Existência de soluções quase automórficas para equações diferenciais abstratas

(1)

Janaina Pedroso Zanchetta

Existˆ

encia de solu¸

c˜

oes quase autom´

orficas para

equa¸

c˜

oes diferenciais abstratas

(2)

Existência de solu¸cões quase automórficas para equa¸cões diferenciais abstratas

Disserta¸cão apresentada para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática, área de Equa¸cões Diferenciais Parciais, junto ao Programa de Pós Gradua¸cão em Matemática do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus São José do Rio Preto.

Orientadora: Profa. Dra. Andr´ea Cristina Prokopczyk Arita

(3)

Fichi citilográfici eliboridi peli Biblioteci do IBILCE UNESP - Câmpus de São José do Rio Preto Zinchetti, Jiniini Pedroso.

Existêncii de soluções quise iutomórﬁcis piri equições diferenciiis ibstritis / Jiniini Pedroso Zinchetti. -- São José do Rio Preto, 2015

91 f. : il.

Orientidor: Andréi Cristini Prokopczyk Ariti

Dissertição (mestrido) – Universidide Estiduil Piulisti “Júlio de Mesquiti Filho”, Instituto de Biociênciis, Letris e Ciênciis Exitis

1. Mitemátici. 2. Equições diferenciiis. 3. Funções quise periódicis. 4. Semigrupos. 5. Binich, Espiços de. I. Ariti, Andréi Cristini Prokopczyk. II. Universidide Estiduil Piulisti "Júlio de Mesquiti Filho". Instituto de Biociênciis, Letris e Ciênciis Exitis. III. Título.

(4)

Existência de solu¸cões quase automórficas para equa¸cões diferenciais abstratas

Disserta¸cão apresentada para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática, área de Equa¸cões Diferenciais Parciais, junto ao Programa de Pós Gradua¸cão em Matemática do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus São José do Rio Preto.

BANCA EXAMINADORA

Profa. Dra. Andr´ea Cristina Prokopczyk Arita Professora Assistente Doutora

UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto Orientadora

Profa. Dra. Juliana Concei¸c˜ao Precioso Pereira Professora Assistente Doutora

UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto

Prof. Dr. Luis Antˆonio Fernandes de Oliveira Professor Assistente Doutor

UNESP - Ilha Solteira

(5)

`

(6)

Agradecimentos

Agrade¸co a Deus por ter me dado a for¸ca necess´aria para chegar at´e aqui.

Agrade¸co a toda minha fam´ılia pelo apoio e incentivo. Aos meus pais por todo amor e cuidado e aos meus irm˜aos por serem meus exemplos de garra e determina¸c˜ao.

Ao meu namorado Felipe Magalh˜aes de Aguiar, por estar sempre ao meu lado e por todo amor e carinho ao longo desta trajet´oria.

`

A Profa. Dra. Andréa Cristina Prokopczyk Arita, por aceitar me orientar neste trabalho, pela paciência durante os seminários, por toda dedica¸cão, ajuda e amizade ao longo deste percurso.

Aos meus professores de gradua¸cão e pós gradua¸cão, pelos ensinamentos e experiências compartilhadas. Em especial, ao Prof. Dr. Luis Antônio Fernandes de Oliveira, que me acompanha desde a inicia¸cão cient´ıfica com tamanha sabedoria, confian¸ca e amizade.

Aos professores Juliana e Luis por aceitarem compor a banca examinadora.

Aos meus amigos de Ilha Solteira que, mesmo distantes, sempre me apoiaram e às minhas queridas amigas, Janaina Buzo, Marceli e Natália pelos anos de companheirismo. Ao carinho e amizade dos meus amigos de gradua¸cão: Cristina, Jéssica, Neuterlândio, Paulo, Sibeli, Silmara e Thays, que mesmo longe fizeram a diferen¸ca nesta jornada. Aos amigos que fiz e aos que reencontrei em São José do Rio Preto durante o mestrado, por tornarem esta trajetória mais leve. Em especial, aos meus amigos, Fernando, Flávio, Lu´ıs Carlos, Giane, Mariana e Robson, pelos ótimos momentos juntos e por toda paciência e ajuda durante este per´ıodo.

`

As minhas companheiras de rep´ublica Mariana e Mayra por tornarem a minha estadia fora de casa mais alegre, os momentos compartilhados foram incr´ıveis.

`

(7)

“O único homem que está isento de erros, é aquele que não arrisca acertar.”

(8)

Resumo

Neste trabalho, estudaremos a existência e a unicidade de solu¸cão fraca quase automórfica para a equa¸cão diferencial abstrata semi-linear dada por

x′(t) =Ax(t) +f(t, x(t)), t∈R_,

onde A ´e o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo exponencialmente est´avel em um

espa¸co de Banach.

(9)

Abstract

In this work, we study the existence and uniqueness of an almost automorphic mild solution to the semilinear abstract differential equation given by

x′(t) =Ax(t) +f(t, x(t)), t∈R_,

whereAis the infinitesimal generator of an exponentially stable C0-semigroup in a Banach space.

(10)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 10

1 Semigrupos de operadores lineares limitados 12

1.1 Semigrupos uniformemente cont´ınuos de operadores lineares limitados . . . 12 1.2 Semigrupos fortemente cont´ınuos de operadores lineares limitados . . . 22 1.3 O Teorema de Hille-Yosida . . . 33

2 Problema de Cauchy abstrato 48

2.1 Problema de valor inicial homogêneo . . . 48 2.2 Problema de valor inicial não homogêneo . . . 51 2.3 O Problema semi-linear . . . 58

3 Existência e unicidade de solu¸cões fracas quase automórficas para equa¸cões

diferenciais abstratas semi-lineares 62

3.1 Fun¸cões quase automórficas . . . 62 3.2 Solu¸cões fracas quase automórficas para equa¸cões diferenciais abstratas semi-lineares . 74

A Resultados Auxiliares 88

(11)

Introdu¸c˜

ao

O comportamento de solu¸cões de equa¸cões diferenciais abstratas tem se mostrado um tópico muito atrativo de pesquisa matemática, o que se nota pelo grande número de trabalhos publicados sobre o assunto, como por exemplo [2], [5], [8], [10], [11] e [13]. Tal fato deve-se à imensa aplicabilidade desses temas que, em geral, modelam situa¸cões reais que aparecem na f´ısica, biologia e engenharia.

Neste trabalho, estudaremos a existência e a unicidade de solu¸cão fraca quase automórfica para a equa¸cão diferencial semi-linear dada por

x′(t) =Ax(t) +f(t, x(t)), t_∈R_, ₍₁₎

onde A ´e o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo exponencialmente est´avel em um espa¸co de

Banach.

A ferramenta principal que utilizaremos para tal estudo é a teoria de semigrupos de operadores lineares limitados. Esta teoria teve in´ıcio na primeira metade do século XX, se destacando em 1948 com a generaliza¸cão do Teorema de Hille-Yosida e tendo seu ápice com a edi¸cão do livro “Semigroups and Functional Analysys” por E. Hille e R.S Philips.

Além disso, utilizaremos também o estudo de algumas propriedades da classe das fun¸cões quase automórficas. Esta classe de fun¸cões foi introduzida na literatura por S. Bochner no in´ıcio dos anos 60. Segundo Bochner, as fun¸cões quase automórficas apareceram de forma natural em seus trabalhos sobre geometria diferencial e, do ponto de vista estrutural, receberam aten¸cão especial por serem uma generaliza¸cão imediata das fun¸cões quase periódicas, que foram definidas por H. Bohr no in´ıcio dos anos 20 para fun¸cões a valores numéricos e, mais tarde, estendidas por Bochner para fun¸cões com valores em um espa¸co métrico.

Desta forma, esta disserta¸cão está dividida em três cap´ıtulos. No primeiro cap´ıtulo, estudamos alguns resultados clássicos da teoria de semigrupos de operadores lineares limitados em espa¸cos de Banach. Mais especificamente, na se¸cão 1.1 apresentamos os semigrupos uniformemente cont´ınuos, na

(12)

se¸cão 1.2, os semigrupos fortemente cont´ınuos e na se¸cão 1.3 nos dedicamos ao estudo do Teorema de Hille-Yosida para o caso de semigrupos de contra¸cões. Este teorema é importante pois caracteriza quando um operador linear é o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente cont´ınuo.

No cap´ıtulo 2, estudamos o problema de Cauchy abstrato. Primeiramente, na se¸cão 2.1, consideramos o problema de Cauchy homogêneo. Posteriormente, nas se¸cões 2.2 e 2.3, consideramos o problema de Cauchy não homogêneo e o problema semi-linear, respectivamente.

No último cap´ıtulo, baseados em [16], mostramos a existência e a unicidade de solu¸cão fraca quase automórfica para uma classe de equa¸cões diferenciais abstratas. Para isso, na se¸cão 3.1, apresentamos as fun¸cões quase automórficas e estudamos suas propriedades básicas. Já na se¸cão 3.2, primeiramente provamos a existência e a unicidade de solu¸cão fraca quase automórfica para a equa¸cão diferencial

x′(t) =Ax(t) +f(t), t∈R_,

ondeAé o gerador infinitesimal de umC0-semigrupo exponencialmente estável efé quase automórfica.

