Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes

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e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal

Grandezas geométricas:

perímetros, áreas e volumes

Ricardo Ferreira Paraizo

Au

la

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Aula 12 – Gr an dezas g eométri cas: perím etr os , ár eas e volum es 289

Objetivos

Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de: 1. transformar uma unidade de medida de

comprimento em outra;

2. calcular a área de algumas das principais figuras geométricas planas;

3. transformar uma unidade de área em outra; 4. transformar uma unidade de volume em outra; 5. resolver problemas de aplicação de transformação

de medidas e cálculo de áreas das figuras planas.

Pré-requisito

Para acompanhar esta aula, é importante ter em mãos: cartolina, cola e tesoura.

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Aula 12 – Gr an dezas g eométri cas: perím etr os , ár eas e volum es 289

A origem do cálculo de área

Desde os tempos mais remotos até os dias de hoje, a ocupação de terras para plantar, morar e armazenar alimentos tem sido uma preocupação dos cidadãos, que as ocupam, e do governo, que cobra impostos pela ocupação.

Na sua profissão, você vai lidar com medidas a todo o momento. Por exemplo: para saber a quantidade de ração necessária para sustentar um determinado animal, você precisará entender de volume. Para saber quantos canteiros retangulares poderá construir numa fazenda, você vai precisar entender o cálculo de área. Nesta aula vamos desenvolver algumas aplicações importantes que poderá observar no seu dia-a-dia. Mas este assunto não pára por aqui; você manterá contato com ele com muita freqüência nas disciplinas técnicas de seu curso e na prática profissional. Estude com muita atenção e desenvolva as atividades com cuidado e dedicação.

Vamos medir

Vamos iniciar analisando as formas de alguns objetos. Por exemplo, uma caixa de leite tem formato de um paralelepípedo retângulo.

Podemos medir o seguimento AB utilizando a régua. A mesma ação pode ser empregada para medir o perímetro da folha de seu caderno. Você lembra o que é perímetro? É a soma dos lados de uma figura plana. Medir o perímetro do caderno é somar a medida dos quatro lados da folha do caderno.

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e-T ec-Br asil – M atemáti ca In strum en tal 290 Aula 12 – Gr an dezas g eométri cas: perím etr os , ár eas e volum es 291

Escrever na folha de caderno:

O perímetro (2p) é:

2p = 279,4 + 279,4 + 215,9 + 215,9 Logo, 2p = 990,6 mm

Medidas de comprimento

Desde a Antigüidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada povo possuía sua própria unidade. Com o desenvolvimento do comércio, ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. Foi assim que, em 1791, surgiu o SISTEMAMÉTRICODECIMAL.

SISTEMAMÉTRICO DECIMAL

Faz parte do sistema internacional (SI) de unidades. Este é adotado no Brasil e tem como unidade principal e fundamental o metro.

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Metro

A palavra metro tem origem grega métron e significa “o que mede”. Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro corresponde a uma fração da circunferência da Terra, mais precisamente a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil, o metro foi adotado oficialmente em 1928.

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Além do metro, que é a unidade fundamental de comprimento, existem ainda seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados pelos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili.

Mudança de unidades de comprimento

Utilizamos os múltiplos do metro para medir grandes distâncias e os submúltiplos para medir pequenas distâncias.

Veja os múltiplos e submúltiplos do metro na tabela a seguir:

Tabela 12.1: Múltiplos e submúltiplos do metro. Múltiplos Unidade

Fundamental Submúltiplos

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam m dm cm mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Observe que cada unidade de comprimento é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

km = quilômetro (mil vezes o metro) hm = hectômetro (cem vezes o metro) dam = decâmetro (dez vezes o metro) m = metro (unidade fundamental) dm = decímetro (décimo do metro) cm = centímetro (centésimo do metro) mm = milímetro (milésimo do metro)

Para a mudança de unidade no sistema métrico decimal, podemos usar uma regra prática, que explicaremos logo a seguir. Por exemplo: o comprimento do terreno retangular onde fica a minha casa é 55,6 m. Quantos centímetros correspondem a essa medida?

