ESTUDO DE REPETITIVIDADE E REPRODUTIBILIDADE PARA DADOS FUNCIONAIS

ESTUDO DE REPETITIVIDADE E

REPRODUTIBILIDADE PARA DADOS

FUNCIONAIS

Alexandre Homsi Pedott (UFRGS)

alexandre.pedott@hotmail.com

Flavio Sanson Fogliatto (UFRGS)

ffogliatto@producao.ufrgs.br

Neste artigo apresenta-se um método para estudos de repetitividade e reprodutividade (R&R), destinados a analisar a capacidade e o desempenho de sistemas de medição, quando as variáveis de interesse são funcionais, isto é, caracterizadas poor uma coleção de dados que formam um perfil ou uma curva, e não por uma observação individual. O método proposto envolve a adaptação de testes de hipótese e da análise de variância de um e dois fatores usados em comparações de populações, na avaliação de sistemas de medições. A proposta de adaptação foi baseada na utilização da distância de Hausdorff como uma medida de proximidade entre as curvas. O método foi aplicado a um estudo simulado de R&R, estruturado para analisar cenários em que o sistema de medição foi aprovado e reprovado.

2 1. INTRODUÇÃO

A avaliação do desempenho e da capacidade de um sistema de medição (SM) envolve a análise de diferentes tipos de características de qualidade (CQs). Existem CQs em que o resultado da amostragem da variável de interesse é dado por uma coleção de dados ou vetor de valores. Essa coleção de dados forma um perfil ou uma curva. O conteúdo informativo de uma curva é maior que o de um ponto individual. Os valores discretos medidos são pontos de uma função dependente de outra variável, denominada exploratória. Ramsay e Silverman (2005) denominam essas variáveis de resposta de dados funcionais. A função que representa o conjunto de dados pode ser obtida através de um processo de interpolação, utilizando técnicas de suavização.

O estudo de Repetitividade & Reprodutividade (R&R) é uma ferramenta da EQ usada na análise de um SM. Nos estudos de R&R, o instrumento de medição é usado para medir, repetidas vezes, as amostras de um produto. A repetitividade se refere à variabilidade característica do instrumento de medição, e decorre da sua capacidade de fornecer leituras repetidas muito próximas, sob as mesmas condições. A reprodutibilidade se refere à capacidade de um SM apresentar os mesmos resultados a partir da alteração nas condições de medição, tais como mudanças de avaliadores, diferentes turnos de trabalho, ou alterações de processo. O objetivo do estudo de R&R é determinar se a variabilidade do SM é relativamente menor que a variabilidade do processo monitorado (VIM, 2008; BURDICK, BORROR e MONTGOMERY, 2003; AIAG, 2002).

O método de análise mais usado em estudos de R&R é a Análise de Variância (ANOVA –

Analysis of variance). A ANOVA permite decompor a variabilidade do SM e avaliar a

interação entre os componentes. A estimativa da variabilidade do sistema é determinada pelo cálculo do erro aleatório, obtido com as replicações. O erro de medição é composto pela dispersão do instrumento, pelo efeito do avaliador e pelo erro aleatório, devido às replicações. Os critérios mais usados para avaliar a capacidade de um SM são: (i) Índice de Capacidade de

Medição (ICM1) como um percentual de variabilidade do processo; (ii) Índice de Capacidade

de Medição (ICM2) como um percentual da variabilidade da especificação do processo; e (iii)

a Razão Sinal-Ruido (SNR) ou número de categorias distintas (ndc). O ICM1 indica a

distorção da variação do processo devido ao SM. O ICM2 mostra a habilidade do instrumento

de classificar os produtos frente às especificações. O ndc reflete a capacidade do SM discriminar categorias, dentro da variação do processo. A indústria automotiva recomenda o

uso do ICM1 e o ndc nas avaliações dos sistemas de medições. (BARRENTINE, 2003;

BURDICK, BORROR e MONTGOMERY, 2005; AIAG, 2002).

