Estabilidade assintótica de uma classe de equações quasilineares viscoelásticas com...

Estabilidade assintótica de uma classe de

equações quasilineares viscoelásticas com história

Estabilidade assintótica de uma classe de equações

quasilineares viscoelásticas com história

Rawlilson de Oliveira Araújo

Orientador: Prof. Dr. Ma To Fu

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências - Matemática.

VERSÃO REVISADA.

USP – São Carlos

Outubro de 2013

1

Este trabalho teve apoio financeiro da CAPES sob o processo DS-6715832/D de 03/2009 à 02/2013 Data de Depósito:

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

A658e

Araújo, Rawlilson de Oliveira

Estabilidade assintótica de uma classe de equações quasilineares viscoelásticas com história /

Rawlilson de Oliveira Araújo; orientador Ma To Fu. -- São Carlos, 2013.

65 p.

Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2013.

“Que darei eu ao SENHOR por todos os benefícios que me tem feito?” Sl 116.12. Agradeço ao meu Senhor, pois me amou primeiro, conforme Jo 3.16, nunca me desampara e usa pessoas para me abençoar. Muito obrigado meu Deus!

À toda minha querida família que sempre me ajudou e me incentivou a estudar.

Aos meus queridos amigos e irmãos em Cristo da Assembleia de Deus - Ministério do Belém - São Carlos/SP.

Aos meus amigos e companheiros de Graduação, Mestrado e Doutorado, em especial ao Alisson Rafael A. Barbosa.

A todos os professores da UFRN, UFCG e USP/ICMC, em especial ao Dr. André Gustavo C. Pereira, ao Dr. Claudianor O. Alves, ao Dr. Marco Aurélio S. Souto, a Dra. Marcia Cristina A. B. Federson e ao Dr. Alexandre N. de Carvalho.

Ao Dr. Marcio Antonio J. Silva que me ajudou no capítulo final deste trabalho.

Ao Dr. Maurício Luciano Pelicer, ao Dr. Yuming Qin, ao grupo de Sistemas Dinâmicos Não-Lineares e ao grupo de Equações Diferenciais: Análise Matemática e Aplicações.

Ao meu orientador e amigo Dr. Ma To Fu pela orientação, conselhos e paciência. À CAPES pelo financiamento para a conclusão deste trabalho.

Por fim, agradeço à minha amada noiva e futura esposa Sheyla Silva Marinho que sempre está comigo em todos os momentos me amando, me auxiliando e me suportando. Deus a abençoe! Te Amo!

Este trabalho é dedicado ao estudo do comportamento a longo prazo de uma classe de equações viscoelásticas não lineares com memória, da forma

|ut|ρutt−∆u−∆utt+

Z t

τ

µ(t₋s)∆u(s)ds=h, ρ >0,

definida num domínio limitado de RN. Tal classe de problemas foi estudada por diversos autores desde 2001, com τ = 0. Os resultados existentes são principalmente devotados à existência de soluções globais, decaimento da energia, com ou sem dissipações adicionais, existência com dados pequenos, entre outros. Entretanto, a questão da unicidade de soluções e existência de atratores globais não foram discutidas em trabalhos anteriores. No presente trabalho, apresentamos resultados de unicidade e existência de atratores globais para essa classe de problemas num contexto mais geral, incluindo o caso em que τ = −∞. Além disso, incluímos um problema complementar, de quarta ordem onde estudamos a existência de atratores exponenciais.

Palavras-chave: Equações diferenciais parciais, equação da onda,

viscoelasticidade, memória, unicidade, atrator global, atratores exponenciais.

This work is concerned with the long-time behaviour of a class nonlinear viscoelastic equations of the form

|ut|ρutt−∆u−∆utt+

Z t

−τ

µ(t−s)∆u(s)ds=h, ρ >0,

defined in a bounded domain of RN. Such class of problems was studied by several authors since 2001, with τ = 0. Existing results are mainly devoted to global existence, energy decay, with or without additional dampings, existence with small data, among others. However, uniqueness and existence of global attractors were not considered previously. In the present work, we establish some results on the uniqueness of solutions and existence of global attractors in a more general setting, includingτ = _−∞. In addition, we have added a second problem concerned with a fourth order equation where we study the existence of exponential attractors.

Keywords: Partial differential equations, wave equation,

viscoelasti-city, memory, uniqueness, global attractor, exponential attractors.

Agradecimentos i

Resumo iii

Abstract v

Introdução 3

1 Preliminares 7

1.1 Espaços de Sobolev . . . 7

1.2 Potências fracionárias de operadores lineares . . . 10

1.3 Sistemas dinâmicos e atratores globais . . . 12

1.4 Dimensão fractal e atratores exponenciais . . . 14

1.5 Uma caracterização do atrator global . . . 16

2 Um problema quasilinear viscoelástico com história 17 2.1 O problema com história . . . 18

2.2 Primeiro teorema: boa colocação e estabilidade . . . 19

2.3 Prova do teorema: boa colocação . . . 21

2.3.1 Existência global . . . 21

2.3.2 Dependência contínua dos dados . . . 27

2.4 Prova do teorema: estabilidade exponencial . . . 30

SUMÁRIO 1

3 Existência de um atrator global 35

3.1 Prova do teorema . . . 36

3.1.1 Conjunto absorvente . . . 36

3.1.2 Desigualdade de estabilização . . . 38

3.1.3 Compacidade assintótica . . . 41

4 Um modelo de Kirchhoff viscoelástico: atratores exponenciais 43 4.1 Introdução . . . 43

4.2 Resultados . . . 46

4.3 Existência de atratores exponenciais . . . 51

4.4 Caracterização do atrator global . . . 58

Introdução

Na presente tese, estudamos a dinâmica assintótica de dois problemas viscoelásticos não lineares que se insere no contexto das equações diferenciais hiperbólicas com termos de convolução.

O primeiro problema é baseado na equação

|ut|ρutt−α∆u−∆utt+

Z t

−∞

µ(t−s)∆u(s)ds−γ∆ut+f(u) =h, (1)

definida numa região limitada Ω _⊂ RN, e adicionados de dados iniciais e condição de fronteira do tipo Dirichlet. Por hipótese, tomamos ρ > 0, γ _≥ 0 e µ é uma função convexa decrescente. Posteriormente, a constanteα > 0será normalizada para simplificar as notações.

Do ponto de vista da modelagem matemática, a equação (1) se insere na classe

g(ut)utt−∆u−∆utt = 0, (2)

que possui algumas aplicações em engenharias. Observamos que, mesmo quando g(ut) é constante, essa equação difere da equação clássica de ondas de D’Alembert por causa do termo₋∆utt. De fato, no casog(ut) = 1, a equação (2) foi usada para modelar vibrações de hastes finas (thin rods) levando em conta os efeitos da extensibilidade do material, conforme análise apresentada em Love [29], Capítulo 20. No caso em que g(ut) não é constante, essa equação modela vibrações de materiais cuja densidade depende da velocidadeut. Por exemplo, segundo Cavalcanti et al [8], a equação (2) modela vibrações de uma haste fina

que possui uma capa rígida com interior elástico levemente deformável. Por outro lado, o termo de convolução R_τtµ(t₋s)∆u(s)ds modela propriedades viscoelásticas do material, como memória por exemplo. Assim, esta convolução é chamada de memória e a função

µé chamada de núcleo da memória. As equações viscoelásticas com memória é um tema de pesquisa bastante ativo e o leitor interessado pode consultar as referências Fabrizio & Morro [17] e Renardy, Hrusa & Nohel [40]. Dessa forma, o problema (1) adiciona efeitos de viscoeslasticidade ao problema (2).

No que segue, faremos uma breve revisão bibliográfica sobre o nosso problema. Acreditamos que o primeiro estudo sobre o problema (1) apareceu no trabalho de Cavalcanti, Domingos Cavalcanti & Ferreira [8] em 2001. Eles consideraram a equação

|ut|ρutt−∆u−∆utt+

Z t

0

g(t₋s)∆u(s)ds₋γ∆ut= 0, (3)

definida num domínio limitado deRN, com_{0< ρ <} 2

N−2 seN ≥3eρ >0seN = 1,2. A

energia associada ao problema é definida por

E(t) = 1

ρ+ 2kut(t)k ρ+2

ρ+2+

1

2k∇u(t)k

2 2+

1

2k∇ut(t)k

2 2.

Como estudo pioneiro, eles provaram a existência de soluções globais admitindo como hipóteseγ _≥0e

−ξ1g(t)≤g′(t)≤ −ξ2g(t), t≥0,

onde ξ1, ξ2 > 0. Esta condição diz que g(t) é do tipo exponencial decrescente, o que era

usual na época. Além disso, provaram que se γ > 0, então a energia do sistema decai exponencialmente (quandot→ ∞). Salientamos que, quandoρ= 0, a equação (3) se reduz à equação da onda viscoelástica usual. Nesta direção, citamos o trabalho de Cavalcanti & Portillo Oquendo [9], que possui uma boa revisão bibliográfica e apresenta resultados essenciais.

Mais tarde, muitos outros trabalhos foram publicados sobre o problema (3). Podemos classificá-los em três grupos de interesse.

