UNESP
Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá
VALÉRIO ANTONIO PAMPLONA SALOMON
CONTRIBUIÇÕES PARA VALIDAÇÃO DE TOMADA DE DECISÃO COM MÚLTIPLOS CRITÉRIOS
Tese apresentada ao Departamento de Produção, Faculdade de Engenharia, Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, para a obtenção do título de Livre-Docente em Engenharia de Produção.
S174c
Salomon, Valério Antonio Pamplona
Contribuições para validação de tomada de decisão com múltiplos critérios / Valério Antonio Pamplona Salomon.- Guaratinguetá : [s.n.], 2010.
68f.: il.
Bibliografia: f. 65
Tese (Livre-Docência) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2010.
1. Processo decisório I. Título
À Sandra. Por tornar a sua vida compatível com a minha.
Agradecimentos
Esta tese resulta de pesquisas que desenvolvi após, e durante, meu estágio de pós-doutorado no exterior. Expresso aqui minha gratidão às pessoas e instituições que contribuíram para a concepção e elaboração da tese:
Prof. Fernando Augusto Silva Marins, Sra. Margarida Corrêa Leite, Profs. Jorge Muniz Junior, Maurício César Delamaro, Messias Borges Silva, Ubirajara Rocha Ferreira e demais colegas do Departamento de Produção. Reconheço no Marins, mais que um colega, um verdadeiro amigo, pelo seu incentivo e pela sua orientação no início da elaboração desta tese.
Prof. Thomas L. Saaty, Universidade de Pittsburgh, e Sra. Rozann Whitaker Saaty, Creative Decisions Foundation. Tom criou o método AHP, sem o qual este tese não existiria, ou seria muito diferente. Além disso, tenho Tom e Rozann como amigos e colaboradores de pesquisas. Eng. Claudio Garuti Anderlini, Fulcrum Ingeniería, Santiago, Chile. Um entusiasta de aplicações de AHP e do trabalho em equipe. Claudio Garuti também deu muitas contribuições teóricas à MCDM, com destaque para seus estudos sobre a compatibilidade entre vetores de decisão.
Alunos Angelo José Castro Alves Ferreira Filho, Dimas Campos de Aguiar, Deborah Campos de Paula, Eduardo Gomes Salgado, Lucio Garcia Veraldo Junior, Marco Aurélio Reis dos Santos, e Maria Stella de Alvarenga Lazarini, et al., cujas pesquisas contribuíram para meu conhecimento no método AHP e na MCDM.
Resumo
A tomada de decisão considerando mais de um critério, às vezes conflitantes entre si, como custos e qualidade, é conhecida como tomada de decisão com
múltiplos critérios, ou MCDM, sigla da expressão em inglês. Existem diversos
métodos para esta tomada de decisão. Estes métodos são, geralmente, identificados pela sigla de seu nome: AHP, ELECTRE, MACBETH, MAUT, etc. O método mais aplicado, no Brasil e no mundo, é o AHP. Contudo, alguns poucos, mas importantes, pesquisadores brasileiros possuem um estranho preconceito com relação a este método. Esta tese ajuda a provar que isto se trata de um equívoco. Mais do que isto, a tese apresenta contribuições para a análise de aplicações de MCDM. Compatibilidade entre vetores de decisão e validação de uma aplicação são temas recentes incluídos no estudo apresentado nesta tese. Como consequência do estudo, e contribuição original da tese apresenta-se um índice de compatibilidade ordinal. Para se atender o objetivo de apresentar contribuições para a análise de aplicações de métodos de MCDM, a elaboração da tese seguiu uma estratégia
qualitativa-quantitativa. Ou seja, a Modelagem Matemática foi o método de
pesquisa adotado. No entanto, não se apresentou um número exaustivo de exemplos destas contribuições. Aplicações ex-ante, ex-post e sine solutio de métodos de MCDM estão apresentadas e índices de compatibilidade estão calculados para a validação destas aplicações.
Palavras-chave: AHP. Compatibilidade. MACBETH. MCDM. Validação.
Abstract
The decision making considering two or more criteria, sometimes conflicting as costs and quality, is known as multiple criteria decision making, or MCDM. There are several methods to make this decision, usually, identified by their acronym: AHP, ELECTRE, MACBETH, MAUT, etc. AHP is the most applied MCDM method, in Brazil and all over the world. However, a few of important Brazilian researchers have a strange prejudice against this method. This thesis helps to prove that this is a mistake. Moreover, this thesis presents contribution for the analysis of MCDM application. Compatibility between decision vectors and validation of an application are new research themes included in the study this thesis reports. As a consequence from the study, and an original contribution, it is presented an ordinal compatibility index. In order to satisfy the objective of present
contributions for the analysis of MCDM methods application, this thesis’s
conception followed a qualitative-quantitative strategy. Or else, the research method adopted was Mathematical Modeling. However, it is not presented an exhausting number of examples from these contributions. Ex-ante, ex-post e sine solutio applications of MCDM methods are presented and compatibility indices are computed to validate these applications.
Keywords: AHP. Compatibility. MACBETH. MCDM. Validation.
Conteúdo
1. INTRODUÇÃO ... 15
1.1. Apresentação do Tema ... 15
1.1.1. Metodologia da tomada de decisão com múltiplos critérios ... 15
1.1.2. Generalidades: matrizes e vetores de decisão ... 17
1.2. Aspectos Metodológicos da Tese ... 21
2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS ... 23
2.1. Considerações Iniciais ... 23
2.2. Fases de Medição e Síntese ... 23
2.2.1. ELECTRE ... 23
2.2.2. MAUT... 27
2.2.3. AHP ... 28
2.2.4. MACBETH ... 32
2.3. Validade da Aplicação de um Método de MCDM ... 36
2.3.1. Exemplos de aplicações válidas de AHP ... 36
2.3.2. Exemplo de aplicação válida de AHP e inválida de MACBETH ... 37
2.3.3. Questionamentos sobre a validade do método AHP ... 42
2.4. Compatibilidade entre Vetores de Decisão ... 46
2.4.1. Índice de compatibilidade ... 46
2.4.2. Exemplos da utilização de índice de compatibilidade ... 47
3. CONTRIBUIÇÕES PARA A VALIDAÇÃO DE APLICAÇÕES DE MÉTODOS DE MCDM ... 50
3.1. Considerações Iniciais ... 50
3.2. Um Estudo Aprofundado do Índice de Compatibilidade ... 50
3.2.1. Domínio da função índice de compatibilidade ... 50
3.2.2. Índice de compatibilidade ordinal ... 52
3.2.3. Comportamento do índice de compatibilidade ordinal ... 54
3.3. Validação de Aplicações de Método de MCDM ... 57
3.3.1. Aplicações ex-ante, ex-post ou sine solutio ... 57
3.3.2. Exemplo de aplicação sine solutio de AHP, MACBETH e MAUT ... 59
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 63
Lista de figuras
Figura 1. Número de artigos publicados em periódicos científicos ... 17
Figura 2. Grafo orientado obtido com aplicação de ELECTRE I ... 18
Figura 3. Resultados obtidos com aplicações de três métodos de MCDM ... 20
Figura 4. Exemplo de dados iniciais para aplicação de um método de MCDM ... 23
Figura 5. Grafo orientado, com aplicação de ELECTRE I ... 26
Figura 6. Exemplo de gráfico de Análise de Sensibilidade, com aplicação de MAUT ... 28
Figura 7. Exemplo de gráfico de Análise de Sensibilidade com aplicação de AHP ... 32
Figura 8. Categorias semânticas para comparações ... 33
Figura 9. Exemplo de gráfico de Análise de Sensibilidade, com aplicação de MACBETH ... 35
Figura 10. Hierarquia para estimativa da fatia de mercado de lojas de departamento norte-americanas ... 48
Lista de siglas
AHP Analytic Hierarchy Process AMD Apoio multicritério à decisão
COP condition of order preference
ELECTRE Elimination et Choix Traduisant la Réalité IOC International Olympic Committee
ISO International Organization for Standardization
MACBETH Measuring Attractiveness by a Categorical Based Evaluation Technique MAUT Multiple Attribute Utility Theory