As pesquisas recentes que envolvem estudos de R&R não abordam a avaliação de características de qualidade que se comportam como curvas. A maior parte desses trabalhos enfoca a análise de SMs de uma variável. Majeske (2008) apresenta um método de análise de para SMs com múltiplas variáveis de respostas independentes. O método foi aplicado a um SM formado por um dispositivo que mede diferentes CQs, simultaneamente. O método envolve a aplicação da ANOVA multivariada (MANOVA) e apresenta critérios de aceitação para os indicadores ICM1, ICM2 e ndc.

3 suavização por Splines. Abramovich e Angelini (2006) apresentam um modelo de Análise de Variância para dados funcionais (FANOVA – Functional Analysis of variance). O modelo estabelece um procedimento para teste de significância baseado em coeficientes de wavelet empíricos, que permite caracterizar diferentes tipos de respostas funcionais suavizadas sob alternativas não-paramétricas. Mosesova et al. (2006) generalizam algumas técnicas tradicionais de monitoramento de processos para aplicação em dados que se comportam como curvas.

O objetivo deste artigo é desenvolver e adaptar a ANOVA para avaliar um SM, onde variáveis funcionais são mensuradas. O atendimento desse objetivo deve solucionar os problemas causados pelo uso equivocado de métodos para variáveis simples em estudos de R&R onde, a variável de resposta é funcional. O desenvolvimento de novas técnicas de análise de dados funcionais deve contribuir para o avanço do estado da arte sobre a análise de sistemas de medições de processos industriais com variáveis de resposta funcionais.

2. ABORDAGEM CLÁSSICA DA ANOVA EM UM ESTUDO DE R&R

Um experimento clássico para o estudo de R&R usa a ANOVA de dois fatores. O primeiro fator é a Peça (P) e o outro o Avaliador (A). O modelo estatístico para a variável de resposta, considerando fatores de efeitos fixos (MONTGOMERY e RUNGER, 2003):

xijk =  + i +j + (iji + ijk, i = 1, ..., I; j = 1, ..., J; k = 1, ..., K; (1)

Na eq. (1),  é a grande média, i é o efeito do i-ésimo avaliador, j é o efeito da j-ésima peça,

()ij é o efeito da interação entre o avaliador i e a peça j, e ijk é o resíduo, ou erro aleatório

normalmente distribuído e com média zero. O resíduo é dado pela eq. (2), onde x representa ij. o valor esperado para a CQ. A ANOVA pressupõe observações normalmente e independentemente distribuídas, com idêntica variância para os diferentes níveis dos fatores. Desvios moderados da normalidade não implicam em uma séria violação do pressuposto. (MONTGOMERY, 2001; MONTGOMERY e RUNGER, 2003).

.

ij ijk ijk x x

 (2) O objetivo da ANOVA é testar a hipótese de igualdade das médias ou se os efeitos dos fatores e da interação são iguais a zero. As variâncias devem ser calculadas a partir das somas quadradas dos resíduos. A Soma Quadrática Total (SQT) é dada na eq. (3); a Soma Quadrática dos Avaliadores (SQA) é dada na eq. (4); a Soma Quadrática das Peças (SQP) é dada na eq. (5); a Soma Quadrática da interação entre os Avaliadores e as Peças (SQAP) é dada na eq. (6); a Soma Quadrática dos Resíduos (SQR) é dada na eq. (7). A equação de identidade que associa as SQs acima é dada na eq. (8), com número de graus de liberdade (GDL) dado na eq. (9), onde o termo do lado esquerdo se refere ao GDL da SQT, e os termos do lado direito se referem ao GDL de SQA, SQP, SQAP e SQR, respectivamente.

4





2 1 1 1 .