O primeiro grupo contém resultados que objetivam provar o decaimento da energia com termos de dissipação mais fracas que₋γ∆ut. Nesta direção, o trabalho mais relevante é o de Messaoudi & Tatar [33], onde eles provam o decaimento exponencial da energia comγ = 0 e

g′(t)≤ −ξg(t)p, t≥0, 1≤p <3/2.

Introdução 5

do que exponencial decrescente. Citamos também os trabalhos de Han & Wang [22], Liu [28] e Messaoudi & Tatar [32], que igualmente compõe esse primeiro grupo de interesse.

O segundo grupo de interesse contém resultados do tipo dados pequenos, “blow-up” em tempo finito e problemas do tipo “source-damping”. Em geral, tais problemas aparecem quando adicionamos um termo de forçaf(u) =k_|u_|p_{uno lado direito da equação (3). Nesta} direção, citamos os trabalho de Liu [27] e Messaoudi & Tatar [34].

O terceiro grupo de interesse é baseado no conceito de decaimento geral em viscoelasticidade do tipo memória proposto por Messaoudi [31]. A grosso modo, supondo que o núcleo da memória satisfaz

g′(t)≤ −ξ(t)g(t) t≥0, ξ(t)>0,

tenta-se obter uma taxa de decaimento da energia do tipo

E(t)_≤αe−βR0tξ(s)ds, t≥0,

ondeα, β >0. Nesta direção, mencionamos os trabalhos de Messaoudi & Tatar [32], Park & Park [37], Han & Wang [21], Liu [27] e Wu [43].

A nossa contribuição para o problema (3) é motivada pelas seguintes observações. Primeiramente, em todos os trabalhos acima citados sobre o problema em questão, a unicidade de soluções não é considerada. De fato, o termo _|ut|ρutt parece introduzir várias dificuldades para a prova da unicidade. Além disso, do ponto de vista de sistemas dinâmicos, a existência de atratores globais também não foi considerada anteriormente. Tais propriedades são relevantes do ponto de vista físico e bastante atuais do ponto de vista da pesquisa em equações diferenciais parciais. Desta forma, o nosso objetivo nesta tese é estudar o problema (3) num contexto mais geral, com história, considerando a memória de _−∞a t como em (1). Então, tomando como hipótese ρ > 1, provamos um resultado de unicidade e dependência contínua em relação aos dados iniciais. Além disso, tomando

γ > 0, provamos a existência de um atrator global compacto para o sistema dinâmico correspondente. Os resultados principais são provados no Teorema 2.2 (Capítulo 2) e no Teorema 3.1 (Capítulo 3). Os resultados foram recentemente publicados na referência Araújo, Ma & Qin [4].

(ver por exemplo Temam [42] ou Miranville & Zelik [35]). Entretanto, esse procedimento revelou-se ser muito complexo para o nosso problema. Como alternativa, seguimos de perto a metodologia apresentada por Chueshov & Lasiecka [11, 13] que é baseada numa desigualdade de estabilização (ver Lemma 3.4).

No estudo do primeiro problema, encontramos dificuldades em estimar a dimensão fractal do atrator global do sistema associado e em provar a existência de atratores exponenciais. Como tais conceitos fazem parte da pesquisa corrente em sistemas dinâmicos não lineares provenientes de equações diferenciais parciais, acrescentamos o estudo de um problema complementar neste trabalho.

O nosso segundo problema modela vibrações de placas viscoelásticas de quarta ordem com uma perturbação do tipop-Lapaciano da forma

utt+ ∆2u−∆pu−

Z ∞

0

µ(s)∆2_{u(t−s)ds−∆u}

t+f(u) = h, (4)

definida num aberto deRN, onde

∆pu=div(|∇u|p−2∇u), p≥2,

é o operador p-Laplaciano. Essa classe de problemas, sem o termo de memória, é por alguns denominada “Kirchhoff models”. Ela foi estudada recentemente nos artigos de Yang [44, 45, 46, 47] e Yang & Jin [48]. O problema também apresenta semelhanças com as equações de Kirchhoff-Boussinesq (onde p = 4) estudadas por Chueshov & Lasiecka [10, 12].

Por outro lado, nos trabalhos de Jorge Silva & Ma [23, 24], tais modelos de Kirchhoff foram extendidos para o contexto da viscoelasticidade com memória. Em [23], é provada a existência de um atrator global de dimensão fractal finita para o sistema dinâmico associado ao problema (4). Entretanto, não é considerada a existência de atratores exponenciais, isto é, conjuntos compactos de dimensão fractal finita, positivamente invariantes e que atraem exponencialmente as órbitas saindo de qualquer conjunto limitado (ver Definição 1.26).

C

1

Preliminares

Neste capítulo, destacamos alguns resultados sobre espaços de funções, teoria de operadores e sistemas dinâmicos de dimensão infinita. Em relação às notações usuais no estudo das equações diferenciais não lineares, seguimos as apresentações clássicas de Evans [16] e Lions [26].

1.1

Espaços de Sobolev

Apresentamos aqui o teorema de imersão de Sobolev que será utilizado várias vezes. O leitor poderá consultar Adams & Fournier [1], Brézis [7] para maiores informações.

Teorema 1.1(Imersões de Sobolev). SejaΩ ⊂ RN _{um domínio limitado com fronteira de}

classeCm_.

(i) Semp < N, então a seguinte inclusão é contínua

Wm,p(Ω) ֒→Lq∗(Ω), onde 1

q∗ =

1

p − m

n.

Além disso, a inclusão é compacta para qualquerq, com1_≤q < q∗_.

(ii) Semp=N, então a seguinte inclusão é contínua e compacta

Wm,p(Ω) ֒_→Lq(Ω), para todo 1_≤q <_∞.

Além disso, sep= 1em=N,então vale a mesma relação acima paraq=∞.

(iii) Sek+ 1> m₋ N

p > k, k ∈N, então escrevendom− N

p =k+α,com0< α < 1, temos que a seguinte inclusão é contínua

Wm,p(Ω)֒→Ck,α Ω,

ondeCk,α _{Ωrepresenta o espaço das funções emC}k _{Ωcujas derivadas de ordem}

k sãoα-Hölder contínuas. Além disso, se N = m₋k ₋1, α = 1e p = 1, então

a inclusão vale também paraα = 1,e a inclusãoWm,p_{(Ω) ֒→ C}k,β _{Ω é compacta}

para todo0≤β < α.

Teorema 1.2(Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg). SejaΩ ⊂ RN _{um domínio limitado}

com fronteira de classe Cm _{eu ∈ W}m,r_(Ω)∩Lq_{(Ω) onde1 ≤ r, q ≤ ∞. Para qualquer}

inteiroj com0_≤j < me qualquerθcomj/m_≤θ _≤1,temos

kDjukp ≤Ckukθm,rkuk1q−θ, (1.1)

desde que

1

p = j N +θ

1

r − m N

+ (1₋θ)1

q

em−j−N/r não é um inteiro não negativo. Sem−j−N/r é um inteiro não negativo,

(1.1) vale comθ =j/m.

Teorema 1.3(Teorema de Interpolação). SejaΩ _⊂ RN _{um domínio limitado com fronteira} suave. Suponhamos que

p ≤ q ≤ ∞ se mp > N,

p ≤ q < ∞ se mp=N,

p ≤ q ≤ N p

N ₋mp se mp < N.

Então, existe uma constanteK =K(N, m, p, q,Ω)>0tal que para todau_∈Wm,p_(Ω),

kukq ≤Kkukθm,pkuk1p−θ,

1.1 Espaços de Sobolev 9

Teorema 1.4(Desigualdade de Poincaré). SejaΩ_⊂RN _{um domínio limitado e1≤p <∞.}

Então, existe uma constanteC =C(p,_|Ω_|)>0tal que

kukp ≤ Ck∇ukp, ∀u∈W01,p(Ω).

Definição 1.5. SejaXum espaço de Banach e1_≤p < _∞. Representaremos por (Lp(0, T;X);k · kLp_(0,T;X))

espaço de Banach das funções vetoriais mensuráveis u : (0, T) _→ X, tais que _ku(t)_kX pertence aLp_{(0, T), munido da norma}

ku_kLp_(0,T;X)= Z T

0 k

u(t)_kp_Xdt 1/p

.

Quandop=_∞,representaremos por(L∞_{(0, T;X);k · k}

L∞

(0,T;X))o espaço de Banach

das funções vetoriais mensuráveisu : (0, T)_−→ X,tais que_ku(t)_kX pertence aL∞(0, T), com a norma

ku_kL∞

(0,T;X) = sup

t∈(0,T)

ess_ku(t)_kX.

Temos então o Teorema de Compacidade de Simon [41, Cor. 4], que é uma extensão do Teorema de Aubin-Lions.

Teorema 1.6 (Simon). Sejam X, B, Y espaços de Banach tais que X ֒_→֒_→ B ֒_→ Y. Suponhamos que

(un) é limitada em L∞(0, T;X) e (un_t) é limitada em Lr(0, T;Y), r >1.

