AULA 08 Crescimento Econômico. Modelo de Solow.

(1)

AULA 08

Crescimento Econômico. Modelo de Solow.

Olá caros(as) amigos(as),

É chegada a hora da nossa última aula. Hoje, veremos o modelo de Solow de crescimento no longo prazo. Para mim, é o assunto mais difícil do curso e, pelo que pude ver em alguns cursos ministrados em sala de aula, os alunos partilham da mesma opinião que eu. De acordo com o que presenciei, vi que as dificuldades encontradas são muitas.

Existem algumas razões para isso. O modelo de Solow é um modelo essencialmente de cunho "clássico" (sendo aplicável somente para o longo prazo). Assim, todas as conclusões são sustentadas a partir da função de produção clássica, que não é estudada na maioria dos materiais de macroeconomia para concurso. No nosso curso, por exemplo, a função de produção vista em todas as aulas é a produção Keynesiana, onde Y=C+I+G+X-M. No modelo de Solow, a função de produção é algo totalmente diferente disso. Essa é a primeira dificuldade.

A segunda dificuldade reside no fato de que o modelo utiliza muitas ferramentas e conceitos da microeconomia. Isso também é um fator dificultador, pois muitos estudantes que estudam o modelo de Solow nunca viram e nem pretendem estudar microeconomia na vida (vocês, que se preparam para o concurso da Receita Federal se enquadram neste perfil, por exemplo).

Por último, também é necessário termos algumas noções de cálculo matemático (derivadas) para aprender o modelo. Sem isso, até é possível aprender, mas o rendimento não será o mesmo.

Pois bem, dadas essas dificuldades, nossa proposta é a seguinte: primeiro, antes de adentrar no modelo, abordaremos a função de produção clássica; segundo, teremos algumas noções de cálculo matemático (derivadas); terceiro, aí sim, veremos o nosso modelo de crescimento. Acredito que o prévio aprendizado das ferramentas necessárias ajudará bastante no entendimento do modelo.

(2)

TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS PROFESSOR HEBER CARVALHO 1. FUNÇÃO DE PRODUÇÃO CLÁSSICA

Nos modelos econômicos vistos até o momento (OA-DA, IS-LM), a função de produção ou renda predominante era a função keynesiana, em que a renda ou produção da economia era determinada pela soma dos gastos dos agentes econômicos. Ou seja, a renda ou produção era igual à soma dos gastos das famílias, do governo, das empresas e do resto do mundo, de tal forma que

Y = C + I + G + X - M (produção Keynesiana)

Essa função de produção Keynesiana deve-se à hipótese da lei da

demanda efetiva1, em que é a demanda (ou despesa) que determina a

renda/produção da economia.

Agora, no entanto, devemos utilizar pressupostos clássicos para montar nossa função de produção clássica. Segundo os clássicos, é válida

a lei de Say, em que é a oferta (produção) que determina a demanda. Ou

seja, a produção não é determinada pela demanda dos agentes. Mas, então, o que determina a produção?

Para os clássicos, a produção é determinada pela quantidade de

fatores de produção existente. Na aula 01, vimos que, para produzir os

bens e serviços que são ofertados à sociedade, as firmas utilizam os chamados fatores de produção. Dentre estes fatores de produção, aqueles mais relevantes para o estudo econômico são: a mão-de-obra (L) e o

capital (K).

Desta forma, a produção da economia será função da mão-de-obra e do capital existentes. Algebricamente, isto que eu acabei de dizer é representado desta maneira:

Y = F(L, K)

(Y) é a quantidade de produção. (L)2 é a quantidade de

mão-de-obra. (K) é a quantidade de capital. (F) significa "uma função de" e é empregado para representar que há uma relação de dependência entre a produção (Y) e os fatores de produção (L) e (K).

Assim, se a economia de um país tem sua produção (Y) aumentada, isso aconteceu porque ou o estoque de capital (K), ou a quantidade de mão-de-obra (L), ou os dois, (K) e (L), foram aumentados. Isto tudo porque (Y) é função de (K) e (L): Y = F (K, L)

1 Ver aula 03, página 05.

(3)

Apesar de sabermos que a produção (Y) é função do capital (K) e da mão-de-obra (L), ainda falta uma equação ou expressão que nos mostre esta relação de forma matemática. Existe uma função que expressa matematicamente esta relação de dependência entre produção e os fatores de produção mão-de-obra e capital. Esta função é conhecida como

função de produção Cobb-Douglas e tem o formato abaixo:

Y é a produção. A é o parâmetro que mede a tecnologia (quanto mais tecnologia possui a sociedade, maior será o parâmetro A, e maior será a produção Y, dados os níveis de K e L). K é o capital. L é a mão-de-entre o capital e a mão-de-obra.

Vejamos, agora, um pouco sobre esta função de produção

Cobb-Douglas, ora apresentada:

Paul Douglas foi professor de Economia e senador nos EUA entre as décadas de 40 a 60. Em seus estudos, Douglas notou que, à medida que a produção da economia crescia, a renda dos trabalhadores e a renda dos proprietários do capital cresciam na mesma proporção. Em outras palavras, se a produção da economia, digamos, dobrasse, a remuneração dos trabalhadores e dos proprietários do capital também dobrava.

Assim, Douglas perguntou a Charles Cobb, um matemático, se haveria alguma equação ou função de produção capaz de garantir esta propriedade ora descoberta. Daí, surgiu a função de produção Cobb-Douglas, em homenagem ao matemático e ao economista, respectivamente:

No entanto, para que a propriedade descoberta por Douglas fosse respeitada, seria necessário que (a + 3) fosse igual a 1.

Veja, como exemplo, a função de produção abaixo, em que temos

(4)

TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS PROFESSOR HEBER CARVALHO

^ Nota: para que a produção quadruplique, é necessário que quadrupliquemos os dois fatores de produção: a mão-de-obra e o capital. Se quadruplicarmos somente um dos fatores, a alteração na produção não será na mesma proporção.

Em Economia, quando há esta situação, dizemos que a função de produção apresenta rendimentos constantes de escala. Em outras palavras, se capital e mão-de-obra forem aumentados na mesma proporção, então a produção também aumenta nessa mesma proporção. Algebricamente, isto é traduzido da seguinte maneira:

Veja as duas funções de produção abaixo:

Considerando um estoque de capital de 4 máquinas e 81 trabalhadores, calculemos as respectivas produções:

Vamos, agora, quadruplicar o estoque de capital e a quantidade de trabalhadores:

ou

Vamos, agora, dobrar o estoque de capital e trabalhadores nas duas funções de produção:

que 48 é o quádruplo de 12

quadruplicamos a produção. Isto só foi possível porque

(5)

quando dobramos o capital e a mão-de-obra, a produção menos que dobrou (20/12=1,67).

A partir destes dados, podemos tirar as seguintes conclusões acerca da função de produção Cobb-Douglas:

No modelo de Solow, é pressuposto que a função de produção possui retornos constantes de escala.

1.1. Produto marginal da mão-de-obra e do capital

Em economia, é muito comum vermos o termo "marginal". Ele não guarda nenhuma relação com o significado pejorativo que normalmente o acompanha na maioria das situações em que é utilizado, principalmente em programas jornalísticos sobre a violência das grandes cidades.

Em economia, marginal significa alguma coisa "na margem", "incremental" ou "adicional". Quando falamos em produto marginal, estamos falando apenas do produto "adicional", "incremental", "na margem". Então, vejamos agora os específicos conceitos de produto marginal da mão-de-obra e do capital:

Produto marginal da mão-de-obra (PmgL): é o volume de

produção adicional gerado (AY) ao se acrescentar 1 trabalhador (quando AL=1). Algebricamente, este conceito é representado

assim:

significa que se aumentarmos K e L em determinada proporção, Y aumentará nesta mesma proporção.

caso, aumentos de K e L em determinada proporção provocam aumentos de Y numa proporção maior.