Em seguida, consideramos a equa¸cão (1), onde A tem a mesma propriedade acima, e provamos, sob certas propriedades def, a existência e a unicidade de uma solu¸cão fraca quase automórfica para esta equa¸cão.

(13)

Cap´ıtulo

1 Semigrupos de operadores lineares limitados

Neste cap´ıtulo estudaremos os principais resultados da Teoria de semigrupos de operadores lineares limitados. Para isso, fixemos um espa¸co de Banach X, munido da norma k.k.

Denotemos por _L(X) o conjunto de todos os operadores lineares limitados de X emX.

1.1 Semigrupos uniformemente cont´ınuos de operadores lineares limitados

Defini¸cão 1.1. Uma fam´ılia a um parâmetro (T(t))t_≥0, de operadores lineares limitados em X, é um semigrupo se:

(i) T(0) =I, onde I denota o operador identidade em X;

(ii) T(t+s) =T(t)T(s), para todo t, s∈[0,+∞).

Defini¸c˜ao 1.2. Um semigrupo (T(t))t≥0 de operadores lineares limitados em X ´e uniformemente cont´ınuo se

lim

t_→0+kT(t)−Ik= 0.

Note que o limite acima nos diz que a fun¸cão t7→T(t),de [0,+∞) emL(X),é cont´ınua à direita em t = 0. Além disso, quando (T(t))t_≥0 é uniformemente cont´ınuo, obtemos a continuidade desta

fun¸c˜ao `a direita para todo t∈[0,+∞).

De fato, dados t_∈[0,+_∞) eh >0,temos lim

h→0+kT(t+h)−T(t)k = _hlim_→₀+kT(t)T(h)−T(t)k

= lim

h→0+kT(t)(T(h)−I)k

(14)

≤ lim

h→0+kT(t)kkT(h)−Ik

= _kT(t)_k lim

h→0+kT(h)−Ik= 0.

Mais adiante, veremos que a continuidade à esquerda desta fun¸cão também é válida.

Defini¸c˜ao 1.3. O operador A:D(A)_⊂X _→X definido por

Ax= lim

t_→0+

T(t)x₋x

t , quando x∈D(A) ={x∈X; limt_→0+

T(t)x₋x

t existe},

´e o gerador infinitesimal do semigrupo(T(t))t≥0.

Observa¸c˜oes:

(i) D(A)₆=_∅ e D(A) ´e um subespa¸co vetorial de X.

De fato, 0_∈D(A),pois 0_∈Xe lim

t→0+

T(t)0₋0

t = 0.Al´em disso, sejamxey pertencentes aD(A).

Assim (x+y)_∈X e lim

t_→0+

T(t)(x+y)−(x+y)

t = tlim_→0+

T(t)x+T(t)y−x−y t

= lim

t_→0+

T(t)x₋x

t + limt_→0+

T(t)y₋y t .

Como os limites acima existem, segue que (x+y)∈D(A).Finalmente, dados x∈D(A) e α∈C_,

temosαx_∈X e lim

t→0+

T(t)(αx)₋αx

t = tlim→0+

αT(t)x₋αx t

= lim

t→0+

α(T(t)x₋x)

t =αt→lim0+

T(t)x₋x t .

Visto que o limite acima existe, segue queαx_∈D(A).Logo,D(A) ´e um subespa¸co vetorial deX.

(ii) Se tomarmos f : [0,+∞)→X definida por f(t) =T(t)x, temos

Ax= lim

t_→0+

f(t)−f(0)

t =f

′ +(0) =

d+

dt(T(t))x

_t₌₀, para x∈D(A),

ondef₊′ (0) denota a derivada `a direita def no pontot= 0.

O próximo resultado nos fornece uma condi¸cão necessária e suficiente para que um operador linear

(15)

1.1 Semigrupos uniformemente cont´ınuos de operadores lineares limitados 14

Teorema 1.4. Um operador linear A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo uniformemente cont´ınuo se, e somente se, A ´e um operador linear limitado em X.

Demonstra¸c˜ao. Suponha inicialmente que A : X _→ X ´e um operador linear limitado e considere a fam´ılia

T(t) =eAt=

∞

X

n=0

tn_An

n! , t≥0.

Vamos mostrar que (T(t))t≥0 ´e um semigrupo uniformemente cont´ınuo com gerador infinitesimal

A. Antes, por´em, note que (T(t))t_≥0 est´a bem definido pois,

∞ X n=0

tn_An

n! ≤ ∞ X n=0

tn_An

n! = ∞ X n=0

tn_k_An_k

n! ≤

∞

X

n=0

tn_k_A_kn

n! =e

t_kA_k _<₊

∞, _∀t_≥0.

Agora vamos mostrar que:

(1) T(t)_{∈ L}(X), _∀t_≥0.

De fato, seja

sk = k

X

n=0

tn_An

n! , k∈N.

Observe quesk∈ L(X),para todok∈N. Al´em disso, para k, m∈N, comk < m, temos

ksm−skk=

m X n=0

tn_An

n! −

k

X

n=0

tn_An

n! = m X

n=k+1

tn_An

n! ≤ m X

n=k+1

tn_k_An_k

n! ≤

∞

X

n=k+1

tn_k_A_kn

n! .

Dessa forma, como

∞

X

n=0

tn_k_A_kn

n! = e

t_kA_k_, _dado _{ε >} ₀_, _existe _n

0 ∈ N tal que ∞

X

n=n0+1

tn_k_A_kn

n! < ε. Logo, se k, m_≥n0,ent˜ao

ksm−skk ≤

∞

X

n=k+1

tn_k_A_kn

n! ≤

∞

X

n=n0+1

tn_k_A_kn

n! < ε,

o que implica que (sk)k_∈N é uma sequência de Cauchy em L(X) e assim, uma vez que X é um

espa¸co de Banach, _L(X) também é um espa¸co de Banach e portanto, (sk)k_∈N é convergente, com

lim

k_→∞sk=s∈ L(X),onde

s=

∞

X

n=0

tn_An

n =T(t).

Portanto, T(t)_{∈ L}(X),para todot_≥0.

(2) (T(t))t_≥0 ´e um semigrupo.

(16)

(i) T(0) =I+

∞

X

n=1

0n_An

n! =I+ 0A+ 02A2

2! +...=I.

(ii) Sejam t, s_∈[0,+_∞), T(t+s) =

∞

X

n=0

(t+s)n_An

n!

= I+ (t+s)A+(t+s)

2_A2

2! +

(t+s)3A3

3! +

(t+s)4A4

4! +... = I+tA+sA+t

2_A2

2! + 2tsA2

2! +

s2A2

2! +

t3A3

3! +

3!t2sA3

2! 3! +

3! ts2A3

2! 3! +

s3A3

3! +... = I+tA

I+sA+s

2_A2

2! +

s3A3

3! +...

+ t

2_A2

2!

I+sA+s

2_A2

2! +...

+t

3_A3

3! (I+sA+...) +...+

sA+s

2_A2

2! +

s3_A3

3! +...

= I+tAT(s) +t

2_A2_T₍_s₎

2! +

t3_A3_T₍_s₎

3! +...+

sA+ s

2_A2

2! +

s3_A3

3! +...

= tAT(s) +t

2_A2_T₍_s₎

2! +

t3A3T(s)

3! +...+T(s) =

I+tA+t

2_A2

2! +

t3A3

3! +...

T(s) = T(t)T(s).

(3) (T(t))t≥0 ´e uniformemente cont´ınuo.

Para provarmos este fato, observe que

T(t)₋I =

∞

X

n=0

tn_An

n! −I =

∞

X

n=1

tn_An

n! =tA

∞

X

n=1

tn−1_An−1

n!

!

.

Assim,

kT(t)₋I_k=

tA ∞ X n=1

tn₋1_An₋1

n!

!

≤tkAk

∞

X

n=1

tn₋1_k_A_kn₋1

n!

!

≤t_kA_k

∞

X

n=0

tn_k_A_kn

n!

!

=t_kA_ketkAk

e ent˜ao,

lim

t→0+kT(t)−Ik ≤_t_→lim₀+tkAke

t_kA_k _{= 0}_.

Portanto, (T(t))t_≥0 ´e uniformemente cont´ınuo. (4) A´e o gerador infinitesimal de (T(t))t≥0.

Note que,

T(t)₋I

t −A =

1

t

∞

X

n=1

tn_An

n!

!

−A=A

∞

X

n=1

tn−1_An−1

n!

!

(17)

= A

∞

X

n=0

tn_An

(n+ 1)!

!

−A=A

" _∞ X

n=0

tn_An

(n+ 1)!

! −I # . Assim,

T(t)−I t −A

≤ kAk ∞ X n=0

tnAn

(n+ 1)! −I

=kAk

∞ X n=1

tnAn

(n+ 1)!

