1 EXERCÍCIOS 3º ANO ENS. MÉDIO
POLINÔMIOS
1. (UFGRS) O polinômio (m² - 4)x³+(m-2)x² - (m+3) é de grau 2 se, e somente se,
(A) m= - 2 (B) m= 2 (C) m = ±2 (D) m≠2 (E) m≠ -2
2. (UFRGS) O valor de a para que
a2 1 x
4 a ² a 2 x ³ ax ² x seja um polinômio do 2º grau na variável x é:
(A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 1 (E) 2
3. (UFRGS) Se P(x) = 3x²+12x-7, então P(-1) vale:
(A) -16 (B) -7 (C) 0 (D) 3 (E) 24
4. (UFRGS) O polinomio P(x) do 1º grau tal que P(1)=5 e P(-1)=1 é:
(A) x+4 (B) 2x+3 (C) 3x+2 (D) 3x+4 (E) 5x
5. Dado o polinômio P x x
4 x
3 x
2 x 1 , então P(-1); P(1) e P(-2), respectivamente são:
(A) -1; 3 ; 9 (B) -1; -3 ; 9 (C) -1; 3 ; -9 (D) 1; 3 ; 9 (E) -1; -3 ; -9
6. A partir do polinômio
x x
4 x
3 x
2 x 1
P ,então
P21é:
(A)
16 1
(B)
16 5
(C)
16 1(D)
5 1(E) N.d.a.
7. Dado o polinômio p ( x ) 4 x
3 2 x
2 x 1 , calculando
p(3), obteremos:
144
233
333
122
N.d.a.
8. Calcule a e b de modo que os polinômios sejam idênticos P(x) = (2a +6)x³ + (3b-4)x² e Q(x)=2x³+5x².
Resp. -2 e 3.
9. Dados os polinômios
A(x)2x²5x6e
106
³ )
(x x x
B
, dê o que se pede:
a)
A(x)B(x). Resp.
x³2x²x4b)
A(x)B(x). Resp.
x³2x²11x16c)
B(x)A(x). Resp.
x³2x²11x16d)
A(x)B(x). Resp.
60 86
² 10
³ 18 5
2x5 x4 x x x
10. Sendo os polinômios
3 2
)
(x x4x3x2 x
P
e
3 2
)
( x x
3 x
2 x
Q , calcule o valor numérico
de P(2) – Q( - 1).
(A) 8
(B) 12
(C) 28
(D) 90
(E) n.d.a.
2 11. Considere os polinômios
P(x) x³x,
4 2
²
³ 6 3 )
( x x
4 x x x
Q e calcule:
a)
P(x)
². Resp.
x62x4x²b)
P(x).Q(x).Resp.
x x x x x x
x 6 4 4 3 2 ² 4
3 7 6 5 4 3
12. Obtenha o quociente e o resto de cada divisão abaixo:
13.
A(x)x²3x4por
B(x) x114.
A(x)x³x²11x10por
B(x) x215.
A(x)3x³9x²2x6por
B(x)3x²216.
A(x)7x²8por
B(x)x317. A ( x ) x
4 5 x ² x por
B(x) x²118. Dê o quociente e o resto da divisão de 9
4 4 )
( x x
4 x
3 x
2
p por g ( x ) x
2 x 1 . 19. Determine o valor do resto da divisão entre
1 2
4 )
( x x
3 x
2 x
p e
g(x) x2, usando o teorema do resto.
20. (UFRGS) A divisão de P(x) por x²+1 tem quociente x-2 e resto 1. O polinômio P(x) é:
(A) x²+x-1 (B) x²-x-1 (C) x²+x (D) x³-2x²+x-2 (E) x³-2x²+x-1
21. (UFRGS) Na divisão do polinômio A(x)=x³+x²-10x+8 pelo binômio x-1, obteve-se o quociente Q(x). As raízes da equação Q(x)=0 são:
(A) 0 e1 (B) -1 e 0 (C) -2 e 4 (D) -4 e 2 (E) -1 e 2
22. Encontre o quociente da divisão do polinômio
6²
46x x
x
pelo binômio x + 2. Este exercício pode ser resolvido pelo dispositivo de Briot-Ruffini.
23. (UFRGS) O quociente da divisão de x³+5x- 1 por x-2 é:
(A) x²+2x-19 (B) x²+x+3 (C) x²-2x+1 (D) x²+2x-1 (E) x²+2x+9
24. Calcule através do dispositivo de Briot- Ruffini o quociente e o resto da divisão de
6 5 8 3 )
( x x
3 x
2 x
p por
g(x)x2.
25. Determinar o valor de k, de modo que a divisão do polinômio
A(x)3x²x4pelo binômio x+k seja exata.
26. Determinar, usando o dispositivo Briot- Ruffini, o quociente e o resto da divisão do polinômio
A(x)4x³3x²8por
B(x) x127. (UFGRS) Uma das raízes do polinômio
0 18 9
² 2
³ x x
x
é -2. A soma das outras
raízes é:
(A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 1 (E) 2
28. O polinômio representado no gráfico abaixo
é:
3 (A)
x³2x²x2(B)
x³5x²x2(C)
x³x²x2(D)
x³x²x(E) N.d.a.
29. (UFGRGS) Considere o gráfico abaixo.
Esse gráfico pode representar a função definida por:
(A)
x³5x²20(B)
x³5x²4x20(C)
x4 5x³20x4(D)
x4 5x34x20(E)
x4 5x34x²20x30. (Unicruz) Uma equação algébrica possui como raízes os valores 4, 3 e 2. Esta equação é:
(A)
2x³3x²4x40(B)
x³x²2x80(C)
x³2x²x20(D)
x39x226x240(E)
4x33x²2x031. (UFRGS) O resto da divisão de x³+ax²-x+a por x-1 é 4. O valor de a é;
(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 2 (E) -2
32. (UFRGS) Para que o polinômio P(x) = x²+(a- b)x-2a seja divisível por x-2, a e b devem satisfazer:
(A) a qualquer número real e b = 2.
