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Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática Faculdade de Matemática

Universidade Federal de Uberlˆandia

Curso de Ver˜ao em An´alise na Reta

60 horas-aula - 8:00 `as 9:40

Edson Agustini agustini@ufu.br

Uberlˆandia - MG

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CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS O Conjunto N _{dos N´}_{umeros Naturais}

O conjunto N = {1, 2, 3, 4, . . .} dos n´umeros naturais1 ´e caracterizado pelos Axiomas de Peano:

(A₁) Existe uma fun¸c˜ao injetiva s : N _→ N. A imagem s (n) de n _∈ N chama-se sucessor de n.

(Em outras palavras: todo número natural tem um sucessor que é também número natural - ou seja, existe a fun¸cão s - e, números naturais diferentes possuem suces-sores diferentes - ou seja, s é injetiva)

(A₂) Existe um único número natural 1 _∈ N tal que 1 ₆= s (n) para qualquer n _∈ N. (Em outras palavras: existe um único número natural - denotado por 1 - que não é sucessor de um número natural)

(A₃) (Princ´ıpio de Indu¸cão) Se um conjunto X _⊂ N é tal que 1 _∈ X e s(X) _⊂ X, então X = N.

(Em outras palavras: se um conjunto de números naturais contém 1 e todos os sucessores de seus elementos, então esse conjunto contém todos os números naturais)

1Vamos adotar que número natural é conceito primitivo, ou seja, não vamos defin´ı-lo. Para uma abordagem

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Opera¸c˜oes em N

Definimos as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão em N como sendo: + : N _× N ₋→ N

(m, n) ₇₋_→ m + n

e _· : N _× N ₋→ N (m, n) ₇₋_→ m.n satisfazendo os seguintes axiomas:

(a₁) m + 1 = s(m);

(a₂) m + s(n) = s (m + n), ou seja, m + (n + 1) = (m + n) + 1; (m₁) m.1 = m;

(m₂) m.(n + 1) = m.n + m.

O número m + n é dito de soma entre m e n e o número m.n é dito produto de m por n, respectivamente. Este último pode ser indicado por mn.

Prova-se, utilizando o Princ´ıpio de Indu¸cão que as opera¸cões acima existem e são únicas em N.

———————————————————————————————– Propriedades das Opera¸c˜oes em N

Também prova-se, utilizando o Princ´ıpio de Indu¸cão, as seguintes propriedades das opera¸cões acima definidas:

(p₁) (associatividade) (m + n) + p = m + (n + p) e (mn)p = m(np); (p₂) (distributividade) m(n + p) = mn + mp;

(p₃) (comutatividade) m + n = n + m e mn = nm;

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Rela¸c˜ao de Ordem em N

Dados m, n _∈ N_{, escreve-se} _{m < n, ou} _{n > m, quando existe} p _∈ N _{tal que} n = m+p. Dizemos então que m é menor do que n, ou n é maior do que m.

O s´ımbolo m _≤ n designa m < n ou m = n. Analogamente, para n _≥ m.

Observemos que 1 é o menor número natural, pois se existisse m _∈ N com m < 1, ter´ıamos a existência de p _∈ N tal que 1 = m+p. Mas, pelos Axiomas (a₁) e (a₂), toda soma é sucessora de algum número natural. Logo, não pode ser 1, pois 1 não é sucessor de número natural algum.

———————————————————————————————– Propriedades da Rela¸c˜ao de Ordem em N

Prova-se que a rela¸c˜ao de ordem m < n em N cumpre as seguintes propriedades: (o₁) (transitividade) m < n e n < p _⇒ m < p;

(o₂) (tricotomia) m, n _∈ N ⇒ ou m < n, ou m = n, ou m > n;

(o₃) (Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao)2 A _⊂ N _e A ₆= ∅ _⇒ _∃n0 ∈ A tal que n0 ≤ n para qualquer n _∈ A.

———————————————————————————————– Conjuntos Finitos

Seja I_n = {p _∈ N : p _≤ n} = {1, 2, 3, . . . , n}.

2“Boa ordena¸cão” significa, no contexto do conjunto dos números naturais (ou dos números inteiros), que

dado um número natural p, existe o número natural “imediatamente maior do que p” (que é o sucessor de

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Um conjunto X é dito finito quando é vazio ou quando existirem n _∈ N e f : I_n _→ X bije¸cão.

Escrevendo x1 = f(1), x2 = f(2), . . . , xn = f(n) temos X = {x1, x2, . . . , xn}.

A bije¸cão f chama-se contagem dos elementos de X e o número n chama-se número de elementos, ou número cardinal, ou cardinalidade do conjunto finito X.

———————————————————————————————– Resultados sobre Conjuntos Finitos

Teorema 1 Se A é subconjunto próprio de In, então não existe bije¸cão f : A _→ In.

O próximo corolário garante que o número cardinal n de um conjunto finito não depende da bije¸cão f escolhida.

Corolário 1.1 Se f : Im → X e g : In → X são bije¸cões, então m = n.

Corolário 1.2 Seja X um conjunto finito. Uma aplica¸cão f : X _→ X é injetiva se, e somente se, é sobrejetiva.

O próximo corolário é uma reformula¸cão do Teorema 1 para conjuntos finitos quaisquer. Corolário 1.3 Não existe bije¸cão entre um conjunto finito e uma sua parte própria.

Teorema 2 Todo subconjunto de um conjunto finito é finito. Corolário 2.1 Dada a fun¸cão f : X _→ Y temos:

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Para o próximo corolário precisamos da seguinte defini¸cão: um subconjunto X _⊂ N é dito limitado quando existir p _∈ N tal que n _≤ p para qualquer n _∈ X.

Corolário 2.2 Um subconjunto X _⊂ N _{é finito se, e somente se, é limitado.}

Observemos que, devido ao Corolário 2.2, N não é finito, pois não é limitado. De fato, se N _{fosse limitado, deveria existir} p _∈ N _{tal que} n _≤ p para qualquer n _∈ N_{. Mas, pelo 1}o_. Axioma de Peano, s(p) = p + 1 _∈ N _{e dever´ıamos ter} p + 1 _≤ p, o que não é poss´ıvel.

———————————————————————————————– Conjuntos Infinitos

Um conjunto é dito infinito quando não é finito.

Pelo Corolário 2.2 segue que o conjunto dos números naturais é infinito.

Teorema 3 Se X é um conjunto infinito, então existe uma aplica¸cão injetiva f : N _→ X. Corolário 3.1 Um conjunto X é infinito se, e somente se, existe uma bije¸cão ϕ : X _→ Y sobre um subconjunto próprio Y _⊂ X.

Exemplo: consideremos X = N e Y = {2n : n _∈ N} (conjunto dos números pares), que é próprio e infinito, e a bije¸cão

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Conjuntos Enumer´aveis

Um conjunto X é dito enumerável quando é finito ou existe uma bije¸cão f : N → X. A bije¸cão f é chamada de enumera¸cão dos elementos de X.

Escrevendo x₁ = f(1), x₂ = f(2), . . ., x_n = f (n), . . . temos X = {x₁, x₂, . . . , x_n, . . .}.

Teorema 4 Todo subconjunto de N _{´e enumer´avel.}

Corolário 4.1 Seja f : X _→ Y injetiva. Se Y é enumerável, então X é enumerável. Em particular, todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.

Corolário 4.2 Seja f : X _→ Y sobrejetiva. Se X é enumerável, então Y é enumerável.

Corolário 4.3 O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enu-merável.

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Exemplos

Exemplo 1) O conjuntos dos números naturais é enumerável. Resolu¸cão:

Basta considerar a aplica¸c˜ao

f : N ₋_→ N n ₇₋_→ n que, claramente, ´e uma bije¸c˜ao.

Exemplo 2) O conjunto Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} _{dos n´umeros inteiros}3 _´e

enumer´avel. Resolu¸c˜ao:

f : N ₋_→ Z n ₇₋_→

¯ _n₋₁

2 , se n é ´ımpar −n₂, se n é par que é injetiva, pois:

(i) m ₆= n pares _⇒ −m₂ ₆= −n₂ _⇒ f(m) ₆= f(n). (ii) m ₆= n ´ımpares _⇒ m₂−1 =₆ n−₂1 _⇒ f(m) ₆= f(n).

(iii) m ₆= n com m par e n ´ımpar _⇒ −m₂ =₆ n−₂1 (pois sendo m = 2p e n = 2q + 1, se tivéssemos −2p₂ = (2q+₂1)−1 ter´ıamos −p = q, o que não é poss´ıvel) _⇒ f (m) ₆= f(n).

