Controle Estatístico de Qualidade
Capítulo 8
Gráfico CUSUM e da Média Móvel
Exponencialmente Ponderada
Introdução
– Cartas de Controle Shewhart
Usa apenas a informação contida no último ponto plotado Ignora qualquer informação dada pela sequência inteira de
pontos
Tais características tornam esse tipo de gráfico insensível a
pequenas mudanças no processo (menores que 1,5σ)
O uso de testes para sequência ou limites de alerta servem como
paliativo, mas não resolvem o problema. Na verdade, tais regras reduzem sua simplicidade e facilidade de interpretação.
– Duas alternativas eficazes aos gráficos Shewhart para detectar pequenas mudanças no processo são:
Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM)
Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente
Gráfico de Controle da Soma
Acumulada (CUSUM)
Motivação
– No gráfico de controle abaixo as 20 primeiras observações foram extraídas de uma distribuição normal com média µ = 10 e σ = 1.
– As 10 últimas de uma N(11;1) (processo fora de controle)
Observation In d iv id u a l V a lu e 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 13 12 11 10 9 8 7 _ X=10 UCL=13 LCL=7 I Chart O gráfico falhou em detectar a mudança Motivo: magnitude relativamente pequena da mudança
Gráfico de Controle da Soma
Acumulada (CUSUM)
Motivação
– O gráfico CUSUM foi proposto primeiramente por Page(1954). – O gráfico CUSUM incorpora toda a informação da sequência
de valores, plotando as somas acumuladas dos desvios dos valores da amostra em relação a um valor-alvo (µ0).
– O gráfico CUSUM são particularmente eficazes com amostras de tamanho n=1. 1 0 1 0
)
(
)
(
− =+
−
=
−
=
∑
i i i j j ix
x
C
C
µ
µ
1 0 1 0)
(
)
(
− =+
−
=
−
=
∑
i i i j j ix
x
C
C
µ
µ
Gráfico de Controle da Soma
Acumulada (CUSUM)
Motivação
– Note que se o processo permanece sob controle, Ci será um passeio
aleatório com média zero. Se a média se desloca para um valor µ1>µ0, Ci deverá apresentar uma tendência positiva. Caso contrário, uma tendência para baixo se desenvolverá em Ci.
Gráfico da Soma Acumulativa
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Amostra C i
Gráfico de Controle da Soma
Acumulada (CUSUM)
Motivação
– Iremos nos concentrar no gráfico CUSUM para média do processo. No entanto, é possível planejar procedimentos de somas acumuladas para
Variabilidade do processo (Montgomery, 1981) Variáveis Poisson e Binomial
Gráficos de controle de somas acumuladas tem sido estudados
por: Ewan (1963), Page (1961), Gan (1991), Lucas (1976), Hawkins (1981), entre outros.
Gráfico CUSUM Tabular
– O CUSUM Tabular pode ser construído para monitorar a
média do processo.
– Será tratado, primeiramente, o caso onde n=1.
– Seja xi a i-ésima observação do processo distribuída
normalmente com média µ0 (valor-alvo) e desvio padrão σ
quando o processo está sob controle.
– O CUSUM Tabular trabalha acumulando os desvios de µ0 que estão acima do alvo em uma estatística C+, e acumulando os
desvios de µ0 que estão abaixo do alvo em outra estatística
C-.
– As estatísticas C+ e C- são chamadas cusums unilaterais
Gráfico CUSUM Tabular
O Cusum Tabular
onde os valores iniciais são
K é chamado de valor de referência (ou valor de tolerância). Normalmente representa o ponto médio entre o valor alvo (µ0) e
o valor da média fora de controle (µ1) que estamos interessados
em detectar rapidamente.