(B) a=2 e b qualquer numero real (C) somente para a=2 e b=2.
(D) somente para a=0 e b=2 (E) a e b qualquer valor real.
GEOMETRIA PLANA
33. (UFSM) Na figura AB é paralelo a CD.
Sendo CDB=150º,então CBD mede:
A. 10º B. 8º C. 5º D. 3º E. N.d.a.
34. (EPCAR) Observe a figura abaixo.
Calcule o valor da expressão 5z-(5y+4x), considerando r//s//t.
A. 60º
B. 50º
C. 70º
D. 40º
E. 30º
4 35. (UCS) Na figura a seguir considere que as
retas AB e EF são paralelas e que os ângulos BCD, CDE e DEF medem, respectivamente, 98º, 51° e 48°.
Nessas condições, é correto afirmar que o ângulo ABC mede:
(A) 94°
(B) 96°
(C) 95°
(D) 98°
(E) 99°
36. (UCMG) Na figura, o ângulo ADC é reto.
O valor, em graus, do ângulo CBD é:
(A) 95 (B) 100 (C) 105 (D) 120 (E) 130
37. (UFRGS) No triângulo a seguir tem-se que AB=AC, AD, BD e CD são as bissetrizes do triângulo e o ângulo D vale o triplo do ângulo A, a medida do ângulo A é:
(A) 12°
(B) 15°
(C) 18°
(D) 24°
(E) 36°
38. (PUCS) Na figura, BC=AC=AD=DE.
O ângulo CAD mede:
(A) 10°
(B) 20°
(C) 30°
(D) 40°
(E) 60°
39. (UFRGS) Dada a figura.
5 Qual o valor de x?
(A) 2,15 (B) 2,35 (C) 2,75 (D) 3,15 (E) 3,35
40. (UFRGS) O retângulo ABCD do desenho abaixo tem área de 28cm². P é o ponto médio do lado AD e Q é o ponto médio do segmento AP.
A área do triângulo QCP é, em cm², de:
(A) 3,24 (B) 3,5 (C) 3,75 (D) 4 (E) 4,25
41. Na figura abaixo, a malha quadriculada é formada por quadrados de área 1. Os vértices do polígono sombreado coincidem com vértices de quadrados dessa malha. A área escura é:
a) 24 b) 26 c) 32 d) 12 e) 36
42. A figura abaixo demonstra um quadrado de lado 4cm, onde se encontra uma circunferência que toca os lados do quadrado como mostra a figura. Determine a área pintada.
(A) 8cm² (B) 16cm² (C) 12cm² (D) 10cm² (E) 32cm²
43. A figura abaixo determina um losango ABCD inscrito em um retângulo MNOP.
Sabendo que do losango a diagonal maior d2 é 10 cm e a menor d1é sua metade, determine a área pintada.
(A) 8cm²
(B) 16cm²
(C) 12cm²
(D) 10cm²
6 (E) 25cm²
44. Determine a área escura na figura abaixo ( Use para PI=3,14): Resp
(A) 13,76cm² (B) 16cm² (C) 12,25cm² (D) 10,23cm² (E) N.d.a.
45. Determine a área pintada no retângulo cujas medidas, em cm, estão no desenho abaixo:
a) 48cm² b) 36cm² c) 52cm²
d) 68cm² e) 102cm².
46. Uma porção de terra 100m x 100m determina uma unidade de área chamada hectare (10.000m²). Sabendo disso, termos abaixo a representação do terreno ocupado pelo sítio anunciado no jornal. O anuncio deve comunicar a medida da área em hectares de terra e o comprimento da cerca desse sítio. Determine essas medidas completando o anúncio.
Vende-se sítio no Litoral com 9 .hectares e 1400 metros de cerca.
47. Temos um triângulo eqüilátero (três lados iguais) de lado 4cm. Qual é a área deste triângulo?
(A) 8cm² (B) 16cm² (C) 12cm² (D)
4 3cm²(E) 25cm²
48. Um trapézio tem a base menor com 2cm de comprimento, a base maior é igual a 3cm e a altura igual a 10cm. Qual a área deste trapézio?
(A) 25cm²
(B) 36cm²
(C) 52cm²
(D) 60cm²
7 (E) N.d.a.
49. (UFRGS) Seis octógonos regulares de lado 2 são justapostos em um retângulo, como representado na figura abaixo. A área escura é:
(A) 25u.a.
(B) 36u.a.
(C) 52u.a.
(D) 60u.a.
(E) 48u.a.
50. (UFRGS) Um triângulo eqüilátero foi inscrito no hexágono regular, como mostra a figura abaixo.
Se a área do triângulo eqüilátero é 2 cm², então a área do hexágono regular é:
a)
2 2b) 3 c)
2 3d)
2 2e) 4.
51. Determine a área da superfície total da figura dada:
Adote 3,14 para PI.
(A) 25,32cm² (B) 36cm² (C) 52cm² (D) 89,13cm² (E) 45,89cm².
52. No desenho abaixo
x² y²é:
53. A área pintada entre os dois quadrados idênticos de área 8cm², cujo vértice de um é o
centro do outro, é:
a) 2cm² b) 4cm² c) 6cm² d) 8cm² e) 16cm²
54. Determine a área tracejada indicada na
figura abaixo:
8 (A) 25cm²
(B) 36cm² (C) 52cm² (D) 60cm² (E) 64cm².
