Polinômios e funções inteiras com zeros reais

Instituto de Matemáti a, Estatísti a e Computação Cientí a

Departamento de Matemáti a Apli ada

Polinmios e Funções Inteiras om Zeros Reais

Fábio Rodrigues Lu as

∗

Doutorado em Matemáti a Apli ada -Campinas - SP

Orientador: Prof. Dr. DimitarKolev Dimitrov

∗

Esteexemplar orrespondeàredaçãonaldatese

de doutorado devidamente orrigidae defendida

por Fábio Rodrigues Lu as e aprovada pela

o-missão julgadora.

Campinas, 15de junho de 2010.

Ban a Examinadora:

1. Prof. Dr. DimitarKolevDimitrov

2. Profa. Dra. Eliana XavierLinhares de Andrade

3. Prof. Dr. SérgioAntonio Tozoni

4. Prof. Dr. CláudioAguinaldo Buzzi

5. Prof. Dr. Alaga oneSriRanga

TeseapresentadaaoInstitutodeMatemáti a,

Es-tatísti a e Computação Cientí a, UNICAMP,

omo requisito par ial para obtenção do Título

BIBLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP

Bibliote ária: MariaFabianaBezzera Müller - CRB8 /6162

Lu as,FábioRodrigues

L962p Polinmiosefunçõesinteiras omzerosreais/FábioRodriguesLu as-Campinas,

[S.P.: s.n.℄,2010.

Orientador: DimitarKolevDimitrov;RobertoAndreani.

Tese(doutorado)-UniversidadeEstadualdeCampinas,Institutode

Mate-máti a,Estatísti aeComputaçãoCientí a.

1. Polinmios. 2. FunçõesInteiras. 3. HipótesedeRiemann I.Dimitrov,

DimitarKolev II.Andreani,Roberto. III.UniversidadeEstadualdeCampinas.

InstitutodeMatemáti a,Estatísti aeComputaçãoCientí a. IV.Título.

Títuloem inglês: Polynomialsand entire fun tionswith real zeros

Palavras- have em inglês (Keywords): 1.Polynomials. 2. Entire fun tions. 3. Riemann`s

hypothesis.

Áreade on entração: Análise Apli ada

Titulação: Doutor em Matemáti a Apli ada

Ban aExaminadora: Prof. Dr. DimitarKolevDimitrov (IBILCE-UNESP)

Profa. Dra. Eliana Xavier Linharesde Andrade(IBILCE-UNESP)

Prof. Dr. Sérgio Antonio Tozoni (IMECC-UNICAMP)

Prof. Dr. Cláudio AguinaldoBuzzi(IBILCE-UNESP)

Prof. Dr. Alaga oneSri Ranga (IBILCE-UNESP)

Datada defesa: 15/06/2010

Bem, hegouahorade agrade eratodosaqueles quemeajudarame ontribuírampara

minhaformação nesses últimos anos.

Para omeçar,édifí iltrans reverempalavrasoquantosougratoaoProf. Dr. Dimitar

K.Dimitrov. Desde oprimeiro diaemque o onhe item meensinado muito e,

prin ipal-mente, aprendi om ele o gosto pela pesquisa. Grande parte de minha formação devo a

ele. Muito obrigadoProf. Dimitar.

Como não lembrar dos demais professores do Grupo de Polinmios Ortogonais da

UNESPdeSãoJosédoRioPreto,SP.Agradeçoemespe ialaProfa. Dra. ElianaXavierL.

de Andrade,portodoo arinho,amizade,porter sido a professorade meu primeiro urso

de PolinmiosOrtogonais e,também, agradeçofortementeaProfa. Dra. Cleoni e Fátima

Bra ialipor por ter lido e orrigido a primeira versão de minha tese. Sou muito grato

ao Prof. Dr. Alaga one Sri Ranga por todo o apoio, pelos ensinamentos, pela amizadee

in entivo.

Agradeço ao Instituto de Matemáti a, Estatísti a e Computação Cientí a da

UNI-CAMP. Em espe ial ao meu o-orientador Prof. Dr. Roberto Andreani, por uidar de

todaa parte buro ráti a epeladis iplinaministrada, aqual foi muito importanteem

mi-nha formação. Ao oordenador doPrograma de Pós-Graduação emMatemáti a Apli ada

Prof. Dr. Aurélio Ribeiro L. de Oliveira pelo seu apoio. Também ao pessoal da

se reta-ria de Pós-Graduação, em espe ial a Tânia por toda ajuda e atenção. Agradeço a todos

os meus olegas da UNICAMP, em espe ial à Ce ília P. de Andrade, Denise de Siqueira,

DouglasS.Gonçalves, FernandaT. Nunes,JoséE.A.Neto, LeandrodaFonse aPrudente,

Robsonda Silva,RodrigoS. LimaeValtemir M.Cabral.

AoDepartamentode Ciên iasdaComputaçãoeEstatísti adaUNESP de São José do

Proença de Almeida e Walla e C. O. Casa a,tambémagradeço.

Ao olega de longa data, Fernando Rodrigo Rafaeli,portodos estes anos de

onvivên- ia. Aos demais olegas do Grupo de Polinmios Ortogonais, Eliel José C. dos Santos,

Guilherme L. F. da Silva, Heron Martins Félix, José Augusto Coelho, Manuella A. F.

de Lima, Regina da Silva Lamblém, Vanessa G. P. Pas hoa, Yen Chi Lu e, em espe ial,

à Mirela V. de Mello pela olaboração em alguns dos resultados deste trabalho.

Agra-deço também à Gabriela P. Mosquera por todo o apoio nos meus primeiros dois anos de

doutorado.

Agradeço também aos membros da Ban a Examinadora por a eitarem o onvite de

parti ipar dadefesa desta tese de doutorado eportodas assugestões.

Sou eternamentegrato àminha família ujoapoio in ondi ionaltornoupossívela

rea-lizaçãodeste projeto.

Nesta teseabordamosalgunsproblemasrela ionados omzerosde polinmiosede

fun-çõesinteiras. Estabele emosfórmulasexplí itasparaospolinmiosdasequên iade Sturm,

geradaporum polinmioepelasua derivada. Como onsequên ia, obtemos ondições

ne- essárias e su ientes para que um polinmio sem zeros múltiplos tenha somente zeros

reais. Provamos também a vera idade de algumas ondições ne essárias para a hipótese

de Riemann, estendendo desta forma um resultado anterior de Csordas, Norfolk e Varga

queestabele em uma onje tura de Pólya.

Palavras- have: Polinmios, zeros, Funções Inteiras, Desigualdades de Turán, Hipótese

In this thesis we approa h problems on erning zeros of polynomials and entire

fun -tions. We establishexpli it formulafor the polynomialin the Sturm sequen e, generated

by a polynomial and its derivative. As a onsequen e, we obtain ne essary and su ient

onditions for a polynomial without multiple zeros to possess only real zeros. We prove

alsothe truthof ertainne essary onditions forthe RiemannHypothesis,thus extending

aprevions result of Csordas, Norfolk and Varga who established a onje ture of Pólya.