(6)

Exemplo: suponha que a produção de um país seja 100 unidades de produto. Imagine agora que 01 trabalhador adicional seja incorporado à força de trabalho deste país. O acréscimo deste trabalhador gerou um acréscimo de 05 unidades na produção deste país. Qual é o produto marginal da mão-de-obra? Simples, é o acréscimo de produção provocado pelo trabalhador adicional. Ou seja, neste exemplo, o PmgL foi igual a 05. O mesmo raciocínio pode ser aplicado ao caso do produto marginal do capital, se houvesse o acréscimo de 01 unidade de capital.

Assim, podemos entender que se L aumenta em 01 unidade, Y aumenta em PmgL unidades. Se K aumenta em 01 unidade, Y aumenta em PmgK unidades.

2. NOÇÕES DE DERIVADAS

Neste tópico, teremos algumas noções de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas. Não se assustem, pois será bastante simples. Aqueles que nunca estudaram o assunto devem saber que o nosso objetivo é apenas saber os processos mais simples de resolução e aplicação das derivadas e, de forma nenhuma, entender amiúde o assunto. Assim, passarei somente as regras básicas de derivação necessárias para o melhor entendimento do nosso modelo de Solow, bem como os seus usos.

Em um curso de cálculo, estudam-se previamente alguns temas (limites, noções de continuidade) antes da derivada. Não faremos isso aqui, caso contrário, necessitaríamos de outro curso só para isso (rs!).

A derivada é o conceito matemático que procura medir a variação de uma variável em função da variação de outra variável. Considere, apenas como exemplo, a seguinte função:

(7)

Ela pode ser escrita, de igual maneira, da seguinte forma:

y = 2x2 + 4x - 6

Derivar esta função seria medir a variação da variável y em função da variação da variável x. Em outras palavras:

2.1. Regra geral de derivação

Essa é a principal regra de derivação (e a única que utilizaremos!):

Derivada de y na variável x

Assim, lembre que quando temos um delta alguma coisa dividido por um delta outra coisa, teremos uma derivada. Seguem alguns exemplos:

Desta forma, pelas expressões em negrito, podemos entender que o produto marginal da mão-de-obra (AY/AL) significa a derivada da produção (Y) em relação à quantidade de mão-de-obra (L). Assim, PmgL=dY/dL.

De forma análoga, o produto marginal do capital (AY/AK) significa a derivada da produção (Y) em relação à quantidade de capital (K). Assim, PmgK=dY/dK.

(8)

Ou seja, para encontrar a derivada de Y em X, primeiro, devemos descer o expoente da variável a ser derivada. Esse expoente passará a multiplicar todo o termo. Depois, em segundo lugar, subtraímos 01 unidade deste mesmo expoente.

Segue a mesma regra, ag ora de forma mais "desenhada":

Exemplos:

Encontre dy/dx para:

1° PASSO

Variável a ser DERIVADA

2° PASSO

expoente da variável x desce e passa a multiplicar todo o termo. No mesmo instante, devemos diminuir o expoente da variável x em 1 unidade).

expoente de x é igual a 1. Desta forma, quando fazemos 1-1 no expoente, ficaremos com x elevado a 0, que é igual a 1. Ou seja, a variável x desaparece).

3) y = 5, sua derivada dy/dx = 0, isto porque y = 5 é o mesmo que

dizer y = 5.x0 (neste caso, quando descemos o expoente 0, toda a

derivada será igual a 0. Logo, a derivada de um número - ou uma constante - sempre é igual a 0).

4) y = 2X2 + 4x - 6, sua derivada dy/dx = 4x + 4 (repare que é só fazer a derivada de cada termo separadamente, assim: dy/dx =

Agora, encontre, para cada função de produção abaixo, o valor do produto marginal mão-de-obra. Ou seja, encontre o valor de dY/dL:

5) Y = 10 - 2L, sua derivada dY/dL = -2. Repare que, desta vez, a

variável a ser derivada é L.

(9)

termo K2, que contém a variável K, é tratado como se fosse um

número qualquer, não tendo alteração de seu expoente).

2.2. A derivada e o valor máximo de uma função

Uma importante aplicação da derivada para a economia diz respeito à ajuda que ela nos presta para encontrarmos os valores máximos de determinadas funções ou equações. Quando temos qualquer função f(x)

e desejamos saber o valor de x que maximiza esta função, basta derivarmos f(x) na variável x e igualar a 0. Segue abaixo um exemplo, já

com uma aplicação para a Economia: Exemplo:

1) Dada a função de produção Y=8L - L2, determine qual a quantidade de trabalhadores (qual o valor de L) que repercutirá máxima produção total?

Resolução:

Para encontrar a quantidade de trabalhadores (L) que maximiza a produção total (Y), devemos achar a derivada de Y em função de L e, por fim, igualá-la a 0.

dY/dL = 8 - 2L

Agora, igualamos dY/dL a 0 para achar Y máxima:

8 - 2L = 0 L = 4

(quando L=4, Y é máxima!)

Para descobrir a produção (Y) máxima, basta substituir L=4 na

2.3. A derivada como inclinação da função

(10)

Imagine, apenas como exemplo, o gráfico de uma função simples: f(x) = x + 1

Quando x=1, y=2 (ponto A). Quando x=3, y=4 (ponto B). Como a função é de primeiro grau (o expoente da variável x é 1), teremos uma reta representando a função. Assim, precisamos apenas de dois pontos para traçá-la. Traçada a reta, o nosso foco volta-se a entender o que determina a inclinação desta reta.

Em primeiro lugar, como temos uma reta, a inclinação é constante, ou seja, é a mesma em qualquer lugar da reta. Veja que o ângulo 0, que mede a inclinação da reta, é o mesmo em A, em B ou em C. Este ângulo é determinado pela sua tangente, que tem o valor numérico representado pela divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente (Ay/Ax). Do ponto A ao B, a tangente de 0, que é quem determina a inclinação da nossa função, é igual a:

tg 9= cat oposto/cat adjacente=

Assim, dizemos que a inclinação da reta é 1. Mas, observe que a expressão Ay/Ax representa genericamente a inclinação em qualquer ponto da reta. Dizemos, portanto, que a inclinação da função é dada por

Ora, mas você já viu esta expressão em algum lugar, não?

Ay/Ax é a derivada da função y em relação à variável x. Assim, a

(11)

Vemos claramente que atingimos o mesmo valor calculado pelo método da tangente. Logo, podemos concluir que a inclinação da

reta/curva de uma função é dada pela sua derivada.

Quando temos uma função representada por uma curva, em vez de uma reta, o raciocínio é o mesmo. A única diferença que a inclinação de uma curva não é constante, ela varia, dependendo do ponto em que estamos na curva. Veja o gráfico de uma função de produção (Y) típica em função do número de trabalhadores (L), representada abaixo:

Primeiramente, veja que agora não temos mais uma reta e, sim, uma curva. Quando temos uma curva, ao contrário do que ocorre em uma reta, a inclinação varia ao longo da curva. A inclinação, em qualquer ponto da curva, será dada pela inclinação da reta que é tangente à curva naquele ponto. Por exemplo, no ponto 1, a inclinação da curva é igual à inclinação da reta 1 ' , que é exatamente a reta que é tangente à curva no ponto 1. No ponto 2, a inclinação da curva é igual à inclinação da reta 2 ' . No ponto 3, a inclinação da curva é igual à inclinação da reta 3 ' . A inclinação dessas retas, por sua vez, é dada pelo valor da sua tangente (AY/AL), exatamente como mostrado na figura 1. Assim, da mesma forma que ocorre na reta, a inclinação de qualquer curva também é dada pela

derivada. A diferença é que a inclinação da curva não será constante. Na

figura 2, é possível perceber que a inclinação decresce com o aumento de L. No ponto 1, o valor da inclinação é alta, pois temos um AY bem maior que o AL. Já no ponto 3, o valor da inclinação é baixa, pois um AY bem menor em relação ao AL.

