AULA 5 MODELOS DE TRANSPORTE

(1)

AULA 5

MODELOS DE TRANSPORTE

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

INTRODUÇÃO À META-HEURÍSTICAS

DEZ PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

Carteira de Investimentos Escala de Funcionários

Fluxo Caixa Multiperíodo Problema de Mistura

Produção e Estoque Transporte

Escala de Produção Redes de Distribuição

(2)

Carteira de Investimentos Escala de Funcionários

Fluxo Caixa Multiperíodo Problema de Mistura

Produção e Estoque Transporte

Escala de Produção Redes de Distribuição

Menor Caminho Plantio em Fazendas

Teoria dos Grafos

Leonard Euler

O problema das Sete Pontes de Konigsberg

Percorrer todas as sete pontes sem

(3)

Teoria dos Grafos

No grafo o importante são as conexões

Essa mesma ideia é empregada no

mapa de um mêtro

(4)

Grafo

Pontos (nós)

Retas (arcos)

1 2

3

4

5 6

Menor Caminho

No problema do menor

caminho ascidadespodem ser vistas comonós (pontos)e os

caminhoscomoarcos (retas).

Teoria dos Grafos

Grafo

Pontos (nós)

Retas (arcos)

1

2

3 4

5

A B(t=3)

(t=4)

D(t=1)

E(t=2)

C(t=3)

F(t=3)

PERT/CPM

O PERT/CPM é uma técnica para detecção de atividades críticas (“gargalos”) usada no gerenciamento de projetos. Cada nó (A, B, C, D, E, F)

representa uma etapa do projeto e cada arco

representa uma atividade

(5)

Fluxo em Redes

Fluxo

Pontos (nós)

Retas (arcos) Fluxo na

aresta

Transporte

Além denósearcos, um grafo pode ter um fluxo. O fluxo pode representar, por exemplo, uma quantidade de um produto que vai de um nó ao outro. Esse tipo de modelo pode ser usado para energia elétrica, água, etc.

Wassily Leontief Nobel Prize

in 1973

Modelo Entrada-Saída

Fluxo em Redes

(6)

Pai da Química Antoine Lavoisier

Na Natureza nada se cria,

nada se perde,

tudo se transforma.

Fluxo em Redes

Entra

Sai

Tudo que entra =

Tudo que sai

Lei de Conservação em um nó

(7)

Fluxo em Redes

Entra

Sai

10 8

5 13

Caso 1

Tudo que sai

Fluxo em Redes

Entra

Sai

Caso 2

Tudo que entra + produção =

(8)

Caso 2

Entra

Sai

10 8

10 10

Tudo que sai

2

Fluxo em Redes

Entra

Sai

Caso 3

(9)

Fluxo em Redes

Caso 3

Entra

Sai

10 8

9 8

Tudo que sai + consumo

1

Fluxo em Redes

Entra

Sai

Caso 4

(10)

Caso 4

Entra

Sai

10 8

10 9

1

2

Fluxo em Redes

Caso

Geral

Entra

Sai

x1 x2

x4 x3

x1 + x2 + p1 = x3 + x4 + d1

d1

(11)

Fluxo em Redes

Entra

x1 x2

d1

p1

Exercício 1: Escrever a equação matemática correspondente a situação apresentada no grafo

Fluxo em Redes

Entra

x1 x2

x1 + x2 + p1 = d1

d1

p1

(12)

Entra

Sai

x1 x2

x4 x3

d1

Exercício 2: Escrever a equação matemática correspondente a situação apresentada no grafo

Fluxo em Redes

Entra

Sai

x1 x2

x4 x3

x1 + x2 = x3 + x4 + d1

d1

(13)

Transporte

A Bike S.A. produz bicicletas a partir de 3 fábricas localizadas no Rio de Janeiro, São Paulo e Belo Horizonte. A produção das fábricas deve atender a demanda das cidades de Recife, Salvador e Manaus. Considerando os custos de transporte unitários, a capacidade de produção das fábricas e a demanda dos centros consumidores dados na Tabela 1, determinar quanto deve ser produzido e entregue por cada fábrica em cada centro consumidor tal que os custos de transporte são minimizados.

Transporte

Fábrica/Centro Consumidor

Recife (1)

Salvador (2)

Manaus (3)

Capacidade

Rio de Janeiro(1)

25 20 30 2.000

São Paulo (2) ₃₀ ₂₅ ₂₅ _3.000

B.Horizonte(3) ₂₀ ₁₅ ₂₃ _1.500

Demanda _2.000 _2.000 _1.000

(14)

i j

x_ij

Variáveis de Decisão

X_ij= Quantidade transportada do nó i para o nó j.

x

_{i j}

Origem

(fábrica)

Destino

(mercado)

1

2

x₂₂

1

2

x₂₁ x₁₂ x₁₁

Variáveis de Decisão

X_ij= Quantidade transportada da fábrica i para o mercado j.

