Sobre soluções periódicas de equações diferenciais com retardo e impulsos

André Luiz Furtado

Orientadora: _{Profa. Dra. Márcia Cristina Anderson Braz Federson} Coorientador: _{Prof. Dr. Pierluigi Benevieri}

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências - Matemática . VERSÃO REVISADA

USP – São Carlos Maio de 2012

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

F992s

Furtado, André Luiz

Sobre soluções periódicas de equações diferenciais com retardo e impulsos / André Luiz Furtado;

orientadora Márcia Cristina Anderson Braz Federson; co-orientador Pierluigi Benevieri. -- São Carlos, 2012.

92 p.

Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2012.

Agradecimentos

Agradeço especialmente à minha mãe, Dalva de Oliveira, pelo carinho, amor, educação e apoio que sempre me deu. Pelo exemplo de sensatez, força e equilíbrio. Obrigado por tudo!

Ao meu pai, Pedro Ivo Furtado (em memória), pela educação e por ter me convencido a

fazer graduação em matemática.

À minha orientadora, Márcia Federson, por ter aceitado me orientar, pelo apoio e incentivo e pelo papel fundamental que cumpriu na minha formação como matemático.

Ao meu co-orientador, Pierluigi Benevieri, pela atenção, seriedade e exemplo de profissio-nalismo com que acompanhou e participou deste trabalho.

Agradeço a todos os professores que tive ao longo da minha vida. De maneira especial, a Hamilton Araújo Bicalho (em memória), professor de física em minha graduação e um

inesque-cível exemplo de retidão e seriedade profissional.

Aos meus colegas de doutorado e amigos, Cleber e Suzete, sou grato pela amizade, com-panhia e pela ajuda que, com excepcional boa vontade, deram sempre que precisei.

Resumo

Abstract

Sumário

Introdução 11

1 Aplicação da teoria do grau às equações abstratas 21

2 Existência e unicidade de solução periódica

para EDFR’s impulsivas 31

2.1 Introdução . . . 31

2.2 Existência de solução periódica. . . 33

2.3 Unicidade de solução periódica . . . 56

3 Existência e unicidade de solução periódica para EDFR’s impulsivas neutras 61 3.1 Introdução . . . 61

3.2 Uma equação não impulsiva auxiliar . . . 66

3.3 Existência de solução periódica. . . 69

3.4 Unicidade de solução periódica . . . 85

Introdução

Apresentação

O objetivo deste trabalho é investigar a questão da existência e unicidade de solução

peri-ódica para equações diferenciais funcionais com retardamento (escrevemos EDFRs) com ação

impulsiva.

Diversos artigos publicados recentemente tratam da questão da existência ou da existência

e unicidade de solução periódica para EDFRs em que o retardo é constante ou discreto. Ver,

por exemplo, [15], [26], [27] e [32]. Nossa contribuição no Capítlo 2 consistiu em

encon-trar condições suficientes para a existência e unicidade de solução periódica para EDFRs com

condições impulsivas não lineares e com retardo contínuo.

No Capítulo 3, apresentamos condições suficientes para a existência e unicidade de solução

periódica para uma classe de equações diferenciais funcionais neutras com ação impulsiva.

Da mesma forma que no segundo capítulo, no Capítulo 3 tratamos de equações com retardo

contínuo e com condições impulsivas não lineares. Nesse capítulo, apresentamos um método

para encontrar uma equação diferencial neutra sem impulsos, associada à equação impulsiva

original, de tal modo que da existência e unicidade de solução periódica para tal equação não

impulsiva podemos inferir o mesmo para a equação impulsiva. Até onde sabemos não existem

trabalhos publicados em que se utiliza tal método para equações diferenciais neutras com ação

impulsiva. Como sugestão de leitura de trabalhos recentes referentes ao problema da existência

ou da existência e unicidade de solução periódica para equações diferencias neutras impulsivas

sugerimos [11], [18], [19] e [30].

Os resultados que obtivemos sobre a existência de solução periódica, tanto no Capítulo 2

como no Capítulo 3, se apoiam num Teorema de Continuação de Mawhin que, por sua vez, tem

a Teoria do Grau Topológico como pré-requisito. Por essa razão, julgamos por bem dedicar o

primeiro capítulo deste trabalho a um resumo sobre tal teoria. Salientamos que a profundidade

e abrangência de tal resumo se limitam ao necessário para o bom entendimento do Teorema de

Continuação de Mawhin que utilizamos.

Motivação

Nos últimos anos, as equações diferencias funcionais com retardo e impulsos tem sido

ob-jeto de intensa pesquisa. Isto se deve a duas razões principais. Uma delas consiste na grande

utilidade de tais equações na modelagem de diversos fenômenos que ocorrem nas mais diversas

áreas do conhecimento como, por exemplo, dinâmica populacional, engenharia, física, química,

medicina e economia. Além disso, o estudo de tais equações é fortemente motivado pelo

inte-resse intrinsicamente matemático que possuem.

As equações diferenciais ordinárias e parciais estão consolidadas como eficazes modelos

matemáticos de numerosos fenômenos reais. Tais equações são poderosas representações

teóri-cas de processos de evolução em que a taxa de variação do estado do processo em cada instante

t depende do estado do processo nesse instante. No entanto, existe uma grande quantidade de

fenômenos reais em que a taxa de variação do estado em cada instante depende, não somente

do estado do processo nesse instante, mas também do histórico de estados do fenômeno. Dessa

forma, para tais casos, as equações diferenciais ordinárias e parciais não se apresentam como

os modelos mais apropriados e faz-se necessário a utilização de outras ferramentas teóricas que

descrevam tais fenômenos de forma mais realista. Tais ferramentas são asequações diferencias

Introdução 13

Por outro lado, muitos fenômenos reais são processos de evolução que se caracterizam por

sofrer intensas e abruptas mudanças de estado. É comum referir-se a tais fenômenos como

fenômenos impulsivos. Para modelar matematicamente os fenômenos impulsivos, de forma a

incorporar suas bruscas alterações de estado, é usual considerar que o tempo de ocorrência

dessas alterações seja desprezível em relação à duração do processo. Assim, é natural que nos

modelos matemático de tais fenômenos, as mudanças abruptas de estado referidas acima sejam

tratadas como instantâneas. Os instantes em que ocorrem tais alterações repentinas de estado

são comumente chamados demomentos impulsivose as ferramentas teóricas que possibilitam

a modelagem matemática dos fenômenos impulsivos são asequações diferenciais impulsivas.

Podemos concluir, a partir do que foi exposto acima, que a modelagem matemática de

fenô-menos impulsivos em que a taxa de variação de estado em cada instante depende do estado

atual e do histórico dos estados anteriores requer, como ferramentas teóricas, as equações

dife-rencias funcionais com retardo bem como as equações diferenciais impulsivas. Surge assim,

de forma natural, uma importante motivação para o estudo dasequações diferencias funcionais

com retardo e impulsos (EDFR’s impulsivas). Além disso, como mencionamos acima, tanto

as equações diferencias funcionais com retardo como as equações diferenciais impulsivas,

a-presentam diversas propriedades matemáticas distintas das equações diferenciais ordinárias e

parciais, o que lhes proporciona um marcado interesse puramente matemático.

A título de exemplos para a última afirmação, vale mencionar que no contexto das equações

diferenciais funcionais com retardo um problema de valor inicial tem como dado inicial, não um

ponto do espaço euclidiano, como ocorre com tais problemas no caso das equações diferenciais

ordinárias e parciais, mas sim uma função. Como era de se esperar, fatos como esse acarretam

em várias diferenças entre a teoria das equações diferencias com retardo e as equações

diferen-ciais ordinárias e pardiferen-ciais. Sugerimos como leitura sobre as equações diferendiferen-ciais com retardo

Com relação às particularidades matemáticas das equações diferenciais impulsivas,

men-cionamos, como exemplo, o fato de que, ao contrário do que ocorre no caso das equações

diferenciais ordinárias e parciais, as soluções de tais equações nem sequer são contínuas nos

pontos correspondentes aos impulsos e, portanto, não satisfazem em todos os pontos a

igual-dade que expressa a equação. Isso acarreta em alterações das condições para que algumas

propriedades bem conhecidas sejam satisfeitas e até mesmo na definição de alguns conceitos.

Citamos, como exemplo, a depenência contínua com relação aos dados iniciais e propriedades

qualitativas como estabilidade. Como recomendação para leitura sobre a teoria das equações

diferenciais impulsivas, citamos [4], [5], [6], [7], [33], [24]

Recentemente, numerosos artigos dedicados às EDFR’s impulsivas tem sido publicados em

diversas revistas científicas internacionais. Aplicações, existência e unicidade de soluções,

com-portamento assintótico, estabilidade e limitação, são alguns exemplos da ampla gama de temas

abordados em tais publicações. No presente trabalho, nos dedicamos a investigar a questão da

existência e unicidade de solução periódica para algumas classes de EDFR’s impulsivas.