[
]
[
−]
− − + − ++
−
−
=
+
+
−
=
1 0 1 0)
(
,
0
max
)
(
,
0
max
i i i i i iC
x
K
C
C
K
x
C
µ
µ
0
0 0=
=
− +C
C
Gráfico CUSUM Tabular
Se a mudança K que queremos detectar é expressa em
unidades de desvio-padrão por
µ
µ
µ
µ
1= µ
µ
µ
µ
0+ δσ
δσ
δσ
δσ
ou
δ
δ
δ
δ
=| µ
µ
µ
µ
1- µ
µ
µ
µ
0|/σ
σ
σ
σ
Então a magnitude da mudança (K) pode ser expressa por
Se tanto excederem o intervalo de decisão H
(limites de tolerância), o processo será considerado fora de controle.
– A escolha de H será discutida posteriormente. Normalmente,
usa-se H = 5σ
2
2
0 1µ
µ
σ
δ
−
=
=
K
− + 0 0ou
C
C
Gráfico CUSUM
Tabular
Exemplo
– Valor alvo (µ0) = 10 – n = 1 – σ = 1 – Magnitude da mudança 1σ, logo K = ½ – H = 5σ = 5 Amostra Xi 1 9,45 2 7,99 3 9,29 4 11,66 5 12,16 6 10,18 7 8,04 8 11,46 9 9,20 10 10,34 11 9,03 12 11,47 13 10,51 14 9,40 15 10,08 16 9,37 17 10,62 18 10,31 19 8,52 20 10,84 21 10,90 22 9,33 23 12,29 24 11,50 25 10,60 26 11,08 27 10,38 28 11,62 29 11,31 30 10,52Gráfico CUSUM Tabular
Exemplo
– Os valores de C+ e C- para amostra 1 são:
– Os valores de C+ e C- para amostra 2 são:
– A seguir, apresentamos os cálculos restantes. As
quantidades N+ e N- indicam os períodos consecutivos em
que C+ e C- foram não-nulos.
[
]
[
0;(10 0,5) 9,45]
0,05 max 00 , 0 ) 5 , 0 10 ( 45 , 9 ; 0 max 0 1 0 1 = + − − = = + + − = − − + + C C C C[
]
[
0;(10 0,5) 7,99 0,05]
1,56 max 00 , 0 0 ) 5 , 0 10 ( 99 , 7 ; 0 max 2 2 = + − − = = + + − = − + C CAmostra Xi Xi - (mi + K) C+ N+ (mi - K) - Xi C- N-1 9,45 -1,05 0 0 0,05 0,05 1 2 7,99 -2,51 0 0 1,51 1,56 2 3 9,29 -1,21 0 0 0,21 1,77 3 4 11,66 1,16 1,16 1 -2,16 0 0 5 12,16 1,66 2,82 2 -2,66 0 0 6 10,18 -0,32 2,50 3 -0,68 0 0 7 8,04 -2,46 0,04 4 1,46 1,46 1 8 11,46 0,96 1,00 5 -1,96 0,00 0 9 9,20 -1,30 0 0 0,30 0 1 10 10,34 -0,16 0 0 -0,84 0 0 11 9,03 -1,47 0 0 0,47 0 1 12 11,47 0,97 0,97 1 -1,97 0 0 13 10,51 0,01 0,98 2 -1,01 0 0 14 9,40 -1,10 0 0 0,10 0,10 1 15 10,08 -0,42 0 0 -0,58 0 0 16 9,37 -1,13 0 0 0,13 0,13 1 17 10,62 0,12 0,12 1 -1,12 0 0 18 10,31 -0,19 0 0 -0,81 0 0 19 8,52 -1,98 0 0 0,98 0,98 1 20 10,84 0,34 0,34 1 -1,34 0 0 21 10,90 0,40 0,74 2 -1,40 0 0 22 9,33 -1,17 0 0 0,17 0,17 1 23 12,29 1,79 1,79 1 -2,79 0 0 24 11,50 1,00 2,79 2 -2,00 0 0 25 10,60 0,10 2,89 3 -1,10 0 0 26 11,08 0,58 3,47 4 -1,58 0 0 27 10,38 -0,12 3,35 5 -0,88 0 0 28 11,62 1,12 4,47 6 -2,12 0 0 29 11,31 0,81 5,28 7 -1,81 0 0 30 10,52 0,02 5,30 8 -1,02 0 0 C+ > H Processo fora de controle
Exemplo: Gráfico de status do
CUSUM – Minitab
Sample C u m u la ti v e S u m 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 5,0 2,5 0,0 -2,5 -5,0 0 UCL=5 LCL=-5 CUSUM ChartRecomendações para o
Planejamento do CUSUM
–
O CUSUM Tabular é planejado através da escolha
do
valor de referência (K = kσ
σ
σ
σ
)
e do
intervalo de
decisão (H = hσ
σ
σ
σ
)
.