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Ou seja, 55,6 metros (m) equivalem a 5.560 centímetros (cm).

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Comprimento da circunferência

Para medir o comprimento (l) de uma circunferência, usamos a fórmula:

l = 2.π.r

Onde:

l = comprimento da circunferência

R = raio da circunferência

π≅ 3,14 (o valor de π é aproximadamente 3,14)

Exemplo: Quantos metros de arame farpado você precisa usar para dar uma volta completa num cercado circular de 20 metros de raio?

Substituindo na fórmula, temos:

l = 2.π.r ⇒ l = 2 . 3,14 . 20 l = 125,60 m

Portanto, você vai precisar de 125,60 metros de arame para dar uma volta completa num cercado circular.

Observe que dessa forma lemos a medida

em metros. Então, se eu colocar a vírgula a direita do zero, lemos 5.560 centímetros (cm).

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e-T ec-Br asil – M atemáti ca In strum en tal 292 Aula 12 – Gr an dezas g eométri cas: perím etr os , ár eas e volum es 293 Outro exemplo:

Agora, vamos transformar 234 cm em dm. A medida é 234 cm = 234,0 cm.

Veja a tabela:

km hm dam m dm cm mm

2 3 4, 0

Observe que o último algarismo antes da vírgula e a própria vírgula devem ficar na coluna da unidade indicada inicialmente, ou seja, na coluna do cm. Depois disso, deslocamos a vírgula para a unidade desejada.

Veja:

A vírgula desloca-se para o dm:

km hm dam m dm cm mm

2 3, 4 0

Logo, 234 cm = 23,4 dm.

A seguir, há uma atividade para que você pratique um pouco e fixe esse conceito, que é o pré-requisito para entender as unidades de área que virão a seguir.

Atende ao Objetivo 1 Atividade

1

Complete:

a. 5,3 km = ... m b. 2,36 m = ... cm

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Unidades de área

Vamos pegar um pedaço de papel e uma régua. Com a régua vamos fazer um retângulo de 10 cm x 5 cm e quadriculá-lo com cinqüenta quadrados de mesmo tamanho.

Veja como ficou o retângulo quadriculado:

Zsuzsann

a Kilián

Fonte: www.sxc.hu

Figura 12.2: Saber calcular a área do retângulo é fundamental para entender o cálculo da área de outras figuras planas.

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Agora, vamos analisar...

1º. O retângulo foi subdividido em 50 quadrados. 2º. Cada quadrado tem 1 cm de lado.

3º. Qual é a área desse retângulo?

Podemos observar que a medida da superfície desse retângulo é a área que queremos calcular. Como a figura foi dividida em 50 quadradinhos de 1 cm de lado, concluímos que a área total do retângulo é 50 cm2_.

4º. Mas como obter a área do retângulo sem fazer quadriculado?

Basta multiplicar o comprimento pela altura, ou seja, 10 cm x 5 cm = 50 cm². Logo, podemos concluir que a área de qualquer retângulo é o comprimento multiplicado pela altura.

A_retângulo = base (b) x altura (h)

O quadrado também tem a área calculada pelo produto da base pela altura. Mas, neste caso, podemos modificar essa fórmula:

comprimento = 10 cm

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No quadrado, como todos os lados são iguais, podemos dizer que a base é igual a l e a altura é igual a l. Então, substituindo na fórmula, temos:

A_quadrado l . l

Vamos a uma situação prática para que você entenda melhor:

Imagine que precisamos fazer um canteiro para replantar 50 mudas de alface de tal forma que cada pé ocupe 400 cm². Qual deverá ser a área desse terreno? Não se assuste com o que foi pedido. Você vai ver que não é complicado resolver a questão. Podemos resolver este problema usando uma regra de três simples, ou seja:

1 pé de alface ocupa 400 cm² 50 pés de alface ocuparão x cm². pé cm2 ⇒ x = 50.400 ⇒ x = 20.000 cm2 1 400 50 x

Área das principais figuras planas

Nesta seção, você vai aprender que a fórmula da área do retângulo é a base para o cálculo de áreas de figuras planas elementares.

