Absorsor Pendular para Controle de Vibrações de Torres
Esbeltas
Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Área de Concentração: Estruturas.
Orientador: Paulo Batista Gonçalves
Rio de Janeiro, março de 2006
Absorsor Pendular para Controle de Vibrações de Torres
Esbeltas
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Paulo Batista Gonçalves Presidente/Orientador Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
Prof. Carlos Magluta Universidade Federal do Rio de Janeiro - COPPE-UFRJ
Prof. João Luis Pascal Roehl Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
Prof. Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
Prof. José Eugênio Leal Coordenador(a) Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio
Rio de Janeiro, 03 de março de 2006
autor e do orientador.
Diego Orlando Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidade de Passo Fundo (UPF), em janeiro de 2004. Participou de projetos de iniciação científica no Laboratório de Ensaios em Sistemas Estruturais (LESE-UPF). Ingressou no curso de mestrado em Engenharia Civil da PUC-Rio em março de 2004, atuando na área de Dinâmica Estrutural e Controle de Vibrações.
Ficha Catalográfica
CDD: 624 Orlando, Diego
Absorsor pendular para controle de vibrações de torres esbeltas / Diego Orlando ; orientador: Paulo Batista Gonçalves. – Rio de Janeiro : PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2006.
168 f. : il. ; 30 cm
Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil.
Inclui referências bibliográficas.
1. Engenharia civil – Teses. 2. Torres esbeltas. 3. Absorsor dinâmico de vibrações. 4. Absorsor pendular. 5. Controle de vibrações. 6. Oscilações não-lineares. 7. Estabilidade dinâmica. I. Gonçalves, Paulo Batista. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título.
Dedico este trabalho como minha mais saudosa homenagem aos meus pais, Wilson Orlando e Melânia Maria Orlando, por todo amor, carinho e auxílio no decorrer da minha vida. Para meu irmão Thiago Orlando, pela amizade e por todas as oportunidades de brincadeira e descontração.
Agradeço a vida, e àqueles que passam fazendo-a valer a pena.
Ao Professor Paulo Batista Gonçalves pelas conversas, pelo auxílio constante na realização deste trabalho, pela paciência e por sua amizade.
Aos professores do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio pelos ensinamentos transmitidos.
Aos professores que participaram da Comissão examinadora.
A meus familiares que sempre acreditaram em mim, em especial a minhas avós e a meus avôs (Fidelis Orlando e Bonifácio Popiolek, in memoriam). A minha “Tia Ninha”, que ainda está viva em minha memória.
Aos meus amigos de uma vida inteira, em especial Eduardo de Mattos, Erblai de Mattos Junior, Cleiton Batista Silverio, Henrique Marek, André Guimarães, Eduardo Zimmer, Maikel Orlando, Célio França, Taiana França, Denise Marek, Carla Dall’Agnol, Osmar Cervieri e Jaime Giolo.
Aos Professores, Engenheiros e amigos Zacarias Chamberlain e Gilnei Artur Drehmer pelo constante apoio e incentivo.
Aos colegas e amigos que colaboraram nessa Dissertação em especial Frederico Martins, André Muller, Eduardo Pasquetti, Walter Menezes e Igor Otiniano.
Aos grandes amigos Julio e Gisele Holtz, Patrícia Cunha, Fernando Ramires e Alexandre Del Savio obrigado pelo incentivo e apoio.
Aos colegas, companheiros e amigos de festa e descontração Adriano, Thiago Pecin, Ygor, Christiano, Tiago Proto e Adenilson.
Aos antigos companheiros de republica Tinho, Zé, Fred, Pasquetti e Magnus, por terem me aturado tanto tempo e aos novos colegas de apartamento Thiago, Erblai
A Cnpq e a Capes pelo apoio financeiro, sem os quais este trabalho não poderia ser realizado.
A PUC-Rio pela complementação da bolsa através do programa de bolsa de rendimento acadêmico.
Por fim, a todos aqueles que contribuíram de uma forma ou outra na realização desta Dissertação.
Orlando, Diego; Gonçalves, Paulo Batista. Absorsor Pendular para Controle de Vibrações de Torres Esbeltas. Rio de Janeiro, 2006. 168p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Nesse trabalho, estuda-se o desempenho de um absorsor pendular no controle de vibrações de torres altas e esbeltas, ocasionadas por carregamentos dinâmicos, tais como, por exemplo, cargas ambientais. Em virtude da possibilidade de oscilações de grande amplitude, considera-se na modelagem do problema a não-linearidade do pêndulo. O principal objetivo é estudar o comportamento do sistema torre-pêndulo, submetido a um carregamento harmônico, no regime não-linear, abordando-se aspectos gerais ligados à estabilidade dinâmica. Apresenta-se, inicialmente, a formulação necessária para obter o funcional de energia do sistema coluna-pêndulo, tanto para o caso linear quanto para o caso não-linear, do qual derivam-se as equações diferenciais parciais de movimento. A partir das equações lineares, obtêm-se as freqüências naturais e modos de vibração para alguns casos relevantes de coluna. A seguir, com base na análise modal do sistema coluna-pêndulo, deriva-se um modelo de dois graus de liberdade capaz de descrever com precisão o comportamento do sistema na vizinhança da freqüência fundamental da coluna, do qual obtêm-se as equações de movimento e as equações de estado não-lineares. Uma análise paramétrica detalhada das oscilações não-lineares do sistema coluna-pêndulo demonstra que o absorsor pendular passivo pode reduzir ou amplificar a resposta da coluna. No estudo da influência da não-linearidade geométrica do pêndulo, verifica-se a importância dessa na resposta do sistema, evidenciando que a não-linearidade não pode ser desprezada nessa classe de problema. Por fim, com base nos resultados, propõe-se um absorsor pendular híbrido. Os estudos revelam que este controle é mais eficiente que o passivo e que não requer grande gasto de energia.
Palavras-chave
Torres esbeltas, absorsor dinâmico de vibrações, absorsor pendular, controle de vibrações, oscilações não-lineares, estabilidade dinâmica.
Orlando, Diego; Gonçalves, Paulo Batista. Vibration Control of Slender Towers with a Pendulum Absorber. Rio de Janeiro, 2006. 168p. MSc. Dissertation - Department of Civil Engineering, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
In the present work the performance of a pendulum absorber in the vibration control of tall and slender towers, caused by dynamic loads, such as, environmental loads, is studied in detail. Due to the possibility of large amplitude oscillations, the non-linearity of the pendulum is considered in the modeling of the problem. The main objective of this research is to study the behavior of the tower-pendulum system, submitted to a harmonic load, in the nonlinear regimen, with emphasis on general aspects related to its dynamic stability. It is presented, initially, the formulation necessary for the derivation of the system’s energy functional, both for the linear and the nonlinear cases, from which the partial differential equations of motion are derived and the vibration frequencies and related vibration modes are obtained. Then, based on the modal analysis of the column-pendulum system, a two degrees of freedom model, capable of describing with precision the behavior of the system in the neighborhood of the fundamental frequency of the column is derived, from which the equations of motion and the nonlinear state-space equations are obtained. A detailed parametric analysis of the nonlinear oscillations of the system is carried out. It shows that the pendulum may reduce or amplify the response of the column. The results show a marked influence of the geometric not-linearity of the pendulum on the response of the system, showing that its not-linearity cannot be neglected in this class of problems. Finally, based on the results, a hybrid control approach is proposed. These studies show that this control strategy is more efficient than the passive control alone and that it does not require a large amount of energy.
Keywords
Slender towers, dynamic vibration absorber, pendulum absorber, vibration control, nonlinear oscillations, dynamic stability.
