Exercicios Resolvidos Sequencias PA

(1)

Seqüências ou Sucessões

Termo Geral PA => a_n =a₁+(n−1)r

Soma dos termos de uma PA ⇒_S_n₌

2

1 an a +

.n

Si-S p= TM ⇒ Termo Médio ⇒ TM = 2

1 an a +

Sp= soma dos números pares Si= soma dos números ímpares

S p-Si= 2

.r n

1. O valor de “K” para que 2K-1, 3K e 3K+2 formem nesta ordem uma PA, é igual a:

Solução:

(2K-1;3K;3K+2)PA 3K-(2K-1)=3K+2-3K

3K-2K+1=2 K=1 r=2

2. O 15.º termo da PA onde a1 = -7 e r = 3, vale:

Solução:

a₁₅ =? a₁ = -7 r = 3

r n a

a_n = ₁+( −1)

a₁₅ = a₁+14r ⇒_a₁₅_{= -7+14.3}⇒_a₁₅_{= -7+42}

a₁₅ = 35

3. Qual é a razão de uma PA de 23 termos cujo primeiro termo é 8 e o último 74?

Solução:

r=? a_n =a₁+(n−1)r

n=23 a₁=8 a_n= a₂₃=74

a₂₃= a₁+22r ⇒_74=8+22r⇒_r=

22 66

=3

4. Quantos múltiplos de 7 existem entre 100 e 300?

Solução:

PA de r =7

100 divido por 7 dá resto 2 (100-2=98+7=105), logo, se dividirmos 105 por 7, dará resto zero, equivalem ao 1.º termo da seqüência.

300 divido por 7 dá resto 6 (300-6=294), logo, se dividirmos 294 por 7, dará resto zero, equivalem ao último termo da seqüência.

(2)

294=105(n-1)7 ⇒_189=(n-1)7⇒_n=28

5. O 20.º termo de uma PA onde a₇=20 e a₁₃=38, é igual a:

Solução:

a₂₀=? a₇=20 a₁₃=38 a_n =a₁+(n−1)r

a₂₀= a₁+19r ⇒_a₂₀_{= a}₇_+13r⇒_a₂₀_{= a}₁₃_+7r

a₁₃= a₇+6r ⇒_38=20+6r⇒_r=3

a₇= a₁+6r ⇒_20=a₁_+6r

a₁₃= a₁+12r ⇒_38=a₁_+12r⇒_{subst: 38= a}₁_+12.3⇒_a₁₌₂

18=0+6r ⇒_r=3

a₂₀= a₁+19r

a₂₀= 2+19.3

a₂₀= 59

6. Obter 3 números em PA de modo que sua soma seja 18 e seu produto 66

Solução: 3n.º⇒_(x-r,x,x+r)

3(x-r)+x(x+r)=18 ⇒_3x=18⇒_x=6

(x-r).x.(x+r)=66 ⇒_{(6-r).6.(6+r)=66}⇒_{r=5 (1 , 6 e 11)}

7. A Soma do antecessor com o sucessor do 5.º termo da série dada por

a_n=n(n−5)(n−6) para n∈IN* é:

Solução:

a₄+ a₆=? a_n =a₁+(n−1)r

n=4 n=6

a₄=4(4−5)(4−6) a₆=6(6−5)(6−6)

a₄=4(−1)(−2) a₆=6(1)(0)

a₄=42 a₆=60

a₄=16 a₆=1

a₄+ a₆=16+1=17

8. Se em uma PA a diferença entre o 6.º e o 3.º termos é igual a 12, então, a razão vale:

Solução:

a₆-a₃=12 a_n =a₁+(n−1)r r=?

a₆= a₁+5r

a₃= a₁+2r

(3)

9. O termo geral da seqüência ,5,... 2 7 , 2 , 2 1 é: Solução:

a_n=? a₁=

2 1

a₂=2 a₃=

2 7

a₄=5

achando a razão ⇒_a₂_{= a}₁_+r⇒₂₌

2 1

+r ⇒

2 1 4− _⇒

r= 2 3 r ) 1 n ( a

a_n = ₁+ − ⇒ 2 1 +(n-1). 2 3 ⇒ 2 1 + 2 3n -2 3 _⇒ 2 3n -2

10. Interpolando-se 2x meios aritméticos entre 2 e 32, e x meios aritméticos entre 40 e 64, o quociente entre a razão da PA no primeiro caso e a razão do segundo é

igual a

3 2

. Sendo assim, as progressões têm, respectivamente:

Solução:

2x meios 2 e 32 – r.2x x meios 40 e 64 – r.x

3 2 . 2 . ₌ x r x r

1.º termo 2.º termo a₁= 2 a₁= 40

a_n= 32 a_n= 64 r.2x= 2 r.x= 3

r ) 1 n ( a

a_n = ₁+ −

34=2+(n-1).2 64=40+(n-1).3 30=2n-2 24=3n-3

n=16 n=9

11. A Soma dos termos de uma PA 2,8,14,... é igual a:

Solução:

S₁₂=? S_n=

2 a a₁+ _n

.n r=6 n=12

S₁₂= .12

2 a a₁ ₁₂

      +

a_n =a₁+(n−1)r

S₁₂= .12

2 68 2       +

a₁₂= a₁+11r ⇒_2+11.6⇒₆₈

S₁₂= 420

12. A Soma dos 20 primeiros termos de uma PA onde a_n= 3n-2, vale:

Solução:

S₂₀=? S_n=

2 a a₁+ _n

(4)

S₂₀= .20 2

a a₁ ₂₀

   



 +

n=1

⇒

a₁= 3.1-2 =1

S₂₀= .20

2 58 1

   

  ₊

n=2 ⇒_a₂_{= 3.2-2 =4}

S₂₀= 590 n=3 ⇒_a₃_{= 3.3-2 =7}

(1 ; 4 ; 7)

13. O 5.º termo da PA, cuja soma dos “n” primeiros termos é dada por n²+2n, é:

Solução:

S_n=

2 a a₁+ _n

.n

⇒

S_n= n²+2n

n=1

⇒

S₁= 1²+2.1

⇒

a₁= 3

n=2

⇒

S₂= 2²+2.2 = 8

⇒

r=2

⇒

a₁+ a₂ = 5

⇒

a₂=5

n=5

⇒

S₅ = a₁+ a₂+ a₃+ a₄+a₅

⇒

a₁=3, a₂=5, a₃=7, a₄=9

S₅ = S₄+a₅

⇒

5²+2.5 = 4²+2.4+ a₅

⇒

35 = 24+ a₅

⇒

a₅=11

14. A Soma de todos os números naturais entre 100 e 220 tal que o resto da divisão de cada um destes números por 5 seja igual a 2, vale:

Solução:

(110, 111, ..., 218, 220)

r=5

⇒

(112,117, ..., ) logo 112 dividido por 5 dá 22

⇒

= n a₁= 112 a_n=217 n=22

S_n=

2 a a₁+ _n

.n

⇒

2 217 112+

.22 = 3619

15. A soma dos vinte primeiros termos de uma PA é -15. Determine a soma do sexto termo dessa PA com o décimo quinto.

Solução:

S₂₀= -15 a₆+ a₁₅ =?

A soma dos termos externos é igual a soma dos termos eqüidistantes

S_n=

2 a a₁+ _n

.n

⇒

S₂₀=

2

20 1 a a +

.20

⇒

-15 =

2 a a₆ + ₁₅

.20

⇒

-1,05

16. Em uma PA , a₃= 13 e a₁₃= 33. Assim, a soma do 33 primeiros termos é:

Solução:

S₃₃=? a₃= 13 a₁₃= 33 a_n =a₁+(n−1)r

a₃= a₁+(3-1).r

⇒

13 = a₁+ 2.r

a₁₃= a₁+(13-1).r

⇒

33 = a₁+12.r

⇒

20 = 0 +10.r

⇒

r = 2 13 = a₁+ 2.r

⇒

13 = a₁+ 2.2

⇒

a₁= 9

r ) 1 n ( a

(5)

S_n=

2 a a₁+ _n

.n

⇒

S₃₃ =

2 73 9+

.33

⇒

1373

17. Em uma PA o primeiro termo vale 5, a razão vale 4 e a soma do n primeiros termos vale 10877, pode-se dizer que n vale:

Solução:

a₁= 5 r= 4 S_n=10877 n=? S_n=?