Antes de apresentarmos formalmente as EDFR’s impulsivas, exporemos alguns casos

con-cretos de situações reais que devem ser modeladas por equações diferencias funcionais com

retardo, por equações diferenciais impulsivas e, finalmente, daremos um exemplo de situação

real modelada EDFR’s impulsivas.

Iniciamos com um exemplo da vida cotidiana que julgamos de grande valor didático e que

pode ser encontrado em [22]. Imaginemos a situação corriqueira que consiste em um indivíduo

regulando a temperatura da água do seu banho girando a torneira do chuveiro. Denote porTd a

temperatura que o indivíduo deseja que a água tenha e porT(t)a temperatura da água do

chu-veiro no instantet. Desejamos encontrar a equação que descreve a variação da temperatura da

água do chuveiro em função da diferença entre a temperatura da água percebida pelo indivíduo

Introdução 15

Note que a temperatura da água percebida pelo indivíduo no instante t é a temperatura da

água no chuveiro no instantet₋τ, sendoτo intervalo de tempo necessário para que a água que

sai do chuveiro chegue ao indivíduo. Dessa forma, é de se esperar que a equação que buscamos

seja uma equação com retardo, pois a variação da temperatura da água do chuveiro em cada

instantet será dada em função da sua temperatura num instante anteriort₋τ.

Denotemos por α(t) o ângulo de rotação da torneira do chuveiro no instante t. É natural

supor que a taxa de variação deα, isto é,α′(t), seja proporcional à diferença entre a temperatura

da água que chega ao indivíduo e a temperatura Td. Assim, denotando por κ a constante de

proporcionalidade, obtemos a equação

α′(t) =κ[T(t₋τ)₋T_d].

Como, por outro lado, a taxa de variação da temperatura da água no chuveiro é proporcional

à taxa de variação do ângulo de rotação da torneira, com constante de proporcionalidade,

di-gamosι, então, utilizando a equação acima, podemos concluir que a dinâmica da variação da

temperatura da água no chuveiro é descrita pela equação diferencial com retardo discreto

T′(t) =κι−1[T(t₋τ)₋Td]. (1)

A seguir, apresentamos um caso de dinâmica populacional modelado por uma equação

di-ferencial com retardo contínuo. Suponha que uma determinada espécie animal esteja sujeita

à infestação parasitária de tal maneira que, no início da infestação, o sistema imunológico do

hospedeiro contra o parasita seja baixo, permitindo a rápida proliferação do mesmo no

orga-nismo do hospedeiro. Suponha, ainda, que à medida que a população parasitária cresce, o

sistema imunológico do hospedeiro se fortalece a ponto de ocasionar a diminuição na taxa de

Note que, em cada instante, a variação da população parasitária dependerá não somente da

população nesse instante, mas, também, do histórico da variação populacional. De fato, se num

determinado momento do início da infestação a população de parasitas forN, então, como o

sistema imunológico do hospedeiro ainda é baixo, a população parasitária continuará

aumen-tando. No entanto, como o aumento do número de parasitas provoca o aumento da eficiência

do sistema imunológico do hospedeiro, então, nessa fase, com o mesmo valorN de indivíduos

parasitários, ocorrerá uma diminuição subsequente de sua população.

Dessa forma, podemos concluir que a dinâmica populacional dos parasitas será descrita por

uma equação diferencial com retardo. De acordo com [23], tal equação é a seguinte equação

diferencial com retardo contínuo

N′(t) =rNh1₋N(t)

K −

Z t

0 N(s)G(t−s)ds

i

, (2)

sendoN(t)a população parasiária no instantet,Guma função chamada defunção memóriaer

eKconstantes dadas.

Outro exemplo de aplicação das equações diferencias funcionais com retardo que, pela sua

importância, julgamos pertinente apresentar, se refere à modelagem matemática dos efeitos

do uso de drogas quimioterápicas no ciclo celular de células cancerosas. Sem a pretensão de

sermos rigorosos na descrição dos processos biológicos envolvidos, podemos dizer que a droga

absorvida por uma célula cancerosa num instante t irá influenciar seu ciclo celular após um

intervalo de tempoh. E mais, o lapso de tempo entre a absorção da droga por parte da célula

e os efeitos da mesma no ciclo celular, em geral, não é o mesmo para as três fases do ciclo

celular (intérfase, fase mitótica e mitose). Denotando porhitais intervalos de tempo e porxi(t),

i=1,2,3, a quantidade de células cancerosas em cada instantet e em cada umas das três fases

Introdução 17

equações diferencias funcionais com retardo discreto ([22]):

       

      

x′₁(t) =α[a3+u3(t−h3)]x3(t−h3)−[a1+u1(t−h1)]x1(t−h1)

x′₂(t) = [a1+u1(t−h1)]x1(t−h1)−[a2+u2(t−h2)]x2(t−h2)

x′₃(t) = [a2+u2(t−h2)]x2(t−h2)−[a3+u3(t−h3)]x3(t−h3).

(3)

Aqui, α denota a taxa de reprodução celular, ui(t) denota a quantidade de droga em atuação

na célula no instantet e na fase i e a funçãot _7→ai+ui(t) descreve a quantidade de células

mudando para a faseiem cada instantet.

Como sugerem os exemplos acima, as equações diferencias funcionais com retardo se

apli-cam às mais diversas áreas do conhecimento. Nas referências [22] e [23] há uma grande

quan-tidade de exemplos de situações reais modeladas por equações com retardo discreto, como (1)

e (3) e por retardo contínuo, como (2). Segundo [22], a grande maioria das situações reais

modeladas por EDFR’s o são por equações com retardo discreto, que apresentam a forma geral

x′(t) =g(t,x(t₋h1(t)), . . . ,x(t−hk(t))), hi(t)≥0 (4)

ou por equações com retardo contínuo que apresentam a forma geral

x′(t) =gt,

Z t

t−h(t)K(t,s,x(s))ds)

, h(t)_≥0, (5)

conhecidas comoequações integro-diferenciais do tipo Volterra.

As equações diferencias funcionais com retardo que estudamos no Capítulo 2 apresentam a

seguinte forma geral

x′(t) = f(t,xt). (6)

função real dada porxt(θ) =x(t+θ),θ ∈[−r,0]. Note que, a grosso modo, a funçãoxt retrata

a restrição da funçãoxa umar-vizinhaça à esquerda do pontot. Dessa forma, ao interpretarmos

o númerotcomo oinstante t, podemos interpretar ar-vizinhaça à esquerda detcomo opassado

em relação ao instantet. Isso nos permite concluir que a funçãoxt assume um importante papel

na teoria das equações diferencias funcionais com retardo.

De fato, tanto a equação (4) como a equação (5) são casos particulares de (6). Com efeito,

obtemos (4) a partir de (6), definindo

f(t,ϕ):=g(t,ϕ(₋h1(t)), . . . ,ϕ(−hk(t))).

Por outro lado, para obter (5) a partir de (6), basta definir

f(t,ϕ):=g

t,

Z 0

−h(t)K(t,t+s,ϕ(t+s))ds

.

Dessa forma, vemos que a equação (6) apresenta um razoável grau de generalidade.

Como mencionamos anteriormente, muitos fenômenos reais possuem a característica de,

em curtos intervalos de tempo, sofrer abrupta mudança de estado. As equações diferenciais

impulsivas se apresentam como eficientes modelos para tais fenômenos quando tais intervalos

de tempo podem ser considerados desprezíveis em relação à duração de todo o processo. Por

exemplo, considere o caso de um tratamento médico em que o paciente deve ingerir um

determi-nado medicamento nos instantest1,t2, . . . ,tp. Denotemos porδia quantidade de medicamento

ingeriada no instanteti, i=1, . . . ,p, por x(t) a quantidade de medicamento no sistema

diges-tivo do paciente e por y(t) a quantidade de medicamento no seu sistema circulatório, ambos

Introdução 19

paciente durante o tratamento é dado pelo seguinte sistema de equações diferenciais impulsivas

   

  

x′(t) =₋k1x(t), y′(t) =k2y(t) +k1x(t), t∈[0,τ]t 6=t1, . . . ,tp

x(t_i+) =x(t_i−) +δi y(t_i+) =y(t_i−), i=1. . . ,p.

(7)

Aqui,k1ek2são constantes dadas,τ é o instante a partir do qual se pode considerar finalizado

o tratamento ex(t_i+), x(t_i−), y(t_i+), y(t_i−)denotam os limites laterais dexeyemti.

