Cone
As Cônicas
Cônicas no cotidiano
1ª Lei de Kepler : os planetas giram em torno do Sol em órbitas elípticas, ocupando o Sol um dos focos.
Elipse
A Matemática da construção
Elipse
• Definição
• Notações usuais:
e = , onde 0 e < 1.
• Excentricidade
O Teorema de Pitágoras
Forma canônica da Elipse centrada na origem
Por definição, se P = (x, y) pertence à elipse então:
d(P,) + d(P, ) = 2a Logo,
= 2a
= 4a²
= 4a² - 2y² - (x + c)² - (x – c)² = 4a² - 2y² - 2x² - 2c²
= 2a² - y² - x² - c²
Ou ainda:
= 2a² - y² - x² - c²
(x² + c² + y²)² - 4c²x² = ²
(x² + c² + y²)² - 4c²x = 4 - 4a²(x² + c² + y²) + (x² + c² + y²)²
- 4c²x² = 4 - 4a²(x² + c² + y²) - c²x² = -a²(x² + c² + y²)
Substituindo c² = a² - b²:
-(a² - b²)x² = -a²(x² + a² - b² + y²) -a²x² + b²x² = - a²x² - + a²b² - a²y²
Dividindo ambos os membros por a²b²:
=1 -
Concluímos assim, que a equação da elipse é dada por:
+ = 1
•
Exemplos
1) Os vértices de uma elipse são os pontos (4, 0) e (-4, 0), e seus focos são os pontos (3, 0) e (-3, 0). Determine a equação da elipse.
2) Dois vértices de uma elipse E são os pontos (0, 6) e (0,-6), e seus focos são os pontos (0, 4) e (0,-4). Determine a equação da elipse E.
3) Os focos de uma elipse são os pontos (2, 0) e (-2, 0), e sua excentricidade é 2/3. Determine a equação da elipse.
4) Uma elipse E tem seu centro na origem e um de seus vértices sobre a reta focal é (0, 7). Se a elipse passa pelo ponto (, 14/3), determine sua equação, seus vértices, seus focos e sua excentricidade. Faça, também um esboço da elipse.
•
Hipérbole
A matemática da construção
Hipérbole
• Definição
• Notações usuais
Forma canônica da Hipérbole centrada na origem
Forma canônica da hipérbole centrada na origem
Exemplos
1) Caso a curva representada pela equação 9x² - 25y² -225 = 0. seja uma hipérbole, determine seus principais elementos.
2) Determine a equação da hipérbole equilátera com focos nos pontos (– 0) e ( 0).
•
3) Mostre que a excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é .
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Parábola
A Matemática da construção
Parábola
• Definição
• Notações usuais
Forma canônica da parábola centrada na origem
y² = 4xp y² = - 4xp
x² = 4yp x² = - 4yp
Exemplos
Determinar a equação da parábola P com vértice V na origem, cujo foco é o ponto F = (3, 0).
Transformações de coordenadas
Translação de eixos
{��´´ ==�� −− �� ��
Rotações de eixos coordenados
Elipse transladada
+ = 1