Então,(un_{)é relativamente compacto emC(0, T;B).}

Teorema 1.7(Desigualdade de Hölder). Sejam1_≤p, q _{≤ ∞}com 1_p +1

q = 1eΩ⊂R N_{. Se}

u_∈Lp_{(Ω)ev ∈L}q_{(Ω),entãouv ∈L}1_(Ω)e

Z

Ω

|u(x)v(x)|dx≤ kukpkvkq.

Teorema 1.8(Desigualdade de Hölder Generalizada). Sejam1 ≤ p1, p2, . . . , pn ≤ ∞ tais que_p1

1+

1

p2+· · ·+

1

pn =

1

r ≤1. Sefi ∈Lpi(Ω)parai= 1, . . . , n, entãof := n

Y

i=1

fi ∈Lr(Ω)

e

kfkr ≤ n

Y

i=1

Lema 1.9 (Desigualdade de Gronwall). Sejam α _≥ 0 uma constante, β _∈ L1_{(a, b) e}

φ _∈L∞_{(a, b)tais queβ >0eφ≥0. Se}

φ(t)_≤α+

Z b

a

β(s)φ(s)ds, a_≤t_≤b,

então

φ(t)≤αeRabβ(s)ds, a≤t ≤b.

Lema 1.10(Desigualdade de Young). Sejam1< p, q <_∞com 1_p +1_q = 1.Então,

ab_≤ a

p

p + bq

q, ∀a, b≥0.

Lema 1.11 (Desigualdade de Young comǫ). Sejam1 < p, q <_∞com 1_p + 1

q = 1eǫ > 0 qualquer. Então,

ab≤ǫap+C(ǫ)bq, ∀a, b≥0,

ondeC(ε) = (ǫp)−q/p_q−1_.

Observação1.12. Quandop=q = 2,a desigualdade de Young comǫ >0se reduz à

ab_≤ǫa2+ 1 4ǫb

2_,

∀a, b_≥0.

1.2

Potências fracionárias de operadores lineares

Nesta seção, resumimos a construção de operadores lineares não limitados associados a uma forma bilinear e comentamos um pouco sobre os operadores com potência fracionária. Para maiores informações, sugerimos os trabalhos de Temam [42] ou Kreyszig [25].

Sejam(V,|| · ||V,(·,·)V)e(H,|| · ||H,(·,·)H)dois espaços de Hilbert tais queV é denso em H e V ֒→֒→ H. Denotamos por V′ _{o dual de V e por h·,·i a dualidade entre V}′ _e

V. IdentificandoH com seu dual, usando o Teorema da representação de Riesz, obtemos a

seguinte cadeia de inclusões

V ֒_→H ∼=H′ _֒→V′_.

Considerando uma forma bilinear contínua a(·,·) : V ×V → R_, definimos um operador linearA:V →V′_{dado por}

hAu, v_i=a(u, v), _∀u, v _∈V

e com domínio definido por

1.2 Potências fracionárias de operadores lineares 11

Da teoria de análise funcional (ver Temam [42, Capítulo 2]) observamos que, sea(_·,_·)é uma forma bilinear contínua, coerciva e simétrica, então o operador linearA:D(A)_⊂H _→ Hé fechado, não limitado, positivo definido, autoadjunto e é um isomorfismo. Além disso, se o domínio D(A) tem como norma _ku_kD(A) = kAukH (equivalente a norma do gráfico ku_k2

G =kuk2H +kAuk2H), entãoD(A)é um espaço de Hilbert denso emH.

Observação1.13. Um exemplo de uma forma bilinear satisfazendo as propriedades acima é

dada pelo produto interno(_·,_·)V emV. Assim, o operador A : D(A) ⊂ H → H definido anteriormente é tal que

(Au, v)H = (u, v)V, ∀u∈D(A), ∀v ∈V.

Como o operador A satisfaz algumas propriedades e V ֒→֒→ H, então, da teoria

espectral (ver por exemplo Yosida [49]), existe uma base ortonormal completa_{wj}j∈N de

He uma sequência de números reais{λj}j∈Ntais que

0< λ1 ≤λ2 ≤ · · · com λj → ∞ quando j → ∞,

wj ∈D(A) e Awj =λjwj, ∀j ∈N,

(wi, wj)H =δij e a(wi, wj) = λiδij, ∀i, j ∈N,

ondeδij é o delta de Kronecker.

Considerando as hipóteses e a base _{wj}j∈N mencionadas acima, podemos definir os operadores com potências fracionárias As_{, s ∈ R, do operador A e caracterizar os} operadoresAs_{em termos da base{w}

j}j∈N.

Para s > 0, o operador As _{: D(A}s_{) ⊂ H → H é um operador linear não limitado,} positivo definido, autoadjunto e injetivo, cujo domínioD(As_{)é denso emH e, munido com} o produto interno e norma

(u, v)D(As₎ = (Asu, Asv)_H e kuk_D(As₎=kAsuk_H,

D(As_{) é um espaço de Hilbert. Além disso, D(A}−s_{) é definido como o dual de D(A}s_{) e} o operadorAs _{pode ser extendido como um isomorfismo deH em D(A}−s_{). Em D(A}−s_), consideramos o produto interno e norma como acima substituindospor−s.

Usando que V ֒→֒→ H, podemos definir As_{, paras > 0,em termos da base {w} j}j∈N por

Asu=

∞

X

j=1

λs_j(u, wj)Hwj, ∀u∈D(As),

onde

D(As) =

( u∈H

∞

X

j=1

λ2js|(u, wj)H|2 <∞

Neste caso, a norma emD(As_{)pode ser reescrita como}

ku_kD(As₎ =

∞

X

j=1

λ2_js_|(u, wj)H|2

!1/2

, _∀u_∈D(As).

SejamX, Y espaços de Hilbert tais queX ֒_→֒_→Y e

X :=V =D(A1/2), Y :=H =D(A0), a(u, v) = ((u, v))X.

Então, os espaços D(As_{), para s ∈ [0,1/2], são espaços intermediários entre X e Y} chamados deespaços de interpolação. Escrevemos

D(A(1−θ)/2) = [X, Y]θ, ∀θ ∈[0,1],

que é um espaço de Hilbert munido do produto interno

((u, v))[X,Y]θ = ((A

(1−θ)/2_{u, A}(1−θ)/2_v))

Y.

e sua norma satisfaz

ku_k[X,Y]θ ≤c(θ)kuk

1−θ

X kukθY, ∀u∈X, ∀θ ∈[0,1].

1.3

Sistemas dinâmicos e atratores globais

Nesta seção fazemos um apanhado das principais definições e resultados sobre sistemas dinâmicos definidos por um semigrupo fortemente contínuo de um espaço de BanachX. A apresentação da teoria pode ser encontrada em clássicos como Babin & Vishik [5], Hale [20] e Temam [42]. Aqui, seguimos mais de perto os trabalhos recentes de Chueshov & Lasiecka [11, 13].

Definição 1.14. Uma família de operadores não necessariamente lineares _{S(t)}t≥0,

fortemente contínua emX, é chamada deC0-semigrupo (não linear)se:

(i) S(0) =I (operador identidade deX);

(ii) S(t+s) = S(t)S(s) para cada t, s _≥0;

(iii) A aplicação[0,_∞)_×X _∋(t, x)_7→S(t)(x)_∈X é contínua para cadax_∈Xfixado.

1.3 Sistemas dinâmicos e atratores globais 13

Definição 1.15. Seja(X, S(t))um sistema dinâmico. Dizemos que um subconjunto_{A ⊂} X

é invariante (oupositivamente invariante ) pelo semigrupo S(t), quando S(t)_A = _A (ou

S(t)_{A ⊂ A}) para todot_≥0.

Definição 1.16. Seja (X, S(t)) um sistema dinâmico. Um conjunto fechado e limitado A ⊂Xé chamado deatrator globalde(X, S(t))quando:

(i) Aé um conjunto invariante porS(t);

(ii) A atrai (uniformemente)qualquer subconjunto limitado de X sob a ação deS(t),ou

seja, para qualquer limitadoB ⊂X,

distH(S(t)B,A) := sup x∈S(t)B

inf

y∈Ad(x, y) → 0 quando t→+∞.

onde distH(A, B) é chamada de semi-distância de Hausdorff entre os subconjuntos

A, B _⊂X.

Definição 1.17. Seja (X, S(t))um sistema dinâmico. Um conjunto _{B ⊂} X é chamado de

conjunto absorvente de (X, S(t)) se, para qualquer subconjunto limitado B _⊂ X, existe

T0 =T0(B)≥0tal que

S(t)B _{⊂ B}, _∀t_≥T0.

Quando um sistema dinâmico (X, S(t)) possui um conjunto absorvente limitado, dizemos

que(X, S(t))é umsistema dinâmico dissipativo.

Definição 1.18. Um sistema dinâmico(X, S(t))éassintoticamente compactose existe um conjunto atrator compactoK. Isto é, para cada conjunto limitadoB deX,

lim

t→∞dX{S(t)B, K}= 0,

ondedX{A, D}= supx∈AdistX(x, D), comA, D ⊂ X.

O resultado seguinte é bem conhecido.