–
Recomenda-se que tais parâmetros sejam
selecionados de modo a fornecer um bom
CMS
(
comprimento médio da sequência
), por exemplo
CMS
0próximo a 370 (processo sob controle).
–
Na prática, tem-se observado bons resultados com
h=4
ou
h=5
e
k = ½
.
–
A seguir apresentamos um comparativo do CMS
para o Gráfico CUSUM vs Gráfico de Shewhart
para média.
Recomendações para o
Planejamento do CUSUM
– Hawkins (1993) fornece uma tabela com valores de k e h, no
qual CMS0 será igual a 370:
– Siegmund (1985) apresenta uma aproximação do cálculo do
CMS para um cusum unilateral (C+ ou C-):
– onde ∆ = δ* - k para C+, ∆ = -δ* - k para C- e b = h + 1,166.
– Se ∆ = 0, pode-se usar CMS = b2
– Lembre-se que δ* é a mudança na média, em unidades de σ,
para qual deve ser calculado o CMS.
k 0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 h 8,01 4,77 3,34 2,52 1,99 1,61 2
2
1
2
)
2
exp(
∆
−
∆
+
∆
−
=
b
b
CMS
Recomendações para o
Planejamento do CUSUM
– O CMS para um cusum bilateral é obtido a partir das
estatísticas unilaterais — digamos CMS+ e CMS-:
– Exemplo: Considere k = ½, h = 5 e δ* = 0 (sob controle)
Logo ∆ = -½ e b = 6,166. Assim,
– Como δ* = 0 temos, excepcionalmente, CMS+ = CMS-. Logo, o
CMS bilateral é dado por
− + + = CMS CMS CMS 1 1 1 2 , 938 ) 2 / 1 ( 2 1 ) 166 , 6 )( 2 / 1 ( 2 )) 166 , 6 )( 2 / 1 ( 2 exp( 2 0 = − − − + − − = + CMS
1
,
469
2
,
938
1
2
,
938
1
1
0 0=
⇒
+
=
CMS
CMS
Recomendações para o
Planejamento do CUSUM
Considerações
– Note que a aproximação
de Siegmund está
próxima do verdadeiro valor de CMS0
– Para σσσσ=1, por exemplo, o gráfico Cusum
detectaria uma
mudança mais rápido do que o gráfico de Shewhart. – CMS entre os gráficos Cusum e Shewhart convergem a medida que σ (tamanho da mudança) aumenta. h=4 h=5 0,00 168,0 465,0 370,4 0,25 74,2 139,0 281,1 0,50 26,6 38,0 155,2 0,75 13,3 17,0 81,2 1,00 8,38 10,4 43,9 1,50 4,75 5,8 15,0 2,00 3,34 4,0 6,3 2,50 2,62 3,1 3,2 3,00 2,19 2,6 2,0 4,00 1,71 2,0 1,2
Valores Exatos para o
Comprimento Médio da Sequencia (CMS)
k = 1/2
CUSUM Padronizado
– Principal vantagem: possibilita termos os mesmos
valores de k e h para diversos gráficos CUSUM, visto que as escolhas desses parâmetros não iriam mais depender
da escala das variáveis.
– Seja
– Os CUSUM padronizados são definidos por
σ
µ
0−
=
i ix
y
[
]
[
−]
− − + − ++
−
−
=
+
−
=
1 1;
0
max
;
0
max
i i i i i iC
y
k
C
C
k
y
C
Subgrupos Racionais
– O desenvolvimento do CUSUM tabular se estende facilmente ao caso de média de subgrupos racionais (n>1).