MCDA Multiple criteria decision aid MCDA Multiple criteria decision analysis MCDM Multiple criteria decision making
Lista de símbolos
Autovalor máximo de uma matriz
H Índice de consistência de uma hierarquia
ij Índice de consistência de uma matriz
S Índice de compatibilidade cardinal, ou índice de compatibilidade
V Índice de compatibilidade ordinal
A = [aij] Matriz de comparações
D = [dij] Matriz de decisão
e = [ej = 1] Matriz-coluna com todos os componentes iguais a 1
S = [dij] Matriz de superação
o = [oi] Vetor ordinal de decisão
v = [vi] Autovetor direito de uma matriz
w = [wj] Vetor de pesos dos critérios
x = [xi] Vetor cardinal de decisão, ou vetor de decisão
Lista de tabelas
Tabela 1. Matriz de decisão com m alternativas e n critérios ... 17
Tabela 2. Exemplos de vetores cardinal e ordinal ... 18
Tabela 3. Vetores de decisão com aplicações de três métodos de MCDM ... 19
Tabela 4. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de ELECTRE I ... 24
Tabela 5. Exemplo de matriz de concordância, com aplicação de ELECTRE I ... 25
Tabela 6. Exemplo de matriz de discordância, com aplicação de ELECTRE I... 25
Tabela 7. Exemplo de matriz de superação, com aplicação de ELECTRE I ... 25
Tabela 8. Exemplo de nova matriz de superação, com aplicação de ELECTRE I ... 26
Tabela 9. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de MAUT ... 27
Tabela 10. Exemplo de vetor de decisão com a aplicação de MAUT ... 27
Tabela 11. Exemplo de comparações entre critérios, com aplicação de AHP ... 29
Tabela 12. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de AHP ... 29
Tabela 13. Exemplo de índices de consistência, com aplicação de AHP ... 30
Tabela 14. Exemplo de vetor de decisão, com aplicação de AHP ... 31
Tabela 15. Exemplo de comparações entre níveis de desempenho, com aplicação de MACBETH33 Tabela 16. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de MACBETH ... 34
Tabela 17. Exemplo de comparações entre critérios, com aplicação de MACBETH ... 34
Tabela 18. Exemplo de vetor de decisão, com aplicação de MACBETH ... 35
Tabela 19. Distância a Filadélfia ... 36
Tabela 20. Custos de se possuir um automóvel ... 37
Tabela 21. Pesos dos critérios, com aplicação de AHP ... 38
Tabela 22. Matriz de decisão, com aplicação de AHP ... 38
Tabela 23. Vetor de decisão, com aplicação de AHP ... 38
Tabela 24. Limites de desempenho para os critérios, com aplicação de MACBETH ... 39
Tabela 25. Matriz de decisão, com aplicação de MACBETH ... 39
Tabela 26. Pesos dos critérios, com aplicação de MACBETH ... 39
Tabela 27. Vetor de decisão, com aplicação de MACBETH ... 39
Tabela 28. Novos pesos dos critérios, com aplicação de MACBETH ... 40
Tabela 29. Novo vetor de decisão, com aplicação de MACBETH ... 40
Tabela 30. Custos com um automóvel, em dólares ... 41
Tabela 31. Vetores de decisão com aplicações de AHP, MACBETH e soma de custos ... 41
Tabela 32. Preferência entre quatro modelos disponíveis para um produto ... 43
Tabela 33. Preferência entre três modelos disponíveis para um produto ... 43
Tabela 34. Exemplos de vetores compatíveis e incompatíveis ... 46
Tabela 35. Fatia de mercado de lojas de departamento norte-americanas ... 48
Tabela 36. Exemplos de vetores de decisão, com aplicações de AHP, MACBETH e MAUT ... 49
Tabela 37. Três vetores compatíveis, mas com alto índice de compatibilidade ... 51
Tabela 38. Vetores ordinais de decisão com aplicações de AHP, MACBETH e soma de custos ... 53
Tabela 40. Índice de compatibilidade ordinal entre vetores com três componentes... 55
Tabela 41. Exemplos de vetores cardinais com cinco componentes ... 55
Tabela 42. Dados de simulação de um sistema de produção ... 59
Tabela 43. Matriz de decisão, com aplicação sine solutio de MAUT ... 59
Tabela 44. Pesos dos critérios, com aplicação sine solutio de AHP ... 60
Tabela 45. Comparações entre alternativas para tempo de fluxo, com aplicação sine solutio de AHP ... 60
Tabela 46. Comparações entre alternativas para reprogramações, com aplicação sine solutio de AHP ... 60
Tabela 47. Matriz e vetor de decisão, com aplicação sine solutio de AHP ... 61
Tabela 48. Comparações entre alternativas para tempo de fluxo, com aplicação sine solutio de MACBETH ... 61
Tabela 49. Comparações entre alternativas, para reprogramações, com aplicação sine solutio de MACBETH ... 61
Tabela 50. Pesos dos critérios, com aplicação sine solutio de MACBETH ... 62
1. INTRODUÇÃO
1.1. Apresentação do Tema
1.1.1. Metodologia da tomada de decisão com múltiplos critérios
Decisão é a “ação de decidir” (PRIBERAM INFORMÁTICA S.A., 2009). Decidir é “determinar”, “resolver”, ou “emitir opção, preferência, ou voto”. Num entendimento prático, quando um problema possuir apenas uma solução, então, uma ação é necessária. Quando houver mais de uma solução então, antes da ação, será necessário tomar-se uma decisão: ou seja, por exemplo, escolher uma entre as soluções alternativas.
A tomada de decisão com múltiplos critérios (MCDM, do inglês, multiple criteria
decision making) é o estudo da inclusão de critérios conflitantes na tomada de decisão
(INTERNATIONAL SOCIETY ON MCDM, 2009). É uma disciplina em que se produz uma grande quantidade de artigos e livros, desde a década de 1960 (ROY, 2005).
Existem dois tipos de problemas que podem ser solucionados com a MCDM: os problemas discretos e os problemas de otimização. Os problemas discretos ocorrem quando há um número pequeno de soluções alternativas factíveis. Nos problemas de otimização, há um número elevado de alternativas, geralmente, identificadas por meio de equações (DOUMPOS, et al., 2002).
Os problemas discretos são objetos de estudo desta tese. Há quatro tipos de problemas discretos (ROY, 1996): Classificação, Descrição, Escolha e Ordenação (MIRANDA, et al., 2003). O Problema de Classificação é distribuir as soluções alternativas em categorias predefinidas. No Problema de Descrição descrevem-se as soluções alternativas, formalmente, com suas consequências. O Problema de Escolha é identificar um subconjunto, o menor possível, com as soluções alternativas mais satisfatórias para o problema. O Problema de Ordenação é estabelecer uma ordem de preferência do conjunto de alternativas.
Dentre os vários métodos de MCDM, para solução de problemas discretos, podem ser citados, entre outros:
Analytic Hierarchy Process (AHP).
Elimination et Choix Traduisant la Réalité (ELECTRE).
Measuring Attractiveness by a Categorical Based Evaluation Technique (MACBETH).
Devido à grande variedade de métodos de MCDM, algumas classificações foram propostas e adotadas. Acadêmicos europeus, como o francês Prof. Bernard Roy e o belga Prof. Philippe Vincke, propuseram uma divisão do conjunto de métodos de MCDM em duas escolas de abordagens (ROY, et al., 1996) (VINCKE, 1992):
Escola Europeia, com métodos de subordinação e síntese.
Escola Norte-americana, com métodos baseados na função utilidade.
Os métodos da Escola Norte-americana, como AHP e MAUT, são, tradicionalmente, referenciados como métodos de MCDM (BELTON, 1986) (VAIDYA, et al., 2006). Já os da Escola Europeia, por exemplo, os métodos da família ELECTRE, também são denominados de métodos de auxílio à decisão com múltiplos critérios (MCDA, multiple criteria decision aid) (BRASIL F., et al., 2009). A sigla MCDA também é utilizada para a análise da decisão com múltiplos critérios (em inglês,
multiple criteria decision analysis) (FIGUEIRA, et al., 2005). No Brasil, alguns
pesquisadores (GOMES, et al., 2009), preferem o uso da expressão “apoio multicritério à decisão” (AMD), embora esta última contenha um neologismo. Portanto, AMD, MCDA e MCDM podem ser entendidos como sinônimos.