55. (UFPR) Um cavalo está preso por uma corda do lado de fora de um galpão retangular fechado de 6 metros de comprimento por 4 metros de largura. A corda de 10 metros de comprimento e está fixada num dos vértices do galpão, conforme ilustra a figura abaixo.
Determine a área total da regia em que o animal pode se deslocar.
a) 88 m ²
b)
(75
24)m²c) 20 m ²
d)
(100
24)m²e) 176 m ²
56. Em um círculo de raio r está inscrito um triângulo isósceles, cujo lado maior está sobre o diâmetro do círculo e seus vértices tangenciam o mesmo, sendo assim é correto afirma que a área desse triângulo vale:
a) r² b) 2r c) r ² d) ² e) 4r
POLIEDROS E PRISMAS
57. (UFPA) Um poliedro que tem 6 faces e 8 vértices. O número de arestas é:
a) 6 b) 8 c)10 d)12 e) 14
58. Num poliedro convexo, o número de arestas é 16 e o número de faces é 9. Determine o número de vértices desse poliedro:
(A) 6 vértices.
(B) 8 vértices.
(C) 9 vértices.
(D) 10 vértices.
(E) 12 vértices.
59. (FER) Um poliedro convexo possui 10 faces e 23 arestas. O numero de vértices deste poliedro é igual a:
A. 91.
B. 17
C. 15
D. 13
E. 11
9 60. (FER) Um poliedro convexo possui 10
vértices e o número de arestas igual ao dobro de número de faces. O número de arestas deste poliedro é igual a.
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 E. 16
61. (FER) Um poliedro convexo possui oito faces triangulares, cinco faces quadrangulares, seis pentagonais e quatro hexagonais. O número de vértices deste poliedro é igual a:
A. 49 B. 51 C. 24 D. 26 E. 28
62. (UFGRS) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente,
A. 34 e 10 B. 19 e 10 C. 34 e 20 D. 12 e 10 E. 19 e 12
63. Quantos vértices têm o poliedro convexo, sabendo-se que ele apresenta uma face hexagonal e seis faces triangulares?
(A) 6 vértices.
(B) 7 vértices.
(C) 9 vértices.
(D) 10 vértices.
(E) 12 vértices.
64. (PUC-SP) O número de vértices de um poliedro convexo constituído por 12 faces triangulares é:
a) 4 b) 12 c)10 d)6 e) 8
65. (ACAFE-SC) Um poliedro convexo tem 15 faces triangulares, 1 face quadrangular, 7 faces pentagonais e 2 faces hexagonais. O número de vértices desse poliedro é:
a) 25 b) 48 c)73 d)96 e) 71
66. Um prisma quadrangular regular tem 7cm de aresta lateral e 5 cm de aresta da base. Pense sobre a planificação desse prisma e determine a área lateral dele.
(A) 140 cm² (B) 150cm² (C) 160 cm² (D) 170 cm² (E) 180 cm²
67. (UFRGS) Deseja-se elevar em 20 cm o nível de água da piscina de um clube. A piscina é retangular, com 20 m de comprimento e 10 m de largura. A quantidade de litros de água a ser acrescentada é:
A. 4000.
B. 8000
C. 20000
D. 40000
E. 80000
10 68. Determine a área total da superfície do
prisma abaixo:
(A) 25u.a.
(B) 36u.a.
(C) 52u.a.
(D) 60u.a.
(E) 72u.a.
69. O paralelepípedo tem seis faces, observando o exemplo abaixo, determine o valor da superfície desse paralelepípedo em cm².
a) 128.
b) 192 c) 176.
d) 72.
e) N.d.a.
70. Na figura abaixo, temos uma face delimitada pelos vértices ABCD, calcule a área dessa face sabendo que o cubo tem aresta de 2cm.
71. (UFP) A base de um prisma hexagonal regular está inscrita num círculo de 10 cm de diâmetro. A altura desse prisma, para que a área lateral seja 201 cm² mede:
A. 4,5 cm B. 6,7 cm C. 7,5 cm D. 9,3 cm E. 12,6 cm
72. Dê a superfície de um prisma hexagonal de aresta da base 3cm e altura 6cm representado abaixo.
(A) 88 cm ²
(B)
(75
24)cm²(C) 20 cm ²
(D)
(100
24)cm²(E)
27( 34)cm²
73. Um prisma triangular regular tem volume de 20 3 cm
3e aresta lateral de 5cm. Calcule a aresta da base desse prisma.
a) 4cm
11 b) 6cm
c) 7cm d) 8cm e) 9cm
74. Dada a figura abaixo, determine o comprimento da aresta x, sabendo que o segmento AB mede 50 cm .
a) 4cm b) 6cm c) 10cm d) 3cm e) N.d.a.
75. Um prisma triangular regular tem aresta da base 2 cm e aresta lateral 20 3 cm, determine o volume desse prisma.
a) 6 cm³ b) 60 cm³ c) 270 cm³ d) 35,7 cm³ e) N.d.a.
76. (UFRGS-09) Na figura abaixo está representada a planificação de um prisma
hexagonal regular de altura igual à aresta da base.
77. Um prisma triangular regular apresenta aresta da base 2m e aresta lateral 10cm, determine a área total da superfície desse prisma. (Use 3 1 , 7 ).
(A) 13,76cm² (B) 63,4cm² (C) 12,25cm² (D) 10,23cm² (E) N.d.a.
PIRÂMIDES E CILINDROS
78. Determine a área da superfície de uma pirâmide quadrangular de aresta 10cm e altura 5cm.
a. 220cm ²
b. 200cm ²
c. 320cm ²
d. 326cm²
e. N.d.a.