  

     I i J j K k xijk xij SQR (7) SQT = SQA + SQP + SQAP + SQR (8) (IJ K – 1) = (I – 1) + (J – 1) + (I – 1)(J – 1) + IJ(K – 1) (9) As médias quadráticas de cada fator são dadas pela razão entre as somas quadradas e os GDL dos respectivos fatores. Se o efeito de um fator for significativo, o valor esperado da média quadrática do fator deve ser diferente do valor esperado da média quadrática dos resíduos. O teste F determina se os efeitos do avaliador, da peça e da interação são significativos. Em geral, a interação não deve ser significativa. Neste caso, é recomendável unificar as somas quadradas, somando SQAP à SQR e os graus de liberdade correspondentes. A adição das somas quadradas e o novo número de graus de liberdade geram novos valores para as médias quadráticas e correspondentes valores calculados de F (MONTGOMERYe RUNGER, 2003). AIAG (2002) apresenta o cálculo da decomposição da variabilidade de um SM. A repetitividade ou variação do equipamento é denominada VE. A reprodutibilidade ou variação dos avaliadores é denominada VA. A variação do SM é avaliada pelo cálculo do R&R. A variação total do estudo é denominada de VT. VP é a variação da peça ou processo. A variabilidade de cada fator é comparada com a variabilidade total do SM. A Tabela 1 apresenta o cálculo da percentagem que cada fator consome da variação total do sistema. Os componentes da variação do SM são representados pelo desvio padrão 5,15 sigma, usado por ser de mais fácil interpretação do que a variância. No caso de ocorrer um valor negativo sob a raiz quadrada, a variação do fator correspondente deve ser considerada nula.

Fonte de Variação Desvio Padrão 5,15 sigma Percentual da Variação

Total Repetitividade VE5,15 MQR 100 x VE/VT Reprodutibilidade IK MQAP MQA VA5,15  100 x VA/VT Interação P x A K MQR MQAP VAP5,15  100 x VAP/VT Peça JK MQAP MQP VP5,15  100 x VP/VT R&R       2 2 2 &R VE VA VAP R    _{100 x R&R/VT} Total _VT 



_R&R

  

2_VP 2

Tabela 1 – Componentes da variabilidade de um SM

Os indicadores de capacidade dos sistemas de medição são calculados da seguinte forma:

R R

5 LIE LSE R R ICM   & 2 (11) R R VP ndc & 2  (12) Os critérios de decisão recomendados para avaliação de um SM (BARRENTINE, 2003;

BURDICK, BORROR e MONTGOMERY, 2005; AIAG, 2002) são os seguintes: (i) se ICM1

≤ 0,1 e/ou ndc ≥ 5, o SM é aprovado; (ii) se 0,1 <ICM1 ≤ 0,3 e/ou 2 < ndc < 5, o SM pode ser

aprovado, dependendo da capacidade do processo e dos custos de seleção do produto; e (iii) se ICM1 > 0,3 e/ou ndc ≤ 2, o SM é reprovado.

3. MÉTODO PROPOSTO

Considere um estudo clássico de R&R desenvolvido na seção 2. O problema aqui abordado consiste em avaliar o desempenho de um SM cuja CQ é uma variável funcional. Na abordagem clássica a variável de resposta é medida por um valor único, dado pela eq. (1). Na Análise de Dados Funcionais (ADF), a variável de resposta é medida por uma coleção de pontos, representados por um vetor.

Sejam i avaliadores e j peças diferentes. Cada avaliador efetua k repetições da medição de uma CQ cuja variável de resposta é funcional.A variável de resposta é formada por curvas compostas por n pontos. As observações da k-ésima repetição do i-ésimo avaliador sobre a j-ésima peça estão organizadas no vetor xijk, no espaço RR2.

xijk = [(xijk1, t1), ..., (xijkN, tN)] (13)

onde i = 1,..., I, j = 1,..., J, k = 1,..., K e n= 1,..., N são inteiros e positivos, e t é um número real não negativo. Considerando que a variável de resposta é uma curva, os resíduos usados nos cálculos da variância da ANOVA devem ser determinados através de uma medida de proximidade entre curvas. Uma medida de proximidade entre duas curvas é dada pela distância entre elas. Fogliatto (2008) usou a Distância de Hausdorff (DH) para converter respostas funcionais em respostas simples em um contexto de otimização de experimentos com múltiplas respostas. A DH fornece uma medida da distância entre duas curvas ou conjuntos de pontos diferentes. Quanto menor a distância, maior a semelhança entre os dois conjuntos. A DH é definida como o limite superior (valor máximo) do conjunto das distâncias mínimas entre os pontos de dois vetores. O valor de máximo pode ser substituído pela mediana, ou pela soma das distâncias mínimas. Souza (2008) usou diferentes medidas de distâncias para testar se a curva média de um grupo de curvas é igual a uma curva previamente conhecida.

