COMPORTAMENTO ASSINTOTICO DE UMA CLASSE DE EQUACOES DIFERENCIAIS RETARDADAS COM APLICACOES EM BIOLOGIA.

Texto

(1).- —————-————<—.m,....—__. %cmsçmuse ...—._... :Pâãaâíâsvªââa. COMPORTAMENTO DE EQUAÇOES. ASSINTOTICO DE. DIFERENCIAIS. APLICACOES. EM. UMA. CLASSE. RETARDADAS. COM. BIOLOGIA. Geraldo Garcia Duarte Junior. Orientador Prof.Dr. José Geraldo dos Reis. Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas de São Carlos, da Universidª de de São Paulo, para obtenção do Título de Doutor em Ciências (Matemática).. SÃO CARLOS. 1987.

(2) Este trabalho dependeu. parcialmente de auxílio concedido. através de. pelo. CNPq,. uma. bolsa. de Doutoramento..

(3) AGRADECIMENTOS. Agradecemos de. um modo. muito. especial. ao amigo e. orien-. tador Prof.Dr. José Geraldo dos Reis, pela forma segura e amiga que sempre nos orientou. colegas do Departamento de Geologia, Física e Mate— mática da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Prêto e do Instituto de Ciências Matemáticas de São Carlos. Aos. Ã. Sonia Aparecida Nali pelo esmero e dedicação. com. a. qual datilografou este trabalho. Enfim, agradeço atodos que boraram para a. direta. realização deste trabalho.. ou. indiretamente colª.

(4) ÍNDICE. Página INTRODUÇÃO......l....l...........OQOOQOQCOIIOOOIOCO. 01. CAPÍTULO. 1......................................... 04. CAPÍTULO. II........................ ..... ... ..... ... 36. CAPÍTULO. III............................. ..... .L... 49.

(5) In the. first chapter. of this work, the retarded. functional differential equations. à(t) are studied.. We. = —Ax(t) +. show. Af(x(t—1)). the existence of an unbounded continuun. of slowly oscillating periodic solutions that bifurcates from a non zero equilibrium. In Chapter II, we apply the results of the first chapter in three mathematical models used in Biology; In the last part we study the stability of the equations. à(t) where x e. R. = —Ax(t). and f:Rn. +. +. f(g(t—Rl), x(t-Rz),...,x(t—Rk)). R. Some. results that are independent of. the size of the delays are established..

(6) INTRODUÇÃO. Motivados pelo trabalho de Mallet—Paret, Nussbaum [12], fomos. levados ao estudo de equações da forma Eâ(t)A =. que são. -X(t). +. f(X(t-nf))'. equivalentes a'equação. à(t). =. —Ax(t). +. Af(x(t—l)). Pudemos, com o estudo da função. bre. o. f, obter resultados so-. comportamento das soluções, observando. iteradas. da. comportamento das. f. associação desta técnica e a das equações caractg. a. Com. rísticas. o. obtivemos informações sobre. o. comportamento da. solução. de. km. =. —Ax(t). quando os parâmetros. forma, pudemos. X. analisar. e o. +. AfA,u(x(t-l)). u. estão. em. determinadas regiões.. problema de bifurcação de Hopff. Desta “com. o. contínuo ilimitado desoluçõesperiõdicas. _Esta parte foi desenvolvida no Capítulo I e tem por ob— jetivo imediato a sua aplicação em certos modelos matemáticos usª. aparecimento de. um ramo. Medicina e Biologia, onde aparecem Equações Diferenciais Retardadas que são ou podem ser transformadas em equações desta. dos. em. classe. No. Capítulo II são analisados então. três. enunciar. A interpretação dos modelos e das constantes encontram—se no corpo do trabalho. paSSamos a. modelos que o. significado.

(7) primeiro modelo é. O. usado pela "Comissão. o. Internacio-. nal de Pesca a Baleia" dado por. 3dt N(t). =. —. “'N(t). Três regiões,. A. vN(t-T), [1-NZ(t-r)]“+. +". -. .. 1,. A2. e. A3. contidas. em IR2. para (v,u) são. obtidas tais que: Para (v,u). € A1 a. solução nula é estável.. existe. solução_não nula constante x* estável. Para (v,u) € Asexistem soluções periódicas que variam lentamente. O segundo modelo é usado em Hematologia e é dado por Para (v,u) e. A2. d &?. x(t). =. uma. 'Yx(t). +. Bºe“x(t-%) e“ +xri (t—ªr). Para este modelo também foram determinadas três regiões as mesmas. com. características terceira equação. das. anteriores.. também obtivemos as mesmas. regiões. anteriormente. Esta equação é usada na modelagem de ções da mosca azul (Lucilia Cugrina) e é dada por. popula—. Na como. _4.. dt. N(t). = —6N(t). Nota—se que as. N(t-TD). + PN(t—TD)exp[— ——N———] D. “. conclusões são bastante semelhantes. ape—. sar das funções f serem completamente diferentes em cada modelo. Gostaríamos de lembrar que os resultados existentes sobre estes modelos eram na sua maior. parte, derivados. de simulação. em compu—. tador. O. so. em. que f. método desenvolvido no Capítulo I é apenas para o. ca—. estã aplicada. re—. na solução. x(t) calculada. num. único.

(8) i'3' tardo. Isto levou—nos a estudar o caso em que f pode estar aplica do em x(t) calculado em vários instantes anteriores, ou seja, na equação aparece. f(x(t-Tl), x(t-TZ),...,x(t-Tn)) em. lugar de f(x(t-T)). Neste sentido. fomos. canônica as iteradas da'f. num. levados a definir de. uma. formar não. conjunto 1.. com Para definir a fí(In) tomamos o cubo de dimensão aresta f(Iª) e definimos fí(f5 = f(f(I“)x...xf(Iº)); Desta forma, m—l m—l n n definimos f*(I n )por f*(I n )= f(f* (I )x...xf* (I )) e ]:ao* por 11. .. m. m. _. I:; =. e mostramos que. o fim). n=l. para. uma. condição inicial. que a solução da equação converge para. Este fato implica. em. estabilidade. Ii. bem. temos. comportada. quando o temoo. de solução quando. I;. é. cresce. um. con-. junto unitário. Desta forma, obtivemos informações sobre o compor tamento das soluções. O importante deste fato é que os resultados acima obti— dos, independem dos retardamentos e temos então, quando for o ca— so, estabilidade global nos retardos..

(9) CAPITULO. I. Varios resultados importantes sobre a equação: aims). (1.1). = —x(t). +. f(X(t-n)). (€,n>0). diz respeito a comportamento de soluçõeS'foram apresenta— das por Mallet—Paret, Nussbaum [12]. no que. notar que a equação (1.1). primeiramente,. Podemos,. e. equivalente a:. km. (1.2). fato,. De. t. =. = —Ax(t). +. Af(x(t-l)). (por. tomemos. e. sn. ª(s). = X(Sn). temos, por (1.1). %%(s). =. &. x(sn)%isE =. nã'1f(x(ns—n)) Fazendo Sendo. =. Ãª=. - n5'1x(sn). +. ní'l. obtemos a equação (1.2). (1.1)equivalente a (1.2),nos limitaremos, daqui. = —Ax(t). Dada uma. +. A. >0 da equação. Af(X(t-1)). condição inicial w:[-l,0] +IR, determinamos. solução x(t) integrando passo a passo. unitário. =. +ng'1f(ã(s-1))—nálã(s) +ne'1f(>'<(s—l)). para frente, ao estudo para. à(t). dªganh. em. intervalos. seguinte forma: Para 0 5 t ; 1, a solução que denotaremos. de. &. tamanho. da. por. xlun.

(10) '. satisfaz. àlm e. Af(x1(t—1)) =—Xxl(t). = —Ax1(t) +. +. Af(w(t-1)). portanto dikº. ehxl(t). Aektht—IH. =. Desta forma obtemos x1(t). =. O. Supondo conhecida a solução. determinamos a solução X. t. Xe—ÃtJeÃsths—lnds.. e-MLMO) +. n+l (t). em. [n-1,n],. em. que denotamos por 1%(t),. [n,n+1] por t. :e'Mt'fºxnm). Assim a solução do problema. +. Ae'ÃªJeªªf(xn(s-1))ds n. fica determinada para. tê 0. e é. dada. por x|[n,n+l]. proposições. As. n e. = Xn+1 1. e. 2. e. JN. corolário. 1. foram demonstradas. por Mallet—Paret, Nussbaum. [12]. Proposição 1 (i) Seja f:EZ+IRumafunção contínua e >0. Seja ICJR um intervalo fechado tal que f(I) C.I. Se ecx[—1,0D satisfaz w(t) e I para t e [—l,0], então a solução A. w. x(t;. A, m) de. adição,. W(0). (1.2)satisfaz €. x(t;l. I para todo. ,w) 6. Int(I), então.x(t;A,w). €. Int(I) para. t. e 1. Se,. t; 0.. em.

(11) (ii) Definimos '. 100. n f“(I). =. n=O. t. então. Se Iºº #.Ó. as. subconjunto fechado e conexo de soluções de (1.2) com w(t) e I para Iºº é um. €.[—l,0]] satisfazem. dist(x(t;A,w),Im) Vejamos agora um. : f(fn'1(I)). onde f“(I). ,;. Necessariamente. I.. conjunto. o. um. "atrator", isto é, para. t. com. + 0. todo x. Suponhamos. f:I +I contínua. pela f. Então 100. X0. o. =. exista. e I e xn. a. G. ponto fixo e que é. um. I, f“(x)+. 6. 2. para qualquer. w. caso onde f-tem. Proposição. compacto. Suponhamos que. +. I. quando. tal. a com. I é. Hª'“. um. intervalo. que:. f“(xº) é a n-êsima interada. =. (às. xo. conjunto: W. (É n=0. f“(I),. reduz—Se ao. conjunto unitário [al.. condições destas duas proposições, podemos fazer a seguinte afirmação, sobre o comportamento assintótico das solu— Nas. ções de. Se. IDG. (1.2). corolário 1 Seja f, I = [D,C] C([-1,0]) satisfaz. .. como na. proposição 2..

