AULA 8 – Estimativa da média aritmética e da proporção - Parte 2
Autor: Anibal Tavares de Azevedo
ESTATÍSTICA PARA ADMINISTRAÇÃO
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS PEQUENAS
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PARA PEQUENAS AMOSTRAS Sejam as seguintes condições:
(1)A população da qual a amostra é extraída segue uma distribuição normal;
(2)O tamanho da amostra é pequeno (n ≤ 30);
(3)O desvio-padrão da população () não é conhecido.
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS PEQUENAS
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PARA GRANDES PEQUENAS
O intervalo de confiança para com nível de confiança (1-)100% é:
t
𝒙̅
se é conhecido
t s
𝒙̅
caso contrário Onde:
𝒙̅
( desvio-padrão da população) e s
𝒙̅
s
(s desvio-padrão da amostra).
O valor de t, aqui utilizado, é lido a partir da tabela de distribuição T-Student adequada para o nível de confiança especificado.
DISTRIBUIÇÃO T-STUDENT BI-CAUDAL
IC 90% 0,10 95% 0,05 99% 0,01
n - 1 = tamanho da amostra - 1
DISTRIBUIÇÃO T-STUDENT UNICAUDAL
IC 90% 0,10 95% 0,05 99% 0,01
gl = n - 1 =
tamanho da amostra - 1
DISTRIBUIÇÃO T-STUDENT BI X UNICAUDAL
IC 90% 0,10 95% 0,05 99% 0,01
UNICAUDAL
BICAUDAL
/2
EXEMPLO 1:
Encontrar valor de t com intervalo de confiança de 95% e n=25
0 1 t
-t’ -1
t’ tal que /2 = 2,5%
dos valores é t>t’
t’ tal que /2 = 2,5%
dos valores é t<-t’
0
t
-t
47,5% dos valores tais que 0 < t < t’
47,5% dos valores tais que -t’< t < 0
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS PEQUENAS
t
Nível de confiança
(1 - ) 100% Nível de confiança 95%
EXEMPLO 1:
Encontrar o valor de t’ tal que a área sob a curva da T- Student padronizada entre 0 e t’ seja 0,475: P(0≤t≤t’)=0,475.
USANDO T-STUDENT UNICAUDAL
Portanto t’ = 2,06
Dica
Observar que para = 5, têm-se /2 = 2,5.
A área debaixo da curva unicaudal será: 2,5% =
0,025
EXEMPLO 1:
Encontrar o valor de t’ tal que a área sob a curva da T- Student padronizada entre –t’ e t’ é 0,95: P(-t’≤t≤t’)=0,95.
UTILIZANDO T-STUDENT BI-CAUDAL
Portanto t’ = 2,06
Dica
Observar 2*/2 = 2*2,5:
têm-se = 5.
A área debaixo da curva bicaudal será: 5% = 0,05
EXEMPLO 2:
Encontrar valor de t com intervalo de confiança de 90% e n=25
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS PEQUENAS
EXEMPLO 2:
Encontrar valor de t com intervalo de confiança de 90% e n=25
0 1 t
-t’ -1
t’ tal que /2 = 5%
dos valores é t>t’
t’ tal que /2 = 5%
dos valores é t<-t’
0
t
-t
45% dos valores tais que 0 < t < t’
45% dos valores tais que -t’< t < 0
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS PEQUENAS
t
Nível de confiança
(1 - ) 100% Nível de confiança 90%
EXEMPLO 2:
Encontrar o valor de t’ tal que a área sob a curva da T- Student padronizada entre 0 e t’ seja 0,45: P(0≤t≤t’)=0,45.
USANDO T-STUDENT UNICAUDAL
Portanto t’ = 1,71
Dica
Observar para = 10, têm-se /2 = 5.
A área debaixo da curva unicaudal será: 5% = 0,05
EXEMPLO 2:
Encontrar o valor de t’ tal que a área sob a curva da T- Student padronizada entre –t’ e t’ é 0,90: P(-t’≤t≤t’)=0,90.
UTILIZANDO T-STUDENT BI-CAUDAL
Portanto t’ = 1,71
Dica
Observar 2*/2 = 2*5:
têm-se = 10.
A área debaixo da curva bicaudal será: 10% = 0,1
EXEMPLO 3:
Uma amostra de 25 adultos do sexo masculino em uma cidade mostrou que o nível de colesterol tem média 186 e desvio- padrão 12. Considerando que nessa cidade o nível de colesterol da população de adultos do sexo masculino segue uma normal, obter o intervalo de confiança de 95% para .
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS PEQUENAS
= 186 = 12
s
𝑥 ̅s Dados
Desvio-padrão amostral
= 2,06 n-1 = 24
Intervalo de confiança com nível 95%
186 2,06s
𝑥 ̅
= 186 2,06(2,4)= 186 4,944 = [181,056; 190,944]
ts
𝒙̅EXEMPLO 4:
Uma amostra de 25 adultos do sexo masculino em uma cidade mostrou que o nível de colesterol tem média 186 e desvio- padrão 12. Considerando que nessa cidade o nível de colesterol da população de adultos do sexo masculino segue uma normal, obter o intervalo de confiança de 90% para .
