Gravitação 1. INTRODUÇÃO 2. LEIS DE KEPLER. Dedução das leis empíricas de Kepler a partir da mecânica newtoniana Newton

Gravitação

1.

I

NTRODUÇÃO

O sistema geocêntrico é um modelo de visão do mundo que admite a Terra no centro do universo e os demais planetas, a Lua e o Sol giram ao seu redor. Esse sistema teve como principal defensor o astrônomo, geógrafo e matemático Cláudio Ptolomeu (100-170 d.c).

O sistema heliocêntrico é um modelo de visão do mundo que admite o Sol no centro do universo e os planetas girando ao seu redor em trajetórias circulares. Esse sistema teve como principal defensor o monge polonês Nicolau Copérnico (1473-1543). A controvérsia gerada pelas duas teorias criou um estímulo maior para que os astrônomos procurassem alcançar, nas suas observações, dados mais precisos. Foi então que o dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601) compilou uma série de dados que posteriormente foram analisados e interpretados por um de seus discípulos, Johannes Kepler (1571-1630).

Kepler encontrou certas regularidades importantes no movimento dos planetas. Essas regularidades que passaremos a estudar são conhecidas como leis de Kepler. Nota:

As leis de Kepler eram empíricas, sem nenhuma interpretação teórica. Kepler não dava o conceito de força.

A partir das leis do movimento e da lei da gravitação de Newton as leis de Kepler foram deduzidas.

Resumo:

Ptolomeu – Geocêntrico Copérnico – Heliocêntrico Observações e dados – Brahe

Análise dos dados e leis empíricas – Kepler

Dedução das leis empíricas de Kepler a partir da mecânica newtoniana– Newton

2.

L

EIS DE

K

EPLER

O movimento dos planetas em torno do Sol (e também o de um satélite em torno de um planeta) está regido pelas leis de Kepler. a) 1ª lei: Leis das órbitas

Todo planeta descreve em torno do Sol uma órbita elíptica na qual o Sol ocupa um dos focos.

Observações:

• A 1ª Lei de Kepler não exclui a possibilidade teórica de uma órbita ser circular, pois a circunferência pode ser encarada como um caso particular de elipse em que os focos coincidem.

• O ponto mais próximo do planeta em relação ao Sol toma o nome de periélio, enquanto o mais afastado toma o nome de afélio.

b) 2ª lei: Leis das áreas

O segmento de reta que une o centro do Sol ao centro do planeta varre áreas iguais em tempos iguais.

Como conseqüência da 2ª lei de Kepler, podemos enunciar o seguinte:

A velocidade de translação de um planeta é função decrescente da distância do planeta ao Sol.

Isso significa que, à medida que o planeta se aproxima do Sol, sua velocidade de translação aumenta. Da mesma forma, à medida que o planeta se afasta do Sol, sua velocidade de translação diminui.

Observações: Observe a figura:

Observemos que se a órbita for circular, o planeta estará sempre à mesma distância do Sol e portanto deverá ter sempre velocidade de intensidade constante, ou seja, estará em movimento uniforme.

Podemos observar ainda que em dois pontos simétricos em relação ao eixo maior, o planeta estará a uma mesma distância do Sol e, portanto, terá velocidades de mesma intensidade.

Resumo:

Planeta no periélio:

V





máximo

Planeta no afélio:

V





mínimo

Órbita circular:

V





cons

tan

te

Pontos de órbitas simétricos em relação ao eixo maior:

V



₁



V



₂

Nota:

Alguns autores preferem se referir a essa lei dizendo que “a velocidade areolar do planeta é constante”. Por velocidade areolar

se entende o quociente entre a área varrida (A) e o tempo gasto em varrê-la (t).

areolar A V t   Assim:

Para o planeta 1 (no exemplo, a Terra) temos: 1 1 areolar A V t   (I)

Para o planeta 2 (no exemplo, a Saturno) temos: 2 2 areolar A V t   (II) Dividindo (I) por (II), temos:

1 1 2 2 areolar areolar A V t A V t     1 2 1 2 A A t  t  

c) 3ª lei: Leis dos períodos

O quadrado do período de qualquer planeta é diretamente proporcional ao cubo de seu raio médio ao Sol.

2 3

T  k R

A constante de proporcionalidade

k

depende somente da massa do Sol.

2

mín máx médio

r r

r  

Chamaremos de raio médio (

r

_médio) da órbita

De acordo com a terceira lei de Kepler, quanto mais afastado está o planeta do Sol, maior é seu período de translação em torno do Sol.

