.136132511).12(511).113(513

LISTA DE EXERCÍCIOS – PROGRESSÕES ARITMÉTICAS - GABARITO 1) Complete cada seqüência de números e coloque um “X” se representam progressões aritméticas.

a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ( ) b) -5, -6, -7, -8, -9, -10 ( X ) c) 10, 13, 17, 22, 28 ( ) Solução. A letra (b) é a única opção onde a diferença entre cada termo é constante: r = -1.

2) Uma seqüência numérica é determinada segunda a lei a

n

= n

²

+ 1. Exiba os sete primeiros termos dessa seqüência e avalie se representa uma progressão aritmética e nesse caso calcule a razão.

Solução. Calculando os valores de a

n

para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, temos:

a

1

= (1)

²

+ 1 = 2; a

2

= (2)

²

+1 = 5; a

3

= (3)

²

+ 1 = 10; a

5

= (5)

²

+ 1 = 26;

a

6

= (6)

²

+ 1= 37; a

7

= (7)

²

+ 1 = 50

A seqüência a

n

= 2, 5, 10, 26, 37, 50 não possui a mesma diferença entre os termos. Não é uma progressão aritmética.

3) Uma progressão aritmética de razão 4 possui cinco termos. Se o último termo vale 1000, qual o primeiro termo?

Solução. O termos geral de uma P.A. é a

n

= a

1

+ (n – 1)r. Pelos dados a

1

= ?; n = 5; r = 4 e a

5

= 100 Substituindo os valores, temos: 1000  a

₁

 ( 5  1 ). 4  1000  a

₁

 16  a

₁

 1000  16  984

4) Em cada item os três números estão em progressão aritmética. Encontre o termo desconhecido.

a) _____, 23, 37 b) 5, ______, 15 c)

Solução. Numa progressão aritmética cada termo é a média aritmética entre o sucessor e antecessor.

Para cada caso, temos:

a) 46 37 9

2

23  a

¹

 37  a

₁

  

b) 10

2 15 5

2

 



a c)

3 17 6 34 2 3 34 2

3 32 3 2

2

   

 a

5) O termo geral de uma progressão aritmética é calculado pela fórmula a

n

= a

1

+ (n – 1)r.

a) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13º termo:

Solução. Pela fórmula, temos: a

13

 ⁵  ^{( 13}  ^{1 ). 11}  ⁵  ^{( 12 ). 11}  ⁵  ¹³²  ^{136 .} COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III

2ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

b) Dados a

5

= 100 e r = 10 calcule o primeiro termo:

Solução. Utilizando a fórmula do termo geral, podemos escrever a

5

= a

1

+ 4r. Substituindo, vem:

. 60 40 100 )

10 )(

4 (

100  a

₁

  a

₁

  

c) Sendo a

7

= 21 e a

9

= 27 calcule o valor da razão:

Solução. O nono termo de uma progressão aritmética é encontrado a partir do sétimo pela adição duas vezes seguidas da razão. Isto é: a

9

= a

7

+ 2r. Logo, 3 .

2 21 ) 27

)(

2 ( 21

27   r  r   

d) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:

Solução. O valor procurado na progressão é o que indica o número de termos. Isto é a

n

= -13.

Substituindo na fórmula, temos:

. 6 7

6 36 36

6 6 23 13 ) 6 )(

1 ( ) 6 )(

1 ( 23

13 





 

































 n n n n

O elemento -13 ocupa a sétima posição.

e) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:

Solução. Aplicando a propriedade da média aritmética entre os termos, temos:

3 2 2

3 2 2 2 5

) 3 ( ) 2

1  (        

 x x x x x x

x . A seqüência é: 



 



  , 2 3 , 5 3 4

a

n

e

3

 1

r .

f) Qual o milésimo número ímpar positivo?

Solução. Números ímpares são seqüências de razão 2 com primeiro elemento igual a 1. O último termo ocupa a posição n = 1000. Substituindo na fórmula temos:

. 1999 2

).

999 ( 1 )

2 )(

1 1000 (

1

₁₀₀₀₁

1000

    a   

a

g) Qual o número de termos da PA: (100, 98, 96, ... , 22)?

Solução. Observa-se que a P.A. é decrescente ( r < 0). A razão vale (98 – 100 = - 2).

. 2 40 2 80

78 2

78 2 2

100 22 ) 2 )(

1 ( ) 2 )(

1 ( 100 22

 

 









































n n

n

n n

Logo há 40 termos.

h) Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?

Solução. Escrevendo a

5

= a

1

+ 4r e a

20

= a

1

+ 19r é possível construir um sistema da seguinte forma:

15 .2 3015 30 1960

430 1960

)1(4 30

1 1 1

1  

 





 

 





 rr

ra ra ra

xra

O termo a

1

= 30 – 4(2) = 22.

6) A soma dos termos de uma progressão aritmética é calculado pela fórmula

2 ).

( a

₁

a n S

_n

 

ⁿ

.

a) Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A.: ( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?

Solução. Como há várias variáveis vamos dividir a reposta em etapas:

a) Razão: .

5 2 5

7 5 5

1  7    

r  Progressão aritmética decrescente.

b) Expressão de a

n

: .

5 2 5 9 5

2 5 2 5 7 5

) 2 1 5 (

7 n

n a a

n

a

_n

 

_n

   

_n

 



 

  







c) Expressão da soma: b) Expressão de a

n

:

5 . ) 8 ( 10

2 16 2

5 . 2 5 9 5 7

2

n n

n n n

n

S

_n



 



 

 



  



Para que S

n

seja negativa basta que o numerador da fração seja negativo. Como n representa o número de termos tem que ser positivo. Logo para que n(8 – n) seja negativo, basta que 8 – n < 0 o que significa que n > 8. O número mínimo determos deve ser 9.

b) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x

²

- 5 e estão em P.A. nesta ordem.

Calcule o perímetro do triângulo.

Solução. Aplicando a propriedade da média aritmética, temos:

 



 





 



 



 

 

 











 















 



 

2 2 5 3

2 4 5 3 2

25 3 2

16 9 3 )1(

2

)4 )(

1(

4 )3 ( )3 (

0 4 3 4

2 4 )5 ( )1 2 (

2 2 1

2 2

2

x x x

x x x

x x x

x x

O valor x = -2 deve ser ignorado, pois implicaria que o lado (2x) valeria (-2). Logo x = 4. Os lados portanto medem: 5, 8 e 13. O perímetro vale 5 + 8 + 13 = 24.

c) Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.

Solução. Escrevendo a

3

= a

1

+ 2r; a

7

= a

1

+ 6r; a

4

= a

1

+ 3r e a

9

= a

1

+ 8r, montamos o sistema:

 



 



 







 

 





 

 











2 25 )10(1160 3 10 30 112 303

60 82 30 )8() 3(60

)1() 6() 2(30

1 1

1 1

1 1 1

a r ra r

ra rar

a

xr ar a

O centésimo termo será: a

₁₀₀

  25  ( 100  1 )( 10 )  a

₁₀₀₁

  25  990  965 .