Sistemas e Sinais 2009/2010

(1)

Faculdade de Engenharia

Análise de Sistemas

Realimentados

Sistemas e Sinais – 2009/2010

Análise de sistemas realimentados

Álgebra de diagramas de blocos

Sistemas realimentados

Estabilidade

(2)

Faculdade de Engenharia SSin SSin –– 33

Diagramas de blocos

Sistemas em série

X

1

G

Y

G

₂

Z

2

Z

=

G Y

2

Y

=

G X

2 1

Z

=

G G X

Sistemas em paralelo

X

1

G

2

G

1

Y

_Z

2

Y

1 1

Y

=

G X

2 2

Y

=

G X

Z

=

(

G

1

+

G

2

)

X

1 2

Z

= +

Y

Diagramas de blocos

Sistemas realimentados a entrada de um sistema depende da sua saída

1

Z

=

G Y

2

Y

= +

X

G Z

1 1 2

1 G

Z

X

G G

=

−

X

1

G

2

G

Y

_Z

1 1 2

Z

=

G X

+

G G Z

1

G

ganho directo 1 2

G G

ganho em anel

(3)

SSin SSin –– 55

Diagramas de blocos

Diagramas de blocos –

– exemplo

exemplo

Os sistemas podem estar interligados de forma arbitrária! Por exemplo…

1

X

4

G

2

X

Y

5

G

1

G

₁

G

₃ 6

G

Como se calculam as funções de transferência e ? 1

Y

X

₂

Y

X

1. Definindo variáveis auxiliares (W1, W2, …) e manipulando as equações até se obterem as relações pretendidas.

1

W

2

W

₃

W

4

2. Aplicando técnicas sistemáticas! Fórmula de Mason

Diagramas de blocos

Algumas definições:

Sinais independentesos que não estão definidos à custa de outros

Sinais dependentesos que estão definidos à custa de outros

Ramobloco de interligação entre dois sinais (FT ou somador)

Caminhosucessão de ramos orientados no mesmo sentido

Caminho directocaminho no qual um sinal apenas aparece uma vez

Ganho de um caminhoproduto dos ganhos dos ramos de um caminho

Anelcaminho fechado que começa e acaba no mesmo sinal

(4)

Diagramas de blocos

Determinante de um diagrama 1, 2, 3, 4,

1 L

_i

L

_i

L

_i

L

_i

∆ = −

∑

+

∑

−

∑

+

∑

−

⋯

1,i

L

ganhos em anel 2,i

L

produto de ganhos de dois anéis que não se tocam

3,i

L

produto de ganhos de três anéis que não se tocam

Cofactor de um caminho: é o determinante do diagrama de blocos que se obtém retirando todos os ramos e sinais desse caminho

Diagramas de blocos

Fórmula de Mason n n

T

Y

X

∆

=

∆

∑

T

n ganhos dos caminhos directos de Xpara Y

cofactor de Tn n

∆

determinante do diagrama ∆

X

4

G

Y

Z

5

G

1

G

₁

G

₃ 6

G

(5)

SSin SSin –– 99

Determinação de ganho

Determinação de ganho –

– exemplo

exemplo

1 X 4 G 2 X Y 5 G 1 G G₁ G₃ 6 G 1 Y X 1,i 1 5 2 6 L = −G G +G G

∑

2,i 1 5 2 6 L = −G G G G

∑

1 5 2 6 1 5 2 6 1 G G G G G G G G ∆ = + − − 1 1 2 3 T =G G G ∆ =₁ 1 2 4 T =G ∆ = −₂ 1 G G₂ ₆ 1 2 3 4 2 6 1 1 5 2 6 1 5 2 6 (1 ) 1 G G G G G G Y X G G G G G G G G + − = + − − 2 Y X 1 3 T =G ∆ = +₁ 1 G G_{1 5} 3 1 1 2 6 G Y X = −G G Faculdade de Engenharia

Sistemas realimentados

Estrutura geral

( )

R s

( )

G s

( )

H s

( )

E s

Y s

( )

R

entrada ou referência

( )

G s

função de transferência (ou ganho) em malha aberta

E

erro

Y

saída

( )

G s H s

função de transferência (ou ganho) em anel

( )