12 79. (PUC) A área da base de uma pirâmide
quadrangular regular é 36m². se a altura da pirâmide mede 4m, sua área total é, em m², igual a:
A. 38 B. 48 C. 96 D. 112 E. 144
80. (PUC) Se uma pirâmide triangular regular a altura tem 15 cm e o perímetro da base 54 cm, então o apótema da pirâmide, em cm, vale:
A. 3 B.
C. 6 D. 7 E.
81. Dê o volume da pirâmide inscrita no cubo de aresta 4cm.
a. 21 , 3 cm
3b. 13 3 cm
3c. 12 , 5 cm
3d. 43,5cm³ e. N.d.a.
82. (UFRGS) A figura abaixo representa a planificação de um sólido.
O volume desse sólido, de acordo com as medidas indicadas é:
A. 180 B. 360 C. 480 D. 720 E. 1440
83. Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas medindo 2, a sua altura mede:
A. 1 B.
C.
D.
E.
84. (UFRGS) O volume de um tetraedro regular de aresta 1 vale:
A. 1 B.
C.
D.
E.
85. Dê o volume de uma pirâmide inscrita num prisma hexagonal de aresta 2cm e altura 3cm.
a. 3 3cm
3b. 16 3 cm
3c. 6 3 cm
3d.
32
3 cm
e. n.d.a.
13 86. Dê o volume de uma pirâmide inscrita num
prisma triangular reto de aresta da base 4cm e altura 5 cm.
a. 3
32 3 cm
b. 3
33
20 cm
c. 3
33
2 cm
d. 5
32 3 cm e. n.d.a.
87. Dê o volume de uma pirâmide inscrita num prisma triangular reto cuja aresta da base é 8cm e altura 10 cm.
a. 3 3cm
3b. 16 3 cm
3c. 160 3 cm
3d. 10 3 cm
3e. n.d.a.
88. Dê o volume de um pirâmide inscrita num prisma hexagonal de aresta da base 3cm e altura 6cm.
a. 3
32 3 cm
b. 3
33
27 cm
c. 3
36
27 cm
d. 3
34
27 cm
e. n.d.a.
CILINDROS
89. (UFRGS) Um pedaço de cano de 30 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro interno, encontra-se na posição vertical e possui base inferior vedada. Colocando-se dois litros de água no interior, a água:
A. Ultrapassa o meio do cano.
B. Transborda.
C. Não chega ao meio do cano.
D. Enche o cano até a borda.
E. Atinge exatamente o meio do cano.
90. (UNISINOS) O valor do raio de um cilindro circular reto que possui a área lateral e o volume expresso pelo valor numérico é:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
91. (UFRGS) O retângulo da figura, com base BD igual ao dobro da altura AB, é transformado na superfície lateral de um cilindro circular de modo a AB coincidir com CD.
Se o volume do cilindro é 8/π, então o perímetro é:
A. 9 B. 12 C. 16 D. 24 E. 27
92. (UFRGS) Um cilindro de revolução cuja área total é igual ao quádruplo da área lateral e cuja secção meridiana tem 14 cm de perímetro, tem área da base, em cm², igual a:
A. π
14 B. 4π
C. 6π D. 9π E. 16π
93. (UFRGS) Um tanque de chapa de comprimento 3 tem a forma de um semicilindro de diâmetro da base 2.
A área da chapa é:
A. 2π B. 3π C. 4π D. 6π E. 8π
94. Determine a área da superfície de um cilindro cujo raio da base é r = 3 cm e altura h=
5cm.
a. 20 cm ² b. 200 cm ² c. 48 cm ² d. 45 cm ² e. n.d.a.
95. Determine a área da superfície de um cilindro cujo raio da base é r =10 cm e altura h=5 cm
a. 300 cm ² b. 200 cm ² c. 48 cm ² d. 45 cm ² e. n.d.a.
96. Determine a área da superfície e o volume de um cilindro eqüilátero cujo raio da base é r = 6cm.
a. 243 cm
2; 433 cm ³ b. 216 cm
2; 432 cm ³ c. 216 cm ²; 433 cm
3d. 219 cm ²; 422 cm
3e. n.d.a.
97. Determine a área o volume de um cilindro eqüilátero cuja seção meridional tem 16cm² de área.
a. 16 cm
2; 48 cm ³ b. 48 cm
2; 16 cm ³ c. 48 cm ²; 36 cm
3d. 48 cm ²; 20 cm
3e. n.d.a.
98. Determine o volume de um cilindro eqüilátero cuja diagonal da seção transversal é
72 cm.
a. 45 cm ³ b. 54 cm ³ c.
27
cm3d.
22
cm3e. n.d.a.
99. A razão entre os volumes de dois cilindros cuja altura de um mede o dobro da altura do outro.
a. 2
15 b. 4
c. 8 d. 3/4 e. n.d.a.
100. O volume que ainda podemos encher é de:
a. 800 cm ³ b. 800 0 cm ³ c. 800 00 cm ³ d. 800 000 cm ³ e. n.d.a.
101. Determine o volume do cilindro que comporta exatamente três bolas de diâmetro 5cm.
a.
93,75cm³b.
54,45cm³c. 125 cm ³ d. 132πcm³ e. n.d.a.
102. Determine o volume de um cilindro eqüilátero cuja diagonal da seção transversal é
72 cm.
a. 45 cm ³ b. 32πcm³ c. 54 cm ³ d.
27
cm3e. n.d.a.
