CAPÍTULO 2 – Problemas resolvidos
Exercício 1 - Para medir a velocidade da bala de seu rifle, um atirador atira contra o tronco de uma árvore distante 100 m. Um detetor de som, posicionado ao seu lado, é ligado a um sistema eletrônico que registra os instantes em que algum pulso de som é captado pelo detetor. O intervalo de tempo entre o estampido do tiro e o som da colisão da bala com a árvore é de 0,715 s. Sabendo que a velocidade do som é de 334 m/s, qual é a velocidade da bala?
Solução : O tempo que o som leva no percurso da árvore até o detetor é
s 2994 , m/s 0 334
m
100 =
s
=
t .
Portanto, o tempo gasto no trajeto da bala é t
b= 0,715 s - 0,2994 s = 0,4156 s Daí, calculamos
m/s s 241
0,4156 m
100 =
b
= v
Problema 2 - Um carro faz um percurso de comprimento d sem paradas. Na primeira metade do percurso, sua velocidade é v
1, e na segunda metade sua velocidade é v
2. Calcule a velocidade média do carro no percurso e compare-a com (v
1+v
2)/2.
Solução:
Os tempos gastos na primeira e segunda metades do percurso são respectivamente
2 2 1
1
, 2
2 v v
t d
t = d = .
A velocidade média em todo o percurso será
2 2
1 1
2 2
2
2 1
2 1
2 1
2 1 2 1 2 1 2
1
v v
v v v
v v v v v v v
v = + = +
+
= +
+ =
= d d
d t
t
d .
Vê-se portanto que
2
2
1
v
v ≠ v +
Problema 3 - Um carro trafega atrás de um caminhão, ambos com velocidade constante v
o. A distância entre a traseira do carro e a dianteira do caminhão é d. A uma distância D adiante da traseira do carro fica o início de uma ponte, e o carro quer ultrapassar o caminhão antes de atingi-la. Qual deve ser a aceleração mínima do carro, suposta constante durante a ultrapassagem, para que isso seja possível?
Solução - Tomando a posição inicial da traseira do carro como origem das coordenadas, as coordenadas x do carro e X do caminhão serão respectivamente
. 2 , 1
2t d X
at t x
o o
v v
++
==
++
==
A ultrapassagem se completará quando x = X, portanto isso ocorrerá no tempo t
udefinido pela equação
a t d
t d at
t
u u o u uo
, 2 2
1
2==
∴
∴ ++
==
++ v
v .
No instante t
ua posição da traseira do carro será
a d d
t d
x
u o u o2
v v == ++
++
== .
Sendo L o comprimento do carro, a ultrapassagem ocorrerá antes de o carro atingir a ponte se
d L d a D
L a D
d
od
o2 ) , (
2 << −− >>
2−− −−
2++ v v .
Portanto,
d L d
a
oD
2 )
(
22 mím
−−
== v −−
Problema 4 - Um carro, trafegando à velocidade de 30 km/h, está à distância de 50 m de uma avenida cuja largura é de 30 m quando o sinal de cruzamento com a avenida fica amarelo. Sabe-se que o sinal fica amarelo durante 6,0 s. A aceleração máxima do carro é de 2,3 m/s
2, e o motorista tem um tempo de reação t
r= 0 , 60 s antes de acelerá-lo.
Conseguirá cruzar a avenida antes de o sinal ficar vermelho?
Solução :
Tomando a origem das coordenadas no ponto inicial do carro, quando o sinal fica amarelo, podemos escrever
2
2
( )
2 ) 1 ( )
2 ( 1
r r
o r o r
o
t a t t t t t a t t
x = v + − = v + v − + − .
O tempo gasto para que o carro cruze a avenida será dado por )
22 ( ) 1 ( m
80 = v
ot
r+ v
ot − t
r+ a t − t
rComo v
ot
r= 8 , 3 m × 0 , 60 s = 5 , 0 m , obtemos
)
22 ( ) 1 ( m
75 = v
ot − t
r+ a t − t
rResolvendo essa equação,
a a
tr a
t
o o150 m
2 2
+ +
−
=
− v v
Substituindo os valores nesta equação,
s 5,2 3 s
, 2 150 29 , 5
4 , s 69 3 , 2
33 , s 8 60 ,
0 − + + =
= t
Portanto, o carro conseguirá cruzar em tempo a avenida.