Vejamos um processo ecológico que pode ser modelado por equações diferenciais com

re-tardo e impulsos. Sabe-se que duas espécies de plânctons que coexistem no mesmo ambiente e

se nutrem dos mesmos nutrientes comportam-se como espécies em competição. De fato, cada

espécie produz substâncias químicas tóxicas à espécie concorrente. A quantidade dessas

subs-tâncias depende do tamanho da população da outra espécie. Além disso, note que a produção

de tais substâncias em cada instantet depende da população da outra espécie no instantet₋τ,

sendo τ o tempo necessário para a produção das substâncias tóxicas. Assim, podemos

con-cluir que as equações diferencias com retardo devem desempenhar um importante papel em um

modelo matemático realista da dinâmica populacional de mais de uma espécie de plânctons que

compartilham o mesmo ambiente.

Além disso, os plânctons possuem a característica de em determinadas situações

apre-sentarem um repentino crescimento populacional, conhecido como “florescimento” oubloom, e

que são ocasionados por diversos fatores, por exemplo, poluição e clima favorável. Em [20], os

autores modelaram tais explosões populacionais como efeitos impulsivos na dinâmica

popula-cional dos plânctons estudados. Mais precisamente, os autores encontraram o seguinte sistema

espécies de plânctons em um mesmo ambiente e sob o efeito de florescimento:

       

      

N₁′(t) =N1[k1(t)−α1(t)N1(t)−β12(t)N2(t)−γ1(t)N1(t)N2(t−τ(t))], t≥0, t 6=tk

N₂′(t) =N2[k2(t)−α2(t)N2(t)−β21(t)N1(t)−γ2(t)N1(t−τ(t))N2(t)], t≥0, t 6=tk

N1(t_k+)−N1(tk) =b1kN1(tk), N1(t_k+)−N1(tk) =b1kN1(tk)

Ao leitor interessado em encontrar aplicações das equações diferenciais funcionais com

CAPÍTULO

1

Aplicação da teoria do grau às equações abstratas

Este capítulo se destina a uma breve e resumida apresentação da teoria do grau topológico,

ferramenta fundamental para a obtenção dos resultados referentes à existência de soluções

pe-riódicas para os problemas que estudamos nos dois próximos capítulos.

Sejam Ω_⊂Rn aberto limitado e_Ck₍Ω,Rn₎, _{k ∈}N, o espaço das funções _ϕ :Ω_−→Rn

que são k vezes diferenciáveis em Ω e tais que elas e suas derivadas até ordem k podem ser

extendidas continuamente aΩ. Consideramos emCk(Ω,Rn₎a norma dada por

kϕ_kCk= max

0≤j≤k sup_t∈Ωk

ϕ(j)(t)_k.

Sejamϕ_∈C1(Ω,Rn₎e_S={t∈Ω; Jϕ(t) =0}, sendoJϕ(t)o determinante jacobiano deϕ emt. Os elementos deSserão chamados de pontos críticos deϕ e os pontos b_∈Rn que não

são imagem de pontos críticos deϕ serão chamados de valores regulares deϕ. Além disso, no

que se segue, utilizaremos a notação∂Ωpara representar a fronteira do conjuntoΩ.

Sejam ϕ _∈C1(Ω,Rn₎ e _b6∈ϕ(∂Ω) um valor regular de ϕ. O grau topológico de ϕ em

relação aΩno ponto bé um número inteiro que, na sequência, definiremos de maneira precisa.

O próximo resultado será crucial para que possamos definir o grau topológicodeg(ϕ,Ω,b)

no caso em queΩ_⊂Rnfor aberto limitado,_{ϕ ∈C}1₍Ω,Rn₎e_b6∈ϕ(∂Ω)for um valor regular

deϕ.

Proposição 1.1. Seϕ _∈C1(Ω,Rn_{)e b6∈ϕ(S)∪ϕ(∂(}Ω)), entãoϕ−1(_{b_})será finito.

Demonstração. Sejamϕ _∈C1(Ω,Rn₎e_{b6∈ϕ(S)∪ϕ(∂(}Ω)). Seϕ−1(_{b_}) = /0 o resultado é

trivial. Suponha queϕ−1(_{b_})₆= /0. Comob_6∈ϕ(S), então Jϕ(t)6=0 para cadat∈ϕ−1({b}).

Então, pelo Teorema da Função Inversa, para cadat_∈ϕ−1(_{b_}), existe uma bola abertaB(t)_⊂

Ω, de centro emt, tal que a restrição deϕaB(t)é um difeomorfismo. Assim, podemos escrever

ϕ−1(_{b_})_⊂ [ t∈ϕ−1_({b})

B(t) (1.1)

e considerar que as bolasB(t),t _∈ϕ−1(_{b_}), são duas a duas disjuntas.

Por outro lado, comoϕ é contínua, entãoϕ−1(_{b_})é fechado. Além disso,ϕ−1(_{b_})está

contido emΩ, que é limitado. Assim, concluímos que ϕ−1(_{b_}) é compacto. Dessa forma,

pelo Teorema de Borel-Lebesgue, é possível extrair de_{B(t)_}t∈ϕ−1_({b})uma subcobertura finita

ϕ−1(_{b_})_{⊂ {}B(t1), . . . ,B(tj)}.

Daí, comoϕ é injetiva em cada bolaB(ti)eϕ(ti) =b, obtemos

ϕ−1(_{b_}) =_{t1, . . . ,tj},

finalizando a demonstração.

Neste momento, estamos em condições de definir ograu topológico de Browerpara ternas

ϕ,Ω,bque satisfazem as condições enunciadas na Proposição1.1.

23

b_6∈ϕ(S)_∪ϕ(∂(Ω))é o número inteiro

deg(ϕ,Ω,b) =

   

  

∑

sgn(Jϕ(x)), seϕ−1(b)6= /0

0, seϕ−1(b) = /0,

sendo sgn(a) =1se a>0e sgn(a) =₋1se a<0.

Exemplo 1.3. Vamos encontrar deg(ϕ,Ω,b), sendoΩ= (0,7π/2), ϕ:Ω_−→R_{, ϕ(t) =cos t}

e b=π/8. Primeiramente, para garantir que deg(ϕ,Ω,b) está bem definido, devemos

veri-ficar que b_6∈ϕ(∂Ω)_∪ϕ(S). Note que, ∂Ω=_{0,7π/2_}, S=_{t _∈(0,7π/2); sen t =0_}=

{π,2π,3π_},ϕ(∂Ω) =_{1,0_},ϕ(S) =_{−1,1_}e, portanto,π/8_6∈ϕ(∂Ω)_∪ϕ(S). Encontremos

deg(ϕ,Ω,b). Denote_{t1,t2,t3}=ϕ−1({π/8}). Então, por definição,

deg(cos,(0,7π/2),π/8) = sgn(₋sen t1) +sgn(−sen t2) +sgn(−sen t3)

= ₋1+1₋1=₋1.

A seguir, enunciamos uma das principais propriedades do grau. Tal proriedade desempenha

importante papel nos resultados de existência de solução periódica que apresentaremos nos

dois próximos capítulos. Ao leitor que deseje verificar as demonstrações de tal propriedade

recomendamos a leitura dos trabalhos [8], [9], [10] ou [12].

Lema 1.4. SejamΩaberto limitado deRn_{e Id}:Ω_−→Rn_{, Id(x) =x. Então}

deg(Id,Ω,b) =

  

 

1, se b_∈Ω

0, se b_6∈Ω.

(1.2)

Uma vez definido o grau topológico para a ternaϕ,Ω,b, sendoϕuma função emC1(Ω,Rn₎,

Ω_⊂Rnaberto limitado e_bvalor regular de_ϕ, nosso objetivo passa a ser, a partir de agora,

topológicodeg(ϕ,Ω,b)quandobnão for necesariamente um valor regular deϕe tal função

per-tencer a uma classe de funções definidas em abertos limitadosΩde espaços de BanachX e que

não necessariamente pertencem aCk(Ω,X)sek>0. Na sequência, apresentaremos uma série

de lemas que nos conduzirão de forma natural a tal definição.

O primeiro desses lemas afirma que o grau topológico de Brower é localmente constante na

topologia deC1(Ω,Rn₎.

Lema 1.5. Sejam ϕ _∈C1(Ω,Rn_{) e b6∈ϕ(∂}Ω)_∪ϕ(S). Então, existe uma vizinhança U _⊂ C1(Ω,Rn_{)deϕ tal que, para cadaψ ∈U , vale:}

(i) b_6∈ψ(∂Ω);

(ii) Seψ(t) =b, então Jψ(t)6=0;

(iii) deg(ψ,Ω,b) =deg(ϕ,Ω,b).

Demonstração. A demonstração do lema pode ser encontrada em [8] ou [9].