(15)

Fluxo em Redes

Entra

Sai

Caso 2

Tudo que sai

Fluxo em Redes

Entra

Sai

Caso 2

(16)

Sai

Caso 2

produção = Tudo que sai

1 1

2

x₁₂ x₁₁

Restrição: Quantidades enviadas de cada fábrica 1 para todos os destinos não excede a capacidade f1.

x₁₁ + x₁₂ = f₁

∑

₌

=

n

j

f

x

1

1 1

n = no. de mercados

(17)

1

2

Restrição: Quantidades enviadas de cada fábrica 2 para todos os destinos não excede a capacidade f2.

x₂₁ + x₂₂ = f₂

∑

₌

=

n

j

f

x

1

2 2

2

x₂₂ x₂₁

n = no. de mercados

Transporte

1

2

x₂₂

1

2

x₂₁ x₁₂ x₁₁

m

i

f

x

n

j

i

ij

,

1 ,

,

1

L

=

∑

=

Restrição: Quantidades enviadas de cada fábrica i para todos os destinos não excede a capacidade fi.

m = no. de fábricas n = no. de mercados

(18)

Entra

Sai

Caso 3

Fluxo em Redes

Entra

Sai

Caso 3

(19)

Fluxo em Redes

Entra

Caso 3

consumo

1

2

1

x₂₁ x₁₁

x₁₁ + x₂₁ = d₁

∑

₌

=

m

i

d

x

1

1 1

m = no. de fábricas

Restrição: Quantidades recebidas para o mercado 1 de todas as fábricas não excede a demanda d1.

(20)

1

2

x₂₂

2

x₁₂

x₁₂ + x₂₂ = d₂

∑

₌

=

m

i

d

x

1

2 2

Restrição: Quantidades recebidas para o mercado 2 de todas as fábricas não excede a demanda d2.

1

2

x₂₂

1

2

x₂₁ x₁₂ x₁₁

n

j

d

x

m

i

j

ij

,

1 ,

,

1

L

=

∑

= n = no. de mercados

Restrição: Todas quantidades recebidas para o mercado j, das fábricas i, não excede a demanda dj.

(21)

1 2 x₂₂ 1 2 x₂₁ x₁₂ x₁₁

∑

= =

=

n j j m i i

d

f

1

1 n = no. de mercados

Restrição (implícita): tudo o que for produzido nas fábricas (fi) deve ser consumido pelos mercados (di).

Transporte

Min S.a.: MODELO COMPLETO

Transporte

∑

= =

=

n j j m i i

d

f

1 1

m

i

f

x

n j i

ij

,

1 ,

,

1

L

=

∑

=

n

j

d

x

m i j

ij

,

1 ,

,

1

L

=

∑

=

∑∑

= = m i n j ij ij

x

c

1 1

n = no. de mercados m = no. de fábricas Cap. fábrica

Cap. mercado

Balanço (implícito)

(22)

∑

= =

=

n j j m i i

d

f

1 1

Modelo anterior supõe implicitamente que tudo que é produzido será consumido. Neste caso, o modelo de

transporte é dito balanceado.

Existem, porém, 2 casos nos quais esta restrição não é satisfeita:

Caso 1

Capacidade >

Demanda

Caso 2

Capacidade < Demanda

Transporte

Para o caso em que a capacidade é maior que a demanda, a modificação na restrição da capacidade da fábrica para ≤ pode

ser interpretada como a criação de um mercado “fantasma”

que irá absorver a oferta excedente.

Caso 1

Capacidade >

Demanda

x

f

i

m

n

j

i

ij

,

1 ,

,

1

L

=

≤

∑

= Não transportar tudo que foi produzido !

m

i

f

x

n j i in

ij

,

1 ,

,

1

=

L

+

∑

= +

Variável associada ao mercado “fantasma”

Os valores destas variáveis na função objetivo são iguais a

zero, pois apenas indicam excesso de

(23)

Transporte

1

2

x₂₂

1

2

x₂₁ x₁₂ x₁₁

3

mercado “fantasma”

Caso 1

Transporte

∑

= =

=

n

j j m

i

d

f

1 1

Caso 1

Capacidade >

Demanda

Caso 2

(24)

Para o caso em que a capacidade é menor que a demanda, a modificação na restrição da demanda dos mercados para ≤

pode ser interpretada como a criação de uma fábrica “fantasma”que irá produzir a demanda que falta.

n

j

d

x

m i j j m

ij

,

1 ,

,

1

=

L

+

∑

= +

Variável associada à fábrica “fantasma”

Caso 2

Capacidade <

Demanda

x

d

j

n

i

j

ij

,

1 ,

,

1

L

=

≤

∑

= _{Não pode atender a todas} as demandas !