ESFERAS E CONES.
h r v
rg Sl
r Sb
3 ² 1
²
3 ³ 4
² 4
r v
r S
103. Um cone eqüilátero tem raio r 3 cm da base, qual é a área lateral desse cone?
(A) 45 cm ²
(B) 54 cm ²
(C)
27
cm²(D)
22
cm²16 (E) 18 cm ²
104. Dê o volume de um cone circular reto cuja altura é 4cm e a geratriz mede 5cm.
(A) 45 cm ³ (B) 54 cm ³ (C)
27
cm3(D)
22
cm3(E) 12 cm ³
105. A superfície da base de um cone reto mede
²
16 cm , quanto mede o raio desse cone?
4cm.
(A) 4cm (B) 10cm (C) 15cm (D) 12cm (E) 13cm
106. Calcule o volume de areia contida na ampulheta abaixo, sabendo que a mesma ocupa 25% do volume do cone , como mostra a figura.
(A) 45 cm ³ (B) 54 cm ³ (C)
27
cm3(D)
22
cm3(E) 25 cm ³
107. Duas esferas de aço cujos raios são 1 e 2 cm respectivamente, forma fundidas e modeladas como um cilindro de altura 3cm.
Qual é o raio desse cilindro?
(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
(E) N.d.a.
108. A rotação do triângulo abaixo descreve dois cones, um com rotação em AC e outro na rotação de AB, calculando a razão entre o volume do cone de maior raio pelo volume do cone de menor obtemos:
A. 3/2
B. 1/3
C. 3/4
D. 3/5
E. 1/2
17 109. (UFRGS) Uma esfera de raio 2cm é
mergulhada num copo cilíndrico de 4cm de raio, até encostar no fundo, de modo que a água do copo recubra exatamente a esfera. Antes da esfera ser colocada no copo, a altura da água era:
A. 27/8cm.
B. 19/3cm C. 18/5cm D. 10/3cm E. 7/2cm
110. Uma esfera de raio R = 5 cm é seccionada por um plano que dista de seu centro d=3cm.
Qual a área dessa secção circular?
(A) 36 cm ³ (B) 54 cm ³ (C)
16
cm3(D)
25
cm3(E) N.d.a.
111. Uma esfera está inscrita no cubo cujo volume é 8 cm³, qual é o volume dessa esfera?
(A) 54 cm ³ (B)
16
cm3(C)
3/4
cm3(D) 4 / 3 cm ³ (E) N.d.a.
112. A figura abaixo mostra um cubo de aresta 4 cm inscrito em uma esfera. Sabendo que os vértices do cubo tangenciam a superfície da esfera determine o volume da esfera.
(A) 12 cm ³ (B)
16
cm3(C)
3/4
cm3(D) 4 / 3 cm ³ (E) N.d.a.
113. Dentro de um copo cilíndrico encontra-se
uma bolinha de bilhar cujo raio é
aproximadamente 2 cm. Sabendo que a esfera
tangencia a base e a superfície lateral desse
copo, determino a diferença entre o volume do
copo e o da esfera.
18 (A) 54 cm ³
(B)
16/3
cm3(C)
3/4
cm3(D) 4 / 3 cm ³ (E) N.d.a.
114. Duas esferas de aço cujos raios são 1 cm e 2 cm respectivamente, serão derretidas e fundidas na forma de um cilindro com altura de 3cm. Sendo assim, qual é o raio desse cilindro?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. n.d.a.
NÚMEROS COMPLEXOS.
115. (FMU-SP) O resultado da equação 0
5 2
² x
x no conjunto dos números
complexos é dada por:
a) i . b) 2 i c) 1 2 i d) 2 i e) N.d.a.
116. Determine p para que Z=2p+1-7i seja um número imaginário puro.
(A) -1/2 (B) 1/2 (C) 2 (D)-2 (E)n.d.a 117. Determine p para que Z=-7+(9p+3)i seja
um número real.
(A) -1/4 (B) -1/3 (C) -2 (D)2/3 (E)n.d.a
118. Calcule o valor positivo de x para tornar
verdadeira a igualdade
i i
x
x² ) 40 6 (
40
.
(A) 3 (B) 1 (C) 2 (D)5 (E)n.d.a 119. Dados z
1 3 2 i , z
2 5 i e z
3 3 i ,
calculando z
1 z
2, z
1 z
2e z
2 z
3obtemos, respectivamente os seguintes resultados:
(A) 2+3i; 8+i; -5+4i (B) -2+3i; 8+i; -5+4i (C) 8+i; -2+3i; -5+4i (D) -5+4i;-2+3i; 8+i;
(E)n.d.a
120. A partir de z
1 1 / 2 3 i e z
2 5 / 6 1 / 5 i , determine o resultado de z
1 z
2(A) 4/3+(16/5)i (B) -4/3+(16/5)i (C) 4/3- (16/5)i (D)- 4/3-(16/5)i (E)n.d.a
121. Seja z
1 2 5 i e z
2 5 8 i , então
2
1
z
z é:
i. 20 3 i ii. 7 3 i iii. 7 3 i iv. 20 3 i
v. 3 7 i
122. O conjugado do número complexo
i i
z 3 3 2 é:
i. 9+2i
19 ii. 9-12i.
iii. 11-3i iv. 11+3i
v. Nenhuma das alternativas anteriores.
