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1. Teoria dos conjuntos
1- Definição de conjunto
Conjunto é uma coleção de elementos com características comuns. Os elementos podem ser letras, números, planetas, meses do ano, etc.
Exemplos:
Conjunto das vogais = {a, e, i, o ,u}
Conjunto dos planetas do sistema solar = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno, Plutão}
Conjunto dos naipes das cartas de um baralho = { paus, ouros, copas, espadas}
Conjunto dos nomes dos meses dos ano com 31 dias = { janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}
2- Notação
Geralmente, indicamos um conjunto com letra maiúscula, A, B, C, D,... e um elemento com letra minúscula, a, b, c, d,...
3- Descrição de um conjunto
Há duas formas para descrever um conjunto e seus elementos: (1a) enumerando os elementos do conjunto ou (2a) descrevendo uma propriedade característica comum dos elementos do conjunto.
Exemplo:
A = {a, e, i, o, u} = { x / x é vogal}
Na descrição pela enumeração dos elementos, devemos indicá-los escrevendo seus elementos entre chave.
Na descrição por uma propriedade, quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma propriedade característica comum P de seus elementos x, escrevemos:
A = { x | x tem a propriedade P}
Descrição pela enumeração dos
elementos.
Descrição por uma propriedade
característica.
2 4- Relação de pertinência
A relação existente entre elemento e conjunto é chamada de RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA, ou seja, um elemento ou pertence ( símbolo: ) ao conjunto em questão ou não pertence ( símbolo: )
Sejam A um conjunto e a um elemento. Escrevemos que a pertence ao conjunto A, ou seja, a é elemento do conjunto A, portanto a A . E negamos, dizendo que a não pertence ao conjunto A (a não é elemento de A), a A.
5- Tipos de conjuntos
Conjunto unitário
Denominamos conjunto unitário aquele conjunto formado por um único elemento.
Exemplo:
O conjunto das soluções da equação 5x - 3 = 12 é {3}.
O conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias é {fevereiro}
Conjunto vazio
Denominamos conjunto vazio aquele conjunto que não possui elemento algum. O símbolo usual é .
Exemplo:
O conjunto dos meses do ano com mais de 31 dias é .
{ x | x > 0 e x < 0} =
{ x | x é ímpar e múltiplo de 2} =
Conjunto universo
Na matemática, admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos. Esse conjunto U é denominado de conjunto universo.
Desta forma, se procuramos as soluções inteiras de uma equação, nosso conjunto universo é Z (conjunto dos números inteiros), mas se estamos resolvendo um problema, cuja a solução deve ser um número natural, nosso universo é N ( conjunto dos números naturais).
Portanto, quando descrevemos um conjunto A por uma propriedade P é importante mencionar o conjunto universo U na sentença que descreve o conjunto, desta forma:
A = { x U | x tem a propriedade P}
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Conjuntos iguais
Dois conjuntos são iguais, quando todo elemento de A pertencer a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertencer a A, ou seja, os conjuntos possuem os mesmos elementos (sem repetição).
Exemplos:
{ x | x é letra da palavra arara} = {a, r}
{ x Z | x - 2 = 6} = {8}
{a,b,c,d} = {c,a,d,b}
Subconjunto
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, se e somente se todo elemento de A for também elemento de B. Para indicar que A é subconjunto de B ou A é parte de B ou A está contido em B, usamos a notação A B.
Exemplos:
{1,2,3} {0, 1, 2, 3, 4, 5}
{x | x é inteiro e ímpar} Z
{a.,e,i,o,u} {a.,e,i,o,u}
A B.
6- Operações entre conjuntos e propriedades
União ou reunião de conjuntos
Dados dois conjunto A e B, chama-se união de A e B, o conjunto formado por elementos pertencentes a A ou a B.
A B = { x | x A ou x B}
B A
Importante:
1. Se A B, então podemos dizer que B A ( lê-se: B contém A) .
2. A negação de A B é indicada por A B ( lê-se: A não está contido em B) e significa que existe ao menos um elemento de A que não é elemento de B.
4 Exemplos:
{1,2,3,4} {0,2,4,6,8} = {0,1,2,3,4,6,8}
{1,3,5} {2, 4, 6} = {1,2,3,4,5,6}
{3,4,5} = {3,4,5}
=
- Propriedades da União
Sejam quaisquer conjuntos A, B e C, valem as seguinte propriedades:
1a) A A = A (idempotente) 2a) A = A (elemento neutro) 3a) A B = B A (comutativa)
4a) A (B C) = (A B) C (associativa) Sendo A B =
Então:
A B A A B B
OBSERVAÇÃO: O número de elementos da união de dois conjuntos A e B quaisquer é a soma do número dos elementos de A com os de B, subtraindo uma vez o número de elementos da interseção dos conjuntos A e B , ou seja, n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B).
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Interseção de conjuntos
Dados dois conjunto A e B, chama-se interseção de A e B, o conjunto formado por elementos pertencentes a A e a B, ou seja pelos elementos comuns.