O resultado a seguir nos diz que o grau de Brower é constante com relação a b em cada

componente conexa deRn_\(ϕ(∂Ω)_∪ϕ(S)).

Lema 1.6. Sejamϕ _∈C1(Ω,Rn_{)e b,c dois pontos pertencentes à mesma componente conexa}

deRn_\(ϕ(∂Ω)_∪ϕ(S)), então

deg(ϕ,Ω,b) =deg(ϕ,Ω,c).

Demonstração. A demonstração deste lema pode ser encontrada em [8], [9] ou [12].

Com o próximo resultado vemos que seϕ _∈C2(Ω,R,₎, então o grau de Brower será

25

Lema 1.7. Sejamϕ_∈C2(Ω,Rn_{). Se b,c6∈ϕ(∂}Ω)_∪ϕ(S)e estão na mesma componente conexa

deRn_\ϕ(∂Ω), então

deg(ϕ,Ω,b) =deg(ϕ,Ω,c).

Demonstração. Veja [8] ou [9].

SejaCb a componente conexa deRn\ϕ(∂Ω) que contém b. Como Rn\ϕ(∂Ω)é aberto,

segue-se queCb também é. Por outro lado, pelo Teorema de Sard, ϕ(S)tem medida nula em

Rn. Dessa forma, podemos concluir que _ϕ(S)não contém_Cb, isto é,_Cb\ϕ(S)6= /0. Este fato,

juntamente com o Lema 1.7, nos permite definir o grau topológico deg(ϕ,Ω,b), quando ϕ

pertencer aC2(Ω_,Rn₎e_bfor imagem de ponto singular deϕ.

Definição 1.8. Sejamϕ_∈C2(Ω,Rn_{)e b∈ϕ(S)tal que b6∈ϕ(∂}Ω). Considere Cba componente conexa deRn_\ϕ(∂Ω)que contém b. Definimos

deg(ϕ,Ω,b) =deg(ϕ,Ω,c), c_∈Cb\ϕ(S),

sendo o membro direito da igualdade acima dado pela Definição1.2.

Observe que, diferentemente da Definição1.2, a Definição1.8estabelece o grau topológico

em pontos não regulares. Por outro lado, houve uma maior exigência quanto à regularidade

da função ϕ. De fato, enquanto na Definição 1.2 bastava que ϕ pertencesse a C1(Ω,R₎, na

Definição1.8exige-se queϕ pertença aC2(Ω,R₎.

Todavia, veremos, com os com os três próximos resultados, que podemos obter uma efetiva

generalização das Definições 1.2 e 1.8. Mais precisamente, veremos que é possível definir o

grau topológicodeg(ϕ,Ω,b)de funçõesϕ_∈C(Ω,Rn₎em qualquer ponto_b6∈ϕ(∂Ω).

O primeiro desses resultados implica que o grau estabelecido na Definição1.8é localmente

Lema 1.9. Seϕ_∈C2(Ω,Rn_{)e b6∈ϕ(∂}Ω), então existe uma vizinhança U deϕ, na topologia

de C1(Ω,Rn_{), tal que para cadaψ ∈U , vale}

(i) b_6∈ψ(∂Ω);

(ii) deg(ψ,Ω,b) =deg(ϕ,Ω,b).

Demonstração. (Ideia) Se b_6∈ϕ(S) o resultado segue imediatamente do Lema 1.5. Se, por

outro lado,b_∈ϕ(S), então o resultado segue do Teorema de Sard, da Definição1.8e do Lema

1.5. Para conferir os detalhes da demonstração, sugerimos ao leitor consultar [8] ou [9].

O resultado abaixo é conhecido como a propriedade dainvariância por homotopiado grau

topológico.

Lema 1.10. Se H _∈C2(Ω_×[0,1],Rn_{)e b6∈H(∂(}Ω)_×[0,1]), então

deg(H(_·,t1),Ω,b) =deg(H(·,t2),Ω,b),

quaisquer que sejam t1,t2∈[0,1]fixados.

Demonstração. SejamH _∈C2(Ω_×[0,1],Rn₎e_b6∈H(∂(Ω)_×[0,1]). Como as funcçõesH e

∂H/∂xsão uniformemente contínuas emΩ_×[0,1], então, fixandoτ_∈[0,1], podemos concluir

que para cadaε>0, existiráδ >0 tal que

t_∈[0,1],_|t₋τ_|<δ =_{⇒ k}H(_·,t)₋H(_·,τ)_kC1 <ε.

Disto, e do Lema1.9, concluímos que seδ for suficientemente pequeno, então

27

Dessa forma, mostramos que a funçãod:t_7→deg(H(_·,t),Ω,b)é localmente constante em[0,1].

Daí, como[0,1]é compacto e conexo, concluímos quedé constante e o lema está provado.

A partir do próximo resultado, poderemos definir o grau de funções contínuas emΩ.

Lema 1.11. Seϕ_∈C(Ω,Rn_{)e b6∈ϕ(∂}Ω), então existirá uma vizinhança U deϕ, na topologia

de C1(Ω,Rn_{), tal que}

deg(ψ1,Ω,b) =deg(ψ2,Ω,b),

quaisquer que sejamψ1,ψ2∈U .

Demonstração. Sejamϕ_∈C(Ω,Rn₎e_b6∈ϕ(∂Ω). Comob_6∈ϕ(∂Ω), a distância debaϕ(∂Ω)

é positiva. Denotemos tal distância porr. Como, pelo Teorema de Aproximação de Weirstrass,

C2(Ω,Rn₎é denso em_C(Ω,Rn₎, então

U=_{ψ _∈C2(Ω,Rn₎; _{kϕ−ψk∞<r/}2_{} 6=} /0_.

Fixe ψ1,ψ2 ∈U e defina H :Ω×[0,1]−→R, H(x,t) =tψ1(x) + (1−t)ψ2(x). Afirmamos

queb_6∈H(∂Ω_×[0,1]). De fato, suponha, por absurdo, que exista (x,t)_∈∂Ω_×[0,1]tal que

H(x,t) =b. Neste caso, como a distância entrebeϕ(∂Ω)ér, então

kH(x,t)₋ϕ(x)_k=_kb₋ϕ(x)_{k ≥}r. (1.3)

Por outro lado, utilizando a expressão que defineH, obtemos

kH(x,t)₋ϕ(x)_k = _ktψ1(x) + (1−t)ψ2(x)−tϕ(x)−(1−t)ϕ(x)k

Portanto,

kH(x,t)₋ϕ(x)_{k ≤}t_kψ1−ϕk∞+ (1−t)kψ2−ϕk∞.

Daí, comoψ1,ψ2∈U, temos

kH(x,t)₋ϕ(x)_k<tr

2+ (1−t)

r

2 =

r

2.

Como tal desigualdade está em contradição com (1.3) podemos concluir queb_6∈H(∂Ω_×[0,1]).

Como, além disso,H_∈C2(Ω,Rn₎, então, pelo Lema1.10, temos

deg((H(_·,1),Ω,b) =deg((H(_·,0),Ω,b),

isto é,

deg(ψ1,Ω,b) =deg(ψ2,Ω,b),

e o resultado está demonstrado.

Definição 1.12. Sejamϕ_∈C(Ω)e b_6∈ϕ(∂Ω). Definimos o grau toplógico de Brower deϕ em

relação aΩno ponto b, como sendo

deg(ϕ,Ω,b) =deg(ψ,Ω,b), ψ _∈U,

sendo U a vizinhança deϕ, na topologia de C1(Ω,Rn_{), cuja existência é garantida pelo Lema}

1.11.

Na sequência, estenderemos o conceito de grau topológico para uma certa classe de funções

contínuas em abertos limitados de espaços com dimensão infinita.

Definição 1.13. Sejam X um espaço de Banach,Ω_⊂X um aberto limitado e T _∈C(Ω,X)uma

29

o grau de Leray & Schauder deϕ=I₋T em relação aΩnum ponto b_6∈ϕ(∂Ω), como sendo

o número inteiro

deg(ϕ,Ω,b) =deg(ϕ_|Ω∩F,Ω_∩F,b),

sendo o membro direito da igualdade acima dado pela Definição1.12.

As funções ϕ da Definição 1.13são conhecidas como perturbações de dimensão finita da

identidade. Nos trabalhos [8] e [9] o leitor encontrará a prova detalhada de que a Definição1.13

é consistente, isto é, independe da escolha do subespaçoF.

A partir desse momento, estamos em condições de apresentar o Teorema de Continuação de

Mawhin, o qual foi fundamental para obtermos os resultados referentes à existência de soluções

periódicas para os problemas que estudamos.