123. Dado z 5 2 i , então o número z multiplicado pelo seu conjugado é:
i. 2 ii. 29 iii. 24 iv. 22 v. 21
124. O conjugado de um número complexo bi
a
z é z a bi , portanto resolva i
z
z 10 4
2 e determino número z.
i. 10/3+4i ii. 1/12-19/2 i iii. 2+4i iv. 3+4i v. N.d.a
125. Calcule z para que z z 38 i 2
5 1 . i. 10/3+4i
ii. 1/12-19/2 i iii. 2+4i iv. 3+4i v. N.d.a
126. Dê o número z, tal que 5 z z 12 16 i . i. 10/3+4i
ii. 1/12-19/2 i iii. 2+4i iv. 3+4i v. N.d.a
127. Dados os números complexos z
1 1 2 i e i
z
2 2 , calcule
2 1
z z
:
(A) 5 3 4 i
(B) 2 5 i
(C) 5
3 4 i
(D) 2
3 4 i
(E)n.d.a
128. A partir de z
1 3 2 i e z
2 1 i , determine
2 1
z z
:
(A) 5 2 i
(B) 2 5 i
(C) 5
3 4 i
(D) 2
4 i
(E)n.d.a
129. (UFRGS) Efetuando as operações indicadas
na expressão ,
2 3 4 1
5
i i i
i
obtemos:
(A) 1-i.
(B) 1+i.
(C) -1 –i.
(D) I (E) -i.
130. Dados os números complexos z
1 2 3 i e i
z
2 2 , o número que representa
2 1
z z
é:
a) 5 4 7 i
b) 5 4 7 i
c) 3 4 7 i
d) 6
4
7 i
20 e) 3
4 7 i
131. Sendo o número complexo z
2 3 3 i , o inverso de z
2é:
(A) 6 2 i
(B) 6 3 i
(C) 3
3 2 i
(D) 6 1 i
(E)n.d.a
132. Observando a potenciação do imaginário, calcule i
92; i
45; i
310, obtemos nessa ordem:
(A) 1; i ;-1 (B) 1; -i; -1 (C) 1; -1; 1 (D)i; -
i; i (E)1; -1; -i.
133. Determine o módulo, argumento e a forma trigonométrica do número complexo
i
z 2
3 2 3
1
.
4 ) (cos 4
2 2 )
(
isen z
A
6 ) (cos 6
3 )
(
isen z
B
4 ) 4 7
7 (cos 2 2 )
(
isen z
C
4 ) (cos 4
2 3 )
(
isen z
D
(E) N.d.a.
134. Determine a forma trigonométrica do número complexo z
1 2 2 i
4 ) (cos 4
2 2 )
(
isen z
A
6 ) (cos 6
2 )
(
isen z
B
4 ) 4 7
7 (cos 2 2 )
(
isen z
C
4 ) (cos 4
2 3 )
(
isen z
D
(E) N.d.a.
135. Determine a forma trigonométrica do número complexo z
2 3 i
4 ) (cos 4
2 2 )
(
isen z
A
6 ) (cos 6
2 )
(
isen z
B
4 ) 4 7
7 (cos 2 2 )
(
isen z
C
4 ) (cos 4
2 3 )
(
isen z
D
(E) N.d.a.
136. Determine a forma trigonométrica do número complexo z
3 3 3 i
4 ) (cos 4
2 2 )
(
isen z
A
6 ) (cos 6
2 )
(
isen z
B
4 ) 4 7
7 (cos 2 2 )
(
isen z
C
4 ) (cos 4
2 3 )
(
isen z
D
(E) N.d.a.
21 137. Determine a forma trigonométrica do
número complexo z
4 2 2 i 4 ) (cos 4
2 2 )
(
isen z
A
6 ) (cos 6
2 )
(
isen z
B
4 ) 4 7
7 (cos 2 2 )
(
isen z
C
4 ) (cos 4
2 3 )
(
isen z
D
(E) N.d.a.
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
138. (Unic-MT) Para que o número
x i xi
z
1 3 3 seja real, devemos ter
x R tal que:
i. x 0
ii. 3
1
x
iii. x 9 iv. x 3
v. Nenhum x R satisfaz a condição.
139. (Fafi-BH) O conjugado de
i i
z
1 2 3 5 2 é:
a) 16-6i b) 16-11i c) 10-6i d) 10+6i
140. (Fameca-SP) o conjugado do número complexo 1 i
3é:
a) 2+3i b) 2-3i c) -2+3i d) 1+i e) -2+2i.
141. (UEL-PR) Um número complexo Z é tal que 2 iz z z 3 4 i . Nessas condições a imagem de z no plano de Gauss é um ponto que pertence ao:
a) Eixo real.
b) Eixo imaginário.
c) Quarto quadrante.
d) Terceiro quadrante.
e) Segundo quadrante.
142. (UFSM-RS) Dado o número complexo bi
a
z e 2 z 5 z 14 36 i , determine o valor de a+b:
i. 2 ii. 14 iii. 17 iv. 15 v. 4.
143. (UFSM-RS) A soma dos números complexos
i i
1
5
5 e
i 1
20 é:
a) 2 5 25 i b) 10+10i.
c) -10-10i d) 15+10i.
e) 30+20i.
22 144. (Fafi-BH) A fração
16 13 3035 17
3
²
i i i
i i i i
corresponde ao número complexo:
a) 1+i.
b) -1+i.
c) -1-i.
d) 1-i.
e) 2+i.
145. (PUC-RS) Seja o número complexo i
z i
1
4 . A sua forma trigonométrica é:
a)
4 cos 4
2
2
isen
b)
4 7 4
cos 7 2
2
isen
c)
4 cos 4
.
4
isen
d)
4 3 4
cos 3
2
isen
e)
4 7 4
cos 7
2
isen
GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO
146. Dentre os pontos abaixo o único que pertence ao eixo das ordenadas é.
a) A 0 , 2
b) A 2 , 2
c) A 2 , 0
d) A 3 , 3
e) A 5 , 2
147. O único ponto que pertence à segunda bissetriz é:
a) A 0 , 2
b) A 2 , 2
c) A 2 , 0
d) A 3 , 3
e) A 5 , 2
148. O ponto que pertence à primeira bissetriz é:
a)
A
0,2 b)
A
2,2 c)
A
2,0d)
A
3,3e)
A
5,2
149. O ponto P(k²+4k-5 ; 2) pertence ao eixo das ordenadas para k igual a:
a) 0 e 4.
b) 1 e 3.
c) 2 e 4.
d) 2 e 3.
e) 1 e -5.