A B = { x | x A e x B}
Exemplos:
{1,2,3,4} {0,2,4,6} = {2,4}
{1,2,3,4,5,6} {1,3,5} = {1,3,5}
{1,3,5} {2, 4, 6} = {3,4,5} =
- Propriedades da Interseção
Sejam quaisquer conjuntos A, B e C, valem as seguinte propriedades:
1a) A A = A (idempotente) 2a) A U = A (elemento neutro) 3a) A B = B A (comutativa)
4a) A (B C) = (A B) C (associativa)
Lembre-se: Quando A B = , ou seja A e B não possuem elementos comuns, dizermos que A e B são conjuntos disjuntos.
Sendo A B = Então:
A B A A B B
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Diferença de Conjuntos
Dados dois conjunto A e B, chama-se diferença de A e B, o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.
A - B = { x | x A e x B}
Exemplos:
{1,2,3,4} - {0,2,4,6} = {1,3}
{1,2,3,4,5,6} - {1,3,5} = {2,4,6}
{1,3,5} - {2,4,6} = {1,3,5}
{1,3,5} - {1,2,3,4,5} = Sendo A - B =
Então:
B
Sendo B - A = Então:
Importante:
A - B B – A, porém se A = B então A – B = B – A =
A A A
A A A B
B B
B B
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Conjunto Complementar
Dados dois conjuntos A e B, tais que B A , chama-se complementar de B em relação a A, o conjunto A - B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
B A CAB
Exemplos:
1°) Se A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B { 2, 4, 6,7} então CAB {1,3,5}
2°) Se A = B = {1,4,7,9} então CAB
3°) Se A = 1,2,4,5,6} e B = então CAB A
7- Resumo da Linguagem Simbólica
Lembrando que:
a) A B = { x | x A ou x B}
b) A B = { x | x A e x B}
c) A - B = { x | x A e x B}
d) Se B é subconjunto de A, então CAB AB.
a A Lê-se: a pertence a A Relação de
Pertinência
a A Lê-se: a não pertence a A Relação de
Pertinência A = { x | x tem a propriedade P} Lê-se: A é o conjunto dos x tal que x
tem a propriedade P A = B Lê-se: A é igual a B A B Lê-se: A é diferente de B
A B Lê-se: A está contido em B Relação de
Inclusão
A B Lê-se: A não está contido em B Relação de
Inclusão
A B Lê-se: A contém B Relação de
Inclusão
B
A Lê-se: A não contém B Relação de
Inclusão
Lê-se: conjunto vazio
A
CB Lê-se: complementar de A em relação
a B
A – B Lê-se: A menos B
A B Lê-se: A inter B
A B Lê-se: A união B
8 8- Exercícios Resolvidos
1. Sendo A = {1,8,9}, B = {0,1,5} e C = {2,4,5,6,8}, classifique em V (verdadeiro) ou F (falso):
( ) A = {x | x é algarismo de 1989}
( ) B = {x | x é algarismo do ano em que o Brasil foi descoberto}
( ) C = {x | x é número par compreendido entre 0 e 10}
( ) 1 A ( ) 1 B ( ) 0 A ( ) A - B = ( ) B C =
( ) A B C = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Solução:
(V), pois os algarismos de 1989 são 1, 8 e 9.
(V), pois os algarismos de 1500 são 0, 1 e 5.
(F), pois os números pares compreendidos entre 0 e 10 são 2, 4, 6 e 8.
(V), pois 1 é elemento do conjunto A.
(F), pois 1 é elemento do conjunto B.
(F), pois 0 não é elemento do conjunto A.
(F), pois A - B = {8,9}
(F), pois B C = {5}
(F) A B C = {0,1,2,4,5,6,8,9}
2. Sendo A e B quaisquer conjuntos, assinale as alternativas INCORRETAS:
( ) A - B = B - A sempre ( ) Se A - B = , então A B ( ) (A - B) A sempre
( ) A - B = B - A = , então A = B ( ) (A - B) B sempre
( ) CBABA
Solução:
(x) A - B = B - A sempre (Justificativa: Geralmente A – B B – A; só serão iguais, quando as conjuntos A e B forem iguais.)
( ) Se A - B = , então A B (Justificativa: quando A – B = , isto implica que todos os elementos de A são também elementos de B, logo A é subconjunto de B.)
( ) (A - B) A sempre (Justificativa: A – B é o conjunto dos elementos que pertençam a A e, não a B, logo este conjunto é parte de ª)
9 ( ) A - B = B - A = , então A = B (Justificativa: somente neste caso o conjunto diferença A – B será igual a B – A.)
(x) (A - B) B sempre (Justificativa: Somente quando A = B teremos (A - B) B é verdade. )
(x)CBA BA(Justificativa: o conjunto complementar de A em B só existe, se A for parte de B, e será representado pela diferença B – A.)