A classificação por nacionalidade é controversa com relação ao método MACBETH, proposto por europeus, mas, conceitualmente, inserido na Escola Norte-americana. Esta classificação também dificulta a classificação de contribuições por equipes internacionais (OLSON, 1996). Mas, a principal inconveniêcia gerada pela classificação foi o surgimento de uma rivalidade entre as escolas. Isto ocorreu, de facto, na década de 2000, em nosso país.
Figura 1. Número de artigos publicados em periódicos científicos (Adaptada de WALLENIUS, et al., 2008)
1.1.2. Generalidades: matrizes e vetores de decisão
Matriz de decisão, D, é a ferramenta principal na aplicação de qualquer método de MCDM. Conforme apresentado na Tabela 1, os componentes da matriz de decisão indicam o desempenho, possibilidade, preferência, ou utilidade das alternativas com relação a cada critério. O que distingue um método de MCDM dos demais é a maneira com que os componentes da matriz de decisão são obtidos e processados.
Tabela 1. Matriz de decisão com m alternativas e n critérios Alternativa Critério 1 Critério 2 ... Critério j ... Critério n
1 d11 d12 ... d1j ... d1n 2 d21 d22 ... d2j ... d2n i di1 di2 ... dij ... din m dm1 dm2 ... dmj ... dmn
Figura 2. Grafo orientado obtido com aplicação de ELECTRE I
Em aplicações de ELECTRE I, o quanto uma alternativa supera outra não é quantificado. Nas aplicações de métodos da Escola Norte-americana, e dalguns métodos da Escola Europeia, esta quantificação é possível. Isto porque a matriz de decisão gera um vetor de decisão, x. Os componentes do vetor de decisão representam o desempenho
global, pontuação global, preferência global, ou utilidade média das alternativas. Para
esta síntese, um vetor de pesos dos critérios, w, pode ser necessário. O vetor de decisão pode ser obtido conforme a Equação (1), ou seja, com a multiplicação entre a matriz de decisão, uma matriz m×n, e o vetor de pesos dos critérios, uma matriz n×1.
x = D w (1)
A solução de um Problema de Escolha, então, será a alternativa com o maior valor de xi. Se for um Problema de Ordenação, a solução do problema se dará com a obtenção do vetor ordinal de decisão, o, conforme a Equação (2), onde a função “ordem” associa um número inteiro de 1 a m, baseando-se na ordem decrescente dos componentes do vetor cardinal de decisão, x.
) ( ordem 1 i m i i x o (2)
A Tabela 2 apresenta exemplos de vetores de decisão, cardinais e ordinais. A solução do Problema de Escolha seria a escolha da Alternativa 3, para a qual se observa
x3 = 0,9 e o3 = 1.
Tabela 2. Exemplos de vetores cardinal e ordinal
Em aplicações de AHP, a matriz de decisão é, geralmente, estocástica quanto às colunas, ou seja, os componentes de suas colunas são normalizados, conforme a Equação (3). O vetor de pesos dos critérios e o vetor de decisão também são normalizados, conforme as Equações (4) e (5).
m j d m i ij 1 1, 2... 1
(3) 1 1
n j j w (4) 1 1
m i i x (5)Em aplicações de MAUT, a matriz de decisão não é uma matriz estocástica. Os componentes das colunas desta matriz são idealizados, conforme a Equação (6).
n j dij m i ... 2 , 1 1 ) ( max 1 (6)
AHP, MAUT e MACBETH foram aplicados ao mesmo problema de decisão: terceirizar ou não um serviço interno em uma fábrica (FERREIRA F., et al., 2006). Critérios como custo e qualidade foram considerados. A Tabela 3 apresenta os vetores de decisão obtidos com aplicações destes métodos nos mesmos dados iniciais.
Tabela 3. Vetores de decisão com aplicações de três métodos de MCDM (Fonte: FERREIRA F., et al., 2006)
Alternativa AHP MACBETH MAUT
Contratar pessoal 0,15 24 0,22
Manter o efetivo 0,37 64 0,61
Terceirizar 0,48 71 0,72
A coincidência relatada anteriormente era esperada, uma vez que os mesmos dados iniciais foram utilizados. Mas, isto não ocorreu em uma aplicação teórica de AHP, ELECTRE I e MACBETH em um problema de seleção de fornecedores (SALOMON, et al., 2006). Os mesmos dados iniciais foram utilizados. Os resultados das aplicações estão apresentados na Figura 3.
Método Resultados
AHP Selecionar o Fornecedor B.
Se o peso do Critério Preço for maior que 80%, então selecionar o Fornecedor C.
ELECTRE I Selecionar os Fornecedores B ou C.
Evitar selecionar o Fornecedor A.
MACBETH Selecionar o Fornecedor B.
Se o peso do Critério Preço for maior que 40%, então selecionar o Fornecedor A. Figura 3. Resultados obtidos com aplicações de três métodos de MCDM
(Fonte: SALOMON, et al., 2006)
Embora todas as aplicações resultem na seleção do Fornecedor B, há certa divergência entre elas. Do exposto na Figura 3, surgem duas questões:
1. Os resultados podem ser considerados compatíveis ou não? 2. Se os resultados forem incompatíveis, qual deles é o correto?
Ao se tentar responder a estas questões, temas de recentes pesquisas sobre MCDM podem ser abordados. Entres estes temas, incluem-se validade de uma
aplicação (WHITAKER, 2007) e compatibilidade entre vetores de decisão (GARUTI,
2007), objetos de estudo desta tese.
Compatibilidade e validade de aplicações de métodos de MCDM são temas de
publicações recentes. Mas, o questionamento de resultados de aplicações de métodos de MCDM não é uma novidade. Um exemplo é a questão de inversão de ordem (RR,
ranking reversal). RR ocorre quando há inversão de ordem, ou prioridades, das
1.2. Aspectos Metodológicos da Tese
Ainda existem, no Brasil, pesquisadores que alimentam a rivalidade entre as Escolas Europeia e Norte-americana de MCDM. Infelizmente, estes pesquisadores desempenham funções importantes como revisores de artigos, em congressos e periódicos, ou assessores de órgãos de fomento a pesquisa. Estas pessoas tem uma equivocada convicção da superioridade da Escola Europeia. Mais do que isto, consideram que o AHP, o método de MCDM mais utilizado no mundo é um método falho.
Uma das pretensões desta tese é contribuir para o fim deste preconceito. Espera-se contribuir para que os pesquisadores brasileiros continuem a aplicar o AHP, sistematicamente, em suas tomadas de decisões, assim como ocorre em todo o mundo.
O objetivo geral desta tese é apresentar contribuições para a análise de aplicações de métodos de MCDM. Entre os objetivos específicos destacam-se:
Incluir, no estudo, temas recentes ou pouco abordados como compatibilidade e
validade de aplicações de métodos de MCDM em problemas discretos.
Identificar situações ou fragilidades em aplicações de métodos de MCDM, de modo a evitar aplicações inválidas por usuários inexperientes.
Propor um procedimento para que uma aplicação possa ser considerada válida ou não.
Espera-se atender aos objetivos e pretensões da tese utilizando-se um método de pesquisa de estratégia quantitativa: Modelagem Matemática (BERTRAND, et al., 2002). A estratégia quantitativa é impulsionada por considerações prévias; na
estratégia qualitativa, busca-se o que é importante para aqueles que atuam no universo
pesquisado (BRYMAN, 2008). Outra clara diferenciação entre as duas estratégias de pesquisa é a quantidade de objetos pesquisados. Na estratégia qualitativa, apenas um objeto de pesquisa pode ser suficiente, como em um estudo de caso. Na estratégia
quantitativa, o número de objetos pesquisados pode ser tão grande que estes nem
existam ainda, como no caso de uma Simulação.