O método proposto (ANOVA das distâncias) se baseia no cálculo da DH entre curvas observadas e as curvas médias esperadas. Uma curva média é definida pelo conjunto das

médias dos pontos das curvas observadas. Sejam x os vetores das médias dos i avaliadores _i..

dados por:                         

 

 

 

  N J j K k ijkN J j K k ijk i t JK x t JK x , ,..., , ₁ 1 1 1 1 1 .. x (14)

6                         

 

 

 

  N I i K k ijkN I i K k ijk j t IK x t IK x , ,..., , 1 1 1 1 1 1 . . x (15)

Sejam x os vetores das médias dos i avaliadores e das j peças, dados por: _ij.

                        







 N K k ijkN K k ijk ij t K x t K x , ,..., , 1 1 1 1 . x (16)

Seja x o vetor da grande média, correspondente a todas as observações, dado por: _...

                        

  

  

  

   N I i J j K k ijkN I i J j K k ijk t IJK x t IJK x , ,..., , 1 1 1 1 1 1 1 1 ... x (17)

As distâncias entre as curvas observadas, dadas na eq. (13), e as curvas médias das equações (14) a (17) estão associadas às variabilidades características do SM. A ANOVA das distâncias será apresentada em duas abordagens. As abordagens se diferenciam pelo cálculo da distância entre as curvas: a primeira abordagem calcula a DH através da mediana; a segunda, através da média.

A abordagem das medianas é assim implementada. A partir da eq. (3), obtém-se a Soma Quadrática Total (SQT) dada por:

 





2 1 1 1 ...

  

    I i J j K k d ijk SQT x x (18)

 

x... x_ijk

d é a DH entre cada curva observada xijk em um determinado grupo e a curva da

grande média x , dada pela eq. (19). Essa distância é equivalente ao resíduo entre o valor _...

observado e o esperado da observação



x_ijk x_ij.



.

 

d



x ijk



d ijk x x x x ... medianax_...n_... ...n, (19) onde,



x ijk



x d



x xijk



d ijk , min , _...n ...n x  _ijkx (20) sendo a distância d



x...n,xijk



correspondente à distância Euclidiana entre um ponto do vetor

...

x e um ponto do vetor xijk; considerando-se os pontos x...n e x111, essa distância seria dada

por:



 



2





2 111 1 ... 111 ...1,x x x tx...1 tx111 x d     (21)

7 A Soma Quadrática dos Avaliadores (SQA) é obtida a partir da Eq. (4), sendo dada por:

 







  I i d i JK SQA 1 2 ... .. x x (22)

 

... .. x xi

d é a distância entre a curva média x de cada avaliador e a curva da grande média _i..

... x , dada por:

 

... mediana _{...n ...}



... , ..



.. x d x n i d i x x x x   (23) onde,



x...n, i..



minx_{i.. ..}d



x...n,xi..



d i x x  _ (24) sendo a distância d



x_...n,x_i..



definida pela Eq. (21).

Da Eq. (5) se obtém a Soma Quadrática das Peças (SQP) dada por:

 







  J j d j IK SQP 1 2 ... . . x x (25)

 

... . . x x_j

d é a distância entre a curva média x de cada peça e a curva da grande média _{. j.} x , _...

dada por:

 

... mediana ...n ...



... , . .



. . x d x n j d j x x x x   (26) onde,



x...n, .j.



minx.j. ..d



x...n,x.j.



d j x x  _ (27) sendo a distância d



x_...n,x_.j.



definida pela Eq. (21).

A Soma Quadrática para a interação entre os avaliadores e as peças (SQAP) corresponde à diferença das distâncias dadas pelas Equações (26) e (29), sendo dada por:

 

 





2 1 1 . .. .. ...

 

    I i J j d ij i d j K SQAP x x x x (28)

 

.. . i ij

d_x x é a distância entre a curva média x das k repetições e a curva média do respectivo ij. avaliador i x , dada por: _i..