(12) ;. D. e'l >0, então. ;. w(t). para todo. C. t. e [—1,o]. temos para a solução de. lim x(t;A,w). =. t+oo. (1.2)'.. a. resultados apresentados vemos uma maneira de comportamento futuro da solução através do estudo da. Nos. estudar. o. f,. função. lidade.. ou. seja, procurando. o. No. caso. todo. x. Quando. em que. dist(xn,K)+. 0. garantir. conjunto Im. converge para "a" temos estabi— com n-+m e. compacto,. não podemos. t. nos mostra Mallet-Paret,. +<». como. que. K. CII. dist(x(t;. um. A,1p),K)+. Nussbaum [12]. exemplo:. tal. Seja f:I->I. que. sen(%'wx). f(x). = %. Gráfico da. NIH. E. 0 g. ,.. % g. subintervalo. x g %. x é. 1. no. 0. '. com. seguinte.

(13) fo). :notar que. Podemos. converge.para O(zero) ou l/2(meio) ,ou. seja f“(x) Como. =.I. PWI). garantir. + K. Vx. ,. temos Iºº. =. onde Kl= [0,%]. I. €. I.. Desta forma vemos que não podemos. que “. dist(x(t;A,w),K). quando. + 0. t. +. m. fato fundamental para esta afirmação ser verdadeira é a invariãncia de K pela f, como nos mostra a seguinte propo— sição estabelecida por nós. Um. Proposição 3:. f:I-*I contínua,. Suponhamos. compacto.. também. Suponhamos. fºnd-+K para todo lim. n+oo. x e. K. exista. que. 1, quando n-+w, ou. dist(fo),k). e também que f(K)C. quando I é. =. K =. um. [ki,kz]. intervalo. tal. .que. seja. para todo x e I. O. K).. (f(K). =. (I“, =. K). Então: IMC. K. Demonstração:. Seja f“(I) Se. x. <. ,. I. fo). +. = [DH,Cn]. kl,. como. ponto fixo garante que f(x) >x ou Como. f(x)>. X E. K. [a,b] quando n. f(x)< x. f(a)> a, teremos. x. =. [a,kl]. (ou. +w o. teorema 'de. exclusivo)..

(14) De. maneira análoga, vemos que. f(x)< x Como. para. x e. (k2,b). as mesmas hipóteses sobre f valem para. fz,. temos. também:. f2(x) >x. ,. x €. fª(x) <x. ,. x e [k2,b]. Suponhamos Iºº. isto. [a,kl]. [q”,cw1çã. =. K. ocorra, nada teremos a demonstrar. Caso ocorra, temos três casos a estudar: Caso. (i). IL. «(ii). (iii). não. k1. <. ;. Q” 5. kl ;. Dºº. ;. k2. ;. k1. <. k2. Deº. Analisemos cada. <. Cºº. <. Cºº. dos casos:. um. (i) Sendo f(Iw). k2. = Iºº. f(K)CLK. f(x)> Vemos que. (ii). jax. para. x. €. 100. tal. Dºº. g)<é kl. que f(x). = D“, o. que é absurdo.. Análoqo a (i). (iii) f(K)C: K_terã que. Já que f(Iºº). existir. Jã que f(Iw). =. &. “=. Im. ;. € [Dm,kl). f(x). tal. I ml f(x)=>x para. <. x. para. que f(E) X E. x e. (1%,ch. ,. = Cm.. [B”,kl) e f(K)C:. K.

(15) _10_. terá. existir. que. f(kz) e. Como. Sendo. logo. f(f(c). temos. então, c. que. que f(n). =. n. K,. f(kl) ;. k2 temos. [k2,Cm]. W. C. .. C f([g,kl]) tal que f(ã). que implica. €. €. [k2,Cm],. um. absurdo.. Desta forma vemos que não pode ocorrer nenhum dos ou seja, teremos que ter ImC K. É óbvio que se f(K). casos, K. (:. lw e. então. 1.». três = K,. = K.. observar que com esta demonstração torna—se um caso particular da proposição. Devemos. sição 2 colocar [al. n. [E,kll n [k2,cm]. Sendo k1< k2 temos. então. D. e [k2,Cm],_3Ç € [E,kl]. <a ou seja f (C)<. = Dºº. e. tal. e (k2,Cw]. n. a. propo—. 3.. Basta. = K.. Corolãrio 2: Seja que. A. o. A. cºnjunto dos pontos fixos de f.. seja atrator para f, então. IwC K(A). I&. Suponhamos. satisfaz. “sempre que f(K(A)) C K(A). onde a. =. min. K(A) =. A. , b = max A. [a,b] Demonstração:. fechado. Basta notar que o conjunto dos pontos fixos de f é já que este conjunto é a imagem inversa do zero pela. função h(x). =. f(x) - I(x).

(16) ..ll—. identidade.. onde I(x) é a função. Este resultado não vale. em. R2,. como. mostra. o. seguinte. exemplo:. Seja Definimos fzsl+. f(e. denotado. S1 S1. znie. ). o. círculo unitário. no. plano complexo.. por = e. Zni/É. para. 0. g'e. ;. ». 1. Então, fwxo)-+ a gl)f%Sl). =. para qualquer. = 1. já. Sl. que. xo 6 S. f transforma. Estes resultados levaram-nos à motivação. e. S1 em. sã. seguinte teorema, que embora bastante simples e intuitivo, mostra-se muito util nas aplicações, facilitando sobre maneira o estudo de. certas equações. do. capítulo II.. como veremos no. Teorema 1:. Consideremos a equação. (1.3). à(t). = —Ax(t). +. Af(x(t—T)). x(t) ezm e fznlªdR tem derivada primeira contínua. Então podemos afirmar: a) x*E X*(t) é ponto de equilibrio de(ll3)se e somente se x* for ponto fixo de f. b) Se x* é ponto fixo atrator de f, i.e., |fo*)l< 1 então, da x*E x(t) é ponto de equilíbrio assintoticamente estável onde. equação dada. (Daqui para. frente. não faremos. distinção entre. a função. constan-.

(17) _12_. te x*(t)5>â não causa. e o numero. real x*, pois. o. sentido. é sempre. claro. e. confusão). Demonstração: a) Óbvio, por simples. verificação.. |fo*)|<l. Isto. b) Suponhamos que. vizinhança V(x*). uma. implica que existe tal que para todo. de x*,. x e V(x*) temos. [x—x*|. >. f(x*)|. —. x*==f(x*), temos. Como. |x—x*|>|f(x). xfl ou seja f(x) e V(x*),. —. f(v(x*)). fácil ver. <:. f(V(x*))C: V(x*). W. também, que. Sendo mos em. i.e.,. continua, temos. Sendo f. É. [f(x). Icº. f. é uma. =[x*),. já. contração. V(x*).. em. fixo atrator, esta—. que x* é ponto. condições de aplicar a proposição 1,. (ii).. Logo,. dist(x(t;A,w),x*) ou. seja,. x* é. ponto de. Outra da em. função. +O. »com. t. +. m. equilibrio assintoticamente estável.. demonstração deste fato pode ser. caracteristica.. feito através. Observamos que a equação. linearizada. torno de x* é dada por. à(t). = —Ax(t) + Akx(t—T). onde k. = f'(X*).

(18) _13_ o que nos. leva a seguinte equação característica: n. =. Ake_nT. +. —A. exista solução. Suponhamos que. u+iv+ x= Akeª<U+ív).. pois mas. IkIe—UT <1. n+. u+iv. com u> 0, ou. vz. =. xlkie'UT ;. =. seja. dois lados temos A. logo as desigualdades são igualdades e. zero não é solução para |k|< Passamos agora a k =. A. Tomando normas dos. Aá/(u+k)2+. Ake'”. ou. 1. pois isto leva a. estudar a equação. f'(x*) êtalque |k|. >. (2) no. A. (u+i»)=0. A'kl.. =. caso. em. que. 1.. para tanto a-equação característica desta. Usaremos. equação que é c+A—Ake-Ç. principais resultados neste sentido estão contidos. Os. no. seguinte. = o. Lema.. Lema 1:. Considere a seguinte equação característica ;. +A—Ãke-Ç=0. onde. lk!>l,. A>0.. Então: &). Existe. A0>0. tal. que a equação. característica. admite. uma. raiz. imaginária pura. b). Existe. uma. sequência [An],An+aatal que para cada. Am. existe.

(19) _14_. Rm. € IR com iRIn. solução da equação. Mais ainda, se k< —1 a equação. tem precisamente. m. raízes com parte real e parte imaginária. tivas, no intervalo. (. Amª Am). posi—. -. Demonstração: Consideremos equação. característica iR+. primeiro k> 1.. x-. R+ Ak. Ake'iR = 0. senR cos. Sendo k. teremos. >. 1. Sendo que. A. terá. Desta. raízes. que. R0. iRoque nos levará. da forma. R“. &. <=>. ll. Wha. .. Para Roe. (-3—2£,21r). obtemos. ser maior que zero, tomaremos vemos. então que temos. uma. “R0. R O +2mTT. (R 0 e. em. (%,211').. sequência. da forma Rm =. da. 0. e (%,-5%). forma,. soluções. Procuramos. (ªllow) 2. de.

