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P ro fe s s o r: Ro d rigo N e ve s Figu e ire d o d o s S a n to s
1ª Lis ta d e Exe rcício s d e Ma te m á tica P a ra Ec o n o m ia
1. Sejam A, B, C e D as seguintes matrizes:
, , e ,
Determine, caso seja possível:
(a) A + B
(b) A·C
(c) C·D
(d) B·C
(e) D·A
(f) D·B
(g) – A
(h) 3·A
(i) D· (2A + 3B)
2. Seja x
x . Sabendo que A = AT determine o valor de x.
3. Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Quando uma das afirmativas for falsa, justifique exibindo um contra-exemplo numérico que não à satisfaz:
(a) (-A)T = - (AT).
(b) (A+B)T = BT + AT.
(c) (-A)(-B) = -(A·B) .
(d) Se A e B são matrizes simétricas, então A·B = B·A.
(e) Se podemos efetuar o produto A·A, então A é uma matriz quadrada.
(f) Se A·B = A·C, então sempre é verdade que B = C.
4. Se , encontre pelo menos uma matriz B que satisfaz .
5. Sendo cos ° sen °
sen ° cos ° , calcule a matriz A·A.
6. Dada a matriz , escreva A na forma A = k·B, onde
x y z
w t .
7. Sejam A, B, C e D as seguintes matrizes:
, ,
Determine:
(a)
(b)
(c)
(d) · ·
8. Considere duas matrizes quadradas A e B de ordem n.
(a) Argumente o porquê de
i) ·
ii)
(b) Indique em que condições especiais é possível se verificar as seguintes afirmações:
i)
ii) ·
iii)
iv) ·
9. Determine os valores de x para o qual a matriz B é simétrica:
x x
x x
x
10. O Ministério dos Assuntos Sociais pretende investir parte dos seus recursos orçamentais no
melhoramento das condições de assistência social da população de 3 cidades (C1, C2 e C3) de uma determinada região do país.
Com esse objetivo propõe-se construir:
L -Lares de 3ª idade I - Orfanatos
C - Centros de assistência social
C C C
Para pôr em funcionamento os lares, os orfanatos e os centros de assistência social impõe-se o recrutamento de:
A1 - Assistentes sociais A2 - Pessoal auxiliar A3- Psicólogos A4 – Médicos
tal como expressa a seguinte matriz:
L I C
Calcule quantos indivíduos dos quatro grupos (A1,A2,A3 e A4) são necessários para colocar em funcionamento os lares, os orfanatos e os centros de assistência nas três cidades.
11. Foi feito um estudo com o objetivo de detectar que parte do rendimento destinam os
indiví-duos para a sua formação e informação. O preço de revistas, livros, jornais e cd’s é dado respectiva-mente pelo seguinte vetor [ 50 220 45 600 ] (em unidades monetárias).
Em três grupos selecionados (A, B e C) verificou-se que o consumo dos 4 produtos era o seguinte:
Utilize o cálculo matricial para determinar a despesa de cada um dos grupos.
12. As firmas A, B e C partilham o mercado de um certo produto. Cada uma detém a seguinte
quota de mercado:
A detém 20% do mercado B detém 60% do mercado C detém 20% do mercado.
No ano seguinte ocorreram as seguintes alterações:
A mantém 80% dos clientes, perde 10% para B e 10% para C; B mantém 40% dos clientes, perde 10% para A e 50% para C; C mantém 70% dos clientes, perde 20% para A e 10% para B.
Associando o número 1 à firma A, 2 à firma B e 3 à firma C determine a matriz de transição, T, definida da seguinte forma:
tij = percentagem de clientes da firma j, que se tornam clientes da firma i no próximo ano.
Com a mesma associação de valores às firmas, determine a matriz coluna, s, designada por matriz quota de mercado, caracterizada por ter todas as componentes positivas e soma igual a 1:
si1 = percentagem de mercado inicial que a firma i detém.