3Assim como no caso dos n´umeros naturais, vamos considerar os n´umeros inteiros e racionais como conceitos

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e, tamb´em, ´e sobrejetiva, pois:

(i) se p _≥ 0 é número inteiro, então seja n = 2p+ 1 _∈ N_{. Logo,} f(n) = (2p+₂1)−1 = p. (ii) se p < 0 é número inteiro, então seja n = −2p _∈ N_{. Logo,} f(n) = −−₂2p = p. Conclusão: f é bije¸cão.

Exemplo 3) O conjunto Q = ©m_n : m, n _∈ Z e n ₆= 0ª dos números racionais é enu-merável.

Resolu¸c˜ao:

f : N _× N ₋_→ Q₊ (m, n) ₇₋_→ m_n

que, claramente é sobrejetiva (mas não injetiva) e, sendo N _× N enumerável (Corolário 4.3), o Corolário 4.2 fornece Q₊ enumerável.

Por fim, Q = Q₋ _∪ {0} _∪ Q₊ _{é enumerável devido ao Corolário 4.4.}

(10)

1

1 = g(1) −→ 1

2 = g(2)

1

3 = g(6) −→ 1

4 = g(7)

1

5 = g(15) −→ · · ·

ւ ր ւ ր

2

1 = g(3)

2

2 = g(5)

2

3 = g(8)

2

4 = g(14) · · ·

↓ ր ւ ր

3

1 = g(4)

3

2 = g(9)

3

3 = g(13) · · ·

ւ ր

4

1 = g(10)

4

2 = g(12) · · ·

↓ ր

5

1 = g(11) · · ·

· · ·

(11)

Exemplo 4) O conjunto S de todas as sequências infinitas constitu´ıdas de zeros e uns não é enumerável.

Resolu¸c˜ao:

Suponhamos que S seja enumer´avel, ou seja, que exista uma bije¸c˜ao f : N _→ _{S. Logo,} poder´ıamos construir uma lista como abaixo:

1 ₇₋_→ f (1) = (x₁₁, x₁₂, x₁₃, . . .) 2 ₇₋_→ f (2) = (x₂₁, x22, x23, . . .) 3 ₇₋_→ f (3) = (x₃₁, x32, x33, . . .)

...

n ₇₋_→ f(n) = (x_n1, xn2, xn3, . . .) ...

sendo xij ∈ {0, 1}. Desta forma, f(n) = (xnk)_k_∈_N.

Como estamos supondo que S é enumerável, qualquer sequência constitu´ıda por zeros e uns deve figurar na lista acima. Entretanto, (y_n)_n_∈_N tal que

yk =

¯

0, se x_kk = 1 1, se xkk = 0

também é uma sequência de zeros e uns, mas é diferente de todas as sequências da lista acima. Ou seja, temos uma contradi¸cão, que surgiu da admissão da existência da bije¸cão f.

Conclusão: S não é enumerável.

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N ´UMEROS REAIS

Seja R o conjunto dos números reais4 munido das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão usuais:

+ : R _× R ₋_→ R (x, y) ₇₋_→ x + y

e _· : R _× R ₋_→ R (x, y) ₇₋_→ x.y

O número x + y é dito de soma entre x e y e o número x _· y é dito produto de x por y, respectivamente. Este último pode ser indicado por xy.

Indiquemos o conjunto R munido das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão acima por (R,+,_·).

———————————————————————————————– (R,+,_·) ´e um corpo

Isto significa que (R,+,_·) cumpre os seguintes axiomas: (C₁) Associatividade:

∀x, y, z _∈ R _⇒ (x + y) + z = x + (y + z).

∀x, y, z _∈ R _⇒ (xy)z = x (yz). (C₂) Comutatividade:

∀x, y _∈ R _⇒ x + y = y + x.

∀x, y _∈ R _⇒ xy = yx.

4Vamos adotar que número real é conceito primitivo, ou seja, não vamos defin´ı-lo. Para uma abordagem

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(C₃) Elementos neutros:

∃ 0, 1 _∈ R tal que x + 0 = x e x1 = x, _∀x _∈ R.

0 é elemento neutro aditivo e 1 é elemento neutro multiplicativo. Para o próximo axioma, vamos adotar R∗ = R − {0}.

(C4) Inversos:

∀x _∈ R_, _∃ − x _∈ R _{tal que} x + (−x) = 0.

∀x _∈ R∗, _∃x−1 _∈ R∗ tal que xx−1 = 1. −x ´e chamado de inverso aditivo de x.

x−1 ´e chamado de inverso multiplicativo de x. Observa¸c˜oes sobre inversos:

x + (−y) pode ser indicado por x − y e podemos definir a opera¸c˜ao de subtra¸c˜ao usual em R:

− : R _× R ₋_→ R (x, y) ₇₋_→ x − y O n´umero x − y ´e dito a diferen¸ca entre x e y.

xy−1 pode ser indicado por _yx e podemos definir a opera¸c˜ao de divis˜ao usual em R_:

÷ : R _× R∗ ₋→ R

(x, y) ₇₋_→ x_y

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(C₅) Distributividade (em rela¸cão à adi¸cão):

∀x, y, z _∈ R _⇒ x (y + z) = xy + xz.

———————————————————————————————– Algumas propriedades de (R,+,_·)

(P₁) x0 = 0, _∀x _∈ R_. Demonstra¸c˜ao:

x0 + x = x0 + x1 = x(0 + 1) = x (1 + 0) = x1 = x _⇒ (x0 + x) + (−x) = x + (−x) _⇒ x0 + (x + (−x)) = 0 _⇒ x0 + 0 = 0 _⇒ x0 = 0.

(P₂) Se xy = 0, ent˜ao x = 0 ou y = 0. Demonstra¸c˜ao:

Se y ₆= 0, ent˜ao _∃y−1. Logo,

(xy) y−1 = 0y−1 _⇒ x ¡yy−1¢ = 0 _⇒ x1 = 0 _⇒ x = 0.

(P₃) (regras de sinais) x(−y) = (−x)y = − (xy) e (−x) (−y) = xy, _∀x, y _∈ R_. Demonstra¸c˜ao:

x (−y) + xy = x ((−y) + y) = x (y + (−y)) = x0 = 0 _⇒ (x(−y) + xy) + (− (xy)) = 0 + (− (xy)) _⇒

(15)

(−x)y + xy = y (−x) + yx = y ((−x) + x) = y (x + (−x)) = y0 = 0 _⇒ ((−x)y + xy) + (− (xy)) = 0 + (− (xy)) _⇒

(−x)y + (xy + (− (xy))) = − (xy) + 0 _⇒ (−x)y + 0 = − (xy) _⇒ (−x)y = − (xy), o que conclui a primeira parte.

Finalmente:

(−x) (−y) = − (x (−y)) = − (− (xy)). Mas

− (−z) + (−z) = (−z) + (− (−z)) = 0 _⇒ z + [(−z) + (− (−z))] = z + 0 _⇒ (z + (−z)) + (− (−z)) = z _⇒ 0 + (− (−z)) = z _⇒ − (−z) + 0 = z _⇒ − (−z) = z.

Logo, (−x) (−y) = xy. Em particular, (−1) (−1) = 1.

(P4) x2 = y2 ⇒ x = ±y.

Obs.: z2 = zz. Demonstra¸c˜ao:

Concisa:

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Detalhada:

x2 = y2 _⇒

x2 + ¡−y2¢ = y2 + ¡−y2¢ _⇒ (axioma (C₄))

¡

x2 + 0¢ + ¡−y2¢ = 0 _⇒ (axioma (C₃) e axioma (C₄))

£

x2 + (xy + (−xy))¤ + ¡−y2¢ = 0 _⇒ (axioma (C₄)) x2 + £(xy + (−xy)) + ¡−y2¢¤ = 0 _⇒ (axioma (C₁)) x2 + £xy + ¡−xy + ¡−y2¢¢¤ = 0 _⇒ (axioma (C₁))

£

x2 + xy¤ + ¡−xy + ¡−y2¢¢ = 0 _⇒ (axioma (C₁))

x (x + y) + (x(−y) + y(−y)) = 0 _⇒ (axioma (C₅) e propriedade (P₃)) x (x + y) + ((−y)x + (−y) y) = 0 _⇒ (axioma (C₂))

x (x + y) + (−y) (x + y) = 0 _⇒ (axioma (C₅)) (x + y) x + (x + y) (−y) = 0 _⇒ (axioma (C₂)) (x + y) (x + (−y)) = 0 _⇒ (axioma (C₅))

x + y = 0 ou x + (−y) = 0 _⇒ (propriedade (P₂))

(x + y) + (−y) = 0 + (−y) ou (x + (−y)) + y = 0 + y _⇒ (ax. (C₄)) x + (y + (−y)) = 0 + (−y) ou x + ((−y) + y) = 0 + y _⇒ (ax. (C₁))

x + 0 = 0 + (−y) ou x + ((−y) + y) = 0 + y _⇒ (ax. (C₄)) x + 0 = −y + 0 ou x + (y + (−y)) = y + 0 _⇒ (axioma (C₂))

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(R,+,_·) ´e um corpo ordenado

Isto significa que existe um subconjunto R₊ _⊂ R _chamado _{conjunto dos n´}_{umeros reais} positivos que cumpre os seguintes axiomas:

(O1) ∀x, y ∈ R+ ⇒ x + y ∈ R+ e xy ∈ R+.