SejamX eY espaços de Banach eW um subespaço normado deX. Diremos queL:W _−→

Y é um operador de Fredholm se seu núcleo tiver dimensão finita n e sua imagem for um

subespaço fechado deY de codimensão finita m. O índice de um operador de Fredholm será

a diferença n₋m. Prova-se que, se L for um operador de Fredholm de índice zero, então

existirão operadores lineares contínuos e idempotentesP:X_−→X eQ:Y _−→Y satisfazendo

as seguintes igualdades

Ker L=Im P e Im L=Ker Q. (1.4)

Se L for um operador de Fredholm, então a primeira igualdade em (1.4) implicará que

a restrição de L aW_∩Ker P, que denotamos por LP :W ∩Ker P−→L(W∩Ker P), é um

isomorfismo. De fato, supondo Ker L=Im P e tomando x_∈W_∩Ker P tal que LP(x) =0,

concluímos quex_∈Im P, ou seja, que existe y_∈X tal quePy=x. ComoP é idempotente e

x_∈Ker P, a última igualdade implica quex=Py=Px=0.

men-cionadas acima, diremos que um operador contínuo N :X _−→Y é L-compacto no fecho Ω

do aberto e limitadoΩ_⊂X, quandoQN(Ω)for limitado e(LP)−1(I₋Q)N:Ω_−→X for um

operador compacto.

Com a notação estabelecida acima, afirmamamos que seJ:Im Q_−→Ker Lfor um

isomor-fismo, entãoJQN:Ker L_−→Ker Lserá uma perturbação de dimensão finita da identidade. De

fato, denotando porIdo operador identidade definido emKer L, temosJQN=Id₋(Id₋JQN)

e a afirmação segue do fato de quedim Ker L<+∞.

Ainda mantendo a notação acima, enunciamos o seguinte Teorema de Continuação de

Mawhin ([14], p. 40) que desempenha papel fundamental nos resultados sobre existência de

solução periódica que obtivemos e que serão apresentados e demonstrados nos dois próximos

capítulos.

Teorema 1.14. Sejam X,Y dois espaços de Banach e W um subespaço de X . Suponha que

L:W _−→Y seja um operador de Fredholm de índice zero e N :X _−→Y seja um operador

L-compacto emΩ, sendoΩum subconjunto aberto e limitado de X . Suponha, também, que as

seguintes condições sejam satisfeitas:

(i) Se x_∈∂Ω_∩W , então Lx₆=λNx, λ _∈(0,1), em que∂Ωdenota a fronteira deΩ;

(ii) Se x_∈∂Ω_∩Ker L, então QNx₆=0;

(iii) deg_{JQN,Ω_∩Ker L,0_{} 6}=0, JQN:Ker L_−→Ker L.

CAPÍTULO

2

Existência e unicidade de solução periódica

para EDFR’s impulsivas

2.1 Introdução

Neste capítulo, estabeleceremos condições que garantem existência de solução periódica

para uma classe de equações diferencias funcionais com retardo sujeitas a condições impulsivas.

Além disso, apresentaremos uma condição do tipo Lipschitz e uma condição sobre os momentos

de impulso que garantem unicidade de solução periódica.

Os momentos de impulso do problema que estudaremos constituirão uma sequência_{tk}k∈N

crescente e ilimitada de números reais positivos. Suporemos que existe uma constante T >0

tal que_{tk; k∈N} ∩[0,T] ={t1, . . .tm}e, para cada k∈N, tm+k=tk+T. Além disso,rserá

uma constante dada satisfazendo 0<r_≤T.

Dado um I intervalo real, uma função φ :I_−→Rserá dita regrada se, para cada_τ ponto

de acumulação à direita de I e para cada τ ponto de acumulação à esquerda deI, os limites

laterais limt_→τ+φ(t) e lim_t→τ−φ(t) existirem e forem finitos. Dessa forma, se a,b∈Rcom

a<b, então uma funçãoφ :[a,b]_−→Rserá dita regrada caso existam e sejam finitos ambos

os limites laterais

lim

t→τ−φ(t), para todoτ∈(a,b]

lim

t→τ+φ(t), para todoτ∈[a,b).

Dadosa,b_∈R com_a<b, denotaremos por_G([a,b],R₎o espaço de Banach constituído pelo

conjunto das funções regradasφ :[a,b]_−→Rmunido com a norma usual do supremo. Com a

notaçãoG−([a,b],R₎indicaremos o espaço das funções que pertencem a_G([a,b],R₎e que são

contínuas pela esquerda. Para o leitor interessado em mais detalhes sobre as funções regradas

recomendamos os trabalhos [13] e [17].

Dado um número realt _≥0 e uma função x:[₋r,+∞)_−→R, denotamos por _xt a função

real dada porxt(θ) =x(t+θ), θ ∈[−r,0]. As notaçõesx(t_k+)e∆x(tk)representarão,

respecti-vamente, o limite lim

t→t_k+

x(t)e a diferençax(t_k+)₋x(tk).

Nosso objeto de estudo será o problema

   

  

x′(t) = f(t,xt), t_≥0, t₆=tk, k∈N

∆x(tk) =I(tk,x(tk)), k_∈N_.

(2.1)

Neste problema, f :[0,+∞)_×G([₋r,0],R_)−→R é uma função _T-periódica na primeira

va-riável e, para cadax pertencente ao espaço vetorial G([₋r,+∞),R₎ que seja _T-periódica em

[0,+∞), a função[0,T]_∋t _7→ f(t,xt)pertence a G−([0,T],R). Além disso, I ∈C([0,+∞)×

R_,R₎.

Definição 2.1. Diremos que uma função x_∈G([₋r,+∞),R_{)é uma solução do problema (2.1),}

quando

(i) x for diferenciável em cada intervalo(0,t1]e(tk,tk+1], k∈N;

(ii) x satisfizer a igualdade x′(t) = f(t,xt), em cada ponto t_∈(0,+∞)_{\ {}tk; k∈N};

2.2 Existência de solução periódica 33

Diremos que uma solução do problema (2.1) é T -periódica, quando x(t) =x(t+T)para cada

t_≥0.

2.2 Existência de solução periódica

Nesta seção, nosso propósito é apresentar condições que garantam a existência de soluções

T-periódicas para o problema (2.1).

A seguir, apresentamos as hipóteses que, conforme mostraremos, garantem que o problema

(2.1) possui pelo menos uma soluçãoT-periódica e continuamente diferenciável nos intervalos

(0,t1],(tk,tk+1],k∈N.

Existe uma constante positivadtal que

(H1) Seϕ _∈G([₋r,0],R₎satisfizer_|ϕ(0_)|>d, então_ϕ(0_)f(t,ϕ)>0_{, t∈[}0_,T];

(H2) Se_|c_|>d, entãocI(tk,c)>0, k_{∈ {}1, . . .m_}.

Além disso,

(H3) Existe (c1, . . . ,cm)∈Rm satisfazendo

m

∑

ck|<1 e tal que|I(tk,c)| ≤ |ckc|, c∈R, k∈

{1, . . .m_};

O resultado principal dessa seção é o teorema seguinte.

Teorema 2.2. Se as condições(H1)a(H3)forem satisfeitas, então o problema (2.1) terá pelo

menos uma solução T -periódica continuamente diferenciável nos intervalos (0,t1],(tk,tk+1],

k_∈N_.

Visando utilizar o Teorema1.14para demonstrar o Teorema2.2, encontraremos uma equação

existên-cia de solução para tal equação possamos inferir que o problema (2.1) possui pelo menos uma

soluçãoT-periódica de classeC1nos intervalos(0,t1],(tk,tk+1],k∈N.

SejamX =G([0,T],R₎e_W o subespaço de_X formado pelas funções_x∈X que satisfazem

x(0) =x(T), que são continuamente diferenciáveis nos intervalos(0,t1],(t1,t2], . . . ,(tm,T]e os

limites lateraisx′(t_k+), k_{∈ {}1, . . . ,m_}existem e são finitos. Note queW não é completo e que,

de acordo com o Teorema 1.14, o domínio de L deve ser subespaço de um espaço completo.

Por essa razão foi que definimos o espaçoX, que é completo e contémW.

DefinaL:W _−→X_×Rm, pondo

Lx(t) =

     

    

(x′(t),(∆x(t1), . . . ,∆x(tm))), t∈(0,T]\ {t1, . . . ,tm}

(x′(t+),(∆x(t1), . . . ,∆x(tm))), t=0

(x′(t−),(∆_{x(t1), . . . ,}∆_x(tm))), t=tk, k_{∈ {}1, . . . ,m_}

(2.2)

e considere o operadorN:X _−→X_×Rm, dado por

Nx(t) = (f(t,xt),(I1(t1,x(t1)), . . . ,Im(tm,x(tm)))), t ≥0, (2.3)

sendo f e I as funções presentes no problema (3.1). Além disso, consideramos que x(s) =

x(s+T)para cadas_∈[₋r,0].

