Controle Estatístico de Qualidade. Capítulo 8 (montgomery)

(1)

Controle Estatístico de Qualidade

Capítulo 8

(2)

Gráfico CUSUM e da Média Móvel

Exponencialmente Ponderada

Introdução

– Cartas de Controle Shewhart

Usa apenas a informação contida no último ponto plotado Ignora qualquer informação dada pela sequência inteira de

pontos

Tais características tornam esse tipo de gráfico insensível a

pequenas mudanças no processo (menores que 1,5σ)

O uso de testes para sequência ou limites de alerta servem como

paliativo, mas não resolvem o problema. Na verdade, tais regras reduzem sua simplicidade e facilidade de interpretação.

– Duas alternativas eficazes aos gráficos Shewhart para detectar pequenas mudanças no processo são:

Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM)

Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente

(3)

Gráfico de Controle da Soma

Acumulada (CUSUM)

Motivação

– No gráfico de controle abaixo as 20 primeiras observações foram extraídas de uma distribuição normal com média µ = 10 e σ = 1.

– As 10 últimas de uma N(11;1) (processo fora de controle)

Observation In d iv id u a l V a lu e 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 13 12 11 10 9 8 7 _ X=10 UCL=13 LCL=7 I Chart O gráfico falhou em detectar a mudança Motivo: magnitude relativamente pequena da mudança

(4)

Gráfico de Controle da Soma

Acumulada (CUSUM)

Motivação

– O gráfico CUSUM foi proposto primeiramente por Page(1954). – O gráfico CUSUM incorpora toda a informação da sequência

de valores, plotando as somas acumuladas dos desvios dos valores da amostra em relação a um valor-alvo (µ₀).

– O gráfico CUSUM são particularmente eficazes com amostras de tamanho n=1. 1 0 1 0

)

(

)

(

₋ =

+

−

=

−

=

∑

_i _i i j j i

x

C

µ

1 0 1 0

)

(

)

(

₋ =

+

−

=

−

=

∑

_i _i i j j i

x

C

µ

(5)

Gráfico de Controle da Soma

Acumulada (CUSUM)

Motivação

– Note que se o processo permanece sob controle, C_i será um passeio

aleatório com média zero. Se a média se desloca para um valor µ₁>µ₀, C_i deverá apresentar uma tendência positiva. Caso contrário, uma tendência para baixo se desenvolverá em C_i.

Gráfico da Soma Acumulativa

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Amostra C i

(6)

Gráfico de Controle da Soma

Acumulada (CUSUM)

Motivação

– Iremos nos concentrar no gráfico CUSUM para média do processo. No entanto, é possível planejar procedimentos de somas acumuladas para

Variabilidade do processo (Montgomery, 1981) Variáveis Poisson e Binomial

Gráficos de controle de somas acumuladas tem sido estudados

por: Ewan (1963), Page (1961), Gan (1991), Lucas (1976), Hawkins (1981), entre outros.

(7)

Gráfico CUSUM Tabular

– O CUSUM Tabular pode ser construído para monitorar a

média do processo.

– Será tratado, primeiramente, o caso onde n=1.

– Seja x_i a i-ésima observação do processo distribuída

normalmente com média µ₀ (valor-alvo) e desvio padrão σ

quando o processo está sob controle.

– O CUSUM Tabular trabalha acumulando os desvios de µ₀ que estão acima do alvo em uma estatística C+_, _{e acumulando os}

desvios de µ₀ que estão abaixo do alvo em outra estatística

C-_.

– As estatísticas C+ e C- são chamadas cusums unilaterais

(8)

Gráfico CUSUM Tabular

O Cusum Tabular

onde os valores iniciais são

K é chamado de valor de referência (ou valor de tolerância). Normalmente representa o ponto médio entre o valor alvo (µ₀) e

o valor da média fora de controle (µ₁) que estamos interessados

em detectar rapidamente.