Teorema 1.19([35], Teorema 2.19). Um sistema dinâmico dissipativo(X, S(t))possui um

atrator global compacto_{A ⊂} Xse, e somente se, é assintoticamente compacto. Além disso,

temos a caracterização

A=ω(B),

ondeω(B)denota o conjuntoω-limite de_B, onde_Bé qualquer conjunto absorvente.

Definição 1.20. Um sistema dinâmico(X, S(t))éassintoticamente regularse, para qualquer conjunto limitado e positivamente invarianteB _⊂X, existe um conjunto compactoK _⊂BX

tal que

lim

t→∞dX{S(t)B, K}= 0.

Para sistemas dissipativos, como apontado em Chueshov & Lasiecka [13, Prop. 7.1.4], os conceitos de compacidade assintótica e regularidade assintótica são equivalentes. O próximo resultado será usado neste trabalho.

Teorema 1.21 ([13], Teorema 7.1.11). Seja (X, S(t))um sistema dinâmico. Suponhamos

que para algum conjunto limitado positivamente invariante B _⊂ X e para algum ε > 0,

existaT =T(ε, B)tal que

kS(T)z1_−S(T)z2_k

X ≤ε+φT(z1, z2), ∀z1, z2 ∈B,

ondeφT :B×B →Rsatisfaz

lim inf

n→∞ lim infm→∞ φT(z

n_{, z}m_{) = 0, (1.2)}

para alguma sequência (zn_{) em B. Então, (X, S(t)) é um sistema dinâmico}

assintoticamente regular. Se, além disso,(X, S(t))é dissipativo, então o sistema é também

assintoticamente compacto.

1.4

Dimensão fractal e atratores exponenciais

O objetivo desta seção é apresentar resultados sobre dimensão fractal de atratores e sobre a existência de atratores exponenciais. Para tal, vamos trabalhar com a definição de quasi-estabilidade. As definições e resultados encontram-se em Chueshov & Lasiecka ([13], Capítulo 7).

Definição 1.22. Seja_A um subconjunto compacto de um espaço métrico X. A dimensão

fractalde_A, denotada por dimfA, é definida por

dimfA= lim ε→0sup

lnn(A, ε) ln(1/ε) ,

onden(_A, ε)é o número mínimo de bolas fechadas de raioεnecessário para cobrir_A.

1.4 Dimensão fractal e atratores exponenciais 15

No que segue, vamos definir o conceito de quasi-estabilidade. SejamX, Y, Z espaços de Banach reflexivos comX ֒_→֒_→ Y eH = X_×Y _×Z. Consideremos o sistema dinâmico (H, S(t))dado pelo operador de evolução

S(t)z = (u(t), ut(t), ξt), z = (u0, u1, ξ0)∈H, (1.3)

e satisfazendo

u∈C(R+_;X)∩C1₍R+_{;Y), ξ∈C(}R+_;Z). (1.4)

Definição 1.24. Dizemos que o sistema dinâmico (H, S(t)) definido por (1.3) é

quasi-estável sobre um conjunto B _⊂ H se existem uma seminorma compacta nX(·) sobre X

e funções não negativasa(t), b(t), c(t) sobre R+, onde _{a(t), c(t)} são localmente limitadas em[0,_∞)eb(t)_∈L1_(R+_{)com lim}

t→∞b(t) = 0, tais que

kS(t)z1₋S(t)z2_kH2 _≤a(t)_kz1₋z2_k2_H (1.5)

e

kS(t)z1₋S(t)z2_k2_{H ≤}b(t)_kz1 ₋z2_k2_H +c(t) sup

0≤s≤t

[nX(u1(s)−u2(s))]2 (1.6)

parat >0ezi _{∈B, ondez}i _{= (u}i

0, ui1, ξ0i),i= 1,2.

Teorema 1.25([13], Teorema 7.9.6). Seja(H, S(t))um sistema dinâmico dado por(1.3)e

satisfazendo a regularidade(1.4). Se (H, S(t)) possui um atrator global compacto _A e é

quasi-estável sobre_A, então o atrator_Apossui dimensão fractal finita.

Definição 1.26. Dizemos que um conjunto compacto_Aexp ⊂Hé umatrator exponencialde um sistema dinâmico(H, S(t))se_Aexp é positivamente invariante, possui dimensão fractal finita, e para todo conjunto limitado B _⊂ H, existem constantes positivastB, CB, σB tais que

dH{S(t)B,Aexp} ≡sup

z∈B

distH(S(t)z,Aexp)≤CBe−σB(t−tB), t≥tB.

Indicamos os trabalhos de Eden et al [15] e Miranville & Zelik [35] para uma abordagem mais completa. Em muitos caso, para problemas hiperbólicos fracamente dissipativos, é difícil verificar que _Aexp possui dimensão fractal finita. Entretanto, a quasi-estabilidade oferece uma maneira simples de obtermos um atrator exponencial _Aexp cuja dimensão é finita em um espaço (possivelmente) maior He ⊇ H. Neste caso, dizemos que Aexp é um atrator exponencial generalizado.

Teorema 1.27([13], Teorema 7.9.9). Seja(H, S(t))o sistema dinâmico definido por(1.3)

sobre algum conjunto absorvente _B e que existe um espaço He _⊇ H tal que a aplicação

t _7→S(t)zé Hölder contínua emHe para cadaz _{∈ B},isto é, existem0< α_≤1eCB,T >0

tais que

kS(t2)z−S(t1)zkHe ≤ CB,T|t2 −t1| α_{, t}

1, t2 ∈[0, T], z ∈ B. (1.7)

Então, o sistema dinâmico (H, S(t)) possui um atrator exponencial (generalizado) com

dimensão finita no espaçoHe.

1.5

Uma caracterização do atrator global

Nesta seção, apresentamos uma outra caracterização do atrator global por meio do conceito de variedade instável.

Definição 1.28. Seja_N o conjunto dos pontos estacionários do sistema dinâmico(X, S(t)), isto é,

N =_{z _∈X;S(t)z =z, _∀t _≥0_}.

A variedade instável M_+(N) emanando de_N é um subconjunto de _X tal que, para cada

z ∈M_+(N), existe uma trajetória_{γ ={}u(t)t∈R}satisfazendo

u(0) =z e lim

t→−∞distH(

u(t),N) = 0.

Definição 1.29. Dizemos que um sistema dinâmico (X, S(t)) é gradiente se existe um funcional de Lyapunov estrito sobreX, isto é, existe um funcional contínuoΨ(z)tal que:

(i) t _7→Ψ(S(t)z)é não-crescente para algumz _∈X;

(ii) Sez ∈X eΨ(S(t)z) = Ψ(z), para todot >0, entãoS(t)z =z, para todot >0.

A estrutura de um atrator global para um sistema gradiente é estabelecido no seguinte resultado.

Teorema 1.30([13], Teorema 7.5.6). Seja_N o conjunto de pontos estacionários do sistema

dinâmico(X, S(t)). Suponhamos que(X, S(t))possui um atrator global compacto _A. Se

C

2

Um problema quasilinear

viscoelástico com história

Neste capítulo, estudamos a boa colocação (no sentido de Hadamard) do problema misto correspondente à equação (1). Devido ao termo de memória, tal problema misto é não autônomo. Isso foi observado anteriormente nos trabalhos pioneiros de Giorgi et al [18, 19] e Pata & Zucchi [38]. Para trabalhar num contexto de sistemas autônomos, seguindo um argumento de Dafermos [14], eles introduziram uma nova variável

η=u(x, t)₋u(x, t₋s)

ao problema. A formulação precisa do novo problema com variávelηé discutida na próxima

seção. O nosso resultado principal é o Teorema 2.2.

2.1

O problema com história

Adotamos o mesmo procedimento apresentado por Giorgi et al [19] e Pata & Zucchi [38]. SejaΩum domínio limitado deRN,_{N ≥1}, com fronteira regular_Γ. Seja_ηo_deslocamento

relativo da históriado sistema, definido por

η=ηt(x, s) = u(x, t)₋u(x, t₋s), (x, s)_∈Ω_×R+_{, t≥0.} (2.1)

Derivando formalmente em relação atesobtemos

η_tt(x, s) =−ηt_s(x, s) +ut(x, t), (x, s)∈Ω×R+, t≥0.

Para essa equação definimos a condição inicial (t= 0)

η0(x, s) =u0(x,0)−u0(x,−s), (x, s)∈Ω×R+,

ondeu0(x, t)parat ≤0é prescrito.

Assim, o termo original da memória é reescrito como

Z t

−∞

µ(t₋s)∆u(s)ds =

Z ∞

0

µ(s)∆u(t₋s)ds

=

Z ∞

0

µ(s)ds

∆u−

Z ∞

0

µ(s)∆ηt(s)ds,

e a equação (1)

|ut|ρutt−α∆u−∆utt+

Z t

−∞

µ(t₋s)∆u(s)ds₋γ∆ut+f(u) = h,

torna-se

|ut|ρutt−

α−

Z ∞

0

µ(s)ds

∆u−∆utt−

Z ∞

0

µ(s)∆ηt(s)ds−γ∆ut+f(u) = h.

Por simplicidade, vamos considerar

α₋ Z ∞

0

µ(s)ds= 1.