1 ( )

( )

G s

G s H s

+

função de transferência (ou ganho) em malha fechada

( ) 1

(6)

SSin SSin –– 1111

Sistemas realimentados

Sistemas realimentados –

– estabilidade

estabilidade

Determinante do diagrama:

R s

( )

G s

( )

H s

( )

E s

Y s

( )

aparece nos denominadores das FT

Equação característicado sistema realimentado

1 +

G s H s

( )

=

0

permite determinar os pólos em malha fechada

1 +

G s H s

( ) ( )

( )

g g

n

s

G s

d

s

=

( )

h h

n s

H s

d

s

=

Se e forem quocientes de polinómios

então a equação característica é também polinomial:

d

_g

( )

s d

_h

( )

s

+

d

_g

( )

s d

_h

( )

s

=

0

Nota: Para que o sistema realimentado seja estável (entrada limitada – saída limitada) as soluções da equação característica deverão ter partes reais negativas!

Estabilidade

Estabilidade –

– teste de Hurwitz

teste de Hurwitz

Polinómio característico: 1

1 1 0

( ) _n n _n n

Q s =a s +a ₋s− + +⋯ a s+a

Teste de Hurwitz

Para que todas as raízes de Q(s)estejam no SPE é necessário que 1. Q(s)não tenha coeficientes nulos.

2. Todos os coeficientes de Q(s)tenham o mesmo sinal.

Notas

O teste de Hurwitz apenas fornece condições necessárias de estabilidade. Para se obterem condições suficientes terão de se aplicar outros critérios!

Por vezes interessa analisar a estabilidade de um sistema, isto é verificar se as raízes de Q(s)

(7)

Estabilidade

Estabilidade –

– critério de Routh

critério de Routh--Hurwitz

Hurwitz

1 2 3

1 2 3 1 0

( ) _n n _n n _n n _n n

Q s =a s +a₋s − +a₋ s − +a₋s − + +⋯ a s+a

Critério de Routh-Hurwitz

O número de raízes de Q(s)com parte real positiva é igual ao número de

trocas de sinal dos coeficientes da 1ª coluna da matriz (coluna pivot).

É condição necessária e suficiente para que todas as raízes de Q(s)se situem

no SPE que o teste de Hurwitz seja verificado e que não haja trocas de sinal na coluna pivot. ,1 ,2 ,3 1 1,1 1,2 1,3 2 2,1 2,2 2,3 3 3,1 3,2 1 1,1 0 0,1 n n n n n n n n n n n n n n n s s s s s s − − − − − − − − − − − α α α α α α α α α α α α α ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ,1 , ,2 2, ,3 4, n an n an− n an− α = α = α = … 1,1 1, 1,2 3, 1,3 5, n− an− n− an− n− an− α = α = α = … 1,1 2, 1 2,1 1, 1 , 1,1 , 2, 1, i i j i i j i j i i n n + + + + + + + α ⋅α − α ⋅α α = = − − α … Matriz de Routh Regras de construção Faculdade de Engenharia

Estabilidade

Estabilidade –

– critério de Routh

critério de Routh--Hurwitz

Hurwitz

5 4 3 2

( ) 3 3 5 4

Q s = + +s s s + s + +s

Dos elementos da coluna pivot imediatamente antes e depois do zero, conclui-se que

se estes elementos tiverem o mesmo sinal então

existe um par de raízes no eixo real.

se estes elementos tiverem sinais opostos então

existe uma raiz no SPD.

5 4 3 2 1 0 1 3 5 1 3 4 0 1 ? ? ? ? s s s s s s Aparecimento de um zero na coluna pivot

1.Substitui-se o zero da coluna pivot por e continuam-se os cálculos.

2.No fim determina-se o limite quando de cada um dos elementos da coluna pivot.

