Inscrição e circunscrição de sólidos
Objetivos
Aprender os conceitos de inscrição e circunscrição e entender as relações entre a circunferência e os sólidos inscritos e circunscritos nela.
Se liga
Para entender bem essa matéria, é muito importante lembrar dos conceitos de polígonos. Caso queira recordar estes conceitos, clique aqui para assistir a uma aula (caso não seja direcionado, pesquise por "Estudo dos polígonos" na biblioteca).
Curiosidade
Você sabia que é possível visualizar a relação entre o volume do cone e o volume do cilindro se pensarmos no cone inscrito em um cilindro de mesma base e mesma altura? Confira um gif dessa relação clicando aqui.
Teoria
Nesta aula, apresentaremos, por meio de exemplos, inscrição e circunscrição dos sólidos mais comuns: prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
Antes de tudo, precisamos entender a diferença entre inscrição e circunscrição:
• Inscrição: dizemos que uma figura está inscrita quando ela está dentro;
• Circunscrição: dizemos que uma figura está circunscrita quando ela está fora.
Esfera e cubo
Esfera inscrita em cubo
O diâmetro da esfera será igual à aresta do cubo:
2r = a ⇒ r =a 2
Esfera circunscrita em cubo
O diâmetro da esfera será igual à diagonal do cubo:
Prisma e cilindro
Prisma inscrito em cilindro
O raio da base do cilindro é o raio da circunferência circunscrita à base do prisma:
Prisma circunscrito em cilindro
O raio da base do cilindro é o raio da circunferência inscrita à base do prisma:
2r = a√3 ⇒ r =a√3 2
Pirâmide e cone
Pirâmide inscrita em cone
O raio da base do cone é o raio da circunferência circunscrita à base da pirâmide:
Pirâmide circunscrita em cone
O raio da base do cone é a apótema da base da pirâmide. A geratriz do cone é o apótema da pirâmide:
Cilindro e cone
Cilindro circular reto inscrito em cone reto:
Usando os elementos indicados nas figuras, temos:
ΔADE ∼ ΔABC ⇒g G= r
R=H − h H ΔEDF ∼ ΔABC ⇒G − g
G =R − r R = h
H
ΔADE ∼ ΔEFC ⇒ g
G − g= r
R − r=H − h h
Cilindro e esfera
Cilindro inscrito numa esfera
O raio da base r e a altura h de um cilindro inscrito numa esfera de raio R possuem a seguinte relação:
(2r)2+ h2= (2R)2
Cilindro circunscrito a uma esfera
O cilindro circunscrito a uma esfera é um cilindro equilátero cujo raio da base é igual ao raio da esfera:
h = 2r
Exercícios de fixação
1.
Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de 8 cm de aresta.2.
Determine o volume de uma esfera inscrita num cubo de aresta 6 cm.3.
Determine o volume de uma esfera inscrita num cilindro de volume 54π cm³.4.
A menor esfera na qual um paralelepípedo reto-retângulo de medidas 7 cm x 4 cm x 4 cm está inscrito tem diâmetro dea) 9 cm.
b) 10 cm.
c) 11 cm.
d) 12 cm.
e) 15 cm.
5.
Uma esfera está inscrita num cilindro equilátero cuja área lateral mede 16π cm². O volume da esfera inscrita éa) 8π.
b) 16π.
c) 323 π.
d) 2563 π.
Exercícios de vestibulares
1.
Uma esfera de raio R está inscrita em um cilindro. O volume do cilindro é igual a:a) πr³3 b) 2πr³3 c) πr³ d) 2r³ e) 2πr³
2.
Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração, na forma de um cilindro circular reto, seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura. O raio da perfuração da peça é igual a:a) 1 cm;
b) 2 cm;
c) 3 cm;
d) 4 cm;
e) 5 cm.
3.
Um designer criou pesos para papel usando cubos e esferas. Nas peças criadas, a esfera está inscrita no cubo, que tem aresta medindo 6 cm. Para dar um efeito visual, ele colocou, na parte interna do cubo e externa à esfera, um líquido vermelho. Com 1 litro desse líquido, o designer pode confeccionar, no máximo, quantas peças?a) 9.
b) 12.
c) 18.
d) 24.
e) 27.
4.