(O2) ∀x ∈ R ⇒ ou x = 0, ou x ∈ R+, ou −x ∈ R+.

Definindo R₋ = {x _∈ R : −x _∈ R₊} como sendo o conjunto dos números reais nega-tivos, o axioma (O2) diz que R pode ser decomposto na união de três conjuntos disjuntos

dois a dois: R = R₋ _∪ {0} _∪ R₊.

———————————————————————————————– Rela¸c˜ao de Ordem em R

Sejam x, y _∈ R_{. Escrevemos} x < y (x ´e menor do que y) ou y > x (y ´e maior do que x) quando y − x _∈ R₊_{, ou seja,} y − x = z _∈ R₊_{, o que significa que existe} z _∈ R₊ tal que y = x + z.

Dizemos que x < y estabelece uma rela¸c˜ao de ordem em R_.

Quando x, y _∈ R _{s˜ao tais que} x < y ou x = y escrevemos x _≤ y (x ´e menor do que, ou igual a, y). Analogamente, y _≥ x.

———————————————————————————————– Propriedades da Rela¸c˜ao de Ordem em R

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(R₁) Transitividade: x < y e y < z _⇒ x < z. Demonstra¸c˜ao:

x < y _⇒ y − x _∈ R₊ _e y < z _⇒ z − y _∈ R₊_.

Pelo 1o. axioma, (z − y) + (y − x) _∈ R₊ _⇒ z − x _∈ R₊ _⇒ _{x < z.}

(R₂) Tricotomia: _∀x, y _∈ R _⇒ ou x = y, ou x < y, ou y < x. Demonstra¸c˜ao:

Dados x, y _∈ R_{, pelo 2}o_{. axioma: ou} y − x _∈ R₊_{, ou} y − x = 0, ou − (y − x) = x − y _∈ R₊_{. Logo: ou} x < y, ou x = y, ou y < x.

(R₃) Monotonicidade da adi¸c˜ao: x < y _⇒ x + z < y + z, _∀z _∈ R_. Demonstra¸c˜ao:

x < y _⇒ y − x _∈ R₊ _⇒ y + z − (x + z) _∈ R₊ _⇒ x + z < y + z, _∀z _∈ R.

(R4) Monotonicidade da multiplica¸c˜ao: x < y ⇒ xz < yz, ∀z > 0 e xz > yz,

∀z < 0.

Demonstra¸c˜ao:

(i) x < y e z > 0 _⇒ y − x _∈ R₊ _e z _∈ R₊ _⇒ (y − x)z _∈ R₊ _⇒ yz − xz _∈ R₊ _⇒ xz < yz.

(19)

Outras Propriedades da rela¸c˜ao de ordem: (R₅) x < y e x′ < y′ _⇒ x + x′ < y + y′.

(R₆) 0 < x < y e 0 < x′ < y′ _⇒ xx′ < yy′. (R₇) 0 < x < y _⇒ y−1 < x−1.

Proposi¸c˜ao (Desigualdade de Bernoulli) Se x _∈ R_, x _≥ −1 e n _∈ N_{, ent˜ao} (1 + x)n _≥ 1 + nx.

Demonstra¸c˜ao: (princ´ıpio de indu¸c˜ao)

Seja X = {n _∈ N : (1 + x)n _≥ 1 + nx, x _≥ −1}_.

Temos que 1 _∈ X pois (1 + x)1 = 1 + 1x _⇒ (1 + x)1 _≥ 1 + 1x, x _≥ −1. (note que, neste caso, x poderia ser qualquer n´umero real)

Suponhamos que n _∈ X (hip´otese de indu¸c˜ao). Mostremos que n + 1 _∈ X.

De fato, x _≥ −1 _⇒ 1 + x _≥ 0. Como (1 + x)n _≥ 1 + nx, temos: (1 + x)n (1 + x) _≥ (1 + nx) (1 + x) _⇒

(1 + x)n+1 _≥ 1 + nx + x + nx2 = 1 + (n + 1)x + nx2 _⇒ (1 + x)n+1 _≥ 1 + (n + 1)x, (pois nx2 _≥ 0)

(20)

Valor Absoluto em R

Seja x _∈ R. Definimos o valor absoluto ou m´odulo de x, indicado por |x| como sendo

|x| = x, quando x _≥ 0, e |x| = −x, quando x < 0, ou seja, |x| = max {x,−x}.

Teorema 1 Se x, y _∈ R, ent˜ao |x + y| _≤ |x| + |y| (desigualdade triangular) e |xy| =

|x|.|y|.

Teorema 2 Sejam a, x, δ _∈ R. Tem-se |x − a| < δ se, e somente se, a−δ < x < a+δ. ———————————————————————————————–

Intervalos em R

Dados a < b, os conjuntos de números reais abaixo são chamados de intervalos e são de especial importância no desenvolvimento da Análise Matemática:

[a, b] = {x _∈ R : a _≤ x _≤ b};

(a, b) = {x _∈ R : a < x < b}; também escreve-se (a, b) = ]a, b[ [a, b) = {x _∈ R : a _≤ x < b}; também escreve-se [a, b) = [a, b[ (a, b] = {x _∈ R : a < x _≤ b}; também escreve-se (a, b] = ]a, b] (−_∞, b] = {x _∈ R : x _≤ b} ; também escreve-se (−_∞, b] = ]−_∞, b] (−_∞, b) = {x _∈ R : x < b}; também escreve-se (−_∞, b) = ]−_∞, b[

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Os quatro primeiros intervalos s˜ao limitados e com extremos a e b. Os demais intervalos s˜ao ilimitados.

Pode-se considerar a = b no caso do intervalo [a, b]. Neste caso, o intervalo [a, a] = [b, b] ´e dito degenerado.

[a, b] ´e dito intervalo fechado;

(a, b), (−_∞, b), (a, +_∞) e (−_∞,+_∞) são ditos intervalos abertos; [a, b) e [a,+_∞) são ditos intervalos fechados à esquerda;

(a, b] e (−_∞, b] s˜ao ditos intervalos fechados `a direita.

´

E comum representar os números reais em uma reta horizontal na qual x < y significa que x está à esquerda de y (ou y está à direita de x). Adiante veremos que R _é _completo e, como consequência, é poss´ıvel colocar em correspondência biun´ıvoca os pontos da reta com os números reais e chamamos esta reta de reta real. Sendo assim, intervalos [a, b] definem segmentos, (−_∞, b] ou [a, +_∞) definem semirretas e (−_∞,+_∞) é a reta real.

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Supremo e ´Infimo em R Seja X _⊂ R_.

Dizemos que X ´e limitado superiormente quando existe b _∈ R tal que x _≤ b, _∀x _∈ X e, neste caso, b ´e chamado de cota superior de X.

Dizemos que X ´e limitado inferiormente quando existe a _∈ R _{tal que} a _≤ x, _∀x _∈ X e, neste caso, a ´e chamado de cota inferior de X.

Dizemos que X ´e limitado quando existem a, b _∈ R _{tais que} a _≤ x _≤ b, _∀x _∈ X.

Seja X _⊂ R e X ₆= ∅ limitado superiormente. Dizemos que b _∈ R ´e o supremo de X, e escrevemos b = supX, quando for a menor das cotas superiores de X, ou seja:

(1) _∀x _∈ X _⇒ x _≤ b.

(2) c _∈ R_, x _≤ c, _∀x _∈ X _⇒ b _≤ c.