≤ kAk

∞

X

n=1

tnkAkn

(n+ 1)!

!

≤ kA_k

∞

X

n=1

tn_k_A_kn

n!

!

=_kA_k(etkAk₋1).

Logo,

lim

t→0+

T(t)₋I t −A

≤tlim→0+kAk(e

t_kA_k

−1) = 0,

isto ´e,A= lim

t→0+

T(t)₋I

t e, uma vez que essa convergˆencia ´e em L(X),temos, em particular, que Ax= lim

t→0+

T(t)x₋x

t , para todox∈X.

Portanto, D(A) =X e A´e o gerador infinitesimal de (T(t))t_≥0.

Consequentemente, segue de (1) - (4) que (T(t))t≥0 ´e um semigrupo uniformemente cont´ınuo com

gerador infinitesimal igual aA.

Reciprocamente, suponhamos que A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de operadores lineares limitados uniformemente cont´ınuo (T(t))t_≥0 e vamos mostrar que A´e limitado.

Pela continuidade uniforme de (T(t))t≥0, dadoε > 0, existe δ > 0 tal que kT(t)−Ik < ε, para

todo 0< t < δ.Assim,

1 t Z t 0

T(s)ds₋I

= 1 t Z t 0

T(s)ds₋1 t Z t 0 Ids = 1 t Z t 0

(T(s)−I)ds

≤ 1_t

Z t

0 k

T(s)₋I_kds

≤ 1

t

Z t

0

ε ds=ε,

para 0< t < δ.

Dessa forma, tomando ε = 1

2, existe ρ > 0, com 0 < ρ < δ, tal que

1 ρ Z ρ 0

T(s)ds₋I

< 1 e

ent˜ao, tomandoG=₋1

ρ

Z ρ

0

T(s)ds+I no Teorema A.2, segue que I₋G= 1

ρ

Z ρ

0

(18)

limitada. Al´em disso, para 0< h < ρ,

T(h)₋I h

Z ρ

0

T(s)ds

= 1

h

Z ρ

0

(T(h)₋I)T(s)ds

= 1

h

Z ρ

0

T(h)T(s)ds−

Z ρ

0

T(s)ds

= 1

h

Z ρ

0

T(h+s)₋

Z ρ

0

T(s)ds

= 1

h

Z ρ+h

h

T(s)ds₋

Z ρ

0

T(s)ds

= 1

h

Z ρ

h

T(s)ds+

Z ρ+h

ρ

T(s)ds

−

Z h

0

T(s)ds+

Z ρ

h

T(s)ds

= 1

h

Z ρ+h

ρ

T(s)ds−

Z h

0

T(s)ds

.

Logo,

lim

h→0+

T(h)−I h

Z p

0

T(s)ds

= lim

h→0+

1

h

Z ρ+h

ρ

T(s)ds₋

Z h

0

T(s)ds

= lim

h_→0+

1

h

Z ρ+h

ρ

T(s)ds

| {z }

L1

− lim

h_→0+

1

h

Z h

0

T(s)ds

| {z }

L2

.

Observe que

L2 = lim

h→0+

1

h

Z h

0

T(s)ds

=I, pois 1 h Z h 0

T(s)ds−I

≤ 1 h Z h 0 k

T(s)−Ikds≤ 1

h

Z h

0

ε ds=ε,

visto que 0< h < δ,e

L1= lim

h→0+

1

h

Z ρ+h

ρ

T(s)ds = lim

h→0+

1

h

Z h

0

T(s+ρ)ds= lim

h→0+

T(ρ)1

h

Z h

0

T(s)ds

= T(ρ) lim

h_→0+

1

h

Z h

0

T(s)ds

=T(ρ).

Sendo assim,

lim

h_→0+

T(h)₋I h

Z ρ

0

T(s)ds

=T(ρ)−I,

isto ´e,

A

Z p

0

T(s)ds

= lim

h→0+

T(h)₋I h

Z ρ

0

T(s)ds

(19)

Portanto,

A= (T(ρ)−I)

Z ρ

0

T(s)ds

−1

e, como o lado direito da igualdade acima ´e limitado, segue queA´e limitado.

Proposi¸cão 1.5. Se (T(t))t_≥0 é um semigrupo de operadores lineares limitados uniformemente cont´ınuo, então a fun¸cão t_7→T(t) é cont´ınua em[0,+_∞).

Demonstra¸cão. Já vimos que essa fun¸cão é cont´ınua à direita de t parat_≥0.Agora, vamos mostrar que ela também é cont´ınua à esquerda para t >0.

Sejat >0. Primeiramente mostraremos que _kT(s)_k´e limitada em [0, t+ 1].

Pela continuidade uniforme de (T(t))t≥0,existe δ >0 tal que

kT(s)−Ik<1, ∀s∈[0, δ].

Logo,

kT(s)_{k ≤ k}T(s)₋I_k+_kI_k<1 + 1 = 2, _∀s_∈[0, δ].

Seja n o primeiro n´umero natural tal que t+ 1 < nδ. Assim, se s _∈ [0, t+ 1], ent˜ao s =kδ+ξ,

ondek_∈[0, n] e ξ_∈[0, δ],e

kT(s)_k=_kT(kδ+ξ)_k=_kT(kδ)T(ξ)_{k ≤ k}T(δ)...T(δ)

| {z }

Kvezes

kkT(ξ)_{k ≤ k}T(δ)_kk_kT(ξ)_k<2k2 = 2k+1_≤2n+1,

ou seja, temos _kT(s)_{k ≤}2n+1_,_∀_s_∈_[0_{, t}_{+ 1]}_.

Agora, seja h >0 tal que h < t.Dessa forma, temos

0< t₋h_≤t < t+ 1.

Assim,

lim

h_→0+kT(t−h)−T(t)k= lim_h

→0+kT(t−h)−T(t−h+h)k = _hlim

→0+kT(t−h)−T(t−h)T(h)k

≤ lim

h→0+kT(t−h)kkI−T(h)k

≤ lim

h→0+2

n+1_k_I₋_T₍_h₎_k_{= 0}_,

pois, da continuidade uniforme de (T(t))t≥0, lim

h_→0+kT(h)−Ik = 0. Portanto, segue que t 7→ T(t) ´e

(20)

No teorema a seguir, garantiremos a unicidade de um semigrupo uniformemente cont´ınuo com rela¸c˜ao ao seu gerador infinitesimal.

Teorema 1.6. Sejam (T(t))t≥0 e(S(t))t≥0 semigrupos uniformemente cont´ınuos. Se

lim

t_→0+

T(t)−I

t =A= limt_→0+

S(t)−I t ,

ent˜ao T(t) =S(t), para todot_≥0.

Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar que, dadoT >0, S(t) =T(t),para 0_≤t_≤T.

Seja T > 0. Como (T(t))t≥0 e (S(t))t≥0 s˜ao semigrupos uniformemente cont´ınuos, as fun¸c˜oes

t _7→ T(t) e t _7→ S(t) são cont´ınuas em [0,+_∞). Além disso, visto que a fun¸cão t _{7→ k}t_k também é cont´ınua, obtemos que as fun¸cões t _{7→ k}T(t)_k e t _{7→ k}S(t)_k são cont´ınuas em [0,+_∞). Assim, como [0, T] é compacto, existem constantes positivasK1 eK2 tais que

kT(t)_{k ≤}K1, ∀t∈[0, T], e kS(t)k ≤K2, ∀t∈[0, T].

Dessa forma, se K =K1K2,temos

kT(t)_kkS(s)_{k ≤}K, _∀t, s_∈[0, T].

Mais ainda, da hip´otese do teorema, dado ε >0 qualquer, existemδ1, δ2>0 tais que

T(h)₋I h −A

≤

ε

2T K, ∀0< t < δ1,

e

S(h)₋I h −A

≤

ε

2T K, ∀ 0< t < δ2.

Logo, tomando δ=min_{δ1, δ2}e 0< t < δ, segue que ambas as desigualdades acima s˜ao v´alidas.

Assim, se 0< t < δ,

T(t)

t − S(t)

t =

T(t)

t − I

t −A+ I

t +A− S(t)

t =

T(t)₋I t −A

−

S(t)₋I t −A

≤

T(t)₋I t −A

+

S(t)₋I t −A

≤ ₂_{T K}ε + ε 2T K =

(21)

ou seja, _kT(t)₋S(t)_{k ≤} ε

T Kt, se 0< t < δ.