[

]

[

−

]

− − + − +

+

−

=

+

−

=

1 0 1 0

)

(

,

0 max

)

(

,

0 max

i i i i i i

C

x

K

C

K

x

C

µ

0

0 0

=

− +

C

(9)

Gráfico CUSUM Tabular

Se a mudança K que queremos detectar é expressa em

unidades de desvio-padrão por

µ

₁

= µ

µ

₀

+ δσ

δσ

ou

δ

=| µ

µ

₁

- µ

µ

₀

|/σ

σ

Então a magnitude da mudança (K) pode ser expressa por

Se tanto excederem o intervalo de decisão H

(limites de tolerância), o processo será considerado fora de controle.

– A escolha de H será discutida posteriormente. Normalmente,

usa-se H = 5σ

2

0 1

µ

σ

δ

−

=

K

− + 0 0

ou

C

(10)

Gráfico CUSUM

Tabular

Exemplo

– Valor alvo (µ₀) = 10 – n = 1 – σ = 1 – Magnitude da mudança 1σ, logo K = ½ – H = 5σ = 5 Amostra Xi 1 9,45 2 7,99 3 9,29 4 11,66 5 12,16 6 10,18 7 8,04 8 11,46 9 9,20 10 10,34 11 9,03 12 11,47 13 10,51 14 9,40 15 10,08 16 9,37 17 10,62 18 10,31 19 8,52 20 10,84 21 10,90 22 9,33 23 12,29 24 11,50 25 10,60 26 11,08 27 10,38 28 11,62 29 11,31 30 10,52

(11)

Gráfico CUSUM Tabular

Exemplo

– Os valores de C+ e C- para amostra 1 são:

– Os valores de C+ e C- para amostra 2 são:

– A seguir, apresentamos os cálculos restantes. As

quantidades N+ _e_N- _{indicam os}_{períodos consecutivos} _em

que C+ _{e C}- _foram_não-nulos_.

[

]

[

0;(10 0,5) 9,45

]

0,05 max 00 , 0 ) 5 , 0 10 ( 45 , 9 ; 0 max 0 1 0 1 = + − − = = + + − = − − + + C C C C

[

]

[

0;(10 0,5) 7,99 0,05

]

1,56 max 00 , 0 0 ) 5 , 0 10 ( 99 , 7 ; 0 max 2 2 = + − − = = + + − = − + C C

(12)

Amostra Xi Xi - (mi + K) C+ N+ (mi - K) - Xi C- N-1 9,45 -1,05 0 0 0,05 0,05 1 2 7,99 -2,51 0 0 1,51 1,56 2 3 9,29 -1,21 0 0 0,21 1,77 3 4 11,66 1,16 1,16 1 -2,16 0 0 5 12,16 1,66 2,82 2 -2,66 0 0 6 10,18 -0,32 2,50 3 -0,68 0 0 7 8,04 -2,46 0,04 4 1,46 1,46 1 8 11,46 0,96 1,00 5 -1,96 0,00 0 9 9,20 -1,30 0 0 0,30 0 1 10 10,34 -0,16 0 0 -0,84 0 0 11 9,03 -1,47 0 0 0,47 0 1 12 11,47 0,97 0,97 1 -1,97 0 0 13 10,51 0,01 0,98 2 -1,01 0 0 14 9,40 -1,10 0 0 0,10 0,10 1 15 10,08 -0,42 0 0 -0,58 0 0 16 9,37 -1,13 0 0 0,13 0,13 1 17 10,62 0,12 0,12 1 -1,12 0 0 18 10,31 -0,19 0 0 -0,81 0 0 19 8,52 -1,98 0 0 0,98 0,98 1 20 10,84 0,34 0,34 1 -1,34 0 0 21 10,90 0,40 0,74 2 -1,40 0 0 22 9,33 -1,17 0 0 0,17 0,17 1 23 12,29 1,79 1,79 1 -2,79 0 0 24 11,50 1,00 2,79 2 -2,00 0 0 25 10,60 0,10 2,89 3 -1,10 0 0 26 11,08 0,58 3,47 4 -1,58 0 0 27 10,38 -0,12 3,35 5 -0,88 0 0 28 11,62 1,12 4,47 6 -2,12 0 0 29 11,31 0,81 5,28 7 -1,81 0 0 30 10,52 0,02 5,30 8 -1,02 0 0 C+ _{> H} Processo fora de controle