O modelo astronômico heliocêntrico de Kepler, de natureza geométrica, foi construído a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em esferas concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo:A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do diâmetro da esfera a ele circunscrita é:
a) √3;
b) √32;
c) √33; d) √34.
5.
Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é tangente ao plano α de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em um ponto F, de modo que F, A e T são colineares.Observe a ilustração. Considere o cone de vértice F, cuja base é o círculo de centro T, definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa. Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância FT, em decímetros, corresponde a:
a) 10;
b) 9;
c) 8;
d) 7.
6.
Um cubo tem quatro vértices nos pontos médios das arestas laterais de uma pirâmide quadrangular retangular e os outros quatro na base da pirâmide, como mostra a figura abaixo.Qual é a razão entre o volume do cubo e o volume da pirâmide?
a) 34. b) 12. c) 38. d) 18.
7.
Bolas de tênis são vendidas, normalmente, em embalagens cilíndricas contendo três unidades.Supondo-se que as bolas têm raio a em centímetros e tangenciam as paredes internas da embalagem, o espaço interno dessa embalagem que NÃO é ocupado pelas bolas é, em cm³,
a) 2πa³ b) 4πa³3
c) πa³3 d) a³ e) 2πa³3
8.
Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto-retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões do paralelepípedo é 32 e o volume do cone é π. Então o comprimento g da geratriz do cone é
a) √5.
b) √6.
c) √7.
d) √10.
e) √11.
9.
Algumas caixas de pizza, para entrega, têm o formato de um prisma regular de base hexagonal.Considere uma caixa destas com altura de 4 cm e, como base, um polígono de perímetro 72 cm. Se a pizza tem o formato de um cilindro circular, então o volume máximo de pizza que pode vir nesta caixa é:
a) 216√3 cm³;
b) 576π cm3; c) 864√3 cm3; d) 108π cm³;
e) 432π cm³.
10.
De um cristal de rocha, com o formato de uma esfera, foi lapidada uma joia na forma de um octaedro regular, como mostra a figura seguinte.Se tal joia tem 9√2 cm³ de volume, quantos centímetros cúbicos de rocha foram retirados do cristal original para lapidá-la? (Use: π = 3).
a) 36√2.
b) 32√2.
c) 24√2.
d) 18√2.
e) 12√2.
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Gabaritos
Exercícios de fixação 1. Solução: 𝟐𝟓𝟖𝛑 √𝟑 𝐜𝐦³
Como a esfera está circunscrita ao cubo, temos que 2R = a√3 Dessa forma, 2R = 8√3 ⇒ R = 4√3
Para calcular o volume dessa esfera, basta aplicarmos a sua fórmula:
Vesfera=4 3πR3 Vesfera=4
3π(4√3)3 Vesfera=4
3π ⋅ 64 ⋅ 3√3 = 258π √3 cm³ 2. Solução: 𝟒𝛑 √𝟑 𝐜𝐦³
Como a esfera está inscrita no cubo, temos que 2R = a Dessa forma, 2R = 6 ⇒ R = 3
Para calcular o volume dessa esfera, basta aplicarmos a sua fórmula:
Vesfera=4 3πR3 Vesfera=4
3π ⋅ (3)3 Vesfera=4
3π ⋅ 3√3 = 4π √3 cm³ 3. Solução: 𝟒𝛑 √𝟑 𝐜𝐦³
Note que, quando uma esfera está inscrita num cilindro, temos:
RESFERA= RCILINDRO= R RCILINDRO= 2RESFERA= 2R
Dessa forma, podemos escrever o volume do cilindro como:
VCILINDRO= Ab∙ H = π(RCILINDRO)2∙ HCILINDRO= πR2∙ 2R = 2πR3= 54π Calculando o volume da esfera, temos:
VESFERA=4 3π(3)3 VESFERA=4
3π3√3 = 4π √3 cm³ 4. A
O diâmetro da menor esfera corresponde à diagonal do paralelepípedo, ou seja, √72+ 42+ 42= 9 cm
5. C
Sabendo que a área lateral de um cilindro equilátero de raio r é dada por 4πr2, temos:
4πr2= 16π → r = 2 cm
Portanto, sendo o raio da esfera inscrita igual ao raio do cilindro, podemos concluir que o volume da esfera é:
4π
3 ∙ r3=4π
3 ∙ 23=32π 3 cm3
Exercícios de vestibulares 1. E
De acordo com a figura, o raio da esfera possui a mesma medida do raio da base do cilindro, e a altura do cilindro vale o dobro do raio.