Agora, dado t∈[0, T],tomemosn >0 tal que t

n < δ.Assim,

kT(t)₋S(t)_k =

T nt n −S nt n = T nt n

S(0)₋T

(n₋1)t

n S t n +T

(n₋1)t

n S t n −T

(n₋2)t

n S 2t n +T

(n₋2)t

n S 2t n

−...₋T(0)S

nt n =

n₋1

X

k=0

T

(n−k)t

n S kt n −T

(n−1−k)t

n

S

(k+ 1)t

n

≤

n₋1

X k=0 T

(n₋k)t

n S kt n −T

(n₋1₋k)t

n

S

(k+ 1)t

n

=

n−1

X k=0 T

(n−1−k)t

n T t n S kt n −S

(k+ 1)t

n

=

n₋1

X k=0 T

(n₋1₋k)t

n T t n −S kt n S kt n ≤

n−1

X k=0 T

(n₋1₋k)t

n T t n −S t n S kt n ≤

n₋1

X k=0 K1 ε T K t n K2

= nK ε

T K t n

≤ ε

TT =ε,

pois,

(i) t

n < δ;

(ii) para 0 _≤ k _≤ n₋1 < n, 0 _≤ n₋1₋k _≤ n₋1 < n, e ent˜ao (n−1−k)t

n < 1t = t ≤ T e kt

n <1t=t≤T.

Logo, temos

kT(t)₋S(t)_k< ε, _∀t_∈[0, T],

para qualquer que sejaε >0.

Portanto, quando ε _→ 0, conclu´ımos que T(t) = S(t), para todo t _∈ [0, T]. Al´em disso, fazendo

T → ∞,temos

(22)

Corolário 1.7. Seja (T(t))t_≥0 um semigrupo uniformemente cont´ınuo. Então: (i) Existe um único operador linear A tal queT(t) =etA, ∀t≥0;

(ii) O operador A ´e o gerador infinitesimal de(T(t))t_≥0; (iii) Existe uma constanteω ≥0 tal quekT(t)k ≤eωt, ∀t≥0;

(iv) t_7→T(t) ´e diferenci´avel e

d

dtT(t) =AT(t) =T(t)A, ∀t≥0.

Demonstra¸c˜ao. (i) SejaAo gerador infinitesimal de (T(t))t≥0.Pelo Teorema 1.4 sabemos queA´e um

operador linear limitado. Mais ainda, sabemos que Atamb´em ´e o gerador infinitesimal do semigrupo

S(t) = etA_{, t} _≥ ₀_. _{Assim, pelo teorema anterior, segue que} _S₍_t_{) =} _T₍_t₎_, _{para todo} _t _≥ ₀_, _{ou seja,}

T(t) =etA_{, t}_≥₀_,_{pois se dois semigrupos tem o mesmo gerador infinitesimal, eles s˜ao iguais.}

A unicidade do operador A segue da unicidade do gerador infinitesimal.

(ii)A afirma¸cão do item (ii) é consequência direta dos resultados obtidos na demonstra¸cão do Teorema 1.4.

(iii) Como A ´e um operador linear limitado, segue que existe M > 0 tal que kAk ≤ M. Seja ω ≥

0, ω =_kA_k.Assim, pelo item (i),

kT(t)_k=_ketA_k=

∞ X n=0

(tA)n

n! ≤ ∞ X n=0

tn_k_A_kn

n! =e

t_kA_k ₌_eωt_,

∀t_≥0.

(iv) Sejam t≥0 e h >0,ent˜ao lim

h_→0+

T(t+h_h)−T(t) −T(t)A

= hlim_→0+

T(t)T(h_h)−T(t) −T(t)A

= lim

h→0+

T(t)

T(h)−I h

−A

≤ lim

h→0+kT(t)k

T(h)₋I h −A

≤ lim

h_→0+e

ωt

T(h)₋I h −A

= 0,

poisA é o gerador infinitesimal de (T(t))t≥0. Assim, a fun¸cão t7→T(t) é diferenciável à direita de t,

com d

+

dtT(t) =T(t)A.Sabemos tamb´em que t7→ T(t) ´e cont´ınua e dessa forma, como A ∈ L(X), a

fun¸cãot7→T(t)Aé cont´ınua. Logo, pelo Lema de Dini (Lema A.3), segue quet7→T(t) é diferenciável e d

dtT(t) = d+

(23)

De maneira an´aloga,

lim

h_→0+

T(t+h)₋T(t)

h −AT(t)

= hlim_→0+

T(h+t)₋T(t)

h −AT(t)

= lim

h_→0+

T(h)T(t_h)−T(t) −AT(t)

= lim

h→0+

T(h)−I h

−A

T(t)

≤ lim

h→0+

T(h)₋I h −A kT(t)k

≤ lim

h_→0+

T(h)₋I h −A

eωt= 0.

Logo, d

dtT(t) =AT(t) e portanto vale d

dtT(t) =T(t)A=AT(t).

1.2 Semigrupos fortemente cont´ınuos de operadores lineares limitados

Nesta se¸c˜ao iremos estudar os semigrupos fortemente cont´ınuos, que ser˜ao utilizados como ferramenta nos cap´ıtulos 2 e 3.

Defini¸c˜ao 1.8. Um semigrupo (T(t))t≥0 de operadores lineares limitados em X ´e um semigrupo fortemente cont´ınuo se

lim

t→0+T(t)x=x, para todo x∈X.

Note que neste caso a fun¸c˜ao t_7→T(t)x ´e cont´ınua em t= 0,para todox_∈X.

Um semigrupo fortemente cont´ınuo de operadores lineares limitados emXser´a chamadosemigrupo de classeC0 ou simplesmenteC0-semigrupo.

O próximo resultado estabelece uma limita¸cão para umC0-semigrupo. Essa limita¸cão é de grande

utilidade na teoria de semigrupos e ser´a utilizada muitas vezes ao longo deste trabalho.

Teorema 1.9. Seja (T(t))t_≥0 um C0-semigrupo. Ent˜ao existem constantes ω≥0 e M ≥1 tais que

kT(t)_{k ≤}M eωt,_∀t_≥0.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente vamos mostrar que existeη >0 tal quekT(t)k´e limitado parat∈[0, η],

isto ´e,

∃ η >0 e _∃M >0;_kT(t)_{k ≤}M,_∀t_∈[0, η].

(24)

M >0,existe tM,η ∈[0, η] tal que

kT(tM,η)k> M.

Em particular, tomando η= 1

n eM =n,com n∈N,existe tn∈[0,

1

n] de modo quekT(tn)k> n.

Assim, conforme variamosn emN_,_{obtemos que (}_t_n₎_n_∈_N _{´e uma sequˆencia tal que}

lim

n_→∞tn= 0 e kT(tn)k> n,∀n∈

N_.

Dessa forma, segue que sup

n_∈N{k

T(tn)k}=∞ e consequentemente, pela contra-positiva do Princ´ıpio

da Limita¸c˜ao Uniforme (Teorema A.5), existex0 ∈X tal que sup

n_∈N{k

T(tn)x0k}=∞.Logo, existe uma

subsequˆencia (tnk)k∈N de (tn)n∈N tal que (kT(tnk)x0k)k∈N´e ilimitada.

Porém, uma vez que (tnk)k∈N é subsequência de (tn)n∈N, temos lim

k→∞tnk = 0. Mais ainda, como

(T(t))t≥0 ´e um C0-semigrupo, temos tamb´em lim

k_→∞T(tnk)x0 =x0,isto ´e, (kT(tnk)x0k)k∈N ´e limitada,

gerando uma contradi¸c˜ao. Portanto, existem η >0 e M >0 tais que

kT(t)_{k ≤}M, _∀t_∈[0, η].

Em particular, para t= 0, temos _kT(0)_k=_kI_k= 1 e ent˜ao, M _≥1.

Agora, vamos mostrar que isso é válido para qualquer que seja t >0. Se t > η, pelo algoritmo da divisão, existen_∈N _{tal que} _t₌_nη₊_δ,_com_δ _∈_[0_{, η}_]_._Logo,

kT(t)_k=_kT(nη+δ)_k=_kT(η)T(η)...T(η)

| {z }

n₋vezes

T(δ)_{k ≤ k}T(η)_kn_kT(δ)_{k ≤}MnM _≤MηtM =M eωt,

ondeω= lnM

η >0,poisM ≥1.

Portanto, _kT(t)_{k ≤}M eωt_,_∀_t_≥₀_.

Uma consequência direta deste último teorema é a continuidade da fun¸cãot _7→T(t)x, para todo

x∈X fixo, como veremos a seguir.

Corolário 1.10. Se (T(t))t≥0 é um C0-semigrupo então, para cada x ∈ X, a fun¸cão t 7→ T(t)x é cont´ınua de [0,+_∞) em X.

Demonstra¸c˜ao. Sejamt, h_≥0,comt > h. Assim, lim

h→0+kT(t+h)x−T(t)xk = _hlim_→₀+kT(t)T(h)x−T(t)xk

≤ lim

(25)

1.2 Semigrupos fortemente cont´ınuos de operadores lineares limitados 24

≤ lim

h→0+M e

ωt

kT(h)x₋x_k

= M eωt lim

h→0+kT(h)x−xk

= 0,

pois (T(t))t≥0 ´e umC0-semigrupo. Logo,

lim

h_→0+kT(t+h)x−T(t)xk= 0,

ou seja, a fun¸cãot7→T(t)x é cont´ınua à direita para todo t≥0.