(2’) c < b _⇒ _∃x _∈ X tal que c < x. (formula¸c˜ao equivalente a (2))

(2”) _∀ε > 0, _∃x _∈ X tal que b − ε < x. (formula¸c˜ao equivalente a (2’))

Seja X _⊂ R _e X ₆= ∅ _{limitado inferiormente. Dizemos que} a _∈ R _{´e o} _´ınfimo _de _{X, e} escrevemos a = inf X, quando for a maior das cotas inferiores de X, ou seja:

(1) _∀x _∈ X _⇒ a _≤ x.

(2) c _∈ R, c _≤ x, _∀x _∈ X _⇒ c _≤ a.

(2’) a < c _⇒ _∃x _∈ X tal que x < c. (formula¸c˜ao equivalente a (2))

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(R,+,_·) ´e um corpo ordenado completo Isto significa que o seguinte axioma ´e aceito:

Axioma. (Postulado de Dedekind) Todo X _⊂ R_, X ₆= ∅_{, limitado superiormente,} possui supremo em R_.

Nota. A menos de isomorfismos, existe um ´unico corpo ordenado completo.

———————————————————————————————– Resultados

Teorema 3 S˜ao equivalentes:

(i) N _⊂ R _{não é limitado superiormente. (ou seja, é ilimitado superiormente)} (ii) inf ©_n1 : n _∈ Nª = 0.

(iii) _∀a, b _∈ R₊ ⇒ _∃n _∈ N tal que na > b. (propriedade arquimediana)

Observa¸cão: Vimos no cap´ıtulo anterior que, por N ser infinito, N é ilimitado com a rela¸cão de ordem dos números naturais. Sendo a rela¸cão de ordem introduzida em R compat´ıvel com a rela¸cão de ordem em N_{, é natural esperar que} N _{seja ilimitado em} R_, ou seja, que N _⊂ R _{seja ilimitado com a rela¸cão de ordem dos números reais. De fato isso} ocorre, pois caso contrário, N ₆= ∅ ₍₂o_{. Axioma de Peano) seria limitado superiormente} em R e, devido ao Postulado de Dedekind, existiria b = supN _∈ R. Logo, n _≤ b,

(24)

Demonstra¸c˜ao:

(i) _⇒ (ii) Sendo _n1 _≥ 0, _∀n _∈ N, devemos ter a = inf ©_n1 : n _∈ Nª _≥ 0. Suponhamos que a > 0. Sendo a cota inferior de ©_n1 : n _∈ Nª_{, temos} a _≤ _n1, _∀n _∈ N_{, ou seja,} n _≤ _a1,

∀n _∈ N_{, contradizendo a hipótese de que} N _{não é limitado superiormente. Conclusão:} a = 0.

(ii) _⇒ (i) Suponhamos que N _{seja limitado superiormente. Logo, pelo Postulado de} Dedekind, existe b = supN _∈ R₊ _{tal que} n _≤ b, _∀n _∈ N_{. Logo,} b > 0 e 0 < _b1 _≤ _n1,

∀n _∈ N, contradizendo a hipótese de que 0 = inf ©_n1 : n _∈ Nª. Conclusão: N não é limitado superiormente.

(i) _⇒ (iii) Sejam a, b _∈ R₊ _{e consideremos} b_a _∈ R₊_{. Como} N _{n˜ao ´e limitado} superiormente, existe n _∈ N _{tal que} b_a < n _⇒ b < na.

(iii) _⇒ (i) Suponhamos que N _{seja limitado superiormente. Logo, pelo Postulado de} Dedekind, existe s = supN _∈ R₊ tal que n _≤ s, _∀n _∈ N. Seja a _∈ R₊ e b = as _∈ R₊. Logo, de n _≤ s temos na _≤ as = b, _∀n _∈ N, contradizendo a hipótese. Conclusão: N não é limitado superiormente.

Obs.: Outra demonstra¸cão: sendo a, b _∈ N₊, tomemos a = 1 e b _∈ N qualquer. Assim, existe n _∈ N tal que n1 > b _⇒ n > b. Sendo b um número natural arbitrário, N não

(25)

Teorema 4 (Intervalos Encaixantes) Sejam In = [an, bn], n ∈ N tais que I1 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · ·. Ent˜ao, existe c ∈ R tal que c ∈ In, ∀n ∈ N.

Teorema 5 O conjunto R dos números reais não é enumerável. Demonstra¸cão:

Suponhamos que R _{seja enumerável. Logo, existe uma bije¸cão} f : N _→ R_{. Tomemos} I₁ = [a₁, b₁] intervalo não degenerado qualquer em R.

(1) Se f(1) _∈/ I1, ent˜ao tomemos I2 = [a2, b2] = [a1, b1] = I1. Logo, f(1) ∈/ I2. (2) Se f(1) _∈ I1, consideremos dois subcasos:

(2.1) Se f (1) = a₁, ent˜ao tomemos I₂ = [a₂, b₂] = £a1+b1

2 , b1

¤

⊂ I₁. Logo, f(1) _∈/ I₂. (2.2) Se f(1) ₆= a1, ent˜ao tomemos I2 = [a2, b2] =

h

a1, a1+₂f(1)

i

⊂ I1. Logo, f(1) _∈/ I2. Precedendo de modo recursivo com f (2) em rela¸cão a I2, f(3) com rela¸cão a I3, e assim por diante, temos uma sequência de intervalos I₁ _{⊃ · · · ⊃} I_n _{⊃ · · ·} de tal modo que f(n) _∈/ I_n+1, ∀n ∈ N. Mas pelo Teorema 4 temos que existe c ∈ R tal que c ∈ In,

∀n _∈ N. Logo, c ₆= f(n), _∀n _∈ N, contradizendo o fato da f ser bije¸cão. Conclusão, a bije¸cão f não existe e R não é enumerável. _¤ Corolário Todo intervalo não-degenerado não é enumerável.

Demonstra¸c˜ao:

(26)

Uma bije¸c˜ao do intervalo (a, b) no intervalo (−1, 1) pode ser dada por: f : (a, b) ₋_→ (−1, 1)

x ₇₋_→ _b₋2_ax − a_b₋+b_a .

Uma bije¸c˜ao de (−1, 1) em R pode ser dada por:

ϕ : (−1, 1) ₋_→ R x ₇₋_→ ₁₋x_|_x_|

.

Observemos que ϕ é de fato bije¸cão, pois ϕ−1(x) = ₁₊x_|_x_| é tal que ϕ_◦ ϕ−1 (x) = x, para todo x _∈ R_{, e} ϕ−1 _◦ ϕ(x) = x, para todo x _∈ (−1, 1).

Logo, ϕ _◦ f : (a, b) _→ R _{´e bije¸c˜ao.}

Se (a, b) fosse enumerável, deveria existir uma bije¸cão g : N _→ (a, b) . Logo, ϕ _◦ f _◦ g : N _→ R seria uma bije¸cão, o que contradiz o Teorema 5. Conclusão: (a, b) não é enumerável. Como (a, b) _⊂ I, temos que I não é enumerável.

Obs.: Outra possibilidade seria construir a bije¸c˜ao ϕ _◦ f : (a, b) _→ R _sendo f : (a, b) ₋_→ ¡−π₂, π₂¢

x ₇₋_→ _b₋π_ax − π₂₍(_ba₋+_ab₎)

e ϕ : ¡−π₂, π₂¢ ₋_→ R x ₇₋_→ tg (x)

.

¤

Teorema 6 Todo intervalo não-degenerado contém números racionais e irracionais. Demonstra¸cão:

(27)

(i) I deve conter n´umeros irracionais.

Caso contrário, I conteria apenas números racionais e seria não enumerável (corolário acima), o que é uma contradi¸cão com a enumerabilidade de Q_.

(ii) I deve conter n´umeros racionais.

Tomemos [a, b] _⊂ I e seja n₀ _∈ N _{tal que} _n1

0 < b − a (o que sempre ´e poss´ıvel, pois

sendo 0 = inf ©_n1 : n _∈ Nª_, b − a > 0 n˜ao ´e cota inferior de ©_n1 : n _∈ Nª_). Definamos os intervalos Im =

h

m n0,

m n0 +

1 n0

i

= h_nm

0,

m+1 n0

i

sendo m _∈ Z_. Logo, S

m_∈Z

Im = R e, sendo a aplitude de Im (que ´e igual a _n1

0) menor do que a aplitude

(28)

SEQUÊNCIAS DE N ÚMEROS REAIS Defini¸cão de Sequência

Uma sequência de números reais é uma fun¸cão x : N ₋_→ R

n ₇₋_→ x (n) = xn .