Vcilindro=πR²h =πR²(2R) = 2πR³ 2. B
Seja r o raio da base do cilindro. O triângulo é retângulo, pois 62 +82= 102
Logo sua base será A = 6 . 82 = 24 Portanto 6 . r
2 + 8 . r
2 + 10 r
2 = 24 12r = 24
r = 2 3. A
Observe:
V(líquido) = V(cubo) – V(esfera)
V(líquido) = 63−4π33
3 (considerando π = 3,14) V(líquido) = 102,96 cm³
Número de peças com 1 litro = 102,96 cm1000 cm33≅ 9,7 Resposta: no máximo, 9 peças.
4. C
Como o cubo está inscrito na esfera, teremos:
R =a√3
2 ⇔ 2R = a√3 ⇔2Ra = 1
√3⇔ a
2R=√3
3 5. C
Considere a figura:
Sabendo que a área da superfície esférica é igual à área do círculo de centro T e raio TQ, vem:
4 ∙ π ∙ AP2= π ∙ TQ2↔ 4 ∙ 32= TQ2→ TQ = 6 dm
Logo, como FQ é tangente à esfera no ponto P, segue que TQ = PQ Da semelhança dos triângulos FTQ e FPA, obtemos:
FP̅̅̅̅
FT̅̅̅̅=PA̅̅̅̅
TQ̅̅̅̅⇔FP̅̅̅̅
FT̅̅̅̅=3
6⇔ FP̅̅̅̅ =1 2FT̅̅̅̅
Finalmente, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo FPA, encontramos:
FA2= PA2+ FP2⇔ (FT̅̅̅̅ − AT̅̅̅̅)2= PA2+ (1 2⋅ FT̅̅̅̅)
2
⇔ FT2− 6 ⋅ FT + 32= 32+1
4⋅ FT2⇔1
4⋅ FT2− 2 ⋅ FT = 0
⇔ FT̅̅̅̅ = 8 dm 6. C
Seja x o lado do cubo e y o lado da base da pirâmide. Se a face superior do cubo divide as arestas laterais da pirâmide ao meio, os lados da base da pirâmide são o dobro do lado do cubo: y = 2x. O mesmo acontece com a altura da pirâmide: H = 2x. Volume do cubo: Vc= x³
Volume da pirâmide:
Vp=y².H
3 ↔ Vp=(2x)2(2x)
3 =8x³
3 Assim, temos:
Vc Vp=3
8
7. A
Primeiro, é importante reparar que h = 6r.
Agora, sabemos que o volume do cilindro é πr²h = πr²6r = 6πr³. Temos que calcular o volume de cada esfera: 4πr³3 . Como são três iguais, temos que o volume total das três é: 4πr³.
Por fim, o volume do espaço não ocupado é 6πr³ – 4πr³ = 2πr³. Como o raio r = a, então, 2πa³.
8. D b a=3
2⇒ {b = 3x a = 2x
Aplicando Pitágoras em ABC: g² = x² + 9x², g = x√10 O volume do cone é π. Logo: πx².3x3 =π⇒ x³= 1 ⇒ x = 1 Assim g = √10
9. E
Como o perímetro da base do prisma é igual a 72 cm, segue que a aresta da base desse prisma mede:
l = 72
6 = 12 cm
Portanto, sabendo que o raio do cilindro é igual a l √32 = 12 √32 = 6 √3 cm e a altura da caixa é 4 cm, temos que o volume máximo de pizza que pode vir na caixa é π . (6 √3)2 . 4 = 432 πcm3
10. D
Pela figura, vemos que a joia é formada por duas pirâmides iguais. Além disso, a altura dessas pirâmides é igual ao raio da esfera e a base é um quadrado cuja diagonal mede o diâmetro da esfera. Assim, temos:
h = r
l√2 = 2r ⇒ l =√22r
Agora, calculamos o volume da joia:
Vjoia=2 ⋅ l2⋅ H 3 =2
3(2r
√2)
2
⋅ r
2 3(2r
√2)
2
⋅ r = 9√2 ⇒ r3=27√2 4
Calculando o volume da esfera:
Vesfera=4πr3 3 =4
3⋅ 3 ⋅27√2
4 = 27√2
Por fim, basta fazermos 27√2 − 9√2 = 18√2