 

.. mediana _{..n ..}



.. , .



. i x d xi n ij d i i ij x x x x   (29) onde,



xi..n, ij.



minx_{ij. .}d



xi..n,xij.



d ij x x  _ (30) sendo a distância d



x_i..n,x_ij.



definida pela eq. (21).

Por fim, a Soma Quadrática dos Resíduos (SQR) é obtida a partir da eq. (7), sendo dada por:

 





2 1 1 1 .

  

    I i J j K k d ijk ij SQR _x x (31)

 

ij. ijk

d_x x é a distância entre cada curva observada xijk e a curva média do respectivo avaliador

8

 

ij x d



xijn ijk



d ij ij ijk x x x x . mediana _.n _. . , (32) onde,



xijn ijk



x d



xijn xijk



d ijk , min , . . x  _ijkx (33) sendo a distância d



x_ij.n,x_ijk



definida pela eq. (21).

Existem duas alternativas para o cálculo de SQR. A primeira alternativa é usar diretamente a eq.(31). A segunda é usar a identidade da eq. (8) e as eq. (18), (22), (25) e (28). As duas alternativas podem levar a resultados diferentes. A diferença ocorre porque o valor esperado usado na eq.(31) pode variar de curva para curva. Essa diferença depende da variação ao longo de t. A escolha da primeira alternativa pode levar a pequenos desvios na identidade da eq. (8). A escolha da segunda alternativa pode levar a uma distorção no valor de SQR. A escolha da fórmula de cálculo do método deve levar em conta o impacto nos erros tipo I e II. O número de GDL deve ser calculado de acordo com a eq. (9). As Médias Quadráticas são dadas pela eq. (34) a (37).

 







1



1 2 ... ..  



 I d JK MQA I i xi x (34)

 







1



1 2 ... . .  



 J d IK MQP J j xj x (35)

 

 







1



1



2 1 1 . .. .. ...    

 

  J I d d K MQAP I i J j xij xi xj x (36)

 







1



2 1 1 1 .  

  

   K IJ d MQR I i J j K k xijk xij (37)

Se o efeito de um fator for significativo, o valor esperado da média quadrática do fator deve ser diferente do valor esperado da média quadrática dos resíduos. A tabela ANOVA para o modelo da eq. (1) é apresentada na Tabela 2. O teste F determina se os efeitos do avaliador, da peça e da interação são significativos. Se o valor calculado da estatística F (FCAL) for maior que o valor tabelado de F, deve-se rejeitar a hipótese nula. Caso o efeito da interação não seja significativo, a tabela da ANOVA deve ser reformulada para unificar a variância da interação à variância dos resíduos.

A Tabela 2 fornece as informações suficientes para avaliar o desempenho do SM. A avaliação é baseada no cálculo das percentagens que cada componente contribui para a variação total do SM. Tais percentagens são calculadas conforme apresentado na Tabela 1. A capacidade do SM deve ser avaliada pelos indicadores ICM1, ICM1 e o ndc, descritos nas eq. (10) e (11). Os critérios de aprovação devem ser os mesmos apresentados anteriormente.

A segunda abordagem para o cálculo das distâncias, baseada nas médias, pode ser interessante em casos onde se deseje maior sensibilidade da ANOVA a valores extremos em pontos específicos das curvas. Para tanto, deve-se substituir o operador de mediana usado nas eq. (19), (23), (26), (29) e (32) pelo operador de média. Para diferenciar as distâncias calculadas nas duas abordagens, a distância calculada através da média é designada por _xa

 

x_...

ijk

d . O

9 tabela ANOVA para essa abordagem é similar àquela apresentada na Tabela 2. Os critérios de aprovação do SM são como apresentados anteriormente.

Fonte de Variação

Soma dos Quadrados GDL Média Quadrática FCAL FTAB

Avaliador





 



 I i d i JK ₁ x.. x... 2 (I –1)



 



 1 1 2 ... ..  



 I d JK MQA I i xi x MQA/ MQR F,(I-1),IJ(K-1) Peça





 



 J j d j IK ₁ x.. x... 2 (J – 1)



 



 1 1 2 ... . . 