Conforme já dissemos, a grande diferença entre a reta e a curva é que, no caso da função reta, a derivada (inclinação) é uma constante, já no caso da curva, a derivada (inclinação) varia. No gráfico acima, a

(12)

inclinação é dada por AY/AL, que é o mesmo que dY/dL, que, por sua vez, é o nosso PmgL. Note que, no ponto A, a inclinação da curva é 0 (AY será igual a 0). Como a inclinação é 0 neste ponto, a derivada também será igual a 0. Como dY/dX=0, é exatamente naquele ponto onde temos o

valor máximo da função (Y máximo), o que corrobora o que já vimos no

item 2.2.

Assim, você consegue perceber, graficamente, porque quando derivamos uma função e igualamos a sua derivada a 0, obtemos o valor máximo da função. Esta afirmação é plenamente condizente com o gráfico apresentado na figura 02.

Desta forma, podemos concluir que se construirmos, no gráfico, a curva da função de produção (Y) em relação ao número de trabalhadores (L), a inclinação dessa curva será dada por dY/dL, que é o produto marginal da mão-de-obra (PmgL).

De maneira análoga, se construirmos, no gráfico, a curva da função de produção (Y) em relação à quantidade de capital (K), a inclinação dessa curva será dada por dY/dK, que é o produto marginal do capital (PmgK).

Passadas essas noções básicas da função de produção clássica e de derivadas, podemos, finalmente, começar a falar do modelo de Solow.

3. MODELO DE SOLOW

Ao contrário do que muitos pessimistas de plantão anunciam, o padrão de vida vem melhorando muito nos últimos anos e décadas, e isso não se deve ao governo A ou ao governo B (quando falo em padrão de vida, refiro-me à riqueza "material"). Isto é um fenômeno mundial, que ocorre permanentemente em todos os países, independentemente dos governos.

(13)

de prestações. Assim, é possível perceber que, do ponto de vista material, o padrão de vida está em constante melhora.

Essa melhora do padrão de vida decorre de rendas cada vez maiores, que têm permitido às pessoas consumir mais bens e serviços. Para medir esse progresso no padrão de vida, os economistas utilizam os dados do produto interno bruto (PIB), o qual também significa o total de renda das pessoas de um país.

De 1947 a 2009, o PIB per capita3 (PIB ou renda por pessoa) do

Brasil, em termos reais (ou seja, já descontada a variação dos preços), foi quase quintuplicado. Ou seja, houve grande variação da renda ao longo do tempo. Se compararmos as rendas entre os diversos países no mesmo instante temporal, também haverá enormes disparidades. Por exemplo, a renda per capita do Brasil, em 2004, era quase dez vezes maior que a renda per capita da Nigéria, e quase 5 vezes menor que a renda per capita dos EUA.

Como se vê, podemos notar que há grandes diferenças entre as rendas de um mesmo país ao longo do tempo e também há grandes disparidades entre as rendas quando se comparam países diferentes. Mas, o que será que causa essas diferenças?

O economista Robert Solow4 desenvolveu uma teoria para explicar o

crescimento econômico de longo prazo e nos ajudar a compreender aquilo que causa essas diferenças na renda de um mesmo país ao longo do tempo e entre os países. O modelo de Solow nos mostra como a poupança, o crescimento populacional e o progresso tecnológico afetam o nível de produção/renda de uma economia, e o seu crescimento ao longo do tempo.

Nossa abordagem do modelo dar-se-á por partes. Primeiro, nós veremos como a poupança determina a acumulação de capital na economia. Nesta parte, será pressuposto que a quantidade de trabalhadores (força de trabalho) e a tecnologia são constantes. Segundo, nós introduziremos o crescimento populacional, considerando a tecnologia fixa. Por último, introduziremos a tecnologia no modelo.

3 PIB per capita é o mesmo que renda per capita.

4 Robert Solow foi um economista da linha de pensamento Keynesiano, mas que

(14)

TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS PROFESSOR HEBER CARVALHO 3.1. A função de produção por trabalhador

Começaremos nossa análise a partir da função de produção Cobb-Douglas. No modelo de Solow, não é importante avaliarmos ou sabermos o tamanho da economia, mas tão somente a questão do quanto ela cresce. Por isso, é mais conveniente trabalharmos com a produção por trabalhador, em vez da produção total. Para que isso seja possível, nós dividimos a função de produção por L:

Y/L = F(K/L, L/L) Y/L = F(K/L, 1)

No modelo de Solow, é pressuposto que a produção apresenta retornos constantes de escala. Desta forma, ao dividirmos os fatores de produção (K e L) por L, temos a certeza que a produção resultante será Y dividido por L. É a suposição da existência de retornos constantes que nos dá essa garantia.

Para tornar o nosso trabalho mais prático, em vez de, a todo o momento, ficarmos escrevendo Y/L ou K/L, faremos y=Y/L e k=K/L, de tal forma que y (letra minúscula) corresponde à produção por trabalhador e k (letra minúscula) corresponde ao capital por trabalhador. O número 1 (resultante da divisão de L por L) é uma constante e pode ser ignorado. Assim, podemos reescrever a função de produção por trabalhador, que será utilizado no nosso modelo:

y = f(k)

Esta função de produção nos informa que a produção por

trabalhador é função do estoque de capital por trabalhador. Se traçarmos

(15)

Fig.3

Observe na figura 03 que, à medida que a quantidade de capital por trabalhador aumenta, a função de produção fica cada vez menos inclinada. A inclinação da função é dada pela sua derivada (Ay/Ak=dy/dk). A derivada, por sua vez, é igual ao produto marginal do capital. Como a inclinação vai diminuindo, podemos concluir que a produtividade marginal do capital é decrescente5.

Quando k é baixo, o trabalhador possui pouca quantidade de capital com que trabalhar. Neste caso, uma unidade adicional de capital fará com que a produção aumente bastante. Ou seja, quando o nível de k é baixo, o Pmgk (=inclinação da função de produção) é alto. Quando o k é alto, o trabalhador possui grande quantidade de capital com que trabalhar. Neste caso, uma unidade adicional de capital não fará muita diferença, de modo que esta unidade adicional faz a produção aumentar bem mais discretamente. Ou seja, quando o nível de k é alto, o Pmgk é baixo.

3.2. O papel da poupança na acumulação de capital

A partir do estudo das Contas Nacionais, nós sabemos que a produção da economia é

5 Existe até uma lei que afirma isso. É a lei ou hipótese dos rendimentos marginais decrescentes, segundo a qual, à medida que se aumenta o uso de um fator de produção, a sua produtividade decresce.

(16)

Se dividirmos tudo por L, de forma a termos todos esses agregados por trabalhador e, adicionalmente, considerarmos uma economia fechada (sem os agregados X e M) e sem governo (sem o agregado G), teremos

y = c + i (1)

A expressão (1) mostra que a produção por trabalhador, y, é dividida entre consumo por trabalhador, c, e investimento por trabalhador, i.

Suponha que as pessoas poupem uma fração s de sua renda. Essa fração s significa um montante percentual. Por exemplo, se os consumidores de determinado país poupam 30% de suas rendas, então, a fração s será igual a 0,3. Ao mesmo tempo, se os consumidores poupam a fração s de suas rendas, então, eles consomem uma fração (1 - s). Por exemplo, se os consumidores poupam 30% de suas rendas (s=0,3), então, eles consomem 70% de suas rendas (1 - s = > 1 - 0,3 = > 0,7). Podemos, então, expressar a função consumo da seguinte maneira:

c = (1 - s)y (2)

Se substituirmos essa função consumo na expressão (1), teremos o seguinte:

y = (1 - s)y + i y = y - sy + i

i = sy (3)

A expressão (3) nos mostra que o investimento é igual à fração da renda que é poupada. Por exemplo, se os consumidores poupam 30% de suas rendas (s=0,3), é exatamente esses 30% da renda (sy=0,3y) que representarão o montante de investimento. Ou seja, a expressão mostra que a poupança é igual ao investimento e a taxa de poupança, s, é também a fração da produção/renda destinada ao investimento.