A imagem x (n) = xn é chamada de n-ésimo termo da sequência. Nota¸cão para sequência: x = (x₁, x2, . . . , xn, . . .), (xn)_n_∈_N ou (xn). Observa¸cão: (x₁, x₂, . . . , x_n, . . .) ₆= {x₁, x₂, . . . , x_n, . . .}_.

———————————————————————————————– Sequˆencias Limitadas e Subsequˆencias

(i) Uma sequˆencia (x_n)_n_∈_N ´e limitada inferiormente quando existe a _∈ R _{tal que} a _≤ xn, para qualquer n _∈ N_.

(ii) Uma sequˆencia (x_n)_n_∈_N ´e limitada superiormente quando existe b _∈ R _{tal que} x_n _≤ b, para qualquer n _∈ N_.

(iii) Uma sequˆencia (x_n)_n_∈_N ´e limitada quando for limitada inferiormente e superior-mente, ou seja, existe c _∈ R tal que |x_n| _≤ c, para qualquer n _∈ N.

Exemplo 1) A sequência (an)_n_∈_N com a > 1 é limitada inferiormente, mas não superi-ormente.

(29)

Por outro lado, a = 1 + d com d > 0. Pela Desigualdade Bernoulli, (a + d) _≥ 1 + nd _⇒ an _≥ 1 + nd. Assim, dado c _∈ R _{arbitrário, podemos tomar} n _∈ N _{tal que} n _≥ c−_d1 e teremos an _≥ 1 + nd _≥ c, ou seja, (an)_n_∈_N não é limitada superiormente.

Uma subsequência da sequência (x_n)_n_∈_N é uma restri¸cão da fun¸cão x a um conjunto infinito de N_{, ou seja,} x′ = x|_N′, sendo N′ = {n₁ < n₂ < · · · < n_k < · · · }.

Nota¸c˜ao: x′ = (x_n₁, xn2, . . . , xnk, . . .), (xnk)k∈N, (xn)n∈N′ ou (xnk).

Observemos que uma subsequência é, também, uma sequência, uma vez que x′ : N ₋_→ R

k ₇₋_→ x′ (k) = x_n_k .

Exemplo 2) Seja (an)_n_∈_N tal que a < −1. Temos que se N′ = {1, 3, 5, 7, . . .} _e N′′ =

{2, 4, 6, 8, . . .}_{, ent˜ao} (an)_n_∈_N′ =

¡

a, a3, a5, a7, . . .¢ é subsequência de (an)_n_∈_N limitada superiormente, enquanto que (an)_n_∈_N_′′ = ¡a2, a4, a6, a8, . . .¢ é limitada inferiormente.

De fato, a < −1 _⇒ 1 < −a _⇒ 1.(−a)n < (−a) (−a)n _⇒ (−a)n < (−a)n+1, ou seja,

−a < a2 < −a3 < a4 < −a5 < a6 < _{· · ·} _⇒

¯

−a < −a3 < −a5 < _{· · ·} a2 < a4 < a6 < _{· · ·} ⇒

¯

(30)

O Limite de uma Sequˆencia

O número real a _∈ R _{é dito} _limite _{de uma sequência} (x_n)_n_∈_N de números reais quando

∀ε > 0,_∃n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |xn − a| < ε. Nessas condi¸c˜oes indicamos o limite de (x_n)_n_∈_N por lim

n_→+_∞xn = a, ou limn_∈Nxn = a, ou

lim xn = a, ou xn → a e dizemos que xn tende a a, ou que xn converge para a. Uma sequência não convergente é dita divergente.

Teorema 1 (Unicidade do Limite) Uma sequência de números reais não pode convergir para dois limites distintos.

Demonstra¸c˜ao:

Suponhamos que xn → a e yn → b com a 6= b. Seja ε > 0 tal que I = (a − ε, a + ε) e J = (b − ε, b + ε) sejam intervalos disjuntos. Logo, de xn → a temos que ∃n0 ∈ N tal que para n > n0 ⇒ |xn − a| < ε ⇒ a − ε < xn < a + ε ⇒ xn ∈ I ⇒ xn ∈/ J,

contrariando a defini¸c˜ao de x_n _→ b. _¤

Teorema 2 Se lim

n_→+_∞xn = a, ent˜ao toda subsequˆencia de (xn)n∈N converge para a.

(contra-positiva: se (x_n)_n_∈_N possui duas subsequências que convergem para limites difer-entes, então (x_n)_n_∈_N é divergente)

(31)

Dado ε > 0, seja I = (a − ε, a + ε). Logo, de xn → a, ∃n0 ∈ N tal que para n > n0 ⇒ xn ∈ I. Em particular, se (xnk)k∈N ´e subsequˆencia de (xn)n∈N temos que para

nk > n0 ⇒ xnk ∈ I, ou seja, xnk → a. ¤

Teorema 3 Toda sequˆencia convergente ´e limitada.

(contra-positiva: Toda seqüência não limitada é divergente) Demonstra¸cão:

Seja x_n _→ a. Dado ε = 1, existe n₀ _∈ N tal que para n > n₀ _⇒ x_n _∈ (a − 1, a + 1). Seja a = min{x₁, . . . , x_n₀, a − 1, a + 1} e b = max {x₁, . . . p, x_n₀, a − 1, a + 1}. Logo, a _≤ xn ≤ b, ∀n ∈ N, ou seja, (xn)_n_∈_N é limitada. ¤ Exemplo 3) ((−1)n)_n_∈_N é limitada, mas não é convergente, pois possui duas sub-sequências ³(−1)2k−1´

k_∈N (que converge para −1) e

³

(−1)2k´

k_∈N (que converge para

1) que convergem para limites diferentes.

Exemplo 4) (n)_n_∈_N não é convergente, pois não é limitada.

———————————————————————————————– Sequˆencias Mon´otonas

Uma sequˆencia (x_n)_n_∈_N ´e:

(32)

(ii) Monótona não decrescente (ou simplesmente não decrescente) quando xn ≤ xn+1 para qualquer n _∈ N_{. (isto significa que} n < k _⇒ xn ≤ xk)

(iii) Mon´otona decrescente (ou simplesmente decrescente) quando xn > xn+1 para qualquer n _∈ N_{. (isto significa que} n < k _⇒ xn > xk)

(iv) Mon´otona crescente (ou simplesmente crescente) quando xn < xn+1 para qualquer n _∈ N_{. (isto significa que} n < k _⇒ x_n < xk)

Uma sequência decrescente ou não crescente é sempre limitada superiormente pelo seu primeiro termo.

Uma sequência crescente ou não decrescente é sempre limitada inferiormente pelo seu primeiro termo.

Observemos que se uma sequência monótona (x_n)_n_∈_N possui uma subsequência limitada, então (x_n)_n_∈_N é limitada. De fato, suponhamos, sem perda de generalidade, que (x_n)_n_∈_N é não decrescente. Logo, xn ≤ xn+1 para qualquer n ∈ N. Seja (xnk)k∈N subsequência

de (x_n)_n_∈_N limitada. Logo, x_n_k _≤ b para algum b _∈ R _{e para qualquer} k _∈ N_{. Mas} dado n _∈ N, existe k _∈ N tal que n _≤ n_k, ou seja, x_n _≤ x_n_k _≤ b. Portanto, (x_n)_n_∈_N ´e limitada.

Teorema 4 Toda sequência monótona limitada é convergente.

(33)

Seja (x_n)_n_∈_N mon´otona e limitada. Sem perda de generalidade suponhamos que (x_n)_n_∈_N seja crescente.

Logo, X = {x1, . . . , xn, . . .} é limitado. Seja c = supX (Postulado de Dedekind). Dado ε > 0, o número c − ε não é cota superior de X. Logo, existe n0 ∈ N tal que c − ε < x_n₀ _≤ c _⇒ c − ε < x_n₀ < x_n _≤ c < c + ε para qualquer n > n0, ou seja,

|x_n − c| < ε para n > n₀. Portanto, x_n _→ c. _¤ Corolário 4.1 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente.

Exemplo 5) A sequência ¡_n1¢_n_∈_N é decrescente e limitada. Logo, é convergente. É fácil mostrar que lim

n_→+_∞

1

n = 0.