Note que se existir uma funçãox_∈W satisfazendo a igualdade

Lx=Nx, (2.4)

então a extensãoT-periódica de xa [₋r,+∞₎será continuamente diferenciável nos intervalos

(0,t1], (tk,tk+1], k∈Ne, de acordo com a Definição 2.1 e com as definições deL e de N, tal

extensão será solução para o problema (2.1).

2.2 Existência de solução periódica 35

as condições de(H1)a(H3)implicam que a equação (2.4) possui pelo menos uma solução.

Com os resultados que seguem, mostraremos que estão satisfeitas todas as hipóteses do

Teorema1.14, sendoLeNos operadores definidos em (2.2) e (2.3) respectivamente.

Lema 2.3. O operador L é um operador de Fredholm de índice zero.

Demonstração. Iniciamos a prova mostrando que vale a igualdade

Im L=_{(y,(a1. . . ,am))∈X×Rm; y(0+) =y(0)e

Z T

0 y(t)dt+

m

∑

ak=0}. (2.5)

De fato, seja(y,(a1, . . . ,am))∈X×Rmtal quey(0+) =y(0)e

Z T

0 y(t)dt+

m

∑

ak=0.

Considerex:[0,T]_−→Rdada por

x(t) =             

0, t=0

Z t

0 y(s)ds+

m

∑

ak, t_∈(0,T]_{\ {}t1, . . . ,tm}

x(t+)₋ak, t=tk, k_{∈ {}1, . . . ,m_}.

Entãox_∈W. Vejamos que

Lx= (y,(a1, . . . ,am)). (2.6)

Set_∈(0,T]_{\ {}t1, . . . ,tm}, entãox′(t) =y(t). Portanto,

Por outro lado, utilizando a definição dex, obtemos

Lx(0) = (x′(0+_),(∆x(t

1), . . . ,∆x(tm))) = (y(0+),(a1, . . . ,am))

= (y(0),(a1, . . . ,am)). (2.8)

Por fim, comoyé contínua pela esquerda, temos

x′(t_k−) = lim

t→t_k−

x′(t) = lim

t→t_k−

y(t) =y(tk) k∈ {1, . . . ,m}.

Assim, para cadak_{∈ {}1, . . . ,m_}, vale

Lx(tk) = (x′(tk−)(∆x(t1), . . .∆x(tm)))

= (y(tk)(a1. . . ,am)). (2.9)

As igualdades obtidas em (2.7), (2.8) e (2.9) implicam que vale a igualdade (2.6) e, portanto,

{(y,(a1. . . ,am))∈X×Rm; y(0+) =y(0)e

Z T

0 y(t)dt+

m

∑

ak=0} ⊂Im L.

Reciprocamente, seja (y,(a1, . . . ,am))∈Im L. Pela definição de L, existe x∈W tal que

2.2 Existência de solução periódica 37

forma,

Z T

0 y(t)dt = εlim→0+

Z t₁−ε

0 y(t)dt+εlim→0+

Z t₂−ε

t1+ε

y(t)dt+. . .+ lim ε→0+

Z T−ε

tm+ε

y(t)dt

= lim

ε→0+

Z t₁−ε

0 x

′_{(t)dt+ lim}

ε→0+

Z t₂−ε

t1+ε

x′(t)dt+. . .+ lim

ε→0+

Z T−ε

tm+ε

x′(t)dt

= [x(t₁−)₋x(0)] + [x(t₂−)₋x(t₁+)] +. . .+ [x(T−)₋x(t_m+)].

Comoxé contínua pela esquerda ex(0) =x(T), obtemos

Z T

0 y(t)dt = [x(t1)−x(0)] + [x(t2)−x(t

+

1 )] +. . .+ [x(T)−x(tm+)]

= ₋

m

∑

∆x(tk) =₋ m

∑

ak.

Além disso, comox′(0+) =y(0), então

y(0+) = lim

t→0+y(t) =_tlim_→0+x

′_{(t) =x}′₍₀+

) =y(0),

o que conclui a demonstração da igualdade (2.5).

Mostremos, agora, que Im Lé fechado em X_×Rm. Seja _{(yn_,(an_{1, . . . ,a}n_m))}n∈N uma se-quência emIm L que converge para (y,(a1, . . . ,am))∈X×Rm. Isto significa que yn−→ye

an_{k −→}ak, k_{∈ {}1, . . . ,m_}. Assim,yé contínua em zero e da igualdade (2.5) e da convergência

uniforme de_{yn_}ay, obtemos

Z T

0 y(t)dt =

Z T

0 n→lim+∞y

n_{(t)dt = lim}

n→+∞

Z T

0 y

n_{(t)dt =}

−_n→lim_+∞

m

∑

an_k =₋ m

∑

mostrando que(y,(a1, . . . ,am))∈Im L, como queríamos para concluir queIm Lé fechado em

X_×Rm.

Para finalizar a prova de queLé um operador de Fredholm de índice zero, resta mostrar que

dim Ker L=codim Im L<∞. Da definição deL, segue queKer Lpode ser identificado comR

e, portanto,dim Ker L=1.

Considere o operador linearQdado por

Q((x,(a1, . . . ,am))) = 1

T

Z T

0 x(t)dt+

1

T m

∑

ak,(0, . . . ,0)

, (x,(a1, . . . ,am))∈X×Rm.

Vejamos queQé um operador idempotente.

Q(Q((x,(a1, . . . ,am)))) =Q 1

T

Z T

0 x(t)dt+

1

T m

∑

ak,(0, . . . ,0)

=1

T Z T 0 h1 T Z T

0 x(s)ds+

1

T m

∑

ak

i

dt,(0, . . . ,0)

=1

T

Z T

0 x(t)dt+

1

T m

∑

ak,(0, . . . ,0)=Q(x,(a1, . . . ,am)). (2.10)

Vejamos agora que

Im Q_∩Ker Q=_{0_}. (2.11)

Seja

(y,(b1, . . . ,bm))∈Im Q∩Ker Q.

Como(y,(b1, . . . ,bm))∈Im Q, então existemx∈Xe(a1, . . . ,am)∈Rmtais quey=_T1R0Tx(t)dt+ 1

T ∑ m k=1ak e

2.2 Existência de solução periódica 39

Disso e do fato de que(y,(b1, . . . ,bm))∈Ker Q, obtemos

0= 1 T

Z T

0 y(t)dt+

1

T m

∑

bk=

1

T

Z T

0 y(t)dt =y. (2.13)

De (2.12) e (2.13), obtemos (2.11) e, consequentemente,

X_×Rm_{=Im Q⊕Ker Q.}

Disto, e do fato de queIm Q_{≃ {}(u,(0, . . . ,0)); u_∈R_}, podemos inferir que_{codim Ker Q=}1,

o que finaliza a demonstração, já que, pela igualdade obtida em (2.5),Im L=Ker Q.

Nosso objetivo, a seguir, será encontrar um aberto limitado Ω_⊂X que se enquadre nas

condições do Teorema1.14. Faremos isso mediante a obtenção de uma estimativa a priori para

soluçõesT-periódicas do problema

   

  

x′(t) =λf(t,xt), t ≥0, t6=tk, k∈N, λ ∈(0,1)

∆x(tk) =I(tk,x(tk)), k_∈N_.

(2.14)

Mais precisamente, após obter uma constante positiva D que majora as possíveis soluções

T-periódicas do problema (2.14), tomaremos Ω como o subconjunto de X constituído pelas

funções com norma menor queD.

Lema 2.4. Se as condições(H1)a(H3) forem satisfeitas, existirá uma constante positiva D,

independente deλ, tal que se x for solução T-periódica do problema (2.14), então_|x(t)_{| ≤}D,

qualquer que seja t_∈[0,T].