1 Introdução 27
1.1. Motivação 32
1.2. Objetivos 33
1.3. Organização do Trabalho 33
2 Formulação do Problema 35
2.1. Funcional de Energia do Sistema – Formulação Não-Linear 36
2.1.1. Energia Potencial Total da Coluna 37
2.1.2. Energia Cinética da Coluna 42
2.1.3. Amortecimento da Coluna 43
2.1.4. Força Harmônica 44
2.1.5. Funcional de Energia da Coluna – Formulação Não-Linear 44 2.1.6. Funcional de Energia do Pêndulo – Formulação Não-Linear 44 2.1.7. Montagem do Funcional de Energia do Sistema – Formulação Não-Linear 47 2.2. Funcional de Energia do Sistema – Coluna Linear 47 2.3. Dedução das Equações Diferenciais de Movimento 48
3 Freqüências Naturais e Modos de Vibração da Coluna 50 3.1. Coluna de Seção Constante sem Força Axial 50
3.1.1. Estudo das Freqüências Naturais 57
3.1.2. Estudo dos Modos de Vibração 60
3.2. Coluna de Seção Variável com Força Axial 62
3.2.1. Avaliação da Força Axial 66
3.2.2. Exemplo Numérico 67
3.2.2.1. Coluna sem o Efeito do Peso Próprio 69 3.2.2.2. Coluna com o Efeito do Peso Próprio 69
4 Solução do Sistema Coluna-Pêndulo 71
4.1. Solução Modal 71
4.3.1. Equações Não-Lineares do Modelo de Dois Graus de
Liberdade 76 4.4. Correlação com o Modelo Discreto de Dois Graus de
Liberdade 76 4.5. Relação Freqüência-Amplitude da Coluna com Pêndulo
Absorsor 79
5 Estudo Paramétrico do Sistema Coluna-Pêndulo 87 5.1. Influência da Freqüência da Excitação no Comportamento
do Sistema 87
5.2. Influência da Freqüência do Pêndulo no Comportamento
do Sistema 97
5.3. Influência das Condições Iniciais do Pêndulo Absorsor no
Comportamento do Sistema 100
5.3.1. Resposta do Sistema a um Carregamento Senoidal 100 5.3.2. Comportamento do Sistema sob um Pulso Senoidal 104 5.3.3. Comportamento do Sistema sob um Pulso Retangular 105 5.3.4. Comportamento do Sistema para uma Velocidade Inicial 106 5.4. Influência do Amortecimento do Pêndulo no Comportamento
do Sistema 107
5.5. Influência de uma Mola com Rigidez Linear 108
5.5.1. Variação da Rigidez Linear 109
5.5.2. Efeito de uma Mola Não-Linear 111
6 Resposta do Sistema Não-Linear 114
6.1. Obtenção das Equações Algébricas Não-Lineares 114
6.2. Resultados Numéricos 117
6.2.1. Exemplo 1 118
6.2.2. Exemplo 2 127
7 Absorsor Dinâmico de Vibrações Híbrido 139
7.1.1. Influência do parâmetro f 143
7.1.2. Influência do parâmetro β 147
7.2. Comportamento do Sistema Considerando Defasagem
no Cálculo da Força de Controle 151
7.3. Comportamento do Sistema para um Pulso Retangular 155 7.4. Comportamento do Sistema para um Pulso com Amplitude
Variável 157
8 Conclusões e Sugestões 160
8.1. Conclusões 160
8.2. Sugestões 161
9 Referências Bibliográficas 162
Figura 1.1: Torres de telecomunicações. 27 Figura 1.2: Desprendimento de vórtices (Techet, 2005). 28
Figura 2.1: Coluna em estudo. 35
Figura 2.2: Deslocamento transversal e encurtamento da coluna. 38 Figura 2.3: Elemento infinitesimal da linha neutra da viga. 38
Figura 2.4: Parâmetros do pêndulo. 45
Figura 3.1: Coluna de seção constante sem força axial. 51
Figura 3.2: Modos de vibração da coluna. 54
Figura 3.3: Parcelas da condição de continuidade do esforço
cortante. 55 Figura 3.4: Variação da primeira freqüência em função de α e υ . 58
Figura 3.5: Variação da segunda freqüência em função de α e υ . 59 Figura 3.6: Variação da terceira freqüência em função de α e υ . 59 Figura 3.7: Comparação entre as três primeiras freqüências
quando υ =1. 60
Figura 3.8: Forma do primeiro modo de vibração variando-se υ . 61 Figura 3.9: Forma do segundo modo de vibração variando-se υ . 61 Figura 3.10: Forma do terceiro modo de vibração variando-se υ . 62 Figura 3.11: Coluna de seção variável com força axial. 63
Figura 3.12: Variação da força axial (Li et al., 2000). 67
Figura 3.13: Coluna do exemplo numérico. 68
Figura 3.14: Modos de vibração da coluna sem o efeito do
peso próprio. 69
Figura 3.15: Modos de vibração da coluna com o efeito do
peso próprio. 70
Figura 4.1: Exemplo em estudo. 72
Figura 4.2: Modos de vibração do sistema coluna-pêndulo. 75 Figura 4.3: Sistema discreto massa-pêndulo. 77
Figura 4.5: Comportamento do fator de amplificação da rotação
no topo da coluna. 82
Figura 4.6: Comportamento do fator de amplificação de
deslocamento da coluna para o ajuste ótimo. 85 Figura 4.7: Comportamento do fator de amplificação de
deslocamento da coluna para diferentes relações de µ. 86 Figura 5.1: Espectro de resposta de deslocamento do sistema
para ωp/ωc =0.7965. 88
Figura 5.2: Espectro de resposta de deslocamento do sistema
para ωp/ωc =1.00. 88
Figura 5.3: Espectro de resposta de deslocamento do sistema
para ωp/ωc =1.1151. 89
Figura 5.4: Espectro de resposta de deslocamento da coluna
para ωp/ωc =0.7965. 89
Figura 5.5: Espectro de resposta de deslocamento da coluna
para ωp/ωc =1.00. 90
Figura 5.6: Espectro de resposta de deslocamento da coluna
para ωp/ωc =1.1151. 90
Figura 5.7: Variação das amplitudes máximas de deslocamento
da coluna original e com absorsor na resposta permanente. 92 Figura 5.8: Diagramas de bifurcação para o deslocamento da
coluna na resposta permanente. 93
Figura 5.9: Resposta no tempo, plano fase e seção de Poincaré
da resposta permanente da coluna. 94
Figura 5.10: Diagramas de bifurcação para o deslocamento angular
do pêndulo na resposta permanente. 95
Figura 5.11: Resposta no tempo, plano fase e seção de Poincaré
da resposta permanente do pêndulo. 96
Figura 5.12: Amplitudes máximas da resposta total e permanente
da coluna e do pêndulo. 98
Figura 5.14: Comportamento da força adimensional F. 100 Figura 5.15: Comportamento das amplitudes máximas da coluna
na resposta total para um carregamento harmônico senoidal. 101 Figura 5.16: Comportamento das amplitudes máximas da coluna
na resposta permanente para um carregamento harmônico senoidal. 101 Figura 5.17: Resposta da coluna no tempo para um carregamento
harmônico senoidal. 102
Figura 5.18: Comportamento das amplitudes máximas do pêndulo
na resposta total para um carregamento harmônico senoidal. 102 Figura 5.19: Comportamento das amplitudes máximas do pêndulo na resposta permanente para um carregamento harmônico senoidal. 103 Figura 5.20: Resposta do pêndulo no tempo para um carregamento
harmônico senoidal. 103
Figura 5.21: Pulso senoidal. 104
Figura 5.22: Comportamento das amplitudes máximas da coluna
para um pulso senoidal. 104
Figura 5.23: Comportamento das amplitudes máximas do pêndulo
para um pulso senoidal. 105
Figura 5.24: Pulso retangular. 105
Figura 5.25: Comportamento das amplitudes máximas da coluna
para um pulso retangular. 106
Figura 5.26: Comportamento das amplitudes máximas da coluna
para uma velocidade inicial. 106
Figura 5.27: Amplitudes de deslocamento da coluna na resposta
transiente para diferentes valores de ξp. 107