3. Sendo os conjuntos A = {1,2,3,4,5}, B = {1,2,4,6,8} e C = {2,4,5,7}, o conjunto X, tal que X A e A - X = B C, é:
a) {2}
b) {2,4}
c) {1,3,5}
d) {1,2,3}
Solução: alternativa c
Se X A, todos os elementos de X são também de A e se A - X = B C = {2,4} , então:
X = {1,3,5}
4. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas. O número de alunos que não estudam Inglês ou francês é:
a) 31 b) 52 c) 60 d) 83
Solução: alternativa d
Sabendo que n(I F) = n(I) + n(F) – n(I F)
n(I F) = 221 + 163 – 52 = 332 alunos estudam inglês ou francês.
Então, existem n(U) - n(I F) = 415 – 332 = 83 alunos que não estudam inglês ou francês. Portanto, as demais alternativas ficam descartadas.
X 1 3 5
A
2
4
10 5. Em certa comunidade de gatos, há três tipos de pelugem: branco, negro e malhado. Sabemos que 70 são brancos, 350 não são negros e 50% são malhados. O número total de gatos é:
a) 630 b) 560 c) 280 d) 210
Solução: alternativa b
B = 70
B + M = 350 (não negros) M = 350 – 70 = 280
Logo, o número total de gatos é 560. Portanto, as demais alternativas ficam descartadas.
Exercícios de Fixação
1. Sendo A = {1,9,8}, B = {1,5,0} e C = {2,4,5,6,8}, classifique em V (verdadeiro) ou F (falso):
a) 1 A b) 1 B c) 1 C
d) 8 A e) 8 B f) 8 C
g) 0 A h) 0 B i) 0 C
j) A = {x/x é algarismo de 1989}
l) B = {x/x é algarismo do ano em que o Brasil foi descoberto}
m) C = {x/x é número par compreendido entre 0 e 10}
2. Escreva todos os elementos de cada um dos seguintes conjuntos:
A= {x /x é número par positivo e menor do que 10}
B= {x/x é letra do alfabeto anterior à g}
C= {x/x é letra inicial do nome dos meses de um ano}
3. Sendo A = {1,2,3}, B = {2,4,6} e C = {1,2,3,4,5,6}, classifique em V ou F:
a) A B b) B C c) C A d) A C e) A C f) B A
4. Sendo A e B conjuntos, classifique em V ou F:
a) A - B = B - A sempre d) Se A - B = , então A B
b) (A - B) A sempre e) Se A - B = B - A = , então A = B c) (A - B) B sempre f) Se A B, então o CAB = B - A
B 70 N 210
M 280
11 5. Dados os conjuntos A = {1,2,3}, B = {3,4} e C = {1,2,4}, determine o
conjunto X, tal que X B = A C e X B = .
6. Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5}, B = {1,2,4,6,8} e C = {2,4,5,7}, obtenha um conjunto X, tal que X A e A - X = B C.
7. Numa cidade existem dois clubes A e B, que têm 6000 sócios. O clube A tem 4000 sócios e os dois clubes têm 500 sócios comuns. Quantos sócios tem o clube B?
8. Em um determinado auditório, existem 56 pessoas que gostam de cerveja, 21 que gostam de cerveja e caipirinha, 106 que gostam apenas de uma das duas bebidas e 66 que não gostam de caipirinha. Quantas pessoas estão no auditório?
9. Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao SUS mostrou que muitos deles mantinham convênio com duas empresas particulares de assistência médica, A e B, conforme o quadro abaixo:
Convênio com A Convênio com B Filiados somente ao SUS
430 160 60
Pergunta-se:
a) Quantos eram filiados às duas empresas A e B?
b) Quantos eram filiados somente à empresa A?
10.Uma empresa colocou no mercado um produto em duas embalagens diferentes, A e B. Depois de algum tempo, entrevistou 200 pessoas num supermercado sobre a preferência pelas embalagens. Dos entrevistados, 120 declararam preferir o tipo A, 142 o tipo B e 30 declararam desconhecer o produto. Quantas pessoas gostariam de encontrar o produto nas duas embalagens?
11.Em uma festa, foram servidos dois tipos de bebidas alcoólicas: vinho e cerveja. Sabe-se que na festa havia 55 pessoas, das quais 30 tomaram cerveja, 15 tomaram vinho e 20 tomaram apenas refrigerante. O numero de pessoas que não tomaram vinho é:
a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40
12 RESPOSTAS:
1. a) V b) V c) F d) V e) F f) V g) F h) V i) F j) V l)V m) F
2. a) A = {2,4,6,8}
b) B = {a,b,c,d,e,f}
c) C = {a,d,f,j,m,n,o,s}
3. a) F b) V c) F d) F e) V f) V
4. a) F b) V c) F d) V e) V f) V
5. X = {1,2}
6. X = {1,3,5}
7. 2.500 sócios 8. 158 pessoas 9. (a) 50; (b) 380 10.92
11.e