150. Os valores de K para que P(3, k²-16) pertença ao eixo das abscissas é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 16
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
151. Para dois valores de k o ponto A(K² -4, 5)
pertence à 1º bissetriz.Calcule-os.
23 a) 3
b) 4 c) 2 d) 1
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
152. Para dois valores de k o ponto A(K² -3k+1, 1) pertence à 2º bissetriz. Calcule-os.
a) 0 e 4.
b) 1 e 3.
c) 2 e 4.
d) 2 e 3.
e) 1 e 2.
153. O ponto médio do segmento
AB, sendo
0 , 2
A e B 1 , 3 é:
a)
PM
0,2
b)
2 ,1 2 PM 1
c) PM 0 , 0
d)
2 , 1 2 PM 1
e) PM 1 , 2
154. O ponto médio do segmento
AB, sendo
3 , 4 eB ( 1 , 2 )
A é:
a) (-2,-3) b) (2,3) c) (-3,-2) d) (-2,-5) e) (-2,5)
155. O ponto médio do segmento
6 , 1 4 , 1 2 , 1 3
1 D
A é:
a)
3 , 1 24
1
b)
3 , 2 24
1
c)
3
, 1 12
1
d)
3 , 1 24
1
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
156. Seja o segmento
AB, cujo ponto médio P tem abscissa 6 e ordenada 3. Sendo B(-1 , -2), encontre as coordenadas de A.
a) (13,- 8) b) (-13, 8) c) (-13,- 8) d) (10, 5) e) (13, 8)
157. Seja o segmento
ED, cujo ponto médio P tem abscissa 5 e ordenada 2. Sendo D(2 , 4), encontre as coordenadas de E.
a) (-8, 0) b) (0, 8) c) (8, 8) d) (8, 0) e) N.d.a.
158. Dados os pontos A(0 , 2), B(4, 10) e C(2 , 6),é correto afirmar que C é o ponto médio de
AB
. Resp: sim.
159. A distância entre os pontos A(-2 , 5) e B(4 , -3) é:
a) 2
b) 3
24 c) 4
d) 10 e) N.d.a.
160. A distância entre o ponto Origem e (-5 , 12) é:
a) 10 b) 13 c) 14 d) 15 e) N.d.a.
161. Calcular o perímetro do triângulo que tem por vértices os pontos A(4 , 7), B(-1 , -8) e C(8 , -5).
a) 12 10 b) 12 2 c) 2 10 d) 10 10 e) N.d.a.
162. Determine o ponto do eixo das abscissas eqüidistante de A(- 3 , 4) e B(-2 , 9).
a) (0, 30 ) b) (30, 0) c) (0, 0) d) (10, 0) e) N.d.a.
163. Determine o ponto do eixo das ordenadas eqüidistante de A(- 3 , 4) e B(-2 , 9).
a) (0 , 6) b) (0, 0) c) ( 0,10) d) (0, 60) e) N.d.a.
164. Verifique se os pontos abaixo estão alinhados:
a) A( -3, 1), B(1, 3) e C(3 ,4 ) b) D(4, 3), E(0 ,0) e F(6 ,-3).
Respostas: a) Os três pontos estão alinhados; b) A Det=30, portanto os pontos não estão alinhados.
RETAS
165. Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos:
)
( 0
0 1 2
1 2
x x m y y
x x
y m y
a) A(2 , 1) e B(7, -1) b) A(5, -2) e B(0, 2) c) A(-2, 3) e B(5, 1) Respostas:
A.
2x5y90B.
4x5y100C.
2x7y170166. Verifique se os pontos A( 3, 1) e B(4 , -2) pertencem a reta 2x – y - 5 =0. Respostas:
A(sim) e B(não)
167. Uma reta r: x + 2y -10 =0, determine:
a) O ponto de r com abscissa 2. Resposta
y 4b) O ponto de r com ordenada 3. Resposta
4
x
168. Calcular o ponto de intersecção das retas:
a) r: 2x + y -3 = 0 e s: x + 4y - 5 =0.
b) r: x + y - 5=0 e s: x –y – 1=0.
25 c) t: x + 2y -9 = 0 e u: x – 2y – 1= 0.
d) v: 2x + 5y – 17=0 e s: 3x – 2y -16 =0.
Respostas:
a) P 1 , 1
b) Q 3 , 2
c) R 5 , 2
d) S 6 , 1
169. Determine a equação geral das retas
representadas a seguir.
Respostas: a:
x2y40, b:
x2y40e c:
xy10RETAS, ÁREAS DE TRIÂNGULOS E
CIRCUNFERÊNCIAS.
170. Determine a equação geral da reta que passa no eixo das abscissas em 4 determinando
com o mesmo eixo um ângulo de 60º. Resposta:
0 3 4 3 x y
171. Qual é a equação geral dessa reta (use tg 135°=-1)? Resposta: x+y-4=0
172. Qual a equação geral que forma com o eixo das abscissas um ângulo de 60º e passa pelo P(5,2)?
Resposta: 3 x y 2 5 3 0
173. (UFES) A equação da reta que passa por P(3, -2) com inclinação de 60º, é:
a) 3 x y 2 3 3 0 b) 3 x 3 y 6 3 3 0 c) 3 x y 3 2 3 0 d) 3 x y 2 2 3 0 e) 3 x y 5 3 0
174. Qual é a posição da reta r, de equação
02
4xy
, em relação à reta s, cuja equação é
12x3y250? Resposta:
paralelas.
175. As retas r e s de equações 1 5 2 y
x e
0 5
2xy
, estão no mesmo plano. Como você classifica as retas entre si?
a. Apenas concorrentes.
b. Perpendiculares.
c. Paralelas.
26 176. Dada a reta de equação
2xy50,
escreva a equação da reta paralela à dada e que passa pelo ponto A(-2,2). Resposta: 2x-y+6=0.
177. São dados os pontos A(4,3) e B(2,-5).
Determine a equação da reta t, que passa pelo ponto C(8,-6), paralela à reta determinada pelos pontos A e B. Resposta 4x-y-38=0.
178. A reta r passa pelo ponto P(5,-1) e é perpendicular à reta de equação
2x3y1. Determine a equação da reta r. Resposta: 3x-2y- 17=0.
179. Verifique se as retas r e s são paralelas ou perpendiculares, sabendo que r passa pelos pontos A(1,1) e B(6,3) e s pelos pontos C(-25,- 1) e D(-20,1). Resp. Paralelas
180. Dê o ângulo agudo ou reto formado pelas retas r: y=2 e s: x + y = -7. Resposta: 45°
181. Determine o ângulo forma pelas retas de equações: 3 x 3 y 1 0 e x 2 0 .
a)45º b)30º c)60º d)1º e)n.d.a.
182. Qual o ângulo formado entre as retas
05
2xy
e
3xy10? a)45º
b)30º
c)60º d)1º e)n.d.a.
183. Determine a área do triângulo de vértices:
a) A(4,-2), B(5,1) e C(-2,-3) Resp. 17/2 b) E(0,6), F(2,2) e G(5,4). Resp. 8 c) R(1,1), T(1,6) e U(6,1). Resp. 25/2 CIRCUNFERÊNCIA.
184. Determine as coordenadas do centro C(a,b) e o raio da circunferência de equação:
a) x 5
2 y 6
2 8 b) x
2 y 4
2 25
185. Determine a equação da circunferência:
a. De centro C(2,5) e raio r=3.
b. De centro C(3,0) e raio r=4.
c. De centro C(-2,-4) e raio r= 11 .
186. Dentre os pontos A(2,5), B(0,5) e C(3,1), quais pertencem à circunferência de equação
x 2
2 y 1
2 25 .
187. Completando quadrados, escreva a equação reduzida da circunferência dada e destaque seu centro e raio.
a) x
2 y
2 8 x 10 y 4 0 . b) x
2 y
2 8 x 12 y 51 0 c) x
2 y
2 2 x 6 y 6 0 d) x
2 y
2 25 0
e) x
2 y
2 4 x 4 y 0
27 f) x
2 y
2 18 x 14 y 126 0
188. (PUC) A equação da circunferência de centro C( -3, 2) e tangente ao eixo das ordenadas é:
a. x
2 y
2 4 x 6 y 4 0 b. x
2 y
2 6 x 4 y 9 0 c. x
2 y
2 4 x 6 y 9 0 d. x
2 y
2 6 x 4 y 13 0 e. x
2 y
2 6 x 4 y 4 0
189. (FGV) Os pontos A(-1, 4) e B(3,2) são extremidades de um diâmetro de uma circunferência. A equação desta circunferência é:
a. x 1
2 y 3
2 5 b. x 1
2 y 3
2 5 c. x 1
2 y 3
2 5 d. x 1
2 y 3
2 5
e. x 1
2 y 3
2 20
190. (PUC) O diâmetro de uma circunferência é o segmento da reta y = -x+4 compreendido entre os eixos coordenados. A equação dessa circunferência é:
a. x
2 y
2 4 x 4 y 8 0 b. x
2 y
2 2 x 2 y 0 c. x
2 y
2 4 x 4 y 0 d. x
2 y
2 16
e. x
2 y
2 4
191. (SANTA CASA) E dada a circunferência (a) de equação x
2 y
2 6 x 2 y 1 0 . A equação da circunferência concêntrica a (a) e que passa pelo ponto A(3,1) é:
a. x
2 y
2 6 x 2 y 9 0 b. x
2 y
2 6 x 2 y 12 0 c. x
2 y
2 6 x 2 y 16 0 d. x
2 y
2 6 x 2 y 20 0 e. x
2 y
2 6 x 2 y 26 0
192. (UFRGS) A área do quadrado inscrito na circunferência de equação x² - 2x + y² =0 vale:
a. 1 b. ½ c. 2 d. 4
e. 1/4
193. (UFMG) A área do circulo delimitado pela
circunferência de equação
0 11 4 4
4 x
2 y
2 x é:
a. 121 b. 3 c. 11 / 4 d. 9 e. 121 / 16
194. (ULBRA) A equação da circunferência da figura abaixo é x²+y²-12=0. A ordenada do
ponto P é:
a. Zero.
b. -6 c. 3 d. 2 3 e. 4 3
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA.
195. Dada uma circunferência de equação 0
3 4
2
2
2
y x y
x , qual é a posição do
ponto P(3, -4) em relação a essa circunferência?
Resposta: pertence.
196. Verifique a posição do ponto A(2, -2) em relação à circunferência de equação
0 9 8
2
2
2
y x y
x .
Resposta: externo.
197. O ponto Q(1, -3) não pertence à circunferência x
2 y
2 2 x 4 y 3 0 , nessas condições, o ponto Q é externo ou interno?
Resposta: interno.
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E
CIRCUNFERÊNCIA.
28 198. Qual a posição relativa da reta r, de
equação x-y-1=0, e a circunferência, de equação 0
3 2
2
2
2
y x y
x ?
Resposta: secante.
199. A reta r: x+y-5=0, intersecta a
circunferência de equação
0 21 2
2
10
2