Estratégias mistas de pesquisa também podem ser adotadas. Pois, aspectos qualitativos podem auxiliar pesquisas com estratégia quantitativa e vice-versa (BRYMAN, et al., 2007). Assim, a elaboração desta tese seguiu uma estratégia
qualitativa-quantitativa. Ou seja, pretendeu-se atender os objetivos e apresentar as
A Modelagem Matemática da aplicação de um método de MCDM consiste, basicamente, de três fases:
1. Identificação do objetivo da decisão (ou seja, do tipo de problema), dos critérios e das alternativas.
2. Atribuição de valores de importância para os critérios e valores de desempenho para alternativas.
3. Síntese dos resultados
A Fase 1 da modelagem pode ser denominada de Estruturação; a Fase 2 é a Medição, ou coleta de dados; e a Fase 3 é a Síntese dos Resultados. As duas últimas fases são o foco desta tese. Há duas justificativas para o uso da palavra Fase ao invés de Passo, na divisão da modelagem. A primeira é que as fases podem ser executadas com simultaneidade ou iterações. Ao contrário disso, de acordo com o ditado popular, “um passo de cada vez”. Por exemplo, em Problema de Escolha, após se medir o desempenho das alternativas, pode haver dominância, o que implicaria na eliminação de alguma alternativa. Assim, a Fase de Medição interage com a Fase de Estruturação. A segunda justificativa é para que passo seja associado aos métodos. Ou seja, um passo em uma aplicação de um método de MCDM é como está sendo realizado um procedimento necessário para uma fase da modelagem do problema. Assim, se estabelece a distinção conceitual entre Modelagem Matemática e aplicação de um método de MCDM.
Esta tese está dividida em mais três capítulos, além deste introdutório. No Capítulo 2 estão detalhados os conceitos teóricos para aplicação de métodos de MCDM na solução de problemas discretos. Também estão apresentados conceitos como compatibilidade entre vetores de decisão e validade da aplicação de um método de MCDM. No Capítulo 3 apresentam-se a contribuições para a análise de aplicações de métodos de MCDM. No Capítulo 4 estão as considerações finais da tese.
Após o último capítulo, encontram-se as Referências Bibliográficas. As citações na tese e as fontes bibliográficas após o texto foram inseridas com utilização do
software Microsoft Word no padrão da Organização Internacional para Padronização
2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
2.1. Considerações IniciaisNeste capítulo, conceitos de MCDM são apresentados. Inicialmente, na Seção 2.2 estão apresentados como, na aplicação de alguns métodos de MCDM, são realizadas as Fases de Medição e Síntese. Nas Seções 2.3 e 2.4, respectivamente, a validade e a
compatibilidade de aplicações de métodos de MCDM são apresentadas em detalhe.
Ainda nesta seção inicial do capítulo é introduzido um exemplo teórico de um problema discreto de MCDM. Este exemplo será utilizado em toda a Seção 2.2, com aplicações de quatro métodos de MCDM: AHP, ELECTRE I, MAUT e MACBETH.
Na Figura 4, observam-se exemplos de dados iniciais de um problema discreto de MCDM: a qualificação do desempenho das alternativas com relação a cada critério.
Alternativa Critério 1 Critério 2 Critério 3
1 Excelente Razoável Razoável
2 Razoável Excelente Excelente
3 Muito bom Muito bom Ruim
4 Bom Bom Ruim
Figura 4. Exemplo de dados iniciais para aplicação de um método de MCDM
Em se tratando de um Problema de Escolha, a Alternativa 4 deve ser eliminada. Pois, seu desempenho é no máximo igual ao da Alternativa 3, às vezes pior. Assim, pode-se dizer que o desempenho da Alternativa 3 domina o da Alternativa 4. Não há nenhuma outra relação de dominância evidente. Mas, em se tratando de um Problema de Ordenação, então a Alternativa 4 não pode ser eliminada. Pois, mesmo sendo dominada pela Alternativa 3, seu desempenho global pode ser superior ao de outra alternativa.
Além do desempenho das alternativas, o peso dos critérios pode ser necessário, dependendo do método de MCDM que será aplicado. A título de exemplo, considere-se que: o Critério 2 é o mais importante; os Critérios 1 e 3 são igualmente importantes.
2.2. Fases de Medição e Síntese 2.2.1. ELECTRE
Tabela 4. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de ELECTRE I Alternativa Critério 1 Critério 2 Critério 3
1 5 2 2
2 2 5 5
3 4 4 1
4 3 3 1
A atribuição de valores numéricos para o desempenho qualitativo pode depender de opiniões pessoais. Ou seja, os valores da Tabela 4 podem variar, dependendo de quem fez o julgamento, e de quais são seus objetivos e preferências (SAATY, 2005). Ao contrário de invalidar a aplicação, esta dependência a torna legítima para a solução do problema, conforme discutido no Capítulo 3.
Com exceção de ELECTRE IV, os pesos dos critérios são necessários para aplicação de métodos ELECTRE (GOMES, 2007). Estes pesos podem ser obtidos com vários procedimentos. A atribuição direta de valores é, geralmente, adotada. Assim, como o Critério 2 é o mais importante, pode-se atribuir w2 = 1. Como os Critérios 1 e 3,
são igualmente menos importantes, pode-se atribuir w1 = w3 = 0,5. Então, obtém-se o
vetor de pesos dos critérios, w = (0,5; 1; 0,5). Este vetor pode ser normalizado, de acordo com a Equação (4), resultando em w = (0,25; 0,5; 0,25).
Na Etapa de Síntese, em aplicações de ELECTRE, trabalha-se com o conceito de superação entre as alternativas. Procura-se identificar se o risco de considerar uma alternativa tão boa quanto outra é aceitável (GOMES, et al., 2003). Para se chegar a esta aceitação são utilizados os conceitos de concordância e discordância.
A partir de uma matriz de decisão podem ser obtidos conjuntos de concordância,
Cij, e conjuntos de discordância, Dij. Um conjunto de concordância é composto pelos critérios em que o desempenho da Alternativa i é melhor ou igual ao da Alternativa j. Já no conjunto de discordância estão os critérios em que o desempenho da Alternativa i não é melhor que o da Alternativa j.
As Tabela 5 e Tabela 6 apresentam as matrizes de concordância e discordância, respectivamente, obtidas com a matriz de decisão apresentada na tabela 4 e com o vetor de pesos dos critérios normalizado.
Tabela 5. Exemplo de matriz de concordância, com aplicação de ELECTRE I
Alternativa 1 2 3 4
1 0,25 0,50 0,50
2 0,75 0,75 0,75
3 0,50 0,25 0,75
4 0,50 0,25 0,25
Tabela 6. Exemplo de matriz de discordância, com aplicação de ELECTRE I
Alternativa 1 2 3 4
1 0,75 0,50 0,25
2 0,75 0,50 0,25
3 0,25 1 0
4 0,50 1 0,25
O passo seguinte é a obtenção de limites de concordância e discordância. Inicialmente, as médias aritméticas dos componentes das matrizes podem ser adotadas como limites. Neste caso, para os valores das Tabela 5 e Tabela 6, ambos os limites de concordância e discordância seriam iguais a 0,50.
A matriz de superação, S, pode ser obtida da seguinte maneira: quando o índice de concordância for maior ou igual ao seu limite e quando o índice de discordância for menor ou igual ao seu limite, então, sij = 1. Caso contrário, sij = 0. A Tabela 7 apresenta a matriz de superação para o exemplo em questão.
Tabela 7. Exemplo de matriz de superação, com aplicação de ELECTRE I Alternativa 1 2 3 4
1 0 1 1
2 0 1 1
3 1 0 1
4 1 0 0
Figura 5. Grafo orientado, com aplicação de ELECTRE I
A interpretação do grafo é a seguinte: não há preferência entre as Alternativa 1 e 3 e entre 1 e 4; as Alternativas 1 e 2 são incomparáveis; a Alternativa 2 supera as Alternativas 3 e 4; A Alternativa 3 supera a Alternativa 4.
Se os limites de concordância e discordância variarem em 10 pontos percentuais (aumentando o de concordância para 0,60 e diminuindo o de discordância para 0,40), as relações de superação também se alteram. A Tabela 8 apresenta uma nova matriz de superação obtida com os novos limites.
Tabela 8. Exemplo de nova matriz de superação, com aplicação de ELECTRE I Alternativa 1 2 3 4
1 0 0 0
2 0 0 1
3 0 0 1
4 0 0 0
A interpretação da nova matriz de superação é: as Alternativas 2 e superam a Alternativa 4; as demais alternativas não são comparáveis entre si. Um grafo orientado também pode ser obtido a partir da nova matriz. Mas, como são poucas as relações de superação (ao contrário da Tabela 7), esta figura não será tão útil.
Das matrizes de superação obtidas, conclui-se que, se o problema em questão for um Problema de Escolha, a aplicação de ELECTRE I apresentada nesta seção não pode ser considerada eficaz. Pois, a aplicação não indica uma solução para o problema. O mesmo pode ser considerado para um Problema de Ordenação. Ou seja, neste exemplo, a aplicação de ELECTRE I seria mais adequada para Problemas de Classificação ou Descrição.
