Experiência 5 Pêndulo Simples. Profa: Adriana O. Delgado Ed. Oscar Sala, sala 105 Ramal: 6961

(1)

Experiência 5

Pêndulo Simples

Profa: Adriana O. Delgado

email:

prof.adridelgado@yahoo.com.br

Ed. Oscar Sala, sala 105

Ramal: 6961

(2)

Pêndulo Simples

[1]

α

cos

mg

T

ma

_y

=

−

α

cos

mg

T

=

α

sin

mg

ma

_x

=

−

Na direção radial:

Como não há movimento na radial: Na direção tangencial:

Mas sabemos que:

dt

d

L

R

v

=

ω

=

α

E portanto: 2 2

dt

d

L

a

dt

dv

a

_x

=

⇒

_x

=

α

Força Restauradora

(3)

Pêndulo Simples

α

sin

2 2

g

dt

d

L

=

−

0 sin

2 2

=

+

α

L

g

dt

d

Que nos dá a equação:

0

2 2

=

+

α

L

g

dt

d

º

10 sin

α

<

Na condição em que

⇒

sin

α

≈

α

Equação diferencial

(4)

Solução da E.D.

₂

0

2

=

+

α

L

g

dt

d

(

ω

φ

)

α

=

A

cos

t

+

(

ω

φ

)

ω

α

_&

=

−

A

sin

t

+

A solução tem que ser do tipo:

(

)

cos

(

)

0 cos

2

=

+

−

ω

φ

A

ω

t

φ

L

g

t

A

(

ω

φ

)

ω

α

_&

=

−

A

2

cos

t

+

0

2

=

+

−

L

g

ω

L

g

=

ω

Substituindo na E.D.:

⇒

(5)

Período do movimento

L

g

=

ω

Condições de validade dessa expressão:

Movimento de um ponto material;

Fio de baixa densidade e elasticidade;

θ

_max

≈ 10º;

ω

π

2 =

T

g

L

T

=

2 π

⇒

(6)

Objetivos

Estudar experimentalmente a relação

entre o período T e o comprimento L de

um pêndulo, e verificar se ele pode ser

aproximado pelo modelo de pêndulo

simples para pequenas oscilações;

Trabalhar em colaboração com diversos

grupos, visando reduzir as incertezas

estatísticas e sistemáticas.

(7)

Cada medidor deve:

Medir 6 vezes o tempo de 8 oscilações do pêndulo; Medir 1 vez o comprimento L do pêndulo;

Anotar o horário da medida;

Esperar 2 ou 3 oscilações até o pêndulo estabilizar;

Ir para o próximo pêndulo e fazer as medidas de período e

comprimento;

Calcular: L_medio, S, S_m, S_i, S_f.

Calcular: T_medio, S, S_m, S_i, S_f, p/ coluna 4; colunas 1,2 e 3;

colunas 4, 5 e 6; e todas as colunas;

Calcular a compatibilidade Z, entre os 4 T_medios obtidos;

Construir os 4 histogramas correspondentes e indicar o valor

médio e a largura estimada em cada um;

Discutir os histogramas e os valores de Z;

Calcular o valor de g e Sg através de T_médio e L_médio

Resolver a questão 1 da apostila.

(8)

Relembrando

N

x

N i i

∑

=

1

(

)

1

1 2

−

=

∑

=

N

x

S

N i i

N

S

_m

=

Estat

í

stica

( )

2

( )

2 i m f

S

=

+

Combina

ç

ão

s

S

cm

S

i i

01 ,

0

05 ,

0 =

=

Instrumental

trena cronômetro 2 2 fB fA B A

S

x

Z

+

−

=

Compatibilidade

(9)

Resultados

09:45 7,22 7,09 7,13 7,00 7,03 7,10 20,00 9b 09:45 7,03 7,03 7,12 6,97 7,06 7,09 20,00 9a 09:42 7,21 7,09 7,03 7,19 6,97 7,13 20,40 8b 09:42 7,16 6,94 6,97 7,10 7,24 7,09 20,30 8a 09:32 7,05 7,06 7,00 7,04 7,23 7,11 20,40 7b 09:32 7,18 7,15 7,14 7,10 7,15 7,17 20,40 7a 09:26 7,09 7,28 7,13 7,01 7,19 7,07 19,90 6b 09:26 7,07 7,10 7,13 7,18 7,12 7,20 20,00 6a 09:18 7,00 7,06 7,04 7,08 7,07 7,03 19,75 5b 09:18 6,99 7,04 7,10 7,05 7,04 7,03 19,80 5a 09:15 7,11 7,14 7,14 7,15 7,12 7,09 19,95 4b 09:15 7,10 7,13 7,04 7,15 7,15 7,08 20,05 4a 09:10 7,05 7,05 7,03 7,00 7,01 7,03 19,50 3b 09:10 7,11 7,05 7,06 7,11 7,02 7,06 19,50 3a 09:00 7,03 7,05 7,13 7,21 7,12 7,18 20,30 2b 09:00 7,04 7,04 7,03 7,17 7,14 7,17 20,40 2a 08:52 6,22 7,02 6,40 6,56 6,80 6,48 20,38 1b 08:52 6,97 6,84 7,07 6,89 6,87 6,93 20,38 1a coluna 6 coluna 5 coluna 4 coluna 3 coluna 2 coluna 1 Horário Tempo de 8 oscilações (s) L (cm) Grupo

(10)

Cálculos

0,018 0,024 0,022 0,041 0,088 Sf 0,010 0,010 0,010 0,010 0,050 Si 0,015 0,022 0,019 0,040 0,073 Sm 0,152 0,164 0,140 0,168 0,308 S 7,054 7,046 7,062 7,038 20,078 media todas colunas colunas 4,5,6 colunas 1,2,3 coluna 4 L(cm) T(s) 0,26 coluna 4,5,6 0,28 0,48 coluna 1,2,3 0,35 0,16 0,51 coluna 4 todas colunas coluna 4,5,6 coluna 1,2,3 Z

(11)

Histograma – coluna 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6,40 6,50 6,60 6,70 6,80 6,90 7,00 7,10

tempo (s)

fr

e

q

u

ê

n

c

ia

(

#

)

(12)

Histograma – todas medidas

0 5 10 15 20 25 30 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0 7,1 7,2 7,3

tempo (s)

fr

e

q

u

ê

n

c

ia

(

#

)

(13)

T (s) ao longo do tempo...

