu programa deve ser feito em linguagem C, e deve conter os seguintes ingredientes:

(6)

(b) Leitura dos n´umeros M e N que definem os pontos da malha em que a altitude ´e conhecida.

(c) Leitura das altitudes conhecidas Fij dos pontos (xi, yj) da malha.

(d) Leitura do grau ` que deve ser usado ao procurar o polinˆomio aproxi-mador.

(e) Leitura dos valores de γ e δ que definem ρ1(x) e ρ2(y).

(f) Gera¸cão dos polinômios mônicos p0(x), p1(x), . . . , p`(x) ortogonais em

rela¸c˜ao ao produto interno h | iρ1.

1

(g) Gera¸cão dos polinômios mônicos q0(x), q1(x), . . . , q`(x) ortogonais em

rela¸c˜ao ao produto interno h | iρ2.

(h) Obten¸c˜ao dos coeficientes brs, r, s = 0, 1, . . . , ` do polinˆomio

aproxi-mador G(x, y).

(i) Gráfico da fun¸cão aproximadora obtida e da fun¸cão tabelada que foi aproximada.

2.3 Dados para os testes

Use os mesmos dados do Exerc´ıcio Programa da primeira avalia¸c˜ao, mas para γ e δ use γ = _b−a1 , δ = _d−c1 .

Note que o Exerc´ıcio programa da primeira avalia¸c˜ao corresponde ao caso em que γ = 0 e δ = 0.

1

Para “guardar” um polinômio em k(x), é razoável usar uma matriz com seus coefi-cientes. Então fica fácil obter as matrizes com os coeficientes de αk(x), ou xk(x), ou da adi¸cão de dois polinômios. Tendo-se uma matriz com os coeficientes de um polinômio, é fácil obter o valor desse polinômio num determinado ponto, ou “criar” a fun¸cão polinomial associada.