(13)

Exemplo: Gráfico de status do

CUSUM – Minitab

Sample C u m u la ti v e S u m 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 5,0 2,5 0,0 -2,5 -5,0 0 UCL=5 LCL=-5 CUSUM Chart

(14)

Recomendações para o

Planejamento do CUSUM

–

O CUSUM Tabular é planejado através da escolha

do

valor de referência (K = kσ

σ

)

e do

intervalo de

decisão (H = hσ

σ

)

.

–

Recomenda-se que tais parâmetros sejam

selecionados de modo a fornecer um bom

CMS

(

comprimento médio da sequência

), por exemplo

CMS

₀

próximo a 370 (processo sob controle).

–

Na prática, tem-se observado bons resultados com

h=4

ou

h=5

e

k = ½

.

–

A seguir apresentamos um comparativo do CMS

para o Gráfico CUSUM vs Gráfico de Shewhart

para média.

(15)

Recomendações para o

Planejamento do CUSUM

– Hawkins (1993) fornece uma tabela com valores de k e h, no

qual CMS₀ será igual a 370:

– Siegmund (1985) apresenta uma aproximação do cálculo do

CMS para um cusum unilateral (C+ _{ou C}-_):

– onde ∆ = δ* - k para C+, ∆ = -δ* - k para C- e b = h + 1,166.

– Se ∆ = 0, pode-se usar CMS = b2

– Lembre-se que δ* é a mudança na média, em unidades de σ,

para qual deve ser calculado o CMS.

k 0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 h 8,01 4,77 3,34 2,52 1,99 1,61 2

2

1

2 )

2 exp(

∆

−

∆

+

∆

−

=

b

CMS

(16)

Recomendações para o

Planejamento do CUSUM

– O CMS para um cusum bilateral é obtido a partir das

estatísticas unilaterais — digamos CMS+ _{e CMS}-_:

– Exemplo: Considere k = ½, h = 5 e δ* = 0 (sob controle)

Logo ∆ = -½ e b = 6,166. Assim,

– Como δ* = 0 temos, excepcionalmente, CMS+ = CMS-. Logo, o

CMS bilateral é dado por

− + + = CMS CMS CMS 1 1 1 2 , 938 ) 2 / 1 ( 2 1 ) 166 , 6 )( 2 / 1 ( 2 )) 166 , 6 )( 2 / 1 ( 2 exp( 2 0 = − − − + − − = + CMS

1 ,

469

2 ,

938

1

2 ,

938

1

0 0

=

⇒

+

=

CMS

(17)

Recomendações para o

Planejamento do CUSUM

Considerações

– Note que a aproximação

de Siegmund está

próxima do verdadeiro valor de CMS₀

– Para σσσσ=1, por exemplo, o gráfico Cusum

detectaria uma

mudança mais rápido do que o gráfico de Shewhart. – CMS entre os gráficos Cusum e Shewhart convergem a medida que σ (tamanho da mudança) aumenta. h=4 h=5 0,00 168,0 465,0 370,4 0,25 74,2 139,0 281,1 0,50 26,6 38,0 155,2 0,75 13,3 17,0 81,2 1,00 8,38 10,4 43,9 1,50 4,75 5,8 15,0 2,00 3,34 4,0 6,3 2,50 2,62 3,1 3,2 3,00 2,19 2,6 2,0 4,00 1,71 2,0 1,2

Valores Exatos para o

Comprimento Médio da Sequencia (CMS)

k = 1/2

(18)

CUSUM Padronizado

– Principal vantagem: possibilita termos os mesmos

valores de k e h para diversos gráficos CUSUM, visto que as escolhas desses parâmetros não iriam mais depender

da escala das variáveis.