Nota:

O período de revolução de um planeta (o seu ano) depende de sua órbita, assim:

Para o planeta A (no exemplo, a Terra), temos:

2 3

A A

T  k R (I)

Para o planeta B (no exemplo, Saturno), temos:

2 3

B B

T  k R (II) Dividindo (I) por (II), temos:

2 3 2 3 A A B B T k R T k R     2 3 2 3 A A B B T R T  R Observações:

• A distância média da Terra ao Sol denomina-se unidade astronômica (UA) e é usada como escala do Sistema Solar.

11

1UA1, 49 10

• Entre Marte e Júpiter encontra-se a famosa “faixa de asteróides”, onde existe um grande número de planetóides.

• Os planetas que possuem satélites conhecidos são: Terra (um), Marte (dois), Júpiter (doze), Saturno (dez), Urano (cinco) e Netuno (dois).

3.

L

EI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL DE

N

EWTON

Examinando as leis de Kepler, Newton chegou à lei da gravitação universal, que é a seguinte:

A força gravitacional entre dois corpos tem intensidade diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa seus centros de massa.

Matematicamente, sendo m e M as massas que se atraem, e d a distância que as separa, essa lei pode ser assim representada:

2 G M m F d   

Onde G é uma constante, cujo valor depende do sistema de unidades escolhido e que toma o nome de constante de gravitação universal ou constante de Gauss.

No sistema MKS, o valor de G determinado por Lord Cavendish é o seguinte:

G = 6,67. 10-11 _N.m2_/kg2

Essa constante não depende do meio: seu valor é o mesmo no ar, vácuo ou qualquer outro meio interposto entre corpos.

Nota:

Como a constante G é muito pequena, a força F só tem intensidade apreciável se ao menos uma das massas for elevada, como a de um planeta. Para corpos de pequenas massas (pessoas, objetos, veículos), a atração gravitacional F tem intensidade desprezível.

Curiosidades: O Sol:

• A luz do nosso astro-rei demora 8 min e 15 s para chegar até nós.

• A distância entre o Sol e a Terra é de 148,45 milhões de quilômetros.

• Sua massa é 334,672 vezes maior que massa da Terra, e ele é 109 vezes maior que ela.

• Na sua superfície a temperatura chega a 5500 o_C.

• Calcula-se que no seu centro a temperatura chega a 15 milhões º_C.

• Ele sempre nasce do lado leste. A Terra:

• A população é de 5,2 milhões de habitantes.

• A Terra é o único planeta que possui água no estado líquido e uma combinação de fatores (oceanos, atmosfera, etc..) que levam ao desenvolvimento de formas de vida.

• Distância média da Terra à Lua: 382.166 km.

A Lua:

• A lua é um satélite natural da Terra e é o astro mais próximo dela.

• Ela não tem brilho próprio. A luz que vemos é a do Sol refletida nela, luz que demora 1,25 segundos para chegar até a Terra.

4.

A

CELERAÇÃO DA GRAVIDADE TERRESTRE Conforme a figura abaixo, vamos considerar M como sendo a massa da Terra, e m a massa de um corpo situado a uma distância d do centro da Terra.

Onde:

h = altura do corpo para a superfície da Terra.

R = raio da Terra Assim:

d

 

h R

Esse corpo ficou sujeito a uma força gravitacional F, calculada pela lei da gravitação universal como sendo:

2 G M m F d   

Porém, essa força nada mais é que o peso do corpo (F = P), podendo ser então substituída por m g . Isto nos leva a igualdade:

2 G M m m g d      g G M₂ d   ou





2 G M g h R   

Essa última expressão nos mostra de que forma varia a aceleração da gravidade g em função da altura h.

Caso seja considerado o ponto na superfície terrestre a expressão fica:

2 s G M g R   Onde: s

g

= aceleração da gravidade na superfície da

Terra. Nota:

Para h << R (pequenas alturas):

g

_h



g

_s

A seguir, temos uma tabela da aceleração da gravidade superficial dos planetas:

Planeta g(m/s2) Mercúrio 3,6 Vênus 8,6 Terra 9,8 Marte 3,7 Júpiter Saturno Urano Netuno 25,9 11,3 11,3 11,6 Plutão 3,9 Observação: A equação





2 G M g h R  

 não é válida quando o corpo está localizado no interior da Terra. Nesse caso, o peso varia linearmente com a distância d para o centro da Terra, considerada homogênea e esférica.