(20) _15_. Seja A(ç,A) C. =. ;(A) e que. tivo para É. = 7;+-Jk->xke“Ç .. o. fácil ver. cruza. Ç. cm. =. que A(;,A). implica. = 0. eixo imaginário no sentido do real. o. real positivo. quando. passa por. A. em. nega—. Am.. que = 0. A(Çm,Am). onde. Vejamos. e. m. ]N. iRm' Calculemos as derivadas. parciais. de. A. no ponto (cm,AmL. Temos. iª-A(ç,x) ac. Ambu aa. = 1 + Ake'ª. = 1. —. ke"Ç. Então %McmAm). =. 1 +. Am. = 1. —. ke”iRm. + iAm /GÉ5ÍÍ. = 1 +. Amkà+ ikmk. 1—f-z7=. # 0. E também. %Mfgmam). - ke-iR'“. = 1. Pelo teorema da função. =. i/kªª-l. implícita temosfgn=. Çm(k). para. de Am.Sendo que. _. ÇmUm). =. 'ã 8. MÇmrÃm). J._/k2_1' 1. +. Am. + um /k2—l. 8. (EEA(Çm')ªm)). -1. =. / Am(k 2_ 1) + l(1+Ãm) k 2-1 -. (1+Am)º+. A5,. (kº—1). A. próximo.

(21) -16—. temos então. 11. ou. seja. Recm(X). x(kº-l) ª. =. dA Reçm(lm). (1+Am). + Am(k 2_ 1). é uma função. crescente.. >. 2. o. Desta. obrigatoriamente que as raízes da equação passam vo para o real positivo quando passa por km.. Agora vamos estudar o caso k< -1. De. forma do. real. teremos negati—. A. caso k. >. 1,. procuramos soluções da equação. forma iR que nos. modo. análogo ao. característica. da. levará a iR "R. +. A. + Ak. —. Ake'Í—R. :. sen. R = 0. cos. R. 0. <=>. <=>. Sendo k. <—1. = %. 311. teremos .336 (5,7?). Para."R0€ 11'. (%,w). obtemos. Ro. /kª-1 Para.. R. G. (n,%%) obtemos. Como. A. terá. que. ser maior que zero tomaremos. RO. em. (%,n)—. Desta maneira, vemos que temos. uma. sequência de raízes.

(22) _17_ da forma. 'Como. anteriormente obtemos ª EA(çm,xm) _3. "ãA(Çm. +. 1. 2 +lÃm /k -1 -. Am. # o. —iAm/k2—l. ! Am). Então. i. d. (Ã ) ““'Ç dA m m. /kº—1. = -—-—-——-——-——-- =. l+Am+iAm. (“am). cruzam. o. kZ-l. + i(1+Am)/k2—1. Am(k2-—l). Sendo. V. 2. +. 2. Am(k. 2. -1). Reã%çmum)>ro. teremos também. que. as raízes Qi. eixo imaginário no sentido do real negativo para. o. real. positivo. para. Como. imaginário. aliado. ao. sentido. no. do. fato dos zeros de. uma. função. analítica. serem isolados,. fica garantido que existem m parte imaginária positiva para Ã€(qujlg). teorema de Rouchê,. juntamente. com o. raízes. parte real. com. raiz característica cruza o eixo real negativo para o. real positivo,. Ã==Ãiuma. e. Corolãrio: Se. x* é um. ponto de. equilíbrio assintoticamente. estã—. vel da equação(1,2Lpara todo AGJRÍentão H<|<1 onde k = f%x*). Como estaremos interessados no estudo de soluções periódicas da equação (1.2),precisamos mais alguns resultados..

(23) —18—. Para isto, definimos os conjuntos: kk = (w ec,([—1,o1,,1R);w(—1) = o,. k; O. mas. não. (Dr. = [w;. w. y+ x* com. =. vie. eÃtth)“ crescente]. constante]. kX' x*. seguinte teorema é inspirado em Hadeller—Tomiuk [7] equivalente pois as condições e mesmo a equação são. diferentes. Teorema 2:. Consideremos. a. x#0,l>0, f'(Ó). Xf(x) <0 para. Então: se-w e kl e. |mY< M,. :k'ezm. com z l. 1,. >. A. =. O. ,. k<—l. = k ,. e (a,w). para a<. &). suficientemente. anterior), x(t;AW)tem um número enumerã— Z nn. " Z “ >l, n E N, à(22k)>'0eã.<(22k_l)<0:. próximo de A0(A0do lema. vel de zeros. equação (2) satisfazendo f(O). e—também xZ+N0,w) é 2. cresCente.. Demonstração:. le. Consideremos. mostrar. t €'(0,t0). 0. <a. <M e. d =. x(t). > 6. 0.. Vamos. inicialmente. 6].. 1. x 5 M]. g. 6. <. Se. x(l) >6. Se. x(l) ;. 6. > 6. 0.. Para. t ªl,. enquanto tivermos. teremos. à(t) <. infít;tâ l, x(t)<. supor que x(l). supíf(x); ,. >. assume. W). tf. Vamos. Seja. e x(O). M. valores negativos. É fácil ver da se x(t) >0 para t 6 (0,to) então à(t) < 0 para. x(t,. que. equação 'que. Seja. <. —. A6. =. —Ax(t). + Ad. <. 0. +. Af(x(t—l)). <. -A<s +. Af(x(t-1)). <.

(24) _]_9_.. Portanto. x(t) para. finito. t. <. + [-Aõ +. M. < 6. suficientemente grande, mostrando desta forma que tl. é. e. tl< +. 1, então. (-. (ô-M). 1 +. Definimos. zl; t1. kd](t—1). x(t)>. Adfl. inf[t;. =. 21. xa +. 0. para. t.âO e x(t) 50].. t. (t1,t1. e. .que. Supomos. e também. + 1). t X(t1+l)e—Ã(t-t1_l)+ e-Ã(t-tl—1)ÃJeÃ(s-tl-1 ,. :. x(t). f(x(s-l))ds. t1+1. tl+2. x(t1+2). forma. tal. x(t1+l)e-Ã. =. + e—Ã. AJeAQ'HÍD. f(x(s—1))ds;. t 1+1. f'(0) f'(x) <. -1,. Sendo. <. que. —1.. vizinhança de zero de dado pelo Teorema do Valor. tomamos x numa Tomamos. C. Médio. Logo ti+2. x(tl+2)ã. x(tl+1)e—Ã'+ e-A ÃJ'eMs-tlnl)cx(s“1)d5. C. <0. tl+l 0 supremo de Cx(s—1) é. Cx(s—1) é. atingido para. 3 =. tl. já. + 2. crescente.. Portanto tl+2. x(tl+2) ; x(t1+l)e—Ã+. e'. *. xJeMS'tl'D Hfl. Cx(tl+l)ds. =. que.

(25) _20_ .. x(t1+1)e. -A. x(t1+1)e'A .. + e. —. ÃCx(t1+I)(eÃ—l). x(t1+1)C(1—eª). +. =. C(e)“— 1). se. 0. <. <-1. Isto implica e. A. >. i.e.,. 1. -. 1. E ,. A. Precisamos mostrar que meiro". A. isto. é. A. =. >. ln(ºêl). esta desigualdade vale para. &)onde. <5<R0<m. A0———— O. o "pri—. pior caso acontece quandoIZO=-í que nos leva a TI". .. (1). A0. 'N'. >. —————————. z/kª—l Escrevendo C. k = —1—Zeeetomando. sup[f'(x);. =. ô. tal. que. <x <$] <-1-é. 0. Por (1). > ———————. A. eM». Como A. 0. 1. —. e+2. C-l ln —õ_. >. ln(€+1). %. temos uma vizinhança a. >. esquerda 'de. que permanece valendo a. Logo. e)&. >. 1. -. %. desigualdade. e (a,m). Portanto. para. x Mas sabemos que. à(z1)=. —Ax(zl) +. 21. >. 21. 0. Temos então. if(xlzl-l). =. <. tl. +. 2.. Af(x(zl-Il))<. o.

(26) ..2];;. t. "Observe que para. âeh'xm. =. Ae“x(t). '. ... Entao e. para. t. tx(t). e-. +. + 1). ektà(t). decresoente. em. Aextf(x(t-1)). =. (zl,zl+1).. 0. Como tambem. A. zlx(zl). = 0. ter obrigatoriamente x(t)< 0 para t € (zl,z1+1) logo existir satisfaz Zz> zl+1 ou seja x(t) varia lentamente. Seja 22 = infít.âzl; x(t) ao].. -devemos. se. <. temos. = 21. e. A. (21,21. €. Como. anteriormente seja. Supomos. Seja. d1 =. à(t). =. Como no. —6. Temos. x(zl+1). <. <. +. <x <-6]. -M. Af(x(t-1)). >. primeiro caso existe. x(tz). então, enquanto. <. xa +. um. —6<. x(t). <. t2. tal. qne. 0. :. '. =. ml. 0. ,. x(t). M. -6. inf[f(x);. -Ax(t). M:>o e õ<. 22. x(t2+1)e-Ã(vtfl)+ Ae—Ã(btfl)ÍeÃGªºqu(x(s—lnds t2+l. Portanto t2+2. x(t2+2) ='x(t2+1)e—A. +. Ae'ÃJeMS't2'1)f(x(s-1))ds t2+l. '.