6,70 6,80 6,90 7,00 7,10 7,20 08:38 08:52 09:07 09:21 09:36 09:50

horário medida (h)

T

m

e

d

io

(

s

)

(14)

Distribuição Gaussiana ou

Distribuição Normal

A probabilidade

∆

P de um resultado experimental ser

encontrado em um intervalo de largura

∆

x pode ser

escrita como:

x

G

P

=

∆

(

)

Onde G(x) é chamada função densidade de probabilidade.

A probabilidade é representada no

histograma pela frequência relativa:

N

P

=

y

∆

Portanto, podemos calcular uma função “teórica”

estatística a qual os nosso dados deveriam satisfazer:

N

x

G

(15)

Distribuição Gaussiana ou

Distribuição Normal

2 2 1

2

1 )

(

      − −

=

σ µ

π

σ

x

e

x

G

Para facilitar as contas definimos:

N

x

S

z

g

x

N

_y

(

)

=

(

)

∆

z

S

x

=

±

.

0,004432 3,0 0,017528 2,5 0,053991 2,0 0,129518 1,5 0,241971 1,0 0,352065 0,5 0,386668 0,25 0,398942 0 g(z) z

(16)

Dist. Gaussiana e Histograma

N_y ∆ ∆∆ ∆x 99,7 [x_med-3σ; x_med+3σ] 95,4 [x_med-2σ; x_med+2σ] 68,3 [x_med-σ; x_med+σ] % da A_total Intervalo

(17)

Linearizando...

























=

2 1

2 log

log

g

L

T

π

L

g

T

log

2

1

2 log

log

=

₁

π

₂

+

x

a

b

y

=

+

Extraindo o logaritmo dos dois lados da expressão:

g

L

T

=

2 π

(18)

T x

L

1 10 100 1000 1 10 L (cm) T ( s ) ∆ ∆ ∆ ∆y ∆ ∆ ∆ ∆x Xdec Ydec

)

(

)

(

)

(

)

(

cm

Xdec

cm

x

cm

Ydec

cm

y

a

∆

=

(19)

1 /

2

2 1

=

L

p

T

g

π











min max

T

ajust

Incertezas de

a

e

b

2

min max

a

S

_a

=

−

2

min max

g

S

_g

=

−

a

ajust

S

a

=

±

2

4 T

g

=

π

L

a

g

T

log

2 log

log

=

₁

π

₂

+

0 log

1 ⇒

=

L











∆

=

min max

)

(

)

(

)

(

)

(

a

cm

Xdec

cm

x

cm

Ydec

cm

y

a

_ajust

g

ajust

S

g

=

±

T (1 osc)

(20)

L

g

T

2

4 π

=

0 50 100 150 200 250 0 20 40 60 80 100 L (cm) T 2 (s 2 )

Linearizando novamente

g

L

T

=

2 π

x

a

y

=

0 =

b

g

_a

2

4 π

=

_g

S

_a

a

S

₂ 2

4 π

=

T (1 osc)

(21)

Valores de T

_M

e L

_M

obtidos para

8 deferentes pêndulos da sala

0,016 16,736 0,12 109,37 0,014 5,249 0,09 10,90 0,013 9,065 0,10 32,29 0,018 7,054 0,09 20,08 0,035 14,671 0,09 84,06 0,017 14,574 0,09 82,70 0,016 11,886 0,12 55,31 0,018 13,421 0,13 70,55

S

_T

(s)

T(s)

S

_L

(cm)

L (cm)

(22)

Para a Síntese

Objetivos;

Descrição experimental;

Tabelas de dados com cálculos corrigidos;

Valor de g calculado através de T

_M

e L

_M

.

Histogramas corrigidos (4 hist);

Gaussiana sobreposta aos 4 histogramas;

Tabela de dados da sala com valores de T e L;

Gráfico di-log de T x L: cálculo dos coeficientes da

reta; cálculo de g, com respectiva incerteza;

Gráfico T

2

x L: cálculo dos coeficientes da reta;

cálculo de g, com respectiva incerteza;

Verificação da compatibilidade dos valores de g

obtidos pelos 3 métodos com o valor tabelado IAG;

Discussão dos resultados obtidos e conclusão

(23)

Discussão

Discutir os histogramas e os valores de Z;

Discutir a adequação da gaussiana sobreposta aos

histogramas;

Discutir a influência do aumento do número de dados;

Verificar se há indícios de variação temporal do período do

pêndulo;

Discutir as incertezas obtidas em T e L;

Qualidade dos dados ajustados no papel di-log;

Qualidade dos dados ajustados no papel milimetrado; Valores obtidos para a aceleração da gravidade;

Comparação de g com o valor de referência;

Valor obtido o coeficiente angular no gráfico di-log;

Valor obtido o coeficiente linear no gráfico milimetrado;

(24)

Bibliografia

[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%AAndulo