Agora, por outro lado,

lim

h→0+kT(t−h)x−T(t)xk = _hlim_→₀+kT(t−h)x−T(t−h+h)xk

= lim

h→0+kT(t−h)x−T(t−h)T(h)xk

≤ lim

h→0+kT(t−h)kkT(h)x−xk

≤ lim

h→0+M e

ω(t₋h)_k_T₍_h₎_x₋_x_k

≤ lim

h→0+M e

ωt

kT(h)x₋x_k

= 0,

pois (T(t))t_≥0 ´e umC0-semigrupo. Logo,

lim

h_→0+kT(t−h)x−T(t)xk= 0,

isto é, a fun¸cãot7→T(t)xé cont´ınua à esquerda para todot >0.

Portanto, t_7→T(t)x ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua para todox_∈X.

O próximo resultado nos fornece propriedades que serão frequentemente usadas nesta disserta¸cão.

Teorema 1.11. Sejam (T(t))t_≥0 um C0-semigrupo eA seu gerador infinitesimal. Ent˜ao:

(i) Para todox_∈X e todo t_≥0, lim

h→0

1

h

Z t+h

t

T(s)xds=T(t)x.

(ii) Para todox∈X e todo t≥0,

Z t

0

T(s)xds∈D(A) e A

Z t

0

T(s)xds

=T(t)x−x.

(iii) Para todox∈D(A) e todo t≥0, T(t)x∈D(A) e d

(26)

(iv) Para todo x∈D(A) e t, s≥0, T(t)x−T(s)x=

Z t

s

T(ξ)Axdξ=

Z t

s

AT(ξ)xdξ.

Demonstra¸cão. (i) Sejax∈Xe t≥0.Pelo corolário anterior, a fun¸cãot7→T(t)xé cont´ınua e então, ela é uniformemente cont´ınua em [0, a],com a >0 tal quet_∈[0, a].Logo, dadoε >0,existe δ >0 tal que

kT(t)x₋T(s)x_k< ε, se_|t₋s_|< δ, _∀t, s_∈[0, a].

Note que, se 0< h < δ et+h < a, ent˜ao

1 h

Z t+h

t

T(s)xds₋T(t)x

= 1 h

Z t+h

t

T(s)xds₋ 1 h

Z t+h

t

T(t)xds

= 1 h

Z t+h

t

T(s)x−T(t)xds

≤ _h1

Z t+h

t k

T(s)x₋T(t)x_kds

≤ 1

h

Z t+h

t

εds=ε.

Assim, lim

h_→0

1 h

Z t+h

t

T(s)xds−T(t)x

= 0,ou seja, limh_→0

1

h

Z t+h

t

T(s)xds=T(t)x.

(ii) Sejam x ∈ X e t ≥ 0, mostraremos que

Z t

0

T(s)xds ∈ D(A), isto ´e, lim

h_→0+

T(h)−I h

Z t

0

T(s)xds

existe. Para isso, note que

lim

h_→0+

T(h)₋I h

Z t

0

T(s)xds

= lim

h_→0+

T(h)

h

Z t

0

T(s)xds₋ 1 h

Z t

0

T(s)xds

= lim

h_→0+

1

h

Z t

0

T(h+s)xds−

Z t

0

T(s)xds

= lim

h→0+

1

h

Z t+h

h

T(s)xds₋

Z t

0

T(s)xds

= lim

h_→0+

1

h

Z t

h

T(s)xds+

Z t+h

t

T(s)xds

−

Z h

0

T(s)xds₋

Z t

h

T(s)xds

= lim

h→0+

1

h

Z t+h

t

T(s)xds₋ 1 h

Z h

0

T(s)xds

.

Pelo item (i),segue que

lim

h_→0+

_T₍_h₎

h

Z t

0

T(s)xds− 1

h

Z t

0

T(s)xds

= lim

h_→0+

1

h

Z t+h

t

T(s)xds− lim

h_→0+

1

h

Z 0+h

0

(27)

= T(t)x₋T(0)x

= T(t)x₋x.

Portanto,

Z t

0

T(s)xds_∈D(A) e

A

Z t

0

T(s)xds

= lim

h→0+

T(h)

h

Z t

0

T(s)xds₋ 1 h

Z t

0

T(s)xds

=T(t)x₋x.

(iii) Sejax_∈D(A),isto ´e, lim

h_→0+

T(h)x₋x

h =Ax. Dessa forma, para t≥0,temos T(h)(T(t)x)₋T(t)x

h =

T(h+t)x₋T(t)x

h ,

logo,

lim

h_→0+

T(h+t)x−T(t)x

h = hlim_→0+

T(t+h)x−T(t)x

h = limh_→0+

T(t)T(h)x−T(t)x h

= lim

h_→0+T(t)

T(h)x−x h

=T(t) lim

h→0

T(h)x−x h

=T(t)Ax.

Assim, segue que, T(t)x ∈ D(A) e AT(t)x = T(t)Ax. Al´em disso, d

+

dtT(t)x =

lim

h_→0+

T(t+h)x−T(t)x

h =T(t)Ax.

Agora, mostraremos que d−

dtT(t)x = d+

dtT(t)x. Para isso, considere h ∈ [0, t], o que implica que

0< t−h.Logo,

T(t)x−T(t−h)x

h −T(t)Ax

= −

T(t−h)x+T(t−h+h)x

h −T(t)Ax

=

T(t−h)

−x+T(h)x h

−T(t)Ax

≤ kT(t₋h)_k

T(h)x₋x h −Ax

+kT(t−h)Ax−T(t)Axk

≤ M eω(t−h)

T(h)x₋x h −Ax

+kT(t−h)Ax−T(t)Axk.

Portanto,

lim

h_→0+

T(t)x−T(t−h)x

h −T(t)Ax

= hlim_→0+M e

ω(t−h)

T(h)x−x h −Ax

+ lim

(28)

= M eωt0 + 0 = 0,

ou seja, d−

dtT(t)x=T(t)Ax= d+

dtT(t)x.Dessa forma, d

dtT(t)x=T(t)Ax=AT(t)x.

(iv) Dadox∈D(A),pelo item (iii),temos T(ξ)Ax=AT(ξ)x,∀ξ ≥0.Assim,

Z t

s

T(ξ)Axdξ =

Z t

s

AT(ξ)xdξ.

Al´em disso, sabemos que d

dξT(ξ)x=T(ξ)Ax.Logo, pelo Teorema Fundamental do C´alculo, segue

que,

Z t

s

T(ξ)Axdξ=

Z t

s

d

dξT(ξ)xdξ =T(t)x−T(s)x.

Corolário 1.12. SeA é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo (T(t))t≥0,então D(A) é denso em X e A:D(A)_→X é fechado.

Demonstra¸cão. Vamos mostrar, primeiramente, que D(A) é denso em X, ou seja, D(A) = X. Para isso, dado x_∈X, mostraremos que existe uma sequência em D(A) que converge para x.

Pelo item (ii) do teorema anterior, sabemos que

Z t

0

T(s)xds∈D(A),∀t≥0.Assim, definindo

xt=

1

t

Z t

0

T(s)xds, t≥0, (1.1)

segue quext∈D(A),∀t≥0.De fato,

lim

h_→0+

T(h)xt−xt

h = hlim_→0+

T(h)

1

t

Z t

0

T(s)xds

− 1 t Z t 0

T(s)xds

h = 1 t    hlim→0+

T(h)

Z t

0

T(s)xds

−

Z t

0

T(s)xds

h     = 1 t A Z t 0

T(s)xds

= 1

(29)

Al´em disso, pelo item (i) do teorema anterior, temos

lim

t_→0+xt= lim_t

→0+

1

t

Z t

0

T(s)xds

=T(0)x=x.

Logo, x∈D(A) e assim, X⊂D(A).Como a outra inclusão é sempre válida, temosD(A) =X.

Agora, vamos mostrar que o operador linear A:D(A)_⊂X _→X ´e fechado. Assim, seja (xn)n_∈N

uma sequência emD(A) que converge para algumx∈X e tal que (Axn)n_∈Ntambém é uma sequência

emX, que converge para algum y_∈X. Mostraremos quex_∈D(A) e Ax=y.

Pelo teorema anterior, item (iv), sabemos que, para cada n∈N_e _t_≥_0,

T(t)xn−T(0)xn=

Z t

0

T(ξ)Axndξ. (1.2)

Al´em disso, uma vez que xn → x, quando n → ∞, e T(t) ∈ L(X), segue que T(t)xn → T(t)x,

quando n_{→ ∞}.Mais ainda,

Z t

0

T(ξ)Axndξ−

Z t

0

T(ξ)ydξ

≤

Z t

0 k

T(ξ)kkAxn−ykdξ

≤ M eωt

Z t

0 k

Axn−ykdξ.

Desse modo, como Axn→y,quando n→ ∞,segue que

lim

n→∞

Z t

0

T(ξ)Axndξ=

Z t

0

T(ξ)ydξ.

