Regra de CramerRegra de Cramer

Autarquia Ensino Superior de Garanhuns – AESGA Faculdades de Integradas de Garanhuns – FACIGA Curso de Engenharia Civil

Professor: Carlos Eduardo de Oliveira

Disciplina: Álgebra Linear Período Letivo: 2019.1

Regra de Cramer Regra de Cramer

(Notas de Aula 10)

Soluções de Sistemas Lineares Soluções de Sistemas Lineares

O cálculo da matriz inversa nos fornece outro método para resolver um sistema de equações lineares, mas apenas quando temos um sistema de equações lineares, com o número de equações iguais ao número de incógnita. Considere o seguinte sistema:

Podemos reescrever na forma matricial:

a ₁₁ x  a ₁₂ y  a ₁₃ z  a ₁₄ w = b ₁

a ₂₁ x  a ₂₂ y  a ₂₃ z  a ₂₄ w = b ₂

a ₃₁ x  a ₃₂ y  a ₃₃ z  a ₃₄ w = b ₃

a ₄₁ x  a ₄₂ y  a ₄₃ z  a ₄₄ w = b ₄

Soluções de Sistemas Lineares Soluções de Sistemas Lineares

Quando escrevemos na forma, A·X = B, se det A ≠ 0, podemos garantir que existe a inversa da matriz A, logo,

[ ^{a a a a 11 21 31 41 a a a a 12 32 22 42 a a a a 13 23 33 43 a a a a 14 24 34 44} ] ^{⋅ [ w x y z ] =} [ ^{b b b b 1 2 3 4} ]

A ⋅X = B

A ⁻¹ ⋅ A ⋅X = A ⁻¹ ⋅ B I _n ⋅X = A ⁻¹ ⋅ B

X = A ⁻¹ ⋅ B

Soluções de Sistemas Lineares Soluções de Sistemas Lineares

Usando a informação que

A ⁻¹ = 1

det  A  ⋅ adj  A 

podemos escrever a solução do sistema da forma

X = 1

det  A  ⋅ adj  A  ⋅ B

[ ^{w ⋮ x} ] ^{= det 1  A  ⋅} [ ^{  ⋮ 11 41 ⋯  ⋯  ⋮ 14 44} ] ^⋅ [ ^{b b ⋮ 1 4} ]

ou

Soluções de Sistemas Lineares Soluções de Sistemas Lineares

Assim, cada uma das soluções poderá ser escrita como

x = det  A _x  det  A 

Onde as matrizes dos numeradores são obtidas a partir da matriz dos coeficientes, substituindo as colunas pela matriz dos termos independentes.

y = det  A _y  det  A 

z = det  A _z  det  A 

w = det  A _w  det  A 

A

= [ ^{b b b b}

^{a a a a}

^{a a a a}

^{a a a a}

]

Soluções de Sistemas Lineares Soluções de Sistemas Lineares

As demais matrizes são dadas por

A

= [ ^{a a a a}

^{a a a a}

^{a a a a}

^{b b b b}

]

A

= [ ^{a a a a}

^{b b b b}

^{a a a a}

^{a a a a}

] ^A

⁼ [ ^{a a a a}

^{a a a a}

^{b b b b}

^{a a a a}

]

Soluções de Sistemas Lineares Soluções de Sistemas Lineares

Para sistemas de três incógnitas e três equações temos:

x = det  A _x  det  A 

y = det  A _y  det  A 

z = det  A _z  det  A 

A

= [ ^{b b b}

^{a a a}

^{a a a}

] ^A

⁼ [ ^{a a a}

^{b b b}

^{a a a}

] _A

z

= [ ^{a a a}

^{a a a}

^{b b b}

]

Exercícios Exercícios

1) Resolva utilizando a Regra de Cramer os seguintes sistemas.

x  4 y  3 z = 1 2 x  5 y  4 z = 4 x − 3 y − 2 z = 5 x  y  z  w = 0 x  y  z − w = 4 x  y − z  w =−4 x − y  z  w = 2

x  2 y  z = 7 2 x  3 y − z =−1 4 x − y  2 z = 18 x  2 y − z = 0 3 x  9 y  5 z = 4 x  5 y  7 z = 5

a) b)

c) d)

1)

Exercícios Exercícios

2)

a)

b)