0 ε > 0+ ε → 2 5 4 3 2 1 1 4 3 1 3 1 0 1 3 5 1 3 4 1 3 4 4 s s s s s s ε ε − ε+ − ε+ ε − 5 4 3 2 1 0 1 3 5 1 3 4 0 1 4 1 4 s s s s s s −∞ raiz no SPD outra raiz no SPD

(8)

Estabilidade

Estabilidade –

– critério de Routh

critério de Routh--Hurwitz

Hurwitz

5 4 3 2

( ) 5 5 4 4

Q s = + +s s s + s + +s

Se a partir da linha de zeros não houver trocas de sinal na coluna pivot então existem raízes sobre o eixo imaginário. Caso contrário, o número de trocas se sinal indica o número de raízes no SPD. 5 4 3 2 1 0 1 5 4 1 5 4 0 0 ? ? ? ? s s s s s s Aparecimento de uma linha de zeros

(raízes simétricas em relação ao eixo imaginário)

1.Formar o polinómio auxiliar com os coeficientes da linha anterior à linha de zeros.

2.Substituir a linha de zeros pelos coeficientes de e prosseguir os cálculos. ( ) T s '( ) T s 5 4 3 2 1 0 1 5 4 1 5 4 4 10 2.5 4 3.6 4 s s s s s s 2 pares de raízes no eixo imaginário 4 2 ( ) 5 4 T s =s + s + 3 '( ) 4 10 T s = s + s

Nota: Se o grau de T(s)for par e igual a 2mentão hám

pares de raízes simétricas em relação ao eixo imaginário.

Lugar Geométrico das Raízes

Lugar Geométrico das Raízes –

– LGR

LGR

LGR directo k > 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m i i n i i s z N s G s H s D s s p = = − = = −

∏

( )

1

0 ( )

N s

k

D s

+

=

( )

R s

( )

G s

( )

H s

( )

Y s

k

Equação característica:

1 +

kG s H s

( )

=

0

n≥m

[

]

grau N s( ) =m

[

]

grauD s( ) =n

Lugar geométrico das raízes (LGR): localização dos pólos de malha fechada (raízes da equação característica) em função de

k

∈

ℝ

( )

0 D s

+

kN s

=

LGR inverso k < 0

(9)

LGR

LGR –

– propriedades

propriedades

[

]

[

]

grau D s( ) ≥grau N s( ) ( ) ( )

D s +kN s é um polinómio de coeficientes reais

Prop. 1– O número de ramos do LGR é igual ao número de pólos de

G s H s

( )

[

]

[

]

grau D s( )+kN s( ) =grau D s( )

Prop. 2– Os ramos do LGR são linhas contínuas

Prop. 3– O LGR é simétrico em relação ao eixo real

raízes complexas em pares conjugados coeficientes de dependem continuamente de D s( )+kN s( ) k

raízes de polinómios dependem continuamente dos seus coeficientes

( ) 1 ( ) N s D s = −k ( ) ( ) 0 D s +kN s = ( ) ( ) D s k N s = − Faculdade de Engenharia

LGR

LGR –

– propriedades

propriedades

Prop. 4– Um ponto do eixo real pertence ao LGR directo (inverso) se e só se o número de zeros e pólos reais de à sua direita for ímpar (par)

G s H s

( )

Prop. 5– Os ramos do LGR entram ou saem do eixo real nos pontos em que kcomo função real da variável real satinge um máximo ou mínimo local

0, s p q ∈ ∈ ℝ ℂ

(

)

0 0 0 180º se 0º se s p s p s p <  ∠ − = > 

(

)

(

)

(

*

)

0 0 s q s q ∠ − −

(

₍

₎

(

* *

)

0 0 s q s q = ∠ − − 2 0 0 s q = ∠ − = 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i z p N s s z s p D s _∈ _∈ ∠ =

∑

∠ − −

∑

∠ − ℝ ℝ

(

0

)

180º # de pólos ou zeros reais de ( )G s H s( ) à direita de s

= ⋅

( )

1 (2 1) 180º se 0 2 180º se 0 k l k l k + ⋅ >  ∠ − = ⋅ <  ( ) 1 ( ) N s D s = −k ( ) ( ) 0 D s +kN s = ( ) ( ) D s k N s = −

(10)

LGR

LGR –

– propriedades

propriedades

0 k→

Prop. 6– Os ramos do LGR partem dos pólos de

G s H s

( ) ( )

0 0 ( ) 0 LGR D s → ∀ ∈s k → ∞ 0 0 0 ( ) 0 LGR ( ) N s s D s → ∀ ∈

Prop. 7– Os ramos do LGR dirigem-se para os zeros de ou para o infinito

G s H s

( ) ( )

0 0 ( ) 0 N s → ∨ s → ∞ ( ) 1 ( ) N s D s = −k ( ) ( ) 0 D s +kN s = ( ) ( ) D s k N s = −

Prop. 8– Os ramos que partem de pólos complexos ou se dirigem para zeros complexos são tangentes a semi-rectas com inclinação dada pela expressão seguinte somada de 180º no caso do LGR directo e 0º no caso do LGR inverso.