r ) 1 n ( a

a_n = ₁+ −

⇒

a _n= 5+(n-1).4

⇒

a _n= 5+4n-4

⇒

a _n= 4n+1 S_n=

2 a a₁+ _n

.n

⇒

10877 =

2 1 4 5+ n+

.n

⇒

10877.2 = 5n+4n²+n

⇒

21754 =

4n²+6n

4n²+6n-21754 = 0

⇒

2n²+3n-10877 = 0

⇒

báskara

⇒

x = - b ±

a . 2 c . a . 4 b2+

n = -3 ±

2 . 2 ) 10877 .( 2 . 4

32+ −

_⇒

n = -3 ±

4

) 10877 .(

8

9+ −

_⇒

n = -3 ±

4 87016

9+

_⇒

n = -3 ±

4

87025

_⇒

n = -3 ±

4 295

_⇒

nI = 3

-4 295

_⇒

-76,75

nII = -3 +

4 295

_⇒

73

18. Em uma PA a diferença da soma dos termos pares com a soma dos termos ímpares é 24 e o número de termos é o triplo da razão. Sendo “n” o número de termos e “r” a razão, valem:

Solução:

Sp= soma dos números pares Si= soma dos números ímpares

Sp-Si= 2

.r n

Sp-Si= 24 n = 3.r

⇒

12

24=

2 ). 3

( r r

_⇒

3r² = 48

⇒

r² =16

⇒

r = ± 4

⇒

r = 4

19. A Soma dos 20 primeiros termos de uma progressão aritmética é igual ao quíntuplo da soma dos seus 5 primeiros termos. Nestas condições o primeiro termo está para a razão, assim como:

Solução:

S₂₀= 5. S₅

r a₁

= ? S_n=

2 a a₁+ _n

.n

⇒

S₂₀=

2 a a₁+ _n

.20 ∴ S₅=

2 a a₁+ _n

.5

2 a a₁+ _n

.20 = 5.

2 a a₁+ _n

.5

⇒

a₁+ a_n.4 = 5.( a₁+ a_n)

⇒

4a₁+ 4a_n = 5a₁+ 5a_n

⇒

a_n= a₁

⇒

a_n =a₁+(n−1)r

⇒

4a₁+ 4a_n[ a₁+(20-1).r] = 5a₁+ 5a_n[ a₁+(5-1).r]

⇒

(6)

8a₁+ 6r = 10a₁+ 20r

⇒

8a₁- 10a₁= 20r -76r

⇒

-2a₁= -56r

⇒

a₁= 28r

r a₁

=

1 28

20. Sejam as seqüências de termos gerais A_n= 2n+1; B_n=2n e C_n= a_n. b_n+1, onde n∈IN. O vigésimo termos da seqüência do termo geral C_n é:

Solução:

n=20 A_n= 2n+1 B_n=2n C_n= a_n. b_n+1 C₂₀= a ₂₀. b₂₁

⇒

2.20+1 = 2.21

⇒

41.42 = 1722

21. Sejam M = ab e N = ba dois números formados pelos algarismos a e b.

Intercalando-se o número zero entre a e b temos um número de três algarismos P = a0b. Sabendo-se que M, N e P formam nesta ordem uma PA, a razão vale:

Solução:

M = ab

⇒

10.a + 1.b N = ba

⇒

10.b + 1.a

r ) 1 n ( a

a_n = ₁+ −

⇒

10.a+b-(10.b+a)= 10.b+a-(10.a+b)

⇒

b= 6.a

⇒

a=1

⇒

b= 6

⇒

M = ab

⇒

M = 1.6

⇒

N = ba

⇒

N= 6.1

⇒

P = a0b

⇒

P = 1.0.6 r = 61-16 = 45 ou 106 – 61 = 45

22. A Soma do 4.º e 8.º termos de uma PA é 20, o 31.º termo é o dobro do 16.º

termo. Determine a PA.

Solução:

r ) 1 n ( a

a_n = ₁+ − a₄+a₈ = 20 a₃₁ = 2. a₁₆ a₄= a₁+3.r a₈ = a₁+7.r a₁+3.r + a₁+7.r = 20

⇒

2 a₁+ 10.r = 20

⇒

30.r = 2 a₁

⇒

a₁+ 30.r = 2 (a₁ +15.r)

⇒

a₁= 0

⇒

r = 2

⇒

(0, 2, 4, ...)PA

23. Num hexágono, os ângulos internos estão em PA. A soma, em radianos, do 3.º e 4.º termos dessa progressão é:

Solução:

Considerar hexágono regular, seus ângulos internos medem cada um 120°, para dois termos 120° + 120° = 240° converta para radianos. Para converter um ângulo de grau para radiano : multiplicar por pi e dividir por 180 de radiano para grau : multiplicar por 180 e dividir por pi