Problema 5 - Dois carros trafegam em sentidos opostos em um trecho reto da estrada, com velocidades de módulos v
1e v
2, respectivamente. Em t = 0 , os dois carros estão nas posições x
1oe x
2o= x
1o+ d . (a) Em que instante se dará o cruzamento dos automóveis?
(b) Em que posição se dará o cruzamento?
Solução : Tomando a origem das coordenadas na posição inicial do carro 1, e o sentido do eixo dos x indo do carro 1 para o carro 2, as coordenadas dos dois automóveis dos carros serão expressas por
. )
(
, )
(
2 1
2
1 1 1
t d x t x
t x
t x
o o
v v
− +
= +
=
(a) O cruzamento se dará no instante t
cdeterminado por
c o
c
o
t x d t
x
1+ v
1=
1+ − v
2.
Portanto,
2 1 2
1
) ,
( v v v v
= +
∴
=
+ d
t d
t
c c(b) A posição dos dois carros no instante do cruzamento será dada por
c o c
c
x t x t
x =
1( ) =
1+ v
1.
Substituindo o valor de t
c, obtemos d
x x
c o2 1
1
1
v v
v + +
= .
Problema 6 - Um carro viaja a atrás de um caminhão lento, ambos à velocidade constante V, em uma estrada de mão dupla. A distância do carro até a dianteira do caminhão é d. Em dado instante, o carro entra no início de uma reta e seu motorista avista um carro vindo na direção oposta com velocidade constante v, a uma distância D. O motorista imprime ao carro uma aceleração constante a para realizar a ultrapassagem.
Qual é o valor mínimo de a para que a ultrapassagem seja bem sucedida? Despreze o comprimento do carro.
Solução : Sendo t = 0 o início da arrancada para a ultrapassagem e x =0 sua posição nesse instante, as posições do carro que realiza a ultrapassagem, da frente do caminhão e do outro carro são respectivamente
t D t x Vt d t X at Vt t
x = + , ( ) = + , ( ) = − v
2 ) 1
(
2 21
.
A ultrapassagem se completará no instante t
udado por
a t d
Vt d at
Vt
u u u2
2 ,
1
2= +
=
+ ,
As coordenadas dos dois carros nesse instante serão
2 . )
(
2 , )
(
2 1
a D d
t x
a V d d t x
u u
− v
= +
=
O valor mínimo de a será dado pela condição x
1( t
u) = x
2( t
u) . Portanto
mín mín
2 2
a D d
a V d
d + = − v .
Finalmente,
d d D a V
2
mín
2
−
= + v .
Problema 7 - Um corpo é atirado verticalmente para baixo com velocidade v
oda altura h. Nos instantes t
1e t
2o corpo está, respectivamente, nas alturas y
1e y
2. Calcule vo de h.
Solução : Podemos expressar as coordenadas y
1e y
2, respectivamente, nas formas
2 . 1 2 , 1
2 2 2
2
2 1 1
1
gt t
h y
gt t
h y
o o
−
−
=
−
−
= v v
Subtraindo uma equação da outra,
) 2 (
) 1
(
2 1 22 122
1
y t t g t t
y − = v
o− + − .
Portanto,
. ) 2 (
1
) , )(
( 2 1
1 2 1
2 2 1
1 2
1 2 1 2 1
2 2 1
t t t g
t y y
t t
t t t g t t
t y y
o o
+
− −
= −
− +
− −
−
= − v v
Posto que
1 1 122 1 gt t
y
h = + v
o+ ,
2 1 1
1 2 1
1 2
2 1
1
2
) 1 2 (
1 g t t t gt t t
t y y y
h − + +
− + −
=
1 2 1
1 2
2 1
1
2
1 gt t t t
t y y y
h −
− + −
= .