(27) _22_. Pelo teorema do valor médio temos. f(x(s—1)>Cx(s-l). (c. <—'1). Logo t2+2. x(t2+2). >. Ae-AJexªqªªDCX(s-l)ds =. x(t2+1)e—'A +. F2+1. x(t2+1)e'A. =. Como. + e—ÃCx(t2+l)(eÃ—1). anteriormente, temos C(eÃ-l) x(t2+2). Então t2+1. pois z1<. <. 22. <. >. 0. t2+2. fuzz). = —Ax(zz). 22—1.. Portanto. + Af(x(zz—1). x(zZ—l). Mostremos agora que e. -£Le*ºx(t). dt. já. que. logo. <—1,. =. At. Af(x(zz-l) >o. 0.. <. +. e. A. tà(t). =. Aeltf(x(t—1))> o. neste intervalo temosx(t—l)<0,logo f(x(t-1))> Repetindo—se. da forma. o. t <zº+1. x(t) e» crescente para z2<. Aetx(t) A. =. 0-. processo obtemos a sequência de raízes. desejada. A. sequência de zeros definida no teorema anterior nos. permite definir um operador T de kk em erda seguinte forma: T(0)=0. Esta funPara cada w e kÃ seja Tw = X241(O,W)l 2 é crescente para çãoestãkxmldefinidajã que xz+l(0,w)(t)eAt 2 ..

(28) -23_. t. € (—1,0).. fácil ver. Vizinhança do zero, operador relativamente compacto (veja Hale [8]). É. Vamos um. é. um. agora definir ponto atrator e ponto ejetivo. de. que,. numa. T. operador.. Definição.l: .. existe existe. um. ponto fixo. ejetivo. de. tal que para qualquer X inteiro positivo k(x) tal que “fk“)(x) $ U.. uma um. dito. xo é. x0 e F,. Se. vizinhança. de x0. U. f. se. E U —[x0%. [8]. Definição 2: Se. existe. uma. xO e x e. e F,. X0. vizinhança. V>existe. um N. dito. é. x(). de x0. V. tal. ponto fixo. atrator. f _se tal que para cada vizinhança U de um. que f“(x) 6. U. para. nª. N.. de. [8]. Teorema 3:. tal. Seja f(x). xf(x)<. O. f(O). (). ,. que:. =k,. f'(0). |k|>1.. Então para A>A0asolução. fixo ejetivo A. do. x(t)5. 0. da equação é. um. ponto. anteriormente definido. deste teorema será uma consequência. operador Tzkx+. demonstração. kk. imediata do seguinte resultado. Lema 2:. Suponhamos, uma. f,. A. e k como no teorema 2.. Então. constante a >0 tal que para toda função inicial. todo zero. 2. de x(. ,W). lb. existe. € kA. e.

(29) ..24-. ,. suplk(t;W)|â a. tªz. Demonstração: Suponhamos por absurdo que o lema não. Então. existe. zero. um. tal. sup|x(t;w)|=. tâz e [x(m)|. ;. um máximo. seja verdadeiro.. que. para alguma. õ< a. xp. € kÃ. Então existe um extremo m com zng m< sz_para algum n é Sem perda de generalidade podemos assumir que m é 2. par, Escrevemos a equação diferencial na forma. e n é. à(t). = —Ax(t) + kAx(t—1) +. h(t). =. Seja. T =. h(t). onde. Af(x(t—1)). —. kAx(t—1).. zn+1. Integrando obtemos. Jx(t)e ºEt dt m.. T. ºº. _—. J(—Ax(t). + kAx(t—1) +. T. .. h(t))e -€t dt. Logo ao. 00. íà(t)e_5tdt T. '. ºº. =. —. uma mudança de. I. AJx(t)e - Etdt T-l. +. '. ºº. .. T. +. T—l. kAJx(t—1)e —Et dt. Fazendo. AJx(t)e-€tdt. +. Jh(t)e —Et dt T. variável. na 3ª. integral. do. lado direito.

(30) _25_. da última igualdade obtemos. Jx(t—l)e_gtdt. Jx(t)eªª(ª”ºdt. =. e—€»íx(t)e—€tdt. =. T-l. T. T-l. Portanto. [fume-ªª dt. -AJx(t)e-Etdt. =. T. [magºª dt. +. T-l. Jh(t) e"Et dt T. Olhando para a equação =*—A. '. característica. vemos que. Ake-E. +. Tomando. +. T-l. '. T—l. + Ake—E. &. AJx(t)e—ªª dt. +. como. &. solução da equação. característica. e. substituindo na equação anterior obtemos T. oo. íâ(t)e—€tdt. AJx(t)e_gtdt. =. EJx(t)e—Etdt T'l. T'].. T. Usando. integração por partes. a. on. on. +. no. -x(T)e"ªT. +. T. m. €Jx(t)e—Etdt T. ,+ €Jx(t)e—€tdt T-l. +. =. lado esquerdo da. Jh(t)e'ªªdt T. .. le(t)e—€tdt T-l. Jh(t)e-€tdt ]:. igualdade acima obtemos: ,. +.

(31) _26_ Logo. a. ,. T. m. -x(T)e-Et - €Jx(t)e-€tdt - Xíx(t)e-Etdt T-l. Fazendo y(t). .. =. Tºl.. _. íh(t)e—€t*dt.. «. T. eàtx(t) temos x(t). ==. A. =. eºkt. y(t). que. substituindo na equação anterior obtemos T. -x(fr)e'ET -. (g +A). oo. Lungª”)t dt = Jh(t)e'ªªdt. T'].. T. Integrando por partes temos que —x(T)e'ªT. +. [wwe—(f“Mt. Jy<t>e 'Tq. -(É+Ã)t. T. =_á?(t)e—Q+Ahh:_X(T)e—€T + y(T)e—(5+An. _. T-l. dt]. y(T_1)e-(E+)(Tl)= A. '. =. Jh(t)e-Etdt. T. Logo T. 00. - J&.(t)e'(ªf)ª)ªdt. .. =. T4.. T. Multiplicando 1. egmj-Í). Jh(t)e-€tdt. ambos os membros. desta igualdade. resulta A. _. ?---1. íy(t)e T-l. ºº__i. Ãte €(t T+?)dt==Jh(t)e T. at. T+2)dt. por '.

(32) ,_27-. y(t). sendo. Vemos que. í/(t) ekt. +. =. t. eltx(t). e“ à(t). x(t). Para. =. =. +. temos. AeÃtx(t). = -eAt. x(t). +. Aer(x(t'-1))+. Ae“f(x(t—1)).. x(T-l) = O e (T-l) ê.um zero par, Ou seja, um zero onde x(-) é crescente e como a funcão f inverte seus valores (i.e, f aplica negativo em positivo e Vice—versa). ª(t). temos. € [T—1,T] temos que. t. já. que para. líY(t)e. _ g(t . T+º) -. 0. %. T. .. l. e [T—1,T] temos x(t—l). Isto. &. . _ _ ÃtdtIGR/zcos Ãtdtl ; |JY(t)e. é verdade. 1-1. que le '(R+í9(t-T+%)I é. já. em T,. com a. IIV. Ie-(%+i%)l. e-R/Z CO. 52. _s_. T. |Jy(t)e. —. g(t T+2) Atdt! -. _]:. _. .. ; |Jy(t)dt|e _ ÃTe. T-l. —. 1—1. = |y(T)—y(T—1)[e_)“Te_R/2. 1x(T)elT e-R/2. ;. desigualdade anterior temos. T. .. decrescente, logo atinge. portanto. Ramune-mà)! Seguindo. %. is. = R +. seu mínimo. 0. Então. T. 1—1. onde. <. _. cos. % =. x(T_1)eMTq)|e—Rn. x(T)cos. %.. COS-%e—XT. :. R”. cos. % =.

(33) #28-». Portanto T. (1.4). 1. |Í&(t)e-E(t'T+í)'Ãt| ; Pl. e-R/2 x(T)cos v. f de classe C', dado. Sendo. e. %. >0,.36 tal que |y| <ô. mos. ,Logo. “f(y) - kw!. <. €|.YI. Então oo. ].. |Jh(t)e'ª(t'“í)dt|. T. T. '. já. <n— _ eôíe R“ T+2)dt _];. <. que |h(t)I—=. |Af(x(t-1) - AkX(t-1)|. Então. ª. (1.5). |íh(t)e _ 5“ - T+z)dt|. Estudemos. x(t) para comparar (1.4). L. <. _ eôeR/2.R'l. T. e (1.5) z+1. x(T). =. x(m)e'm'"º. + e'MT'f“). Je-MT-S)f(x(s-l))ds m. te—.

(34) _29_ Sendo. f(x(s—1)>. 0. para. x(T). o. m. >. 5. ponto de máximo para € [m,z+1]. Portanto *. x(m)e—Ãumº. x(—) em. [z,z+1], então. e—Ãô/Z. ;. pela hipótese.. (*) Válido. Portanto adSe-R/2. Que é um. Obs.: ímpar.. .Rª' ;. e_wzcos. %. x(T). ;. e—Mzcos %. e—Ã.6/2. absurdo. que mostramos para. Veja. Estamos interessados. um n. que não sabemos se é par ou. mostrar que isto é válido para. em. par para mostrar que a aplicação de kl. definida. em kÃ. é. n. ejetiva.. Demonstração do Teorema 3: Sabemos que. de n e para. upe kA. sup||xt(0,w)" >a para. tªz com Hw||< M.. um. Mostremos que. infinito. número. existe. b. >0,. tal. que IIXz 2+1(0,w) ||. o. que implica a. >. b. ejetividade. da solução. nula. Escolhemos. que. inf[f(y);. 05. y; b]. >. -. %. Suponhamos agora, por absurdo, que. sz. Zn. +J0,W)H. <. b. para todo. n .. b. ”tal.