0 0 0 0 ( ) ( ) i i i i s z s p s z s p ≠ ≠ ∠ − − ∠ −

∑

LGR

LGR –

– propriedades

propriedades

Prop. 9– Quando , n – mramos do LGR tendem para infinito tendo como assímptotas semi-rectas com origem no ponto σe inclinações θdados por

1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n i i i i m m m m i i i i s p s s p D s N s s z s z s − = = − = =   − + − _ _   = =   − −_ _ +  

∑

∏

∑

⋯ ⋯ k→ ∞ 1 1 n m i i i i p z n m = = − σ = −

∑

( ) 1 ( ) N s D s = −k ( ) ( ) 0 D s +kN s = ( ) ( ) D s k N s = − (2 1) 180º se 0 2 180º se 0 l k n m l k n m + ⋅  _>  − θ = ⋅  _<  ₋  1 0 0 1 1 n m n m n m i i i i s− p z s− − = =   = −_ − _ + 

∑

 ⋯ 1 1 1 0 0 0 1 1 n m i i i i n m p z n m n m n m i i n m i i s = = s p z s − − − − − − = =       − = − −  +   _ _       ∑ ∑

∑

⋯ n m n m p z − −    ∑ ∑ 

(11)

LGR

LGR –

– propriedades

propriedades

Prop. 10– As intersecções do LGR com o eixo imaginário correspondem a soluções da equação característica do tipo .

( ) ( ) ( ) 0

Q s =D s +kN s =

s= ωj

que permitem determinar os pontos de intersecção do LGR com o eixo imaginário e os correspondentes valores do parâmetro k

Quando , a equação característica , pode ser decomposta nas equaçõess= ωj Q s( )=0

Re{ ( )} 0 Im{ ( )} 0 Q j Q j ω = ω =

São importantes pois estão directamente relacionadas com a estabilidade do sistema realimentado.

Também se podem obter aplicando o critério de Routh-Hurwitz.

LGR

LGR –

– traçado

traçado

As propriedades do LGR podem ser utilizadas para o seu esboço, permitindo determinar

• partes do eixo real pertencentes ao LGR • pontos de entrada ou saída do eixo real

• assímptotas (inclinações e origem), quando

• intersecções com eixo imaginário

• ângulos de partida/chegada a pólos/zeros complexos

( ) ( ) ( ) 0

Q s =D s +kN s =

k→ ∞

Ferramentas computacionais permitem já esboçar LGR

• resolvem automaticamente a equação característica para diferentes valores de k

(12)

SSin SSin –– 2323 N: envolvimentos da origem pelo contorno F(Γ) contados no mesmo sentido de Γ

Z: número de zeros de F(.) no interior do contorno Γ, considerando multiplicidades

P: número de pólos de F(.) no interior do contorno Γ, considerando multiplicidades

Estabilidade

Estabilidade –

– critério de Nyquist

critério de Nyquist

: F ℂ→ℂ Γ Im Re ( ) F Γ Im Re ( ) F⋅ Princípio do argumento: N= −Z P Γ: caminho sobre o qual F(.) é analítica

N: envolvimentos da origem por 1+F(Γ) = envolvimentos de –1+j0por F(Γ)

Z: número de zeros de 1+F(.) no interior de Γ

P: número de pólos de 1+F(.) no interior de Γ= número de pólos de F(.) no interior de Γ

Estabilidade

Estabilidade –

– critério de Nyquist

critério de Nyquist

: F ℂ→ℂ Γ Im Re 1+ ΓF( ) Im Re 1+ ⋅F( ) N= −Z P

Γ: caminho sobre o qual F(.) é analítica

( )

F Γ Im

Re

1 j0 − +

(13)