Logo, tomando o limite em (1.2), quando n_{→ ∞},obtemos

T(t)x₋x=

Z t

0

T(ξ)ydξ

e assim, usando o item (i) do Teorema 1.11, conclu´ımos que

lim

t_→0+

T(t)x−x

t = limt_→0+

1

t

Z t+0

0

T(ξ)ydξ =T(0)y=y,

ou seja, x_∈D(A) e

Ax= lim

t_→0+

T(t)x₋x t =y.

Portanto, A ´e fechado.

(30)

uniformemente cont´ınuo (T(t))t_≥0. O pr´oximo teorema ´e um resultado similar paraC0-semigrupos.

Teorema 1.13. Sejam (T(t))t_≥0 e(S(t))t_≥0 dois C0-semigrupos com geradores infinitesimais A eB, respectivamente. SeA=B, ent˜ao T(t) =S(t), para todot≥0.

Demonstra¸cão. Suponha A=B, assim,D(A) =D(B).Dessa forma, dado x ∈D(A), x∈D(B) e as fun¸cões t_7→T(t)xe t_7→S(t)x são diferenciáveis, com

d

dtT(t)x=T(t)Ax=AT(t)x e d

dtS(t)x=S(t)Bx=BS(t)x.

Considere a aplica¸c˜aoψ: [0, t]_→X, com t >0,definida por

ψ(s) = (T(t−s)S(s))x, para 0≤s≤t.

Logo, a derivada deψ ´e dada por

d

dtT(t−s)S(s)x = T(t−s)

d dsS(s)x

+

d

dsT(t−s)

S(s)x

= T(t−s)BS(s)x−AT(t−s)S(s)x

= T(t−s)BS(s)x−T(t−s)AS(s)x= 0,

poisA=B.

Assim, comoψ′ _{é nula, segue que} _ψ₍_s_{) é constante para 0}_≤_s_≤_t. _Ent˜_ao, _ψ₍_t_{) =}_ψ₍₀₎_,_{isto é,}

ψ(t) =T(t−t)S(t)x=S(t)x=ψ(0) =T(t−0)S(0)x=T(t)x.

Portanto, T(t)x=S(t)x, para todot≥0 e para todo x∈D(A).

Agora, sejax_∈X.ComoD(A) =X,existe uma sequˆencia (xn)n_∈NemD(A) tal que lim

n→∞xn=x.

Al´em disso, pelo que acabamos de provar,

T(t)xn=S(t)xn, ∀t≥0 e∀n∈N.

Mais ainda, como T(t) eS(t) pertencem a _L(X), para todot_≥0,temos,

(31)

Logo, pela unicidade do limite, segue que

T(t)x=S(t)x, _∀t_≥0.

Portanto, como T(t)x=S(t)x, ∀t≥0 e ∀x∈X, temosT(t) =S(t), ∀t≥0.

A seguir veremos um exemplo cl´assico da teoria de semigrupos, chamado de semigrupo de transla¸c˜oes.

Exemplo 1.14. Seja X = _{f : [0,+_∞) _→ R_;_f_{é limitada e uniformemente cont´ınua}_} _{munido da} norma da convergência uniforme, isto é,

kfk= sup{|f(x)|;x∈[0,+∞)}.

Para cada t≥0,defina o operador T(t) :X→X da seguinte forma

(T(t)f)(s) =T(t)f(s) =f(t+s), para todo s∈[0,+∞).

Vejamos a seguir algumas propriedades da fam´ılia (T(t))t_≥0.

(1) Para todo t_≥0, T(t) est´a bem definido, isto ´e, T(t)f _∈X para toda f _∈X.

De fato, T(t)f ´e limitada pois, para f _∈X, temos

kT(t)fk= sup

s_∈[0,+∞)k

T(t)f(s)k= sup

s_∈[0,+∞)k

f(t+s)k ≤ sup

ς_∈[0,+∞)k

f(ς)k=kfk.

Al´em disso, como f ´e uniformente cont´ınua, dados ε >0 es1, s2 ∈[0,+∞), existe δ >0 tal que

|(T(t)f)(s1)−(T(t)f)(s2)|=|f(t+s1)−f(t+s2)|< ε. Logo, T(t)f ´e uniformemente cont´ınua e ent˜ao,T(t)f ∈X.

(2) T(t)∈ L(X) para todot≥0.

Dados t_≥0, f, g _∈X, α_∈R_e _s_∈_[0_,₊_∞₎_{, temos}

(32)

= (αf+g)(t+s) = αf(t+s) +g(t+s) = αT(t)f(s) +T(t)g(s) = α(T(t)f)(s) + (T(t)g)(s).

Portanto, T(t) é uma aplica¸cão linear. Além disso, como visto no item (1),

kT(t)f_{k ≤ k}f_k, para todo f _∈X,

o que implica que T(t) ´e limitada.

Consequentemente, T(t)∈ L(X) para todo t≥0.

(3) (T(t))t≥0 ´e umC0-semigrupo em X.

Para verificarmos essa propriedade, sejam f _∈X, t, w_≥0.Assim,

(i) (T(0)f)(s) =f(s), para todo s∈[0,+∞).

(ii) [(T(t + w)f)](s) = T(t + w)f(s) = f(t + w + s) = T(t)f(w + s) = T(t)T(w)f(s) = [T(t)T(w)f](s), para todo s_∈[0,+_∞), ou seja, T(t+w) =T(t)T(w), o que implica que (T(t))t≥0 ´e um semigrupo.

Agora, para a continuidade em t= 0, seja f _∈ X. Pela continuidade uniforme de f, dado ε >0,

existe δ >0 tal que

kf(t+s)₋f(s)_k< ε, para todo s_∈[0,+_∞) e todo t_≥0 com _|t_|< δ.

Logo, se _|t_|< δ,temos

kT(t)f ₋f_k= sup

s_∈[0,+∞)k

T(t)f(s)₋f(s)_k= sup

s_∈[0,+∞)k

f(t+s)₋f(s)_{k ≤} sup

s_∈[0,+∞)

ε=ε.

Portanto, (T(t))t_≥0 ´eC0-semigrupo.

(4) _kT(t)_{k ≤}1, para todot_≥0.

Pelo que j´a foi feito anteriormente, para t≥0, temos

kT(t)_k= sup

kfk≤1k

T(t)f_{k ≤} sup

kfk≤1k

(33)

1.2 Semigrupos fortemente cont´ınuos de operadores lineares limitados 32 Logo, como definiremos na próxima se¸cão,(T(t))t_≥0 é umC0-semigrupo de contra¸cões.

(5) D(A) =_{f _∈X;f′_{existe e} _f′ _∈_X_} _e ₍_Af₎₍_s_{) =}_f′₍_s₎_,_{para toda} _f _∈_D₍_A₎ _e_s_∈_[0_,₊_∞₎_. Seja f ∈X tal quef′ existe e f′∈X, assim

f′(s) = lim

h_→0+

f(s+h)−f(s)

h = limh_→0+

(T(h)f)(s)−f(s)

h ,∀s∈[0,+∞).

Al´em disso, pela continuidade uniforme de f′, dado ε >0, existeδ >0, tal que

kf′(t+s)₋f′(s)_k< ε, para todo s_∈[0,+_∞) e0_≤t < δ.

Mais ainda, como f′ _{existe, temos}

T(t)f₋f t −f

′

= _s sup

∈[0,+∞)

T(t)f(s)₋f(s)

t −f

′₍_s₎

= sup

s_∈[0,+∞)

1

t

Z s+t

s

f′(u)du−1

t

Z s+t

s

f′(s)du

= sup

s∈[0,+∞)

1

t

Z s+t

s |

f′(u)₋f′(s)_|du

.

Logo, se 0< t < δ,ent˜ao _|f′₍_u₎₋_f′₍_s₎_|_{< ε,} _{para todo} _s_∈_[0_,₊_∞₎ _e_u_∈_[_{s, s}₊_t_]_,_{e dessa forma,}

T(t)f₋f t −f

′

≤_s sup

∈[0,+∞)

₁

t

Z s+t

s

εdu

=ε.

Assim, quando t→0+,T(t)f −f t →f

′ _{e ent˜}_ao, _f _∈_D₍_A₎_. Portanto, segue que _{f _∈X;f′ existe e f′_∈X_{} ⊂}D(A).

Agora, seja f ∈D(A)⊂X. Ent˜ao, lim

t_→0+

T(t)f₋f

t existe. Sejag∈X este limite, assim, note que

(T(t)f)(s)−f(s)

t −g(s)

≤

T(t)f−f t −g

,∀s∈[0,+∞) et≥0,

e al´em disso,

T(t)f₋f t −g

→0, quando t→0+,

o que implica que lim

t_→0+

(T(t)f)(s)₋f(s)

t = limt_→0+

f(t+s)₋f(s)

t =g(s), para todo s ∈[0,+∞).Por

outro lado, para s_∈[0,+_∞),

lim

t_→0+

f(t+s)₋f(s)

t =f

′

(34)

onde f′

+(s) representa a derivada `a direita de f em s. Consequentemente, pela unicidade do limite, temos

f₊′ (s) =g(s),_∀s_∈[0,+_∞).