Keywords: Polynomials,Zeros, Entire Fun tions,Turánof Inequality, Riemann

1 Introdução 1

2 Denições e Resultados Preliminares 5

2.1 Alguns Resultados sobre Formas Quadráti as . . . 5

2.2 Denições eResultados de Análise . . . 8

3 Sequên ia de Sturm e Polinmios Hiperbóli os 11 3.1 Teoremade Sturm. . . 11

3.2 Relação entre os determinantes das matrizesde Hankel . . . 17

3.3 Relação entre os determinantes das matrizesde Hankel ede Hurwitz. . . . 29

3.4 Polinmiosde Sturm e Determinantes de Hurwitz. . . 34

3.5 Cara terização dos PolinmiosHiperbóli os . . . 41

4 Funções Inteiras da Classe de Laguerre-Pólya 50 4.1 A Classede Laguerre-Pólya . . . 50

4.2 Polinmiosde Jensen. . . 66

4.3 A Hipótese de Riemann. . . 70

4.4 Desigualdades de Turán para a função

ξ

de Riemann. . . 72

Introdução

Um dos resultados fundamentais da matemáti a é o hamado Teorema Fundamental da

Álgebra. Ele arma que,se

p(z) = a

0

+ a

1

z + . . . a

n

z

n

,

a

n

6= 0,

éum polinmiode grau

n

,ele possui exatamente

n

zeros

z

1

, z

2

, . . . , z

n

, sendopossívelque alguns deles serepitame, neste aso, oszeros são hamadosmúltiplos.

Alémdisso,

p(z)

pode ser representado daforma

p(z) = a

n

(z − z

1

) . . . (z − z

n

).

Representação similar existe para as funções inteiras e ela é onhe ida por fórmula de

Weierstrass.

Uma questão fundamental é a seguinte: dada uma região

Ω

doplano omplexo, obter ondições ne essárias e/ou su ientes sobre os oe ientes do polinmio, ou da função

inteira, para que todos osseus zeros pertençam a

Ω

.

Por exemplo, quando

Ω

é um semi-plano ou um dis o, esta questão é simplesmente o problema daestabilidade de soluçõesde equações diferen iais.

Os temas prin ipais desta tese são rela ionados à questão a ima no aso em que

Ω

é a reta real. Portanto, este trabalho ontém resultados sobre polinmiose funções inteiras

hamados de Polinmios Hiperbóli os. A lasse das funções inteiras ujos zeros estão

todos lo alizados na reta real é denominada de Classe de Laguerre-Pólya. É onhe ido

que toda talfunção éde ordem no máximo dois e é limite de polinmios hiperbóli os, no

sentido da onvergên ia uniforme nos ompa tos doplano omplexo.

Valemen ionarqueaquestãode ara terizarasfunçõesda lassedeLaguerre-Pólyafoi

motivadapelomaiorproblemadamatemáti anaatualidadequeéaHipótesede Riemann.

Esta hipótese arma que todos os zeros não-triviais da função

ζ

de Riemann perten em à reta

Re(z) =

1

2

. A simples transformação linear que leva esta reta ao eixo real reduz a Hipótese de Riemannaoproblema de estabele erque afunção obtidaatravésda

transfor-mação,que é onhe ida omo afunção

ξ

de Riemann,possui somentezeros reais. Sabe-se que

ξ

é uma função inteira de ordem um. Laguerre, provavelmente tentado poresta sim-ples observação, nos anos 80 do sé ulo

XIX

obteve alguns resultados sobre as funções inteiras om zeros reais. Na primeira dé ada do sé ulo

XX

, Jensen espalhou rumores de quehavia obtido ara terizações fundamentaissobre estas funçõese ondiçõesne essárias

e su ientes importantes para ahipótese de Riemann.

Comoelenão publi ouseus resultados, apósseufale imentofoidadoaGeorgePólyao

direitodeestudarosmanus ritosde Jensen. Apesardas ondiçõesne essárias esu ientes

que Pólya en ontrou não pare erem e nem provarem ser promissoras para estabele er a

hipótese,um resultado bonito eimportantetinhasido obtidoporJensen. Asso iados om

qualquer função inteira

ψ(z) = γ

0

+

γ

1

z

1!

+

γ

2

z

2

2!

+ . . . +

γ

k

z

k

k!

. . . .

Jensen introduziu ospolinmios

g

n

(ψ, z) = γ

0

+



n

1



γ

1

z +



n

2



γ

k

z

2

+ . . .



n

n



γ

n

z

n

,

eprovouque

ψ

éda lassedeLaguerre-Pólyase,esomentese, todosospolinmios

g

n

(ψ; z)

, que hoje são hamados polinmios de Jensen, são hiperbóli os. Além disso, a sequên ia

É relativamente fá il on luir que se

ψ(z)

possui apenas zeros reais, não somente

g

n,k

(ψ; z)

,mas tambémos hamados polinmiosde Jensen generalizados

g

n,k

(z) = γ

k

+



n

1



γ

k+1

z + . . . +



n

j



γ

k+j

z

j

+ . . . +



n

n



γ

n+k

z

n

,

são hiperbóli os.

Motivado pela leitura dos manus ritos de Jensen, George Pólya, em parte em

oauto-ria om S hur, obteve a ara terização (denotada aqui por

LP

) ompleta da lasse que hamamosde Laguerre-Pólya eestabele eu vários resultados importantes sobre oassunto.

Levandoem onsideraçãoopapeldos polinmiosde Jensen,umproblema fundamental

é obter ara terizações ompletas para polinmios hiperbóli os. Existem ondições

ne- essárias e su ientes para que um polinmio seja hiperbóli o e as mais a essíveis são as

forne idaspeloTeoremadeHermite emtermosde formasquadráti as queenvolvemos

o-e ientes dos polinmios. Por outro lado, o resultado lássi o de Sturm forne e o número

de zeros reais de um polinmio

p(z)

om oe ientes reais no intervalo

(a, b)

através das mudanças de sinal da hamada sequên ia de Sturm, geradapor

p(z)

e

p

′

_(z)

. Esta última

sequên iaéobtidapeloalgoritmodeEu lidese,portanto,exige ál ulosbastantes

omple-xos. Algunsdosprin ipaisresultadosdestatesesãofórmulasexplí itassobreospolinmios

da sequên ia de Sturm em termos de determinante uja matriz é a onhe ida matriz de

Hurwitz asso iada a

p(z)

e que envolve somente

p(z)

e

p

′

_(z)

. Estes resultados revelam a

relação estreita entre o Teorema de Hermite e o Teorema de Sturm. Outra onsequên ia

imediatadestesresultadossão as ondiçõesne essáriasesu ientesparaqueumpolinmio

seja hiperbóli o no aso emque elenão possui zeros múltiplos.

Lembramos que a Hipótese de Riemann é equivalente aofato de que a função

ξ(z)

de Riemannperten e à lasse de Laguerre-Pólya eque

ξ(z)

é uma função par, istoé,

ξ(z) =

∞

X

k=0

bγ

k

k!

z

2k

_,

om

bγ

k

> 0.

Portanto,a hipótese é verdadeira se, e somentese, afunção

ξ

1

(z) = ξ(

√

z)

,

ξ

1

(z) =

∞

X

k=0

bγ

k

k!

z

k

_,

anteriormente, uma ondição ne essária para a vera idade daHipótese de Riemann éque

ospolinmiosgeneralizados

g

2,k−1

(ξ

1

; z) = bγ

k−1

+ 2bγ

k

z + bγ

k+1

z

2

sejamhiperbóli os, o que porseu lado é equivalenteao fatode seu dis riminante ser

não-negativo, istoé,

bγ

k

2

− bγ

k−1

bγ

k+1

≥ 0, k = 1, 2, . . . .

Estas desigualdadessão onhe idas naliteratura omoasdesigualdades de Turán. Em

1927Pólyapropós omoproblemaemabertoprovarestasdesigualdadesparaos oe ientes

de

ξ

1

(z)

. Surpreendentemente, o problema de Pólya foi resolvido depois de quase seis dé adas, em1986 porCsordas, Norfolk eVarga [2℄. Naturalmentesurge aquestão sobrea

hiperboli idadedos polinmiosgeneralizados de Jensende grau três asso iados om

ξ

1

(z)

, quesão dados por

g

3,k−1

(ξ

1

; z) = bγ

k−1

+ 3bγ

k

z + 3bγ

k+1

z

2

+ bγ

k+2

z

3

.