(17)

3.3. Crescimento do estoque de capital e o estado estacionário

No último tópico, já vimos que a poupança determina o investimento e este, por sua vez, influencia diretamente a acumulação de capital. Neste tópico, nós veremos detalhadamente a questão do estoque de capital (k). Afinal, a produção por trabalhador depende do capital por trabalhador [lembre que y=f(k)]. Logo, é fundamental entendermos o que influencia o capital (k).

Considerando que a quantidade de trabalhadores e a tecnologia são constantes, o estoque de capital é influenciado basicamente por duas

variáveis: o investimento e a depreciação.

Investimento significa gasto com a aquisição de estoque de capital,

logo, ele faz com que o estoque de capital cresça. Depreciação significa o desgaste do estoque de capital, fazendo-o diminuir de valor. Logo, ela faz com que o estoque seja reduzido.

O investimento por trabalhador, i, é igual a sy. Se substituirmos y por f(k), tendo vista que y=f(k), chegaremos a i=s.f(k). Desta forma, podemos representar o investimento no mesmo diagrama exposto na figura 03. Na figura 04, abaixo, podemos visualizar a curva do investimento por trabalhador, i:

Investimento (+) Estoque de capital p/ trabalhador

Depreciação (-)

Fig. 4

Produção por trabalhador, y

(18)

CURSO ON-LINE - ECONOMIA PARA AFRFB TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS

PROFESSOR HEBER CARVALHO

A curva mais clara mostra a curva do investimento em função do capital por trabalhador. A taxa de poupança, s, determina a distribuição da produção entre consumo e investimento. A distância entre o eixo horizontal e a curva do investimento mostra o montante do investimento por trabalhador, que é i=s.f(k). A distância entre o eixo horizontal e a curva da produção (curva mais escura) representa a produção por trabalhador, y=f(k). A parte da produção que não é poupada e, por conseguinte, não vira investimento é destinada ao consumo. Assim, a diferença entre curva da produção e a curva do investimento representa o consumo por trabalhador, c. Todos estes dados estão representados graficamente na figura 04.

Ainda falta incorporar a depreciação ao modelo, afinal, nós já vimos que ela altera o estoque de capital, reduzindo-o. Para incorporá-la ao modelo, pressupomos que uma fração õ do estoque de capital se desgasta a todo ano. Nesse caso, õ (delta) é a taxa de depreciação. Essa é uma taxa percentual e se refere ao desgaste do estoque de capital no período de 01 ano. Por exemplo, suponha que o capital dure, em média, 10 anos. A taxa de depreciação, nesse caso, corresponde a 10% ao ano (0=0,1). O montante de capital por trabalhador que se deprecia a cada ano corresponde à taxa de depreciação, õ, multiplicada pelo capital por trabalhador, k. Ou seja, o valor total da depreciação anual p/ trabalhador corresponde a õk. Graficamente, a depreciação será uma reta que mostra que, quanto maior o capital por trabalhador, k, maior será o montante da depreciação, õk. A inclinação6 dessa reta será igual a õ. Veja na figura

05:

(19)

Quando o capital por trabalhador, k, é 0, a depreciação, õk, também será igual a 0. Quando o estoque de capital vai aumentando, o montante de depreciação também aumenta. Quando maior for a taxa de depreciação, õ, maior será o montante de depreciação por trabalhador decorrente do aumento do estoque de capital por trabalhador.

Nota ^ não confunda a taxa de depreciação, õ, com a depreciação, que é igual à taxa multiplicada pelo estoque de capital, õk.

Conforme foi comentado, o estoque de capital é influenciado positivamente pelo investimento e negativamente pela depreciação. Assim, podemos expressar a variação no estoque de capital (Ak) da seguinte forma:

7 O equilíbrio da economia pressupõe uma situação em que a produção não muda. Como a

produção é função do estoque de capital [y=f(k)], então, se o capital não varia (Ak=0), consequentemente, a economia estará em equilíbrio.

Estado estacionário, onde o estoque de capital não varia (Ak=0). Se pensarmos que a economia se equilibra7 quando não temos

variação no estoque de capital podemos desenvolver a expressão acima a fim de determinar o nível de capital em que a produção da economia se equilibra e não tende a mudar.

Ou seja, a produção da economia se equilibra e não tende a mudar em um determinado nível de capital (k*) em que o montante de investimento por trabalhador [i=sf(k) ] é igual ao montante de depreciação por trabalhador (õk). Se a economia estiver neste determinado nível de estoque de capital, o estoque de capital não variará

Uma vez que o investimento, que faz aumentar o k, e a investimento, o capital varia positivamente. Havendo depreciação, o estoque de capital diminui (varia negativamente). Como i=sy, e y=f(k), podemos reescrever a expressão:

(20)

depreciação, que faz diminuir o k, são iguais, a variação de k será igual a 0.

Este nível de capital (k*) em que investimento é igual à depreciação (e Ak=0) é chamado de nível de capital no estado estacionário. Como o próprio nome sugere, o estado estacionário significa uma situação de equilíbrio da economia, em que esta permanece "estacionada". Qualquer

economia, independentemente do estoque de capital p/ trabalhador que possua, tenderá ao nível de capital de estado estacionário e, uma vez atingido o estado estacionário, a economia nele permanecerá. Ou seja, a

economia, com o passar do tempo, se ajusta automaticamente para o estado estacionário. Daí, podemos concluir que o estado estacionário representa o equilíbrio de longo prazo da economia.

Graficamente, o nível de capital do estado estacionário (k*) é aquele em que a curva do investimento intercepta a reta da depreciação. Neste ponto, investimento=depreciação e, consequentemente, Ak=0. Tal situação pode ser visualizada na figura 06:

Fig. 6

O capital aumenta porque o investimento é maior que a depreciação.

O estoque de capital tende ao nível de capital por trabalhador no estado estacionário. Estado estacionário: Investimento=poupança sf(k)=õk Capital por trabalhador, k O capital diminui porque a depreciação é maior que o investimento.

Podemos entender o ajustamento automático da economia em direção ao nível de capital no estado estacionário por meio da figura 6.

(21)

investimento é superior à curva da depreciação para níveis de capital menores que k*. Neste caso, à medida que o capital cresce, a depreciação também cresce. Com o passar do tempo, o capital irá crescer até quando o investimento for exatamente à depreciação.

Se a economia estiver com um nível de capital superior ao nível de capital no estado estacionário, por exemplo, k2, isto significa que a depreciação excede o investimento. Isto quer dizer que o capital se desgasta (se deprecia) mais rapidamente do que está sendo substituído. Neste caso, o estoque de capital diminuirá até o nível de capital estacionário, quando a depreciação iguala o investimento.

Note que, no estado estacionário, todo o investimento para aumentar a produção é utilizado para repor o capital desgastado, de forma que o investimento não alterará os níveis produção e consumo, que

permanecem constantes durante o estado estacionário.

Exemplo numérico do estado estacionário:

Dada a função de produção da economia Y=K1/2.La, a taxa de

poupança, s, igual a 0,4 e taxa de depreciação, õ, igual a 0,1; calcular

os níveis de produto e capital por trabalhador no estado estacionário.

Resolução:

A função de produção desta economia é: Y=K1/2.L1/2.

Ou seja, já descobrimos que o expoente "a" é igual a /. Como sabemos disso? O modelo de Solow pressupõe retornos constantes de escala. Como essa situação ocorre quando a soma dos expoentes de K e L é igual a 1, então, se o expoente de K é /, obrigatoriamente, o expoente de L também deve ser / para que a soma dos expoentes seja igual a 1.

(22)

Como y=Y/L e k=K/L, podemos reescrever assim a equação:

Essa expressão afirma que a produção por trabalhador é igual à raiz quadrada do montante de capital por trabalhador (k1/2 é o mesmo que raiz quadrada de k). No estado estacionário: Temos que: s = 0,4 õ = 0,1 f(k) = y = k1/2

Substituindo os valores na expressão do estado estacionário, temos:

Resposta: No estado estacionário, o produto por trabalhador, y*, é igual a 4. O capital por trabalhador, k*, é igual a 16.