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS PEQUENAS
EXEMPLO 4:
Uma amostra de 25 adultos do sexo masculino em uma cidade mostrou que o nível de colesterol tem média 186 e desvio- padrão 12. Considerando que nessa cidade o nível de colesterol da população de adultos do sexo masculino segue uma normal, obter o intervalo de confiança de 90% para .
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS PEQUENAS
= 186 = 12
s
𝑥 ̅s Dados
Desvio-padrão amostral
= 1,71 n-1 = 24
Intervalo de confiança com nível 90%
186 1,71s
𝑥 ̅
= 186 1,71(2,4)= 186 4,10 = [181,9; 190,1]
ts
𝒙̅EXEMPLO 5:
Encontrar o valor de t’ tal que a área sob a curva da T- Student padronizada em –t’ e t’ é 0,99: P(-t’≤t≤t’)=0,99.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES
Portanto t’ = 2,7969
Dica
Observar 2*/2 = 2*0,005:
têm-se = 0,01.
A área debaixo da curva bicaudal será: 1% = 0,01
EXEMPLO 6:
Uma amostra de 25 adultos em São Paulo gastam em média R$
1450 em moradia em um mês e desvio-padrão 300. Considerando que nessa cidade o nível de gastos da população de adultos do sexo masculino segue uma normal, obter o intervalo de confiança de 99% para da população.
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS PEQUENAS
= 1450 = 300 s
𝑥 ̅s Dados
Desvio-padrão amostral
= 2,7969 n-1 = 24
Intervalo de confiança com nível 99%
1450 2,7969s
𝑥 ̅
= 1450 2,7969(60)= 1450 167,814 = [1282,186; 1617,814]
ts
𝒙̅EXEMPLO 7:
Uma amostra de 9 adultos em São Paulo gastam em média R$ 1450 em moradia em um mês e desvio-padrão 300. Considerando que nessa cidade o nível de gastos da população de adultos do sexo masculino segue uma normal, obter o intervalo de confiança de 99% para da população.
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS PEQUENAS
EXEMPLO 7:
Uma amostra de 9 adultos em São Paulo gastam em média R$ 1450 em moradia em um mês e desvio-padrão 300. Considerando que nessa cidade o nível de gastos da população de adultos do sexo masculino segue uma normal, obter o intervalo de confiança de 99% para da população.
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS PEQUENAS
= 1450 = 300 s
𝑥 ̅s Dados
Desvio-padrão amostral
= 2,7969 n-1 = 9
Intervalo de confiança com nível 99%
1450 2,7969s
𝑥 ̅
= 1450 2,7969(100)= 1450 279,69 = [1170,31; 1729,69]
ts
𝒙̅ERRO MÁXIMO PARA A ESTIMATIVA DE
ERRO MÁXIMO PARA ESTIMATIVA DE
É representado por E, e corresponde ao valor que é subtraído e adicionado ao valor de , de modo a obter um intervalo de confiança para .
z
𝒙̅
se é conhecido zs
𝒙̅caso contrário Onde:
𝒙̅
( desvio-padrão da população) e s
𝒙̅
s
(s desvio-padrão da amostra).
O valor de z, aqui utilizado, é lido a partir da tabela de distribuição Normal padronizada para o nível de confiança especificado.
Como determinar o valor de n?
População ou População-alvo
Amostra
TAMANHO DA AMOSTRA PARA A ESTIMATIVA DE
z
O erro máximo E é:
Logo, dados E, e IC (z), é possível estimar n com:
Caso não se conheça , então, usa-se o desvio- padrão s de uma amostra preliminar. Porém, s pode introduzir um erro no valor de n.
TAMANHO DA AMOSTRA PARA A ESTIMATIVA DE
EXEMPLO 8:
Uma associação de endividados deseja estimar a média aritmética das dívidas. Sabe-se que o desvio-padrão da população das dívidas corresponde a R$ 11.800. Qual deve o n da amostra tal que a estimativa com nível de confiança de 99%, esteja contida no intervalo de R$ 800 em relação à .
= 11800
Dados E = 800 = 2,58
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
TAMANHO DA AMOSTRA PARA A ESTIMATIVA DE
EXEMPLO 9:
Uma associação de endividados deseja estimar a média aritmética das dívidas. Sabe-se que o desvio-padrão da população das dívidas corresponde a R$ 11.800. Qual deve o n da amostra tal que a estimativa com nível de confiança de 95%, esteja contida no intervalo de R$ 800 em relação à .
TAMANHO DA AMOSTRA PARA A ESTIMATIVA DE
EXEMPLO 9:
Uma associação de endividados deseja estimar a média aritmética das dívidas. Sabe-se que o desvio-padrão da população das dívidas corresponde a R$ 11.800. Qual deve o n da amostra tal que a estimativa com nível de confiança de 95%, esteja contida no intervalo de R$ 800 em relação à .
= 11800
Dados E = 800 = 1,96
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