De fato, dado ε > 0, _∃n₀ _∈ N tal que _n1

0 < ε (pois inf ©₁

n : n ∈ N

ª

= 0). Logo, para n > n0 ⇒ _n1 < _n1

0 < ε ⇒ 0 − ε <

1

n < 0 + ε ⇒

¯

¯_n1 − 0 ¯

¯ < ε, ou seja, lim

n_→+_∞

1

n = 0.

Exemplo 6) A sequência (an)_n_∈_N sendo 0 < a < 1 é decrescente e limitada (pois 0 < a < 1 _⇒ 0 < an+1 < an, ou seja, 0 < an+1 < an < 1 para qualquer n _∈ N). Logo, (an)_n_∈_N é convergente. É fácil mostrar que lim

n_→+_∞a

n ₌ _0.

De fato, dado ε > 0, seja b = _a1. Logo, b > 1 e vimos que (bn)_n_∈_N n˜ao ´e limitada superiormente. Logo, _∃n₀ _∈ N tal que bn0 > 1

ε ⇒ 1 an0 >

1

ε ⇒ a

n0 < ε ⇒ −ε < 0 <

an < an0 < ε para qualquer n > n

0, ou seja, |an − 0| < ε para qualquer n > n0. Poranto, lim

n_→+_∞a

(34)

Outro modo: dado ε > 0, seja n0 ∈ N tal que n0 > log_a (ε). Logo, para n > n0 ⇒ n > log_a (ε) _⇒ 0 < an < aloga(ε) = ε ⇒ 0−ε < an < 0+ε ⇒ |an − 0| < ε. Portanto,

lim n_→+_∞a

n ₌ _0.

Observa¸c˜ao: se −1 < a < 0 temos 0 < |a| < 1 e lim

n_→+_∞|a|

n

= 0 _⇒ lim n_→+_∞|a

n_| ₌ _0, ou seja, dado ε > 0, existe n₀ _∈ N tal que n > n₀ _⇒ ||an| − 0| < ε _⇒ −ε < |an| < ε _⇒ −ε < −|an| < ε, ou seja, −ε < an < ε (pois

¯

an = |an|_{, se} an > 0.

an = − |an|_{, se} an < 0. ) para n > n0 ⇒ |an − 0| < ε, para n > n0. Portanto, lim

n_→+_∞a

n ₌ ₀ _para _{−1 < a < 0.} Como para a = 0 temos lim

n_→+_∞a

n ₌ ₀_{, conclu´ımos que} lim

n_→+_∞a

n ₌ ₀ _para _{−1 < a < 1.}

———————————————————————————————– Limites e Desigualdades Envolvendo Sequˆencias

Teorema 5 Seja lim

n_→+_∞xn = a. Se b < a, ent˜ao para n suficientemente grande tem-se

b < x_n. Analogamente, se b > a, então para n suficientemente grande tem-se b > x_n. (Observa¸cão: “para n suficientemente grande (x_n)_n_∈_N cumpre a propriedade P significa que existe n₀ _∈ N tal que para n > n₀ temos que (x_n)_n_∈_N cumpre a propriedade P”) Demonstra¸cão:

Seja ε = a − b > 0. Como xn → a, temos que ∃no ∈ N tal que para n > n0 ⇒

(35)

Corol´ario 5.1 Seja lim

n_→+_∞xn = a. Se a > 0, ent˜ao para n suficientemente grande

tem-se xn > 0. Analogamente, se a < 0, ent˜ao para n suficientemente grande tem-se xn < 0.

Corol´ario 5.2 Sejam lim

n_→+_∞xn = a e limn_→+_∞yn = b. Se xn ≤ yn para n suficientemente

grande, ent˜ao a _≤ b. Em particular, se xn ≤ b para n suficientemente grande, ent˜ao lim

n_→+_∞xn ≤ b.

Demonstra¸c˜ao:

Suponhamos que a > b. Logo, existiria c _∈ R tal que b < c < a. Pelo Teorema 5, xn > c e yn < c para n suficientemente grande, ou seja, yn < xn, contradizendo a

hip´otese. Logo, a _≤ b. _¤

Observa¸c˜ao: se x_n < y_n para n suficientemente grande, n˜ao se conclui que a < b. Exemplo: (0)_n_∈_N e ¡_n1¢_n_∈_N.

Teorema 6 (Teorema do Confronto ou Sandu´ıche) Se lim

n_→+_∞xn = n_→lim+_∞yn = a e

x_n _≤ z_n _≤ y_n para n suficientemente grande, ent˜ao lim

n_→+_∞zn = a.

Demonstra¸c˜ao:

Dado ε > 0, _∃n1, n2 ∈ N tais que:

¯

para n > n₁ _⇒ a − ε < x_n < a + ε para n > n₂ _⇒ a − ε < y_n < a + ε .

Seja n₀ = max {n₁, n₂}. Logo, para n > n₀ _⇒ a − ε < x_n _≤ z_n _≤ y_n < a + ε _⇒

|zn − a| < ε, ou seja, lim

(36)

Opera¸cões com Limites de Sequências Teorema 7 Se a sequência (x_n)_n_∈_N é tal que lim

n_→+_∞xn = 0 e a sequˆencia (yn)n∈N ´e

limitada, ent˜ao lim

n_→+_∞(xnyn) = 0.

Demonstra¸c˜ao:

Por hip´otese, dado ε > 0, existe n₁ _∈ N (podendo depender do ε > 0) tal que: n > n1 ⇒ |xn − 0| < ε.

Seja c > 0 tal que |yn| ≤ c. Tamb´em por hip´otese, dado ε_c > 0, existe n2 ∈ N (podendo depender do ε_c > 0) tal que: n > n2 ⇒ |xn − 0| < ε_c.

Seja n0 = max{n1, n2}. Logo,

∀ε > 0, _∃n₀ _∈ N tal que n > n₀ _⇒ |x_n − 0| < ε_c. Assim,

∀ε > 0, _∃n₀ _∈ N tal que n > n₀ _⇒

|xnyn − 0| = |xnyn| = |xn|.|yn| = |xn − 0|.|yn| < ε_cc = ε, que, por defini¸c˜ao, significa que lim

n_→+_∞(xnyn) = 0. ¤

Exemplo 7) Seja (x_n)_n_∈_N = ¡_n1¢

n_∈N e (yn)n∈N = (sen(n))n∈N. Temos lim_n_→₊_∞xn = 0 e

−1 _≤ y_n _≤ 1 (note que lim

n_→+_∞yn n˜ao existe). Pelo Teorema 7, limn_→+_∞(xnyn) = 0.

(37)

Equivalˆencias ´uteis: lim

n_→+_∞xn = a ⇐⇒ n_→lim+_∞(xn − a) = 0 ⇐⇒ n_→lim+_∞|xn − a| = 0.

Teorema 8 Sejam (x_n)_n_∈_N e (y_n)_n_∈_N tais que lim

n_→+_∞xn = a e limn_→+_∞yn = b, ent˜ao:

(i) lim

n_→+_∞(xn ± yn) = a ± b;

(ii) lim

n_→+_∞(xnyn) = ab;

(iii) lim n_→+_∞

xn

yn =

a

b, quando b 6= 0. Demonstra¸c˜ao de (i):

Seja ε > 0. Como lim

n_→+_∞xn = a, temos que ∃n1 ∈ N tal que n > n1 ⇒ |xn − a| <

ε 2. Como lim

n_→+_∞yn = b, temos que ∃n2 ∈ N tal que n > n2 ⇒ |yn − b| <

ε 2. Seja n0 = max{n1, n2}. Logo,

n > n₀ _⇒ |(x_n + y_n) − (a + b)| = |(x_n − a) + (y_n − b)|

≤ |xn − a| + |yn − b| < ε₂ + ε₂ = ε.

Conclusão: _∀ε > 0, _∃n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |(xn + yn) − (a + b)| < ε, que é a defini¸cão de lim

n_→+_∞(xn + yn) = a + b.

Analogamente, lim

(38)

Exemplos Importantes

Exemplo 8) (Esse exemplo ´e um “lema” para o pr´oximo exemplo) Se x_n > 0, _∀n _∈ N e lim

n_→+_∞

xn+1

xn = a < 1, ent˜ao lim_n_→₊_∞xn = 0.

Resolu¸c˜ao: De lim

n_→+_∞

xn+1

xn = a temos que ∀ε > 0, ∃ n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ ¯ ¯ ¯

xn+1

xn − a ¯ ¯

¯ < ε ⇒

a − ε < xn+1

xn < a + ε. Como xn > 0, ∀n ∈ N temos 0 <

xn+1

xn < a + ε.