Figura 5.28: Influência da variação da taxa de amortecimento do pêndulo nas amplitudes máximas de resposta da coluna e
do pêndulo. 108
Figura 5.29: Comportamento das amplitudes máximas do sistema
na resposta total em função da variação de rigidez do pêndulo. 110
rigidez do pêndulo. 111 Figura 6.1: Variação de θ para ωp/ωc=1.0, ξp=0.0%, µ=0.20 e
F = 0.092. 119
Figura 6.2: Variação de ζ para ωp/ωc=1.0, ξp=0.0%, µ=0.20 e
F = 0.092. 119
Figura 6.3: Variação do ângulo de fase ϕ para ωp /ωc=1.0,
p
ξ =0.0%, µ =0.20 e F =0.092. 120
Figura 6.4: Variação do ângulo de fase ψ para ωp /ωc=1.0, p
ξ =0.0%, µ =0.20 e F =0.092. 120
Figura 6.5: Influência do amortecimento do pêndulo em θ e
ζ para ωp/ωc=1.0, µ =0.20 e F = 0.092. 121
Figura 6.6: Variação de θ para ωp/ωc=0.833, ξp=26.23%,
µ=0.20 e F = 0.041. 121
Figura 6.7: Variação do deslocamento angular θ ao longo do
tempo para ωp/ωc=0.833, ξp=26.23%, µ=0.20 e F = 0.041. 122 Figura 6.8: Variação de ζ para ωp/ωc=0.833, ξp=26.23%,
µ=0.20 e F = 0.041. 123
Figura 6.9: Variação do deslocamento ζ ao longo do tempo para
c
p ω
ω / =0.833, ξp=26.23%, µ=0.20 e F = 0.041. 123 Figura 6.10: Variação do ângulo de fase ϕ para ωp /ωc=1.0,
p
ξ =26.23%, µ=0.20 e F = 0.041. 124
Figura 6.11: Variação do ângulo de fase ψ para ωp /ωc=1.0, p
ξ =26.23%, µ=0.20 e F = 0.041. 124
Figura 6.12: Variação das amplitudes de deslocamento θ e ζ (x/xest) para ωp/ωc=0.833, ξp=26.23%, µ=0.20 e
F = 0.041 (Pinheiro, 1997). 125
c p
Figura 6.14: Influência da não-linearidade do pêndulo em θ e
ζ para ωp/ωc=1.0, µ =0.20, F = 0.092 e ξpótimo =0.25. 127 Figura 6.15: Amplitudes de deslocamento angular θ para
c
p ω
ω / =1.018, ξp=0.0%, µ=0.04 e ζs= 0.007. 128
Figura 6.16: Diagrama de bifurcação do mapa de Poincaré. Variação da coordenada θ para ωp/ωc=1.018, ξp=0.0%,
µ=0.04 e ζs= 0.007. 129
Figura 6.17: Amplitudes de deslocamento ζ para ωp /ωc=1.018, p
ξ =0.0%, µ =0.04 e ζs= 0.007. 129
Figura 6.18: Diagrama de bifurcação do mapa de Poincaré. Variação da coordenada ζ para ωp/ωc=1.018, ξp=0.0%,
µ=0.04 e ζs= 0.007. 130
Figura 6.19: Amplitudes de deslocamento angular θ para
c
p ω
ω / =1.018, ξp=7.0%, µ=0.04 e ζs= 0.007. 130 Figura 6.20: Diagrama de bifurcação do mapa de Poincaré.
Variação da coordenada θ para ωp/ωc=1.018, ξp=7.0%,
µ=0.04 e ζs= 0.007. 131
Figura 6.21: Variação do deslocamento angular θ ao longo
do tempo para ωp/ωc=1.018, ξp=7.0%, µ=0.04 e ζs= 0.007. 132 Figura 6.22: Amplitude de deslocamento ζ para ωp /ωc=1.018,
p
ξ =7.0%, µ =0.04 e ζs= 0.007. 133
Figura 6.23: Diagrama de bifurcação do mapa de Poincaré. Variação da coordenada ζ para ωp/ωc=1.018, ξp=7.0%,
µ=0.04 e ζs= 0.007. 133
Figura 6.24: Variação do deslocamento ζ ao longo do tempo para
c
p ω
ω / =1.018, ξp=7.0%, µ=0.04 e ζs= 0.007. 134
p
ξ =0.0% e µ=0.04. 136
Figura 6.26: Comportamento das amplitudes de deslocamento da coluna para diferentes valores de ζs e ωp/ωc=1.018,
p
ξ =0.0% e µ=0.04. 136
Figura 6.27: Comportamento das amplitudes de deslocamento
da coluna original para diferentes valores de ζs. 137
Figura 6.28: Comportamento das amplitudes de deslocamento angular do pêndulo para diversos valores de ζs e ωp /ωc=1.018,
p
ξ =7.0% e µ=0.04. 137
Figura 6.29: Comportamento das amplitudes de deslocamento da coluna para diversos valores de ζs e ωp/ωc=1.018, ξp=7.0%
e µ=0.04. 138
Figura 7.1: Comportamento da função tanh( xβ ). 140
Figura 7.2: Comportamento das amplitudes do sistema e da
força de controle. 141
Figura 7.3: Comparação das amplitudes de deslocamento da
coluna, sem e com a força de controle. 142
Figura 7.4: Comparação das amplitudes de deslocamento
angular do pêndulo, sem e com a força de controle. 142 Figura 7.5: Comportamento das amplitudes de deslocamento
da coluna no tempo variando f . 145 Figura 7.6: Comportamento das amplitudes de deslocamento
angular do absorsor pendular no tempo variando f . 147 Figura 7.7: Comportamento das amplitudes de deslocamento
da coluna no tempo variando β. 148
Figura 7.8: Comportamento das amplitudes de deslocamento
angular do absorsor pendular no tempo variando β. 150
Figura 7.9: Comportamento da função sign x . 150 ( )
Figura 7.11: Variação da amplitude máxima da coluna em
função de f . 155 Figura 7.12: Comportamento das amplitudes do sistema com
a força de controle para um pulso retangular. 156 Figura 7.13: Força de excitação da equação (7.3). 158
Tabela 3.1: Comparação dos resultados. 53 Tabela 3.2: Freqüências naturais da coluna sem o efeito do
peso próprio (rad/s). 69
Tabela 3.3: Freqüências naturais da coluna com o efeito do
peso próprio (rad/s). 70
Tabela 4.1: Freqüências naturais do sistema (rad/s). 74
Tabela 4.2: Modos de vibração do sistema. 75
Tabela 5.1: Valores máximos da resposta não controlada. 98 Tabela 5.2: Amplitudes de deslocamento da coluna na resposta
transiente para diferentes ξp. 107
Tabela 5.3: Variação da relação de freqüências com a variação
da rigidez do pêndulo. 109
Tabela 5.4: Amplitudes máximas da coluna na resposta total
com a variação de rigidez não-linear. 112
Tabela 5.5: Amplitudes máximas do pêndulo na resposta total
com a variação de rigidez não-linear. 113
Tabela 5.6: Amplitudes máximas da resposta da coluna na fase
permanente em função da variação de rigidez não-linear 113 Tabela 5.7: Amplitudes máximas da resposta do pêndulo na fase
permanente em função da variação de rigidez não-linear. 113 Tabela 6.1: Comparação das amplitudes máximas obtidas
no domínio da freqüência e no domínio do tempo para
c
p ω
ω / =0.833, ξp=26.23%, µ=0.20 e F = 0.041. 126
Tabela 6.2: Comparação das amplitudes máximas obtidas no domínio da freqüência e no domínio do tempo para
c
p ω
ω / =1.018, ξp=7.0%, µ=0.04 e ζs= 0.007. 135
Tabela 7.1: Influência do parâmetro f nas amplitudes máximas
da coluna na resposta total. 143
Tabela 7.3: Influência do parâmetro f nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta total. 145
Tabela 7.4: Influência do parâmetro f nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta permanente. 146
Tabela 7.5: Influência do parâmetro β nas amplitudes máximas
da coluna na resposta total. 147
Tabela 7.6: Influência do parâmetro β nas amplitudes máximas
da coluna na resposta permanente. 148
Tabela 7.7: Influência do parâmetro β nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta total. 149
Tabela 7.8: Influência do parâmetro β nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta permanente. 149
Tabela 7.9: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
da coluna na resposta total para f =1.00 e β =6000. 151 Tabela 7.10: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