(1.1)

Provamos que um polinmio da forma (1.1) om oe ientes positivos é hiperbóli o se, e

somente se,

bγ

2

k+1

− bγ

k

bγ

k+2

≥ 0

e

4(bγ

k

2

− bγ

k−1

bγ

k+1

)(bγ

2

k+1

− bγ

k

bγ

k+2

) − (bγ

k

bγ

k+1

− bγ

k−1

bγ

k+2

)

2

≥ 0

(1.2)

simultaneamente. As desigualdades (1.2) são hamadas de desigualdades de Turán de

ordemsuperior. NoCapítulo4 destatese provamosas desigualdades(1.2),estabele endo,

assim,ahiperboli idadedos polinmiosde Jensengeneralizadosde grautrês eestendendo

Denições e Resultados Preliminares

Neste apítulo forne emos denições e resultados preliminares que serão utilizados nos

apítulos seguintes. Como as demonstrações de taisresultados são um tanto trabalhosas

e,em muitos asos, ne essitam de muitos resultados auxiliares,e para que o trabalhonão

fuja dos seus objetivosnão vamos forne ertais demonstrações.

As denições edemonstrações daseção 2.1 podem ser en ontradas em[6℄.

2.1 Alguns Resultados sobre Formas Quadráti as

Denição 2.1 Uma formaquadráti aé umpolinmiohomogêneode grau doisem

n

vari-áveis

x

1

, x

2

, . . . x

n

. Uma forma quadráti a sempre tem a representação

n

X

i,k=1

a

ik

x

i

x

k

(a

ik

= a

ki

; i, k = 1, 2, . . . n),

onde

A = (a

ik

)

é uma matriz simétri a.

Se denotarmoso vetor

(x

1

, x

2

, . . . x

n

)

por

x

ea formaquadráti apor

A(x, x) =

n

X

i,k=1

a

ik

x

i

x

k

,

(2.1)

então podemoses rever (2.1) omo

A(x, x) = x

T

_Ax.

Uma formaquadráti atambémpode ser representada naforma

A(x, x) =

r

X

i=1

a

i

X

i

2

,

(2.3) onde

a

i

6= 0 (i = 1, 2, . . . , r)

e

X

i

=

n

X

k=1

α

ki

x

k

(i = 1, 2, . . . r)

são formas lineares linearmenteindependentes nas variáveis

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

)

.

Épossívelprovar,utilizandoarepresentação

(

2.3

)

,queonúmerode

a

i

positivoséigual ao posto da matriz

A = (a

ik

)

, além disso o número total de

a

i

positivos e negativos são invariantes independentemente da representação de

A(x, x)

. Este resultado é onhe ido omo aLei daInér ia de uma FormaQuadráti a e édado da seguinte forma.

Teorema 2.1 Narepresentaçãodeumaformaquadráti a

A(x, x)

omosomadequadrados independentes

A(x, x) =

r

X

i=1

a

i

X

i

2

,

o número de

a

i

positivos e negativos é independenteda es olha de sua representação. Sabendoqueonúmerodequadrados positivosenegativoséinvariante,podemosdenir

oque é signatura de uma forma quadráti a

Denição 2.2 A diferença

σ

entre o número

π

de quadrados positivos e o número

v

de quadradosnegativosnarepresentaçãode

A(x, x)

é hamadodesignaturadaforma

A(x, x)

. O posto

r

e asignatura

σ

determinam os números

π

e

v

uni amente, pois

r = π + v

e

σ = π − v

.

Vamos, agora,enun iar o Teoremade Ja obi. Para este propósito, denimos

• D

k

= A





1 2 . . . k

1 2 . . . k





para

k = 1, 2, . . . , n

omosendoodeterminantedeordem

k

formado pelas primeiras

k

linhas e primeiras

k

olunas damatriz

A = (a

ik

)

.

• P (1, D

1

, D

2

, . . . , D

r

)

e

V (1, D

1

, D

2

, . . . , D

r

)

omo sendoo número de permanên iae númerode mudanças de sinal,respe tivamente, dasequên ia

1, D

1

, D

2

, . . . , D

r

,onde

Teorema 2.2 (Ja obi) Se para a forma quadráti a

A(x, x) =

n

X

i,k

a

ik

x

i

x

k

,

onde

A

tem posto

r

, as desigualdades

D

k

= A





1 2 . . . k

1 2 . . . k



 6= 0

(k = 1, 2, . . . r)

(2.4)

são satisfeitas, entãoo número

π

de quadrados positivos e o número

v

de quadrados nega-tivos de

A(x, x)

oin idem, respe tivamente, om o número

P

de permanên ias de sinal e o número

V

de variações de sinal na sequên ia

1, D

1

, D

2

, . . . , D

r

e a signatura é dada por

σ = r − 2V (1, D

1

, D

2

, . . . , D

r

).

Denição 2.3 Uma forma quadráti a

A(x, x) =

n

X

i,k

a

ik

x

i

x

k

é hamada denida positiva se,

A(x, x) ≥ 0,

para todo

x 6= 0.

É possível,atravésdométodode Ja obi, representar uma formaquadráti a

A(x, x)

da forma

A(x, x) =

r

X

k=1

D

k−1

D

k

X

2

k

.

(2.5)

Utilizandoa igualdade (2.5) obtemoso seguinte teorema.

Teorema 2.3 Uma forma quadráti a é denida positiva se, e somente se,

D

1

≥ 0, D

2

≥ 0, . . . D

n

≥ 0.

Teorema 2.4 Seja

A(x, x)

uma forma quadráti a denida positiva. Se, para um erto vetor

v

, vale

hAv, vi = 0

, então

Av = 0

.

2.2 Denições e Resultados de Análise

Para umamelhor ompreensãodoCapítulo4,forne emos,nestaseção,asprin ipais

deni-çõeseresultadosde análisequeserãoaliutilizados. Paraademonstraçãodestesresultados

veja [7℄.

Denição 2.4 (Função Inteira) A função

f

é hamada analíti a em algum ponto

z

0

do seu domínio

D

se existir um

ρ > 0

e umasérie de potên ia

F (z) = a

0

+ a

1

z + . . .

, om raio de onvergên ia maior ou igual a

ρ

, tal que

•

a vizinhança

N(z

0

, ρ)

perten e a

D

, onde

N(z

0

, ρ)

é o dis o entrado em

z

0

e raio

ρ

;

•

para todo

z

perten ente a

N(z

0

, ρ)

, se

h = z − z

0

, então

f (z) = f (z

0

+ h) = F (h)

.

Se

f (z)

éanalíti aem

z

0

dizemosque

f (z)

érepresentadapor

F (z)

em

N(z

0

, ρ)

. Quando o domínio de

f

é todo o plano omplexo, dizemos que

f

é uma Função Inteira se

f

for analíti aemtodo ponto

z

do plano omplexo.

Teorema 2.5 Assumaqueasfunções

f

1

(z), f

2

(z), . . . f

n

(z), . . .

são inteirasequeelas on-vergem uniformemente para uma função

f (z)

em qualquer onjunto ompa to do plano omplexo. Então, a função limite

f (z)

é inteira.

Valemen ionar queos polinmios são funções inteiras, desta forma segue doTeorema

anterior que se tivermos uma sequên ia de polinmios onvergindo uniformemente para

uma função

f (z)

em qualquer onjunto ompa to do plano omplexo, então

f (z)

é uma função inteira.

Como no Capítulo 4 vamos estudar os zeros de ertas funções inteiras que são limites

uniformes de sequên ias de polinmios, abe men ionar alguns resultados sobre zeros de

polinmios. Oprimeiro resultado é o onhe ido Teorema Fundamental daÁlgebra.