A adequação de um método a um tipo de problema é discutida no Capítulo 3. Nas Seções 2.2.2 a 2.2.4 apresenta-se como o problema poderia ser solucionado com aplicação de outros métodos de MCDM.
Alternativa 1 Alternativa 3
Alternativa 2
2.2.2. MAUT
Em aplicações de MAUT, os componentes da matriz de decisão devem ser idealizados, conforme a Equação (6). Contudo, desta equação apenas pode-se obter
d11 = d22 = d23 = 1. Os demais componentes da matriz são obtidos com a Equação (7),
ou com interpolação linear entre 0 e 1.
n j dij m i ... 2 , 1 0 ) ( min 1 (7)
Assim, a matriz apresentada na Tabela 9 pode ser obtida.
Tabela 9. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de MAUT Alternativa Critério 1 Critério 2 Critério 3
1 1 0 1/4
2 0 1 1
3 2/3 2/3 0
4 1/3 1/3 0
Em aplicações de MAUT, o vetor de pesos dos critérios também deve ser normalizado. Ou seja, pode-se utilizar o mesmo w obtido para aplicação de ELECTRE, apresentado na Seção 2.2.1. Substituindo valores na Equação (1), obtém-se o vetor de decisão apresentado na Tabela 10. Este vetor é também um vetor de utilidade média, ou vetor da utilidade esperada com a escolha de cada alternativa.
Tabela 10. Exemplo de vetor de decisão com a aplicação de MAUT Alternativa Utilidade esperada
1 0,31
2 0,75
3 0,50
4 0,25
Se o problema em questão for um Problema de Escolha, então a aplicação de MAUT indica a escolha da Alternativa 2. Se o problema for de ordenação, o vetor de decisão ordinal obtido com a aplicação da MAUT é o = (3, 1, 2, 4).
Figura 6. Exemplo de gráfico de Análise de Sensibilidade, com aplicação de MAUT
O gráfico apresentado na Figura 6, ás vezes é, erroneamente, denominado de Análise de Sensibilidade. O gráfico em si é apenas uma ferramenta. A análise será a interpretação dos elementos do gráfico. Por exemplo, nota-se que caso o peso do Critério 1 seja dobrado, ou seja, aumente de 25% para 50%, a Alternativa 2 deixará de ser a alternativa com maior utilidade esperada, sendo ultrapassada por duas Alternativas 1 e 3. Julgar se este aumento é viável pode depender de opiniões de especialistas ou de pessoas envolvidas com a solução do problema.
2.2.3. AHP
Em aplicações de AHP, os pesos dos critérios são obtidos com um procedimento mais sofisticado do que a simples atribuição direta de valores. Uma matriz de comparações entre os critérios, dois a dois, deve ser preenchida. Para as comparações, geralmente, se adota uma escala linear de 1 a 9, a Escala Fundamental de Números Absolutos (SAATY, 2005), ou, simplesmente, Escala Fundamental. Os pesos dos critérios são obtidos baseando-se em uma teoria bem conhecida da Álgebra Linear.
Dada uma matriz de comparações, A, os pesos dos elementos comparados podem ser obtidos como o autovetor direito da matriz, v, conforme a Equação (8), onde é o maior autovalor da matriz.
A Equação (8) gera um sistema com n equações lineares e n+1 variáveis. Existem diversas marcas de software comercial que realizam este cálculo. O serviço online Wolfram Alpha (WOLFRAM RESEARCH COMPANY, 2010), também realiza o cálculo, instantânea e gratuitamente. Além disso, devido às características da Escala Fundamental, os componentes do autovetor podem ser facilmente estimados com planilhas eletrônicas. Assim, ao contrário do que ocorre com alguns métodos de MCDM, aplicações de AHP não necessitam de um software proprietário. Esta abertura no conhecimento é uma das justificativas para o maior número de aplicações do AHP.
A Tabela 11 apresenta um exemplo de matriz de comparações entre os critérios, utilizando a Escala Fundamental. Observa-se que o Critério 2 foi julgado “um pouco mais importante” que o Critério 1. A este julgamento corresponde o valor 3 na Escala Fundamental. Os pesos dos critérios foram obtidos com a normalização dos componentes do autovetor direito. Para esta matriz obtém-se = 3.
Tabela 11. Exemplo de comparações entre critérios, com aplicação de AHP
Critério 1 2 3 Peso
1 1 1/3 1 20%
2 3 1 3 60%
3 1 1/3 1 20%
O mesmo procedimento adotado para a obtenção de pesos dos critérios pode ser utilizado para os valores de desempenho das alternativas. Ou seja, as alternativas podem ser comparar duas a duas, para cada critério. Do autovetor direito normalizado de cada matriz de comparações obtém-se o vetor de desempenho, ou de prioridades das alternativas, para o critério em questão. Assim, a Tabela 12 apresenta a matriz de decisão. Na linha inferior da tabela estáapresentado o maior autovalor obtido para cada matriz de comparações.
Tabela 12. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de AHP Alternativa Critério 1 Critério 2 Critério 3
1 0,57 0,06 0,18
2 0,06 0,56 0,69
3 0,24 0,26 0,07
4 0,14 0,12 0,07
Observa-se que as matrizes de comparações que originaram os componentes da matriz de decisão possuem autovalores próximos de 4, ou seja, n. Isto é um indicador da qualidade das comparações: as comparações possuem coerência entre si.
De acordo com a Equação (9), o índice de consistência, , mede o afastamento entre e n. Este índice não deve ficar próximo de 0,10 (SAATY, 2006).
1 n n (9)
A Tabela 13 apresenta os índices de consistência das matrizes de comparações que geraram o vetor de pesos dos critérios (Tabela 11) e a matriz de decisão (Tabela 12).
Tabela 13. Exemplo de índices de consistência, com aplicação de AHP
Variável Tabela 11
Tabela 12
Critério 1 Critério 2 Critério 3
3 4,39 4,11 4,04
0 0,13 0,04 0,01
Observa-se que as matrizes de comparações entre as alternativas não podem ser consideradas 100% consistentes como a matriz de comparações entre os critérios. Uma das justificativas é o aumento no número de itens comparados. A questão que surge é se as comparações com relação ao Critério 1 precisam ser revisadas. Estas comparações geraram um valor de desempenho superior a 0,5 para a Alternativa 1 e outro valor inferior a 0,1 para a Alternativa 2. Este deve ser o primeiro foco do tomador de decisão, caso, não esteja contente com este resultado, ele deve alterar as comparações. A mesma revisão deve ser feita com relação aos demais critérios. Caso ele esteja satisfeito com o resultado, isto é com a matriz de decisão, ele pode, sim, aceitar a matriz de decisão, isto não será um “grande pecado”1.
Caso se opte pela revisão da matriz de comparações, o uso de software específico para o AHP, como Expert Choice (EXPERT CHOICE, INC., 2009) ou Super Decisions (CREATIVE DECISIONS FOUNDATION, 2009), pode ser útil. Pois, o software
1
realiza cálculos, como a diferença entre as matrizes aij e vi/vj, que indicam rapidamente qual comparação está mais incoerente com as demais.
O índice de consistência da hierarquia, H, pode ser calculado conforme a Equação (10) (SAATY, 2006 p. 127):
h j n i j i ij H j i w 1 1 1 , 1 , (10)Substituindo valores das Tabela 11 e Tabela 13, na Equação (10):
H = 1×0 + 0,20×0,13 + 0,60×0,04 + 0,20×0,01 = 0 + 0,026 + 0,024 + 0,002 = 0,052
Assim, as matrizes de comparações podem ser consideradas consistentes. Substituindo valores na Equação (1), obtém-se o vetor de decisão apresentado na Tabela 14.
Tabela 14. Exemplo de vetor de decisão, com aplicação de AHP
Alternativa Desempenho global
1 0,18
2 0,49
3 0,22
4 0,11
Os resultados obtidos com a aplicação de AHP são os mesmos da aplicação de MAUT. Se o problema em questão for um Problema de Escolha, então, a aplicação de AHP indica a escolha da Alternativa 2. Se for um Problema de Ordenação, o vetor de decisão ordinal obtido com a aplicação da AHP é o = (3, 1, 2, 4).