Consequentemente, o sistema correspondente à equação (1) se escreve como

|ut|ρutt−∆u−∆utt−

Z ∞

0

µ(s)∆η(s)ds−γ∆ut+f(u) =h, emΩ×R+, (2.2)

2.2 Primeiro teorema: boa colocação e estabilidade 19

com condições de fronteira

u= 0 sobre Γ×R+_{, η = 0} sobre _Γ×R+_×R+ (2.4) e dados iniciais

u(x,0) =u0(x), ut(x,0) =u1(x), ηt(x,0) = 0, η0(x, s) =η0(x, s), (2.5)

onde _

    

    

u0(x) = u0(x,0), x∈Ω,

u1(x) = ∂tu0(x, t)|t=0, x∈Ω,

η0(x, s) =u0(x,0)−u0(x,−s), (x, s)∈Ω×R+.

A seguir, vamos apresentar nossos resultados para o sistema (2.2)-(2.5), que é autônomo.

2.2

Primeiro teorema: boa colocação e estabilidade

Vamos apresentar as hipóteses do nosso primeiro resultado. Com relação ao termo |ut|ρutt, assumimos que

ρ >0 seN = 1,2 e 1< ρ≤ 2

N ₋2 seN ≥3. (2.6)

Assim, vale a imersão

H₀1(Ω)֒_→L2(ρ+1)(Ω).

A condição (2.6) é considerada em todos os artigos relacionados à equação (3). Com respeito af :R_→R, assumimos que

|f(u)₋f(v)_{| ≤}c0(1 +|u|p+|v|p)|u−v|, ∀u, v ∈R, (2.7)

ondec0 >0,

0< p_≤ 2

N ₋2 se N ≥3 e p > 0 se N = 1,2. (2.8) Assumimos também que

f(u)u_≥fˆ(u)_≥0, _∀u_∈R_, (2.9)

ondefˆ(z) = R₀zf(s)ds. As hipóteses (2.7) e (2.9) incluem termos não-lineares da forma

f(u)_{≈ |}u_|pu+_|u_|αu, 0< α < p.

Agora, com respeito ao termo de memória, assumimos que

e que existemk0, k1 >0tais que

Z ∞

0

µ(s)ds=k0, (2.11)

e

µ′(s)≤ −k1µ(s), ∀s∈R+. (2.12)

Neste momento, precisamos definir um espaço com peso para a variávelη. Seja

M=L2_µ(R+_;H1

0(Ω)) =

ξ :R+_→H1

0(Ω)

Z ∞

0

µ(s)k∇ξ(s)k2

2ds <∞

.

Este espaço é de Hilbert quando munido de produto interno e norma

(ξ, ζ)M =

Z ∞

0

µ(s)

Z

Ω

∇ξ(s)∇ζ(s)dx

ds e kξk2

M =

Z ∞

0

µ(s)k∇ξ(s)k2 2ds

respectivamente. Consideremos o espaço de fase (dos dados iniciais)

H=H₀1(Ω)×H₀1(Ω)× M, (2.13)

o qual é natural com respeito as soluções fracas.

Definição 2.1. Com os dados iniciais (u0, u1, η0) ∈ H e h ∈ L2(Ω), uma função z =

(u, ut, η) ∈ C([0, T],H) é uma solução fraca de (2.2)-(2.5) se satisfaz a condição inicial

z(0) = (u0, u1, η0)e

(_|ut(t)|ρutt(t), ω) + (∇u(t),∇ω) + (∇utt(t),∇ω)

+

Z ∞

0

µ(s) ∇ηt(s),∇ωds+ (f(u(t))−h, ω) = 0,

∂tηt+∂sηt, ξ

M = (ut(t), ξ)M,

para todoω _∈H1

0(Ω),ξ∈ M, et ∈[0, T]quase sempre.

A energia do sistema é definida por

E(t) = 1

ρ+ 2kut(t)k ρ+2

ρ+2+

1

2k∇u(t)k

2 2+

1

2k∇ut(t)k

2 2+

1 2kη

t k2M

+

Z

Ω

ˆ

f(u(t))dx₋ Z

Ω

2.3 Prova do teorema: boa colocação 21

Teorema 2.2. Suponhamos que as hipóteses(2.6)-(2.12)sejam válidas eγ _≥0. Temos: (i)Se os dados iniciais(u0, u1, η0)∈ Heh∈L2(Ω), então o problema(2.2)-(2.5)tem uma

solução fraca

(u, ut, η)∈C([0, T],H), ∀T >0, (2.15)

satisfazendo

u∈L∞(R+_;H1

0(Ω)), ut∈L∞(R+;H01(Ω)),

utt ∈L2([0, T];H01(Ω)), η∈L∞(R+;M).

(ii)Seρ > 1, então as soluções fracas dependem continuamente dos dados iniciais em_H.

Em particular, o problema(2.2)-(2.5)tem unicidade.

(iii)Seh= 0, então a energia do sistema satisfaz

E(t)≤KE(0)e−νt, t≥0, (2.16)

ondeK, ν >0dependem deE(0).

Observação2.3. (i) Admitimos a hipótese ρ > 1 para obtermos a unicidade de soluções.

Isto torna_|ut|ρlocalmente Lipschitz, que é essencial em nossos argumentos.

(ii)Na demonstração do decaimento exponencial da energia, não pedimosρ >1ouγ >0. Logo, o decaimento é provado para a solução obtida no item (i). Notamos que a taxa de decaimento só é uniforme em conjuntos limitados de_H.

2.3

Prova do teorema: boa colocação

Aplicamos aqui o método de Faedo-Galerkin, que em linhas gerais, é descrito em Lions [26] por meio de vários exemplos. Combinamos os argumentos desenvolvidos em Cavalcanti et al [8], Han & Wang [22] e Pata & Zucchi [38].

2.3.1

Existência global

Seja_{ωj}∞j=1 a base de auto-funções de−∆u = λu emΩ, com condições de fronteira

de Dirichlet. Então, sabemos que essa base é ortonormal emL2_{(Ω)e ortogonal em H}1 0(Ω).

Além disso, _

   

−∆ωj =λjωj , x∈Ω

ωj = 0 , x∈Γ

ondeλj ≥0,∀j ∈Neλi 6=λj parai6=j.

Agora, vamos construir uma base ortonormal_{ξj}∞j=1 paraM =L2µ(R+;H01(Ω)). Para

tal, usaremos um raciocínio semelhante ao de Pata & Zucchi [38]. Sejam_{hj}∞j=1 uma base

ortonormal deL2

µ(R+)∩C0∞(R+)e{ωˆj}∞j=1tal queωˆj = _k∇ω_ωj_jk2,∀j ∈N. Paraξi =hpωˆke

ξj =hqωˆl, obtemos:

(ξi, ξj)M =

Z ∞

0

µ(s)

Z

Ω∇

ξi∇ξjdx

ds

=

Z ∞

0

µ(s)hp(s)hq(s)

Z

Ω∇

ˆ

ωk∇ωˆldx

ds

= δpqδkl

= δij.

Logo,_{ξj}∞j=1 é uma base ortonormal deMeξj ∈C0∞(R+;H01(Ω)),∀j ∈N.

Problema Aproximado:

Para cadam_∈N, consideremos os subespaços

Span_{ω1, ..., ωm} ⊂H01(Ω) e Span{ξ1, ..., ξm} ⊂ M.

Para os dados iniciais(u0, u1, η0)∈ H, procuramos por soluções aproximadas

um(t) = m

X

j=1

ymj(t)ωj e ηt,m(s) = m

X

j=1

gmj(t)ξj(s)

tais que

(_|um_t (t)_|ρum_tt(t), ωj)−(∆um(t), ωj)−(∆umtt(t), ωj)

+(ηt,m_{(t), ω}

j)M−(γ∆umt (t), ωj) + (f(um(t)), ωj) = (h, ωj), (2.17) (ηtt,m, ξj)M =−(ηst,m, ξj)M+ (umt (t), ξj)M, (2.18)

para1_≤j _≤m, com condições iniciais

um(0) =um0 , umt (0) =um1 , η0,m=ηm0 , (2.19)

ondeum

0 , um1 , η0msão escolhidos de forma que

um_{0 →}u0 emH01(Ω), um1 →u1 emH01(Ω), η 0,m

0 →η0emM. (2.20)

2.3 Prova do teorema: boa colocação 23

como mostrado com detalhes em Han & Wang [22]. A seguir, estimativas a priori mostrarão que as soluções locais(um_{(t), η}t,m_{)podem ser extendidas ao intervalo[0,∞).}

Primeira Estimativa: Multiplicando a equação (2.17) por y′

mj(t) e a equação (2.18) por

gmj(s)e somando em relação aj de1atém, obtemos

(_|um_t (t)_|ρum_tt(t), um_t (t))₋(∆um(t), um_t (t))₋(∆um_tt(t), um_t (t)) + (ηt,m(t), um_t (t))M

−(γ∆um_t (t), um_t (t)) + (f(um(t)), um_t (t)) = (h, um_t (t))(2.21) (η_tt,m, ηt,m)M =−(ηt,ms , ηt,m)M+ (umt (t), ηt,m)M (2.22)

Definimos a energia aproximada por

Em(t) = 1

ρ+ 2ku m

t (t)kρρ+2+2+

1 2k∇u

m_(t)k2 2+

1 2k∇u

m

t (t)k22+

1 2kη

t,m_k2

M

+

Z

Ω

ˆ

f(um(t))dx−

Z

Ω

hum(t)dx.

