RepresentaçãoemPonto Flutuante

(1)

Fundamentos de Arquiteturas de Computadores

Representação em Ponto Flutuante

Profa. Débora Christina Muchaluat Saade

debora@midiacom.uff.br

Departamento de Ciência da Computação - UFF

http://www.midiacom.uff.br/debora/

(2)

Roteiro

ü

Notação Científica Normalizada

ü

Expoente e mantissa

ü

Padrão IEEE 754 Precisão Simples

ü

Padrão IEEE 754 Precisão Dupla

(3)

Números Fracionários

ü

Na representação em ponto fixo, a vírgula não é representada mas assumida em uma posição fixa.

• Utiliza-se a vírgula na posição mais a direita para representar números inteiros.

ü

Números fracionários utilizam a representação em ponto flutuante:

• Exemplos:

–

3,141592565

–

2,71828

–

1,0 x 10

^-9

–

3.155.760.000 = 3,15576 x 10

⁹

(4)

Notação Científica

ü

Utiliza-se a notação científica:

• 1,0 x 10

^-9

• 3,15576 x 10

⁹

ü

Notação científica normalizada: somente um dígito diferente de zero antes da vírgula

• 0,1 x 10

^-8

e 10,0 x 10

^-11

=> não normalizadas

• 1,0 x 10

^-9

e 1,0 x 10

^-10

=> normalizadas

(5)

Números Fracionários

ü

Utiliza-se a notação científica:

• 1,0 x 10

^-9

• 3,15576 x 10

⁹

ü

Notação científica normalizada: somente um dígito diferente de zero antes da vírgula

• 0,1 x 10

^-8

e 10,0 x 10

^-11

=> não normalizadas

• 1,0 x 10

^-9

e 1,0 x 10

^-10

=> normalizadas

ü

Vantagens de se usar esta notação:

• Padrão para trocar dados

• Simplifica aritmética, pois números ficam padronizados

• Aumenta precisão dos números que podem ser representados porque não desperdiça dígitos.

–

Exemplo: 0,000012 x 10

^-2

= 1,2 x 10

^-7

(6)

Representação em Ponto Flutuante

ü

Números binários em notação científica normalizada

• (1,0)

₂

x 2

^-1

ü

Representação de um número na base 2 em ponto flutuante

• +/- (1,M)

₂

x 2

^E

– +/- => sinal

– M => mantissa

– E => expoente

(7)

Representação em Ponto Flutuante

ü

O que tem que ser representado ?

• N = (+/-) 1,M x 2

^E

ü

(+/-) Sinal (M) Mantissa (E) Expoente

ü

(S) Sinal => 1 bit

• 0 => positivo (+)

• 1 => negativo (-)

S expoente mantissa

(8)

Representação em Ponto Flutuante

ü

O que tem que ser representado ?

• N = (+/-) 1,M x 2

^E

ü

(+/-) Sinal (M) Mantissa (E) Expoente

ü

Questões:

• Quantos bits utilizar para mantissa e expoente?

• Qual a representação utilizada para mantissa e expoente?

–

sinal e magnitude, complemento a 2, excesso?

S expoente mantissa

(9)

9

Exemplo de Ponto Flutuante

ü N = (+/-)1,M x 2^E

ü +407,375₁₀ = ( )₂ = (110010111,011)₂=1,M x 2^E= 1,10010111011 x 2⁺⁸

ü Parte inteira:

• 407/2=203, sobra 1, logo d₀=1

• 203/2=101, sobra 1, logo d₁=1

• 101/2=50, sobra 1, logo d₂=1

• 50/2=25, sobra 0, logo d₃=0

• 25/2=12, sobra 1, logo d₄=1

• 12/2=6, sobra 0, logo d₅=0

• 6/2=3, sobra 0, logo d₆=0

• 3/2=1, sobra 1, logo d₇=1

• 1/2=0, sobra 1, logo d₈=1

ü Parte fracionária:

• 0,375x2 = 0,750 => d_-1=0

• 0,75x2 = 1,5 => d_-2=1

• 0,5x2 = 1,0 => d_-3=1

(10)

Exemplo de Ponto Flutuante

ü N = (+/-)1,M x 2^E

ü +407,375₁₀ = ( )₂ = (110010111,011)₂=1,M x 2^E= 1,10010111011 x 2⁺⁸

ü Sinal (positivo) = 0 (1bit)

ü E = +8, utilizando-se SM com 7 bits:

• 0001000

ü M=10010111011 (11 bits) completa com bits 0 até 24 bits

Sinal Expoente Mantissa

|---|

| 0 | 0001000 |100101110110000000000000|

|---|

1 bit 7 bits 24 bits

(11)

Exemplo de Ponto Flutuante

ü Dado o número em ponto flutuante, qual o decimal a ele associado ?

• Exemplo: 04D00000 (expoente em SM)

ü N = 1,M x 2^E

ü 0000 0100 1101 0000 0000 0000 0000 0000

ü S=0, E=+4, M=1101

ü N = +1,1101 x 2⁴= 11101 = +29,0

S expoente mantissa

(12)

Padrão IEEE 754 – Precisão Simples

ü Formato IEEE 754 para ponto flutuante

ü |31|30|29|28|27|26|25|24|23|22|21|...|0|

ü |---|

ü |S |Expoente | Mantissa |

ü |---|

ü 1 8 bits 23 bits

ü N=(+/-) 1,M x 2^E

ü Precisão simples – 32 bits no total:

• 8 bits para expoente e 23 para mantissa

ü Expoente com representação em excesso de 127 (2⁷ -1)

S expoente mantissa

(13)

Padrão IEEE 754 – Precisão Dupla

ü Formato IEEE 754 para ponto flutuante

ü |63|62|61|60|59|58|57|56|55|54|53|...|0|

ü |---|

ü |S |Expoente | Mantissa |

ü |---|

ü 1 11 bits 52 bits

ü N=(+/-) 1,M x 2^E

ü Precisão dupla – 64 bits no total:

• 11 bits para expoente e 52 para mantissa

ü Expoente com representação em excesso de 1023 (2¹⁰ -1)

S expoente mantissa

1 11 bits 52 bits

(14)

Decisões do IEEE 754

ü

Sinal mais à esquerda para facilitar a comparação com zero:

• em C2, bit mais significativo é zero para números positivos e 1 para números negativos, então pode-se utilizar

instruções que comparem inteiros

ü

Expoente antes da mantissa porque números com maior expoente são maiores e a representação do inteiro é maior

• Utiliza-se a notação excesso de N para o expoente para permitir comparação bit a bit.

–

O expoente mais negativo tem a representação 0000...000, e o

mais positivo tem a representação 1111...111

(15)

Exemplo de IEEE 754 Precisão Simples

ü N = (+/-)1,M x 2^E

ü +407,375₁₀ = ( )₂ = (110010111,011)₂=1,M x 2^E= 1,10010111011 x 2⁺⁸

ü E = +8, utilizando-se expoente com excesso de 127 com 8 bits, E=135:

• 10000111

|---|

| 0 | 10000111 |10010111011000000000000|

|---|

ü 32 bits no total

S expoente mantissa

1 8 bits 23 bits

(16)

Exemplo de IEEE 754 Precisão Dupla

ü N = (+/-)1,M x 2^E

ü +407,375₁₀ = ( )₂ = (110010111,011)₂=1,M x 2^E= 1,10010111011 x 2⁺⁸

ü E = +8, utilizando-se expoente com excesso de 1023 com 11 bits, E=1031:

• 10000000111

|---|

| 0 | 10000000111 |1001011101100000000000000000000000000000000000000000|

|---|

S expoente mantissa

(17)