(35) ..30.... Isto implica m2n+1. x(m2m1) = Ãíe—AGMWª"Qf(x(s—l))ds z2n+1. como s—l €. (zh, Zani) para. e (zmwllm2m1) temos. 5. x(s-l) <b, logo. m2n+1. x(mhwf. -. >. %. JAe—Ãmªul-S>ds. ; --% para todo. n. z2n+l. o que é um. absurdo. Estamos. em. condição de enunciar. o. seguinte teorema.. Teorema 4:. Consideremos a equação. à(t). (1.6) onde. A. €. condição. mí,. fÃiuzl. = —Ax(t). Ag_u(x(t-1)) '. +. 1,u€ZRÍ.Alêm disso vale a "seguinte. como no Lema. I, fm”). +. para quaisquer. A. e. =. 0, fA,u(1)<. 1. u.. seguinte Sl) Existe uma região. Suponhamos o. apenas. o. zero. Existe. tem. um. fÃ,u(x*) 53). tal. que para (A,u) e Al. ponto fixo e além disso £; ' “(0). =. f(-) k,. tem. |k|<. 1.. região A2(:IR2 tal que para (A,u) e A2 na qual f e novo ponto fixo x* #0, x? = x*(A,u) com fi “(0) > 1. SZ). !. como. AlCZJR2. uma. - k, |kl<1. Existe. uma. região. A3. CL. R2,. tal. que. para. (A,u) €. A3 ,.

(36) _31_ l. fÃ. u(0)> !. 1. '. ' e ÍÃ,U(X * )<. (A,u)€. _ 1 e tambem. =>. A3. A;. A. 0. Então valem as seguintes afirmações:. Para (A,“) e Al'a solução nula é estável e atrai toda solu— ção com condição inicial w tal que w(t) G I para —15 t 50. 19). 29). Para (Xiu) e. A2. a solução nula é. 39). Para (A,u) e. A3. a solução nula e a solução. ejetiva. e x* é x*. estável.. são. ejetivas,. A0+2mn. ainda mais, solução x*,. acontece uma bifurcação de Hopf da para A: «kª—1 com o aparecimento de um contínuo ilimitado de so— luções periódicas que variam lentamente. Demonstração:. Para (A,“) e. f'(0)<. O. e. A1 temos. f(x)#. x #0. x. Então para qualquer x. f(x) que implica que. x. <. e. # 0, x 6. fº+l(x). f“(x)'*0. Portanto. Então pela proposição. 1. <. I,. f“(x) 100. =. [0]. temos demonstrado o. lº caso.. região A2, pelo teorema 1 temos x* é um ponto de equilíbrio assintoticamente eStãvel já que !fk,u(x*)| <1. Como ; A0,pelr>estudo das soluções da equação carac— Na. A. terística que. garantir que zero é instável já existe raizes característica com parte real positiva. no Lema 1.b) podemos. Para (A,u) e A3,observamos que ocorre. o. em uma. seguinte: f(X)>. x. para x<:x*. (I). f(x)< x. para x>. x*. Vizinhança de. x*.

(37) _32_. nestas condições, existe uma con— jugação topológica entre este sistema e um outro sistema na mostrar que,. Vamos. Vizinhança de zero.. Isto será feito. no. seguinte. Lema.. Lema 4:. Considere a equação do Teorema. satisfeita.. existe. Então. uma. com a. 3. condição. conjugação topológica. H. (1). entre as. soluções da equação (1.6hanuma vizinhança de x* e as soluções de. um sistema da forma. à(t). (l'-'). = —Ax(t). u(x(t-m. + xgÃ. onde. g:[A,B]-+[A,B]. (II). 0. € [A,B]. <. g'(0)<-1. ;. X9(X)<0. ,. Xiªº. , 9. €C'. Demonstração: De. fato, definimos =. x gÃru() É. obvio. f AIU( x*+:< ) que se f. +. f Ãl-U(X)*. satisfaz (I). g. satisfaz (II).. solução de (1') é dado por. >'<(t). =. e'Atww). !:. + AJe')ª(º'S)<_:yÃ. u(Fds—lhas. =. 0. t 0. MM. +. ã(s—1)). - fÃ'u(x*)]ds. A.

(38) _33;. Considere agora a seguinte função.. YÃ(t). = Wºe—At +. t. Abdº—ºf)“ IU (x*)ds '. O. Seja Hx(t). Hx(t). =. x(t). +. yÃ(t) então. = (x* + Mºve—>“t. +'. ªí““) fl u(x*+x(s—1))ds 1:. 0. de(1.6) com condição inicial x*+w. Observe que yÃ(t) = x*. Portanto este homeomorfismo H nada mais é do que uma translação e então preserva estabilidade e periodicidade da solução, isto é, se x(t) é uma solução periódica de(l.6) Hx(t) que é solução. solução periódica de (l') Observamos que as soluções deste sistema(1.6)na vizinhança de x* são topologicamente conjugada ãs soluções da vizinhança do zero do outro sistema mas não as soluções dele próprio também é uma. na. vizinhança do zero.. Ainda mais,. .que na. região A2 0 zero é Isto conclui a demons—. instavel enquanto x*permanece estável. tração do Lema. Podemos agora voltar a demonstração. do Teorema.. Jã sabemos que para o sistema da forma (l') com k < -1 e o operador TzkÃ+ kÃ tem o zero como ponto ejetivo. Isto impli— ca que o Operado T*= ToH:kã+ k; tem x* como ponto ejetivo. Portanto estamos em condição de aplicar o teorema Browder [2]. ter. outro ponto fixo não ejetivo, pois ejetividade é uma propriedade topológica. É claro que pela contrução do conjunto KA e Teorema 2 e pela definição de T que este ponto fixo não ejetivo deve ser uma solução periódica que varia lentamente.. que. garante que. T. e consequentemente T* deve. um.

(39) Para demonstrar a existência de. um. contínuo. ilimitado. periódicas que variam lentamente precisaremos dos seguintes resultados.. ainda. de soluções. Lema 5: Com. =. E(J)>. compacto. tal. O. seja ainda J e (O,W) kºe .I. Então existe. as hipótese do lema 4,. quer conjunto E. [12]. que se. lentamente para algum. tal. que. x(t) é uma solução periódica Ae J, então max[(x(t))]> e. qual— um. varia. que. (:. Teorema 5: [8] Banach X,. para a e dades:. A(0,a). (ii). A. =. (iv). O. para. Azka+ a €. um. ªo e J. ,. existe. k. espaço de. num. J = (a,w ) satisfazendo as seguintes proprie-. ponto extremo de k, [O). # k e. J. contínuo. é completamente. (iii) Existe oz. um. ]R. Suponha. (i)ª. ªo. zero. com. conjunto fechado e convexo. k um. Suponha. tal. $. J. €. Jo, 0<-Ix|êe. que,. um e =. para qualquer intervalo q)e J, a(JO)> O tal que A(x,a) # x para,. intervalo aberto IO contendo aotal que zero é um ponto uniformemente atrativo de A(—,a) para a e IO,<1< ao, e zero é um ponto ejetivo de A(-,a) para a € IO, a > dº.. Existe. acima estão. as 'hipõteses. Se S(). um. C. ka S = E. S0 =. satisfeitas. e. S. Clka. =. x]. e. estão definidos por onde u. =. [(x,a). €. Componente conexo,. contêm (0,a0)-. ka. ;. x # O,. A(x,d). fechado, maximal. de. 5. que.

(40) ..35—. Então. S0 é. não. Precisamos. limitado.. somente mostrar que estamos nas. condições. deste teorema. Consideremos kA = k. e. TÃ(W) =. A(wll). Temos. (i). TÃ(0) =. (ii). TA é. 0. para qualquer'l(imediato).. completamente contínuo.. Este fato não é. dificil. de se. demonstrar.. (iii). Válido pelo lema 5.. É. Sabemos que para mente. A. <A0 o. assintotica—. estãvel portanto uniformemente atrativo para A(-,A). ejetivo para. A. >. xo. Sendo. soluções. A0). a. existência. de. um. ilimitado. contínuo. de. sistema. (l'). H(SO) é um. con—. o. .. Através da conjugação com. estão satisfei-. que as condições do Teorema 5,. periódicas que variam lentamente para. que contém (0,. e. conforme Teorema 3.. tas, fica garantido. junto. zero élum ponto. H,. é. as mesmas propriedades para. claro que. (x*,lo)..

(41) CAPÍTULO. II. Neste capítulo vamos aplicar as técnicas desenvolvidas no capítulo anterior no estudo de alguns problemas. Em biologia, no estudo de espécies com geração contí— nuas que se sobrepõe,r. crescimento pode ser considerado contí—. então ser discutido por meio de. podendo. nuo,. o. uma. ,. rencial.. equação. dife-. Nestas populações o crescimento se origina do nascimento ou de algum outro processo de recrutamento, e o decréscimo populacional se dã por mortes naturais ou depredação e como estes. processos levam algum tempo, o retardamento é levado em. conta. específico é.a equação usada pelas "Comis— são Internacional de Pesca à Baleia". Esta equação é apresentada e analisada em [13]. Vamos aqui, apresentar um resumo da análise feita em Um. [15]. exemplo. para comparar. com a. quantidade de informação que. podemos. obter usando, no lugar da análise das raízes características fato da derivada no pOnto fixo ser em módulo menor do que um. A. (2.1). &. equação estudada N(t). = —uN(t). +. o. é:. vN(t-T) [l-Nz(t—T)]+. supor aqui que 0< N(t) <1, V't. Isto será possí— vel se trabalharmos com a proporção da população máxima possí— vel. (Fatos biológicos podem nos dar estas informações). May faz o seguinte estudo da equação: Tomamos a = % onde v é a taxa de nascimento e u a taxa Vamos. de. mortalidade. Notamos que a equação acima tem. um. ponto. de.