– Basta substituir por (a média amostral ou do subgrupo) nas fórmulas anteriores e substituir σ por
– No entanto, Montgomery discute que o uso das médias dos subgrupos (ou seja n>1) NÃO melhora o
desempenho do Gráfico Cusum, ao contrário dos gráficos de Shewhart. i
x
x
in
xσ
/
σ
=
Subgrupos Racionais
– Por exemplo, se pudermos escolher entre a retirada de uma amostra de tamanho n=1 a cada 30min ou um
subgrupo de tamanho n=5 a cada 2,5horas, o CUSUM funcionará melhor, em geral, com a escolha de n=1.
– Segundo Montgomery, apenas se houver uma economia
de escala significativa ou alguma outra razão válida para se tomar amostras de tamanho maior é que os subgrupos devem ser usados.
Melhorando o CUSUM para
Grandes Mudanças
– Uma abordagem para melhorar a habilidade do gráfico em detectar grandes mudanças é o procedimento combinado cusum-Shewhart (Lucas, 1982)
Construir um gráfico Shewhart para C+ e C
- Neste caso, recomenda-se o uso de limites de controle de
3,5σ.
O aumento de 0,5σ nos limites de controle no gráfico de
Shewhart é justificado pelo fato de estarmos interessados em detectar grandes mudanças
O gráfico CUSUM ficaria “responsável” por pequenas
alterações na média ou no valor-alvo, enquanto que o
gráfico de Shewhart se encarregaria em detectar grandes alterações.
– Um sinal fora de controle em qualquer (ou ambos) os gráficos constitui num sinal de ação
Resposta Inicial Rápida (RIR) ou
Headstart
– Procedimento elaborado por Lucas e Crosier (1982) para
melhorar a sensitividade do CUSUM no início do processo.
– A resposta inicial rápida (RIR), ou headstart, coloca os
valores iniciais de iguais a um valor não-nulo, normalmente igual a H/2. Isso é chamado de headstart de 50%.
– Benefícios do headstart
Se o processo começa sob controle (no valor-alvo), o
CUSUM rapidamente cairá para zero e o headstart terá pouco efeito;
No entanto, caso o processo comece em algum nível
diferente do valor alvo, o headstart permitirá ao CUSUM
detectar isso rapidamente.
− +
0 0 Ce
Considerações Finais em relação
ao CUSUM Tabular
Cusum Unilateral
– Note que o gráfico CUSUM é construído a partir de dois procedimento unilaterais (C+ e C-)
– Há situações onde apenas um procedimento é util. Por exemplo:
Em um processo químico a característica de interesse é a
viscosidade de um produto.
Considere que se a viscosidade ficar abaixo do valor-alvo
não há problema. No entanto, qualquer aumento na viscosidade deve ser detectado rapidamente.
– O CMS poderia ser calculado facilmente a partir da aproximação de Siegmund.
Considerações Finais em relação
ao CUSUM Tabular
Cusum com Sensitividades Diferentes
– É também possível planejar CUSUMs com sensitividades
diferentes nos lados superior e inferior
– Isso seria útil em situações onde, por exemplo, uma
mudança acima do alvo é mais crítica do que mudanças abaixo do alvo.
Gráfico de Controle da Média Móvel
Exponencialmente Ponderada
Introdução
– É também uma boa alternativa aos gráficos de Shewhart quando estamos interessados em detectar pequenas mudanças.
– Tem desempenho equivalente ao gráficos de controle
CUSUM tabular.
– É, de certa forma, mais fácil de estabelecer e operar.
– É tipicamente usado para observações individuais (n=1). No entanto, também veremos o caso de subgrupos
racionais de tamanho n>1.