Observe!

Figura 12.3: Usando unidade de área na prática agrícola.

Ri car do Ferr eir a P ar aizo

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e-T ec-Br asil – M atemáti ca In strum en tal 296 Aula 12 – Gr an dezas g eométri cas: perím etr os , ár eas e volum es 297 Área do triângulo

Veja o retângulo a seguir: traçando uma diagonal, dividimos esse retângulo em dois triângulos iguais.

Você já conhece a fórmula da área do retângulo (A = b . h). Então, o que fazer para determinar a área do triângulo?

Ora, se o retângulo foi dividido em dois triângulos iguais e desejamos saber a área de apenas um deles, basta dividir a área do retângulo por 2. Ou seja:

A_triângulo = b.h

2 Área do paralelogramo

Observe as figuras a seguir. Para o cálculo da área, podemos “cortar” um pedaço do paralelogramo e encaixá-lo do outro lado, transformando-o num retângulo:

Veja que a altura do paralelogramo é a distância de uma base a outra. Sendo assim, a altura é perpendicular à base. Com isso, a área do paralelogramo é igual à área do retângulo obtido, ou seja, o produto das medidas da base pela altura.

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e-T ec-Br asil – M atemáti ca In strum en tal 298 Aula 12 – Gr an dezas g eométri cas: perím etr os , ár eas e volum es 299 Área do losango

O losango é uma figura geométrica que possui lados iguais e diagonais perpendiculares.

Podemos construir um retângulo de maneira que o losango fique inscrito nesta construção. Dessa forma, a área do losango, determinada em função de suas diagonais, é metade da área do retângulo.

A_losango = diagonal maior (D) diagonal menor (d)

2 ⋅

Área do trapézio

O trapézio é um polígono que possui quatro lados (ou seja, é um quadrilátero); dois desses lados são paralelos. Esses lados paralelos chamam-se bases.

base menor (b)

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Agora, construa dois trapézios iguais e encaixe-os, colocando um deles de “cabeça para baixo” em relação ao outro.

A figura obtida é um paralelogramo cuja área é o dobro da área do trapézio. Assim, a área do trapézio é:

A_trapézio =

(

base maior (B) base menor (b)+

)

⋅h

2

Calcule a área da superfície de um bloco de pedra em forma de paralelogramo de 8 m de base e 6 cm de altura.

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e-T ec-Br asil – M atemáti ca In strum en tal 300 Aula 12 – Gr an dezas g eométri cas: perím etr os , ár eas e volum es 301 Atende ao Objetivo 2 Atividade

3

O quadrilátero ABCD adiante representa um terreno em forma de trapézio, sendo 35% desse terreno ocupado por uma reserva florestal. A área total do terreno ABCD e a área da reserva florestal são respectivamente iguais a:

Dados: AB=5km DE=4km DC=2km a. 14 km² e 4,9 km² b. 15 km² e 5,25 km² c. 14 km² e 6,0 km² d. 15 km² e 6,3 km² e. 10 km² e 6,3 km²

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Mudanças de unidades de medidas de área

Vamos começar esta seção com um exemplo:

A área de uma fazenda é de 3,421 km². Você sabe quantos m² (metros quadrados) correspondem a essa medida?

Cada unidade de medida da área é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, e não dez vezes maior, como era no caso das unidades de comprimento.

Fonte: www.sxc.hu

Figura 12.4: Para medir áreas muito grandes, normalmente são usados os múltiplos do m2_.

Nathan Berry

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Para fazer a transformação de km2_{para m}2_{, vamos construir uma tabela com todas} as unidades de área.

Observe que, quando trabalhamos com unidade de área, colocamos em cada casa, à direita da vírgula, dois dígitos. E com a mesma regra prática usada para as transformações de unidades de comprimento, podemos resolver esse problema. Veja:

Então, 3,421 km2_{equivalem a 3.421.000 m}2_.