Demonstração:

O campo gravitacional em A é devido apenas a essa massa M.

Assim, aplicando a fórmula para pontos na superfície esférica de raio r, temos:

2 A G M g r   (I)

A densidade d da esfera pode ser escrita: M d V    , sendo 3 4 3 V



r   o volume da esfera imaginária à qual pertence A.

Portanto: 4 3

3

M d V M d



r

      Substituindo em (I), temos:

3 2

4

3

A

G d

r

g

r



 





4 3 A g   G d r



_   ou A

g

 

k r

Como 4 3G d



é uma constante (k),

concluímos que a aceleração da gravidade em pontos internos da Terra é diretamente proporcional à distância r do ponto considerado ao centro da Terra. Particularmente no centro da Terra, r = 0 e gc = 0.

Em resumo, a aceleração da gravidade g, a partir do centro da Terra, varia com a distância d, de acordo com o gráfico seguinte:

5.

E

FEITO DA ROTAÇÃO DA

T

ERRA NO VALOR DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

Consideremos inicialmente um corpo em um ponto do equador terrestre. Se adotarmos um referencial na Terra (referencial não inercial ), age no corpo uma força centrífuga (F_cf), cuja intensidade é dada por:

2 cf

F

 

m





R

A intensidade da força gravitacional é:

2 G M m F R   

O peso do corpo nessa posição terá intensidade dada por:

E cf

P  F F Veja:

2 2 E G M m m g m R R



       2 2 E G M g R R



    O termo G M₂ g₀ R  _ corresponde ao valor da aceleração da gravidade, sem considerar a rotação, isto é, em decorrência apenas da atração gravitacional. Então:

2 0 E

g g 



R

Nos pólos da Terra não há influencia da rotação e, portanto, a parcela 2

R



 não comparece na expressão da gravidade

g

_P:

0 P g g g_P G M₂ R  

Podemos concluir, então, que a aceleração da gravidade é máxima nos pólos e mínima no equador.

Observação:

Para pontos da superfície da Terra, situados a uma latitude 𝜑, ela terá valores intermediários a

g

_P e

g

E, conforme a tabela. Sua direção não passa pelo centro da terra. Observe a figura: Latitude(



) g(m/s2) 0° 9,78039 10° 9,78195 20º 9,78641 30° 9,79329 40° 45° 50° 60º 9,80171 9,80665 9,81071 9,81918 70° 9,82608 80° 9,83059 90° 9,83217

6.

C

ORPOS EM ÓRBITA

Vamos considerar um caso de dois corpos de massas M e m tais que M  m (M é muito maior que m). É o caso, por exemplo, do Sol e um planeta ou de um planeta e um satélite. Desse modo, é possível que o corpo de massa m gire em uma órbita aproximadamente circular em torno do corpo de massa M à altitude h. A força de interação gravitacional entre M e m é responsável pela força centrípeta necessária para manter m em órbita. Essa força é a própria força gravitacional à altitude h.

2 2 2 CP

m v

G M m

G M

F

F

v

d

d

d









 



 



G M

v

d





ou

v

G M

h

R







Onde:

d = raio da órbita do planeta R = raio do Sol

2

4

k

G M







(constante) Observação:

• A velocidade e o período independem da massa m do satélite;

• A velocidade e o período dependem da massa do Sol M e da distância d;

• A fórmula do período é a própria terceira lei de Kepler. Para o sistema solar, M é a massa do Sol e a constante 2

4

k

G M







é comum para

todos os planetas, independentemente de suas massas.

• Conhecida a velocidade do satélite, a uma determinada altura, determinamos sua energia cinética: 2

G M

G M

v

v

d

d







 

Como 2

2

m v

Ec





, temos:

2

G M

m

d

Ec







 2 G M m Ec d    

• Demonstra-se que a energia potencial gravitacional, adotando-se referencial no infinito, é dada por:

P G M m E d    

O sinal negativo significa que, em todos os pontos do campo gravitacional, a energia potencial gravitacional é menor do que no infinito.

No campo gravitacional, a energia mecânica se conserva, isto é, E_M E_CE_P.

7.

V

ELOCIDADE DE ESCAPE

Velocidade de escape é a menor velocidade com que se deve lançar um corpo da superfície terrestre para que este se livre da atração da Terra, isto é, chegue ao infinito com velocidade nula.

