S ô b r e um P r o b l e m a de Passagem ao Limite
Trabalho apresentado na Segunda Reunião Anual da Sociedade Brasileira para o Progresso da Ciência,
realizada em Curitiba, em novembro de 1950.
FREDERICO PIMENTEL GOMES Assistente e Livre-docente de Matemática
Universidade de São Paulo
ÍNDICE
1 — Introdução 70 2 — O Cálculo do Limite 70
3 — Outra Marcha a Seguir 74
4 — Bibliografia 74
1 — INTRODUÇÃO
Em trabalho anterior (PIMENTEL GOMES, 1948) discu- timos o
i h - ( x - a ) - . -
oo e N k 1
h m 2 .
N —oo i = 1 i 0 + 1 N
( 1 + - ) N x — a
sendo x — a> 0 , k = , (-} um número real positivo e N
lim h
— = 1 . 0 resultado exposto está correto, mas exige N —* oo k
justificação melhor. Este artigo tem por fim deduzir, por um método inteiramente diferente do que foi antes utilizado, o li- mite acima indicado.
2 — O CÁLCULO DO LIMITE Das condições expostas, segue-se que
i h - ( x - a ) - . -
. . oo e N k 1
k 11 m 27
~ N - * o o i = 1 i / 9 4 - 1 ' N d + - )
N i
— (x—a)— (1+ a)
. . oo e N 1
11 m £ ,
N ^ o o i = = 1 i e + } ' N d + - )
N
1
onde a > 0 com . N
Temos, porém,
- ( x - a ) - (1+a) i i e N
- ( x a> - (1+a) - ( x - a ) - (1+a)
N N i 0 + 1
0 + " )
e e N
. — ^
6>+1 _ 0 + 1 - ( x a) — (1+a)
i i e N
0 + - ) ( 1 + - )
N N 0 + 1 (1 + - ;
N sendo i — 1 < i < i tal que
i i
— (x—a) — ( 1 + a ) / » - — ( x —a) y ( l + a) e N 1 / N c
. . - = I d y .
i 0 + 1 N I i—1 0 + 1 (1 + - )
J
(1 + y)N N Logo
- ( x - a ) - ( 1 + a )
P e N 1
F i=1 i 0 + 1 N (1 + - )
N
i
/
"* — (x—a) y (1+ a) N e
dy , d + y)
N
em que Yi é um fator que tende para 1 quando N > oo , 1
qualquer que seja P. Para H = — vem N
/
•iH - ( x - a ) y (1+ a) e
- d y , 6>+ 1
( i - l ) H d + y ) onde
- (x—a) i H ( l + « ) e
0 + 1 (1 + iH)
Yi =
— (x—a) T H (1+ a) e
_ 0 4-1 d + i H)
— (x—a) H (i—i) (1 + a) 1 + i~H
( ) 1 + iH
6 1 + 1 ( i - i ) (1 + a) i - i - ( x - a ) (1 )
= e N N+i
Qualquer que seja i , Yi converge uniformemente para 1, pois temos
1
— (x—a) — (1 + a) 1 0 + 1 1 > Yi> e N (1 - - . ) ;
N Temos pois
/
iH _ (x—a) y (1 + a) e
. dy = e + i
(Í-DH +
p
/
— — (x--a) y (1 + a) N e
' • dy ' 0 + 1
o <i + y)
Mas, como a integral
/
oo — (x—a) y (1 + a)
- - - — dy
e+i
0 d + y)
Converge, para 1 + a > O, segue-se ^que existe o 1 i m Xp ,
P — oo
uma vez que se trata de uma sucessão crescente e restrita acima.
E temos
f - ( x - a ) ( 1 + a) - „ 1 I > 1 i m X 4 > l i e N 0 • - '
P - Ò O p
L
N JAgora, se N 2 00 , obtemos enfim, utilizando a con- vergência uniforme da integral,
/
00 — (x—a) y
C dy
• e+i
o d + y) 3 — OUTRA MARCHA A SEGUIR
Ao mesmo resultado se chegaria também através da de- monstração de que
lim f lim X "1 ü m T X 1 N—00 L P—oc P J ~ P ^ o o L N—00 P J ' demonstração que é, porém, mais trabalhosa e que abordare- mos em outra oportunidade.
4 — BIBLIOGRAFIA
PIMENTEL GOMES, Frederico — (1948). "Introdução ao Es- tudo dos Derigrais". Piracicaba.