Teorema 2.6 Todo polinmio

p(z)

não onstante de grau

n

om oe ientes omplexos, admite exatamente

n

zeros. Além disso,

p(z)

pode ser fatorado na forma

p(z) = a

n

(z − z

1

) . . . (z − z

n

),

Como onsequên ia doTeoremaFundamentaldaÁlgebra temosas hamadasRelações

de Vieta, que rela ionam os zeros

z

1

, . . . z

n

do polinmio

p(z) =

P

n

k=0

a

n−k

z

n−k

om seus oe ientes

a

k

. Talrelação éa seguinte: Se denirmos

σ

k

omosendo assomas simétri as dos zeros

z

1

, . . . z

n

, ou seja,

σ

1

=

n

X

j=1

z

j

, σ

2

=

n

X

l,j=1

z

j

z

l

, σ

3

=

n

X

l,j,p=1

z

l

z

j

z

p

, . . . σ

n

= z

1

, z

2

. . . z

n

,

então

σ

k

= (−1)

k

a

n−k

a

n

k = 1, . . . n.

(2.6)

O próximo teorema, onhe ido omo Teorema de Hurwitz, arma que se todas as

funçõesde uma sequên ia

{f

n

(z)}

∞

0

possuem somentezeros reais,então sua função limite

f (z)

tambémtem somentezeros reais.

Teorema 2.7 Seos termos da sequên ia

{f

n

(z)}

∞

0

são funções analíti as emumdomínio

G

que tendem uniformemente em

G

para a função

f (z)

não identi amente nula, então qualquer vizinhança su ientemente pequena de

m

zeros de

f (z)

perten entes a

G

ontém exatamente

m

zeros dos

f

n

para um índi e

n

su ientemente grande.

O teorema seguinte garante que se um polinmio tem somente zeros reais, então dois

oe ientes onse utivos do polinmionão podem ser nulos.

Teorema 2.8 Se a equação

h(z) = c

0

+ c

1

z + . . . c

n

z

n

= 0

tem somente raízes reais ese

c

0

6= 0

, entãodois oe ientesvizinhos não podemse anular. Mais pre isamente, se

c

r

= 0

,

0 < r < n

, então

c

r−1

c

r+1

< 0

.

O próximo teoremagarantea onvergên ia de produto innitode funções.

Teorema 2.9 Uma ondiçãone essáriaesu ienteparaa onvergên iadoproduto

Q

∞

n=1

(1+

a

n

(z))

é a onvergên iaabsoluta da série

P

∞

n=1

a

n

(z)

.

Con luímos esta seção om dois resultados sobre polinmios om somente zeros reais,

Teorema 2.10 Se os zeros do polinmio

p

1

(z) = α

0

+

α

1

1!

z + . . .

α

m

m!

z

m

são reais e os zeros do polinmio

p

2

(z) = β

0

+

β

1

1!

z + . . . +

β

n

n!

z

n

são reais e de mesmo sinal, então os zeros do polinmio

p

3

(z) = α

0

β

0

+

α

1

β

1

1!

z + . . . +

α

k

β

k

k!

z

k

onde

k = min(m, n)

, são reais.

Teorema 2.11 Uma ondição ne essária e su iente para que o polinmio

p

1

(z) = α

0

+

α

1

1!

z + . . .

α

n

n!

z

n

tenha somente zeros reais é que o polinmio

p

1

(D)z

m

= α

0

z

m

+



m

1



α

1

z

m−1

+ . . .



m

n



α

n

z

n

Sequên ia de Sturm e Polinmios

Hiperbóli os

Neste apítulosãoobtidas ondiçõesne essáriasesu ientesparaquetodasasraízesde

um polinmio om oe ientes reais sejam reais. Além disso, dois outros novos resultados

sãoestabele idos,oprimeiropropõeumanovarelaçãoentreosdeterminantesdas hamadas

matrizesdeHankeleosegundoresultadoforne eumaformaexplí itaparase al ulartodos

os polinmios gerados pelo algoritmo de Sturm. Ambos os resultados estão fortemente

ligadose serão de grande importân iapara on luiro resultado prin ipal.

Ini iamos oCapítulo 3falando sobre a sequên iae o Teoremade Sturm.

3.1 Teorema de Sturm.

O Teorema de Sturm trata de um método para se al ular o número de raízes reais que

um polinmio om oe ientes reaispossui emum dadointervaloqualquer

(a, b)

,onde

a

e

b

são reais ou

±∞

.

Para enun iarmos o Teoremade Sturm, primeiramentevamos introduzir alguns

resul-tados enotações.

Considere a sequên iade polinmiosreais

que possui as duas seguintes propriedades om respeito aointervalo

(a, b)

:

1. Para todovalorde

z (a < z < b)

, sealgum

Q

m

(z)

seanula, então osdois polinmios adja entes

Q

m−1

(z)

e

Q

m+1

(z)

têm valores diferentes de zero esinais opostos, istoé, para

a < z < b

segue que se

Q

m

(z) = 0

, então

Q

m−1

(z)Q

m+1

(z) < 0.

2. A últimafunção

Q

0

(z)

em(3.1) não se anulanointervalo

(a, b)

.

A sequên ia de polinmios(3.1)é hamadade sequên ia de Sturm nointervalo

(a, b)

. Vamos veri ar, agora, que se

f (z)

é um polinmio de grau

n

e

f

′

_(z)

é a derivada de

f (z)

,entãosemprepodemos onstruir umasequên iadeSturmini iando om

f (z)

e

f

′

_(z)

.

Para gerar uma sequên ia de Sturm vamos apli ar o algoritmo de divisão de Eu lides

para os polinmios

f (z)

e

f

′

_(z)

am de en ontrar o máximo divisor omum entre

f (z)

e

f

′

_(z)

, e veri ar queo pro esso de divisão de Eu lides gera uma sequên iade Sturm.

Teorema 3.1 Os polinmios obtidos pelo algoritmo de Eu lides a partir dos polinmios

f (z)

e

f

′

_(z)

,

f (z) = f

′

(z)A

0

(z) − Q

n−2

(z)

f

′

(z) = Q

n−2

(z)A

1

(z) − Q

n−3

(z)

Q

n−2

(z) = Q

n−3

(z)A

2

(z) − Q

n−4

(z)

. . . . . . . . .

.

Q

n−r−1

(z) = Q

n−r

(z)A

r+1

(z) − Q

n−r+1

(z)

. . . . . . . . .

Q

2

(z) = Q

1

(z)A

n−2

(z) − Q

0

(z),

se, quando

f (z)

não possui zeros múltiplos, formam uma sequên ia de Sturm. Pre isamos veri arque a sequên ia

geradapeloalgoritmodeEu lides,satisfazasduas ondições itadasnadeniçãode

sequên- iade Sturm.

Observeque,nopro essodeEu lides,tomamososrestosdadivisão omsinalnegativo.

Podemos notar também que os graus dos polinmios

Q

n−r−1

(z), r = 1, 2, . . . , n − 1

, de res emestritamente. Adivisão érepetidaatéobtermos oresto

Q

0

(z)

de grauzero, isto é,uma onstante. Se esta onstanteénula,então

Q

1

(z)

éofator omumentre

f (z)

e

f

′

_(z)

.

Se esta onstante é não nula então

f (z)

e

f

′

_(z)

não têm fator omum diferente de

onstante. Por exemplo, se

f (z)

não tem zeros múltiplos, então

f (z)

e

f

′

_(z)

não têm

fator omum diferentede onstante e, onsequentemente, o algoritmode Eu lides produz

asequên ia

f (z), f

′

_{(z), Q}

n−2

(z), . . . , Q

0

(z)

om

Q

0

(z) = const 6= 0

. Para demonstrarmos o Teorema3.1pre isamos do seguinte resultado.