N: envolvimentos de –1+j0pelo traçado de Nyquist de G(s)H(s)

Z: número de zeros de 1+G(s)H(s) no SPD = número de pólos de malha fechada no SPD

P: número de pólos de G(s)H(s) no SPD = número de pólos ganho em anel no SPD

Estabilidade

Estabilidade –

– critério de Nyquist

critério de Nyquist

{

}

{

j

}

2 2 : j : re− θ:r π π Γ ω −∞ < ω < +∞ ∪ → +∞ ∧ − ≤ θ ≤ ( ) ( ) ( ) F s =G s H s N= −Z P Contorno de Nyquist ( ) F Γ Im Re 1 j0 − + ( ) R s ( ) G s ( ) H s ( ) E s Y s( ) Γ Im Re r traçado de Nyquist de G s H s( ) ( )

Para o sistema realimentado ser estável, teremos Z=0,e logo o número de envolvimentos de –1+j0pelo traçado de Nyquist de G(s)H(s) no sentido anti-horário terá de ser igual ao número de pólos G(s)H(s) no SPD.

Faculdade de Engenharia Im Re 0

j

ω

Estabilidade

Estabilidade –

– critério de Nyquist

critério de Nyquist

{

}

{

j

}

2 2

: j : re− θ:r π π

Γ ω −∞ < ω < +∞ ∪ → +∞ ∧ − ≤ θ ≤

N= −Z P

Se G(s)H(s) tiver um pólo no eixo imaginário…

( ) R s ( ) G s ( ) H s ( ) E s Y s( )

O critério de estabilidade aplica-se agora ao interior do contorno modificado!

contorno de Nyquist terá de ser alterado!

{

}

{

j

}

{

}

0 0 2 2 0

j :ω −∞ < ω < ω − ε ∪ ω + εj eθ:− ≤ θ ≤π π ∪ ω ω + ε < ω < ∞j :

de forma a evitar as singularidades

Γ

0 jω Para um pólo em 0+ ε → com

(14)

Margem de ganho

Margem de ganhodo sistema realimentado

limiar de estabilidade traçado de Nyquist de kG(s)passa em –1+j0

frequência de travessia de fase

( )

G s

é o valor do ganho k>0a introduzir em série com G(s)que coloca o sistema realimentado no limiar de estabilidade

π ω

existe tal que kG( jω = −_π) 1

( j ) 180º 1 | ( j ) | G k G π π ∠ ω = − = ω dB 10

MG

= −

20 log

|

G

( j

ω

_π

) |

Margem de ganho

Margem de ganho –

– determinação

determinação

(15)

Margem de fase

Margem de fasedo sistema realimentado

limiar de estabilidade traçado de Nyquist de passa em –1+j0

frequência de travessia de ganho

( )

G s

é o valor do atraso de fase φa introduzir em série com G(s)

que coloca o sistema realimentado no limiar de estabilidade

1

ω

existe tal que e− φjG( jω = −₁) 1

1 1 | ( j ) | 1 180º ( j ) G G ω = φ = +∠ ω 1

MF 180º

=

+∠

G

( j

ω

)

j _{( )} e− φG s Faculdade de Engenharia

Margem de fase

Margem de fase –

– determinação

determinação

MF > 0 MG < 0 ( j ) G ω Im 1 j0 − + 1 ω MF Re ( j ) G ω Im Re 1 j0 − + MF 1 ω ω ( j ) G ∠ ω dB |G( j ) |ω 0 dB 1 ω ω ω ( j ) G ∠ ω dB |G( j ) |ω 180º − 0 dB 1 ω

(16)

Margens de estabilidade

MG>0 ou MF>0 o sistema realimentado é estável

As margens de ganho e de fase são medidas de

estabilidade robustaquanto maiores forem estas margens mais poderão variar os parâmetros que definem G(s)mantendo o sistema realimentado estável

( )

G s Se G(s)é de fase mínima então

MG<0 ou MF<0 o sistema realimentado é instável

Na prática estes parâmetros podem não ser conhecidos exactamente, variar com factores não considerados nos modelos (temperatura, …), pelo que estas margens são de grande utilidade prática!