Figura 7. Exemplo de gráfico de Análise de Sensibilidade com aplicação de AHP
2.2.4. MACBETH
AHP e MACBETH estão entre os métodos mais aplicados para a solução de problemas discretos de MCDM, no Brasil, durante a década de 2000 (SALOMON, et al., 2006). Uma fraca justificativa apresentada por alguns adeptos do MACBETH é que ele se trata de um método mais recente que o AHP. De facto, o 1º artigo sobre MACBETH (BANA C., et al., 1994) é 20 anos mais novo que 1º o sobre AHP (SAATY, 1974). No entanto, AHP e MACBETH têm tantos elementos em comum, que se pode dizer que o segundo não é muito mais do que uma nova versão do primeiro. Tanto nas aplicações de AHP, quanto nas de MACBETH, se mede atributos intangíveis das alternativas com julgamentos inseridos em matrizes de comparações. A qualidade dos julgamentos, em aplicações de ambos os métodos, é verificada com a coerência entre as comparações. As principais diferenças entre os métodos incluem a escala utilizada para as comparações e o procedimento de se obter prioridades através dos julgamentos.
Em aplicações do MACBETH as comparações entre as alternativas devem preceder as comparações entre os critérios. As comparações também são inseridas em uma matriz de comparações. Mas, a escala adotada para as comparações não é uma escala de números absolutos. Adota-se uma escala de categorias: seis [sic] categorias semânticas de diferença de atratividade são oferecidas como possíveis respostas para as
comparações (BANA C., et al., 2005). De facto, conforme apresentado na Figura 8, são sete categorias.
Categoria Descrição
0 Sem diferença de atratividade
1 Diferença de atratividade muito fraca
2 Fraca diferença de atratividade
3 Moderada diferença de atratividade
4 Forte diferença de atratividade
5 Muito forte diferença de atratividade
6 Extrema diferença de atratividade
Figura 8. Categorias semânticas para comparações
Os vetores de desempenho, possibilidade ou prioridades, das alternativas com relação aos critérios são obtidos com um modelo de programação linear (PL). No entanto, muitos usuários do método desconhecem os elementos do modelo como a função objetivo, variáveis e restrições. As comparações são, geralmente, inseridas no único software disponível para aplicação do método: M-MACBETH (BANA CONSULTING LDA., 2007).
Um procedimento, geralmente, adotado nas aplicações de MACBETH é o estabelecimento de níveis de desempenho para cada critério. Realizam-se comparações entre estes níveis e o modelo de PL retorna valores de desempenho para cada nível, conforme a Tabela 15. De acordo com o software M-MACBETH, esta matriz de comparações pode ser aceita, ou seja, os julgamentos podem ser considerados coerentes entre si.
Tabela 15. Exemplo de comparações entre níveis de desempenho, com aplicação de MACBETH
Nível N1 N2 N3 N4 N5 Desempenho Excelente (N1) 0 2 4 5 6 100 Muito Bom (N2) 0 3 4 6 80 Bom (N3) 0 2 4 50 Razoável (N4) 0 3 30 Ruim (N5) 0 0
Tabela 16. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de MACBETH Alternativa Critério 1 Critério 2 Critério 3
1 100 30 30
2 30 100 100
3 80 80 0
4 50 50 0
Após a obtenção da matriz de decisão, o passo seguinte em aplicações de MACBETH é a obtenção de pesos para os critérios. Assim como no AHP o vetor de pesos dos critérios é obtido de uma matriz de comparações. As comparações, no entanto, não são entre os critérios, mas, sim entre a diferença de atratividade entre duas alternativas virtuais. Ou seja, aij representa qual a diferença de atratividade entre a escolha de uma alternativa com o melhor desempenho no Critério i ao invés da alternativa com o melhor desempenho no Critério j.
Devido ao modelo de PL utilizado no software M-MACBETH, um critério fictício, Inferior, deve ser inserido na matriz de comparações. Trata-se de uma alternativa com o pior desempenho em todos os critérios. Assim, esta alternativa terá o peso nulo, e o critério menos importante terá um peso não nulo, sendo também considerado na tomada de decisão. A Tabela 17 apresenta um exemplo de matriz de comparações com aplicação de MACBETH. De acordo com o software M-MACBETH, os julgamentos podem ser considerados coerentes.
Tabela 17. Exemplo de comparações entre critérios, com aplicação de MACBETH
Critério 1 2 3 Inferior Peso
1 0 4 6 26%
2 4 0 0 5 48%
3 0 5 26%
Inferior 0 0
Substituindo-se a matriz de decisão (Tabela 16) e o vetor de pesos dos critérios (Tabela 17) na Equação (1), obtém-se o vetor de decisão apresentado na Tabela 18.
Tabela 18. Exemplo de vetor de decisão, com aplicação de MACBETH
Alternativa Pontuação global
1 48,4
2 81,6
3 58,4
4 36,8
Os resultados obtidos com a aplicação de MACBETH são os mesmos da aplicação de AHP e MAUT. Se o problema em questão for um Problema de Escolha, então, a aplicação de MACBETH indica a escolha da Alternativa 2. Se for um Problema de Ordenação, o vetor de decisão ordinal obtido com a aplicação da MACBETH é o = (3, 1, 2, 4).
A Figura 9 apresenta um gráfico da variação do desempenho global das alternativas com relação ao peso do Critério 1. Percebe-se que o gráfico obtido com aplicação de MACBETH está mais parecido com o gráfico da aplicação de AHP, do que o do gráfico obtido com a aplicação de MAUT.
2.3. Validade da Aplicação de um Método de MCDM 2.3.1. Exemplos de aplicações válidas de AHP
A scaling method for priorities in hierarchical structures (SAATY, 1977) é um
dos primeiros artigos sobre o AHP. Neste artigo são apresentadas duas tabelas, reproduzidas na Tabela 19. Os componentes da matriz de comparações são respostas à pergunta: o quanto a cidade i é mais distante de Filadélfia do que a cidade j é? Filadélfia foi a cidade onde o Prof. Thomas Saaty residiu na década de 1970. Suas respostas foram dadas com base no cansaço durante voos entre as cidades.
Tabela 19. Distância a Filadélfia (Fonte: SAATY, 1977)
Cidade CAI TYO ORD SFO LGW YMX Autovetor Distância
[milha] Distância normalizada Cairo (CAI) 1 1/3 8 3 3 7 0,263 5.729 0,278 Tóquio (TYO) 3 1 9 3 3 9 0,397 7.449 0,361 Chicago (ORD) 1/8 1/9 1 1/6 1/5 2 0,033 660 0,032
São Francisco (SFO) 1/3 1/3 6 1 1/3 6 0,116 2.732 0,132
Londres (LGW) 1/3 1/3 5 3 1 6 0,164 3.658 0,177
Montreal (YMX) 1/7 1/9 1/2 1/6 1/6 1 0,027 400 0,019
O índice de consistência da matriz de comparações é = 0,09. Portanto, abaixo do limite de 0,10. A maior diferença absoluta entre um elemento do autovetor e o vetor de distâncias normalizadas é igual a 0,036, para Tóquio. Um índice de consistência abaixo de 0,10 e a pequena diferença entre os componentes dos dois vetores permitem que a matriz de comparações seja aceita. Ou seja, estes indicadores validam a matriz. Portanto, este é um exemplo de validação de uma aplicação de AHP.
A validação foi possível porque existe uma solução real para o problema. Como a solução já existia antes da aplicação de AHP, esta foi uma aplicação ex-post. Outros exemplos de validação de aplicações ex-post de AHP incluem estimativa de áreas de
figuras geométricas, pesos de objetos em um escritório, e consumo relativo de energia elétrica de eletrodomésticos (WHITAKER, 2007). Na Seção 2.3.2 apresentam-se
aplicações ex-post de AHP e MACBETH no mesmo problema.
campeonato mundial de xadrez em 1980 (SAATY, et al., 1991). Foram considerados 2 grupos de critérios (comportamental e técnico), totalizando 18 critérios, como
capacidade de cálculo, ego, experiência etc. A previsão com aplicação de AHP foi que
Anatoly Karpov venceria seis jogos contra Viktor Korchnoi. E foi o que aconteceu. Assim, quando existir uma solução real para um problema, a validade da aplicação de um método de MCDM pode ser verificada. Caso os resultados coincidam, ou pelo menos possam ser considerados próximos, a aplicação pode ser validada; caso os resultados sejam muito diferentes, a aplicação deve ser invalidada. Com o índice de compatibilidade apresentado na Seção 2.4.1, pode-se estimar se os resultados estão próximos ou distantes.