Exemplo de IEEE 754 Precisão Dupla

ü N = (+/-)1,M x 2^E

ü -0,75₁₀= - 0,11₂= - 1,1₂x 2^-1

ü Sinal (negativo) = 1 (1bit)

ü E = -1, utilizando-se excesso de 1023 com 11 bits, E=1022:

• 01111111110

ü M=1 (1 bit) completa com bits 0 até 52 bits

|---|

| 1 | 01111111110 |1000000000000000000000000000000000000000000000000000|

|---|

ü 64 bits no total

S expoente mantissa

1 11 bits 52 bits

(18)

Exemplo de IEEE 754 Precisão Dupla

ü C0A00000C0A00000 representa que número em ponto flutuante?

ü 1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000 1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000

ü 64 bits

• 1 bit sinal

• 11 bits expoente

• 52 bits mantissa

ü Sinal (1 - negativo) = -1

ü Expoente (1000001010) = 1034 => 1034 – 1023 = +11

ü Mantisssa = 0000000000000000000011000000101000000000000000000000

ü N = -1,0000000000000000000011000000101₂x 2⁺¹¹

S expoente mantissa

1 11 bits 52 bits

(19)

19

Padrão IEEE 754 Casos Especiais

Sinal Expoente Mantissa Valor do número

0 0000....0000 0000....0000 +0

0 0000....0000 0000....0001

1111....1111 0,M x 2^-126 0 0000....0001

1111....1110 XXXX....XXXX 1,XXXX....XXXX x 2^(e-b) 0 1111....1111 0000....0000 + infinito

0 1111....1111 0000....0001

1111....1111 NaN

1 0000....0000 0000....0000 -0

1 0000....0000 0000....0001

1111....1111 -0,M x 2^-126 1 0000....0001

1111....1110 XXXX....XXXX -1,XXXX....XXXX x 2^(e-b) 1 1111....1111 0000....0000 - infinito

1 1111....1111 0000....0001

1111....1111 NaN

Soma em ponto flutuante

Somar 9,999x10¹ com 1,610x10^-1.

Suponha que pode-se utilizar 4 dígitos para o número e 2 dígitos para expoente.

1. Alinha o ponto decimal do número que tem o menor expoente para igualar ao expoente do número que tem maior expoente.

1,610x10^-1=0,1610x10⁰=0,016x10¹(só pode usar 4 dígitos)

Porque alinha menor com maior ? Pode perder digitos, então melhor perder dígitos menos significativos. Maior chance de resultado ser normalizado.

2.

3. 1.101 x 2^-6,

4. 1.001001 x 2⁶

5. .000000000001101 x 2⁶

6. 1.001001 x 2⁶

7. ---

8. 1.001001000001101 x 2⁶

9. Soma as mantissas

10.

11. 9,999

12. 0,016

(20)

Padrão IEEE 754 Casos Especiais

ü Casos especiais para IEEE 754 precisão simples:

• E=0(e=-127) e M=0, S=0 ou 1, representa zero

• E=0(e=-127) e M<>0, S=0 ou 1, Não normalizado, e=-126, complicado de usar

• E=255(e=+128) e M=0, S=0 ou 1, (+/-)infinito, divisão por zero

• E=255 (e=+128), M<>0, S=0 ou 1, NaN (Not a Number), 0/0, infinito - infinito

• -126 =< expoente <=+127, número normalizado

ü Menor não-normalizado

• 0,00000000000000000000001₂x2^-126=1,0₂x2^-149

ü Maior não-normalizado

• 0,11111111111111111111111₂x2^-126

ü Menor número normalizado:

• 1 para expoente e 0 para mantissa, 1,0₂x2^-126 = 10^-38

ü Maior número normalizado:

S expoente mantissa

1 8 bits 23 bits

(21)

Padrão IEEE 754 Casos Especiais

ü Casos especiais para IEEE 754 precisão dupla:

• E=0(e=-1023) e M=0, S=0 ou 1, representa zero

• E=0(e=-1023) e M<>0, S=0 ou 1, Não normalizado, e=-1022, complicado de usar

• E=2047(e=+1024) e M=0, S=0 ou 1, (+/-)infinito, divisão por zero

• E=2047 (e=+1024), M<>0, S=0 ou 1, NaN (Not a Number), 0/0, infinito - infinito

• -1022 =< expoente <=+1023, número normalizado

ü Menor não-normalizado

• 0,0000000000000000…0000001₂x2^-1022=1,0₂x2^-1074

ü Maior não-normalizado

• 0,1111111111111111111…1111₂x2^-1022

ü Menor número normalizado:

• 1 para expoente e 0 para mantissa, 1,0₂x2^-1022

ü Maior número normalizado:

• bits do expoente todos em 1, com exceção do bit menos significativo

• logo e= 2046-1023=+1023, e mantissa toda com 1s, 1,1111..1₂x2¹⁰²³

S expoente mantissa

1 11 bits 52 bits

(22)

Soma em Ponto Flutuante em Decimal

ü

Soma em ponto flutuante

ü

Somar 9,999x10

¹

com 1,610x10

^-1

.

ü

Suponha que pode-se utilizar 4 dígitos para o número e 2 dígitos para expoente.

1.

Alinha o ponto decimal do número que tem o menor

expoente para igualar ao expoente do número que tem maior expoente.

1,610x10

^-1

=0,1610x10

⁰

=0,016x10

¹

(só pode usar 4 dígitos) Por que alinha menor com maior?

•

Pode perder dígitos, então melhor perder dígitos menos

(23)

Soma em Ponto Flutuante em Decimal

2.

Soma as mantissas 9,999

0,016 ---

10,015 x 10

¹

3.

Coloca em notação científica normalizada

•

10,015x10

¹

=1,0015x10

²

4.

Ajusta para número de dígitos possível com arredondamento

•

1,0015x10

²

=1,002x10

²

5.

Verifica se houve overflow ou underflow

•

Se o expoente maior ou menor do que é possível ser representado

(24)

Soma em Ponto Flutuante em Binário

ü

Assumir 4 dígitos para número e 2 dígitos para expoente

ü

Somar 0,510 com -0,437510

ü

Converte para a base 2.

•

0,5 = 0,1x2

⁰

= 1,000x2

^-1

•

-0,4375 = -0,01110x2

⁰

= -1,110x2

^-2

ü

Desloca a vírgula do número com menor expoente. O número de deslocamentos é igual a diferença entre os expoentes. Se os expoentes são iguais, não há deslocamento.

•

-1,110x2

^-2

= -0,1110x2

^-1

= -0,111x2

^-1

ü

Soma os números

•

1,000x2

^-1

+ (-0,111x2

^-1

) = 0,001x2

^-1

(25)

Soma em Ponto Flutuante em Binário

ü

Soma os números

•

1,000x2

^-1

+(-0,111x2

^-1

) = 0,001x2

^-1

ü

Normaliza a soma se necessário

•

0,001x2

^-1

= 0,010x2

^-2

= 0,100x2

^-3

= 1,000x2

^-4

ü

Trunca resultado para número de bits que pode ser utilizado.

•

Formato de 4 dígitos para número e 2 dígitos para expoente

– 1,000x2^-4

(26)

Resultado em IEEE 754 Precisão Simples

ü Para padrão IEEE 754 precisão simples (dupla), ocorre overflow se

expoente maior que 127 (1023) ou underflow se expoente menor que -126 (-1022) então será gerada uma exceção

ü IEEE 754 Precisão simples:

• +1,000x2^-4

• Expoente => -4 + 127 = +123

• 00111101100000000000000000000000

• 3D800000

ü IEEE 754 Precisão dupla:

• +1,000x2^-4

• Expoente => -4 + 1023 = +1019

• 00111111101100000000000000000000000000000000000000…0

• 3FB0000000000000