Problema 8 - Uma pedra é solta, com velocidade inicial nula, de uma altura h. Um tempo T depois, outra pedra é atirada para baixo com velocidade inicial v
o, do mesmo ponto inicial da primeira pedra. Qual deve ser o valor mínimo de v
opara que as duas pedras colidam no ar?
Solução: Tomemos a origem das coordenadas no ponto de partida das pedras e seja t = 0 o instante em que a primeira pedra foi solta. Sejam y
1e y
2, respectivamente, as coordenadas da primeira e da segunda pedra. Antes da colisão, se ambas as pedras ainda estiverem no ar, podemos escrever
. ) 2 (
) 1 ( 2 , 1
2 2
2 1
T t g T t y
gt y
o
−− −− −−
−−
==
−−
==
v
O menor valor v
o, que designaremos por v
mín, corresponde ao caso em que a segunda pedra atinja a primeira quando esta está prestes a atingir o solo. A primeira pedra atinge o solo no instante dado por
g t h
gt
h
c c2
2
1
2∴ ∴ ==
−−
==
−− .
Portanto, em t
ca coordenada y
2deve ter atingido o valor –h. Assim,
2
mín
( )
2 ) 1
( t T g t T
h == −−
c−− −−
c−−
−− v .
Finalmente,
T t
T t g h
c c
−−
−−
== −−
2 mín
) 2 (
1
v ,
) /
2 ( 2
) / 2 (
2
2mín
h g T
T g h g h
−−
−−
== −−
v
Problema 9 – Para medir a aceleração da gravidade na Lua, onde não existe atmosfera, uma equipe de exploradores usa o experimento ilustrado na figura. Um dispositivo atira uma esferinha verticalmente para cima, a partir da altura y = 0, e envia um sinal a um relógio para iniciar a contagem do tempo. Na altura y = h, um feixe de laser é interceptado pela esferinha, no instante t
1quando ela sobe e no instante t
2quando ela desce. A interrupção da luz no detetor gera um sinal enviado ao relógio, que registra os tempos t
1e t
2. Calcule o valor de g a partir dos dados obtidos no experimento.
Solução: A coordenada y da esferinha passa pelo valor h nos tempos obtidos pela solução da equação
2
2 1 gt t
h == v
o−− . Obtemos
g h g g
t
o o2
2 2
−−
±±
== v v
Portanto,
g h g g
g t h g g
t
o o o o2
2 ,
2 2 2 2
2
1
== v −− v −− == v ++ v −−
.
Usando o fato de que ( a −− b )( a ++ b ) == a
2−− b
2, obtemos
g t h
t 2
2
1
== ,
2 1
2 t t g == h .
laser
relógio detetor y
0
h
CAPÍTULO 2 – Problemas propostos
2.1E – Duas pessoas fazem de carro o percurso de 740 km entre Belo Horizonte e Brasília. Na metade do caminho, uma passa a direção do carro à outra e desde então a velocidade média do carro aumenta em 20%. O tempo total de viagem é de 8,00 horas.
Qual foi a velocidade média na primeira metade do percurso?
Resposta: 84,8 km/h
2.2E – Em um dado planeta, em uma queda livre partindo do repouso um corpo gasta a metade do tempo que gastaria na Terra para cair da mesma altura. Quanto vale a aceleração da gravidade nesse planeta?
Resposta: g
planeta== 2g
Terra2.3E – Um corpo é atirado verticalmente para cima com velocidade v
o, a partir do ponto y = y
o, e permanece apenas sob a ação da gravidade até atingir o solo. Escreva a expressão para x(t) no intervalo de tempo em que ele permanece no ar.
Resposta:
22 ) 1
( t y t gt
y ==
o++ v
o−−
2.4P - Um carro faz um percurso de comprimento d sem paradas em um tempo t. Na primeira metade do tempo, sua velocidade é v
1, e na segunda metade sua velocidade é v
2. Calcule a velocidade média do carro no percurso e compare-a com (v
1+v
2)/2.
Resposta :
2
2
1