Então, somando as duas equações acima e observando que

1

ρ+ 2

d dtku

m t (t)k

ρ+2

ρ+2 = (|umt (t)|ρumtt(t), umt (t)), 1

2

d dtk∇u

m_(t)

k22 = −(∆um(t), umt (t)), 1

2

d dtk∇u

m

t (t)k22 = −(∆umtt(t), umt (t)), 1

2

d dtkη

t,m

k2M = (η

t,m

t , ηt,m)M,

d dt

Z

Ω

ˆ

f(um(t))dx = (f(um(t)), um_t (t)),

d dt

Z

Ω

hum(t)dx = (h, um_t (t)),

obtemos:

d dtE

m_{(t) +γ}

k∇um_t (t)_k2₂ =₋(η_st,m, ηt,m)M.

Por outro lado, comoµ∈L1_(R+_),ηt,m_{(0) = 0eµ}′ _{≤0, então}

(η_st,m, ηt,m)M =

1 2 Z Ω Z ∞ 0

µ(s) d

ds|∇η

t,m_(s) |2ds

dx

= ₋1

2

Z

Ω

Z ∞

0

µ′(s)_|∇ηt,m(s)_|2ds dx +1 2 Z Ω Z ∞ 0 d

ds(µ(s)|∇η

t,m_(s) |2)ds

dx

= ₋1

2

Z

Ω

Z ∞

0

µ′(s)_|∇ηt,m(s)_|2ds

Logo,

d dtE

m_{(t) +γ}

k∇um_t (t)_k2₂ = 1 2

Z

Ω

Z ∞

0

µ′(s)_|∇ηt,m(s)_|2ds

dx _≤0. (2.24)

Integrando de0ata desigualdade acima obtemos

Em(t) +γ Z t

0

k∇um_t (s)k2

2ds≤Em(0),

ou equivalentemente,

1

ρ+ 2ku m t (t)k

ρ+2

ρ+2+

1 2k∇u

m_(t)k2 2+

1 2k∇u

m

t (t)k22+

1 2kη

t,m_k2

M

+

Z

Ω

ˆ

f(um(t))dx+γ Z t

0 k∇

um_t (s)_k2₂ds _≤Em(0) +

Z

Ω

hum(t)dx.

Usando as hipóteses sobre_fˆ_{ef e as desigualdade de Hölder e Young temos}

Em(0)≤C(kum₁ kρρ+2+2+k∇um0 k22+k∇um1 k22 +kηm0 k2M+kum0 k

p+1

p+1+khk22),

que por sua vez é limitada pelos dados(u0, u1, η0, h)devido a (2.20).

Notemos também que _Z

Ω

ˆ

f(um(t))dx ≥0

e _Z

Ω

hum(t)dx≤ 1

λ1k

hk2 2+

1 4k∇u

m_(t)k2 2.

Logo,

1

ρ+ 2ku m t (t)k

ρ+2

ρ+2+

1 2k∇u

m_(t) k22+

1 2k∇u

m

t (t)k22+

1 2kη

t,m

k2M+γ

Z t

0 k∇

um_t (s)_k2₂ds

≤Em(0) + 1

λ1k

h_k2₂+1 4k∇u

m_(t) k22.

Por (2.20), obtemos

1

ρ+ 2||u m t (t)||

ρ+2

ρ+2+

1 4||∇u

m_(t) ||22+

1 2||∇u

m t (t)||22

+1 2||η

t,m

||2M+γ

Z t

0 ||∇

um_t (s)_||2₂ds_≤C,

onde

C =C(_ku1kρ+2,k∇u0k2,k∇u1k2,kη0kM,khk2).

Assim,

kum t (t)k

ρ+2

2.3 Prova do teorema: boa colocação 25

ondeD1 depende apenas dos dados iniciais e independe detem. Com a estimativa acima

concluímos que

um(t)é limitado emL∞(R+_;H1

0(Ω)),

um_t (t)é limitado emL∞(R+_{, H}1

0(Ω)),

ηt,m_{(s)é limitado emL}∞_(R+_;M).

Segunda Estimativa:Multiplicando a equação (2.17) pory′′

mj(t)e somando em relação aj de1atém, obtemos

(|um_t (t)|ρ_,|um

tt(t)|2) + (∇um(t),∇umtt(t)) +k∇umtt(t)k22+ (ηt,m(s), umtt(t))M

+γ(_∇um_t (t),_∇um_tt(t)) + (f(um(t)), um_tt(t)) = (h, um_tt(t)),

ou seja,

(|um_t (t)|ρ_,|um

tt(t)|2) +k∇umtt(t)k22+

γd

2dtku

m

t (t)k22 = (h, umtt(t))−(f(um(t)), umtt(t)) −(∇um(t),∇um_tt(t))−(ηt,m(s), um_tt(t))M.

Note que, usando as desigualdades de Hölder e Young, e tomandoCs como constantes de imersão de Sobolev,

(ηt,m_{(s), u}m

tt(t))M ≤

Z ∞

0

µ(s)_k∇ηt,m_(s)k

2k∇umtt(t)k2ds

≤

Z ∞

0

µ(s)

ǫ0k∇ηt,m(s)k22+

1 4ǫ0k∇

um_tt(t)k2 2

ds

= ǫ0kηt,m(s)k2M+

k0

4ǫ0k∇

um_tt(t)_k2₂ (_∇um(t),_∇um_tt(t)) _{≤ k∇}um(t)_k2_2k∇um_tt(t)_k2₂

≤ ǫ1k∇um(t)k22+

1 4ǫ1k∇

um tt(t)k22

(h, um_tt(t)) _≤ ǫ2khk22+

1 4ǫ2k

um_tt(t)_k2₂

≤ ǫ2khk22+

Cs 4ǫ2k∇

um tt(t)k22

(f(um(t)), um_tt(t)) _≤ ǫ3kf(um(t))k22+

1 4ǫ3k

um_tt(t)_k2₂

≤ ǫ3kc0|um(t)|p+1k22 +

1 4ǫ3k

um_tt(t)k2 2

≤ ǫ3(c0)2kum(t)k2(₂₍p_p+1)₊₁₎+

Cs 4ǫ3k∇

um_tt(t)_k2₂

≤ ǫ3(c0)2(Cs)2(p+1)k∇um(t)k2(2 p+1)+

Cs 4ǫ3k∇

Substituindo e colocandoǫ0 = 2k0, ǫ1 = 2, ǫ2 =ǫ3 = 2Cs

(|umt (t)|ρ,|umtt(t)|2) + 1 2k∇u

m

tt(t)k22+

γd

2dtku

m t (t)k22

≤ 2Cskhk22+ 2Cs(c0)2(Cs)2(p+1)k∇um(t)k2(2 p+1)

+ 2_k∇um(t)_k2₂+ 2k0kηt,m(s)k2M

≤βDp₁+1

Agora, integrando de0attemos

Z t

0

(_|um_t (s)_|ρ,_|um_tt(s)_|2)ds+1 2

Z t

0 k∇

um_tt(s)_k2₂ds+ γ 2

Z t

0

d dsku

m

t (s)k22ds≤βD

p+1 1

Z t

0

ds

e, assim,

Z t

0 k∇

um_tt(s)_k2₂ds+_kum_t (s)_k2_{2 ≤} 2

min(1, γ) βD p+1

1 t+kum1 k22

, Z t

0 k∇

um_tt(s)_k2₂ds _≤ D2, t ∈[0, T],

ondeD2 depende deT e dos dados iniciais, mas não dem. Portanto,

(um_tt)é limitada emL2(0, T;H₀1(Ω)). (2.25)

Terceira Estimativa:Observando o termo não linear temos

k|um_t (t)_|ρum_t (t)_k2₂ = _kum_t (t)_k2(₂₍ρ_ρ+1)₊₁₎ ≤ Csk∇umt (t)k

2(ρ+1) 2

≤ CsDρ1+1, t≥0.

Então,

(_|um_t (t)_|ρum_t (t))é limitada emL∞(0, T;L2(Ω)).

Conclusão:Com as estimativas a priori obtidas acima, podemos passar ao limite as soluções

aproximadas e garantir a existência de uma solução global fraca satisfazendo os dados iniciais. Detalhes podem ser encontrados em Cavalcanti et al [8] e Han & Wang [22].

2.3 Prova do teorema: boa colocação 27

2.3.2

Dependência contínua dos dados

Nesta seção, provamos uma das nossas principais contribuições.