Demonstração. Suponha que se cumpram as condições(H1)a(H3)e que, fixadoλ _∈(0,1), o

existeτ_∈[0,T], satisfazendo

|x(τ)_{| ≤}d, (2.15)

sendod a constante presente nas hipóteses (H1) e (H2). De fato, suponha, por absurdo, que

|x(t)_|> d, para todo t _∈[0,T]. Então, em particular, _|x(0)_|> d. Se x(0)> d, então, pela

continuidade dexem[0,t1], teremosx(t)>dpara cadat∈[0,t1]. Além disso, comox(t1)>d,

então, pela hipótese(H2), I1(t1,x(t1))>0. Portanto, x(t1+) =x(t1) +I1(t1,x(t1))>d e, como

x é contínua em (t1,t2], então x(t)>d, para cada t ∈(t1,t2]. Seguindo com esse raciocínio,

concluímos que x(t)>d, qualquer que sejat _∈[0,T] ou, equivalentemente, xt(0)>d, para

cadat _∈[0,T]. Pela hipótese(H1), isso implica

f(t,xt)>0, t_∈[0,T]. (2.16)

Por outro lado, como para cadak_{∈ {}1, . . . ,m_}, x(tk)>d, então, pela hipótese(H2),

I(tk,x(tk))>0, k∈ {1, . . . ,m}. (2.17)

De (2.16) e (2.17), obtemos

λ Z T

0 f(t,xt)dt+

m

∑

I(tk,x(tk))>0. (2.18)

Do mesmo modo, podemos concluir que, sex(0)<₋d, então

λ Z T

0 f(t,xt)dt+

m

∑

I(tk,x(tk))<0. (2.19)

inte-2.2 Existência de solução periódica 41

grando de 0 aT ambos os membros da primeira igualdade do problema (2.14), obtemos

λ Z T

0 f(t,xt)dt =

Z T

0 x

′_{(t)dt =}h _lim

ε→0+

Z t₁−ε

0 x

′_{(t)dt+ lim}

ε→0+

Z t₂−ε

t1+ε

x′(t)dt+. . .+

+ lim

ε_→0+

Z tm−ε

tm−1+ε

x′(t)dt+ lim

ε_→0+

Z T−ε

tm+ε

x′(t)dti

= x(t₁−)₋x(0) +x(t₂−)₋x(t₁+) +. . .+x(T−)₋x(t_m+).

Assim, comoxé contínua pela esquerda ex(0) =x(T), temos

λ Z T

0 f(t,xt)dt =−

m

∑

I(tk,x(tk)).

Isso conclui a prova de que existeτ_∈[0,T]satisfazendo (2.15).

Comoxé contínua pela esquerda, podemos supor, sem perda de generalidade, queτ₆=ti,i=

1, . . . ,m. Fixet _∈(τ,T]e denote porti1, . . . ,tin os momentos de impulso entreτet. Então

Z t

τ x

′_{(s)ds = lim}

ε→0+

Z t_i

1−ε

τ x

′_{(s)ds+ lim}

ε→0+

Z t_i

2−ε

ti₁+ε

x′(s)ds+. . .+ lim

ε→0+

Z t−ε

t_in+εx

′_(s)ds

= x(t_i−₁)₋x(τ) +x(t_i−₂)₋x(t_i+₁) +. . .+x(t−)₋x(t_i+_n)

= x(ti1)−x(τ) +x(ti2)−x(ti+₁) +. . .+x(t)−x(ti+n)

= x(t)₋x(τ)₋

n

∑

Assim,

|x(t)_{| − |}x(τ)_{| ≤ |}x(t)₋x(τ)_|=

Z t τ x

′_(s)ds+

_∑

k=1

Ii_k(ti_k,x(ti_k))

≤ Z T

0 |x

′_(s)|ds+

_∑

k=1|

Iik(tik,x(tik))|,

o que, pela hipótese(H3), implica

|x(t)_{| − |}x(τ)_{| ≤}

Z T

0 |x

′_(s)|ds+

_∑

k=1|

c_k||x(tik)|

e, portanto,

|x(t)_≤

Z T

0 |x

′_(s)|ds+kxk ∞

m

∑

ck|+|x(τ)|.

Disto, da majoração obtida em (2.15), da primeira equação em (2.14) e do fato de queλ_∈(0,1),

resulta

|x(t)_{| ≤}

Z T

0 |f(s,xs)|ds+kxk∞

m

∑

ck|+d. (2.20)

Assim, fixandoR>0 tal que_|f(s,xs)_{| ≤}R,s_∈[0,T], obtemos

|x(t)_{| ≤}T R+_kx_k∞

m

∑

ck|+d. (2.21)

Daí, como tomamost_∈(τ,T]arbitrário, podemos escrever

|x(t)_{| ≤}T R+_kx_k∞

m

∑

ck|+d, t∈(τ,T]. (2.22)

Com o mesmo procedimento, é possível mostrar que

|x(t)_{| ≤}T R+_kx_k∞

m

∑

2.2 Existência de solução periódica 43

Isto e as expressões obtidas em (2.15) e (2.22) implicam

|x(t)_{| ≤}T R+_kx_k∞

m

∑

ck|+d, t∈[0,T].

Daí, como∑m_k=1|ck|<1, obtemos

kx_k∞≤D:=

T R+d

1₋∑m_k=1|ck| ,

finalizando a demonstração.

A seguir, exibiremos um conjunto aberto e limitado Ω_⊂ X tal que o operador N é L

-compacto no fecho de Ω, que representamos por Ω, e tal que se cumprem as condições (i)

a(iii)do Teorema1.14.

Suponha que se cumpram as condições(H1)até(H3). Pelo Lema2.4, existe uma constante

D>0 tal que sex_∈G([₋r,+∞),R₎for solução_T-periódica de (2.14), então_kxk∞≤D. Fixe

M>max_{D,d_}, sendo d a constante positiva presente nas hipóteses (H1) e(H2), e defina o

conjunto

Ω=_{x_∈X; _kx_k∞<M}. (2.23)

Considere os operadores idempotentesPeQdados por

P:x_7→ 1 T

Z T

0 x(t)dt, x∈X,

e

Q:(x,(a1, . . . ,am))7→ 1

T

Z T

0 x(t)dt+

1

T m

∑

ak,(0, . . . ,0), (x,(a1, . . . ,am))∈X×Rm.

operadoresPeQsatisfazem as igualdades dadas em (1.4).

Com os dois próximos resultados, mostraremos que o operadorNéL-compacto emΩ. Para

tanto, devemos mostrar queQN(Ω)é limitado e que o operadorL−_P1(I₋Q)N:Ω_−→W_∩Ker P

é compacto, sendoLP a restrição deLaKer P. Iniciamos mostrando que o conjuntoQN(Ω)é

limitado.

Lema 2.5. Se as condições(H1)a(H3)forem satisfeitas, então o conjunto QN(Ω₎será

limi-tado.

Demonstração. Primeiramente, note que as hipóteses (H1) a (H3) garantem a existência do

conjuntoΩ, como definido em (2.23). Seja x_∈Ω. Utilizando a norma do máximo_{k · k}max em

Rm+1e a hipótese_(H3₎, obtemos

kQNx_kmax = kQ(f(·,x·),(I1(t1,x(t1)), . . . ,I1(t1,x(t1))))kmax

=

1

T

Z T

0 f(s,xs)ds+

1

T m

∑

I(tk,x(tk)),(0, . . .0)

max = 1 T Z T

0 f(s,xs)ds+

m

∑

I(tk,x(tk))

≤ _T1

Z T

0 |f(s,xs)|ds+

1

T m

∑

I(tk,x(tk))_|

< R+M T

e a prova está completa.

Para finalizar a prova de que as hipóteses (H1) a (H3) implicam que o operador N é L

com-2.2 Existência de solução periódica 45

pacto. Com o intuito de encontrarL−_P1(I₋Q)N, passamos a buscar a expressão que define a

inversa da restrição deLao núcleo deP, a qual denotamos porL−_P1.

Seja(y,(a1, . . . ,am))∈Im LP, devemos encontrarx∈W∩Ker Ptal queLPx= (y,(a1, . . . ,am)),

ou seja,

(x′(t),(∆x(t1), . . .∆x(tm))) = (y(t),(a1, . . . ,am)), t∈[0,T]\ {t1, . . . ,tm} (2.24)

e

(x′(t_k−),(∆x(t1), . . .∆x(tm))) = (y(tk),(a1, . . . ,am)), k∈ {1, . . . ,m}. (2.25)

Observe que, se encontrarmosx_∈W_∩Ker Psatisfazendo (2.24), então, comoyé contínua

pela esquerda, teremos

x′(t_k−) = lim

t→t_k−

x′(t) = lim

t→t_k−

y(t) =y(tk), k∈ {1, . . . ,m},

ou seja, (2.24) implica (2.25). Assim, basta encontrarmosx_∈W_∩Ker Psatisfazendo (2.24).

Seja ˆx:[0,T]_−→Ruma função pertencente ao núcleo de_P, contínua pela esquerda,

dife-renciável em(0,T]_{\ {}t1, . . . ,tm}e tal que

ˆ

x′(t) =y(t), [0,T]_{\ {}t1, . . . ,tm} e ∆x(tˆ k) =ak, k∈ {1, . . . ,m}.