Como a < 1, seja ε > 0 tal que a + ε = c < 1. Logo, 0 < xn+1

xn < c < 1 ⇒ 0 < xn+1 < cxn < xn, ou seja (xn)n∈N ´e decrescente

e limitada inferiormente. Pelo Teorema 4, (x_n)_n_∈_N ´e convergente. Seja b = lim

n_→+_∞xn.

Como x_n > 0, _∀n _∈ N_{, temos} b _≥ 0. De x_n₊₁ < cx_n _⇒ lim

n_→+_∞xn+1 ≤ cn_→lim+_∞xn ⇒

b _≤ cb _⇒ (1 − c)b _≤ 0 _⇒ b _≤ ₁₋0_c = 0. De b _≥ 0 e b _≤ 0 conclu´ımos b = 0.

Exemplo 9) (compara¸cão entre os crescimentos das sequências polinomiais, expo-nenciais, fatoriais e nn) Se a > 1 e k _∈ N_{, então lim}

n_→+_∞

nk

an = lim

n_→+_∞

an

n! = _n_→lim₊_∞

n!

nn = 0.

Resolu¸c˜ao:

(i) lim n_→+_∞

(n+1)k

an+1 nk an

= lim n_→+_∞

(1+_n1)k

a = 1

a < 1. Logo, lim_n_→₊_∞ nk

an = 0.

(ii) lim n_→+_∞

an+1

(n+1)!

an n!

= lim n_→+_∞

a

n+1 = 0 < 1. Logo, lim_n_→₊_∞ an

(39)

(iii) lim n_→+_∞

(n+1)n+1

n!

nn

= lim n_→+_∞

(n+1)nn

(n+1)n(n+1) = _n_→lim₊_∞

1

(1+_n1)n =

1

e < 1. Logo, lim_n_→₊_∞ n!

nn = 0.

Exemplo 10) (sequência raiz n-ésima) Se a > 0, então lim n_→+_∞

n

√

a = 1. Resolu¸c˜ao:

• Se a = 1, o resultado ´e ´obvio.

• Se a > 1, ent˜ao ¡√n _a¢

n_∈N ´e decrescente e 1 <

n

√

a _≤ a (ou seja, ¡√n _a¢

n_∈N ´e mon´otona

e limitada). Pelo Teorema 4, _∃L₁ = lim n_→+_∞

n

√

a e, como √n _{a > 1, temos} _L

1 ≥ 1. Con-sideremos a subseq¨uˆencia ¡ k(k+√1) _a¢

k_∈N de

¡√_n

a¢_n

∈N. Como

1

k(k+1) =

1 k −

1

k+1, temos lim

k_→+_∞

k(k+√1) _a ₌

lim

k→+∞ k

√

a

lim

k→+∞

k+√1 _a =

L1

L1 = 1. Pelo Teorema 2, temos lim_n_→₊_∞ n

√

a = 1.

• Se 0 < a < 1, ent˜ao ¡√n _a¢

n_∈N ´e crescente e a ≤

n

√

a < 1. Pelo Teorema 4,

∃L2 = lim

n_→+_∞

¡√_n

a¢ e, como √n _a

≥ a, temos L2 ≥ a > 0. Consideremos a subseq¨uˆencia

¡ _k₍_k₊√₁₎

a¢_k

∈N de

¡√_n

a¢_n

∈N. Como

1

k(k+1) =

1 k −

1

k+1, temos lim_k_→₊_∞

k(k+√1) _a ₌

lim

k→+∞ k

√

a

lim

k→+∞

k+√1 _a =

L2

L2 = 1. Pelo Teorema 2, temos lim_n_→₊_∞ n

√

a = 1.

Exemplo 11) (sequˆencia soma de termos da PG) Se 0 < a < 1, ent˜ao lim

n_→+_∞(1 + a + · · · + a

(40)

Resolu¸c˜ao:

(x_n)_n_∈_N = (1 + a + _{· · ·} + an)_n_∈_N = ³1−₁₋an_a+1´

n_∈N ´e crescente e limitada (1 < xn <

1 1−a). Pelo Teorema 4, _∃ lim

n_→+_∞xn. Logo, limn_→+_∞(1 + · · · + a

n_{) =} _lim n_→+_∞

1−an+1 1−a =

1− lim

n→+∞a n+1

1−a = 1

1−a.

Observa¸c˜ao: Temos ₁₋1_a − 1−₁₋an_a+1 = a₁₋n+_a1. Como lim n_→+_∞

an+1

1−a existe para −1 < a < 1 (ver Exemplo 6) e ´e igual a 0, conclu´ımos que lim

n_→+_∞

³

1 1−a −

1−an+1 1−a

´

existe e ´e igual a 0, ou seja, lim

n_→+_∞

1−an+1 1−a =

1

1−a para −1 < a < 1. Com isso, conclu´ımos que lim

n_→+_∞(1 + a + · · · + a

n_{) =} 1

1−a para −1 < a < 1.

Exemplo 12) (Sequˆencia n´umero e - primeira) A sequˆencia de termo geral an = n

P

k=0 1 k!

´e convergente. Resolu¸c˜ao:

Temos que (a_n)_n_∈_N = ¡₀1_! + ₁1_! + ₂1_! + _{· · ·} + _n1_!¢_n

∈N ´e limitada. De fato

2 _≤ ₀1_! + ₁1_! + ₂1_! + ₃1_! + _{· · ·} + _n1_! _≤ 1 + 1 + 1₂ + ₂12 + · · · +

1

2n−1 = 1 +

1−(1₂)n

1−1₂ < 1 +

1

1−1₂ = 3.

(41)

Exemplo 13) (Sequˆencia n´umero e - segunda) lim

n_→+_∞ 1 + n = e.

Resolu¸c˜ao: Temos

¡

1 + _n1¢n = n

P

k=0

¡n

k

¢

1n−k ¡_n1¢k ; (F´ormula do Binˆomio de Newton) = 1 + n1_n + n(₂n_!_n−21) +

n(n−1)(n−2)

3!n3 + · · · +

n(n−1)(n−2)...1 n!nn

= 1 + 1 + ₂1_! ¡1 − _n1¢ + ₃1_! ¡1 − _n1¢ ¡1 − _n2¢ + _{· · ·} + _n1_! ¡1 − _n1¢ . . .¡1 − n_n−1¢. Logo, (b_n)_n_∈_N = ³¡1 + _n1¢n´

n_∈N ´e tal que que cada termo ´e soma de parcelas positivas.

Portanto, (b_n)_n_∈_N ´e crescente.

Por outro lado, 1 − _n1, 1 − _n2, . . . , 1 − n_n−1 s˜ao menores do que 1. Logo, bn =

¡

1 + _n1¢n < 1 + 1 + ₂1_! + ₃1_! + _{· · ·} + _n1_! = an < 3.

Logo, 0 < bn < 3, ou seja (bn)_n_∈_N ´e mon´otona e limitada, portanto convergente. Mostremos que lim

n_→+_∞bn = e.

Seja p < n natural. Temos

b_n > 1 + 1 + ₂1_! ¡1 − _n1¢ + ₃1_! ¡1 − _n1¢ ¡1 − _n2¢ + _{· · ·} + _p1_! ¡1 − _n1¢. . .³1 − p−_n1´ _⇒ lim

n_→+_∞bn ≥ n_→lim+_∞

³

1 + 1 + ₂1_! ¡1 − _n1¢ + _{· · ·} + _p1_! ¡1 − _n1¢ . . .³1 − p−_n1´´ _⇒ lim

n_→+_∞bn ≥

³

(42)

que ´e v´alida para qualquer p _∈ N. Logo, lim

n_→+_∞bn ≥ e.

Como b_n < a_n _⇒ lim

n_→+_∞bn ≤ n_→lim+_∞an = e, conclu´ımos limn_→+_∞bn = e.

Exemplo 14) (Sequˆencia raiz n-´esima de n) lim n_→+_∞

n

√

n = 1. Resolu¸c˜ao:

Temos que √n _n

≥ 1, _∀n _∈ N _e ¡√n _n¢

n_∈N ´e decrescente a partir do 3

o_{. termo. De fato:}

A seq¨uˆencia ³¡1 + _n1¢n´

n_∈N ´e crescente (Exemplo 13) e converge para e ∼

= 2, 7182 . . . < 3. Logo, n > ¡1 + _n1¢n para n _≥ 3. Mas

n > ¡1 + _n1¢n _⇒ nn1 > 1 + 1

n =

n+1

n ⇒ nn

1

n > n + 1 ⇒

n1+n1 > n + 1 ⇒ n n+1

n > n + 1 ⇒ n 1

n > (n + 1) 1

n+1 ⇒ √n n > n+√1 n + 1.