Sejam(u, η)e(v, ξ)duas soluções fracas de (2.2)-(2.5) com respeito aos dados iniciais {u0, u1, η0, h1} e{v0, v1, ξ0, h2} respectivamente. Sejamw = u−v eζ = η−ξ. Então,

(w, ζ)é uma solução fraca de

|ut|ρwtt−∆w−∆wtt−

Z ∞

0

µ(s)∆ζ(s)ds

−γ∆wt+ (|ut|ρ− |vt|ρ)vtt+f(u)−f(v) =h1−h2, (2.26)

ζt =−ζs+wt, (2.27)

com a condição de fronteira de Dirichlet e a condições iniciais

w(0) =u0−v0, wt(0) =u1−v1, ζ0 =η0−ξ0.

Para este problema definimos, o funcional energia

F(t) = 1 2

Z

Ω|

ut(t)|ρ|wt(t)|2dx+ 1

2k∇w(t)k

2 2+

1

2k∇wt(t)k

2 2+

1 2kζ

t

k2M. (2.28)

Para simplificar as notações, consideremos que a norma dos dados iniciais são limitadas para algumR >0. Então, dadoT >0usamosCRT para denotar as constantes positivas que dependem deReT. Assim, o funcionalF(t)é de fato equivalente a norma deH, pois como

Z

Ω|

ut|ρ|wt|2dx≤ kutkρρ+2kwtk2ρ+2 ≤CRTk∇wt(t)k22,

então 1

2k(w(t), wt(t), ζ t_)k2

H≤F(t)≤min

1 2, CRT

k(w(t), wt(t), ζt)k2H. (2.29)

Agora, vamos multiplicar a primeira equação porwte a segunda porζ. Logo, concluímos que

Z

Ω|

ut|ρwttwtdx+ 1 2

d

dtk∇wk

2 2+

1 2

d

dtk∇wtk

2 2+

1 2

d dtkζ

t k2M

=−

Z

Ω

(|ut|ρ− |vt|ρ)vttwtdx−

Z

Ω

(f(u)−f(v))wtdx

−γ_k∇wtk22−(ζt, ζst)M+

Z

Ω

(h1−h2)wtdx.

Usando a hipóteseρ >1, vemos quex7→ |x|ρ_{é diferenciável. Assim,}

1 2 d dt Z Ω|

ut|ρw2tdx=

Z

Ω|

ut|ρwttwtdx+

ρ

2

Z

Ω|

e, portanto,

d

dtF(t) = ρ

2

Z

Ω|

ut|ρ−2ututtwt2dx−

Z

Ω

(_|ut|ρ− |vt|ρ)vttwtdx

−

Z

Ω

(f(u)₋f(v))wtdx−γk∇wtk22−(ζ, ζs)M+

Z

Ω

(h1−h2)wtdx.

Neste momento, vamos estimar o lado direito da igualdade acima. Comoρ >1e

ρ >0 seN = 1,2 e 1< ρ_≤ 2

N₋2 seN ≥3,

por hipótese em (2.6), entãoN = 1,2,3. LogoH1

0(Ω)⊂L6(Ω). Observando que

ρ₋1 2(ρ+ 1) +

1

ρ+ 1 + 1 2 = 1,

obtemos da desigualdade de Hölder generalizada que

ρ

2

Z

Ω|

ut|ρ−1uttwt2dx ≤

ρ

2kutk ρ−1

2(ρ+1)kuttkρ+1kwtk 2 4

≤ CRTk∇uttk2k∇wtk22.

Notemos que, usando o Teorema do Valor Médio com 0 ≤ θ ≤ 1 e a desigualdade (a+b)k _≤2k_(ak_+bk_{), paraa, b, k >0, obtemos:}

_|ut|ρ− |vt|ρ

_≤ ρ(1₋θ)_|ut| −θ|vt|

ρ−1

ut−vt

≤ ρ|ut|+|vt|

ρ−1

wt

≤ ρ2ρ−1_|ut|ρ−1+|vt|ρ−1

wt . Assim, − Z Ω

(|ut|ρ− |vt|ρ)

vtt wt dx ≤ Z Ω

_|ut|ρ− |vt|ρ

vtt wt dx ≤ Z Ω

ρ 2ρ−1_|ut|ρ−1 +|vt|ρ−1

wt vtt wt dx

= ρ2ρ−1

Z

Ω|

ut|ρ−1

vtt wt 2 dx + Z Ω|

vt|ρ−1

vtt wt 2 dx

≤ ρ2ρ−1_kutk₂₍ρ−_ρ1₊₁₎+kvtkρ₂₍−_ρ1₊₁₎

kvttkρ+1kwtk24

≤ CRTk∇vttk2k∇wtk22.

Os termos restantes são fáceis de estimar. De fato,

−

Z

Ω

(f(u)−f(v))wtdx ≤ CRT

1 +kukp2(p+1)+kvk

p

2(p+1)

kwk2(p+1)kwtk2

2.3 Prova do teorema: boa colocação 29

e como em (2.23),

−(ζt, ζ_st)M =

1 2

Z ∞

0

µ′(s)_k∇ζt(s)_k2₂ds _≤0.

Finalmente, _Z

Ω

(h1−h2)wtdx≤ kh1−h2k22+CRTF(t). Assim, para algumC1 >0suficientemente grande, concluímos que

d

dtF(t)≤ kh1−h2k

2

2+C1(1 +k∇utt(t)k2 +k∇vtt(t)k2)F(t).

Integrando de0attemos

F(t) _≤ F(0) +

Z t

0 k

h1 −h2k22ds+

Z t

0

C1(1 +k∇utt(s)k2+k∇vtt(s)k2)F(s)ds

≤ F(0) +kh1−h2k22T

+

Z t

0

C1(1 +k∇utt(s)k2+k∇vtt(s)k2)2ds

1 2 Z t

0

F2(s)ds 1

2

.

De (2.25) temos

Z T

0

C1 1 +k∇utt(s)k22+k∇vtt(s)k22

ds _≤CRT.

Logo,

F2(t)_≤2A2+CRT

Z t

0

F2(s)ds, _∀t _∈[0, T],

onde

A= F(0) +kh1−h2k22T

.

Assim, utilizando a desigualdade de Gronwall,

F2_(t)≤2A2_eCRTt_,

isto é,

F(t)_≤√2 F(0) +_kh1−h2k22T

eCRT2 T, ∀t∈[0, T].

Usando (2.29), obtemos

F(0) _≤CRTk(w0, w1, ζ0)k2H

e, portanto,

ku(t)−v(t)k2

H1

0 +kut(t)−vt(t)k

2

H1 0 +kη

t_−ξt_k2

M

≤ CRT

ku0−v0k2H1

0 +ku1−v1k

2

H1

0 +kη0−ξ0k

2

M+kh1−h2k22

,

para todo0 _≤ t _≤ T. Isto mostra que as soluções de (2.2)-(2.5) dependem continuamente dos dados iniciais. Em particular, o problema possui unicidade.

2.4

Prova do teorema: estabilidade exponencial

Usaremos algumas idéias de Messaoudi & Tatar [33]. Como eles não estudam o problema de memória com história, precisamos fazer algumas adaptações para se adequar ao nosso caso. Consideremos os funcionais

ψ(t) = 1

ρ+ 1

Z

Ω|

ut(t)|ρut(t)u(t)dx−

Z

Ω

∆ut(t)u(t)dx, (2.30)

χ(t) =

Z

Ω

∆ut(t)

Z ∞

0

µ(s)ηt(s)ds

dx− 1

ρ+ 1

Z

Ω|

ut(t)|ρut(t)

Z ∞

0

µ(s)ηt(s)ds

dx,

e

L(t) = M E(t) +εψ(t) +χ(t), (2.31)

ondeε >0eM > 0serão fixados posteriormente.

Antes de prosseguirmos, ao considerarmos as soluções fracas, as integrais emψ(t)são entendidas como dualidade entre H01 e H−1. Esta observação foi primeiramente colocada

em Cavalcanti et al [8]. Outra maneira de justificar os cálculos necessários é considerar as soluções aproximadas e depois passar ao limite.

Notemos queE(t)é decrescente, pois da estimativa (2.24), passando ao limite, temos

E′(t) +γ_k∇ut(t)k22 =

1 2 Z Ω Z ∞ 0

µ′(s)_|∇ηt(s)_|2ds

dx_≤0. (2.32)

Vamos tomar, Cs e C0 como constantes positivas que dependem das constantes de

imersões de Sobolev e dos dados iniciais respectivamente.

Lema 2.4. ParaM >0suficientemente grande, existem constantesβ1, β2 >0tais que

β1E(t)≤ L(t)≤β2E(t), t≥0, (2.33)

para algum0< ε_≤1.

Demonstração. Primeiramente, notemos que de (2.30),

|ψ(t)_{| ≤} 1

ρ+ 1kutk ρ+1

2(ρ+1)kuk2+

1 2k∇utk

2 2+

1 2k∇uk

2 2.