2.3.2. Exemplo de aplicação válida de AHP e inválida de MACBETH
Esta seção apresenta um Problema de Escolha real relacionado com uma decisão pessoal: a compra de um automóvel. Os métodos AHP e MACBETH seriam aplicados. Foram consideradas três alternativas. Mas, seus desempenhos foram muito similares em critérios como beleza, conforto, segurança, status etc. Assim, seria uma decisão baseada em um único critério financeiro: custos. Mas, há vários tipos de custos envolvidos com a propriedade de um automóvel, conforme apresentado na Tabela 20. Os valores foram obtidos de informações de fabricantes ou revendedores.
Tabela 20. Custos de se possuir um automóvel (Fonte: SALOMON, 2008) Alternativa Preço [dólar] Consumo de combustível [mpg] Manutenção anual
[dólar] Depreciação em 3 anos
1 26.000 20 1.200 70%
2 27.000 27 1.320 60%
3 28.000 25 840 50%
O comprador enfrenta alguns trade-offs. Se escolher a Alternativa 1, irá gastar menos com o custo inicial, preço. Mas, se escolher a Alternativa 2 gastará menos com combustível, já que este automóvel possui o melhor desempenho em consumo de
combustível, medido em milhas por galão (mpg). Há ainda a Alternativa 3, que se for
A Tabela 21 apresenta comparações entre os critérios, com aplicação de AHP. O índice de consistência da matriz de comparações é = 0,04. Assim, a matriz pode ser considerada consistente.
Tabela 21. Pesos dos critérios, com aplicação de AHP
Critério P C M D Pesos
Preço (P) 1 3 5 7 56%
Consumo de combustível (C) 1/3 1 3 5 26%
Manutenção anual (M) 1/5 1/3 1 3 12%
Depreciação (D) 1/7 1/5 1/3 1 6%
Os dados da Tabela 20 podem ser aproveitados para se obter o desempenho das alternativas com relação a cada critério. Primeiramente, deve ser observado que os dados de consumo de combustível foram medidos proporcionalmente ao desempenho da alternativa: ou seja, quanto mais alto for o valor, em mpg, mais preferível será a alternativa. Para os outros critérios, os dados foram medidos de maneira inversa. Ou seja, para o preço, por exemplo, quanto maior o valor, pior o desempenho da alternativa. A Tabela 22 apresenta os valores de desempenho obtidos para as alternativas com a normalização dos dados de consumo de combustível e com a harmonização dos dados para os outros critérios. O procedimento de harmonização consiste na soma dos dados, seguida pela divisão da soma pelo dado inicial e, finalmente, pela normalização.
Tabela 22. Matriz de decisão, com aplicação de AHP
Alternativa Preço Consumo de combustível Manutenção anual Depreciação em 3 anos
1 81/26 → 0,346 20/72 → 0,278 3,36/1,20 → 0,298 180/70 → 0,280
2 81/27 → 0,333 27/72 → 0,375 3,36/1,32 → 0,275 180/60 → 0,327
3 81/28 → 0,321 25/72 → 0,347 3,36/0,84 → 0,426 180/50 → 0,393
A Tabela 23 apresenta o vetor de decisão, obtido substituindo-se a matriz de decisão e o vetor de pesos dos critérios na Equação (1). O resultado da aplicação de AHP é a seleção da Alternativa 3.
Tabela 23. Vetor de decisão, com aplicação de AHP Alternativa Desempenho global
1 0,319
2 0,337
Os dados apresentados na Tabela 20 também podem ser aproveitados em uma aplicação de MACBETH. Primeiramente, devem ser estabelecidos intervalos de desempenho aceitáveis para cada critério, conforme apresentado na Tabela 24.
Tabela 24. Limites de desempenho para os critérios, com aplicação de MACBETH
Desempenho Preço [dólar] Consumo de combustível [mpg] Manutenção anual [dólar] Depreciação em 3 anos Melhor 25.000 30 600 50% Pior 29.000 20 1.800 90%
A Tabela 25 apresenta as pontuações das alternativas de acordo com cada critério. Para o melhor valor da Tabela 24 atribuiu-se 100 pontos; para o pior valor foi atribuído zero. Os demais valores da Tabela 20 foram interpolados linearmente.
Tabela 25. Matriz de decisão, com aplicação de MACBETH
Alternativa Preço Consumo de combustível Manutenção anual Depreciação em 3 anos
1 75 0 50 50
2 50 70 40 75
3 25 50 80 100
A Tabela 26 apresenta comparações entre os critérios. O vetor de pesos dos critérios foi obtido com utilização do software M-MACBETH. De acordo com este
software a matriz de comparações pode ser considerada consistente. Tabela 26. Pesos dos critérios, com aplicação de MACBETH
Critério P C M D I Pesos Preço (P) 0 1 2 3 4 40% Consumo de combustível (C) 0 1 2 3 30% Manutenção anual (M) 0 1 2 20% Depreciação (D) 0 1 10% Inferior (I) 0 0%
A Tabela 27 apresenta o vetor de decisão obtido com a aplicação de MACBETH.
Tabela 27. Vetor de decisão, com aplicação de MACBETH Alternativa Pontuação global
1 45,0
2 56,5
A Alternativa 2 é a que possui maior pontuação global, devendo ser a escolhida. Este resultado diverge do obtido com a aplicação de AHP. É importante salientar que a aplicação de MACBETH foi revista por duas pessoas experientes na utilização do
software M-MACBETH.
A grande dificuldade encontrada pelo tomador de decisão, neste exemplo, foi realizar as comparações com relação à última coluna. Por exemplo, a comparação entre Preço e Inferior é uma resposta à pergunta: qual a perda de atratividade entre a escolha de uma alternativa com o melhor preço e outra com o pior preço? Na Tabela 26 a resposta é “forte”, ou seja, categoria 4. Mas, o tomador de decisão ficou em dúvida achando que todas as comparações da coluna Inferior deveriam ser “extrema”, conforme apresentado na Tabela 28.
Tabela 28. Novos pesos dos critérios, com aplicação de MACBETH
Critério P C M D I Pesos Preço (P) 0 1 2 3 6 30% Consumo de combustível (C) 0 1 2 6 27% Manutenção anual (M) 0 1 6 23% Depreciação (D) 0 6 20% Inferior (I) 0 0%
De acordo com o software M-MACBETH a matriz de comparações apresentada na Tabela 28 pode ser considerada consistente. A Tabela 29 apresenta o novo vetor de decisão obtido com o novo vetor de pesos.
Tabela 29. Novo vetor de decisão, com aplicação de MACBETH Alternativa Pontuação global
1 44,2
2 58,0
3 59,5
Os resultados da Tabela 27 devem ser mantidos como resultado da aplicação de MACBETH nesta seção. Afinal, a aplicação que gerou estes resultados foi validada por dois especialistas no software M-MACBETH.
Apesar da divergência entre os resultados das aplicações de AHP e MACBETH, o Problema de Escolha apresentado nesta seção possui uma resposta correta. Ou seja, o problema pode ser resolvido com Matemática Financeira. Deste modo as aplicações de AHP e MACBETH podem ser consideradas aplicações ex-post. No entanto, todas as comparações realizadas com AHP e MACBETH precederam a aplicação de Matemática Financeira para não enviesar os julgamentos.
Considerando 15 mil milhas dirigidas por ano (a média dos Estados Unidos), dois dólares por galão de combustível e uma taxa anual de juros de 5%, a Tabela 30 apresenta os custos para cada alternativa ao final de três anos.
Tabela 30. Custos com um automóvel, em dólares
Alternativa Preço de compra Consumo de combustível Manutenção anual Preço de revenda
1 30.098 4.729 3.783 (7.800)
2 31.256 3.503 4.161 (10.800)
3 32.414 3.783 2.648 (14.000)
A Tabela 31 apresenta o vetor de custos totais obtidos com a soma dos custos. É importante observar que os componentes deste vetor são inversamente proporcionais à preferência relativa a cada alternativa. Assim, a Alternativa 3 deve ser preferida, pois possui o menor custo total.