Saiba mais...

Medidas agrárias

Para medir as superfícies de terrenos, podemos utilizar as medidas agrárias: i. hectare (ha)

ii. are (a) iii. centiare (ca)

Se colocarmos a vírgula aqui, lemos a medida em m2_.

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A mudança de unidade se faz da mesma forma que nas medidas de superfície (área).

20.000 ca = 2 ha 1 a = 100m2

ha a ca

2 00 00

• 1 alqueire utilizado em Minas Gerais, Rio de Janeiro e Goiás vale 48.400 m2

= 4,84 ha.

• 1 alqueire utilizado em São Paulo vale 24.200 m2_{= 2,42 ha.}

• 1 alqueire utilizado no Norte vale 27.225 m2_{= 2,7225 ha.}

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Complete: a. 5 km2_{= ...m}2 b. 14400 m2_{= ...km}2 c. 0,0242 km2_=...m2

Volume

Quando estudamos o cálculo de área, trabalhamos com figuras da geometria plana. Agora, vamos observar os corpos que temos ao nosso redor, isto é, aqueles que ocupam lugar no espaço, como os rios, os móveis ou qualquer tipo de construção. Freqüentemente, temos de calcular volume de espaço que um tanque, por exemplo, ocupa. Tal conhecimento é fundamental para a agropecuária.

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Medir um sólido é compará-lo com outro sólido, tomado como unidade. Por exemplo: precisamos de um recipiente em que caibam 640 cm³ (centímetros cúbicos) de água. Para isso você pode fazer um modelo utilizando cartolina e cola, seguindo a planificação adiante.

Fonte: www.sxc.hu

Figura 12.5: O silo cilíndrico, usado para armazenar soja, é um sólido e, portanto, podemos calcular o seu volume.

Cr

ai

g J

ewell

V = a.b.c = 8.8.10 = 640 cm³, onde a, b e c são as três dimensões do paralelepípedo.

Assim, podemos calcular o volume de qualquer paralelepípedo retângulo fazendo o produto de suas dimensões.

1 cm 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm 10 cm 10 cm 8 cm 1 cm 1 cm Podemos dizer que nesse parale-lepípedo cabem 640 cubinhos de 1 cm de aresta (cubinhos como o da figura).

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Com isso, o volume de um paralelepípedo é igual ao produto de suas três dimensões: comprimento, largura e altura. O volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é:

O volume de um corpo é a quantidade de espaço que ele ocupa. Quanto maior o espaço ocupado, maior o seu volume, e vice-versa.

Atenção!

Quanto ao volume do cubo, também é o produto de suas três dimensões: comprimento, largura e altura. Como os três comprimentos são iguais, tome um deles e o eleve ao cubo.

V = a x b x c

Mudanças de unidades de volume

Imagine uma caixa d’água que tem volume de 4,387 m3_{(metros cúbicos). Você} saberia dizer quantos cubinhos de 1 cm de ARESTA cabem nessa caixa? Veja o diagrama com as unidades de volume e pense um pouco...

V = a3

ARESTA Em Geometria, é a linha

de intersecção de duas faces de um sólido. Um cubo, por exemplo,

tem 12 arestas. a

a a

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e-T ec-Br asil – M atemáti ca In strum en tal 306 Aula 12 – Gr an dezas g eométri cas: perím etr os , ár eas e volum es 307 km3 _hm3 _dam3 _m3 _dm3 _cm3 _mm3

As unidades de volume aumentam ou diminuem de 1.000 em 1.000, isto é, cada unidade de volume é 1.000 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior e 1.000 vezes menor do que a imediatamente superior.

km3 _hm3 _dam3 _m3 _dm3 _cm3 _mm3 4, 387 000 Observe que em cada casa colocamos três dígitos, pois se trata de volume. Se colocarmos

a vírgula aqui, lemos a medida em cm³.