Encontremos a expressão que define ˆx. Fixet_∈[0,T]_{\ {}t1, . . . ,tm}e denote porlo número

de momentos de impulso anteriores at. Cabe salientar queldepende dete que, por economia de

que ˆxé contínua pela esquerda, obtemos

Z t

0 y(s)ds = εlim→0+

Z t₁−ε

0 xˆ

′_{(s)ds+ lim}

ε→0+

Z t₂−ε

t1+ε

ˆ

x′(s)ds+. . .+ lim

ε→0+

Z t

tl+ε ˆ

x′(s)ds

= [x(tˆ 1)−x(ˆ 0)] + [x(tˆ 2)−x(tˆ ₁+)] + [x(tˆ 3)−x(tˆ ₂+)] +. . .+ [x(t)ˆ −x(tˆ _l+)]

= x(t)ˆ ₋x(ˆ 0)₋

l

∑

∆x(tˆ k).

Dessa forma,

ˆ

x(t) =

Z t

0 y(s)ds+

l

∑

∆x(tˆ k) +x(ˆ 0)

=

Z t

0 y(s)ds+

l

∑

ak+x(ˆ 0). (2.26)

Agora, integrando de 0 aT ambos os membros da última igualdade e levando em conta que ˆx

pertence ao núcleo deP, obtemos

ˆ

x(0) = ₋1 T

Z T

0

Z t

0 y(s)dsdt−

1

T

Z T

0

l(t)

∑

akdt

= ₋1

T

Z T

0

Z t

0 y(s)dsdt−

m

∑

ak.

Disto e de (2.26), resulta

ˆ

x(t) =

Z t

0 y(s)ds−

1

T

Z T

0

Z τ

0 y(s)dsdτ+

l

∑

ak− m

∑

ak. (2.27)

A seguir, passamos a analizar as três seguintes possibilidades: t_∈[0,t1), t∈(t1,tm)et ∈

2.2 Existência de solução periódica 47

Set_∈[0,t1), entãol=0 e a expressão obtida em (2.27) se reduz a

ˆ

x(t) =

Z t

0 y(s)ds−

1

T

Z T

0

Z τ

0 y(s)dsdτ−

m

∑

ak. (2.28)

Set_∈(t1,tm), então 1≤l≤m−1 e obtemos, a partir da igualdade (2.27), a expressão

ˆ

x(t) =

Z t

0 y(s)ds−

1

T

Z T

0

Z τ

0 y(s)dsdτ−

m

∑

ak. (2.29)

Note que, ao supormos t _∈(t1,tm), estamos supondo m >1. Por outro lado, observando a

expressão obtida em (2.27), notamos que sem=1, então

ˆ

x(t) =

Z t

0 y(s)ds−

1

T

Z T

0

Z τ

0 y(s)dsdτ, (2.30)

que é também a expressão para ˆxnos pontost_∈(tm,T], param_≥1, caso em quel=m.

Como tomamost_∈[0,T]_{\ {}t1, . . . ,tm}arbitrário, então, das expressões obtidas em (2.28) a

(2.30), podemos concluir que

ˆ

x(t) =

Z t

0 y(s)ds−

1

T

Z T

0

Z τ

0 y(s)dsdτ−

m

∑

ak, t_∈[0,T]_{\ {}t1, . . . ,tm}, (2.31)

sendo nulo o somatório acima quandol=m.

Isso nos motiva a definir a função

x(t) =

Z t

0 y(s)ds−

1

T

Z T

0

Z τ

0 y(s)dsdτ−

m

∑

ak, t_∈[0,T]. (2.32)

Então, de (2.31), obtemos

Vejamos quex(t_i+)₋x(ti) =ai,i∈ {1, . . . ,m}. Fixei∈ {1, . . . ,m}. Para cadat>ti

suficiente-mente próximo deti, o número de momentos de impulso anteriores atél(t) =i. Então,

x(t_i+) = lim

t→t_i+

x(t) = lim

t→t_i+

hZ t

0 y(s)ds−

1

T

Z T

0

Z τ

0 y(s)dsdτ−

m

∑

ak

i

=

Z t_i

0 y(s)ds−

1

T

Z T

0

Z τ

0 y(s)dsdτ−

m

∑

ak.

Por outro lado,

x(ti) =

Z t_i

0 y(s)ds−

1

T

Z T

0

Z τ

0 y(s)dsdτ−

m

∑

ak.

Assim,

x(t_i+)₋x(ti) =ai, (2.34)

como queríamos.

Além disso, comol(t) =mpara cadat_∈(tm,T], então

Z T

0 x(t)dt =

Z T

0

Z t

0 y(s)dsdt−

1 T Z T 0 Z T 0 Z τ

0 y(s)dsdτdt−

Z T

0

m

∑

akdt

=

Z T

0

Z t

0 y(s)dsdt−

Z T

0

Z τ

0 y(s)dsdτ=0. (2.35)

As igualdades obtidas em (2.33) a (2.35) nos permitem concluir que a funçãox_∈W_∩Ker P,

que buscamos, satisfazendo (2.25), é a funçãox definida em (2.32). Dessa forma, podemos

concluir que, para cadat_∈[0,T], temos

L−_p1(y,(a1, . . . ,am))(t) =x(t) =

Z t

0 y(s)ds−

1

T

Z T

0

Z τ

0 y(s)dsdτ−

m

∑

ak. (2.36)

opera-2.2 Existência de solução periódica 49

dor é compacto no fechoΩdeΩ. Usando as expressões que definemN eP, obtemos

L−_P1(I₋Q)Nx=L−_P1(I₋Q)(f(_·,x_·),(I1(t1,x(t1)), . . . ,Im(tm,x(tm))) =

=L−_P1f(_·,x_·)₋ 1

T

Z T

0 f(w,xw)dw−

1

T m

∑

I(tk,x(tk)),

(I1(t1,x(t1), . . . ,Im(tm,x(tm))))

.

Assim, pela expressão paraL−_P1, obtida em (2.36), temos

L−_P1(I₋Q)Nx(t) =

Z t

0 f(s,xs)ds−

t T

Z T

0 f(w,xw)dw−

t T

m

∑

I(tk,x(tk))

−1

T

Z T

0

Z τ

0 f(s,xs)dsdτ+

1 T2 Z T 0 Z τ 0 Z T

0 f(w,xw)dwdsdτ

−

m

∑

I(tk,x(tk)) + 1 T2

m

∑

I(tk,x(tk))

Z T

0

Z τ

0 dsdτ,

sendol(t)o número de momentos de impulso anteriores at. Assim,

L−_P1(I₋Q)Nx(t) =

Z t

0 f(s,xs)ds−

t T

Z T

0 f(s,xs)ds−

t T

m

∑

I(tk,x(tk))

− 1

T

Z T

0

Z τ

0 f(s,xs)dsdτ+

1 2

Z T

0 f(s,xs)ds+

1 2

m

∑

I(tk,x(tk))− m

∑

I(tk,x(tk)). (2.37)

Para provar que o operador L−_P1(I₋Q)N é compacto, e assim finalizarmos a prova de que

N éL-compacto emΩ, necessitamos expor o conceito de espaço equirregrado.

Definição 2.6. Sejam a,b_∈R _{tais que a<b. Diremos que um conjunto E⊂G([a,b],}R_)tem

limites laterais uniformes num pontoξ _∈[a,b]se, para cadaε>0, existirδ >0tal que para

cada y_∈E, valerem as implicações seguintes:

(ii) Se t _∈[a,b]eξ₋δ <t<ξ, então_|y(t)₋y(ξ−)_|<ε.

Um conjunto E _⊂ G([a,b],R_{) será chamado de equirregrado, quando tiver limites laterais}

uniformes em todos os pontosτ _∈[a,b].

O próximo resultado será importante na demonstração de que o operador L−_P1(I₋Q)N é

compacto.

Lema 2.7. Um conjunto E _⊂G([a,b],R_{) será relativamente compacto se, e somente se, for}

equirregrado e, para cada t_∈[a,b], o conjunto_{y(t); y_∈E_}for limitado emR_.

Demonstração. Ver [13].

Juntamente com o Lema2.5, o próximo resultado implica que, se as condições(H1)a(H3)

forem satisfeitas, então o operadorNseráL-compacto emΩ.

Lema 2.8. Se as condições (H1) a (H3) forem satisfeitas, então o operador L−_P1(I₋Q)N :

Ω_−→W_∩Ker P será compacto.

Demonstração. Suponha que as condições (H1) até (H3) sejam satisfeitas. Pelo Lema 2.4,

existe o conjuntoΩdefinido em (2.23). SejaΛ_⊂Ω. Para provar o resultado enunciado devemos

mostrar que o conjuntoE=L−_P1(I₋Q)N(Λ)é relativamente compacto. Para tanto, utilizaremos

o Lema2.7.

Iniciamos mostrando queE é equirregular. Fixe ξ _∈[0,T]eε >0. Devemos mostrar que

existeδ >0 tal que para caday_∈E as condições seguintes sejam satisfeitas:

t_∈[0,T], ξ <t <ξ+δ =_{⇒ |}y(t)₋y(ξ+)_|<ε (2.38)

e