 J d IK J j xj x MQP/ MQR F,(J-1),IJ(K-1) Interação AP      2 1 1 . .. .. ...     I i J j dij i d j K x x x x (I –1) (J – 1)



   



 1 1 2 1 1 . .. .. ...   

 

  J I d d K I i J j xij xi xj x MQAP /MQR F,(I-1) (J-1),IJ(K-1) Erro



 



2 1 1 1 .       I i J j K k dijk ij SQR x x IJ(K –1)



 



 1 2 1 1 1 . 

  

   K IJ d I i J j K k xijk xij Total



_{ }



2 1 1 1 ...

  

   I i J j K k dxijk x

Tabela 2–Tabela ANOVA das Distâncias de dois fatores

4. EXEMPLO NUMÉRICO

Esta seção apresenta o resultado da aplicação dos métodos propostos na seção anterior a um estudo de R&R simulado. O estudo foi baseado no caso de um fabricante de pneus, que avalia a qualidade dos produtos através da viscosidade da borracha. A medição é feita em um reômetro, que mede as propriedades visco-elásticas da borracha. O instrumento fornece a curva reométrica de vulcanização da borracha, a partir da qual são obtidos os valores usuais para caracterização da borracha. Uma característica viscosa é dada pelo torque suportado por uma amostra de borracha em diferentes instantes do tempo de vulcanização.

A curva de vulcanização da borracha segue o modelo da distribuição de Weibull, isto é,

3 2 1 0     t e

X    , onde X representa o torque, 0, 1, 2 e 3 são os coeficientes

experimentais do modelo e t o tempo em minutos. A partir desse modelo, é possível determinar o valor do torque em qualquer tempo no intervalo modelado, o que permite que a curva de vulcanização seja comparável em intervalos fixos de tempo.

O objetivo da simulação foi gerar curvas correspondentes às k medições dos i avaliadores efetuadas sobre as j peças de referência. Foram geradas curvas para a obtenção de três cenários no contexto da avaliação de um SM, dois dos quais são apresentados aqui. No primeiro cenário foram geradas as curvas de forma que o estudo de R&R resultasse na aprovação do SM. No segundo cenário foram simuladas curvas que resultaram na reprovação do SM. Neste caso, o SM foi reprovado devido ao efeito do avaliador. O terceiro cenário, de reprovação do SM devido ao efeito do equipamento de medição, é omitido. As duas abordagens propostas na seção 3 foram usadas na análise de cada cenário simulado.

10 resposta é formada por curvas compostas de 11 pontos. A primeira fase do processo de simulação foi a obtenção de cinco curvas de referência correspondentes as cinco peças de referência. As curvas de referência foram obtidas a partir do modelo de Weibull, com diferentes parâmetros de ajuste 0, 1, 2 e 3.

A segunda fase do processo de simulação foi a geração das curvas observadas para cada cenário. Para simular os valores medidos, foram adicionados dois termos de erro aleatório ao modelo de Weibull. Foram usados erros aleatórios com distribuição N(,2). O primeiro termo de erro corresponde à influência do avaliador sobre o SM. O segundo termo de erro corresponde ao erro característico do equipamento de medição. O erro do equipamento de medição foi dividido em dois fatores devido à diferença de escala da variável de resposta. Em todos os cenários, o teste K-S de normalidade mostrou que não há evidência significativa para

que a hipótese de normalidade dos dados seja rejeitada, a um nível de confiança de  = 0,05.

Também, em todos os cenários, o efeito da interação não foi significativo e os termos de

SQAP unificados aos do SQR.

4.1 SM APROVADO

A Tabela 3apresenta a ANOVA das medianas e a Tabela 4 traz a ANOVA das médias. O teste

F mostra que há efeito significativo para a variação das peças nos dois casos. O efeito dos

avaliadores não foi significativo. Foi usada a eq. (31) para o cálculo da SQR.