3.4. A poupança e o crescimento

(23)

A resposta está na taxa de poupança. Considere o que acontece com uma economia quando a taxa de poupança aumenta. Se a taxa de poupança aumentar, o investimento também aumentará, pois o termo

sf(k) estará maior, uma vez que houve aumento de s.

Graficamente, isto significa que a curva do investimento será "rotacionada" para cima, ficando mais inclinada. Veja na figura 07:

Fig. 7

0

1°: Um aumento da taxa de poupança de Sfpara s2 eleva o investimento, rotacionando para cima a sua curva.

2°: A elevação da taxa de poupança e, por conseguinte, do

nível de investimento faz com que o estoque cresça em direção a um novo estado estacionário.

Após o aumento da taxa de poupança, de si para s2, a curva do investimento é rotacionada para cima, no sentido de aumento do investimento. O novo estado estacionário, onde o novo investimento iguala a depreciação ocorre em um nível de capital por trabalhador maior (k2*) que o nível antigo, onde a taxa de poupança era si.

(24)

Diante do que foi apresentado, o que podemos concluir sobre a relação entre poupança e crescimento econômico? Uma poupança maior provoca um crescimento do capital e, por conseguinte, do produto por trabalhador (o produto, y, é função do capital, k, então, se este aumenta, o produto por trabalhador também aumenta), mas tal crescimento é

momentâneo. Ele dura apenas até a economia atingir o novo estado

estacionário. Ou seja, uma taxa de poupança mais alta faz aumentar o nível da renda per capita (ou produto/renda por trabalhador), mas não influencia a sua taxa de crescimento no longo prazo.

Desta forma, podemos entender que se a taxa de poupança for alta,

a economia terá um grande estoque de capital e um nível de produção elevado, no estado estacionário. Se a taxa de poupança for baixa, a economia terá um pequeno estoque de capital e um nível de produção reduzido no estado estacionário. Conforme se vê, taxas de poupança mais elevadas não significam crescimento sustentado, uma vez que a economia cresce, mas apenas até atingir o novo estado estacionário, onde nele permanecerá.

Essa conclusão ajuda a entender por que muitos economistas condenam o excesso de gastos públicos. Se o governo gasta demais, ele reduz a poupança nacional de tal forma que o investimento será menor. Nesse sentido, os déficits orçamentários e a consequente redução da taxa de poupança têm um efeito negativo no longo prazo: estoque de capital e renda (ou produção) per capita mais baixos.

Por fim, é possível entender por que há tantas diferenças nas rendas per capita entre as nações. Países que poupam e investem uma elevada fração de sua produção são mais ricos do que os países que poupam e investem uma fração mais baixa.

3.5. A REGRA DE OURO

No último tópico, nós vimos que quanto maior a taxa de poupança, maior será o nível de capital e de renda no estado estacionário. Essa conclusão pode nos levar a pensar que taxas de poupança mais elevadas significam sempre maior satisfação. No entanto, isso não é (inteiramente) correto. Imagine que um país tenha uma taxa de poupança de 100%. No longo prazo, essa taxa de poupança resulta em maior estoque de capital e renda possíveis. Entretanto, qual a graça de se poupar 100% da sua renda e não consumir qualquer coisa?

(25)

traz o máximo de bem-estar para a sociedade. Na verdade, do ponto de vista prático, as pessoas estão pouco ligando para o valor do estoque de capital da economia! Elas querem é bem-estar! Ou seja, as pessoas se preocupam com a quantidade de bens e serviços que podem consumir.

Supondo que o governo tenha a capacidade de fixar a taxa de poupança no nível que ele quiser, ele procurará fixá-la de tal forma que o bem-estar das pessoas seja maximizado. Ou seja, o governo procurará fixar a taxa de poupança que leve ao estado estacionário em que o consumo das pessoas seja maximizado. O valor de k* nesta situação em que o consumo é maximizado é chamado de nível de capital da Regra de Ouro (kour

o*)-Uma vez que definimos o conceito da Regra de Ouro, torna-se necessário traduzir algébrica e graficamente tal situação. Nós sabemos que a produção por trabalhador vai para o consumo ou para o investimento (considerando a economia fechada e sem governo):

y = c + i

Isolando o consumo:

c = y - i

A Regra de Ouro é uma situação tal em que a economia está em um estado estacionário, então coloquemos os asteriscos nas variáveis para deixar claro que estamos tratando de situações em estado estacionário:

c* = y* - i*

Sabemos que a produção por trabalhador no estado estacionário, y*, é igual f(k*), em que k* corresponde ao estoque de capital no estado estacionário. Assim,

c* = f(k*) - i*

Como estamos em um estado estacionário, onde o investimento é igual à depreciação, sabemos que i*=õk*. Então,

c* = f(k*) - õk*

(26)

curvas seja a maior possível (maior consumo possível) representará o nosso estoque de capital da regra de ouro.

Na figura 08, vemos que existe um nível de capital (k*ouro) em

estado estacionário que maximiza o consumo. Neste nível de capital, note que a inclinação da curva de produção é exatamente igual à inclinação da curva de depreciação. Fig. 8 Quando o consumo é máximo, a inclinação da produção, f(k*), é igual à inclinação da depreciação, õk*. õk*, depreciação e investimento (i*=õk*) no estado estacionário

Consumo máximo, onde a distância entre a curva de produção e a curva de depreciação é a maior possível.

Nível de capital da regra de ouro, onde o consumo é maximizado.

Se o estoque de capital em estado estacionário é menor que o do nível da Regra de Ouro (nível de k* está entre 0 e kouro*), então, um aumento no estoque de capital faz crescer o produto mais do que a depreciação (que é igual ao investimento), de modo que o consumo aumenta. Nessa situação, a inclinação da função de produção em estado estacionário é maior que a inclinação da reta õk* e o aumento do capital faz aumentar a distância entre essas duas curvas, que é igual ao consumo.

Se o estoque de capital em estado estacionário é maior que o do nível da Regra de Ouro (nível de k* é maior que kouro*), então, um aumento no estoque de capital faz crescer o produto menos do que a depreciação (que é igual ao investimento), de modo que o diminui. Nessa situação, a inclinação da função de produção em estado estacionário é menor que a inclinação da reta õk* e o aumento do capital faz diminuir a distância entre essas duas curvas.

(27)

pois isso é o mais importante para concursos. No nível de capital da Regra de Ouro, a inclinação da produção e da reta õk* são iguais. Uma vez que a inclinação da função de produção é dada pelo Pmgk (ver o porquê na figura 03) e a inclinação8 da reta õk* é igual a õ, a Regra de Ouro será

descrita pela(s) equação(ões):

No nível de capital da Regra de Ouro, considerando crescimento populacional e progresso tecnológico constantes, o produto marginal do capital é igual à taxa de depreciação. Ou, em outras palavras, o acréscimo de produção (que é o Pmgk) é totalmente utilizado para repor a depreciação desse estoque de capital. Ainda podemos dizer que o produto marginal líquido do capital (Pmgk menos a depreciação) é nulo.

Por fim, antes de partirmos para o exemplo numérico, é importante que você tenha em mente que a economia tende automaticamente a um estado estacionário qualquer, mas ela NÃO tende automaticamente ao estado estacionário DA REGRA DE OURO. Se o governo deseja o estoque de capital estacionário da Regra de Ouro, ele precisa de uma taxa de poupança específica para alcançá-lo. Na figura 09, temos um estado estacionário da Regra de Ouro. Observe que, para isso acontecer, existe uma taxa de poupança exata. Se a taxa for mais alta, o estoque de capital será maior que o da Regra de Ouro. Se a taxa for mais baixa, o estoque será menor. Em ambos os casos, o consumo do estado estacionário será menor que o consumo do estado estacionário da Regra de Ouro.

8 A inclinação da reta 5k* é igual à sua derivada em relação a k*. Como d(ôk*)/k* é igual 5,

então, sua inclinação será igual a 5.