Lema 3.2 Seja

f

uma função que tem derivadas ontínuas até ordem

k

em uma vizi-nhança

U

do ponto

c

. Sejam

f (c) = f

′

(c) = . . . = f

(k−1)

(c) = 0

e

f

(k)

(c) 6= 0.

Então, para todo

ε > 0

su ientemente pequeno, temos

f (c + ε)f

′

(c + ε) > 0,

f (c − ε)f

′

(c − ε) < 0.

Demonstração:O lema arma que para qualquer raiz

c

da equação

f (t) = 0

, a função

f

e suaderivadatêmsinaisopostosantesdaraizemesmosinaldepoisdaraiz. Ademonstração

é baseada na fórmula de Taylor. Para todo

h

su ientemente pequeno, pre isamente tal que

c + h, c − h ∈ U

, temos

f (c + h) = f (c) +

f

′

_(c)

1!

h +

f

′′

_(c)

2!

h

2

_{+ . . . +}

f

(k−1)

(c)

(k − 1)!

h

k−1

₊

f

(k)

(c + θh)

k!

h

k

_,

onde

θ

é algum númerodo intervalo

(0, 1)

. Analogamente,

f

′

(c + h) = f

′

(c) +

f

′′

_(c)

1!

h + . . . +

f

(k−1)

_(c)

(k − 2)!

h

k−2

+

f

(k)

_{(c + θ}

1

h)

(k − 1)!

h

k−1

,

onde

θ

1

∈ (0, 1)

. Como

f

(j)

_{(c) = 0}

para

j = 0, . . . , k − 1

, então

f (c + h)

f

′

_{(c + h)}

=

f

(k)

_{(c + θh)}

f

(k)

_{(c + θ}

1

h)

h

k

.

Mas,

f

(k)

_{(t) 6= 0}

. De fato desde que

f

(k)

_(t)

é uma função ontínua, existe uma vizinhança

U

1

de

c

talque

f

(k)

(t) 6= 0

para todo

t ∈ U

1

. Além disso,

sign f

(k)

_{(t) = sign f}

(k)

_(c)

para

todo

t ∈ U

1

. Emparti ular, para

h

su ientemente pequeno, temos

sign f

(k)

(c + θh) = sign f

(k)

(c + θ

1

h).

Consequentemente,

sign

f (c + h)

f

′

_{(c + h)}

= sign h.

Assim, para

h = ε

e

h = −ε

obtemos aarmação do lema. Vamos agora demonstraro Teorema 3.1.

Demonstração. Seja

(a, b)

um intervalo dado. Vamos, ini ialmente, supor que

f (z)

não tem raízes múltiplas no intervalo

(a, b)

. Mostremos que

Q

0

(z) 6= 0

em

(a, b)

se, e somente se,

f (z)

não tem zeros múltiplos em

(a, b)

. De fato, se

f (z)

tivesse um zero

ξ

om multipli idade

p

em

(a, b)

, então

ξ

seria um zero om multipli idade

(p − 1)

de

f

′

_(z)

e, onsequentemente,

f (z)

e

f

′

_(z)

teriam um fator omum,

(x − ξ)

p−1

, om

ξ ∈ (a, b)

. Re ipro amente, se

f (z)

não tem raízes múltiplas em

(a, b)

, então o fator omum entre

f (z)

e

f

′

_(z)

não tem raízes em

(a, b)

, pois

Q

0

(z)

é uma onstantenão nula. Seja

f (c) = 0

. Então, peloLema 3.2,

f (c − ε)

e

f

′

_{(c − ε)}

têm sinais opostos para todo

ε > 0

su ientementepequeno.

Agora, onsidere

Q

n−r

(c) = 0

paraalgum

r = 2, . . . , n−1

. Então,

Q

n−r−1

(c)

e

Q

n−r+1

(c)

são diferentes de zero e,além disso,

Q

n−r−1

(c)

e

Q

n−r+1

(c)

têm sinais opostos.

Estas armaçõessão onsequên ias imediatada relação

Q

n−r−1

(z) = Q

n−r

(z)A

r+1

(z) − Q

n−r+1

(z),

pois para

z = c

, omo

Q

n−r

(c) = 0

, segue que

Q

n−r−1

(c) = −Q

n−r+1

(c)

.

Se supomos que um destes dois números é zero, então, pela relação de re orrên ia,

geradapeloalgoritmode Eu lides, obtemos

Assim,

c

seria raiz múltiplade

f (z)

, oque leva auma ontradição.

O fato de

Q

0

(z) 6= 0

em

(a, b)

é uma onsequên ia da observação feita de que se

f (z)

não tem raízes múltiplas em

(a, b)

e,então,

Q

0

(z)

é uma onstantediferente de zero.

Isto mostra quea sequên ia

f (z), f

′

(z), Q

n−2

(z), . . . Q

1

(z), Q

0

(z),

geradapeloalgoritmode Eu lides, éuma sequên ia de Sturm.

Agora, se

Q

0

(z)

é uma onstante nula, isto é,

f (z)

tem zeros múltiplos no intervalo

(a, b)

, então

Q

m

(z)

é o fator omum não somente de

f (z)

e

f

′

_(z)

mas também de todaa

sequên ia

f (z), f

′

_{(z), Q}

n−2

(z), . . . , Q

m

(z)

geradapeloalgoritmode Eu lides. Destaforma, asequên iageradapeloalgoritmodeEu lidesnãogeraumasequên iadeStum. Para

resol-vereste problema bastadividirtodaasequên iapeloseu fator omum

Q

m

(z)

e onsiderar anovasequên ia

f (z)

Q

m

(z)

,

f

′

_(z)

Q

m

(z)

,

Q

n−2

(z)

Q

m

(z)

, . . . ,

Q

m−1

(z)

Q

m

(z)

, 1,

queé uma sequên ia de Sturm.

Portanto, o algoritmo de Eu lides sempre, gera uma sequên ia de Sturm

independen-temente dopolinmio

f (z)

possuir ounão raízes múltiplas.

A seguir, vamos denir o que é número de mudança forte de sinal de uma sequên ia,

para que, emseguida, possamos demonstrar o Teorema de Sturm que rela ionao número

deraízesdeum polinmio omonúmerode mudançafortedesinalnasequên iade Sturm.

Denição 3.1 Por

S

−

_(α

0

, . . . , α

n

)

denotaremosonúmerodasmudançasfortesdesinalna sequên ia

α

0

, α

1

, . . . , α

n

. Em outras palavras, este é o número de pares da forma

(+, −)

ou

(−, +)

na sequên ia obtida por

α

0

, α

1

, . . . , α

n

des artando-se os zeros da sequên ia e substituindo-se todo número positivo

α

i

por

” + ”

e todo número negativo por

−”

.

Por exemplo,

S

−

_{(−5, 6, 4, 0, −1, 2) = 3.}

Vamos denotar por

S

−

_(z)

o número das mudanças fortes de sinal nasequên ia de Sturm,

istoé,

Por

S

−

_(a)

e

S

−

_(b)

vamos entender omo sendo, respe tivamente,

S

−

_{(a + ǫ)}

e

S

−

_{(b − ǫ)}

onde

ǫ

étal quenenhum elemento dasequên ia

f (z), f

′

(z), Q

n−2

(z), . . . , Q

0

(z)

seanula nointervalo

(a, a + ǫ]

e

[b − ǫ, b)

.

Agora, podemosenun iar o Teoremade Sturm.