– Seja

– Os CUSUM padronizados são definidos por

σ

µ

₀

−

=

i i

x

y

[

]

[

−

]

− − + − +

+

−

=

+

−

=

1 1

;

0 max

;

0 max

i i i i i i

C

y

k

C

k

y

C

(19)

Subgrupos Racionais

– O desenvolvimento do CUSUM tabular se estende facilmente ao caso de média de subgrupos racionais (n>1).

– Basta substituir por (a média amostral ou do subgrupo) nas fórmulas anteriores e substituir σ por

– No entanto, Montgomery discute que o uso das médias dos subgrupos (ou seja n>1) NÃO melhora o

desempenho do Gráfico Cusum, ao contrário dos gráficos de Shewhart. i

x

_i

n

x

σ

/

σ

=

(20)

Subgrupos Racionais

– Por exemplo, se pudermos escolher entre a retirada de uma amostra de tamanho n=1 a cada 30min ou um

subgrupo de tamanho n=5 a cada 2,5horas, o CUSUM funcionará melhor, em geral, com a escolha de n=1.

– Segundo Montgomery, apenas se houver uma economia

de escala significativa ou alguma outra razão válida para se tomar amostras de tamanho maior é que os subgrupos devem ser usados.

(21)

Melhorando o CUSUM para

Grandes Mudanças

– Uma abordagem para melhorar a habilidade do gráfico em detectar grandes mudanças é o procedimento combinado cusum-Shewhart (Lucas, 1982)

Construir um gráfico Shewhart para C+ e C

- Neste caso, recomenda-se o uso de limites de controle de

3,5σ.

O aumento de 0,5σ nos limites de controle no gráfico de

Shewhart é justificado pelo fato de estarmos interessados em detectar grandes mudanças

O gráfico CUSUM ficaria “responsável” por pequenas

alterações na média ou no valor-alvo, enquanto que o

gráfico de Shewhart se encarregaria em detectar grandes alterações.

– Um sinal fora de controle em qualquer (ou ambos) os gráficos constitui num sinal de ação

(22)

Resposta Inicial Rápida (RIR) ou

Headstart

– Procedimento elaborado por Lucas e Crosier (1982) para

melhorar a sensitividade do CUSUM no início do processo.

– A resposta inicial rápida (RIR), ou headstart, coloca os

valores iniciais de iguais a um valor não-nulo, normalmente igual a H/2. Isso é chamado de headstart de 50%.

– Benefícios do headstart

Se o processo começa sob controle (no valor-alvo), o

CUSUM rapidamente cairá para zero e o headstart terá pouco efeito;

No entanto, caso o processo comece em algum nível

diferente do valor alvo, o headstart permitirá ao CUSUM

detectar isso rapidamente.

− +

0 0 Ce

(23)

Considerações Finais em relação

ao CUSUM Tabular

Cusum Unilateral

– Note que o gráfico CUSUM é construído a partir de dois procedimento unilaterais (C+ _{e C}-₎

– Há situações onde apenas um procedimento é util. Por exemplo:

Em um processo químico a característica de interesse é a

viscosidade de um produto.

Considere que se a viscosidade ficar abaixo do valor-alvo

não há problema. No entanto, qualquer aumento na viscosidade deve ser detectado rapidamente.

– O CMS poderia ser calculado facilmente a partir da aproximação de Siegmund.

(24)

Considerações Finais em relação

ao CUSUM Tabular

Cusum com Sensitividades Diferentes

– É também possível planejar CUSUMs com sensitividades

diferentes nos lados superior e inferior

– Isso seria útil em situações onde, por exemplo, uma

mudança acima do alvo é mais crítica do que mudanças abaixo do alvo.