(28)

0

Nível exato de taxa de poupança que faz com que a economia tenda ao estado estacionário da Regra de Ouro, onde o consumo é máximo.

Maneira alternativa de encontrar a expressão da Regra de Ouro Nós sabemos que o consumo da Regra de Ouro é igual à produção menos a depreciação, tudo em estado estacionário:

c* = f(k*) - õk*

Para sabermos qual será o nível de capital de estado estacionário (k*) que nos dá o consumo máximo, basta derivar c* em relação a k* e igualar a derivada encontrada a 0:

d(c*)/dk* = d[f(k*)]/dk* - d(õk*)/k*

A derivada da função de produção [f(k*)] em relação a k* é igual ao produto marginal do capital (Pmgk). A derivada de õk* em relação a k* é igual a õ. Assim,

d(c*)/dk* = Pmgk - õ

Teremos c* máximo quando a sua derivada é igual a 0, então:

0 = Pmgk - õ

Pmgk = õ

(29)

Exemplo numérico do estado estacionário da Regra de Ouro: Como exemplo numérico, vamos resolver a questão de Modelo de Solow que foi cobrada no último concurso de auditor da Receita Federal, no ano passado:

(AFRFB - ESAF - 2009) - Considere o Modelo de Solow

dado pelas seguintes equações e informações: y = k0'5

õ = 0,05 onde:

y = produto por trabalhador;

k = estoque de capital por trabalhador; õ = taxa de depreciação.

Supondo a taxa de crescimento populacional igual a zero, a taxa ótima de poupança dada pela "regra de ouro" gera um nível ótimo de investimento por trabalhador igual a:

a) 5,0 b) 2,5 c) 10,0 d) 25,0 e) 1,5 Resolução:

Em primeiro lugar, observe que, ao contrário do exemplo numérico do estado estacionário, a função de produção dada pelo problema já está "no ponto", pronta para ser utilizada, uma vez que a função já apresenta as variáveis "por trabalhador". Vamos aos cálculos:

Foi informado que estamos no nível de poupança da regra de ouro (consumo máximo por trabalhador). Na regra de ouro, sem crescimento populacional e sem progresso tecnológico, temos:

PmgK = õ

Uma vez que õ=0,05, temos:

PmgK = 0,05 (1)

(30)

O nível da Regra de ouro é o estado estacionário onde o consumo per capita é máximo. Como é um estado estacionário, então o estoque de capital por trabalhador não varia (A k=0), de forma que i=õk:

3.6. O CRESCIMENTO POPULACIONAL

Até agora, nós vimos que a acumulação de capital (investimento) por meio da poupança ainda não explica o crescimento econômico sustentável no longo prazo. Altas taxas de poupança acarretam um crescimento temporário até o próximo estado estacionário.

A fim de tornarmos nossa análise mais factível, a partir de agora, vamos pressupor que há crescimento populacional. Assim, em vez de pressupor que a população seja fixa, como fizemos até o momento, vamos adotar a premissa que a população e a força de trabalho9 crescem

a uma taxa constante, n. Essa taxa, assim como a taxa de depreciação, é em valores percentuais e se refere ao período de 01 ano. Por exemplo, se a população do Brasil cresce cerca de 1% ao ano, n será igual a 0,01.

A principal implicação de considerarmos o crescimento populacional em nosso modelo se refere às forças que influenciam o estoque de capital por trabalhador. No item 3.3, nós vimos que o estoque de capital por trabalhador era influenciado pelo investimento (+) e pela depreciação (-). Pois bem, se o número de trabalhadores cresce, é natural que o capital por trabalhador diminua, afinal k=K/L. Se L aumenta, k (letra minúscula) diminui. Ou seja, o crescimento populacional faz com que haja menos capital para ser distribuído para cada trabalhador.

9 Para fins didáticos, consideramos que aumento da população significa o mesmo que

aumento da quantidade de trabalhadores ou aumento da força de trabalho. CURSO ON-LINE - ECONOMIA PARA AFRFB

Substituindo Pmgk em (1) temos:

(31)

Assim, o estoque de capital por trabalhador sofrerá a influência de três forças em vez de duas:

Estoque de capital p/ trabalhador

Investimento (+) Depreciação (-)

Crescimento

populacional (-)

Agora, não só a depreciação faz diminuir o k, mas também a taxa de crescimento populacional, n. Quanto mais a população cresce, mais negativa será a variação do estoque de capital por trabalhador (nos tens 3.1 a 3.6, presumimos que n=0).

No estado estacionário, o capital não varia de modo que Ak=0. Assim, considerando um crescimento populacional de n, o estado estacionário ocorre quando

0 = i - (õ + n)k i = (õ + n)k

Este nível de investimento é chamado de investimento de equilíbrio, e significa a quantidade de investimento para manter constante o estoque de capital por trabalhador. O investimento de equilíbrio inclui a depreciação do capital (õk) e o montante de investimento necessário para proporcionar capital aos novos trabalhadores (nk). Assim, podemos entender que, no estado estacionário, o efeito positivo do investimento sobre o estoque de capital por trabalhador equilibra exatamente os efeitos negativos da depreciação e do crescimento populacional.

Do ponto de vista gráfico, a diferença é que não teremos mais a reta õk que diminui o capital. Agora, temos a reta (õ+n)k em vez de somente õk, uma vez que não somente a depreciação, õ, mas também o crescimento populacional, n, faz diminuir o estoque de capital por trabalhador.

Essa reta (õ+n)k é chamada de reta do investimento de equilíbrio, uma vez que (õ+n)k é igual ao investimento de equilíbrio. A inclinação dessa reta será igual a (õ+n).

(32)

CURSO ON-LINE - ECONOMIA PARA AFRFB TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS

PROFESSOR HEBER CARVALHO Fig. 10

Estado estacionário, onde i=(5+n)k

A inclusão do crescimento populacional nos dá alguns "insights" mais significativos acerca do crescimento econômico sustentável.

I O crescimento populacional explica em parte o crescimento do total da produção:

No estado estacionário com crescimento populacional, o capital por trabalhador e também a produção por trabalhador são constantes. No entanto, sabemos que o número de trabalhadores cresce a uma taxa n. Ora, se L cresce a uma taxa n, se y é constante e, ao mesmo tempo,

y=Y/L, então, Y também deve crescer a uma taxa n para que y seja

constante.

Assim, o total da produção também deve crescer a uma taxa n, para que a produção por trabalhador seja constantes. Assim, o crescimento populacional nos ajuda a explicar o crescimento sustentável no total da produção. Se a população cresce a uma taxa n, então, o total10 da produção também cresce a uma taxa n.

Nota muita atenção, pois estamos falando que o crescimento populacional explica o crescimento sustentável do total da produção, e não o crescimento do padrão de vida (que é medido pela produção por trabalhador). No estado estacionário com crescimento populacional, o padrão de vida do trabalhador (renda ou produção por trabalhador) é

(33)

constante, não muda. Apenas o total da produção é que muda, pois ela cresce a uma taxa n.

II ^ O aumento do crescimento populacional faz diminuir a renda per capita:

O crescimento populacional explica em parte a diferença de renda entre os países. Se o crescimento populacional de um país aumenta (se n aumenta), a reta de investimento de equilíbrio será rotacionada para cima, ficando mais inclinada. Isso acontece porque sua inclinação é dada por (õ+n). Então, se n aumenta, a inclinação da reta também aumenta. Veja os efeitos na figura 11, onde n aumenta de n1 para n2:

Redução no estoque de capital no estado estacionário em virtude do aumento de n.

