AB AC

(1)

VALOR 3,5 PONTOS.

Não serão aceitas respostas sem as devidas justificativas!!!

1) Um poliedro convexo tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. (Valor: 0,75) Solução.

a) Quantas faces têm esse poliedro?

O número de faces é a soma das 6 triangulares com as 5 quadrangulares: 11 faces.

b) Quantas arestas?

O total de arestas é determinado pelo produto do número de arestas de cada face pelo número de faces. Como cada duas faces determinam uma aresta, essa é contada duas

vezes. Logo 18

2 39 2

20 18 2

) 4 ( 5 ) 3 ( 6

2   

 



 nF

A arestas.

c) Quantos vértices?

Utilizando a relação de Euler A + 2 = V + F, temos: V = 18 – 11 + 2 = 10

2) Determine o valor de m de modo que os pontos A(-1, 3), B(2, 5) e C(m,– 3): (Valor: 1,5) Solução.

a) sejam vértices de um triângulo retângulo em A;

Para que o ângulo reto seja em A, os vetores _AB e AC devem ser perpendiculares, isto é, o produto escalar entre eles é nulo.

i) AB  B  A  ( 2 , 5 )  (  1 , 3 )  ( 3 , 2 ) ii) AC  C  A  ( m ,  3 )  (  1 , 3 )  ( m  1 ,  6 )

Temos: 3

3 3 0 12 12 3 0 3

.

)6 ).(2(

)1 ).(3(

.      



 









 m m

AC AB

m AC AB

b) a área do triângulo seja 6.

Para que a área seja 6, calculamos o módulo do determinante da matriz com as coordenadas e resolvemos a equação.

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III NOTA:

3

^a

CERTIFICAÇÃO DE MATEMÁTICA  3

^a

SÉRIE  MANHÃ PROFESSOR(A): _____________COORDENADORA: MARIA HELENA NOME: GABARITO TURMA:... N

^o

:...

 



 



 

 

 



 

























2 16 20 12

2 4 20 12 12

2 20 6 )]6 3 5(

)6 3 5 2 [(

6 1 1 3

1 5 2

1 3 1 2 1

m m m

m m

m

(2)

Logo, os valores possíveis são: m= -4 e m = -16.

3) Determine a equação da reta paralela à reta cuja equação é 3x – 2y + 5 = 0 e que passa pelo ponto A(4, – 7).

(Valor: 0,75) Solução.

Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular.

i) coeficiente angular de 3x – 2y + 5 = 0: ^.

2 3 2

5 2 5 3

3 2        

 y x y x m

ii) A reta procurada é da forma . 2 3 x b

y   Como a reta passa por (4, -7), esse ponto

satisfaz à equação. Logo, .( 4 ) 7 6 13 . 2

7  3        

 b b b

A equação possui, então, equação:

0 26 2 3

2 13 3





 y x ou

x y

4) Determine a equação da reta que contém o lado AB do triângulo eqüilátero da figura:

(Valor: 0,5) Solução.

O triângulo eqüilátero possui três ângulos iguais a 60º e no caso os lados medindo 4. O ponto A(x,y) não é lido na figura, mas pode ser

determinado.

A reta possui inclinação de 120º e o coeficiente angular é dado por ^m ^ ^tg ¹²⁰ ^º ^ ^ ³ . A equação é da forma ^y ^ ^ ³ ^x ^ ^b . O ponto (2,0) pertence à reta, logo o ponto satisfaz à equação. Temos:

. 3 2 )

2 .(

3 0    b  b 

Logo a equação é ^y ^ ^ ³ ^x ^ ² ³ OBSERVAÇÕES.

1) O ponto onde a reta intercepta o eixo Y é portanto A  ⁽ ⁰ ^, ² ³ ⁾ . A distância entre o ponto (2,0) e A  ⁽ ⁰ ^, ² ³ ⁾ é dada por:

4 12 4 ) 3 2 0 ( ) 0 2

( 

²

 

²

  



d (lado do triângulo).

2) O ponto ^A ^ ⁽ ⁰ ^, ² ³ ⁾ indica a altura do triângulo eqüilátero.

AB AC

VALOR 3,5 PONTOS.

Não serão aceitas respostas sem as devidas justificativas!!!

1) Um poliedro convexo tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. (Valor: 0,75) Solução.

a) Quantas faces têm esse poliedro?

O número de faces é a soma das 6 triangulares com as 5 quadrangulares: 11 faces.

b) Quantas arestas?

O total de arestas é determinado pelo produto do número de arestas de cada face pelo número de faces. Como cada duas faces determinam uma aresta, essa é contada duas

vezes. Logo 18

2 39 2

20 18 2

) 4 ( 5 ) 3 ( 6

2   

 



 nF

A arestas.

c) Quantos vértices?

Utilizando a relação de Euler A + 2 = V + F, temos: V = 18 – 11 + 2 = 10

2) Determine o valor de m de modo que os pontos A(-1, 3), B(2, 5) e C(m,– 3): (Valor: 1,5) Solução.

a) sejam vértices de um triângulo retângulo em A;

Para que o ângulo reto seja em A, os vetores AB e AC devem ser perpendiculares, isto é, o produto escalar entre eles é nulo.

i) AB  B  A  ( 2 , 5 )  (  1 , 3 )  ( 3 , 2 ) ii) AC  C  A  ( m ,  3 )  (  1 , 3 )  ( m  1 ,  6 )

Temos: 3

3 3 0 12 12 3 0 3

.

)6 ).(2(

)1 ).(3(

.      



 









 m m

AC AB

m AC AB

b) a área do triângulo seja 6.

Para que a área seja 6, calculamos o módulo do determinante da matriz com as coordenadas e resolvemos a equação.

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III NOTA:

3

CERTIFICAÇÃO DE MATEMÁTICA  3

SÉRIE  MANHÃ PROFESSOR(A): _____________COORDENADORA: MARIA HELENA NOME: GABARITO TURMA:... N

:...

 



 



 

 

 



 

































2 16 20 12

2 4 20 12 12

2 20 6 )]6 3 5(

)6 3 5 2 [(

6 1 1 3

1 5 2

1 3 1 2 1

m m m

m m

m

Para que o ângulo reto seja em A, os vetores _AB e AC devem ser perpendiculares, isto é, o produto escalar entre eles é nulo.

i) coeficiente angular de 3x – 2y + 5 = 0: ^.

A reta possui inclinação de 120º e o coeficiente angular é dado por ^m ^ ^tg ¹²⁰ ^º ^ ^ ³ . A equação é da forma ^y ^ ^ ³ ^x ^ ^b . O ponto (2,0) pertence à reta, logo o ponto satisfaz à equação. Temos:

Logo a equação é ^y ^ ^ ³ ^x ^ ² ³ OBSERVAÇÕES.

1) O ponto onde a reta intercepta o eixo Y é portanto A  ⁽ ⁰ ^, ² ³ ⁾ . A distância entre o ponto (2,0) e A  ⁽ ⁰ ^, ² ³ ⁾ é dada por:

2) O ponto ^A ^ ⁽ ⁰ ^, ² ³ ⁾ indica a altura do triângulo eqüilátero.