Gráfico de Controle da Média Móvel
Exponencialmente Ponderada
Definições
– O gráfico da Média Móvel Exponencialmente
Ponderada (MMEP) é definido como
– onde 0 < λ ≤ 1é uma constante, e o valor inicial exigido para i=1 é o alvo do processo, ou seja
– Quando o valor alvo não é conhecido, a média aritmética dos dados pode ser usado
1
)
1
(
−
−+
=
i i ix
z
z
λ
λ
0 0=
µ
z
x
z
0=
Gráfico de Controle da Média Móvel
Exponencialmente Ponderada
Definições
– Note que zi é uma média ponderada de todas as observações anteriores:
– Continuando a substituir recursivamente zi-j, j=2, 3, ..., t, obtemos
=
−
+
=
i(
1
)
i−1 ix
z
z
λ
λ
[
]
2 2 1 2 1)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
− − − −−
+
−
+
=
=
−
+
−
+
=
i i i i i i i iz
x
x
z
z
x
x
z
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
0 1 0)
1
(
)
1
(
x
z
z
i i j j i j i=
λ
∑
−
λ
+
−
λ
− = −Gráfico de Controle da Média Móvel
Exponencialmente Ponderada
Definições
– Os pesos λ(1-λ)j decrescem geometricamente com a idade da média amostral.
– Como a MMEP pode ser considerada uma média de
todas as observações passadas e corrente, o gráfico da MMEP é insensível a hipótese de normalidade.
– Assim, tal gráfico é ideal para ser usado com
Gráfico de Controle da Média Móvel
Exponencialmente Ponderada
Definições
– Se as observações xi são variáveis aleatórias
independentes com variância σ2, então a variância de z
i é dada por:
[
i]
z i i j j i i i j j i j i i i j j i j i i z Var z Var z Var x Var z Var z x Var z Var 2 2 2 1 0 2 2 2 0 2 1 0 2 2 0 1 0 ) 1 ( 1 2 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( λ λ λ σ σ σ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − = ⇒ − = = − + − = = − + − =∑
∑
∑
− = − = − − = − Progressão GeométricaGráfico de Controle da Média Móvel
Exponencialmente Ponderada
Definições
– O gráfico de controle MMEP pode ser construído através da plotagem de zi versus o número da amostra i. A linha central e os limites de controle são:
– Em breve discutiremos sobre a escolha de L e λ.
[
]
[
i]
iL
LIC
LM
L
LSC
2 0 0 2 0)
1
(
1
2
)
1
(
1
2
λ
λ
λ
σ
µ
µ
λ
λ
λ
σ
µ
−
−
−
−
=
=
−
−
−
+
=
Gráfico de Controle da Média Móvel
Exponencialmente Ponderada
Definições
– Note que [1-(1- λ)2i] se aproxima de 1 quando i se torna grande. Logo, após alguns períodos de tempo, os limites de controle se aproximarão dos valores de estado
estacionário, dados por:
– No entanto, recomenda-se enfaticamente na prática o uso dos limites exatos.
−
−
=
−
+
=
λ
λ
σ
µ
λ
λ
σ
µ
2
2
0 0L
LIC
L
LSC
Gráfico MMEP
Exemplo
–Valor alvo (µ
0) = 10
–σ = 1
–n = 1
–λ = 0,1
–L = 2,7
Amostra Xi 1 9,45 2 7,99 3 9,29 4 11,66 5 12,16 6 10,18 7 8,04 8 11,46 9 9,20 10 10,34 11 9,03 12 11,47 13 10,51 14 9,40 15 10,08 16 9,37 17 10,62 18 10,31 19 8,52 20 10,84 21 10,90 22 9,33 23 12,29 24 11,50 25 10,60 26 11,08 27 10,38 28 11,62 29 11,31 30 10,52Gráfico MMEP
Exemplo
–
Os valores para a amostra 1 são:
[
]
[
1
(
1
0
,
1
)
]
9
,
73
1
,
0
2
1
,
0
)
1
(
7
,
2
10
27
,
10
)
1
,
0
1
(
1
1
,
0
2
1
,
0
)
1
(
7
,
2
10
) 1 .( 2 ) 1 .( 2=
−
−
−
−
=
=
−
−
−
+
=
LIC
LSC
945
,
9
10
).