Realimentação unitária

Realimentação unitária –

– regime permanente

regime permanente

Erro em regime permanente

(

)

(

)

2 1 2 2 1 2 1 ( ) 1 w w m u u K b s b s b s G s s a s a s a s + + + + = + + + + ⋯ ⋯

( )

R s

( )

G s

( )

E s

Y s

( )

( ) 1 ( ) 1 ( ) E s R s = +G s 0 0 ( ) lim ( ) lim ( ) lim

1 ( ) ss t s s sR s e e t sE s G s →∞ → → = = = + Sistema de tipo m

(17)

Realimentação unitária

Realimentação unitária –

– regime permanente

regime permanente

Erro em regime permanente:

(

)

(

)

2 1 2 2 1 2 1 ( ) 1 w w m u u K b s b s b s G s s a s a s a s + + + + = + + + + ⋯ ⋯ ( ) R s ( ) G s ( ) E s Y s( ) 0 0 1 ( ) 1 1 lim lim 1 ( ) 1 ( ) 1 (0) 1 ss s s _p s sR s _s e G s G s G K → → ⋅ = = = = + + + + Entrada em degrau: R s( ) 1 s =

Constante de erro de posição:

0 lim ( ) p s K G s → =

0 m

=

K_p=K 1 1 ss e K = +

1 m

≥

Kp= ∞ ess=0

Para que o sistema realimentado apresente (em regime permanente) erro

nulo para entradas em degrau, G(s)deverá ter pelo menos 1 pólo na origem.

Realimentação unitária

Realimentação unitária –

– regime permanente

regime permanente

(

)

(

)

2 1 2 2 1 2 1 ( ) 1 w w m u u K b s b s b s G s s a s a s a s + + + + = + + + + ⋯ ⋯ ( ) R s ( ) G s ( ) E s Y s( ) 2 0 0 0 1 ( ) 1 1

lim lim lim

1 ( ) 1 ( ) ( ) ss s s s _v s sR s _s e G s G s sG s K → → → ⋅ = = = = + + Entrada em rampa: 2 1 ( ) R s s =

Constante de erro de velocidade:

0 lim ( ) v s K sG s → =

0 m

=

Kv=0 ess= ∞

2 m

≥

Kp= ∞ ess=0

Para que o sistema realimentado apresente (em regime permanente) erro

nulo para entradas em rampa, G(s)deverá ter pelo menos 2 pólos na origem.

1 m

=

K_v=K ess 1

K

(18)

Realimentação unitária

Realimentação unitária –

– regime permanente

regime permanente

(

)

(

)

2 1 2 2 1 2 1 ( ) 1 w w m u u K b s b s b s G s s a s a s a s + + + + = + + + + ⋯ ⋯ ( ) R s ( ) G s ( ) E s Y s( ) 3 2 0 0 0 1 ( ) 1 1

lim lim lim

1 ( ) 1 ( ) ( ) ss s s s _a s sR s _s e G s G s s G s K → → → ⋅ = = = = + + Entrada em parábola: 3 1 ( ) R s s =

Constante de erro de aceleração: 2

0 lim ( ) a s K s G s → =

0,1

m

=

Ka=0 ess= ∞

3 m

≥

K_a= ∞ e_ss=0

Para que o sistema realimentado apresente (em regime permanente) erro nulo

para entradas em parábola, G(s)deverá ter pelo menos 3 pólos na origem.

2 m

=

K_a=K ess 1 K = Faculdade de Engenharia

Seguimento de referências

sistema realimentado estável

( ) ( ) ( ) N s G s D s = ( ) R s ( ) G s ( ) E s Y s( ) 0 0 ( ) ( ) 0 D s +N s ≠ Entrada: 0 1 ( ) ( ) 1 n s t t r t e u t n − = −

Para que o sistema realimentado siga referências com erro nulo em regime permanente, a função de transferência de malha aberta deverá ter como pólos os pólos instáveis da transformada de Laplace da entrada!

0 1 ( ) ( )n R s s s = − 0 Re{ } 0s ≥ Erro: ( ) ( ) 1 ( ) R s E s G s = + ₀ ( ) 1 ( ) ( ) ( )n D s N s D s s s = + − lim ( ) 0 t→∞e t = 0 (s−s)n é factor de D s( )