•Estruturas de dados lineares são muito importantes para a computação

(1)

(2)

• Estruturas de dados lineares são muito importantes para a computação

– Porém, não são adequadas para representar dados que devem ser dispostos de maneira hierárquica

• Árvores são ideais para armazenar hierarquias, além de serem mais rápidas e eficientes do que as estruturas de dados lineares

(3)

• É formada por um “conjunto de nós”, através de uma relação de hierarquia ou composição

– Cada elemento da árvore tem um elemento pai e zero ou mais elementos filho

– Com exceção do elemento do topo, normalmente chamado de raiz

• Exemplos

– Estrutura de uma empresa – Relações familiares

– Organização de um livro

(4)

Diretórios em um Sistema Operacional

(5)

Raiz

Nó Interno

Folha

(6)

• Raíz

– Nó sem pai

• Nó

– Elemento qualquer

• Subárvore

– Formada por todos os nós filhos, a partir de um nó qualquer

• Folha/Terminais

– Nó que não possui subárvores

(7)

• Árvore formada a partir de um determinado nó

• Árvore A possui 2 subárvores:

– A = {B, C }

• Árvore C possui 3 subárvores:

– C = {D, E, F}

Onde

• D = {G,H}

• F = {I}

A

B C

D E F

G H I

(8)

• Percurso da raiz até um determinado nó

– Só existe um caminho para cada nó

A

B C

D E F

G

(9)

• Representa a distância de um nó até a raiz

• Por definição, a raiz da árvore tem nível 0

• O nó de maior nível fornece a altura da árvore

– Profundidade

A

B C

D E F

G H I

0 1

2

3

(10)

• Tamanho do maior caminho desde a raiz até uma folha

• Altura de uma folha é 0

• Altura de um nó é um mais a altura do seu filho de maior altura

• Altura da árvore: altura da raiz

(11)

A

B C

D E G

H

F

Altura 3

Altura 2

Altura 0 Altura 1

(12)

• Dado pela quantidade de descendentes (filhos) permitido a cada nó

– Toda folha tem grau zero

A

B C

D E G

H

F

Grau 2

Grau 3

Grau 0 Grau ?

Grau ?

(13)

• Quando os filhos de cada nó estão ordenados

A

B C

D E F G

A

B C

D E

G F

Árvore Ordenada Árvore não

Ordenada

(14)

• Coincidentes através de uma permutação na ordem das subárvores de seus nós

A

B C

D E F G

A

B C

D E

G F

(15)

• Árvore Genealógica

Pedro

André Maria

César Rodrigo Viviane

Cláudio Márcia

Marcelo

Laura

(16)

• Quantos elementos possui a árvore?

• Qual é o nó raiz?

• Quais as subárvores do nó raiz?

• Qual é a altura da árvore?

• Qual é o grau da árvore?

(17)

• A árvore possui 10 nós

• O nó Pedro é a raiz da árvore, que tem 3 subárvores

– Maria, André e Marcelo

• Pedro e Maria têm grau 3, enquanto André tem grau 2 e Marcelo tem grau zero

• A árvore tem altura 3 e o seu grau também é 3

(18)

• Natural

– O nó raiz ocupa a parte inferior da árvore e os demais estão acima dele (natural das árvores)

A

B C

F G

D E

(19)

• Endentação

– Forma utilizada para representar árvores por barras (lembra o sumário de livros)

A B D E C F G

(20)

• Conjuntos

– Representa árvores como conjuntos aninhados

D E F

G

H

B A C

(21)

• Nível

– Utiliza sequência de parênteses para representar a relação entre os nós da estrutura

( A ( B (D) (E) ) ( C (F) (G) (H) ) )

(22)

• Passagem de forma sistemática por cada um de seus nós

• Formas de percorrer uma árvore:

– Pré-ordem ou prefixa (busca em profundidade) – Em ordem ou infixa (ordem central)

– Pós-ordem ou posfixa – Em nível

(23)

• Pré-ordem

– Visita a raiz, depois a subárvore esquerda e depois subárvore direita

4

2 6

5 7

1 3

+

1 *

6 2

4 2 1 3 6 5 7 + 1 * 6 2

(24)

• Em-ordem

– Visita a subárvore esquerda, depois a raiz, e finalmente a subárvore direita

4

2 6

5 7

1 3

+

1 *

6 2

1 2 3 4 5 6 7 1 + 6 * 2

(25)

• Pós-ordem

– Visita a subárvore esquerda, depois a subárvore direita e por último a raiz

4

2 6

5 7

1 3

+

1 *

6 2

1 3 5 7 2 6 4 1 6 2 * +

(26)

• Em Nível

– Percorre a árvore de cima para baixo e da esquerda para a direita

4

2 6

5 7

1 3

+

1 *

6 2

4 2 6 1 3 5 7 + 1 * 6 2