da coluna na resposta permanente para f =1.00 e β =6000. 151 Tabela 7.11: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta total para f =1.00 e β =6000. 152 Tabela 7.12: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta permanente para f =1.00 e β =6000. 152 Tabela 7.13: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
da coluna na resposta total para f =1.00 e β =60. 153 Tabela 7.14: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
da coluna na resposta permanente para f =1.00 e β =60. 153 Tabela 7.15: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta total para f =1.00 e β =60. 154 Tabela 7.16: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta permanente para f =1.00 e β =60. 154 Tabela 7.17: Influência da duração do pulso retangular na
resposta da coluna. 156
Tabela 7.19: Influência do parâmetro ε0 nas amplitudes máximas
da coluna. 158
Tabela 7.20: Influência do parâmetro ε0 nas amplitudes máximas
do pêndulo. 159
,
A área da seção transversal da coluna de seção transversal constante; ,
j
A amplitudes; constantes da função fn; ,
0
A área da seção transversal da base da coluna de seção transversal variável;
,
x
A área da seção tranversal a uma altura x da base da coluna de seção transversal variável;
,
b número de termos necessários para descrição do campo de deslocamento com a precição desejada;
,
C coeficiente de amortecimento da coluna; ,
C vetor de constantes; ,
d
C coeficiente de amortecimento da massa do modelo discreto; ,
i
C constantes; ,
p
C coeficiente de amortecimento do pêndulo; ,
pd
C coeficiente de amortecimento do pêndulo no modelo discreto; ,
ext
d diâmetro externo da seção da coluna; ,
ds elemento infinítessimal curvo; ,
dx elemento infinítessimal linear na direção do eixo x; ,
e espessura da parede da coluna; ,
E módulo de elasticidade do material da torre; energia dissipada; ,
d
E energia dissipada do sistema; ,
0
EI rigidez a flexão na base da coluna; ,
x
EI rigidez a flexão da coluna na seção x; ,
f magnitude da força de controle; ,
n
f função de aproximação para deflexão da coluna; ,
F força de excitação adimensional; ,
F matriz de coeficientes;
ψ , _ ótimo
FAζ fator de amplificação da coluna ótimo; ,
Fc força de controle; ,
e
F força de excitação para uma explosão, ou terremoto, ou rajada de vento;
,
o
F amplitude da força de excitação; ,
g aceleração da gravidade; ,
I momento de inércia da seção transversal da coluna; ,
n
I função de Bessel de terceiro tipo; ,
x
I momento de inércia da seção transversal da coluna, na seção x; ,
l comprimento da haste do pêndulo absorsor; ,
d
l comprimento da haste do pêndulo no modelo discreto; ,
, i n J
J função de Bessel de primeiro tipo; ,
L comprimento da coluna;
,
1
L comprimento da extremidade engastada até a massa concentrada M ; c
,
2
L comprimento da massa concentrada Mc até a extremidade livre da coluna;
,
K matriz de rigidez do sistema coluna-pêndulo; ,
d
K rigidez elástica da massa do modelo discreto; ,
n
K função de Bessel de quarto tipo; ,
nl
K rigidez não-linear do pêndulo absorsor; ,
p
K rigidez torsional do pêndulo absorsor; ,
pd
K rigidez torsional do pêndulo do modelo discreto; ,
m massa do pêndulo absorsor; ,
d
m massa do pêndulo do modelo discreto; ,
M massa por unidade de comprimento na coluna da seção transversal constante;
,
M matriz de massa do sistema coluna-pêndulo;
d
,
o
M massa por unidade de comprimento na base da coluna de seção transversal variável;
,
t
M massa total da coluna; ,
x
M massa por unidade de comprimento da coluna de seção transversal variável na seção x;
,
n parâmetro que descreve a mudança de seção transversal da coluna; ,
N força axial na coluna de seção transversal constante; ,
0
N força axial na base da coluna de seção transversal variável; ,
x
N força axial na coluna de seção transversal variável na seção x; ,
p carga concentrada no topo da coluna; ),
, ( tx
P força transversal que age na seção x em um tempo t ; ,
q carga axial devida ao peso próprio da coluna de seção transversal constante; , i q coordenadas generalizadas; , x
q carga axial devida ao peso próprio da coluna de seção transversal variável na seção x;
, 0
q carga axial devida ao peso próprio na base da coluna de seção transversal variável;
,
Q força genérica externa;
,
t tempo;
,
T energia cinética; período do sistema coluna-pêndulo; ,
pl
T energia cinética do pêndulo; ,
u deslocamento axial; ,
U energia interna de deformação; carga de vento; ,
f
U energia da membrana gerada pela deformação axial; ,
m
U energia de flexão gerada pelo alongamento das fibras tracionadas e o encurtamento das fibras comprimidas;
,
v velocidade tangencial da massa do pêndulo; ,
p
V potencial das cargas externas;
n
,
x coordenada axial; ,
w deslocamento transversal da coluna; ,
w deslocamento transversal da coluna; ,
es
w deslocamento estático da coluna; ,
W trabalho; ,
nc
W trabalho realizado pelas forças não conservativas; ,
p
W trabalho realizado pela força harmônica; ,
1 0
R curvatura da estrutura indeformada;
, 1
f
R curvatura do eixo deformado; ,
α relação entre a massa concentrada (M ) e massa total da coluna (c M ); t
parâmetro de controle da rigidez não-linear do pêndulo; ,
β parâmetro de controle da força de controle; ,
j
β parâmetro de freqüência; ,
δ variação dos termos; função delta de Dirac; ,
ε deformação específica da linha neutra; ,
0
ε parâmetro de controle da força de excitação F ; e
,
ζ parâmetro adimensional de deslocamento da coluna; ,
s
ζ parâmetro adimensional de deslocamento estático; amplitude da força de excitação (adimensional);
,
orig
ζ parâmetro adimensional de deslocamento da coluna original; ,
η parâmetro que descreve a mudança de seção transversal da coluna; ,
ϖ relação entre a freqüência de excitação e a freqüência natural da coluna;
,
θ deslocamento angular do pêndulo absorsor; ,
θ deslocamento angular do pêndulo absorsor; ,
0
θ condição inicial do deslocamento angular do pêndulo absorsor;
,
ótimo
ϑ relação ótima entre a freqüência natural do pêndulo e a freqüência natural da coluna;
,
µ relação entre a massa do pêndulo e massa da coluna; ,
c
ξ taxa de amortecimento da coluna; ,
p
ξ taxa de amortecimento do pêndulo absorsor; ,
pótimo
ξ taxa de amortecimento do pêndulo absorsor ótimo; ,
π energia potencial; pi; ,
ρ massa por unidade de volume; ,
τ parâmetro adimensional de tempo (dado por ωet); ,
υ parâmetro de posição da massa concentrada ao longo da coluna; ),
(x
φ deslocamento lateral da torre; modos de vibração;
, , 2 1 φ φ funções peso; , ϕ ângulo de fase; , χ mudança de curvatura; ,
ψ ângulo formado entre o eixo x e o eixo da viga; ângulo de fase; ,
ω freqüência do sistema coluna-pêndulo; ,
c
ω freqüência natural da coluna; ,
e
ω freqüência de excitação; ,
p
ω freqüência natural do pêndulo absorsor; ,
Γ função gamma; ,
∆ encurtamento na extremidade da coluna.