O aumento de n tornou a curva do investimento de equilíbrio mais inclinada e o estado estacionário mudou do ponto 1 para o ponto 2, fazendo reduzir o estoque de capital estacionário por trabalhador (de k1* para k2*). Dado que a produção por trabalhador é função do capital por trabalhador [y=f(k)], essa redução no estoque de capital também reduz a produção per capita (ou renda per capita). Assim, o modelo de Solow nos mostra que países com maior crescimento populacional têm níveis mais baixos de PIB per capita, o que é bastante condizente com a realidade. Nota ^ na primeira parte do estudo do modelo, quando consideramos o crescimento populacional nulo, nós vimos que uma alteração da taxa de poupança exerce um efeito sobre o produto por trabalhador no estado

(34)

estacionário, mas não afeta a sua taxa de crescimento no longo prazo. O mesmo acontece com o crescimento populacional. Sua alteração exerce um efeito sobre o capital e sobre a produção per capita no estado estacionário, mas não afeta a sua taxa de crescimento, uma vez que, em estado estacionário, as variáveis (y e k) permanecerão constantes.

III ^ Novo nível de capital da Regra de Outro considerando o crescimento populacional:

A formulação teórica do nível de capital da Regra de Ouro continua a mesma: é o nível de capital estacionário em que o consumo por trabalhador é maximizado.

Quando não consideramos o crescimento populacional, nós vimos que o consumo estacionário é máximo quando a inclinação da curva de produção, f(k), é igual à inclinação da curva de depreciação, õk. Ou seja, quando Pmgk=õ. Agora, o que muda é que não temos mais curva de depreciação, mas sim curva de investimento de equilíbrio, (õ+n)k. Assim, o consumo estacionário será máximo quando a inclinação da curva de produção, que é igual ao produto marginal do capital, é igual à inclinação da curva do investimento de equilíbrio, que é igual a (õ+n). Desta forma, considerando o crescimento populacional sendo igual a n, o nível de k* que maximiza o consumo é aquele em que

No estado estacionário da Regra de Ouro, o produto marginal do capital é igual ao somatório da taxa de depreciação com a taxa de crescimento populacional. Ou, em outras palavras, o produto marginal do capital líquido da depreciação é igual à taxa de crescimento populacional.

3.7. O PROGRESSO TECNOLÓGICO

A partir de agora, acrescentaremos mais uma fonte de crescimento econômico: o progresso tecnológico. O modelo de Solow não explica o que determina e o que influencia o progresso tecnológico, ele apenas o pega como um dado pronto, pré-determinado. Ou seja, o progresso

REGRA DE OURO com crescimento populacional n.

Ou,

(35)

tecnológico é uma variável exógena ao modelo de Solow. Por isso, o modelo de Solow é um modelo de crescimento exógeno11.

Neste momento, vamos retornar à função de produção Cobb-Douglas do início da aula:

Y = F(K, L)

A principal consequência do progresso tecnológico é fazer com que cada trabalhador produza mais. Ou seja, quanto maior a tecnologia, mais os trabalhadores serão eficientes. Assim, é possível que, dependendo da tecnologia de produção, um trabalhador, por exemplo, faça o trabalho de vários em virtude da técnica utilizada.

A fim de incorporar o progresso técnico em nosso modelo, nós vamos introduzir uma nova variável na nossa função de produção. É a variável "E", que significa eficiência da mão-de-obra. Essa variável "E" deve ser multiplicada por L, no sentido de que ela faz um trabalhador produzir mais. Veja:

Y = F(K, LxE)

O termo LxE mede o número efetivo de trabalhadores (ou unidade de eficiência do trabalho). Ele leva em conta o número de trabalhadores, L, e a eficiência da mão-de-obra, E. A eficiência, por sua vez, é determinada pela tecnologia do país. Perceba que, segundo essa nova função de produção, o progresso tecnológico (aumentos de E, eficiência da mão-de-obra) tem o mesmo efeito que aumentos na força de trabalho, L.

Por exemplo, suponha que um progresso tecnológico faça com que um trabalhador hoje tenha o dobro de eficiência de outro há dez anos. Isso significa que 01 trabalhador, em 2010, é tão produtivo quanto 02 trabalhadores no ano 2000. Em outras palavras, ainda que o número de trabalhadores (L) permaneça o mesmo nos anos de 2000 e 2010, o número efetivo de trabalhadores efetivos (LxE) dobra, em virtude do progresso tecnológico.

Nós denominamos de "g" a taxa com que o progresso tecnológico aumenta. Por exemplo, se g=0,05l então cada trabalhador passa a ser

11 Existem modelos que explicam o progresso tecnológico e não simplesmente o pegam

(36)

5% mais eficiente a cada ano e, por conseguinte, o total da produção aumenta como se a força de trabalho tivesse aumentado em 5%.

Essa suposição do modelo de que a tecnologia aumenta a eficiência da mão-de-obra faz com que chamemos o "g" de progresso tecnológico incrementador da mão-de-obra. Uma vez que a força de trabalho (L) cresce à taxa n, e a eficiência da mão-de-obra (E) cresce à taxa g, o número efetivo de trabalhadores (LxE) cresce à taxa (n+g).

Também é importante ressaltarmos que se a eficiência da mão-de-obra (E) é constante (se, por exemplo, temos E=1), então, não há progresso tecnológico, de tal forma que g=0. Este pressuposto foi adotado nos tópicos 3.1 a 3.6 desta aula.

Nos itens 3.1 a 3.6, nós analisamos a economia em termos de variáveis "por trabalhador". Agora, nós faremos essa análise em termos de variáveis "por trabalhador efetivo" (ou por unidade de eficiência do trabalho). Para isso, basta dividirmos a função de produção com progresso tecnológico por LxE (e não somente por L como temos feito até o momento). Assim, teremos:

y = Y/(LxE)

k = K/(LXE)

A função de produção por trabalhador efetivo será função do estoque de capital por trabalhador efetivo:

y=f(k)

Feitas essas considerações iniciais, a nossa análise será igual àquela realizada nos itens precedentes. O estoque de capital por trabalhador efetivo variará segundo quatro forças: o investimento (aumenta o k), depreciação (diminui o k), crescimento populacional (diminui o k) e progresso tecnológico (diminui o k). Assim, a variação do capital é

(37)

No estado estacionário, Ak=0r então:

i = (õ + n + g)k sf(k) = (õ + n + g)k

Na figura 12, nós podemos visualizar o estado estacionário com o progresso tecnológico:

Fig. 12

No estado estacionário, o capital por trabalhador efetivo, k, é constante. Uma vez que y=f(k), o produto por trabalhador efetivo também é constante.

Há uma crucial diferença entre o estado estacionário com progresso técnico e sem progresso técnico. Quando consideramos a tecnologia, o capital e a produção por trabalhador efetivo se mantêm constantes no estado estacionário. Isso é inteiramente diferente do estado estacionário sem progresso técnico. Neste, o capital e a produção por trabalhador (conceito diferente de trabalhador efetivo) são constantes. Com base nisso, tiramos importantes conclusões. Veja:

Com tecnologia, nós sabemos que y é constante em estado estacionário e esse y significa o produto por trabalhador efetivo:

(38)

Ao mesmo tempo, sabemos que L cresce a uma taxa n, e E cresce a uma taxa g. Assim, o denominador da nossa fração Y/(LxE) cresce a uma taxa (n+g). Ora, se o denominador de Y/(LxE) cresce a uma taxa (n+g), a única maneira de y se manter constante é se o produto Y também crescer a uma taxa (n+g).

Assim, concluímos que, no estado estacionário, o total da produção (ou produto total) cresce a uma taxa (n+g).

Bem, já vimos que o capital e o produto por trabalhador efetivo (y) em estado estacionário são constantes. Também já vimos que o produto total (Y), em estado estacionário, cresce a uma taxa (n+g). Mas, e quanto ao produto por trabalhador (Y/L)? Ele cresce ou fica constante?

Vejamos:

Multiplicando os dois lados por E, temos:

A expressão nos mostra que o produto por trabalhador (Y/L) é igual ao produto por trabalhador efetivo (y) multiplicado por E. Como sabemos que y é constante e E cresce a uma taxa g, temos então a certeza de que o produto por trabalhador (Y/L) cresce também a uma taxa g.