180º ____________ π 240º ____________X

⇒

3 4π

ou

⇒

a₁+a₆ = a₂+ a₅ = a₃ + a₄

S_n=

2 a a₁+ _n

.n

⇒

S₆= π (6-2) = 4π = a₁+a₆ + a₂+ a₅ + a₃ + a₄

⇒

3(a₃ + a₄)=

(7)

a₃ + a₄=

3 4π

24. Interpolando-se (colocar entre) 7 meios aritméticos entre 10 e 98, obtem-se uma PA cujo termo central é:

Solução:

10, __, ___, ___, ___, ___, ___, ___, 98 ⇒_{dá pra calcular a razão, 7+ 1+ 1 = 9}

TM tenho o 1.º e o último termo.

r ) 1 n ( a

a_n = ₁+ − ⇒ a₉ = a₁+ 8.r ⇒_a₉_{= 10+ 8.r}⇒_a₉_{= 10+ 8.9}⇒_a₉_{= 54}

Si-S p= TM ⇒ Termo Médio ⇒ TM = 2

a a₁+ _n

⇒

2 98 10+

⇒₅₄

25. A soma dos 18 primeiros termos da PA 1, 4, 7, ...é:

Solução:

a₁=1 r = 3

r ) 1 n ( a

a_n = ₁+ − ⇒ a₁₈ = a₁+ 17.r ⇒ 1+ 17.3 ⇒ a₁₈= 52

S_n=

2 a a₁+ _n

.n

⇒

S₁₈ =    

  +

2 52 1

.18

⇒

S₁₈ =    

  +

2 52 1

.18

⇒

477

26. A Soma de 3 termos de uma PA é 27 e seu produto 720. Com base nisto, determine-os:

Solução :

a₁= x – r a₁+ a₂+ a₃ = 27

⇒

x – r + x + x + r = 27

a₂= x

a₃= x + r

x = 27 dividido por 3

⇒

x = 9

r ) 1 n ( a

a_n = ₁+ −

⇒

produto= 720

⇒

(9-r).9.(9+r)= 720

⇒

r= ± 1

(8, 9 , 10) e (10, 9, 8)

27. Em uma PA, a₄= 12 e a₉= 27. Então, a soma dos 12 primeiros termos é:

Solução:

r ) 1 n ( a

a_n = ₁+ −

⇒

a₄= a₁+3.r= 12

⇒

a₁+3.3= 12

⇒

a₁=3 a₉= a₁+8.r= 27

0 + 5.r= 15

⇒

r = 3

r ) 1 n ( a

a_n = ₁+ −

⇒

a₁₂ =a₁+ 11.r

⇒

3+11.3

⇒

a₁₂ = 36

S_n=

2 a a₁+ _n

.n

⇒

S₁₂ =

2 a a₁₊ ₁₂

.12

⇒

S₁₂ =3+36.6= 234

28. O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

(8)

Para que a seqüência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):

(1) -5n = 2 + 3n + r (2) 1 - 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2): (1) => r = -5n - 2 - 3n = -8n - 2

(2) => 1 - 4n = -5n - 8n - 2 => 1 - 4n = -13n - 2 => 13n - 4n = -2 - 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3 Ou seja, -1 < n < 0

29. Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:

Solução:

Primeiro, observe que os termos ímpares da seqüência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:

(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i - 1

Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da seqüência, que está intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:

Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2; se n é par temos n = 2i ou i = n/2.

Daqui e de (1) obtemos que:

an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar an = 8 + (n/2) - 1 se n é par

Logo:

a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e

a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37 E portanto:

a30 + a55 = 22 + 37 = 59

30. A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:

Solução:

Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA: S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15

(9)

15 + 6 = 20 + 1 = 21 E, portanto:

a6 + a15 = a1 + a20

Substituindo este valor na primeira igualdade vem: 20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15

a6 + a15 = -15/10 = -1,5

31. Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine

n tal que Sn é igual a 1456. Solução:

Sabemos que:

(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912

Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:

(2) an = 6 + (n - 1).4 = 6 + 4n - 4 = 4n + 2 Substituindo (2) em (1):

(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n - 2912 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau obtemos: n1 = 26 e n2 = -28

Como n > 0, a resposta é 26.

32. As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas.

Solução:

Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e

c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que: b = a - 6 e c = a - 3

Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que: a2 = b2 + c2 => a2 = (a - 6)2 + (a - 3)2

Resolvendo os produtos notáveis:

a2 = a2 - 12a + 36 + a2 - 6a + 9 = 2a2 - 18a + 45 => a2 - 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3

Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo: a = 15 => b = 15 - 6 = 9 e c = 15 - 3 = 12