Os valores destas variáveis na função objetivo são iguais a

zero, pois apenas indicam falta de

(25)

Transporte

∑

= =

=

n j j m i i

d

f

1 1

Caso 1

Capacidade >

Demanda

Caso 2

Capacidade < Demanda

m

i

f

x

n j i

ij

,

1 ,

,

1

L

=

≤

∑

=

n

j

d

x

m i j

ij

,

1 ,

,

1

L

=

∑

=

m

i

f

x

n j i

ij

,

1 ,

,

1

L

=

∑

=

n

j

d

x

m i j

ij

,

1 ,

,

1

L

=

≤

∑

= Não precisa

transportar tudo !

Não pode atender todos !

Transporte

Fábrica/Centro Consumidor Recife (1) Salvador (2) Manaus (3) Capacidade Rio de Janeiro(1)

25 20 30 2.000

São Paulo (2) 30 25 25 3.000

B.Horizonte(3) ₂₀ ₁₅ ₂₃ _1.500

Demanda 2.000 2.000 1.000

6.500 5.000

Caso 1

Capacidade >

Demanda

x

f

i

m

n

j

i

ij

,

1 ,

,

1

L

=

≤

∑

= Não precisa

(26)

Min

S.a.:

MODELO COMPLETO PARTICULAR

m

i

f

x

n j i

ij

,

1 ,

,

1

L

=

≤

∑

=

n

j

d

x

m i j

ij

,

1 ,

,

1

L

=

∑

=

∑∑

= = m i n j ij ij

x

c

1 1

Cap. mercado

Custo de transporte

(27)

Transporte

1

2

1

2

x₁₁

3

x₂₁ + x₂₂+ x₂₃ + x₂₄= f₂

4

x₁₂ x₁₃ x₁₄ x₂₁ x₂₂ x₂₃ x₂₄ 3

x₃₁ x₃₂ x₃₃ x₃₄

x₁₁ + x₁₂+ x₁₃ + x₁₄= f₁

x₃₁ + x₃₂+ x₃₃ + x₃₄= f₃

Transporte

1

2

1

2

x₁₁

3

x₁₂ + x₂₂+ x₃₂ = d₂

4

x₁₂ x₁₃ x₁₄ x₂₁ x₂₂ x₂₃ x₂₄ 3

x₃₁ x₃₂ x₃₃ x₃₄

x₁₁ + x₂₁+ x₃₁ = d₁

x₁₄ + x₂₄+ x₃₄ = d₄ x₁₃ + x₂₃+ x₃₃ = d₃

(28)

Fábrica/Centro Consumidor

Recife (1)

Salvador (2)

Manaus (3)

Capacidade

Rio de Janeiro(1)

25 20 30 2.000

São Paulo (2) 30 25 25 3.000

B.Horizonte(3) ₂₀ ₁₅ ₂₃ _1.500

Demanda _2.000 _2.000 _1.000

Min 25x₁₁ + 20x₁₂ + 30x₁₃ + 30x₂₁ + 25x₂₂ + 25x₂₃ + 20x₃₁ + 15x₃₂ + 23x₃₃

S.a.:

x₁₁ + x₁₂+ x₁₃ + x₁₄= 2.000 x₂₁ + x₂₂+ x₂₃ + x₂₄= 3.000 x₃₁ + x₃₂+ x₃₃ + x₃₄= 1.500 x₁₁ + x₂₁+ x₃₁ = 2.000

x₁₂ + x₂₂+ x₃₂ = 2.000 x₁₃ + x₂₃+ x₃₃ = 1.000 x₁₄ + x₂₄+ x₃₄ = 1.500

MODELO COMPLETO DETALHADO

Transporte

Min 25x₁₁ + 20x₁₂ + 30x₁₃ + 30x₂₁ + 25x₂₂ + 25x₂₃ + 20x₃₁ + 15x₃₂ + 23x₃₃

Cap. fábrica

Cap. mercado

(29)

Min

S.a.:

MODELO COMPLETO GERAL

Transporte

m

i

f

x

n j i

ij

,

1 ,

,

1

L

=

≤

∑

=

n

j

d

x

m i j

ij

,

1 ,

,

1

L

=

≥

∑

=

∑∑

= = m i n j ij ij

x

c

1 1

Cap. mercado

Custo de transporte

GLPK Lab for Windows

# MODELO DO PROBLEMA DE TRANSPORTE

# Este problema encontra o menor custo de transporte # que atende as requisões de demanda e produção. set I; /* fábricas */

set J; /* markets */

param a{i inI}; /* produção das i fábricas */ param b{j inJ}; /* demandas dos j mercados */ param d{i inI, j in J}; /* distância em km */ param f; /* custo de frete: R$/1000 km */ /* custo de transporte em R$ * 1000 */ param c{i inI, j in J} := f * d[i,j] / 1000;

#Parametros para impressao dos resultados do modelo em arquivos. param file, symbolic, default "ResumoTransporte.txt";

/* quantidade transportada da fábrica i para o mercado j */ var x{i in I, j in J} >= 0;

/* Minimização dos custos em milhares de reais (R$ 1000) */ minimize cost: sum{i inI, j in J} c[i,j] * x[i,j];

/* Tentar escoar a produção fábrica i */ s.t. supply{i inI}: sum{j in J} x[i,j] <= a[i];

/* Tentar atender a demanda do mercado j */ s.t. demand{j inJ}: sum{i in I} x[i,j] >= b[j];

(30)

# MODELO DO PROBLEMA DE TRANSPORTE

# Este problema encontra o menor custo de transporte # que atende as requisões de demanda e produção. set I; /* fábricas */

set J; /* markets */

param a{i inI}; /* produção das i fábricas */ param b{j inJ}; /* demandas dos j mercados */ param d{i inI, j in J}; /* distância em km */ param f; /* custo de frete: R$/1000 km */ /* custo de transporte em R$ * 1000 */ param c{i inI, j in J} := f * d[i,j] / 1000;

#Parametros para impressao dos resultados do modelo em arquivos. param file, symbolic, default "ResumoTransporte.txt";

/* quantidade transportada da fábrica i para o mercado j */ var x{i in I, j in J} >= 0;

/* Minimização dos custos em milhares de reais (R$ 1000) */ minimize cost: sum{i inI, j in J} c[i,j] * x[i,j];

/* Tentar escoar a produção fábrica i */ s.t. supply{i inI}: sum{j in J} x[i,j] <= a[i];

/* Tentar atender a demanda do mercado j */ s.t. demand{j inJ}: sum{i in I} x[i,j] >= b[j];

PARTE 1 - FORMULAÇÃO Índices das variáveis

Dados do modelo

Variáveis

Modelo

GLPK Lab for Windows

solve;

/* RELATORIO */ printf '\n' >> file;

printf '---\n' >> file;

printf 'Solucao Encontrada \n' >> file;

printf '---\n' >> file;

printf ' Fluxo [Origem - Destino [ton]] \n' >> file;

printf ' \n' >> file;

printf '---\n' >> file;

printf{i in I, j in J} " %10s - %10s: = %8.2f \n ", i, j, x[i,j] >> file;

printf '---\n' >> file;

printf 'Custo total (z): ' >> file; printf ' %10.2f \n', cost >> file; printf '---\n'>> file;

printf '\n' >> file;

(31)

GLPK Lab for Windows

data;

set I := Rio Sampa BH;

set J := Recife Salvador Manaus;

param a := Rio 2000 Sampa 3000 BH 1500;

param b := Recife 2000 Salvador 2000 Manaus 1000;

param d : Recife Salvador Manaus := Rio 25 20 30 Sampa 30 25 25 BH 20 15 23;

param f := 1000;

end; _{PARTE 3 - FORMULAÇÃO}

GLPK Lab for Windows

(32)

Fábrica/Centro Consumidor Recife (1) Salvador (2) Manaus (3) Capacidade Rio de Janeiro(1) 25 2000 20 0.0 30 0.0 2.000

São Paulo (2) 30 0.0 25 500.0 25 1000.0 3.000 B.Horizonte(3) ₂₀ 0.0 15 1500.0 23 0.0 1.500

Demanda _2.000 _2.000 _1.000 _6.500

5.000

Caso 1

Capacidade >

Demanda x f i m

n j

i

ij , 1, ,

1 L = ≤

∑

=

EXERCÍCIO 1

MODIFICAR O MODELO DE MODO QUE:

(A) Como modificar o modelo para penalizar o excesso de produção ou a falta de atendimento da demanda?

(B) Como considerar que existem limites de fluxo entre dois ou mais nós?

(C) Como o modelo fornecido poderia ser modificado para considerar diferentes modais de transporte?

(33)