Para o cálculo dessa velocidade (

V

₀),

desprezando a resistência do ar, aplicamos o princípio da conservação da energia mecânica. Corpo na Terra: 2 0

2

m v

Ec





, P G M m E d    

Corpo no infinito: E_C 0;

E

_P



0

(referencial no infinito) Portanto: 2 0

0

2

m v

G M m

d



_





_{ }

0

2 G M

v

d

 



Substituindo os valores de G, M (massa da Terra) e R (raio médio da Terra), vem:

0 11,3 / v  km s Planeta V0(km/s) Mercúrio 4,2 Vênus 10,3 Terra 11,23 Marte 5,0 Júpiter Saturno Urano Netuno 60,5 35,2 21,7 24,0 Plutão 5,0

8.

I

MPONDERABILIDADE

9.

S

ATÉLITE GEOESTACIONÁRIO

Os satélites geoestacionários são satélites que se encontram parados relativamente a um ponto fixo sobre a Terra, geralmente sobre a linha do equador. Como se encontram sempre sobre o mesmo ponto da Terra, os satélites geostacionários são utilizados como satélites de comunicações e de observação de regiões específicas da Terra. Note-se que um satélite que não é geoestacionário nunca está sobre a mesma zona da Terra e por isso não pode ser utilizado para observar em permanência a mesma região.

Um ponto qualquer sobre a superfície da Terra move-se continuamente em torno do eixo da Terra com uma frequência de uma volta por dia. Isto significa que um satélite geoestacionário tem que se mover com a mesma velocidade angular. Os satélites artificiais existentes descrevem as mais diversas órbitas. Grande parte dos satélites não são geoestacionários e descrevem várias órbitas por dia. Como é que é possível colocar satélites em órbita com velocidades orbitais distintas? A resposta está na altitude a que os satélites são colocados e na velocidade inicial que lhes é imprimida. Quanto mais alta for a órbita de um satélite menor é a sua velocidade angular.

A altitude para se colocar o satélite é de 35.786 km, onde a força centrífuga e a força centrípeta do planeta se anulam.

Note-se que, se a Terra fosse perfeitamente esférica, a única posição geoestacionária seria sobre o equador. No caso real, a assimetria na distribuição das massas entre os hemisférios faz com que os satélites geoestacionários devam ser posicionados fora do equador

Além disso, a irregularidade do campo gravitacional terrestre, junto com perturbações orbitais (tanto gravitacionais, como as atrações da Lua e do Sol, quanto forças não-inerciais, como a pressão da radiação solar) obrigam que a posição seja periodicamente corrigida, através de manobras orbitais.

10.

P

RINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO

Seja

g



₁ o campo gravitacional produzido

num ponto P pela ação gravitacional de uma distribuição de massa 1. Seja g₂ o campo gravitacional produzido num ponto P por outra distribuição de massa 2. O campo gravitacional efetivo g_ef no ponto P é dado pelo vetor resultante:

1 2 ef

g g g

A soma de duas grandezas é também chamada de superposição das grandezas consideradas. Poranto, o princípio da superposição é um princípio geral na física que pode ser aplicado para obter uma grandeza escalar resultante (através de uma soma algébrica) ou então podemos obter uma grandeza vetorial resultante (mediante uma soma vetorial).

O princípio da superposição pode ser utilizado para determinação do campo gravitacional no interior de um buraco esférico existente numa esfera homogênea. Para resolver este problema, devemos inicialmente, tampar o buraco esférico considerado mediante uma esfera hipotética com um raio igual ao raio do buraco e com densidade gual à desnsidade da esfera maior. Com essa superposição de massas, resulta uma esfera maciça sem nenhum buraco. Então, de acordo com o princípio da superposição, o campo g_ef desta esfera maciça é dado por:

ef B g g g

Onde g_ef é o campo efetivo num ponto P no interior doburaco esférico,

g



_B é o campo produzido em P por uma esfera de mesma densidade que tapa o buraco esférico e g é o campo que existe no ponto P antes de se superpor a esfera que produz o campo

g



_B.

pontos do buraco esférico pode ser calculado pela relação: ef B gg g A determinação de g_ef e

g

B



pode ser feita facilmente utilizando-se o resultado demonstrado abaixo:

O campo gravitacional na superfície de uma esfera maciça pode ser calculado mediante a equação: 2 G M g R   (I)

Onde M é a massa existente no interior da esfera de raio R. Logo:

M

  

d V

4 3

3

M    d



R (II) Substituindo (II) em (I), temos:

4 3