1
,
0
1
(
)
45
,
9
.(
1
,
0
1=
+
−
=
z
Gráfico MMEP
Exemplo
–
Os valores para a amostra 2 são:
[
]
[
1
(
1
0
,
1
)
]
9
,
64
1
,
0
2
1
,
0
)
1
(
7
,
2
10
36
,
10
)
1
,
0
1
(
1
1
,
0
2
1
,
0
)
1
(
7
,
2
10
) 2 .( 2 ) 2 .( 2=
−
−
−
−
=
=
−
−
−
+
=
LIC
LSC
7495
,
9
945
,
9
).
1
,
0
1
(
)
99
,
7
.(
1
,
0
2=
+
−
=
z
Valores além dos limites Amostra Xi Zi 1 9,45 9,9450 2 7,99 9,7495 3 9,29 9,7036 4 11,66 9,8992 5 12,16 10,1253 6 10,18 10,1307 7 8,04 9,9217 8 11,46 10,0755 9 9,20 9,9880 10 10,34 10,0232 11 9,03 9,9238 12 11,47 10,0785 13 10,51 10,1216 14 9,40 10,0495 15 10,08 10,0525 16 9,37 9,9843 17 10,62 10,0478 18 10,31 10,0740 19 8,52 9,9186 20 10,84 10,0108 21 10,90 10,0997 22 9,33 10,0227 23 12,29 10,2495 24 11,50 10,3745 25 10,60 10,3971 26 11,08 10,4654 27 10,38 10,4568 28 11,62 10,5731 29 11,31 10,6468 30 10,52 10,6341
Gráfico MMEP — Minitab
Sample E W M A 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 10,75 10,50 10,25 10,00 9,75 9,50 _ _ X=10 +2,7SL=10,619 -2,7SL=9,381 EWMA ChartPlanejamento de um Gráfico de
Controle MMEP
– O gráfico MMEP é muito eficaz contra pequenas
mudanças no processo.
– Os parâmetros do planejamento do gráfico MMEP são L e λ.
– É possível escolher esses parâmetros de modo a
obtermos um bom desempenho do CMS, próximo ao observado no gráfico CUSUM.
– Lucas e Saccucci (1990) apresentam um estudo com o CMS para alguns valores de (L, λ).
Planejamento de um Gráfico de
Controle MMEP
L = 3,054 L=2,998 L=2,962 L=2,812 L=2,615 lamb.=0,4 lamb.=0,25 lamb.=0,2 lamb.=0,1 lamb.=0,05
0,00 500,0 500,0 500,0 500,0 500,0 370,4 0,25 224,0 170,0 150,0 106,0 84,1 281,1 0,50 71,2 48,2 41,8 31,3 28,2 155,2 0,75 28,4 20,1 18,2 15,9 16,4 81,2 1,00 14,3 11,1 10,5 10,3 11,4 43,9 1,50 5,9 5,5 5,5 6,1 7,1 15,0 2,00 3,5 3,6 3,7 4,4 5,2 6,3 2,50 2,5 2,7 2,9 3,4 4,2 3,2 3,00 2,0 2,3 2,4 2,9 3,5 2,0 4,00 1,4 1,7 1,9 2,2 2,7 1,2
CMS para vários Esquemas de Controle MMEP (adaptado de Lucas e Saccucci (1990))
Planejamento de um Gráfico de
Controle MMEP
Conclusões: Estudo de Lucas e Saccucci(1990)
– Valores de 0,05 ≤ λ ≤ 0,25 funcionam bem na prática
λ = 0,05, λ = 0,1 e λ = 0,2 são escolhas populares.
– Utilizar valores menores de λ para detectar pequenas mudanças.