Fonte de Variação SQ GDL MQ FCAL FTAB

Avaliador 0,0001 1 0,0001 1,5953 4,062

Peça 0,2547 4 0,0637 1578,2 2,584

Resíduos 0,0018 44 0,0000

Total 0,2565 49

Tabela 3–ANOVA de dois fatores das medianas (sem interação)

A Tabela 5 apresenta os indicadores de capacidade e desempenho do SM no cenário aprovado, para as duas abordagens. O resultado da Tabela 5 é compatível com o cenário simulado. O SM foi aprovado nas duas abordagens. O desvio na identidade da eq. (8) passou de 0,0001 na abordagem da mediana para 0,0016 nas abordagens da média e da diagonal. Considerando os critérios de aprovação da Tabela 6, o SM foi aprovado.

Fonte de Variação SQ GDL MQ FCAL FTAB

Avaliador 0,0001 1 0,0001 1,54 4,062

Peça 0,2530 4 0,0632 1165,8 2,584

Resíduos 0,0024 44 0,0001

Total 0,2538 49

Tabela 4 – ANOVA de dois fatores das médias (sem interação)

Fonte de Variação MEDIANA MÉDIA

%VE 7,9 9,2

%VA 1,2 1,4

11

%R&R 8,0 9,3

ndc 17 15

Tabela 5 – Comparação das percentagens de variação do SM por cenário simulado

4.2 SM REPROVADO DEVIDO A VA

A Tabela 6 apresenta a ANOVA das medianas e a Tabela 7, a ANOVA das médias. O teste F mostra que há efeito significativo para a variação das peças e dos avaliadores nos dois casos.

Fonte de Variação SQ GDL MQ FCAL FTAB

Avaliador 0,0212 1 0,0212 60,20 4,062

Peça 0,1998 4 0,0500 141,7 2,584

Resíduos 0,0155 44 0,0004

Total 0,23150 49

Tabela 6–ANOVA de dois fatores das medianas (sem interação)

Fonte de Variação SQ GDL MQ FCAL FTAB

Avaliador 0,0204 1 0,0204 50,7 4,062

Peça 0,1981 4 0,0495 123,2 2,584

Resíduos 0,0177 44 0,0004

Total 0,22815 49

Tabela 7– ANOVA de dois fatores das médias (sem interação)

A Tabela 8 apresenta os indicadores de capacidade e desempenho do SM no cenário aprovado, para as duas abordagens.

Fonte de Variação MEDIANA MÉDIA

%VE 24,0 25,6

%VA 36,9 36,2

%VP 89,8 89,6

%R&R 44,0 44,3

ndc 2 2

Tabela 8– Comparação das percentagens de variação do SM por cenário simulado

O resultado da Tabela 8 é compatível com o cenário simulado. O SM foi reprovado nas duas abordagens. A fonte de variação que mais contribuiu para a reprovação foi a VA. O desvio na identidade da eq. (8) passou de 0,005 na abordagem da mediana para 0,008 na abordagem da média. Em vista dos valores da Tabela 8, o SM foi reprovado.

5. CONCLUSÃO

12 uma curva. Produto e processos com CQs medidas por variáveis funcionais devem ser analisados por métodos apropriados, considerando todos os pontos observados da curva. O método proposto nesse trabalho é uma adaptação do estudo de R&R para o tratamento e análise de dados funcionais. O método apresenta apenas um resultado para análise e tomada de decisão, no qual estão considerados todos os pontos da curva. O principal elemento da proposta foi a utilização das DH entre as curvas. A DH é uma medida de proximidade entre curvas. Em uma análise de variância, a medida de proximidade das curvas está para o nível de variação do SM, como a medida de dispersão de uma variável simples. Um procedimento detalhado por equações e tabelas foi desenvolvido para avaliar os componentes da variação de um SM em que os dados são curvas.

A ANOVA das Distâncias soluciona os problemas causados pelo uso equivocado de métodos para variáveis simples em estudos de R&R onde a variável de resposta é funcional. O método proposto é uma alternativa para a análise na otimização de experimentos de respostas funcionais, tratados por métodos multivariados. A ANOVA das Distâncias pode ser usada com facilidade em planilhas eletrônicas comuns, sem a necessidade de programas computacionais complexos.

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