(25)

Gráfico de Controle da Média Móvel

Exponencialmente Ponderada

Introdução

– É também uma boa alternativa aos gráficos de Shewhart quando estamos interessados em detectar pequenas mudanças.

– Tem desempenho equivalente ao gráficos de controle

CUSUM tabular.

– É, de certa forma, mais fácil de estabelecer e operar.

– É tipicamente usado para observações individuais (n=1). No entanto, também veremos o caso de subgrupos

racionais de tamanho n>1.

(26)

Gráfico de Controle da Média Móvel

Exponencialmente Ponderada

Definições

– O gráfico da Média Móvel Exponencialmente

Ponderada (MMEP) é definido como

– onde 0 < λ ≤ 1é uma constante, e o valor inicial exigido para i=1 é o alvo do processo, ou seja

– Quando o valor alvo não é conhecido, a média aritmética dos dados pode ser usado

1

)

1 (

−

₋

+

=

_i _i i

x

z

λ

0 0

=

µ

z

x

z

₀

=

(27)

Gráfico de Controle da Média Móvel

Exponencialmente Ponderada

Definições

– Note que z_i é uma média ponderada de todas as observações anteriores:

– Continuando a substituir recursivamente z_i-j, j=2, 3, ..., t, obtemos

=

−

+

=

_i

(

1 )

_i₋₁ i

x

z

λ

[

]

2 2 1 2 1

)

1 (

)

1 (

)

1 (

)

1 (

− − − −

−

+

−

+

=

−

+

−

+

=

i i i i i i i i

z

x

z

x

z

λ

0 1 0

)

1 (

)

1 (

x

z

i i j j i j i

=

λ

∑

−

λ

+

−

λ

− = −

(28)

Gráfico de Controle da Média Móvel

Exponencialmente Ponderada

Definições

– Os pesos λ(1-λ)j decrescem geometricamente com a idade da média amostral.

– Como a MMEP pode ser considerada uma média de

todas as observações passadas e corrente, o gráfico da MMEP é insensível a hipótese de normalidade.

– Assim, tal gráfico é ideal para ser usado com

(29)

Gráfico de Controle da Média Móvel

Exponencialmente Ponderada

Definições

– Se as observações x_i são variáveis aleatórias

independentes com variância σ2_{, então a variância de z}

i é dada por:

[

i

]

z i i j j i i i j j i j i i i j j i j i i z Var z Var z Var x Var z Var z x Var z Var 2 2 2 1 0 2 2 2 0 2 1 0 2 2 0 1 0 ) 1 ( 1 2 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( λ λ λ σ σ σ λ λ λ λ λ λ λ λ − −       − = ⇒ − = = − + − = =         − + − =

∑

− = − = − − = − Progressão Geométrica

(30)

Gráfico de Controle da Média Móvel

Exponencialmente Ponderada

Definições

– O gráfico de controle MMEP pode ser construído através da plotagem de z_i versus o número da amostra i. A linha central e os limites de controle são:

– Em breve discutiremos sobre a escolha de L e λ.

[

]

[

i

]

i

L

LIC

LM

L

LSC

2 0 0 2 0

)

1 (

1

2 )

1 (

1

2 λ

λ

σ

µ

λ

σ

µ

−













−

=

−













−

+

=

(31)

Gráfico de Controle da Média Móvel

Exponencialmente Ponderada

Definições

– Note que [1-(1- λ)2i] se aproxima de 1 quando i se torna grande. Logo, após alguns períodos de tempo, os limites de controle se aproximarão dos valores de estado

estacionário, dados por:

– No entanto, recomenda-se enfaticamente na prática o uso dos limites exatos.