– L = 3 funciona razoavelmente bem com valores maiores de λ (λ > 0,25)
Planejamento de um Gráfico de
Controle MMEP
– O gráfico MMEP não funciona bem para grandes mudanças
– Uma abordagem para melhorar a habilidade do gráfico em detectar
grandes mudanças é o procedimento combinado MMEP-Shewhart
(Lucas, 1982)
Construir um gráfico Shewhart para zi
Neste caso, recomenda-se o uso de limites de controle de 3,25σ
ou 3,5σ.
O aumento de 0,25σ ou 0,5σ nos limites de controle no gráfico de
Shewhart é justificado pelo fato de estarmos interessados em
detectar grandes mudanças
O gráfico MMEP ficaria “responsável” por pequenas alterações
na média, enquanto que o gráfico de Shewhart se encarregaria em detectar grandes alterações.
– Um sinal fora de controle em qualquer (ou ambos) os gráficos
Subgrupos Racionais
– O
gráfico MMEP se estende
facilmente ao caso
de média de subgrupos racionais (
n>1
).
–
Basta substituir por (a média amostral ou
do subgrupo) nas fórmulas anteriores e
substituir σ por
ix
x
in
xσ
/
σ
=
Robustez do MMEP à
Não-Normalidade
– Lembre-se que o gráfico de Shewhart para observações individuais era muito sensível a não-normalidade,
acarretando em um número excessivo de alarmes falsos. – Borror, Montgomery, Runger (1999) comparam o
desempenho do CMS0 (sob controle) do gráfico de Shewhart e do gráfico MMEP para observações individuais. No estudo foram utilizadas:
A distribuição Gama para representar o caso de
distribuições assimétricas;
A distribuição t-Student para representar distribuições
simétricas com caudas mais pesadas que a Normal.
Robustez do MMEP à
Não-Normalidade
Shewhart Lambda 0,05 0,1 0,2 1 L 2,492 2,703 2,86 3 Normal 370 371 371 370 Gama(4,1) 372 341 259 97 Gama(3,1) 372 332 238 85 Gama(2,1) 372 315 208 71 Gama(1,1) 369 274 163 55 Gama(0.5,1) 357 229 131 45Comprimento Médio da Sequencia sob Controle (CMSo) Distribuições Assimétricas
Robustez do MMEP à
Não-Normalidade
Shewhart Lambda 0,05 0,1 0,2 1 L 2,492 2,703 2,86 3 Normal 370 371 371 370 t(50) 369 365 353 283 t(40) 369 363 348 266 t(30) 368 361 341 242 t(20) 367 355 325 204 t(15) 365 349 310 176 t(10) 361 335 280 137 t(8) 358 324 259 117 t(6) 351 305 229 96 t(4) 343 274 188 76Comprimento Médio da Sequencia sob Controle (CMSo) Distribuições Simétricas
Robustez do MMEP à
Não-Normalidade
Conclusões Importantes do Estudo
– Distribuições Não-Normais tem o efeito de reduzir sensivelmente o CMS sob controle do gráfico de
Shewhart para observações individuais.
Isso aumentará drasticamente o número de alarmes falsos.
– Um MMEP escolhido adequadamente terá um
desempenho muito bom em relação a distribuições tanto
Normais quanto Não-Normais
Logo, é extremamente recomendado o uso de um gráfico
MMEP bem planejado como gráfico de controle para
Exemplo 1
Uma máquina é usada para encher latas com óleo aditivo
de motor. Uma única lata é amostrada a cada hora e o seu
peso, medido. Como o processo de enchimento é
automático, ele tem uma variabilidade muito estável, e uma
experiência longa indica que σ=0,05 oz. As observações
individuais para 24 horas de operação são mostradas a
seguir.
a)
Suponha que o alvo do processo seja 8,02 oz, estabeleça
um cusum tabular para esse processo. Planeje o cusum
usando os valores h=4,77 e k=0,5.
b)
Suponha que os dados representem observações
tomadas imediatamente após um ajuste que pretendia
levar o processo de volta ao alvo de µ=8,0. Estabeleça e
aplique um cusum RIR (headstart de 50%) para monitorar
esse processo.
c)