Em virtude dos constantes avanços nas áreas de materiais e técnicas construtivas, aliadas ao desenvolvimento dos métodos de cálculo e às necessidades tecnológicas, as estruturas do tipo torres de telecomunicações têm-se tornado cada vez mais altas e esbeltas. A Figura 1.1 apresenta algumas torres de telecomunicações.
(a) CN Tower, Toronto, 553m. (b) Europe Tower, Frankfurt, 331m.
(c) Torre da TV, Brasília, 224m. (d) Torre da Telepar, Curitiba, 109.4m. Figura 1.1: Torres de telecomunicações.
As torres de telecomunicações, devido a sua altura e esbeltez, estão cada vez mais vulneráveis à ocorrência de vibrações excessivas causadas por carregamentos dinâmicos, tais como, por exemplo, ventos e terremotos.
A ação do vento é de suma importância nas torres, pois gera vibrações por flexão, ocasionando grandes deslocamentos e rotações no topo das mesmas. Estas vibrações causam irregularidades nos sinais de torres de telecomunicação, em função de desvios excessivos das antenas, trazendo também certo desconforto às pessoas, em função do movimento, no caso de torres altas com plataformas de observação. Em certos casos estas vibrações podem até mesmo afetar a integridade estrutural da torre.
Figura 1.2: Desprendimento de vórtices (Techet, 2005).
As vibrações por flexão em torres são usualmente provocadas pelo desprendimento cadenciado de vórtices, como ilustrado na Figura 1.2, gerando uma força perpendicular à incidência do vento na torre, sendo essa força lateral uma força praticamente harmônica. Conceitos e estudos do comportamento de estruturas submetidas à ação do vento são apresentadas por Korenev & Reznikov (1993) e Pinheiro (2004).
Uma alternativa para minimizar estas vibrações, amplamente estudada nas últimas décadas, é o controle estrutural, que é capaz de absorver e dissipar parte da energia vibratória. O controle estrutural basicamente promove uma alteração nas propriedades de rigidez e amortecimento da estrutura, seja pela adição de dispositivos externos, seja pela ação de forças externas (Avila et al., 2005). Estruturas sujeitas a ações dinâmicas, projetadas com esses mecanismos de controle, apresentam vida útil maior, pois as amplitudes de vibração são menores (Pinheiro, 1997). Conceitos básicos, experimentos e aplicações práticas desses dispositivos são encontrados em Korenev & Reznikov (1993) e Soong & Dargush
(1997), dentre outros. No Brasil as aplicações práticas de controle estrutural ainda não estão muito difundidas, mas vem atraindo a atenção da comunidade científica devido a sua importância, resultando numa série de trabalhos. Dentre as pesquisas correlacionadas com esse trabalho, podem-se citar: Magluta (1993), Pinheiro (1997), Pinto (1999), Marques (2000) e Avila (2002).
Hoje existem várias metodologias de controle de vibrações em estruturas, que vão desde técnicas simples baseadas na introdução de materiais amortecedores passivos, modificação e otimização do projeto estrutural, até o uso de sofisticados sistemas de controle ativo em malha fechada (Marques, 2000). Nesse contexto, um controle estrutural em franca expansão são os absorsores dinâmicos de vibrações (ADVs). Esse tipo de controle estrutural tem-se revelado robusto, confiável e econômico, sendo que, por essa razão, os ADVs tornaram-se objeto da atenção dos pesquisadores e engenheiros em todo o mundo.
A invenção do ADV é associada ao nome de Frahm, que em 1909 patenteou o primeiro projeto de um ADV (Korenev & Reznikov, 1993). De acordo com Borges et al. (2005), pode-se citar como aplicações práticas desses dispositivos os estabilizadores de navios, a absorção de vibração em linhas de transmissão de potência, a redução de vibração em estrutura rígida contínuas de grande porte, torres, edifícios altos e pontes, dentre outras.
Nesse tipo de controle, o sistema auxiliar (ADV), a partir de suas propriedades de massa, rigidez e amortecimento, é responsável pela criação de forças de inércia, forças elásticas e de amortecimento opostas às forças atuantes na estrutura, fazendo com que o trabalho realizado pela força distribuída na estrutura principal seja reduzido. De acordo com Avila et al (2005), a adição de um ADV tem como objetivo trazer a amplitude do pico de ressonância para seu mais baixo valor possível, a fim de que amplificações menores ao longo de uma faixa mais larga de freqüência próxima à de ressonância possam ser atingidas.
Os absorsores dinâmicos de vibrações são divididos em: passivos, onde a magnitude das forças de controle é dependente das propriedades do próprio sistema auxiliar; adaptativos, que são aqueles cujos parâmetros físicos de massa, rigidez e amortecimento podem ser ajustados; e híbridos, que dispõem de um elemento ativo (atuador), colocado paralelamente aos elementos passivos. Avila (2002) apresenta uma revisão bibliográfica detalhada sobre os diversos dispositivos de controle estrutural.
No ADV passivo a magnitude das forças de controle depende apenas de suas propriedades físicas de massa, rigidez e amortecimento. De acordo com Marques (2000), a escolha de seus parâmetros de inércia, amortecimento e rigidez é baseada na sintonização de sua freqüência natural à freqüência de excitação harmônica cujo valor é admitido como fixo. Os ADVs passivos destacam-se dos demais por não necessitarem de energia e não causarem instabilidade, sendo simples e confiáveis. Entretanto, há limitações no uso dessa tecnologia, já que os dispositivos são projetados de forma a funcionar eficientemente dentro de uma determinada faixa de freqüência (Avila, 2002). Uma vez que a estrutura seja excitada fora da faixa de freqüência de projeto, o controle reduz sua eficiência. Liu & Liu (2004), oferecem uma detalhada contribuição ao estudo de absorsores dinâmicos de vibrações passivos, introduzindo novos conceitos e apresentando novos parâmetros ótimos.
No campo dos AVDs passivos, Mustafa & Ertas (1995), Ertas et al. (2000), Cuvalci (2000) e Yaman & Sen (2004) apresentam estudos do comportamento de um absorsor pendular acoplado a uma estrutura de um grau de liberdade. Todos destacam a eficiência desse dispositivo na redução das vibrações da estrutura. Mustafa & Ertas (1995) mostram a influência de uma mola torsional junto ao absorsor pendular no ponto de conexão desse com a estrutura. Ertas et al. (2000) e Yaman & Sen (2004) estudam a influência da não-linearidade geométrica da estrutura principal e Cuvalci (2000) analisa o comportamento desse sistema com a adição da não-linearidade do absorsor pendular. Mais recentemente, Vyas & Bajaj (2001) estudaram o comportamento de vários absorsores pendulares acoplados a uma estrutura principal de um grau de liberdade. Naquele trabalho também é apresentado um estudo do comportamento do sistema com a variação dos parâmetros dos absorsores e sua influência na qualidade dos resultados. Já Pirner (2002) apresenta um absorsor esférico de vibrações, descrevendo a teoria, experimentos e aplicações práticas e Naprstek & Pirner (2002) demonstram o comportamento não-linear e estabilidade dinâmica desse dispositivo de controle.