−

=













−

+

=

λ

σ

µ

λ

σ

µ

2

0 0

L

LIC

L

LSC

(32)

Gráfico MMEP

Exemplo

–

Valor alvo (µ

₀

) = 10

–

_{σ = 1}

–

n = 1

–

_{λ = 0,1}

–

L = 2,7

Amostra Xi 1 9,45 2 7,99 3 9,29 4 11,66 5 12,16 6 10,18 7 8,04 8 11,46 9 9,20 10 10,34 11 9,03 12 11,47 13 10,51 14 9,40 15 10,08 16 9,37 17 10,62 18 10,31 19 8,52 20 10,84 21 10,90 22 9,33 23 12,29 24 11,50 25 10,60 26 11,08 27 10,38 28 11,62 29 11,31 30 10,52

(33)

Gráfico MMEP

Exemplo

–

Os valores para a amostra 1 são:

[

]

[

1 (

1

0 ,

1 )

]

9 ,

73

1 ,

0

2

1 ,

0 )

1 (

7 ,

2

10

27 ,

10 )

1 ,

0

1 (

1

1 ,

0

2

1 ,

0 )

1 (

7 ,

2

10

) 1 .( 2 ) 1 .( 2

=

−













−

=

−













−

+

=

LIC

LSC

945 ,

9

10 ).

1 ,

0

1 (

)

45 ,

9 .(

1 ,

0

1

=

+

−

=

z

(34)

Gráfico MMEP

Exemplo

–

Os valores para a amostra 2 são:

[

]

[

1 (

1

0 ,

1 )

]

9 ,

64

1 ,

0

2

1 ,

0 )

1 (

7 ,

2

10

36 ,

10 )

1 ,

0

1 (

1

1 ,

0

2

1 ,

0 )

1 (

7 ,

2

10

) 2 .( 2 ) 2 .( 2

=

−













−

=

−













−

+

=

LIC

LSC

7495

,

9

945 ,

9 ).

1 ,

0

1 (

)

99 ,

7 .(

1 ,

0

2

=

+

−

=

z

(35)

Valores além dos limites Amostra Xi Zi 1 9,45 9,9450 2 7,99 9,7495 3 9,29 9,7036 4 11,66 9,8992 5 12,16 10,1253 6 10,18 10,1307 7 8,04 9,9217 8 11,46 10,0755 9 9,20 9,9880 10 10,34 10,0232 11 9,03 9,9238 12 11,47 10,0785 13 10,51 10,1216 14 9,40 10,0495 15 10,08 10,0525 16 9,37 9,9843 17 10,62 10,0478 18 10,31 10,0740 19 8,52 9,9186 20 10,84 10,0108 21 10,90 10,0997 22 9,33 10,0227 23 12,29 10,2495 24 11,50 10,3745 25 10,60 10,3971 26 11,08 10,4654 27 10,38 10,4568 28 11,62 10,5731 29 11,31 10,6468 30 10,52 10,6341

(36)

Gráfico MMEP — Minitab

Sample E W M A 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 10,75 10,50 10,25 10,00 9,75 9,50 _ _ X=10 +2,7SL=10,619 -2,7SL=9,381 EWMA Chart

(37)

Planejamento de um Gráfico de

Controle MMEP

– O gráfico MMEP é muito eficaz contra pequenas

mudanças no processo.

– Os parâmetros do planejamento do gráfico MMEP são L e λ.

– É possível escolher esses parâmetros de modo a

obtermos um bom desempenho do CMS, próximo ao observado no gráfico CUSUM.

– Lucas e Saccucci (1990) apresentam um estudo com o CMS para alguns valores de (L, λ).

(38)

Planejamento de um Gráfico de

Controle MMEP

L = 3,054 L=2,998 L=2,962 L=2,812 L=2,615 lamb.=0,4 lamb.=0,25 lamb.=0,2 lamb.=0,1 lamb.=0,05

0,00 500,0 500,0 500,0 500,0 500,0 370,4 0,25 224,0 170,0 150,0 106,0 84,1 281,1 0,50 71,2 48,2 41,8 31,3 28,2 155,2 0,75 28,4 20,1 18,2 15,9 16,4 81,2 1,00 14,3 11,1 10,5 10,3 11,4 43,9 1,50 5,9 5,5 5,5 6,1 7,1 15,0 2,00 3,5 3,6 3,7 4,4 5,2 6,3 2,50 2,5 2,7 2,9 3,4 4,2 3,2 3,00 2,0 2,3 2,4 2,9 3,5 2,0 4,00 1,4 1,7 1,9 2,2 2,7 1,2