(42) ..3'7—. equilíbrio.para. A. equação. seguida é linearizada. em. torno de. N*o que. característica.. leVa ã equação (1). =. X. - [(v-u)z. -u. Fazendo A=. ,r =uT. %. equação A. em. ide—M. —. e. b = (a—1)z-1;. chegamos. a. = -1—be'AT. Passamos agora as suas conclusões:. Para. T. real negativa.. do. =. Quando. eixo imaginário e. t. uma. Substituindo. |. retardamento) A = —(a—l)z tem parte cresce os auto-Valores movem-se através bifurcação de Hopf aparece.. (sem. 0. A. iy na equação levará a. =. bcos(yr). H. II. L<. || bsen(yr). Após algumas. manipulações,. y pode. ser eliminado para. dar condição para a estabilidade local no ponto de equilíbrio. T<. «. - cosª(1/b). (bº-1)2. Esta análise nos parece bastante confusa pois necessitamos. de. criar variáveis. novas. como. T. =. “T a fim de. estudar a.

(43) _3é__. equação Nós. característica. o método do. usar. vamos. leva a perda de muitas informações.. o que. atrativo. ponto fixo. mostrar. e. entre. outras coisas, que parâmetros importantes na perda de estabilidade do ponto fixo são 2, ue v. Estudaremos a equação gªg. N(t). = —TuN(t) .+. %. equivalentea (2.1) dada por: TuN(t—l). [l-Nz(t-l)]. para todo t. Esta equação tem dois pontos de equilíbrio; N(t)=0 e outro em N(t) = kªãl)“z= (l—â—P/z que são pontos lembramos que 0<. N. <1. um. em. fixos. de. f(x). = E x _ H. !u. x. Z+1. : Xux(l _ x zl. ). Notamos que. f ' (x). =X_X u u. (z+1)x 2. Portanto '. v =_' u. f | (0) e. o. zero será. o. único ponto fixo atrator quando. %. <1 ou. seja. 'a. taxa de mortalidade for maior que a taxa' de nascimento, ca— minhando desta forma para a extinção. Supomos agora % > 1. Vamos estudar a estabilidade do ponto (1—33)1/z com a condição que ele deva ser um ponto fixo atrator. Para este pontO'ser atrator devemos ter satisfeito a desigualdade —1. <. f'til. -%)1/21. <. 1.

(44) _.39_. f'Il. Sendo que. —. %)1”]. =. z(1. —. %)+1 temos as. seguintes. desigualdades z(1 -. %). .. v. z(1 (a) obtemos. (a). “1 .. !. De. <. “). $ 1. %. (b). 1. >. já exigido. e de (b) obtemos. %. <. 1 +. 2. E. equilíbrio permanece estã— .. '. .. .. Estas lnformaçoes =a satlsflzer estas relaçoes.. Portanto. o. segundo ponto de. vel enquanto Ev estão relacionadas na figura abaixo: .. .. definidos anteriormente. .. Alnda para E > 1, vamos estudar a equaçao. onde os Ais foram. V. .. no caso em. que k =. f'[(1 -. %)“21. —ê. Vejamos primeiro o caso 2 =. -que é um. (1. -. tlc. absurdo já que. >. 0. %. >. 1.. tal em. que [kl. >. que k. 1.Istoimplicarã. >. 1. em.

(45) '—40—. No. equação. caso. k. característica. estudar as soluções usando a. 'Vamos. —1,. <. dada por. €+u—uke—E#0 Jã sabemos,. conforme estudo do. existe sequência [um];. +. um. ». tal. capítulo anterior,. que. 'existe. um. cada E",. que para. Rme Eicom iRm. teristica. solução da equação e também que a equação carac— tem precisamente m raízes com parte real e parte ima—. ginária positiva. intervalo. no. (umq,um).. f de classe C',. Sendo. com k. ' %)1h na qual. nhança de x* ='(1. <-l, existirá. uma. vizi-. f seja decrescente ou seja. f(x). >. x*. para x. f(x). <. x*. para x. <. >. x* x*. Para aplicarmos o teorema 4 do capítulo anterior, precisamos ainda mostrar que f é uma aplicação de I em I. Observamos primeiro que: f(O) e que. f. é. positiva f(x). f(l). = 0. =. em. I.. = 0. Calculemos. o máximo de. f para. x e. 2x(1-x2) u. Logo,. f'(x). =. 3 U. — .. (z+l)3xz “. = 0. <=>. Portanto f(xmªx) = 2“. _ã(z+1)1/z [z+l]' 1. <. 1. x mªx =. 1. (z+1)1/z. I.

(46) -41—. implica <. V. (z+l;. (z+l)/z. ———————————u. ou. seja. a. <. (z;1)(z+l)lh. então que podemos aplicar o Teorema 4 quando v e satisfazem a relação acima. Neste caso garantimos que para Vemos. u. cada. um. no + Zum =-————-—-. /kº-1. acontece. uma. .*. bifurcação de Hopf da solução. aparecimento de um contínuo ilimitado de soluções riódicas que variam lentamente. Colocando estas informações no gráfico obtemos. x*,. com o. a. A2 A3. A. região em gue x = O é atrator. é a região em que x* é atrator. é a região onde temos soluções periódicas. A1 é. pe—. a. que. variam. lentamente. B. região onde não tem sentido tratar o problema por este méto— do pois para a e 2 nesta região a aplicação f não observa a condição f(I) C I..

(47) _42_. outra aplicação deste método é. Uma. co usado. em. Hematologia.. trata. Este modelo. modelo matemáti-. um. controle exercido. do. pelo número de células no sangue periférico.. Seja x(t) a concentração de células circulantes. lulas/kilo). e suponha que as. (cé—. células são retiradas aleatoriamen-. te da circulação a uma taxa f(diaª) proporcional a sua concentração. Para reproduzir os efeitos do controle exercido pela população de células circulantes, através da poietina, no com— (cé— portamento das células primordiais ê assumido que o fluxo lulas/kg/dia) depende de x(t) no instante (t—T). Isto leva à se— 'guinte equação à(t) A. =. Mut—%>). aceitos. Ã(X(t-%)). um. discutível.. é. =. Meªnt-%). (b). -——-——-————. O"+-xn(t—%). parâmetro. Combinando (a) e (b) temos. .. X(t). Fazendo. (a). YXUZ). forma da função A(x(t—%)) é ainda. modelos mais. onde n é. —. y(t) í/(t). =. —Yx'(t) +. : êlãl). BOG“X(t—%). ___-___ dªkxº(t_%). temos. o. =-Z)->.<(t%) =. ªgi) &. -%Y. +. %. x((t—lm e. 1+ xn((t-l)7c) Gn. :. Um. dos.

(48) _43_. =.. N". 'TYy(t). y(t-l) _9_'__ %8. +. 1. '. Fazendo Q)=. By. e. :. É(t). +y“(t—1). 4r=. + _IÉZÁÉZÃl_. -Ty(t). Para usarmos samos. obtemos. %y. 1. +yª(t-1). Malet-Paret, Nussbaum preci— domínio D onde h aplique D em D. o método de. primeiramente achar. um. para = __ÉX__ 1 + yn. h(y) Vemos. ;. =. 1. (n-l). que. será. que. 1/ “. esta função. tem. único ponto. um. ponto de máximo e. um. o máximo. da. crítico função. serã &———lí7—. h(. 1. (n _ 1) l/n. )=. 1. ].. B. para. te grande.. +.HÍT. 6. ªl,. Vejamos se o ponto. h(y). =. Bºª-U. n(n _ 1) l/n. que o máximo é menor que 8.. Vemos. função variando. n. (n _1 ). = y. <=>. y. tomaremos. um. Como. estudaremos a. domínio suficientemen—. fixo está neste intervalo tomado. =(8-1)“n.

(49) _44_. Como. para B>. entãolB-l)“n < 8 ponto fixo está no internalo. temos B< Bº+1. 1. Desta forma sabemos que. o. . '. .. tomado. Notamos. h'(0). que. único ponto fixo atrator que é aparece um segundo ponto fixo ”y *. =. 6.. =. então para 0< 51 Quando passa pelo. Temos. zero.. o. B. B. um. um,. (s-1)““. Para que este ponto seja atrator, devemos ter ._1. <. h'(y*). 1. <. Pelo formato. da. função. já. h'(y*). sabemos que. portanto teremos problemas somente quando h'(y*)< ocorrer bifurcação de Hopf. Estudemos este caso. :. h'((s—1)U“)= B1+(s—1)-n(s—1) (1+(s—1>)º. 1. =. <=>. + % _ n. g(Z-n). <. -1. <. <=>. <=>. —n. B(1-n)+n. g(n—Z). >. n. A. s(1-n)+n ª. -<. <=>. “B. $>. —1. <. 0,. que poderá. :. <=>. 2. = 1 +. Linearizando a equação diferencial ontemos a seguinte equação. característica C. +11-. uke—. C. II. O.

(50) _45_ onde k. =. h'(y*) levando então a cos. já. como. Vimos. R =. 11. anteriormente. Temos. = ª——————". k = 1 + %.". portanto as regiões. A1,. para. % 5 R. <. “. n, -r=. %Y. A. do Teorema. 2!. A3. e. inclusive as observações análogas as do exemplo respeito aos ramos de soluções periódicas.. lendo com. zªp —. B==Bºly 4. va—. anterior. ªê. dois exemplos anteriores, quando o zero deixa de ser uma solução estável, tornando—se instável, o novo ponto de equilíbrio surge deslocando—se continuamente do zero com o qual Nos.