Os ADVs adaptativos são aqueles cujos parâmetros físicos de massa, rigidez e amortecimento podem ser ajustados, conferindo aos dispositivos a capacidade de sintonização em uma gama maior de freqüências (Marques, 2000). Ainda, nesse contexto, os recentes avanços tecnológicos obtidos na produção dos chamados materiais inteligentes (materiais piezelétricos, materiais com memória forma,
fluidos eletro-reológicos e magneto-reológicos) oferecem amplas possibilidades para a proposição de novas configurações de ADVs adaptativos. Winthrop et al. (2005) apresentam uma sumarização dos diversos mecanismos de controle de rigidez, fazendo uma comparação da performance desses dispositivos e mostram, ainda, que os resultados encontrados na literatura podem ser explicados a partir da solução exata por eles obtida. Finalizando, apresentam uma ferramenta para o uso dessa técnica em sistema com dispositivos de controle adaptativo de rigidez.
No que diz respeito aos ADVs adaptativos, Franchek et al. (1995) propõem um absorsor adaptativo, que tem a rigidez controlada por um algoritmo de realimentação robusto que é baseado nas variações dos parâmetros do absorsor e é insensível a outras perturbações ou mudanças. Williams et al. (2002) apresentam um absorsor adaptativo que utiliza uma liga de memória forma para controlar a rigidez, aumentando assim a faixa de freqüência em que o absorsor atua de forma eficiente. Eles apresentam ainda uma discussão das propriedades desse material e seu uso como um material estrutural adaptável no controle de vibrações. Mais tarde, Williams et al. (2005) iriam expandir os conceitos do absorsor adaptativo com liga de memória forma utilizando um controlador não-linear, mostrando a melhoria na performance do absorsor. Já Nagarajaiah & Varadarajan (2005) propõem um novo algoritmo para controle de rigidez do absorsor adaptativo para estruturas altas e esbeltas.
Os ADVs híbridos ou ativos possuem um elemento ativo (atuador), colocado paralelamente aos elementos passivos, sendo a força exercida pelo atuador calculada através de uma estratégia de controle previamente estabelecida (Marques, 2000). De acordo com Avila (2002), esse tipo de controle tem a vantagem de exigir forças de magnitudes bem menores nos atuadores que no controle puramente ativo, gerando uma redução considerável no custo, além de um desempenho mais eficiente quando comparado ao controle passivo, ampliando assim a faixa de freqüências em que o mesmo funciona de forma eficiente. Ainda, o ADV híbrido tem a vantagem de seu componente passivo propiciar um certo grau de proteção à estrutura na falta de energia.
Filipovic & Schoroder (1998) apresentam um tipo de absorsor ativo que possui realimentação local, mostrando os conceitos e o comportamento desse dispositivo. Já Jalili & Olgac (1999) apresentam um absorsor ativo que possui múltiplos ressonadores defasados para controlar as vibrações de estruturas com
vários graus de liberdade. Oueini et al. (1999) propõem um absorsor não-linear ativo baseado na introdução de um absorsor na estrutura juntamente com um sensor e um atuador, onde a realimentação e o controle do sinal são quadráticos.
Nesse estudo aborda-se o comportamento de uma torre com um absorsor dinâmico de vibração sujeita a um dado carregamento harmônico senoidal, que representa, de maneira simplificada, uma carga dinâmica de vento. O ADV utilizado para reduzir as vibrações da torre é o absorsor pendular, que está fixado na extremidade superior da estrutura. Inicialmente, considera-se que o sistema de controle é passivo. Posteriormente, com base no comportamento do absorsor passivo, é proposto um ADV híbrido.
Uma característica do absorsor pendular é que ele pode desenvolver oscilações em regime não-linear, diferente da maioria dos sistemas de absorção massa-mola ou outros mais comuns, sendo o seu uso bastante adequado a estruturas do tipo torre. Assim, deve-se ter um conhecimento melhor dos parâmetros de eficiência no regime não-linear de oscilação. Ao considerar apenas as equações que regem o movimento desse sistema no regime linear, tem-se que os resultados não são confiáveis. Ainda, o modelo matemático que melhor representa o funcionamento do absorsor é dado pelas equações não-lineares completas, contendo os termos de inércia, elástico e amortecimento do absorsor pendular dinâmico de vibrações.
1.1. Motivação
A motivação para o estudo de absorsores dinâmicos de vibrações é o grande interesse da comunidade científica que afirma que o controle estrutural tem um grande potencial para melhorar a performance de estruturas existentes ou novas. Para Avila (2002), obstáculos devem ser superados antes que essa tecnologia de controle estrutural seja aceita de forma geral pelos profissionais de engenharia e construção, apesar dos estudos já realizados e do razoável número de aplicações práticas (Spencer Jr. & Sain, 1997).
1.2. Objetivos
Essa dissertação está inserida na linha de pesquisa em Instabilidade e Dinâmica das Estruturas do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Pretende-se com essa pesquisa fornecer uma contribuição na área de proteção de estruturas civis contra excitações dinâmicas indesejáveis.
O objetivo é aprofundar o estudo paramétrico do sistema torre-pêndulo no regime não-linear, abordando aspectos gerais ligados à estabilidade dinâmica e propor um sistema de controle estrutural híbrido para controle de vibrações por flexão em torres de telecomunicações.
1.3. Organização do Trabalho
O presente trabalho constitui-se de oito capítulos, incluindo-se esse de introdução, onde são apresentados conceitos básicos, formulações utilizadas, resultados obtidos, conclusões e sugestões para continuação da pesquisa, a saber:
O capítulo 2 apresenta a formulação necessária para obter o funcional de energia, tanto para o caso linear quanto para o caso não-linear. Além disso, são obtidas as equações de movimento através dos funcionais de energia.
No capítulo 3 é apresentada a solução analítica das equações lineares de movimento para obter as freqüências naturais e os modos de vibração de alguns casos relevantes de coluna, para esse estudo.
O capítulo 4 mostra a metodologia utilizada para obter as freqüências e modos de vibração do sistema coluna-pêndulo. Ainda, é feita uma correlação entre o sistema coluna-pêndulo com um modelo discreto de dois graus de liberdade, de onde obtêm-se as equações de movimento do sistema coluna-pêndulo. Na seqüência é apresentada uma análise linear das equações de movimento do sistema, donde são obtidas algumas relações ótimas para o sistema de absorção.
No capítulo 5 é investigado o desempenho do pêndulo absorsor na redução das oscilações da coluna, bem como o comportamento das amplitudes máximas de deslocamento, velocidade e aceleração do sistema.
No capítulo 6 é apresentada uma análise da influência do grau de não-linearidade do sistema na resposta, bem como uma análise dos casos onde se tornem necessários ajustes do absorsor pendular.
No capítulo 7 é proposto um absorsor dinâmico de vibrações híbrido, que consiste na junção do absorsor pendular (controle passivo) com uma força de controle ativo (atuador).
Por fim, no capítulo 8, são apresentadas as conclusões e algumas sugestões para continuação desse trabalho.
Nesse capítulo é apresentada a formulação necessária para obter o funcional de energia do sistema torre-pêndulo, tanto em sua forma linear quanto em sua forma não-linear. Através dos funcionais de energia e utilizando as ferramentas do Cálculo Variacional, obtêm-se as equações diferenciais de movimento.
A torre é modelada como uma coluna de seção transversal variável com a extremidade inferior engastada e a extremidade superior livre. Plataformas de observação, antenas e equipamentos são modelados como massas concentradas ao longo da torre. Exemplos dessa classe de estruturas foram mostrados na Figura 1.1. O pêndulo absorsor é considerado como um elemento discreto ao longo da torre. Em termos de eficiência, a melhor localização para o pêndulo é o topo da torre, embora, em alguns casos, por motivos construtivos, o pêndulo deva ser colocado em uma outra posição.