Uma vez que o produto por trabalhador (=renda per capita) é o termo que define o padrão de vida dos cidadãos, nosso modelo pode finalmente explicar os crescimentos sustentáveis nos padrões de vida que observamos ao longo dos anos. Ou seja, o modelo de Solow nos diz que, no estado estacionário, a taxa de crescimento da renda per capita é determinada exclusivamente pela taxa exógena de progresso tecnológico, g.

(39)

nestes países de alta renda é bem maior que aquele verificado nos países pobres12.

Assim, podemos resumir quem cresce e quem fica constante no estado estacionário, com e sem progresso técnico:

Variável

Taxa de crescimento no estado estacionário Variável Com progresso

técnico Sem progresso técnico Capital por trabalhador

efetivo: K/ (LxE) 0

-Produto por trabalhador

efetivo: Y/(LxE) 0

-Produto por

trabalhador: Y/L g 0

Produto total: Y (n+g) n

Por fim, falemos agora da Regra de Ouro com a introdução do progresso tecnológico. O nível de capital da Regra de Ouro é definido como o estado estacionário que maximiza o consumo por trabalhador efetivo.

Podemos deduzir o consumo da Regra de Ouro da mesma forma que fizemos nos itens anteriores, só que agora estamos falando do consumo máximo por trabalhador efetivo e também devemos considerar que a reta do investimento de equilíbrio é dada por (õ+n+g)k*. As sim, o consumo será

c* = f(k*) - (õ+n+g)k*

O consumo no estado estacionário será maximizado quando a inclinação da função de produção for igual à inclinação da reta (õ+n+g)k*. Assim, temos consumo máximo por trabalhador efetivo no estado estacionário quando

Pmgk = õ + n + g

Ou,

Pmgk - õ = n + g

12 Como assessor econômico da Casa Branca na década de 1960, uma das ideias defendidas

por Solow era justamente o desenvolvimento tecnológico como forma de melhorar o padrão de vida da população (aumentar a renda per capita). Para ele, o progresso tecnológico tinha mais efeito sobre o crescimento do que o aumento da população (L) ou o aumento do estoque de capital (K).

(40)

No nível de capital da Regra de Ouro, o produto marginal do capital líquido (Pmgk - õ) é igual à taxa de crescimento do produto total (n+g).

3.8. RESÍDUO DE SOLOW

Uma das principais críticas a este modelo de Solow é o fato de ele não investigar mais a fundo a questão do progresso técnico. O modelo apenas conclui que é ele quem garante o crescimento de longo prazo, mas não o explica de forma mais detalhada. Conforme nós vimos, neste modelo, a tecnologia é considerada uma variável exógena.

Neste contexto, Solow calculava o percentual de contribuição da tecnologia para o crescimento econômica de forma residual. Vejamos como isso funciona. Suponha uma função de produção Cobb-Douglas:

Onde A é o parâmetro tecnológico, K é o capital, L é a mão-de-obra, "a" e " 1 - a " são os expoentes de K e L, e medem a participação do capital e da mão-de-obra, respectivamente.

O crescimento econômico (AY/Y) é calculado por meio da seguinte fórmula13:

O termo AY/Y representa o crescimento no produto. O termo a.AK/k representa a contribuição do capital para o crescimento do produto. O termo (1 -a).AL/L representa a contribuição da mão-de-obra para o crescimento do produto. O termo AA/A representa a contribuição da tecnologia para o crescimento do produto e também é chamado de produtividade total dos fatores (PTF).

Essa produtividade total dos fatores (PTF), que é contribuição da tecnologia para o crescimento, não é mensurável de forma direta. Afinal, é bem difícil imputar numericamente qual o percentual do crescimento do produto que ocorreu devido à tecnologia. Assim, a PTF é calculada residualmente, uma vez que é possível saber sem maiores problemas

13 Pessoal, não é preciso decorar essa fórmula e também não a demonstrarei, pois acho que

(41)

qual foi a contribuição da mão-de-obra e do capital para o crescimento do produto.

Por exemplo, suponha que, em 2010, a taxa de crescimento do PIB do Brasil tenha sido de 6%, com expansão de 2% do capital e 1% da força de trabalho, e as participações do capital e da mão-de-obra na produção são 0,3 e 0,7, respectivamente [ou seja, a=0,3 e (1 -a)=0,7]. O cálculo da PTF no período é dado por:

Pessoal, com essa aula, terminamos nosso curso!

Foram mais de 04 meses (01 aula a cada 02 semanas) em que estivemos juntos e eu espero que essas aulas possam realmente lhe ajudar a

conseguir seu objetivo: ser aprovado no concurso da Receita Federal! Agradeço às dúvidas colocadas no fórum, aos feedbacks recebidos e também àqueles que, mesmo sem obrigação de fazê-lo, me alertaram sobre erros materiais, de digitação e de uso do Português nas aulas. Todas essas contribuições foram importantes para que eu pudesse melhorar o padrão dos textos.

Por fim, desejo a todos bastante saúde e bons estudos!!! Heber Carvalho

[email protected] [email protected]

Ou seja, dos 6% de crescimento do PIB, 4,7% ocorreram devido ao crescimento tecnológico. Mas note que essa descoberta do quantum a tecnologia foi importante para o crescimento foi obtida residualmente. Primeiro, sabiam-se os valores do crescimento do produto, crescimento do estoque de capital, crescimento da força de trabalho e suas as contribuições para esse crescimento. A partir destes dados,

residualmente, foi possível calcular a produtividade total dos fatores

(42)

EXERCÍCIOS COMENTADOS

01 - (AFRFB - ESAF - 2009) - Considere o Modelo de Solow dado pelas seguintes equações e informações:

y = k0 5 õ = 0,05 onde:

y = produto por trabalhador;

k = estoque de capital por trabalhador; õ = taxa de depreciação.

Supondo a taxa de crescimento populacional igual a zero, a taxa ótima de poupança dada pela "regra de ouro" gera um nível ótimo de investimento por trabalhador igual a:

a) 5,0 b) 2,5 c) 10,0 d) 25,0 e) 1,5

A questão não nos informou a taxa g (progresso tecnológico) e disse não haver crescimento populacional (n=0). Foi informado ainda que estamos no nível de poupança da regra de ouro (consumo máximo per capita).

Na regra de ouro, sem crescimento populacional e sem progresso tecnológico temos:

Produto Marginal do Capital = Taxa de Depreciação PMgK = õ

PMgK = 0,05 (1)

Para acharmos o Produto Marginal do Capital, devemos derivar a função de produção na variável K:

(43)

O nível da Regra de ouro é o estado estacionário onde o consumo per capita é máximo. Como é um estado estacionário então o estoque de capital por trabalhador não varia (Ak=0):

Ak = i - õ.k ^ o capital cresce com o investimento e se reduz com a depreciação

0 = i - 0,05.100 ^ em um estado estacionário o Ak=0, pois o capital não varia

1 = 5

GABARITO: A

02 - (AFRFB - 2003 - ESAF) - Com relação ao modelo de crescimento de Solow, é correto afirmar que, no equilíbrio de longo prazo:

a) quanto maior for a taxa de depreciação, maior será o estoque de capital por trabalhador.

b) a taxa de crescimento do produto por trabalhador é igual à taxa de depreciação.

c) quanto maior for a taxa de poupança, maior será o consumo por trabalhador.

d) quanto maior for a taxa de crescimento populacional, maior será o estoque de capital por trabalhador.

e) quanto maior a taxa de poupança, maior será o estoque de capital por trabalhador.

COMENTÁRIOS:

a) Incorreta. Quanto maior for a taxa de depreciação, MENOR será o estoque de capital por trabalhador, pois a depreciação reduz o estoque de capital.

b) Incorreta. Não há essa relação. A taxa de crescimento pode ser maior, menor ou igual ao crescimento do produto, tanto faz.

c) Incorreta. Quanto maior for a taxa de poupança, maior será o ESTOQUE DE CAPITAL por trabalhador.

d) Incorreta. Quanto maior for a taxa de crescimento populacional, MENOR será o estoque de capital por trabalhador.

e) Correta. GABARITO: E