(51) _46_ Se. confundia anteriormente.-. mina.. Este fato era previsto visto que a este sistema deter— uma família contínua de semi—sistemas dinâmicos e foi .. Reis. [4].. estudado por. Dos. Observação:. Este modelo é também estudado. ]14]. em. em. Martelli et all. existem neste artigo,. alguns equívocos. A equação original sugerida por Mackey e Glass em [11] ou Glass e Mackey [5] é dada em (b), ernnentantozaestudaàa em [14], foi & seguin— mas. te:. P'(t). = —YP(t). __ soe“P(t-v). eª+pºª(t—%). que houve uma. Ve—se. do 2? membro.. +. Se. troca de. por 2n no. n. denominador. aplicarmos a mudança de variável indicada não. chegaremos a equação. B. dada. em. Martelli. [14] (pag.497),. que é a. seguinte. y'(t) :. _Yâyl—ÁL. “Y)/(t). +. "YY(t). + -———X———Yª. 1+yn(t—1). mas sim na equação. y'(t). =. “ª'“. 1+Y2neny2n(t_1). ver ao contrário do artigo, com a equação original de Mackey e Glass [11]. Um outro modelo, cujo estudo nos foi sugerido pelo K.L.Cooke, foi proposto por Gurney, Blytle, Nisbet em. Portanto este modelo nada tem. que diz o. Prof.Dr.. a.

(52) _47_. estudo de populações da mosca azul (Lucilia Cuprina). Esta equação é dada por. [6] no. d. «(Emu. = —ôN(t). + PN(t—TD). N(t—TD). expí-T. onde. N(t). número de elementos da-população no. =. transformar. gasto para um ovo se sexualmente adulto.. TD. =. tempo. ND. =. tamanho no qual a população. instante t. elemento. num. atinge a capacidade. máxima. de. reprodução. Esta equação serã equivalente a d. 'EEN(t) onde. = —AN(t) +. A=TD6,k=-ôg Para obtermos. soluções, estudaremos f(x) É. x*. =. AkNit—1)exptN(t-1H. informações sobre. comportamento das. a função. = kxe-X. fácil ver que os pontos fixos deSta função. são. o. zero e. 0. ln k. Desta forma vemos que para. zero. o. como. fixo x*. =. ponto fixo e que para k ln k.. >. 0. <. = k. ,. f'(x*). =. l-ln. teremos apenas. aparecerá. 1,. Sendo que. f'(0). k é 1,. k. um. novo. o. ponto.

(53) _48_ Temos que o. ponto x* é ponto fixo. zero é ponto fixo atrator quando. atrator para. Precisamos mostrar que para >. x*. para x. <. x*. f(x). <. x*. para x. >. x*. seria equivalente. Isto. é um. a mostrar que. e2 temos. f'(x). <. 0. já. o Teorema 4 e. equilíbrio atrator estável. equilíbrio atrator estável.. " zero ponto de ponto de. 3? M. II. >. " existência de soluções que variam lentamente.. U.). O. que f €. Cºº. .. = l—ln k. Portanto podemos aplicar regiões do gráfico abaixo. x. 1.. ez.. < >. <. fato imediato já que. f'(x*). ._J. k. f(x). que. ». k. 1 <. k. obtemos as.

(54) CAPITULO. No. III. «estudo da estabilidade das equações. diferenciais. retardadas ficou logo bem claro, como consequência principalmen— te dos trabalhos de Henry [10] e Melvin [16], que alterações nos retardos podem perturbar o comportamento assintótico com a ocor— rência de perda de estabilidade da solução nula. Este fato levou. estabelecer critérios e métodos apenas a estabilidade de uma solução,. a necessidade de sem. não. manutenção desta propriedade quando se variam os. assim a. justificativa. que determinas— mas. também. retardos.. a. Temos. para a seguinte definição introduzida por. Hale [8].. Definição 1: A. equação. à(t). =. f(t,x(t—Rl),...,x(t—Rk)), szkª+. R. é. globalmente estável nos retardos se a solução nula for' unifor— memente assintoticamente estável para todas as famílias de re-. tardo (R1,...,Rk), .. Em. Ri. >. 0. i. =. l,2,...,k.. nosso nível de conhecimento os. principais resulta-. nesta ãrea são de Hale [8], Henry [10], Melvin [16], Cooke e Ferreira [3], Hale et all [9] e Silkowskii [17]. De maneira geral, os resultados nesta linha são obti— dos através do estudo das equações características associadas às equações, sendo importante nesta conduta distinguir os casos em que .os retardos são racionalmente dependentes ou independentes. No caso de retardos racionalmente independente necessita—se, geralmente, hipóteses mais fortes nos coeficientes da equação a fim de que a estabilidade da solução nula seja garantida, mesmo com a variação dos retardos. Na tentativa de obter informações em equações não lineares do tipo (2) do capítulo I mas levando—se em conta mais dos.

(55) ,'50—. retardos,. ou. seja, equações. à(t) estabelecemos. = —-Ax(t). +. da forma. x.f(x(t-Rl),...,x(t—Rk)j. método que não depende dos. um. retardos. conse-. e. quentemente do fato dos mesmos serem racionalmente independentes ou não. Nesta- linha obtivemos o teorema (1) que em seguinda. apresentamos.. l:. Teorema. Consideremos: (3,1'). à(t). = —Ãx(t). fzIRk. + IR. +. Af(x(t—Tl),...,x(t—Tk)). A. >. 0. com. fí(1k>. finªº) 1* = ºº. =. ,. f(Ik) C I para IC. intervalo fechado. IR um. f(Ik) f(f3'1(1k)x...xfg'1(1k)). nn=1 fíuk). Nestas condições valem (i) Se. (11). w. Se-. €_C([0,T],]R) é. 1:. tal. Vt. que Mt) e I. T =. max[T1,...,Tk) então x(t;A,W). #. então dist(x(t;x,w),1;)'+. 45. 0. com. e [O,T]. V/t ;. I. G. t. +. se. T.

(56) _51_. Demonstração:. to.: supít. (i) Seja .. por absurdo que. será. um. existe. Vemos que <. tO. “.. '. ÉdÉe. -(1). Ae. IIA. Ac. A. tx(t). ;. M. %. Suponhamos. ou. I=(—w,C]. [D,C]. Temos. =. t. T. e [T,tO+-T] onde. t. a. (D. Ãs. t. para. [T,tº+f] e sabendo que. e. O. C. IIA. para. D. t. €. [T,tº+ã]. contradiz a definição de to. Logo t0 =. (ii). ª. ou. seja, x(t;A,w). Novamente consideramos I. sequência de. f(Ik)c:I. € 1 =. para. t;. T.. [D,C].. f é contínua, temos que f*(Ik) intervalos encaixantes. Sejam. “Sendo que uma. I.. para t € [T,t0+5] forma análoga mostramos que. x(t) que. de. '!. implica x(t) De. e. temos. C. e sx(s). o que. = w(T). [T,t]]. s e. Ae“f(x(t-Tl),...,x(t—Tk)) ;. =. Integrando = w(T). I,. Seja I=[D,C]; Caso I=[D,W). para todo. c. €. min[T1,T2,...,Tk]. T =. x(T). já que x(T). tO. caso particular de I. '. [T,w): x(s). €. e. ['I. ». e.

(57) ..52k _- [Du,Cn] f2(I_). = D0. D. I:). :. n g 0. ; Dlã... ãClg. = C. C0. [Doo'coo]. 'Mostremos, por indução, que:. dist(x(t;X,w); fº(Ik)) Para. isto,. mostremós que. Mostremos. que. riãncia. E. de. D1. isto. + o. x(t). com. para t € [nT,nT-+T]4 Para t e [T,T+T] a inva—. € [Du,Cn]. é Válido para n=1.. ; f(x(t—T1),...,x(t—Tk)) ;. C1. esta afirmação verdadeira para. t€ t6. [T,T+T] temos. [T,T+pª] afirmação é verdade para [T,T+T] (integrar até um ponto pª para pã:>T).. também que a mesma €. +». nos garante que. Sendo. t. t. De (1). temos, para. XeMD. ; íªgeªms). te. '. 1. =. ou. [T,T+T],. Aetf(x(t-Tl),.._.,X(t-Tk)) ; Aeªc1 A. A. Logo, integrando de [T,2T] temos. ; x(t) ; Cl. Supondo válido para. que implica. anterior. D1. obtemos. n e. usando a mesma desigualdade.

(58) _53__. x(t). fª(lk). €. para. dist<x<t;x,w)), f::(lkn para. n. ª. N. I*& =. para. (] f:(Ik). + o. t+“ºº. com. dado. ,. não. (i) deste teorema.. existe. >0,. &. N. tal. que. temos max [Dºº. como. [nT,nTªhÍ]. €. tª nT por. garante x(t) e f2(Ik) para Portanto o que. Sendo. t. t ãnT. —. -. DMCn. temos. Dn. Cw1<. x(t) ;. é. dist(x(t;A,w),Ii). <. e. e. Cn,. .. então para. t. IIV. nT. Portanto dist(x(t;A,W),IZ) *O com t+ºº Como já ressaltamos, este método é bastante diverso do usual, embora quando nos restringimos ao caso linear os resulta— dos sejam os mesmos. Para melhor. ilustrar este aspecto,. vamos. considerar a. seguinte equação. à(t). k.. =. a0x(t). Colocando—se. + _zlaixvc—Ri). l:. A =. (a0,al,...,ak). (R1,R2,...,Rk) colocar condições em. e R =. principal do problema A para termos estabilidade para todo R GIRÍ. O conjunto dos vetores A com esta propriedade é chamado um cone de estabilidade temos. sentido que se. no A. por objetivo. >. 0.. A. pertence ao conjunto. AA. também. pertence para.