L2 L1 L m P (x, t) Mc l Mx EIx qx x
Figura 2.1: Coluna em estudo.
O modelo estrutural considerado é ilustrado na Figura 2.1, onde EI é a x rigidez a flexão em x e N , a força axial em x devido ao peso próprio x q . x M é a x massa por unidade de comprimento em x, P( tx, ) a força transversal que age na seção x em um tempo t e L , o comprimento da coluna. M é a massa c concentrada a uma distância L1 da base da coluna. Finalmente, l e m são o comprimento da haste e a massa do absorsor pendular.
2.1. Funcional de Energia do Sistema – Formulação Não-Linear
As equações de movimento são obtidas através do Princípio de Hamilton. Para um sistema conservativo, ou seja, sem dissipação de energia, tem-se que a variação da energia cinética menos a energia potencial durante um intervalo de tempo de t1 a t2 é nula, a saber:
∫
2 − = 1 0 ) ( t t dt T π δ (2.1)sendo que T é a energia cinética, π a energia potencial total e o símbolo δ representa a variação dos termos entre parênteses.
A equação (2.1) é utilizada para sistemas onde tem-se a vibração livre sem amortecimento ou qualquer outra forma de dissipação de energia.
Para o caso de terem-se forças não-conservativas, tem-se que a variação de energia cinética e potencial mais a variação do trabalho realizado pelas forças não conservativas durante um intervalo de tempo de t1 a t2 deve ser igual a zero, ou seja:
∫
2 − +∫
= 1 2 1 0 ) ( ) ( t t t t nc dt W dt T π δ δ (2.2)onde W é o trabalho realizado pelas forças não conservativas. nc
2.1.1. Energia Potencial Total da Coluna
A energia potencial total de uma estrutura (π ) é obtida através da soma da energia interna de deformação (U) com o potencial das cargas externas (V ), ou p seja: p V U + = π (2.3)
Na expressão (2.3), U é o somatório da energia de membrana gerada pela deformação axial (Um) e da energia de flexão gerada pelo alongamento das fibras
tracionadas e o encurtamento das fibras comprimidas (Uf ), que, portanto, pode ser expresso como:
∫
+∫
= + =Um Uf L EAx dx L EIx dx U 0 0 2 2 2 1 2 1 ε χ (2.4)onde E é o módulo de elasticidade do material, Ix, o momento de inércia da seção transversal em x, Ax, a área da seção transversal em x, χ, representa a mudança de curvatura e ε , a deformação específica da linha neutra.
Seguindo procedimento adotado na literatura na análise de colunas esbeltas desprezou-se a parcela relativa à deformação axial da coluna (Timoshenko, 1961). Então, a expressão (2.4) toma a forma:
∫
= L EIx dx U 0 2 2 1 χ (2.5)Através da Figura 2.2, tem-se que o trabalho realizado (W) é dado pelo produto da força axial no topo da coluna, Nx, pelo encurtamento da coluna, ∆ nesta seção. Logo tem-se a equação:
∆ = Nx
W (2.6)
L ∆ w u dx-du P1 ds dw P2 x
Figura 2.2: Deslocamento transversal e encurtamento da coluna.
O potencial das cargas é dado por:
∆ − = − = x p W N V (2.7)
Assim, pode-se chegar à equação da energia potencial total π, substituindo-se (2.5) e (2.7) em (2.3). ∆ − =
∫
L EIx dx Nx 0 2 2 1 χ π (2.8)Partindo da Figura 2.2, tem-se que o deslocamento de um ponto P1 na configuração indeformada para uma nova posição P2 em uma configuração deformada pode ser representado por um vetor de deslocamentos decomposto em duas componentes: deslocamento axial u e deslocamento lateral w. Ainda, se a linha neutra da estrutura é inextensível, considera-se o elemento infinitesimal dx igual ao elemento curvo ds, como apresentado na Figura 2.3.
dx-du
dw
ds=dx
ψ
Figura 2.3: Elemento infinitesimal da linha neutra da viga.
Da Figura 2.3, pode-se deduzir as relações:
x w dx dw ds dw senψ = = = , (2.9) ) , ( 1 x w sen− = ψ (2.10)
sendo que ψ é o ângulo formado entre o eixo horizontal e o eixo da estrutura deformada.
A curvatura do eixo deformado, 1/Rf , é dada por:
2 / 1 2 1 ) , 1 ( , ), , ( , 1 x xx x x x f w w w sen R = = = − − ψ (2.11)
Já a curvatura da estrutura indeformada, 1 R , é: / 0
0 1 1 0 = ∞ = R (2.12)
Assim, a variação da curvatura, χ, tem a forma:
2 / 1 2 0 (1 , ) , 1 1 x xx f w w R R − = − = χ (2.13)
Expandindo a expressão (2.13) em séries de Taylor até a segunda ordem, chega-se à aproximação: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =wxx w ,x 2 1 1 , 2 χ (2.14)
Substituindo (2.14) em (2.5), pode-se reescrever a energia interna de deformação (U) como:
∫
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ≅ L x xx x xx xx x w w w w w dx EI U 0 4 2 2 2 2 , , 4 1 , , , 2 1 (2.15)Observa-se na equação (2.15), que a grandeza EI não é constante, pois x varia com o comprimento da coluna. Nesse caso é necessário adotar uma função aproximada para representar a variação de rigidez à flexão da coluna. Li et al. (2000) sugerem a seguinte expressão:
(
)
2 1+ + = n o x EI x EI η (2.16)onde EI é a rigidez a flexão na base da coluna, o η e n são os parâmetros que descrevem a mudança da seção transversal da coluna.
Escolhendo-se de forma conveniente os parâmetros η e n, pode-se representar uma série de geometrias encontradas na prática ( Li et al. , 2000).
Com isso, a equação (2.15) é dada, agora, por:
(
)
∫
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + ≅ L + x xx x xx xx n o x w w w w w dx EI U 0 4 2 2 2 2 2 , , 4 1 , , , 1 2 1 η (2.17)Dym & Shames (1973) demonstram que esta expressão não-linear é suficiente para determinar de forma precisa a energia interna de deformação, incluindo até a região de grandes deslocamentos laterais.
O parâmetro ∆ , que representa o encurtamento da coluna, pode ser escrito em termos do vetor deslocamento. Através da Figura 2.3 e usando o Teorema de Pitágoras, tem-se: 2 2 2 ) ( ) ( ) (ds = dx−du + dw (2.18)
Dividindo-se todos os termos da equação (2.18) por (dx , obtém-se: )2
2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dx dw dx du dx dx ds (2.19)
Admitindo que ds=dx, tem-se: x x w u, ) , 1 ( 1= − 2 + 2 (2.20) o que leva a 2 / 1 2 ) , 1 ( 1 w x dx du = − − (2.21) Partindo da relação
[
]
∫
=∫
− − = ∆ L L x dx w du 0 0 2 / 1 2 ) , 1 ( 1 (2.22)e expandindo o termo (1−w2,x)1/2 até a quarta ordem em séries de Taylor, chega-se à expressão: dx w w L x x
∫
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − = ∆ 0 4 2 , 8 1 , 2 1 (2.23)Assim, substituindo a expressão (2.23) em (2.7), tem-se:
dx w w N V L x x x p
∫
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − − = 0 4 2 , 8 1 , 2 1 (2.24)Considere agora que a força axial, Nx, varia como a rigidez a flexão, EIx.
Em conformidade com a expressão (2.16), adota-se:
1 ) 1 ( + + = n o x N x N η (2.25)
onde No é um parâmetro que depende do carregamento.
Com base em (2.24), Li et al. (2000) sugerem a seguinte expressão para o potencial das cargas externas.
dx w w x N V L x x n o p
∫
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − + − = + 0 4 2 1 , 8 1 , 2 1 ) 1 ( η (2.26)Para cada distribuição de cargas axiais a expressão (2.26) deve-se determinar os valor de No, como será mostrado no próximo capítulo.