Assim, √3 3 _≥ √n _n

≥ 1, ou seja ¡√n _n¢

n_∈N ´e limitada e mon´otona a partir do 3

o_{. termo.}

Pelo Teorema 4, _∃L = lim n_→+_∞

n

√

n e, como √n _n

≥ 1 temos L _≥ 1. Consideremos a subseq¨uˆencia ³(2k)2k1

´

k_∈N de

¡√_n

n¢_n

∈N. Logo, pelo Teorema 2,

L = lim

k_→+_∞(2k)

1

2k ⇒ L2 = lim

k_→+_∞(2k)

1

k = lim

k_→+_∞2

1

k lim

k_→+_∞

k

√

k _⇒ L2 = 1 lim

k_→+_∞

k

√

k = L _⇒ L2 = L _⇒ L = 1 (pois L ₆= 0). Conclus˜ao: lim

n_→+_∞

n

√

(43)

Exemplo 15) (Aproxima¸c˜oes Sucessivas da Raiz Quadrada) Sejam dados a > 0 e x1 > 0. Definimos xn+1 =

xn+_xna

2 . Ent˜ao, lim_n_→₊_∞xn =

√

a. Resolu¸c˜ao:

Mostremos que (x_n)_n_∈_N é monótona a partir de n = 2 e limitada. Como x1 > 0, temos xn > 0, ∀n ∈ N. Além disso,

³

xn + _xa

n ´2

≥ 4a. De fato,

³

x_n − _xa

n ´2

≥ 0 _⇒ x2_n − 2a + a_x22

n ≥ 0 ⇒ x

2

n + 2a + a

2

x2

n ≥ 4a ⇒ ³

x_n + _xa

n ´2

≥ 4a.

Assim, x2_n₊₁ = (xn+

a xn)

2

4 ≥ 4a

4 = a > 0 ⇒ xn+1 ≥

√

a, ou seja, a partir de n = 2 temos x2_n _≥ a. Deste modo,

x2_n₊₁ = ³xn+

a xn 2 ´2 ≤ µ

xn+x2_xnn

2

¶2

= ¡2xn

2

¢2

= x2_n

ª

≤ xn ≤ max {x1, x2} (portanto, limitada). Pelo Teorema 4, _∃L = lim

n_→+_∞xn. Logo, xn+1 =

xn+_xna

2 ⇒ _n_→lim₊_∞xn+1 =

lim

n_→+_∞xn+

a

lim

n→+∞xn

2 ⇒ L = L+aL

2 ⇒ L =

√

a. Conclus˜ao: lim

n_→+_∞xn = √

(44)

Limites Infinitos para Sequências Seja (x_n)_n_∈_N uma sequência de números reais.

Escrevemos lim

n_→+_∞xn = +∞ quando:

∀A > 0,_∃n₀ _∈ N tal que n > n₀ _⇒ x_n > A. Seja (x_n)_n_∈_N uma sequˆencia de n´umeros reais.

Escrevemos lim

n_→+_∞xn = −∞ quando:

∀A > 0,_∃n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn < −A. Obs.: lim

n_→+_∞xn = +∞ implica que (xn)n∈N é divergente e não é limitada superiormente.

No entanto, (x_n)_n_∈_N ser ilimitada superiormente n˜ao significa que lim

n_→+_∞xn = +∞. De

fato, (n + (−1)n n)_n_∈_N ´e ilimitada superiormente e lim

n_→+_∞(n + (−1)

n

n) ₆= +_∞.

Teorema 9 Sejam (x_n)_n_∈_N e (y_n)_n_∈_N sequências de números reais. Então: (i) Se lim

n_→+_∞xn = +∞ e (yn)n∈N ´e limitada inferiormente, ent˜ao limn_→+_∞(xn + yn) = +∞.

(ii) Se lim

n_→+_∞xn = +∞ e existe c > 0 tal que yn > c para todo n ∈ N, ent˜ao

lim

n_→+_∞(xnyn) = +∞.

(iii) Se xn > c > 0, yn > 0 para todo n ∈ N e lim

n_→+_∞yn = 0, ent˜ao limn_→+_∞

xn

yn = +∞.

(iv) Se (x_n)_n_∈_N ´e limitada e lim

n_→+_∞yn = +∞, ent˜ao limn_→+_∞

xn

(45)

Hip´oteses como as do teorema acima evitam “express˜oes indeterminadas”: +_∞ − _∞; 0 _× _∞; 0/0; _∞/_∞; _∞0; 1∞; 00 Exemplo: se lim

n_→+_∞xn = +∞ e limn_→+_∞yn = −∞, nada se pode dizer de limn_→+_∞(xn + yn).

De fato:

Se xn = n + (−1)n e yn = −n, temos que lim

n_→+_∞(xn + yn) n˜ao existe.

Se xn = 2n e yn = −n, temos que lim

n_→+_∞(xn + yn) = +∞.

Se x_n = n e y_n = −2n, temos que lim

n_→+_∞(xn + yn) = −∞.

Se c _∈ R_, x_n = n + c e y_n = −n, temos que lim

n_→+_∞(xn + yn) = c.

Assim, não se pode atribuir significado matemático em termos de limites às “expressões indeterminadas”.

Observa¸c˜ao:

Para a > 1 e k _∈ N_{, lim} n_→+_∞n

k ₌ _lim n_→+_∞a

n ₌ _lim

n_→+_∞n! = n_→lim+_∞n

n _{= +}

∞. Mas lim

n_→+_∞

nk

an = lim

n_→+_∞

an

n! = _n_→lim₊_∞

n!

nn = 0, ou seja, n

k _{<< a}n _{<< n!} _{<< n}n _para valores grandes de n.

Temos tamb´em que lim

n_→+_∞(logb (n)) = +∞, b > 1. No entanto, limn_→+_∞

log_b(n)

nk = 0.

Assim,

(46)

S´ERIES DE N ´UMEROS REAIS

S´eries Convergentes e Primeiros Exemplos

Uma série de números reais é uma soma a₁ + a₂ + _{· · ·} + a_n + _{· · ·} com um número infinito de parcelas.

Indicamos uma s´erie por P∞ n=1

an. A parcela a_n é chamada de termo geral da série ou n-ésimo termo da série.

Os números s₁ = a₁, s₂ = a₁ + a₂, s₃ = a₁ + a₂ + a₃, s_n = a₁ + a₂ + _{· · ·} + a_n são chamados de somas parciais (ou somas reduzidas) da série P∞

n=1

an. Logo, associamos `a

s´erie P∞ n=1

an uma sequˆencia (sn)_n_∈_N.

Quando existir lim

n_→+_∞sn = s ∈ R, dizemos que a s´erie

∞

P

n=1

a_n converge (ou ´e

conver-gente) para s e escrevemos P∞ n=1

a_n = s. Caso contrário, dizemos que a série diverge (ou é divergente).

(47)

Exemplo 1) A s´erie geom´etrica P n=0

an com |a| < 1 é convergente, pois a sequência das somas parciais (s_n)_n_∈_N_∪_{₀_} com s₀ = 1, s₁ = 1+a, s₂ = 1+a+a2, . . ., s_n = 1+a+_{· · ·}+an converge para ₁₋1_a (cap´ıtulo de sequências), ou seja, P∞

n=0

an = ₁₋1_a para |a| _{< 1.}

Analogamente para P∞ n=0

1

n! = 1 + 1 +

1 2! +

1

3! + · · · = e.

Exemplo 2) A s´erie P∞ n=0

(−1)n = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + _{· · ·} é divergente, pois s_n = 1 quando n é par e sn = 0 quando n for ´ımpar gerando uma sequência de soma parciais (s_n)_n_∈_N_∪_{₀_} = (1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .) divergente.

Exemplo 3) A s´erie P∞ n=1

1

n(n+1) converge. De fato: seja an =

1

n(n+1) =

1 n −

1

n+1. Assim, sn =

¡

1 − 1₂¢ + ¡1₂ − 1₃¢ + ¡1₃ − 1₄¢ + _{· · ·} + ¡_n1 − _n₊1₁¢ = 1 − _n₊1₁ e temos lim

n_→+_∞sn =

lim n_→+_∞

¡

1 − _n₊1₁¢ = 1 _⇒ P∞ n=1

1