Portanto, 4.387.000,0 cm³, ou seja, cabem 4.387.000,0 cubinhos de 1 cm de aresta dentro dessa caixa d’água.

Agora é sua vez! Tente fazer as atividades a seguir para fixar o conceito e os procedimentos para transformar unidades de volume. Depois, tente resolver a atividade-desafio. Atende ao Objetivo 4 Atividade

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Complete: a. 3 m3_{= ...dm}3 b. 5.400 dm3_{= ... m}3 c. 50.000 mm3_{= ... cm}3

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A fazenda São Carlos, localizada no estado de Minas Gerais, mede 200 ha. De um lado dessa fazenda fica a fazenda Santa Rosa, que mede 300 alqueires. Do outro lado há outra fazenda chamada Santa Maria, com área de 4 km².

De acordo com as informações responda:

a. Quantos por cento de área a fazenda Santa Rosa tem a mais que a área da fazenda Santa Maria?

b. Qual é a fazenda de maior área? Represente esta área em hectare.

c. Faça um gráfico de colunas colocando no eixo “x” o nome das fazendas e no eixo y as áreas em m².

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D E S A F I O

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A todo momento de sua vida você está medindo alguma coisa. E para medir precisamos usar algumas normas, o principal objetivo desta aula.

• O comprimento serve para medir distâncias: Unidades de Comprimento

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

Comprimento da circunferência: l = 2.π.r • A área serve para medir superfícies:

Unidades de Área

km2 _hm2 _dam2 _m2 _dm2 _cm2 _mm2

• Área das principais fi guras planas (S): (i) Triângulo: S = b h.

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(ii). Quadriláteros

Paralelogramo : S = b x h Retângulo : S = b x h

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e-T ec-Br asil – M atemáti ca In strum en tal 308 Aula 12 – Gr an dezas g eométri cas: perím etr os , ár eas e volum es 309 Losango: Trapézio: S=D d. 2 S B b h =( + ). 2

Informação sobre a próxima aula

Na próxima aula, vamos trabalhar com semelhança de triângulos e Teorema de Talles.

Atividade 1

a. Vamos colocar a parte inteira (parte da unidade) na direção da unidade de medida, que neste item é o km. A vírgula precisa fi car à direita da unidade dada. Na casa seguinte, copiamos o número que acompanha o 5, que é o número 3.

É muito simples: basta copiar 5,3 dentro das casas. Veja:

km hm dam m dm cm mm

5, 3

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Como queremos passar para metro (m), a vírgula desloca-se para o metro. Lembre-se sempre de colocar zero em cada casa em branco. Agora a vírgula se desloca do km para o metro. Veja:

5 3 0 0, 0

b.

2 3 6, 0

Veja que a vírgula se deslocou para a direita da nova unidade

de medida (que é o m). Resposta: 5,3 km = 5300 m

Resposta: 2,36 m = 236 cm

Atividade 2

Para se calcular a área de um paralelogramo, basta multiplicar a base pela altura.

S = b . h = 8 . 6 = 48 m² Logo, a área da superfície da pedra é de 48 cm².

Atividade 3

A fórmula para se calcular a área do trapézio ABCD é S =(B b h+ ). 2 B = comprimento da base maior (AB)

b = comprimento da base menor (CD) h = altura do trapézio (DE)

S =(5 + 2).4

2 =

7.4

2 = 14 km2

Cuidado: não confunda o lado (l) do

paralelogramo com a sua altura (h).

l

b h h = 6 m

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Os 35% do terreno que é reserva florestal podem ser calculados assim: 35 100 14 1 35 7 50 245 50 4 9 2 ⋅ = . = = , km Resposta: A

Atividade 4

a. O raciocínio é um pouco parecido com a transformação da unidade de comprimento. Como agora o assunto é área, cada casa precisa ter 2 (dois) dígitos. Veja que 5 km² = 5,0 km². A parte inteira (parte da unidade) fica em direção à unidade de medida, que neste item é o km².