Teorema 3.3 (Sturm). Seja

f (z)

um polinmio algébri o arbitrário de grau

n

, que não tem raízes múltiplas em

(a, b)

. Então, o número de zeros de

f (z)

em

(a, b)

é igual a

S

−

_{(a) − S}

−

_(b)

.

Demonstração. Vamosa ompanharavariaçãodonúmero

S

−

_(z)

demudançasfortes de

sinalnasequên iadeSturmquando

z

semovede

a

até

b

. Desdequetodasasfunçõesdesta sequên ia são polinmios algébri os e, portanto, são funções ontínuas, então a mudança

donúmero

S

−

_(z)

pode o orrer somente quando

z

passa por umaraiz de uma das funções

f (z)

,

f

′

_(z)

,

Q

n−2

(z)

,

. . .

,

Q

1

(z)

. Vamos supor que

c ∈ (a, b)

e

Q

n

(c) = 0

. Então, para

ε > 0

su ientemente pequeno, pelo Lema 3.2,

f (c − ε)

e

f

′

_{(c − ε)}

têm sinais opostos, e

f (c + ε)

e

f

′

_{(c + ε)}

têm o mesmosinal. Consequentemente, entre

f (z)

e

f

′

_(z)

existe uma

mudança de sinal antes de

c

e esta mudança desapare e depoisde

c

. Em outras palavras, onúmero

S

−

_(z)

diminuide um quando

z

passa pelaraiz de

f (z)

.

Vamos observar o que a onte e quando

z

passa por uma raiz de

Q

n−r

(z)

para algum

r = 2, . . . , n − 1

. Seja, então,

Q

n−r

(c) = 0

. Neste aso, pela Propriedade 1 da sequên ia de Sturm,

Q

n−r+1

(c) 6= 0

,

Q

n−r−1

(c) 6= 0

e

Q

n−r+1

(c)Q

n−r+1

(c) < 0

. Isto signi a que

Q

n−r+1

(c)Q

n−r+1

(c) < 0

para todo

z

emuma vizinhançasu ientemente pequena de

c

e, portanto,

S

−

(Q

n−r+1

(z), Q

n−r

(z), Q

n−r−1

(z)) = 1

para todo

z

desta vizinhança. Isto mostra que quando

z

passa por um zero de uma função intermediária da sequên ia de Sturm o número de mudanças

S

−

_(z)

não muda.

Assim, mostramos que

S

−

_(z)

diminui de um somente quando

z

passa por um zero de

o intervalo

(a, b)

é exatamente igual aonúmero de raízes de

f (z)

em

(a, b)

. Suponha que

S

−

_{(a) = m}

eque

f (z)

possua

k

zerosnointervalo

(a, b)

. Pelas on lusõesanterioresquando

z

estiverem

b

asequên ia

S

−

_(z)

perde

k

mudançasdesinal,ouseja,

S

−

_{(b) = m−k}

. Assim,

S

−

_{(a) − S}

−

_{(b) = k}

, oque ompleta a demonstração.

Valeobservarque ademonstração doTeoremade Sturm foibaseada somentenas duas

ondições para que uma sequên ia seja sequên ia de Sturm. Desta forma, o Teorema de

Sturm sempre é válido toda vez que dois polinmios gerarem uma sequên ia de Sturm.

Também é importantenotar que para polinmios om raízes múltiplas no intervalo

(a, b)

uma modi ação natural do Teorema de Sturm é válida. De fato, se

f (z)

tem raízes múltiplasem

(a, b)

,então

f (z)

e

f

′

_(z)

tem um fator omum

Q

m

(z)

, quenão é onstantee tambémé fator omum de

Q

n−2

(z), . . . , Q

1

(z)

. Como foi visto anteriormente, asequên ia

f (z)

Q

m

(z)

,

f

′

_(z)

Q

m

(z)

,

Q

n−2

(z)

Q

m

(z)

, . . . ,

Q

2

(z)

Q

m

(z)

, 1

é umasequên ia de Sturm.

Assim, peloTeorema de Sturm,

S := S

−



f (a)

Q

m

(a)

,

f

′

_(a)

Q

m

(a)

, . . . ,

Q

2

(a)

Q

m

(a)

, 1



− S

−



Q

n

(b)

Q

m

(b)

,

Q

n−1

(b)

Q

m

(b)

, . . . ,

Q

2

(b)

Q

m

(b)

, 1



é onúmero de raízesde

f (z)

Q

m

(z)

em

(a, b)

, istoé, o número de raízes de

f (z)

em

(a, b)

sem ontarsuas multipli idades.

3.2 Relação entre os determinantes das matrizes de

Han-kel

Nesta seção, primeiramente estabele emos uma nova relação entre os determinantes das

matrizes de Hankel, ujos elementos são exatamente os oe ientes de uma série de

po-tên ias dada. Como onsequên ia, ara terizamos todos os oe ientes de maior grau dos

polinmiosgerados peloalgoritmode Sturmem termosdestes determinantes de Hankel.

Para este propósito, vamos denir o que é o determinante de uma matriz de Hankel

e fazer algumas observações rela ionadas ao algoritmo de Eu lides, que serão úteis para

Denição 3.2 (DeterminantedeHankel.) Seja

F (z) =

s

0

z

+

s

1

z

2

+

s

2

z

3

+ . . .

, umasérie de potên ias negativas om oe ientes reais. Para inteiros arbitrários

n

e

k

maiores ou iguais que zero, denimos os determinantes

H

(n)

k

por

H

k

(n)

=

























s

n

s

n+1

. . .

s

n+k−1

s

n+1

s

n+2

. . .

s

n+k

. . .

. . .

. . .

. . .

s

n+k−1

s

n+k

. . . s

n+2k−2

























, k = 1, 2, . . .

e

H

(n)

0

= 1

.

Estes determinantes são hamados de determinantes de Hankel asso iados om os

oe- ientes dasérie de potên ias

F (z)

. Seja

{Q

n+1−r

}

n+1

r=1

uma sequên ia de polinmios,onde

Q

n+1−r

éum polinmio de grau exatamente

n + 1 − r

,e a sequên iaé obtidaa partir doalgoritmode Eu lides,istoé,

Q

n+1−r

(z)

Q

n−r

(z)

= α

r

z + β

r

−

Q

n−1−r

(z)

Q

n−r

(z)

,

_{r = 1, 2, . . . , n − 1,}

(3.2) om

Q

n

(z) = f (z)

,

Q

n−1

(z) = f

′

_(z)

e

Q

n+1−r

(z) =

n+1−r

_X

j=0

q

j

(r)

z

n+1−r−j

,

r = 1, 2, . . . , n + 1.

(3.3) Observe que,de (3.2),

Q

n+1−r

(z) + Q

n−1−r

(z) = (α

r

z + β

r

)Q

n−r

(z).

Logo, em ambos os lados da igualdade a ima, temos um polinmio de grau

n + 1 − r

. Assim, igualandoos oe ientes de maiorgraude ambososlados, obtemos

q

(r)

0

= α

r

q

(r+1)

0

, ouseja,

α

r

= q

(r)

0

/q

(r+1)

0

, r = 1, 2, . . . , n.

(3.4)

Podemos es rever (3.2) daforma

Q

n+1−r

(z)

Q

n−r

(z)

= α

r

z + β

r

−

1

Q

n−r

(z)

Q

n−1−r

(z)

= α

r

z + β

r

−

1

α

r+1

z + β

r+1

−

_{Qn−1−r(z)}

1

Qn−2−r(z)

...

.

(3.5)

Continuandoeste pro esso,obtemosaseguinteexpressão para

Q

n−r

(z)

Q

n−r+1

(z)

emformade fração ontínua

Q

n−r

(z)

Q

n+1−r

(z)

=

1

1

1

α

r

z + β

r

− α

r+1

z + β

r+1

− · · · − α

n

z + β

n

,

(3.6) para

r = 1, 2, . . . , n

.