Mais ainda, como g_∈X, g ´e uniformemente cont´ınua e ent˜ao, pelo Lema de Dini (Lema A.3), f′

existe e f′=g,ou ainda, f′ ∈X.

Portanto, D(A)_{⊂ {}f _∈X;f′ existe e f′_∈X_},o que garante a igualdade entre esses conjuntos. Por fim, dado f _∈D(A),temos

(Af)(s) = lim

t_→0+

(T(t)f)(s)−f(s)

t = limt_→0+

f(t+s)−f(s)

t =f

′₍_s₎_,

para todo s∈[0,+∞),ou seja, Af =f′.

A seguir apresentamos uma generaliza¸c˜ao do conceito de semigrupo.

Defini¸cão 1.15. Uma fam´ılia a um parâmetro (T(t))t_∈R, de operadores lineares limitados em X, é

um grupo fortemente cont´ınuo se

lim

t_→0T(t)x=x, para todo x∈X.

Um grupo fortemente cont´ınuo de operadores lineares limitados em X ser´a chamado grupo de classe C0 ou simplesmenteC0-grupo.

1.3 O Teorema de Hille-Yosida

Nosso objetivo nesta se¸cão é estudar o Teorema de Hille-Yosida, que é um dos principais resultados da teoria de semigrupos de operadores lineares limitados fortemente cont´ınuos. Este teorema caracteriza quando um operador linear é o gerador de umC0-semigrupo.

Porém, para apresentarmos tal resultado, precisamos de algumas defini¸cões e lemas preliminares. Primeiramente, como visto na se¸cão anterior, se (T(t))t≥0 é um C0-semigrupo, então kT(t)k ≤

M eωt_,_∀_t _≥ ₀_, _{para certas constantes} _M _≥ _{1 e} _{ω >} ₀_. _{Esta nota¸c˜}_{ao ser´}_{a usada ao longo de toda}

esta se¸c˜ao.

Defini¸cão 1.16. Um C0-semigrupo é chamado uniformemente limitado se a constante ω acima é nula, isto é, _kT(t)_{k ≤}M, para todot_≥0.

(35)

1.3 O Teorema de Hille-Yosida 34

Defini¸cão 1.18. Seja A : D(A) _⊂ X _→ X um operador linear, não necessariamente limitado. O conjunto resolvente de A é o conjunto de todos os números complexos λ para os quais o operador

(λI₋A)´e invers´ıvel e limitado, isto ´e,

ρ(A) =_{λ_∈C_{; (}_λI₋_A₎−1_{∈ L}₍_X₎_}_.

O espectro do operador A ´e o complementar do conjunto resolvente, ou seja, σ(A) =ρ(A)c.

Defini¸c˜ao 1.19. A fam´ılia R(λ:A) = (λI₋A)−1_, _para _λ_∈_ρ₍_A₎_,_{de operadores lineares limitados ´e} chamada de resolvente de A.

Lema 1.20. Seja A um operador linear fechado com D(A) = X. Suponha que (0,+_∞) _⊂ ρ(A) e

kR(λ:A)_{k ≤} 1

λ,para todo λ >0.Ent˜ao,

lim

λ_→∞λR(λ:A)x=x, para todo x∈X.

Demonstra¸c˜ao. Sejax∈D(A).Assim,

kλR(λ:A)x−Ixk = kλR(λ:A)x−R(λ:A)R(λ:A)−1xk

= kR(λ:A)(λx−R(λ:A)−1x)k

= kR(λ:A)(λx−(λI−A)x)k ≤ kR(λ:A)kkAxk

≤ 1

λkAxk.

Logo,

lim

λ_→∞kλR(λ:A)x−xk ≤λlim_→∞

kAx_k λ = 0.

Portanto,

lim

λ→∞λR(λ:A)x=x, para todox∈D(A).

Agora, sejamx_∈Xe (xn)n_∈Numa sequˆencia emD(A) com lim

n_→∞xn=x.Logo, paraλ∈(0,+∞),

kλR(λ:A)x₋x_k = _kλR(λ:A)x₋λR(λ:A)xn+λR(λ:A)xn−xn+xn−xk

≤ kλR(λ:A)(x₋xn)k+kλR(λ:A)xn−xnk+kxn−xk

≤ λ_kR(λ:A)_kkx₋xnk+kλR(λ:A)xn−xnk+kxn−xk

≤ λ1

(36)

≤ 2_kxn−xk+kλR(λ:A)xn−xnk,∀n∈N.

Al´em disso, como xn → x, quando n → ∞, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que kxn−xk <

ε

2, para todo n_≥n0.Em particular, para m∈ Ntal que m > n0, temoskxm−xk<

ε

2 e, uma vez que

xm ∈D(A), lim

λ_→∞kλR(λ:A)xm−xmk= 0.

Portanto, voltando a desigualdade anterior, obtemos

lim

λ→∞kλR(λ:A)x−xk ≤ λlim→∞(2kxm−xk+kλR(λ:A)xm−xmk)

≤ lim

λ_→∞

2ε

2 +kλR(λ:A)xm−xmk

< ε.

Finalmente, fazendo ε→0,segue que lim

λ_→∞λR(λ:A)x=x, para todox∈X.

Defini¸c˜ao 1.21. Suponha que (0,+∞) ⊂ρ(A).Dado λ >0, definimos a aproxima¸c˜ao de Yosida de A por

Aλ =λAR(λ:A) =λ2R(λ:A)−λI.

Lema 1.22. Seja A um operador linear fechado com D(A) = X. Suponha que (0,+∞) ⊂ ρ(A) e

kR(λ:A)_{k ≤} 1

λ,para todo λ >0.Se Aλ é a aproxima¸cão de Yosida de A, então

lim

λ_→∞Aλx=Ax, para todo x∈D(A).

Demonstra¸c˜ao. Primeiro, observe queA e R(λ:A) comutam para todoλ_∈ρ(A),pois

I = (λI₋A)R(λ:A)_⇒AR(λ:A) =λR(λ:A)₋I

e, por outro lado,

I =R(λ:A)(λI−A) = R(λ:A)(λI)−R(λ:A)A

= λR(λ:A)−R(λ:A)A,

o que implica que

R(λ:A)A=λR(λ:A)₋I.

Logo,

AR(λ:A) =R(λ:A)A.

Al´em disso, do lema anterior, sabemos que lim

(37)

particular, tomandoy=Ax,com x_∈D(A),temos lim

λ_→∞Aλx= limλ_→∞λAR(λ:A)x= limλ_→∞λR(λ:A)Ax=Ax.

Lema 1.23. Seja A um operador linear fechado com D(A) = X. Suponha que (0,+_∞) _⊂ ρ(A) e

kR(λ : A)_{k ≤} 1

λ, para todo λ > 0. Se Aλ é a aproxima¸cão de Yosida de A, então Aλ é o gerador

infinitesimal do semigrupo de contra¸c˜ao uniformemente cont´ınuo(Tλ(t))t≥0,onde Tλ(t) =eAλt, t≥0.

Al´em disso, para todo x_∈X e para todos λ, µ_∈(0,+_∞),temos

kTλ(t)x−Tµ(t)xk=keAλtx−eAµtxk ≤tkAλx−Aµxk.

Demonstra¸c˜ao. Note queAλ´e um operador linear limitado pois, para cadaλ∈(0,+∞), Aλ=λ2R(λ:

A)−λI.Assim, pelo Teorema 1.4, Aλ´e o gerador infinitesimal do semigrupo uniformemente cont´ınuo

(Tλ(t))t_≥0 dado por

Tλ(t) =eAλt=

∞

X

n=0

(tAλ)n

n! , para todot≥0. Além disso, esse semigrupo é de contra¸cão. De fato, para t_≥0,

kTλ(t)k=keAλtk = ke(λ

2_R

(λ:A)−λI)t

k ≤ keλ2R(λ:A)t_kke−λIt_k

≤ e(λ2t)kR(λ:A)ke(−λt)kIk

≤ eλ2t1λe−λt

= 1.

Agora, antes de prosseguirmos com a demonstra¸c˜ao da segunda parte do lema, provaremos algumas propriedades que ser˜ao utilizadas posteriormente.

(1) Os operadoresR(λ:A) e R(µ:A) comutam para todoλ, µ_∈ρ(A).

Para provarmos esse fato, dados λ, µ∈ρ(A),note que

R(λ:A)R(µ:A)(µI−A)(λI−A) =I.

Assim,

(38)

Mais ainda, como R(λ:A) e R(µ:A) comutam comA e µI, temos (µI₋A)R(λ:A)R(µ:A) =

R(λ:A) e ent˜ao R(λ:A)R(µ:A) =R(µ:A)R(λ:A). (2) Os operadoresAλ e Aµ comutam para todoλ, µ∈ρ(A).

Neste caso, temos Aλ =λAR(λ:A) e Aµ =µAR(µ:A).Logo, como A comuta com o resolvente

e vale a proriedade de (1) acima, segue queAλ e Aµ comutam.