Tabela 31. Vetores de decisão com aplicações de AHP, MACBETH e soma de custos
Alternativa Custo total [dólar] AHP MACBETH
1 30.810 0,319 45,0
2 28.120 0,337 56,5
3 24.845 0,345 51,0
Além do vetor de custos totais, os vetores de decisão com a aplicação de AHP e MACBETH estão reapresentados na Tabela 31. Em se tratando de um Problema de Escolha, a aplicação de AHP é válida, pois, indica a seleção da Alternativa 3. A aplicação de MACBETH deve ser considerada inválida, pois, indica a seleção da Alternativa 2.
causas são características intrínsecas do método. Ou seja, elas podem estar presentes em qualquer aplicação de MACBETH. A primeira característica é o uso da escala de 0 a 6. A segunda característica é a inclusão de um elemento virtual nas comparações entre os critérios. No Capítulo 3 discute-se se estas características podem invalidar mais aplicações de MACBETH.
2.3.3. Questionamentos sobre a validade do método AHP
AHP é o método de MCDM com maior quantidade de publicações científicas (WALLENIUS, et al., 2008). Também é um método bastante utilizado no ambiente corporativo, em parte, devido à disponibilidade de empresas de consultoria e de
software para facilitar a sua aplicação (CREATIVE DECISIONS FOUNDATION,
2009) (EXPERT CHOICE, INC., 2009). Contudo, este método tem sido alvo de criticas no meio acadêmico. Boa parte destas críticas é totalmente indevida e já foi refutada (GARUTI A., et al., 2008) (SAATY, et al., 2009). As principais críticas podem ser generalizadas em seis tipos (GOMES, 2007):
Dificuldades na conversão de comparações linguísticas em numéricas. Inconsistências impostas pela escala linear de 1 a 9.
Entendimento das questões por quem faz as comparações.
Inversão na ordem de prioridade das alternativas existentes, com a exclusão ou inclusão de alternativas ou critérios.
O número de comparações necessárias pode ser alto. Os axiomas do método.
As três primeiras críticas referem-se, principalmente, à Escala Fundamental. De
facto, existem outras escalas que já foram adotadas para a aplicação do AHP
(TRIANTAPHYLLOU, et al., 1994). Assim, este conjunto de críticas logo se tornou um tema para pesquisas.
A inversão na ordem de prioridade das alternativas, com a exclusão ou inclusão de alternativas ou critérios, é um tema recorrente entre os críticos do AHP. Esta crítica é denominada de ranking reversal (RR). A seguir, apresenta-se um exemplo de RR.
Suponha-se que se deseja comprar um produto. Um fornecedor já foi escolhido e este informa que pode oferecer quatro modelos diferentes para este produto: A, B, C ou D. Assim, trata-se de um Problema de Escolha. As condições de preço, de entrega e
pós-venda (no caso, pós-compra) são as mesmas para os quatro modelos. Então, apenas
um critério é utilizado nas comparações: a qualidade do produto.
A Tabela 32 apresenta comparações da preferência pessoal do comprador entre os modelos. Baseou-se na Escala Fundamental para se realizar as comparações. Para a matriz de comparações obtém-se um índice de consistência, = 0,06. Ou seja, as comparações podem ser consideradas coerentes entre si. O vetor de preferências, obtido com o autovetor, indica a escolha do Modelo B.
Tabela 32. Preferência entre quatro modelos disponíveis para um produto
Modelo A B C D Preferência
A 1 1 3 7 0,37
B 1 1 7 5 0,45
C 1/3 1/7 1 3 0,11
D 1/7 1/5 1/3 1 0,06
Suponha-se que, antes de ser informado da preferência pelo Modelo B, o fornecedor comunique que o Modelo C se esgotou. Esta é uma informação irrelevante, pois se trata de um modelo que não seria escolhido, nem em segundo lugar. Ou seja, a priori, esta informação não alteraria a decisão. A Tabela 33 apresenta as preferências obtidas apenas com a exclusão das comparações envolvendo o Modelo C.
Tabela 33. Preferência entre três modelos disponíveis para um produto
Modelo A B D Preferência
A 1 1 7 0,49
B 1 1 5 0,44
D 1/7 1/5 1 0,08
As Tabela 32 e Tabela 33 apresentam violações a um axioma da MCDM: a condição de preferência ordinal (COP, do inglês, condition of order preference). Ambas as matrizes de comparações ferem a este axioma. Observa-se que a comparação entre os Modelos A e B feriu a COP, ao se considerar que a comparação entre ambos os modelos possuem a mesma preferência (número 1 na Escala Fundamental). Mas, há uma diferença de preferências no autovetor obtido com as comparações. No entanto, AHP não é um método concebido com o intuito de atender a este axioma. Isto porque não existe uma comparação mais importante do que as outras. Assim, não se pode dizer que a comparação entre os Modelos A e D e a entre os Modelos B e D são menos importantes do que a entre os Modelos A e B. Aliás, o cálculo do autovetor considera-as, igualmente (GARUTI A., et al., 2008).
A exclusão de uma alternativa ou de um critério pode ferir a outro axioma da MCDM: as alternativas e critérios devem ser mutuamente exaustivos. Ou seja, assim, por exemplo, ao se excluir uma alternativa, a decisão não estará sendo tomada levando-se em consideração todas as informações necessárias.
Existem vários exemplos de decisões reais em que situações de RR ocorrem. A eleição para presidente dos EUA, no ano 2000, é um exemplo clássico. Com a saída do candidato do Partido Verde, a disputa que, estava, claramente, a favor do candidato do Partido Republicano ficou, tecnicamente, empatada; pois, os candidatos dos Partidos Democrata e Verde disputavam eleitores com perfil muito parecido. Assim, a discussão inicial sobre RR deve ser se a inversão é legítima ou não. A seguir apresenta-se um exemplo mais simples de situação em que RR é legítima (CORBIN, et al., 1974):
Em uma pequena cidade, uma senhora deseja comprar um chapéu para usá-lo em um evento noturno. Ao entrar na única loja da cidade especializada em chapéus, ela encontra dois modelos, A e B, que atendem à sua necessidade. Embora goste dos dois, o chapéu A lhe agrada mais. Entretanto, o vendedor descobre mais uma caixa e ao apresentar-lhe, percebem que se trata de outro chapéu, mas, idêntico ao A. Assim, para evitar o constrangimento de ver outra pessoa usando o mesmo chapéu que o dela, a senhora escolhe o chapéu B.
Em Remarks on the Analytic Hierarchy Process, o procedimento para obtenção dos pesos das alternativas é considerado arbitrário. E a solução para o problema seria a síntese do AHP com os conceitos da MAUT (DYER, 1990). Crítica tão polêmica foi discutida (HARKER, et al., 1990) (SAATY, 1990) logo no mesmo exemplar de periódico em que foi publicada. As comparações aos pares são, de facto, baseadas no comportamento racional. Trabalhos em diversas áreas como Ciência Política, Neurologia e Psicologia (SAATY et al., 2008) comprovam com esta afirmação.
Outra crítica ao método AHP diz respeito ao esforço para a tomada de decisão, que pode ser medido pelo número de comparações necessárias. Para uma decisão com nove alternativas e cinco critérios, uma aplicação de AHP necessitará de 190 comparações. Em princípio, esta não é uma critica direta à validade de uma aplicação. Mas, um maior esforço na tomada de decisão pode gerar impactos na qualidade das comparações. Assim, dois comentários são pertinentes com relação a esta critica. O primeiro é que a aplicação de outros métodos, como MACBETH, por exemplo, pode necessitar de uma maior quantidade de comparações. A inserção de um critério virtual contribui para isto. O segundo comentário é que esta critica se tornou um tema de pesquisa. Com o propósito de reduzir o número de comparações necessárias, “o que permitirá ao grupo focar-se no debate e não na trabalhosa tarefa de preencher, por completo, cada matriz de comparações” o algoritmo Incomplete Pairwise Comparisons foi proposto (HARKER, 1987). Este algoritmo apresenta uma maneira científica para redução do número de comparações necessárias. Contudo, talvez devido à sua complexidade de cálculo, o algoritmo foi pouco utilizado na prática: existem apenas três aplicações no Brasil, registradas em uma única tese de doutorado (SALOMON, 2004). Com o uso de software, como Expert Choice e Super Decisions, é possível se obter o autovetor a partir de matrizes de comparações incompletas. Porém, o algoritmo vai além, informando se as comparações já podem ser encerradas ou, se não, qual a próxima comparação irá trazer mais impacto de acordo com a derivada do autovetor.