Agora, enun iamosoprimeiroresultadodestaseção, onderela ionamostodosos

deter-minantes de Hankel asso iados auma dada série de potên ias.

Teorema 3.4 Com

r

xo, suponhamos que as séries

F

r

(z) =

P

∞

k=0

c

(r)

k

/z

k+1

e

F

r+1

(z) =

P

∞

k=0

c

(r+1)

k

/z

k+1

são tais que

1

F

r

(z)

= c

(r+1)

₋₂

z + c

(r+1)

₋₁

_{− F}

r+1

(z).

(3.7)

Se os determinantes de Hankel

H

(r)

n

são denidos por

H

₀

(r)

= 1,

H

n

(r)

=





























c

(r)

₀

c

(r)

₁

_{· · · c}

(r)

_n−1

c

(r)

₁

c

(r)

₂

_{· · · c}

(r)

n

. . . . . . . . .

c

(r)

_n−1

c

(r)

n

· · · c

(r)

_2n−2





























, n ≥ 1,

(3.8) então

H

j

(r+1)

=

1

[H

₁

(r)

]

2j+1

H

(r)

j+1

,

j = 1, 2, . . . , n − r + 1.

(3.9)

Demonstração:Multipli andoa igualdade (3.7) por

F

r

(z)

obtemos

1 =

c

(r)

0

z

+

c

(r)

₁

z

2

+

c

(r)

₂

z

3

+ . . .

!

c

(r+1)

₋₂

z + c

(r+1)

₋₁

₋

c

(r+1)

0

z

−

c

(r+1)

₁

z

2

− . . .

!

.

Igualandoos oe ientes emambos oslados, de

1

,

z

−1

e

z

−2

obtemoso seguinte sistema

1 = c

(r)

₀

c

(r+1)

₋₂

0 = c

(r)

₁

c

(r+1)

₋₂

+ c

(r)

₀

c

(r+1)

₋₁

0 = c

(r)

2

c

(r+1)

−2

+ c

(r)

1

c

(r+1)

−1

− c

(r)

0

c

(r+1)

0

.

É fá il ver que, do sistemaa ima,

c

(r+1)

₋₂

=

1

H

₁

(r)

,

c

(r+1)

−1

= −

c

(r)

₁

[H

₁

(r)

]

2

, c

(r+1)

0

=

H

₂

(r)

[H

₁

(r)

]

3

.

(3.10) Como

c

(r+1)

0

= H

(r+1)

1

, omparandoaúltima expressão sobre

c

(r+1)

0

em(3.10), obtemos

H

₁

(r+1)

=

H

(r)

2

[H

₁

(r)

]

3

.

(3.11)

Assim, em (3.7), é importanteque

c

(r)

0

= H

(r)

1

6= 0

. Além disso, de (3.11), on luímos que

c

(r+1)

₀

= H

₁

(r+1)

_{6= 0}

se

H

(r)

2

6= 0

. Sejam os polinmios

B

j

(r)

(z) =

j

X

l=0

b

(r,j)

l

z

j−l

e

A

(r)

j

(z) =

j−1

X

l=0

a

(r,j)

l

z

j−1−l

,

j = 1, 2, . . . n − r + 1

,denidos através das fórmulas de re orrên ia

A

(r)

j

(z) = (α

r−1+j

z + β

r−1+j

)A

(r)

j−1

(z) − A

(r)

j−2

(z),

B

(r)

_j

(z) = (α

r−1+j

z + β

r−1+j

)B

(r)

j−1

(z) − B

(r)

j−2

(z),

j = 2, 3, . . . n − r + 1,

(3.12) om

A

(r)

0

(z) = 0, A

(r)

1

(z) = 1, B

(r)

0

(z) = 1

e

B

(r)

1

(z) = α

r

z + β

r

.

Podemos al ularexpli itamenteo oe ientede maiorgrau,

b

(r,j)

0

,vistoque,apli ando su essivamente a relaçãopara os

B

j

,obtemos aseguinteexpressão

B

j

(r)

(z) = (α

r−1+j

z + β

r−1+j

)(α

r−2+j

z + β

r−2+j

) . . . (α

r+1

z + β

r+1

)(B

1

(r)

(z) + B

(r)

0

(z)) + H(z),

onde

H(z)

é um polinmio de grau menor que

j

, o que não inuen ia no oe iente de maior grau. Logo, da igualdade a ima,utilizandoo fatoque

B

(r)

1

(z) = α

r

z + β

r

,obtemos

b

(r,j)

₀

=

j

Y

l=1

α

r−1+l

.

Como a relação de re orrên ia para os

A

(r)

j

(z)

é a mesma, podemos en ontrar o oe- iente de maior grau dos

A

(r)

j

(z)

utilizandoo mesmo ra io ínio. A úni a diferença é que

A

(r)

₁

(z) = 1

. Logo,

Para afunção ra ional

A

(r)

j

/B

(r)

j

,vale

A

(r)

_j

(z)

B

_j

(r)

(z)

=

1

1

α

r

z + β

r

− · · · − α

r−1+j

z + β

r−1+j

(3.14) para

j = 1, 2, . . . , n − r + 1

.

Fazendo

j = n − r + 1

em (3.14) e omparando (3.14) om (3.6), obtemos

A

(r)

n−r+1

(z)

B

_n−r+1

(r)

(z)

=

Q

n−r

(z)

Q

n−r+1

(z)

.

Utilizandoa igualdade a ima e(3.2), on luímos que

B

_j+1

(r)

(z)

A

(r)

_j+1

(z)

= α

r

z + β

r

−

A

(r+1)

j

(z)

B

_j

(r+1)

(z)

,

j = 1, 2, . . . , n − r.

(3.15)

Das relaçõesde re orrên ias(3.12) para

A

(r)

j

(z)

e

B

(r)

j

(z)

, temos aseguinteidentidade

A

(r)

_j+1

(z)B

(r)

j

(z) − A

(r)

j

(z)B

(r)

j+1

(z) = 1.

Aprovadestaarmaçãoseguediretamenteporinduçãosobre

j

. Utilizandoaarmação a ima,temos que

A

(r)

_j+1

(z)

B

(r)

_j+1

(z)

−

A

(r)

j

(z)

B

_j

(r)

(z)

=

1

B

_j+1

(r)

(z)B

_j

(r)

(z)

= ˜

γ

(r)

j

1

z

2j+1

+ O (1/z)

2j+2

_,

para

j = 0, 1, . . . , n − r

, onde

˜

γ

₀

(r)

=

1

b

(r,1)

₀

6= 0,

γ

˜

(r)

j

=

1

b

(r,j)

₀

b

(r,j+1)

₀

6= 0, j = 1, . . . , n − r.

(3.16)

Portanto,ostermosdas expansõesemsériedas funçõesra ionais

A

(r)

j

/B

(r)

j

su essivamente oin idem om mais e mais termosde uma série de Laurent. Seja esta série

F

r

(z)

. Logo,

F

r

(z) −

A

(r)

j

(z)

B

j

(r)

(z)

= ˜

γ

j

(r)

1

z

2j+1

+ O (1/z)

2j+2

_,

j = 1, . . . , n − r + 1,

(3.17) onde osvalores de

γ

˜

(r)

j

,para

j = 1, . . . , n − r

,são omo em(3.16) e,porenquanto,o valor de

γ

˜

(r)

Temos, então, de (3.17),que

B

_j

(r)

(z)F

r

(z) − A

(r)

j

(z) = γ

(r)

j

1

z

j+1

+ O (1/z)

j+2

_,

j = 1, . . . , n − r + 1,

(3.18) onde

γ

(r)

j

= b

(r,j)

0

γ

˜

(r)

j

,

j = 1, . . . , n − r + 1

. Comparando aspotên ias de

z

j−1

_{, z}

j−2

_{, . . . , z, 1}

em (3.18),obtemos

c

(r)

₀

b

(r,j)

₀

= a

(r,j)

₀

c

(r)

₀

b

(r,j)

₁

+ c

(r)

₁

b

(r,j)

₀

= a

(r,j)

₁

. . . . . . . . .

c

(r)

0

b

(r,j)

j−1

+ · · · + c

(r)

j−2

b

(r,j)

1

+ c

(r)

j−1

b

(r,j)

0

= a

(r,j)

j−1

.

