Comportamento do índice de compatibilidade ordinal

Existem apenas três vetores ordinais possíveis, com dois componentes: o₁ = (1, 1), o₂ = (1, 2) e o₃ = (2, 1). A Tabela 39 apresenta o índice de compatibilidade ordinal obtido para todas as combinações possíveis, sem repetições de ok e oh.

Tabela 39. Índice de compatibilidade ordinal entre vetores com dois componentes

o₁ e o₂ o₁ e o₃ o₂ e o₃ 1 k o 1 1 1 2 k o _{1 1 2} 1 h o _{1 2 2} 2 h o _{2 1 1} V 1,13 1,13 1,56

Os dados da Tabela 39 apresentam um aspecto interessante do comportamento do índice de compatibilidade ordinal. Para vetores ordinais com dois componentes, o e p, se o = p, então, V = 1; senão, ou seja, se o ≠ p, então V > 1,1. Assim, vetores com dois componentes só podem ser considerados compatíveis, ordinalmente, se gerarem vetores ordinais idênticos.

Vetores de decisão com apenas dois componentes são frequentes. Exemplos de decisões com apenas duas alternativas incluem eleições políticas, em segundo turno; finais de campeonatos esportivos; na Engenharia de Produção, há a famosa decisão de

make or buy; e no dia-a-dia, uma decisão simples, e nem sempre fácil: sim ou não.

Resumindo o comportamento do índice de compatibilidade ordinal, para vetores de decisão com dois componentes, é o seguinte. Caso os vetores de decisão apresentem a mesma ordem, então há compatibilidade ordinal entre os vetores. Caso contrário, não há compatibilidade.

Por exemplo, para os vetores de decisão (0,6; 0,4) e (0,5; 0,5) tem-se S = 1,04 e

V = 1,13. Assim, estes vetores são compatíveis, cardinalmente, e incompatíveis,

ordinalmente. Esta divergência pode ser legítima a favor de V, se o primeiro vetor for, por exemplo, o resultado real de uma partida de futebol, e o segundo vetor for uma previsão com aplicação de um método de MCDM. A diferença entre um empate e uma derrota, pode ser decisiva, e, portanto, estes resultados não são compatíveis. Assim, este é um exemplo em que V possui um maior poder discriminatório do que S.

Existem treze vetores ordinais possíveis com três componentes: o1 = (1, 1, 1), o2 = (1, 1, 3), o3 = (1, 2, 2), o4 = (1, 2, 3), o5 = (1, 3, 1), o6 = (1, 3, 2), o7 = (2, 1, 2),

o₈ = (2, 1, 3), o₉ = (2, 2, 1), o₁₀ = (2, 3, 1), o₁₁ = (3, 1, 1), o₁₂ = (3, 1, 2), o₁₃ = (3, 2, 1). Portanto, há 78 combinações possíveis, sem repetição, destes vetores, dois a dois.

Conforme comentado na Seção 1.2, a elaboração desta tese seguiu uma abordagem qualitativa-quantitativa. Ou seja, pretendeu-se atender aos objetivos e apresentar as contribuições, com um número não exaustivo de exemplos. Assim, das 78 combinações possíveis 12 foram analisadas. Ou seja, todas as combinações envolvendo um vetor. Escolheu-se o vetor o4 = (1, 2, 3). A Tabela 40 apresenta o índice de compatibilidade ordinal obtido para os vetores o4 e ok (k = 1, 2, 3, 5, 6... 13).

Tabela 40. Índice de compatibilidade ordinal entre vetores com três componentes

o₁ e o₄ o₂ e o₄ o₃ e o₄ o₄ e o₅ o₄ e o₆ o₄ e o₇ o₄ e o₈ o₄ e o₉ o₄ e o₁₀ o₄ e o₁₁ o₄ e o₁₂ o₄ e o₁₃ 1 k o _{1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3} 2 k o _{1 1 2 3 3 1 1 2 3 1 1 2} 3 k o _{1 3 2 1 2 2 3 1 1 1 2 1} V 1,22 1,11 1,04 1,47 1,11 1,41 1,36 1,67 1,77 2,27 1,77 2,09

Observa-se da Tabela 40 que apenas para um caso, o3 e o4, se têm V < 1,1. Este é o mesmo caso dos vetores da Tabela 35 (Fatia de mercado de lojas de departamento norte-americanas), conforme apresentado na Seção 3.2.2. No entanto, os vetores da Tabela 35 são o₉ e o₁₀, para os quais se obtém o mesmo V = 1,04. Nestes dois casos, o maior componente do vetor x corresponde ao maior componente do vetor y.