(3) Os operadoresAλ e etAλ tamb´em comutam para todot≥0 e λ∈ρ(A).

De fato, dados λ_∈ρ(A) e t_≥0,temos

AλetAλ = (λAR(λ:A))

∞

X

n=0

(tλAR(λ:A))n

n!

!

=

∞

X

n=0

tn₍_λAR₍_λ_:_A₎₎n+1

n!

=

∞

X

n=0

(tλAR(λ:A))n

n! (λAR(λ:A)) =e

tAλ_A

λ.

(4) Por ´ultimo, os operadores Aλ e etAµ comutam para todot≥0, λ, µ∈ρ(A).

Neste caso, usando os itens anteriores, temos

AλetAµ = λAR(λ:A)

∞

X

n=0

(tµAR(µ:A))n

n!

!

= λAR(λ:A)

∞

X

n=0

tn_µn_An_R₍_µ_:_A₎n

n!

!

=

∞

X

n=0

tnµnR(µ:A)n

n! λAR(λ:A)

=

∞

X

n=0

(tµAR(µ:A))n

n!

!

(λAR(λ:A))

= etAµ_A

λ.

Finalmente, usando a comutatividade dos operadores acima, podemos mostrar que

kTλ(t)x−Tµ(t)xk=k(etAλ)x−(etAµ)xk ≤tkAλx−Aµxk,∀x∈X,∀t≥0 e∀λ, µ >0.

Sejam, λ, µ >0, t≥0 e x∈X. Dessa forma,

etAλ_x₋_etAµ_x ₌ ₍_etsAλ_et(1−s)Aµ_x₎

_s

=1−(e

tsAλ_et(1−s)Aµ_x₎

_s

=0

=

Z 1

0

d ds(e

(39)

=

Z 1

0

tAλestAλet(1−s)Aµx+etsAλ(−tAµ)et(1−s)Aµxds

=

Z 1

0

estAλ_tA

λet(1−s)Aµx+etsAλet(1−s)Aµ(−tAµ)xds

=

Z 1

0

estAλ_et(1−s)Aµ₍_tA

λx−tAµx)ds.

Portanto,

ketAλ_x₋_etAµ_x_{k ≤}

Z 1

0 k

etsAλ_kk_et(1−s)Aµ_kk_t₍_A

λx−Aµx)kds

≤

Z 1

0

tkAλx−Aµxkds

= tkAλx−Aµxk.

Vejamos a seguir o principal resultado desta se¸c˜ao.

Teorema 1.24 (Teorema de Hille-Yosida). Um operador linear A:D(A) ⊂X→ X ´e o gerador infinitesimal de um C0- semigrupo de contra¸c˜oes(T(t))t_≥0 se, e somente se,

(i) A ´e fechado e D(A) =X,

(ii) (0,+_∞)_⊂ρ(A) e_kR(λ:A)_{k ≤} 1

λ,para todo λ >0.

Demonstra¸c˜ao. Suponha, primeiramente, que o operador A ´e o gerador infinitesimal de um C0

-semigrupo de contra¸c˜oes (T(t))t≥0 e mostremos que as propriedades (i) e (ii) s˜ao satisfeitas.

Note que a propriedade (i) já foi demonstrada no Corolário 1.12. Falta, então, demonstrarmos a propriedade (ii).

Para isso, dado λ∈(0,+∞) e x∈X, defina

R(λ)x=

Z _∞

0

e−tλT(t)xdt.

Analisemos algumas propriedades deR(λ):

(1) A integral que define R(λ)x existe.

De fato, como (T(t))t_≥0 ´e um semigrupo de contra¸c˜oes, temos kT(t)xk ≤ kxk para todo t ≥ 0.

Al´em disso,

Z _∞

0

e−λtT(t)xdt

≤

Z _∞

0

e−λtkT(t)kkxkdt≤

Z _∞

0

e−λtkxkdt

= kxk lim

s_→∞

Z s

0

e−λtdt=kxk lim

s_→∞

e−λs

(−λ) −

e0

(−λ)

= kxk

(40)

Portanto,

Z _∞

0

e−λtT(t)xdtexiste e assim, R(λ)xest´a bem definida.

(2) R(λ) :X _→X´e um operador linear.

Sejam x, y_∈X eα_∈K_,_onde K_{´e o corpo de} _X. _Ent˜ao,

R(λ)(αx+y) =

Z _∞

0

e−λtT(t)(αx+y)dt=α

Z _∞

0

e−λtT(t)xdt+

Z _∞

0

e−λtT(t)ydt=αR(λ)x+R(λ)y,

poisT(t)∈ L(X),∀t≥0.

(3) R(λ) ´e limitado.

Isso ocorre pois, como j´a estimado no item(1),

kR(λ)x_k=

Z _∞ 0

e−λtT(t)xdt

≤

1

λkxk,∀x∈X.

(4) R(λ)x_∈D(A),para todox_∈X.

Dado x∈X, temos

T(h)−I h

R(λ)x = T(h)R(λ)x−R(λ)x

h

= 1

h

T(h)

Z _∞

0

e−λtT(t)xdt₋

Z _∞

0

e−λtT(t)xdt

= 1

h

Z _∞

0

e−λtT(h+t)xdt₋

Z _∞

0

e−λtT(t)xdt

= 1

h

Z _∞

h

e−λ(s−h)T(s)xds₋

Z _∞

0

e−λtT(t)xdt

= 1

h

Z 0

h

e−λseλhT(s)xds+

Z _∞

0

e−λseλhT(s)xds₋

Z _∞

0

e−λsT(s)xds

= −1

h

Z h

0

e−λseλhT(s)xds+

_eλh₋₁

h

Z ∞

0

e−λsT(s)xds

.

Assim,

lim

h_→0+

T(h)−I h

R(λ)x = lim

h_→0+

eλh₋₁

h

Z _∞

0

e−λtT(t)xdt

−e

λh

h

Z 0+h

0

e−λtT(t)xdt

= λR(λ)x₋e−λ0T(0)x

= λR(λ)x₋Ix.

Logo, R(λ)x∈D(A) e, al´em disso,

AR(λ)x= lim

h_→0+

T(h)−I h

(41)

Dessa forma, AR(λ) =λR(λ)₋I, isto ´e,

(λI₋A)R(λ) =I.

Portanto, R(λ) é uma inversa à direita de (λI−A). Vamos mostrar que R(λ) também é a inversa `

a esquerda de (λI₋A).Neste caso, considerex_∈D(A).Assim,

R(λ)(λI₋A)x = λR(λ)x₋R(λ)Ax=R(λ)λx₋

Z _∞

0

e−λtT(t)Axdt

= R(λ)(λx)−A

Z ∞

0

e−λtT(t)xdt=λR(λ)x−AR(λ)x= (λI−A)R(λ)x=x,

ou seja, R(λ)(λI−A) =I, ondeI :D(A)→D(A).

Ent˜ao,R(λ) _{∈ L}(X) ´e a inversa de (λI₋A).Consequentemente, segue que, seλ >0, λ_∈ρ(A) e

R(λ) =R(λ:A).Logo, (0,+∞)⊂ρ(A) e

kR(λ:A)_k=_kR(λ)_k= sup

kxk≤1k

R(λ)x_{k ≤} sup

kxk≤1

kx_k λ ≤

1

λ, para todoλ >0.

Agora, suponha que A´e fechado, D(A) =X,(0,+_∞)_⊂ρ(A) e_kR(λ:A)_{k ≤} 1

λ,para todoλ >0.

Mostremos que Agera um C0-semigrupo de contra¸c˜oes.

SejaAλ a aproxima¸c˜ao de Yosida deA e consideremos o semigrupo (Tλ(t))t_≥0,ondeTλ(t) =eAλt,

para todo t≥ 0.Como j´a vimos, no Lema 1.23, (Tλ(t))t≥0 ´e uniformemente cont´ınuo e kTλ(t)k ≤ 1,

para todot_≥0 e λ_∈(0,+_∞).Al´em disso, Aλ ´e seu gerador infinitesimal e, se x∈D(A) e t∈[0, a],

vale a estimativa

kTλ(t)x−Tµ(t)xk ≤ tkAλx−Aµxk

≤ akAλx−Axk+akAµx−Axk.

Mais ainda, pelo Lema 1.22, temos lim

λ→∞Aλx=Axe limµ_→∞Aµx=Ax,para todox∈D(A),e assim,

existe k >0 tal que, se λ, µ > k, ent˜ao _kAλx−Axk <

ε

2a e kAµx−Axk< ε

2a,quando t6= 0. Logo,

paraλ, µ > k e t6= 0,

kTλ(t)x−Tµ(t)xk< a

ε

2a+a ε

2a =ε.

Em particular, set= 0,note que_kTλ(0)x−Tµ(0)xk=kx−xk= 0< ε.Assim, podemos dizer que

(Tλ(t)x)λ∈(0,∞)´e uma “sequˆencia de Cauchy” emX e dessa forma, lim

λ→∞Tλ(t)xexiste para todo t≥0