(3.19)

Similarmente, igualandoos oe ientes de

1

z

,

1

z

2

, . . . ,

1

z

j−1

em(3.18), segue que

c

(r)

0

b

(r,j)

j

+ c

(r)

1

b

(r,j)

j−1

+ · · · + c

(r)

j−1

b

(r,j)

1

+ c

(r)

j

b

(r,j)

0

= 0

c

(r)

₁

b

(r,j)

j

+ c

(r)

2

b

(r,j)

j−1

+ · · · + c

(r)

j

b

(r,j)

1

+ c

(r)

j+1

b

(r,j)

0

= 0

. . . . . . . . . . . . . . .

c

(r)

_j−1

b

(r,j)

_j

+ c

(r)

_j

b

(r,j)

_j−1

_{+ · · · + c}

(r)

_2j−2

b

(r,j)

₁

+ c

(r)

_2j−1

b

(r,j)

₀

= 0

c

(r)

_j

b

(r,j)

_j

+ c

(r)

_j+1

b

(r,j)

_j−1

_{+ · · · + c}

(r)

_2j−1

b

(r,j)

₁

+ c

(r)

_2j

b

(r,j)

₀

= γ

_j

(r)

(3.20) para

j = 1, 2, . . . , n − r + 1

.

Observe que,da primeiraequação dos sistemas(3.19) e (3.20)fazendo

j = 1

, obtemos

α

r

= b

(r,1)

₀

=

1

H

₁

(r)

e β

r

= b

(r,1)

1

=

−c

(r)

1

(H

₁

(r)

)

2

.

(3.21) De (3.10) e (3.21), on luímos que

c

(r+1)

₋₂

= α

r

e

c

(r+1)

−1

= β

r

.

(3.22)

Apli andoa regra de Cramer para

b

(r,j)

0

ao sistema (3.20), obtemos

b

(r,j)

0

H

(r)

j+1

= γ

(r)

j

H

(r)

j

,

j = 1, 2, . . . , n − r + 1.

(3.23)

Alémdisso, substituindo aúltima equação dosistema (3.20)por

b

(r,j)

j

+ zb

(r,j)

j−1

+ · · · + z

j−1

b

(r,j)

1

+ z

j

b

(r,j)

₀

= B

j

(r)

(z)

e apli ando aregra de Cramer para

b

(r,j)

0

ao novo sistema linear,obtemos

b

(r,j)

₀





























c

(r)

₀

c

(r)

₁

_{· · · c}

(r)

_j−1

c

(r)

_j

c

(r)

₁

c

(r)

₂

_{· · · c}

(r)

_j

c

(r)

_j+1

. . . . . .

c

(r)

_j−1

c

(r)

j

· · · c

(r)

2j−2

c

(r)

2j−1

1

z

_{· · · z}

j−1

_z

j





























= H

_j

(r)

B

_j

(r)

(z).

Então, para que

F

r

(z)

sejaa série que satisfaz (3.17),devemos ter

H

j

(r)

6= 0,

para

j = 1, 2, . . . , n − r + 1.

Da expressão (3.13)e daprimeira equaçãodo sistema(3.19), segue tambemque

1

α

r

=

a

(r,j)

0

b

(r,j)

₀

=

H

1

(r)

H

₀

(r)

j = 1, 2, . . . , n − r + 1.

(3.24)

Utilizandoo fato de que

γ

(r)

j

= b

(r,j)

0

γ

˜

(r)

j

ea igualdade (3.23),obtemos

˜

γ

_j

(r)

=

H

(r)

j+1

H

_j

(r)

,

j = 1, 2, . . . , n − r + 1.

(3.25) Multipli ando (3.17) por

B

_j

(r)

(z)

A

(r)

j

(z)F

r

(z)

, obtemos

B

(r)

j

(z)

A

(r)

j

(z)

−

1

F

r

(z)

=

B

(r)

j

(z)

A

(r)

j

(z)

1

F

r

(z)



˜

γ

_j

(r)

1

z

2j+1

+ O (1/z)

2j+2



,

(3.26)

j = 1, . . . , n − r + 1

. Portanto, supondo

H

(r)

1

6= 0

, o produto que está fora dos ol hetes dolado direito daúltima expressãoé

B

j

(r)

(z)

A

(r)

_j

(z)

1

F

r

(z)

=

b

(r,j)

0

z

j

+ · · · + b

(r,j)

j

(a

(r,j)

₀

z

j−1

_{+ · · · + a}

(r,j)

j−1

)(

c

(r)

₀

z

+ · · · )

,

istoé,

B

j

(r)

(z)

A

(r)

j

(z)

1

F

r

(z)

=

b

(r,j)

0

z

2

a

(r,j)

₀

c

(r)

₀

+ · · · =

z

2

(c

(r)

₀

)

2

+ · · · .

Da últimaexpressão e de (3.26), obtemos

B

(r)

j

(z)

A

(r)

j

(z)

−

_F

1

r

(z)

=

γ

˜

(r)

j

(c

(r)

₀

)

2

1

z

2j−1

+ O (1/z)

2j

_.

Subtraindo (3.7) de (3.15)e usando aúltima relação, on luímos que

F

r+1

(z) −

A

(r+1)

_j−1

(z)

B

_j−1

(r+1)

(z)

= c

(r)

−2

z + c

(r)

−1

− α

r

z − β

r

+

˜

γ

_j

(r)

(c

(r)

₀

)

2

1

z

2j−1

+ O (1/z)

2j

_,

para

j = 2, . . . , n − r + 1

. Portanto, de (3.22), temos

F

r+1

(z) −

A

(r+1)

_j

(z)

B

_j

(r+1)

(z)

=

˜

γ

_j+1

(r)

(c

(r)

₀

)

2

1

z

2j+1

+ O (1/z)

2j+2

_,

(3.27)

para

j = 1, . . . , n − r

. Como em(3.17), se es revermos

F

r+1

(z) −

A

(r+1)

_j

(z)

B

_j

(r+1)

(z)

= ˜

γ

(r+1)

j

1

z

2j+1

+ O (1/z)

2j+2

, j = 1, . . . , n − r,

onde, de (3.27),

˜

γ

_j

(r+1)

=

γ

˜

(r)

j+1

(c

(r)

₀

)

2

,

(3.28)

então segue, das igualdades em(3.24), (3.25) ede (3.28),que

1

α

r+1

=

H

(r+1)

1

H

₀

(r+1)

,

H

_j+1

(r+1)

H

j

(r+1)

= ˜

γ

j

(r+1)

=

˜

γ

_j+1

(r)

(c

(r)

₀

)

2

=

1

(H

₁

(r)

)

2

H

_j+2

(r)

H

_j+1

(r)

,

para

j = 1, . . . , n − r

. Isto impli aem

H

_j+1

(r+1)

=

H

(r+1)

j

(H

1

(r)

)

2

H

_j+2

(r)

H

j+1

(r)

j = 1, . . . , n − r.