Finalmente, de posse das equações (2.17) e (2.26), referentes, respectivamente, à energia interna de deformação e ao potencial das cargas externas, pode-se escrever a expressão para a energia potencial total da coluna.
(
)
dx w w x N dx w w w w w x EI L x x n o L x xx x xx xx n o∫
∫
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = + + 0 4 2 1 0 4 2 2 2 2 2 , 8 1 , 2 1 ) 1 ( , , 4 1 , , , 1 2 1 η η π (2.27)2.1.2. Energia Cinética da Coluna
Em um elemento de coluna esbelta geralmente é considerado apenas o efeito da inércia à translação na direção transversal ao eixo da viga. A energia cinética é dividida em duas parcelas, a primeira parcela é referente ao efeito da massa da coluna e a segunda refere-se ao efeito da massa concentrada, M , então: c
2 1 0 2 ) ( 2 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ =
∫
t L w M dx t w M T c L x (2.28)Na equação anterior, M representa a massa por unidade de comprimento x da coluna na seção x. Como a seção transversal da coluna não é constante, tem-se que esse coeficiente é variável. Como feito para a rigidez a flexão, EI , e para a x
força axial, N , adota-se, para representar a variação da massa, a função: x
(
)
n ox M x
M = 1+η (2.29)
onde M é a massa por unidade de comprimento na base da coluna. o Assim, a energia cinética é dada por:
(
)
1 2 0 2 ) ( 2 1 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + =∫
t L w M dx t w x M T c L n o η (2.30) 2.1.3. Amortecimento da ColunaO amortecimento está presente em todos os sistemas oscilatórios. Entretanto é difícil a descrição real da força de amortecimento, embora seja possível a admissão de modelos ideais de amortecimento, que muitas vezes resultam em prognósticos satisfatórios da resposta. Dentre esses modelos, a força de amortecimento viscoso, proporcional à velocidade, conduz a um tratamento matemático simples. A presença do agente amortecedor muda as características do movimento, passando-se a ter um “movimento harmônico amortecido” ou até sem caráter oscilatório.
Portanto, a parcela de trabalho (Re é adicionada ao funcional de energia, ) sendo que essa parcela pode ser escrita da forma sugerida por Rayleigh:
∫
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = L dx t w C Re 0 2 (2.31)onde C é o parâmetro de amortecimento. C pode ser expresso em termos da taxa de amortecimento, ξc, e da freqüência natural da coluna,ωc (Meirovitch, 1975).
Considerando um sistema em vibração livre, o valor de ξc determina o caráter oscilatório do sistema. Se o parâmetro ξc < 1,0 tem-se um movimento oscilatório subamortecido, quando ξc > 1,0 o movimento é superamortecido. Para
c
ξ = 1,0 tem-se o caso crítico.
2.1.4. Força Harmônica
Considera-se que a coluna está submetida a uma carga harmônica lateral )
, ( tx
P (veja Figura 2.1) dada por:
) ( ) , (x t F sen t P = o ωe (2.32)
onde ωe é a freqüência da excitação e F a sua amplitude em o x.
No funcional introduz-se a força harmônica, ao considerar o trabalho W p
realizado por essa, que tem a forma:
∫
= L p P x t wdx W 0 ) , ( (2.33)2.1.5. Funcional de Energia da Coluna – Formulação Não-Linear
Com base nas equações (2.27) e (2.30), tem-se a função de Lagrange que representa a coluna em estudo, sendo esta:
(
)
(
)
dx w w x N dx w w w w w x EI t L w M dx t w x M T L L x x n o L x xx x xx xx n o c L n o g∫
∫
∫
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = − = + + 0 4 2 1 0 4 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1 , 8 1 , 2 1 ) 1 ( , , 4 1 , , , 1 2 1 ) ( 2 1 1 2 1 η η η π (2.34)2.1.6. Funcional de Energia do Pêndulo – Formulação Não-Linear
O funcional de energia do pêndulo absorsor é obtido através da equação (2.1), como o funcional da coluna. O mesmo é expresso em sua forma não-linear devido a não-linearidade geométrica do pêndulo.
As parcelas de energia cinética (Tpl), energia potencial total (Vpl) e energia dissipada do sistema (E ) podem ser deduzidas através da Figura 2.4, onde d θ
representa o deslocamento angular do pêndulo e v é a velocidade tangencial da massa m. Considera-se também que na ligação coluna-pêndulo há uma mola de rigidez torsional, K . O pêndulo possui ainda um amortecimento, p C , que não p está representado na Figura 2.4.
v l h2 vx vy θ h h1 w(L) Kp m
Figura 2.4: Parâmetros do pêndulo.
As parcelas de energia cinética, energia potencial e energia dissipada são:
2 2 1 mv Tpl = (2.35) 2 2 1 θ p pl mgh K V = + (2.36) 2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = dt d C Ed p θ (2.37)
onde g é a aceleração da gravidade.
Da Figura 2.4 têm-se as seguintes equações:
)) cos( 1 ( 1 = − θ − =l h l h (2.38) y x v v v2 = 2 + 2 (2.39)
Tomando θ como coordenada generalizada, torna-se necessário escrever v em função de θ, para isso deve-se ter em mente que:
) ( sen ) ( 2 w L l θ h x x = + = + (2.40a) ) cos( 1 l θ h y= = (2.40b)
de onde pode-se chegar às seguintes componentes de velocidade:
) cos( ) ( θ θ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ = = dt d l t L w dt x d vx (2.41a) ) ( sen θ θ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = dt d l dt dy vy (2.41b)
Substituindo as expressões (4.41) em (4.39), tem-se:
2 2 2 2 ) cos( ) ( 2 ) ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = t l t t L w l t L w v θ θ θ (2.42)
As parcelas de energia cinética, energia potencial e energia dissipada resultantes são: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = 2 2 2 ) cos( ) ( 2 ) ( 2 1 t l t t L w l t L w m Tpl θ θ θ (2.43) 2 2 1 )) cos( 1 ( θ pθ pl mgl K V = − + (2.44) 2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = dt d C Ed p θ (2.45)
Então, o funcional não-linear do pêndulo é:
2 2 2 2 2 2 1 )) cos( 1 ( ) cos( ) ( 2 ) ( 2 1 θ θ θ θ θ π p g K mgl t l t t L w l t L w m T L − − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = − = (2.46)
2.1.7. Montagem do Funcional de Energia do Sistema – Formulação Não-Linear
Através das expressões anteriores pode-se estudar as vibrações não-lineares livres ou forçadas com e sem amortecimento, de um sistema coluna-pêndulo.
Com as equações (2.34) e (2.46), chega-se a função de Lagrange que representa o sistema coluna-pêndulo.
(
)
(
)
2 2 2 2 0 4 2 1 0 4 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 1 )) cos( 1 ( ) cos( ) ( 2 ) ( 2 1 , 8 1 , 2 1 ) 1 ( , , 4 1 , , , 1 2 1 ) ( 2 1 1 2 1 θ θ θ θ θ η η η p L x x n o L x xx x xx xx n o c L n o g K mgl t l t t L w l t L w m dx w w x N dx w w w w w x EI t L w M dx t w x M L − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + =∫
∫
∫
+ + (2.47)2.2. Funcional de Energia do Sistema – Coluna Linear
Considerando que a coluna sofre pequenas rotações após a sua deformação, tem-se que o ângulo ψ , apresentado na Figura 2.3, é muito pequeno e, dessa forma, pode-se fazer a aproximação:
1 ) , 1
( −w2 x 1/2 ≅ (2.48)
Em conseqüência dessa aproximação, a energia interna de deformação toma a forma:
