Solução : O tempo que o som leva no percurso da árvore até o detetor é

Texto

(1)

CAPÍTULO 2 – Problemas resolvidos

Exercício 1 - Para medir a velocidade da bala de seu rifle, um atirador atira contra o tronco de uma árvore distante 100 m. Um detetor de som, posicionado ao seu lado, é ligado a um sistema eletrônico que registra os instantes em que algum pulso de som é captado pelo detetor. O intervalo de tempo entre o estampido do tiro e o som da colisão da bala com a árvore é de 0,715 s. Sabendo que a velocidade do som é de 334 m/s, qual é a velocidade da bala?

Solução : O tempo que o som leva no percurso da árvore até o detetor é

s 2994 , m/s 0 334

m

100 =

s

=

t .

Portanto, o tempo gasto no trajeto da bala é t

b

= 0,715 s - 0,2994 s = 0,4156 s Daí, calculamos

m/s s 241

0,4156 m

100 =

b

= v

Problema 2 - Um carro faz um percurso de comprimento d sem paradas. Na primeira metade do percurso, sua velocidade é v

1

, e na segunda metade sua velocidade é v

2

. Calcule a velocidade média do carro no percurso e compare-a com (v

1

+v

2

)/2.

Solução:

Os tempos gastos na primeira e segunda metades do percurso são respectivamente

2 2 1

1

, 2

2 v v

t d

t = d = .

A velocidade média em todo o percurso será

2 2

1 1

2 2

2

2 1

2 1

2 1

2 1 2 1 2 1 2

1

v v

v v v

v v v v v v v

v = + = +

+

= +

+ =

= d d

d t

t

d .

Vê-se portanto que

(2)

2

2

1

v

vv +

Problema 3 - Um carro trafega atrás de um caminhão, ambos com velocidade constante v

o

. A distância entre a traseira do carro e a dianteira do caminhão é d. A uma distância D adiante da traseira do carro fica o início de uma ponte, e o carro quer ultrapassar o caminhão antes de atingi-la. Qual deve ser a aceleração mínima do carro, suposta constante durante a ultrapassagem, para que isso seja possível?

Solução - Tomando a posição inicial da traseira do carro como origem das coordenadas, as coordenadas x do carro e X do caminhão serão respectivamente

. 2 , 1

2

t d X

at t x

o o

v v

++

==

++

==

A ultrapassagem se completará quando x = X, portanto isso ocorrerá no tempo t

u

definido pela equação

a t d

t d at

t

u u o u u

o

, 2 2

1

2

==

++

==

++ v

v .

No instante t

u

a posição da traseira do carro será

a d d

t d

x

u o u o

2

v v == ++

++

== .

Sendo L o comprimento do carro, a ultrapassagem ocorrerá antes de o carro atingir a ponte se

d L d a D

L a D

d

o

d

o

2 ) , (

2 << −− >>

2

−− −−

2

++ v v .

Portanto,

d L d

a

o

D

2 )

(

2

2 mím

−−

== v −−

Problema 4 - Um carro, trafegando à velocidade de 30 km/h, está à distância de 50 m de uma avenida cuja largura é de 30 m quando o sinal de cruzamento com a avenida fica amarelo. Sabe-se que o sinal fica amarelo durante 6,0 s. A aceleração máxima do carro é de 2,3 m/s

2

, e o motorista tem um tempo de reação t

r

= 0 , 60 s antes de acelerá-lo.

Conseguirá cruzar a avenida antes de o sinal ficar vermelho?

Solução :

(3)

Tomando a origem das coordenadas no ponto inicial do carro, quando o sinal fica amarelo, podemos escrever

2

2

( )

2 ) 1 ( )

2 ( 1

r r

o r o r

o

t a t t t t t a t t

x = v + − = v + v − + − .

O tempo gasto para que o carro cruze a avenida será dado por )

2

2 ( ) 1 ( m

80 = v

o

t

r

+ v

o

tt

r

+ a tt

r

Como v

o

t

r

= 8 , 3 m × 0 , 60 s = 5 , 0 m , obtemos

)

2

2 ( ) 1 ( m

75 = v

o

tt

r

+ a tt

r

Resolvendo essa equação,

a a

tr a

t

o o

150 m

2 2

+ +

=

v v

Substituindo os valores nesta equação,

s 5,2 3 s

, 2 150 29 , 5

4 , s 69 3 , 2

33 , s 8 60 ,

0 − + + =

= t

Portanto, o carro conseguirá cruzar em tempo a avenida.

Problema 5 - Dois carros trafegam em sentidos opostos em um trecho reto da estrada, com velocidades de módulos v

1

e v

2

, respectivamente. Em t = 0 , os dois carros estão nas posições x

1o

e x

2o

= x

1o

+ d . (a) Em que instante se dará o cruzamento dos automóveis?

(b) Em que posição se dará o cruzamento?

Solução : Tomando a origem das coordenadas na posição inicial do carro 1, e o sentido do eixo dos x indo do carro 1 para o carro 2, as coordenadas dos dois automóveis dos carros serão expressas por

. )

(

, )

(

2 1

2

1 1 1

t d x t x

t x

t x

o o

v v

− +

= +

=

(a) O cruzamento se dará no instante t

c

determinado por

c o

c

o

t x d t

x

1

+ v

1

=

1

+ − v

2

.

(4)

Portanto,

2 1 2

1

) ,

( v v v v

= +

=

+ d

t d

t

c c

(b) A posição dos dois carros no instante do cruzamento será dada por

c o c

c

x t x t

x =

1

( ) =

1

+ v

1

.

Substituindo o valor de t

c

, obtemos d

x x

c o

2 1

1

1

v v

v + +

= .

Problema 6 - Um carro viaja a atrás de um caminhão lento, ambos à velocidade constante V, em uma estrada de mão dupla. A distância do carro até a dianteira do caminhão é d. Em dado instante, o carro entra no início de uma reta e seu motorista avista um carro vindo na direção oposta com velocidade constante v, a uma distância D. O motorista imprime ao carro uma aceleração constante a para realizar a ultrapassagem.

Qual é o valor mínimo de a para que a ultrapassagem seja bem sucedida? Despreze o comprimento do carro.

Solução : Sendo t = 0 o início da arrancada para a ultrapassagem e x =0 sua posição nesse instante, as posições do carro que realiza a ultrapassagem, da frente do caminhão e do outro carro são respectivamente

t D t x Vt d t X at Vt t

x = + , ( ) = + , ( ) = − v

2 ) 1

(

2 2

1

.

A ultrapassagem se completará no instante t

u

dado por

a t d

Vt d at

Vt

u u u

2

2 ,

1

2

= +

=

+ ,

As coordenadas dos dois carros nesse instante serão

2 . )

(

2 , )

(

2 1

a D d

t x

a V d d t x

u u

v

= +

=

O valor mínimo de a será dado pela condição x

1

( t

u

) = x

2

( t

u

) . Portanto

(5)

mín mín

2 2

a D d

a V d

d + = − v .

Finalmente,

d d D a V

2

mín

2 

 

= + v .

Problema 7 - Um corpo é atirado verticalmente para baixo com velocidade v

o

da altura h. Nos instantes t

1

e t

2

o corpo está, respectivamente, nas alturas y

1

e y

2

. Calcule vo de h.

Solução : Podemos expressar as coordenadas y

1

e y

2

, respectivamente, nas formas

2 . 1 2 , 1

2 2 2

2

2 1 1

1

gt t

h y

gt t

h y

o o

=

= v v

Subtraindo uma equação da outra,

) 2 (

) 1

(

2 1 22 12

2

1

y t t g t t

y − = v

o

− + − .

Portanto,

. ) 2 (

1

) , )(

( 2 1

1 2 1

2 2 1

1 2

1 2 1 2 1

2 2 1

t t t g

t y y

t t

t t t g t t

t y y

o o

+

− −

= −

− +

− −

= − v v

Posto que

1 1 12

2 1 gt t

y

h = + v

o

+ ,

2 1 1

1 2 1

1 2

2 1

1

2

) 1 2 (

1 g t t t gt t t

t y y y

h − + +

− + −

=

1 2 1

1 2

2 1

1

2

1 gt t t t

t y y y

h

− + −

= .

(6)

Problema 8 - Uma pedra é solta, com velocidade inicial nula, de uma altura h. Um tempo T depois, outra pedra é atirada para baixo com velocidade inicial v

o

, do mesmo ponto inicial da primeira pedra. Qual deve ser o valor mínimo de v

o

para que as duas pedras colidam no ar?

Solução: Tomemos a origem das coordenadas no ponto de partida das pedras e seja t = 0 o instante em que a primeira pedra foi solta. Sejam y

1

e y

2

, respectivamente, as coordenadas da primeira e da segunda pedra. Antes da colisão, se ambas as pedras ainda estiverem no ar, podemos escrever

. ) 2 (

) 1 ( 2 , 1

2 2

2 1

T t g T t y

gt y

o

−− −− −−

−−

==

−−

==

v

O menor valor v

o

, que designaremos por v

mín

, corresponde ao caso em que a segunda pedra atinja a primeira quando esta está prestes a atingir o solo. A primeira pedra atinge o solo no instante dado por

g t h

gt

h

c c

2

2

1

2

==

−−

==

−− .

Portanto, em t

c

a coordenada y

2

deve ter atingido o valor –h. Assim,

2

mín

( )

2 ) 1

( t T g t T

h == −−

c

−− −−

c

−−

−− v .

Finalmente,

T t

T t g h

c c

−−

−−

== −−

2 mín

) 2 (

1

v ,

) /

2 ( 2

) / 2 (

2

2

mín

h g T

T g h g h

−−

−−

== −−

v

(7)

Problema 9 – Para medir a aceleração da gravidade na Lua, onde não existe atmosfera, uma equipe de exploradores usa o experimento ilustrado na figura. Um dispositivo atira uma esferinha verticalmente para cima, a partir da altura y = 0, e envia um sinal a um relógio para iniciar a contagem do tempo. Na altura y = h, um feixe de laser é interceptado pela esferinha, no instante t

1

quando ela sobe e no instante t

2

quando ela desce. A interrupção da luz no detetor gera um sinal enviado ao relógio, que registra os tempos t

1

e t

2

. Calcule o valor de g a partir dos dados obtidos no experimento.

Solução: A coordenada y da esferinha passa pelo valor h nos tempos obtidos pela solução da equação

2

2 1 gt t

h == v

o

−− . Obtemos

g h g g

t

o o

2

2 2

−−

±±

== v v

Portanto,

g h g g

g t h g g

t

o o o o

2

2 ,

2 2 2 2

2

1

== v −− v −− == v ++ v −−

.

Usando o fato de que ( a −− b )( a ++ b ) == a

2

−− b

2

, obtemos

g t h

t 2

2

1

== ,

2 1

2 t t g == h .

laser

relógio detetor y

0

h

(8)

CAPÍTULO 2 – Problemas propostos

2.1E – Duas pessoas fazem de carro o percurso de 740 km entre Belo Horizonte e Brasília. Na metade do caminho, uma passa a direção do carro à outra e desde então a velocidade média do carro aumenta em 20%. O tempo total de viagem é de 8,00 horas.

Qual foi a velocidade média na primeira metade do percurso?

Resposta: 84,8 km/h

2.2E – Em um dado planeta, em uma queda livre partindo do repouso um corpo gasta a metade do tempo que gastaria na Terra para cair da mesma altura. Quanto vale a aceleração da gravidade nesse planeta?

Resposta: g

planeta

== 2g

Terra

2.3E – Um corpo é atirado verticalmente para cima com velocidade v

o

, a partir do ponto y = y

o

, e permanece apenas sob a ação da gravidade até atingir o solo. Escreva a expressão para x(t) no intervalo de tempo em que ele permanece no ar.

Resposta:

2

2 ) 1

( t y t gt

y ==

o

++ v

o

−−

2.4P - Um carro faz um percurso de comprimento d sem paradas em um tempo t. Na primeira metade do tempo, sua velocidade é v

1

, e na segunda metade sua velocidade é v

2

. Calcule a velocidade média do carro no percurso e compare-a com (v

1

+v

2

)/2.

Resposta :

2

2

1

v

v v ++

==

2.5P - Um foguete é lançado verticalmente com aceleração constante até atingir a altitude de 600 km, quando sua velocidade é de 7,23 km/s. Qual é sua aceleração nesse trajeto?

Resposta : a = 43 , 6 m/s

2

.

2.6P - Uma bala com velocidade de 240 m/s atinge um bloco de madeira e nele penetra

3,0 cm. (a) supondo que a aceleração da bala fosse constante, qual seria o seu valor

durante a colisão, e (b) quanto duraria a colisão? (c) Na realidade, a aceleração da bala

não é constante durante a colisão. Nesse caso, seu valor médio corresponde ao calculado

no item (a) do problema?

(9)

Resposta: (a) a = 9 , 6 × 10

5

m/s

2

; (b) t = 2 , 5 × 10

4

s ; (c) não.

2.7P - Um carro viaja com velocidade constante v e sua frente está à distância d da traseira de um caminhão que viaja com velocidade constante V. O carro tem comprimento l e o caminhão tem comprimento L. Quanto o carro se deslocará até ultrapassar o caminhão?

Resposta: ( d + l + L ) V

- v

v

2.8P – Uma partícula move-se sobre o eixo dos x com velocidade constante. Em t = 2,0 s, sua posição é x = 9,0 m, e em t = 5,0 s sua posição é x = 3,0 m. Escreva a expressão para x(t) .

Resposta: x t t s 2 m m 13 )

( == −−

2.9P – Um pára-quedista salta, e um certo tempo depois está com velocidade constante v e a um nível h abaixo do avião. Um segundo pára-quedista salta e somente abre seu pára- quedas quando alcança a altitude do primeiro. Quanto tempo ele permanece em salto livre?

Resposta :

g h g

t g

2

2

 ++

 

++ 

== v v

.

2.10P – Uma escada rolante tem comprimento L. Quando a escada está parada, uma criança consegue subi-la em um tempo t. (a) Em quanto tempo a criança consegue subir a escada quando esta move-se com velocidade constante u, se u << L / t ? (b) Se u >> L / t , a criança consegue subir a escada?

Resposta: (a)

u t L T L

== −−

/ ; (b) Não

2.11P – Duas pessoas se encontram no escuro, e cada uma delas acende sua lanterna para iluminar a outra, de forma que os dois feixes de luz caminham na mesma direção em sentidos opostos. Qual é velocidade V de um feixe em relação ao outro?

Resposta: V = c

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Referências

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