CMS para vários Esquemas de Controle MMEP (adaptado de Lucas e Saccucci (1990))

(39)

Planejamento de um Gráfico de

Controle MMEP

Conclusões: Estudo de Lucas e Saccucci(1990)

– Valores de 0,05 ≤ λ ≤ 0,25 funcionam bem na prática

λ = 0,05, λ = 0,1 e λ = 0,2 são escolhas populares.

– Utilizar valores menores de λ para detectar pequenas mudanças.

– L = 3 funciona razoavelmente bem com valores maiores de λ (λ > 0,25)

(40)

Planejamento de um Gráfico de

Controle MMEP

– O gráfico MMEP não funciona bem para grandes mudanças

– Uma abordagem para melhorar a habilidade do gráfico em detectar

grandes mudanças é o procedimento combinado MMEP-Shewhart

(Lucas, 1982)

Construir um gráfico Shewhart para z_i

Neste caso, recomenda-se o uso de limites de controle de 3,25σ

ou 3,5σ.

O aumento de 0,25σ ou 0,5σ nos limites de controle no gráfico de

Shewhart é justificado pelo fato de estarmos interessados em

detectar grandes mudanças

O gráfico MMEP ficaria “responsável” por pequenas alterações

na média, enquanto que o gráfico de Shewhart se encarregaria em detectar grandes alterações.

– Um sinal fora de controle em qualquer (ou ambos) os gráficos

(41)

Subgrupos Racionais

– O

gráfico MMEP se estende

facilmente ao caso

de média de subgrupos racionais (

n>1

).

–

Basta substituir por (a média amostral ou

do subgrupo) nas fórmulas anteriores e

substituir σ por

i

x

_i

n

x

σ

/

σ

=

(42)

Robustez do MMEP à

Não-Normalidade

– Lembre-se que o gráfico de Shewhart para observações individuais era muito sensível a não-normalidade,

acarretando em um número excessivo de alarmes falsos. – Borror, Montgomery, Runger (1999) comparam o

desempenho do CMS₀ (sob controle) do gráfico de Shewhart e do gráfico MMEP para observações individuais. No estudo foram utilizadas:

A distribuição Gama para representar o caso de

distribuições assimétricas;

A distribuição t-Student para representar distribuições

simétricas com caudas mais pesadas que a Normal.

(43)

Robustez do MMEP à

Não-Normalidade

Shewhart Lambda 0,05 0,1 0,2 1 L 2,492 2,703 2,86 3 Normal 370 371 371 370 Gama(4,1) 372 341 259 97 Gama(3,1) 372 332 238 85 Gama(2,1) 372 315 208 71 Gama(1,1) 369 274 163 55 Gama(0.5,1) 357 229 131 45

Comprimento Médio da Sequencia sob Controle (CMSo) Distribuições Assimétricas

(44)

Robustez do MMEP à

Não-Normalidade

Shewhart Lambda 0,05 0,1 0,2 1 L 2,492 2,703 2,86 3 Normal 370 371 371 370 t(50) 369 365 353 283 t(40) 369 363 348 266 t(30) 368 361 341 242 t(20) 367 355 325 204 t(15) 365 349 310 176 t(10) 361 335 280 137 t(8) 358 324 259 117 t(6) 351 305 229 96 t(4) 343 274 188 76

Comprimento Médio da Sequencia sob Controle (CMSo) Distribuições Simétricas

(45)

Robustez do MMEP à

Não-Normalidade

Conclusões Importantes do Estudo

– Distribuições Não-Normais tem o efeito de reduzir sensivelmente o CMS sob controle do gráfico de