Então, da imersão de Sobolev e deE(t)ser decrescente,

1

ρ+ 1kutk ρ+1

2(ρ+1)kuk2 ≤

1

2(ρ+ 1)kutk

2(ρ+1) 2(ρ+1)+

1

2(ρ+ 1)kuk

2 2

≤ 1

2(ρ+ 1)k∇utk

2ρ+2

2 +Csk∇uk22

2.4 Prova do teorema: estabilidade exponencial 31

Portanto,

|ψ(t)_{| ≤}C0E(t) (2.34)

Por outro lado,

χ(t) =

Z ∞

0

µ(s)

Z

Ω

∆ut(t)ηt(s)dx

ds₋

Z ∞

0

µ(s)

1

ρ+ 1

Z

Ω|

ut(t)|ρut(t)ηt(s)dx

ds. Notando que Z Ω

∆ut(t)ηt(s)dx

≤

1

2k∇ut(t)k

2 2+

1 2kη

t_k2

M

e

1

ρ+ 1

Z Ω|

ut(t)|ρut(t)ηt(s)dx

≤CsE(0)ρk∇ut(t)k22+Csk∇ηt(s)k22,

então

|χ(t)_{| ≤}k0C0E(t),

ondek0 foi definida em (2.11). Logo, para algumC2 >0, temos

|εψ(t) +χ(t)_{| ≤}C2E(t), 0< ε≤1.

TomandoM > C2, obtemos (2.33) comβ1 =M−C2eβ2 =M+C2.

Lema 2.5. ExisteC3 >0, dependente deE(0), tal que

ψ′(t) ≤ −E(t)− 1

4k∇u(t)k

2

2+C3k∇ut(t)k22

−C3

Z ∞

0

µ′(s)k∇ηt(s)k2

2ds, ∀t≥0. (2.35)

Demonstração. Da definição deψ(t),

ψ′(t) =

Z

Ω |

ut|ρutt−∆utt

u dx+ 1

ρ+ 1kutk ρ+2

ρ+2+k∇utk22.

Usando a equação (2.2), observamos que

Z

Ω

(_|ut|ρutt−∆utt)udx = −k∇uk22+

Z ∞

0

µ(s)

Z

Ω

∆ηt(s)u(t)dx

ds

+γ Z

Ω

∆utu dx−

Z

Ω

f(u)u dx.

Como

Z ∞

0

µ(s)

Z

Ω

∆ηt(s)u(t)dx

ds _≤ 1

8k∇uk

2

e

γ Z

Ω

∆utu dx≤ 1 8k∇uk

2

2+ 2γ2k∇utk22,

então

ψ′(t)_{≤ −}3 4k∇uk

2

2+ 1 + 2γ2

k∇utk22+

1

ρ+ 1kutk ρ+2

ρ+2+ 2k0kηtk2M−

Z

Ω

f(u)u dx.

Subtraindo e somandoE(t)e utilizando (2.9) temos

ψ′(t)≤ −E(t)− 1 4k∇uk

2 2+

3 2 + 2γ

2

k∇ut(t)k22+

2

ρ+ 1kutk ρ+2

ρ+2+

1 2 + 2k0

kηtk2

M.

Logo, de

kut(t)kρρ+2+2 ≤CsE(0)

ρ

2k∇u_t(t)k2

2,

e

kηt_k2

M ≤ −

1

k1

Z ∞

0

µ′_(s)k∇ηt_(s)k2 2ds,

concluímos que (2.35) vale para algumC3 >0.

Lema 2.6. Dadoδ0 >0existeC4 >0, dependente deE(0), tal que

χ′(t)≤ −k0

4k∇ut(t)k

2

2+δ0k∇u(t)k22−C4

Z ∞

0

µ′(s)k∇ηt(s)k2

2ds. (2.36)

Demonstração. Da definição deχ(t),

χ′(t) =I1+I2,

onde

I1 =

Z

Ω

(_−|ut|ρutt+ ∆utt)

Z ∞

0

µ(s)η(s)ds

dx

e

I2 =

Z

Ω

−|ut| ρ_u

t

ρ+ 1 + ∆ut

Z ∞

0

µ(s)ηt(s)ds

dx.

Da equação (2.2) obtemos

I1 =

Z

Ω

−∆u₋ Z ∞

0

µ(s)∆η(s)ds₋γ∆ut+f(u)

Z ∞

0

µ(s)η(s)ds

dx.

Assim, temos as seguintes estimativas:

Z

Ω−

∆u(t)

Z ∞

0

µ(s)ηt(s)ds

dx_≤δ_k∇u(t)_k2₂+ k0 4δkη

2.4 Prova do teorema: estabilidade exponencial 33

Z

Ω−

γ∆ut(t)

Z ∞

0

µ(s)ηt(s)ds

dx≤ k0

4k∇ut(t)k

2

2+kηtk2M,

Z

Ω

f(u(t))

Z ∞

0

µ(s)ηt(s)ds

dx_≤δCsE(0)pk0k∇u(t)k22+

1 4δkη

t k2M,

Z

Ω−

Z ∞

0

µ(s)∆η(s)ds

Z ∞

0

µ(s)η(s)ds dx = Z Ω N X j=1 Z ∞ 0

µ(s)∂η

∂xj ds 2 dx ≤ Z Ω N X j=1 k0 Z ∞ 0

µ(s)

_∂x∂η_j

2 ds ! dx

≤ k0kηtk2M.

Portanto, dadoδ0 >0pequeno, existeC′ >0tal que

I1 ≤ δ0k∇u(t)k22+

k0

4 k∇ut(t)k

2

2+C′kηtk2M

≤ δ0k∇u(t)k22+

k0

4 k∇ut(t)k

2 2− C′ k1 Z ∞ 0

µ′(s)_k∇ηt(s)_k2₂ds. (2.37)

Agora, vamos estimarI2. De (2.3),

Z ∞

0

µ(s)ηt_t(s)ds = −

Z ∞

0

µ(s)η_st(s)ds+

Z ∞

0

µ(s)ut(t)ds

=

Z ∞

0

µ′(s)ηt(s)ds+k0ut(t).

Então,

I2 = −k0k∇ut(t)k22−

k0

ρ+ 1kut(t)k ρ+2

ρ+2+

Z ∞

0

µ′(s)

Z

Ω

∆ut(t)ηt(s)dx

ds

+ 1

ρ+ 1

Z ∞

0

µ′(s)

Z

Ω−|

ut(t)|ρut(t)ηt(s)dx

ds.

Observemos que, para alguma constanteC′′ _>0,

Z ∞

0

µ′(s)

Z

Ω

∆ut(t)ηt(s)dx

ds ≤ −

Z ∞

0

µ′(s)k∇ut(t)k2k∇ηt(s)k2ds

≤ k0

4k∇ut(t)k

2 2 −C′′

Z ∞

0

µ′(s)_k∇ηt(s)_k2₂ds

e

1

ρ+ 1

Z ∞

0

µ′_(s)

Z

Ω−|

ut(t)|ρut(t)ηt(s)dx

ds

≤ k0

4k∇ut(t)k

2 2−C′′

Z ∞

0

Logo,

I2 ≤ −

k0

2k∇ut(t)k

2

2−2C′′

Z ∞

0

µ′(s)k∇ηt(s)k2 2ds,

que juntamente com (2.37) mostram que (2.36) vale para algumC4 =C4(δ0, C′, C′′).

Prova do Teorema 2.2(iii): Primeiramente, vamos fixarε >0tal queεC3 < k0/4. Então,

tomandoδ0 >0tal queδ0 < ε/4, os Lemas 2.5 e 2.6 asseguram que

εψ′(t) +χ′(t)≤ −εE(t)−C5

Z ∞

0

µ′(s)k∇ηt(s)k2 2ds,

ondeC5 =εC3+C4. EscolhendoM > 2C5, obtemos de (2.32) que

M E′(t) +εψ′(t) +χ′(t)≤ −εE(t),

isto é,

L′(t)_{≤ −}εE(t). (2.38)

Agora, podemos escolher M > 0suficiente grande para que possamos aplicar o Lema 2.4. Então, combinando (2.38) com (2.33), obtemos (2.16) usando o seguinte raciocínio: De (2.33) temos

L′_{(t)≤ −} ε

β2L

(t).

A desigualdade de Gronwall implica que

L(t)≤ L(0)e−βε₂t_.

Usando (2.33) novamente, obtemos

β1E(t)≤ L(t)≤β2E(0)e−

ε β₂t,

C

3

Existência de um atrator global

Neste capítulo, provamos a existência de um atrator global para o problema (2.2)-(2.5). Observamos que do Teorema 2.2, o operador solução

S(t) :_{H → H}, S(t)(u0, v0, η0) = (u(t), ut(t), ηt), t≥0,

onde (u(t), ut(t), ηt) é uma solução fraca que corresponde aos dados iniciais (u0, v0, η0),

define um semigrupo de evolução em_H. De fato, da unicidade de solução,S(t)satisfaz as propriedades de semigrupo

S(0) =I e S(t+s) =S(t)S(s), s, t≥0.

Também, a dependência contínua dos dados iniciais em _H e (2.15) implicam que S(t) é fortemente contínuo sobre_H. Assim, S(t)é um semigrupoC0 _{deHe, consequentemente,}

o problema (2.2)-(2.5) pode ser visto como um sistema dinâmico de dimensão infinita não-linear(_H, S(t)).

Teorema 3.1. Sob as hipóteses do Teorema2.2, comh∈L2_{(Ω)eγ >0, o sistema dinâmico}

(_H, S(t))correspondente ao problema(2.2)-(2.5)possui atrator global.