A Tabela 41 apresenta exemplos de três vetores cardinais com cinco componentes, y_k (k = 1, 2, 3). Índices de compatibilidade cardinal e ordinal, S e V, para os vetores x = (0,40; 0,30; 0,15; 0,10; 0,05) e y_k também são apresentados nesta tabela.

Tabela 41. Exemplos de vetores cardinais com cinco componentes

x e y₁ x e y₂ x e y₃ 1 k y _{0,40 0,40 0,30} 2 k y _{0,30 0,30 0,40} 3 k y _{0,15 0,05 0,15} 4 k y _{0,05 0,10 0,10} 5 k y _{0,10 0,15 0,05} S 1,21 1,60 1,03 V 1,02 1,11 1,21

Entre os vetores x e y₁, os três maiores componentes são, exatamente, os mesmos. Ou seja, apenas há uma inversão entre os dois menores componentes dos dois vetores. Mas, com os índices de compatibilidade obtidos, S > 1,1 e V < 1,1, os vetores podem ser considerados incompatíveis, cardinalmente, e compatíveis, ordinalmente. Em se tratando de vetores de decisão, uma troca entre a quarta e a quinta alternativa não justifica considerar incompatíveis. Assim, o menor poder de discriminação de V torna-se irrelevante, neste caso.

Entre os vetores x e y2, os dois maiores componentes permanecem os mesmos. Ou seja, há uma permutação entre os terceiro maior e o menor componente dos dois vetores. Mas, com os índices de compatibilidade obtidos, S e V < 1,1, os vetores podem ser considerados incompatíveis, cardinalmente e ordinalmente. Em se tratando de vetores de decisão, é uma situação dúbia. Maioria das alternativas teve sua ordem trocada. Mas, as duas alternativas mais preferíveis, não. O índice V = 1,11 não deve ser entendido como uma obrigação de se considerar x e y2 incompatíveis. Ao invés disso, este indicador deve servir como um alerta. Em uma situação menos rigorosa ou em um problema de escolha os vetores podem ser considerados compatíveis. Em uma situação mais rígida, como num Problema de Ordenação, a terceira posição pode ser importante, o que justificaria a incompatibilidade entre os vetores.

Entre os vetores x e y₃, os dois maiores componentes se permutaram. No entanto, os três menores componentes dos dois vetores mantiveram-se os mesmos. Mas, com os índices de compatibilidade obtidos, S < 1,1 e V > 1,1, os vetores podem ser considerados compatíveis, cardinalmente, e incompatíveis, ordinalmente. Para vetores de decisão a incompatibilidade está clara, uma vez que os vetores indicariam alternativas diferentes na primeira posição. Tanto um Problema de Escolha quanto um Problema de Ordenação teriam soluções diferentes com cada vetor.

O exemplo apresentado na Tabela 41 não tem o propósito de evidenciar a superioridade do índice de compatibilidade V sobre S. Até porque, mesmo quando se segue uma abordagem qualitativa-quantitativa de pesquisa, um exemplo não evidencia, teoricamente, nada. O propósito destes exemplos, desta seção e desta tese é recomendar que os índices S e V sejam utilizados conjuntamente, pois, apresentam resultados, conceitualmente, distintos: compatibilidade cardinal e ordinal. O fato de se obter valores diferentes, numéricos e conceituais, para S e V, em vários exemplos, evidencia a necessidade de utilizá-los em conjunto. Pois, se fosse obtido o mesmo resultado em todos os exemplos, bastaria um índice.

Outro destaque do exemplo apresentado na Tabela 41, é que o poder de discriminação de um índice não deve ser considerado sua característica mais importante. Afinal, um índice com alto poder de discriminação, no caso extremo, gera vários alarmes falsos. As principais características que um índice de compatibilidade deve apresentar são as suas capacidades de indicar compatibilidade entre vetores compatíveis e incompatibilidade entre vetores incompatíveis.

3.3. Validação de Aplicações de Método de MCDM