(59) _54_. primeira condição para estudar este problema é. que. A. Esta condição é muito natural pois não se pode falar Zª estabilidade asSintõtica da solução nula sem esta hipótese, já que qualquer função constante seria solução desta equação se %. ai# 0.. esta hipótese.. não houvesse. Zivotovskii [18] estabeleceu as seguintes condições. necessárias e suficientes para que A pertença ao cone de estabilidade l. i=0. O. A. 9! .. M. o.. "MF. i. ,. ].. Iªil. <. |. aO |. método de demonstração é baseado no estudo da. real dos zeros. da. f(A,R,A). parte. seguinte função. =. A. - a -. _Z. 1:. aie. estudar este problema usando o nosso método. Inicialmente devemos observar que as condições de Zivotovskii implicamtrivialmente que a0< 0 e que Vamos. k. IªJ. i=l Iªol. Em. .. X(t). seguida escrevemos a equação na forma. _ aOX(t) + f. estamos portanto no caso. k. ao,;. 1—1. -A. a.. ].. 5— 0. = a0. x(t-Ri) e. f(xl,...,xk). =. k. ai. Z-——x . i=l ao 1 ..

(60) _55_. Mostremos. agora que 11. .. .. que. f*(I. todo. X.. n. k. Jail. k. )C:[—C nª, Cn. [0]. Para isto- mostraremos. =. C]onde(:. ou. 1. f(Ik)x...xf(Ik) então. [f(x1,...,xk)| k. z = |i=]_. válida para. ai. f(xª. ——. ao. I. .... x = (x 1. =. I. ,...,x. para. 2. ). e. k x.) ].. |. k. a1 k2 aJ j |,i=l ao jª]. -—-x. ao 1. =. E. ——-. |. ;. k aa. k a. lig-J- |= _f—ªL)º ª 1—1 .; 1—1! j-21 —||xgl< .zl-a—ªlz : ao ao .. j=1(1-1|al. Supomos. .Seja. n = 2.. 1 k |f(f(xí,...,xâ),...,f(xk,...,xk))|. R. x €. ». Cn. fíqll )x...xf$411k). E. Mostremos que a afirmação é x €. seja |f(x)|< .. i.e., |f(x)|. válido para n,. 5. C"“. =cº. para. todo. fri(lk)x...xf$1(lk). Seja. onde x1. =. X. E. f2(Ik)x...xf2(Ik).. f(ãl),...,xk =. ;—. x =. f(ík)-sendo que. ãí e.f3ª(1k)x..,xffl(1k). No caso particular. 12. Teremos. de k. =. 2.. f*(lz) ª. wN. Ó. 43 ”CA &&. f “**-"'. fâ(12). (XI,...,Xk).

(61) '-'56f Calculemos. |f(x)| k. |f(X1""'Xk)|. =. a. —i. _. h=1a0f(xl)| 2. .. é. k E. i=l. =. |f(f(xl,...,f(xk)l. ªlfmin ªol “ lªol .. _. k ; ; [ªll .. =. c“. = cn+1. Desta forma vemos que IZCZ[—C",C"]. Logo. estabilidade.. de. também. nestas condições pertence ao cone isto vale para todoA.> 0, temos que A.A. portanto que. Temos. Como. A. pertence ao cone. outro .exemplo pode ser dado usando. Um. corolário 3.5. problema. o. do. [9]. Consideremos a seguinte equação: dado por Hale. '. 10. 5. 1. km. em. =. —lx(t) +A21=1 «x(t—Rí). +3—2*. Neste exemplo, devido a sua não mos. aplicar. o método de. Zivotovskii,. l (t _ 2) x(t Ri)+5x .. i=l. linearidade,. 3. não pode—. pelo nosso método vê—se condição inicial.com w(t)€ I. mas. facilmente que qualquer solução com converge para zero. É claro que este resultado pode ser_obtido por linearização mas não teríamos nenhuma informação da região de atração. Acreditamos entretanto que a maior utilidade deste método esteja em estudar pontos críticos não nulos em equações não lineares. Para isto, apresentamos o seguinte resultado:.

(62) -57—. Teorema 2:. Seja f:Rk-+. tal (i). A. = Xo'. exista. que:. este vetor f se comporta. que para. fixº,..VXO). R. Suponhamos. como uma. x =. (xD,...,x0). projeção, isto é,. Então:. x(t). função constante. equilíbrio. é ponto de. = XO. da equa-. çao. à(t). (ii)”. = —Ax(t). f é de classe. Se. [Df(xo,...,x0H< é globalmente. Af(x(t-Rl),...,x(t-Rk)). +. (x0. '. 1. .. vizinhança de. C1 numa. A. ,. %%. >. 0. ,...,x0. - constante x(t) entao a soluçao —. ). e. _ x0. —. estável nos retardos.. Demonstração:. (i) Imediato por simples verificação. bola de centro ªo = (X0""'XO) tal 1 suf1c1entemente p.e q ueno e q ue Df(x) ; JEÉI? p ara 1 x 6 V. ISto é possível já que f SC? e |Df(xo)|< ——. (ii) Seja. V. uma. .. &. |. I. .. ,. &". Consideremos Bk =. um. BX...xB czv. Seja. intervalo. = g(B). &. B. centrado. em xO. Mostremos primeiramente. que. que. fCBk)C: B.. intervalo. Para tanto,. |Df(C)||x -. xo. comprimento deste. o. tal. tomemos x € Bk. |f(x) - x0| IIA. I. o que. ___l__.JE. /í1+. MPª. &. implica f(Bk)c: Considerando. I. é. equivalente. a. [f(x) —f(x0)|. =. <. =. IIA. SL. ?. B.. f:Bk-+B mostremos que. mostrar que£(In). é. (. ff )“z. Vk+e. I:. o que. =. [xo].. Isto. demonstraremos.

(63) -58-. por indução.. lá.. Seja. X E. x. x0|. —. 1. IIA. as. m+e Portanto p ara. n =. - f(ãon. |f<>'<). ;. = |Df(x)|-|>-< _ ão. whº. temos £(I*) “. 1. é. FEP 2. (. fÉ+e Supomos a afirmação válida para n. Seja x e I:+1 . Então lx. —. xol. =. lua—não“;. |Df(c)||(x1,x2,...,xk) |Df(c) é. :. | |. [ZF-*e. t/TÇ—l. (. f?+e. Sendo que x 0 e. I:. ão]. (xo,x0,...,x0)|. —. f(x.)—f(x sup l lgiákl. = =. '. )n+1. —. mas. para todo. 00. Aplicando. ff“:. a. ——-. =. 2. f]?. * In =M In n=l. O. _9_,. (-————)“ .. >?. f? )Iâ —----—(_)n E+e Ã?. .. Portanto a afirmação vale para n+1, MI;) ;. —. (fb—cl),...,chk))—(f(520):,...,f(;<0)| ;. /k”ª. 1. |Df(c)||)-<. =. i.e.,. JL. n temos. então. (xo).. agora. o. teorema 1,. temos. que. x(t)E-xO é.

(64) _59_. globalmente estável nos retardos.. notar que este resultado não sai diretamente. Podemos. linearização da função f em torno do ponto do equilíbrio, já que a estabilidade da linear pode não implicar na estabilidade da não linear que depende de uma perturbação desprezada na linearização. de. Zivotovskii. como uma. Consideremos a equação. ,. x(t). =. x(t—Rl). -Ax(t). Notamos que. + A—————-—— +. l+x3(t—R1). x(t). é ponto de. = 1. x(t—Rz) A———-—-—1+x3(t—R2). equilíbrio. da equação.. Fazendo. f(x,y) temos. f(l,l). Df(1,1). + __X__. l+x3. 1j+y3. = 1. Df(x,y) Logo. =. _—. :. (. 1 _ 2x 3. (1+x3)2. 1. (1+y3)2. 1.. =. 5". jr. <. 1. 35?. garantir globalmente estável nos retardos.. Pelo teorema = 1 é. 1 _ 2y 3. (—z-,-í).Portanto. |Df(l,1)|. x(t). ,. Tomemos. f((t). 2,. podemos. que. a. solução. agora a equação. = —Ax(t). +. %x(t—Rl)senx(t-R2)º+ %x(t-Rl).cosx(t-R3).

(65) —60-. anteriormente podemos notar que é estável globalmente nos retardos já que sendo Da mesma forma como. x(t). = 0. 1. f(x,y,z). 1. xseny. +. ? xcosz. %(seny. +. cosz),. = É. satisfaz Df(x,y,z). lºf<º,º,0)l=|<%,o,o)l=%. <. %. xcosy, 'àxsenz). -1_ /'3"'. X. Um. outro exemplo que podemos considerar. x(t) —. =. -Ax(t). + Ae. 1 _lNªº“ - “ _ 11e'7[ºª(t'">'l]. Vemos que. x(t). Df(x,y). bhàe'íx e'íy. O. =. é a equação. = 1 é 1. ponto de 1. e. equilíbrio 1. e que. 1. ,-—%e'íx e'íy e). que implica. |Df(1,1)l. =. 1. l. l(-5, -3)l. Portanto x(t). = 1 é. 1. —5. estável globalmente. nos. retardos..

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